दीर्घ वृत्ताकार सह-समरूपता

गणित में, दीर्घ वृत्ताकार सह-समरूपता बीजगणितीय टोपोलॉजी के अर्थ में एक सह-समरूपता सिद्धांत है। यह दीर्घ वृत्ताकार वक्रों और मॉड्यूलर आकृतियों से संबंधित है।

इतिहास और प्रेरणा

ऐतिहासिक रूप से, दीर्घ वृत्ताकार सह-समरूपता दीर्घ वृत्ताकार जीनस के अध्ययन से उत्पन्न हुई है। यह अतियाह और हिरज़ेब्रुच को ज्ञात था कि यदि $S^{1}$ स्पिन मैनिफोल्ड पर सुचारू रूप से और नॉन-ट्रीविअली रूप से कार्य होता है, तो फिर डिराक ऑपरेटर का सूचकांक विलुप्त हो जाता है। 1983 में, एडवर्ड विटेन ने अनुमान लगाया कि इस स्थिति में एक निश्चित ट्विस्टेड डिराक ऑपरेटर का समतुल्य सूचकांक कम से कम स्थिर है। इससे संबंधित कुछ अन्य समस्याएं भी उत्पन्न हुईं, इसके अतिरिक्त $S^{1}$-मैनिफोल्ड्स पर क्रियाएं, जिन्हें दीर्घ वृत्ताकार जेनेरा के प्रारंभ में ओचेनिन द्वारा समाधान किया जा सकता है। बदले में, विटन ने इन्हें फ्री लूप समष्टि पर (अनुमानात्मक) सूचकांक सिद्धांत से संबंधित किया था। 1980 के दशक के अंत में लैंडवेबर, स्टॉन्ग और डगलस रेवेनेल द्वारा अपने मूल रूप में आविष्कार किए गए दीर्घ वृत्ताकार सह-समरूपता को दीर्घ वृत्ताकार जेनेरा के साथ कुछ विषयों को स्पष्ट करने और फ्री लूप समष्टि पर अवकल ऑपरेटरों के समूह को (अनुमानित) सूचकांक सिद्धांत के लिए तथा एक संदर्भ प्रदान करने के लिए प्रस्तुत किया गया था। कुछ अर्थों में इसे फ्री लूप समष्टि के K-सिद्धांत के सन्निकटन के रूप में देखा जा सकता है।

परिभाषाएँ और निर्माण

यदि $A^{i}=0$ के लिए विषम है तो सह-समरूपता सिद्धांत $A^{*}$ को सम आवधिक भी कह सकते है और $u\in A^{2}$ में एक व्युत्क्रमणीय तत्व है। इन सिद्धांतों में एक सम्मिश्र अभिविन्यास होता है, जो एक औपचारिक समूह नियम देता है। औपचारिक समूह नियमों के लिए एक विशेष रूप से समृद्ध स्रोत दीर्घ वृत्ताकार वक्र हैं। एक सह-समरूपता सिद्धांत $A$ के साथ

$A^{0}=R$

इसे दीर्घ वृत्ताकार कहा जाता है यदि यह सम आवधिक है और इसका औपचारिक समूह नियम $R$ पर दीर्घ वृत्ताकार वक्र $E$ के औपचारिक समूह नियम के समरूपी है। ऐसे दीर्घ वृत्ताकार सह-समरूपता सिद्धांतों का सामान्य निर्माण लैंडवेबर उपयुक्त फ़ैक्टर प्रमेय का उपयोग करता है। यदि $E$ का औपचारिक समूह नियम लैंडवेबर उपयुक्त है, तो कोई दीर्घ वृत्ताकार सह-समरूपता सिद्धांत (परिमित परिसरों पर) को परिभाषित कर सकता है,

$A^{*}(X)=MU^{*}(X)\otimes _{MU^{*}}R[u,u^{-1}].\,$

फ्रांके ने लैंडवेबर की उपयुक्तता को पूरा करने के लिए आवश्यक शर्त की पहचान की है:

1. $R$ को $\mathbb {Z}$ के ऊपर समतल होना चाहिए।
2. ${\text{Spec }}R/pR$, का कोई अपरिवर्तनीय घटक $X$ नहीं है, जहां फाइबर $E_{x}$ प्रत्येक $x\in X$ के लिए सुपरसिंगुलर है।

दीर्घ वृत्ताकार पीढ़ी से संबंधित कई स्थितियों में इन स्थिति की जाँच की जा सकती है। इसके अतिरिक्त, शर्तें सार्वभौमिक स्थिति में इस अर्थ में पूरा होता है, कि दीर्घ वृत्ताकार वक्रों के मॉड्यूली स्टैक से औपचारिक समूहों के मॉड्यूली स्टैक तक का नक्शा

${\mathcal {M}}_{1,1}\to {\mathcal {M}}_{fg}$

सपाट है। इससे कोहोमोलोजी सिद्धांतों का एक सारांश मिलता है,

${\mathcal {O}}_{e\ell \ell }^{pre}:{\text{Aff}}/({\mathcal {M}}_{1,1})_{flat}\to {\textbf {Spectra}}$

दीर्घ वृत्ताकार वक्रों के मॉड्यूली स्टैक के ऊपर समतल योजनाओं की साइट पर वैश्विक खंडों को लेकर एक सार्वभौमिक दीर्घ वृत्ताकार सह-समरूपता सिद्धांत प्राप्त करने की इच्छा ने टोपोलॉजिकल मॉड्यूलर फॉर्म के निर्माण को उत्पन्न किया है।^{पृष्ठ 20}

$\mathbf {Tmf} ={\underset {X\to {\mathcal {M}}_{1,1}}{\textbf {Holim}}}{\text{ }}{\mathcal {O}}_{e\ell \ell }^{pre}(X)$

इसी प्रकार पिछली साइट की तुलना में इस प्रीशीफ का होमोटॉपी सीमा के रूप में निर्माण किया जाता है।

यह भी देखें

• वर्णक्रमीय बीजगणितीय ज्यामिति
• इंटरमीडिएट जैकोबियन
• रंगीन समरूपता सिद्धांत

संदर्भ

• Franke, Jens (1992), "On the construction of elliptic cohomology", Mathematische Nachrichten, 158 (1): 43–65, doi:10.1002/mana.19921580104.
• Landweber, Peter S. (1988), "Elliptic genera: An introductory overview", in Landweber, P. S. (ed.), Elliptic Curves and Modular Forms in Algebraic Topology, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1326, Berlin: Springer, pp. 1–10, ISBN 3-540-19490-8.
• Landweber, Peter S. (1988), "Elliptic cohomology and modular forms", in Landweber, P. S. (ed.), Elliptic Curves and Modular Forms in Algebraic Topology, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1326, Berlin: Springer, pp. 55–68, ISBN 3-540-19490-8.
• Landweber, P. S.; Ravenel, D. & Stong, R. (1995), "Periodic cohomology theories defined by elliptic curves", in Cenkl, M. & Miller, H. (eds.), The Čech Centennial 1993, Contemp. Math., vol. 181, Boston: Amer. Math. Soc., pp. 317–338, ISBN 0-8218-0296-8.
• Lurie, Jacob (2009), "A Survey of Elliptic Cohomology", in Baas, Nils; Friedlander, Eric M.; Jahren, Björn; et al. (eds.), Algebraic Topology: The Abel Symposium 2007, Berlin: Springer, pp. 219–277, doi:10.1007/978-3-642-01200-6, hdl:2158/373831, ISBN 978-3-642-01199-3.

संस्थापक लेख

• एलिप्टिक कोहोमोलॉजी - ग्रीम सहगल

कैलाबी-यौ मैनिफोल्ड्स का विस्तार

• आर्क्सिव:2002.04879
• आर्क्सिव:1810.08953
• arxiv:hep-th/0511087|गेज सिद्धांत, स्ट्रिंग सिद्धांत और कोहोमोलॉजी में अण्डाकार वक्र

श्रेणी:कोहोमोलॉजी सिद्धांत श्रेणी:अण्डाकार वक्र श्रेणी:मॉड्यूलर फॉर्म