ध्वनिक स्ट्रीमिंग

ध्वनिक स्ट्रीमिंग उच्च आयाम ध्वनिक दोलनों के अवशोषण द्वारा संचालित द्रव में स्थिर प्रवाह है। यह घटना ध्वनि उत्सर्जकों के निकट अथवा कुंड की नली के भीतर अप्रगामी तरंगों में अवलोकित की जाती है। 1884 में सर्वप्रथम लॉर्ड रेले द्वारा ध्वनिक स्ट्रीमिंग की व्याख्या की गई थी।

यह प्रवाह द्वारा ध्वनि उत्पादन के विपरीत है।

ऐसी दो स्थितियाँ हैं जहाँ ध्वनि प्रसार के माध्यम में अवशोषित हो जाती है-

• बल्क फ्लो ('एकार्ट स्ट्रीमिंग') में प्रसार के समय अवशोषित हो जाती है। स्टोक्स के नियम (ध्वनि क्षीणन) के अनुसार क्षीणन गुणांक $\alpha =2\eta \omega ^{2}/(3\rho c^{3})$ है। यह प्रभाव उच्च आवृत्तियों पर अधिक तीव्र होता है और जल (100 मेगाहर्ट्ज पर $\alpha ^{-1}$~1 मीटर) की तुलना में वायु (जहाँ क्षीणन 1 मेगाहर्ट्ज पर $\alpha ^{-1}$~10 सेमी की विशिष्ट दूरी पर होता है) में अधिक होता है। इसे क्वार्ट्ज वायु के रूप में जाना जाता है।
• सीमा के निकट ('रेले स्ट्रीमिंग') ध्वनि प्रसार के माध्यम में अवशोषित हो जाती है। अथवा जब ध्वनि सीमा तक पहुँचती है, अथवा जब सीमा स्थिर माध्यम में दोलन कर रही होती है। कम्पित दीवार स्टोक्स सीमा परत के भीतर क्षीण आयाम की अपरूपण तरंग उत्पन्न करती है। यह प्रभाव विशेषता आकार $\delta =[\eta /(\rho \omega )]^{1/2}$ की क्षीणन लंबाई पर स्थानीयकृत है। जिसका परिमाण क्रम 1 मेगाहर्ट्ज पर वायु और जल दोनों में कुछ माइक्रोमीटर है। ध्वनि तरंगें और सूक्ष्म बुलबुले, बहुलक के संपर्क के कारण उत्पन्न स्ट्रीमिंग प्रवाह, और जैविक कोशिकाएँ सीमा संचालित ध्वनिक स्ट्रीमिंग के उदाहरण हैं।

रेले स्ट्रीमिंग

समतल अप्रगामी ध्वनि तरंग पर विचार करते हैं जो वेग क्षेत्र $U(x,t)=v_{0}\cos kx\cos \omega t=\varepsilon \cos kx\Re (e^{-i\omega t})$ से युग्मित होती है, जहाँ $k=2\pi /\lambda =\omega /c$ है। मान लीजिये $l$, समस्या का अभिलाक्षणिक (अनुप्रस्थ) आयाम है। वर्णित प्रवाह क्षेत्र अश्यान प्रवाह से युग्मित होता है। चूँकि श्यान प्रभाव ठोस दीवार के निकट महत्वपूर्ण होता है, तब मोटाई $\delta =(2\nu /\omega )^{1/2}$ की सीमा परत उपस्थित होती है। रेले स्ट्रीमिंग को सन्निकटन $\lambda \gg l\gg \delta .$ में उचित प्रकार से अवलोकित किया गया है। $U(x,t)$ के रूप में, वेग घटक $(u,v)$, $c$ से कम होता है। इसके अतिरिक्त, ध्वनिक समय स्तर $l/c$ की तुलना में सीमा परत के भीतर अभिलाक्षणिक समय का स्तर अधिक बड़ा ($\delta$ की लघुता के कारण) होता है। इस प्रकार की टिप्पणियों का अर्थ है कि सीमा परत में प्रवाह को असम्पीडित माना जा सकता है।

अस्थिर, असंपीड्य सीमा-परत समीकरण है-

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial U}{\partial t}}$

जहाँ दाहिनी ओर की स्तिथियाँ सीमा परत पर लगाए गए दबाव प्रवणता के अनुरूप होती हैं। स्ट्रीम फ़ंक्शन $\psi$ का उपयोग करके समस्या को हल किया जा सकता है जो $u=\partial \psi /\partial y$ और $v=-\partial \psi /\partial x.$ को संतुष्ट करता है। चूँकि परिभाषा के अनुसार, ध्वनि तरंग में वेग क्षेत्र $U$ निम्न है, हम $\varepsilon \rightarrow 0$ के लिए $u=\varepsilon u_{1}+\varepsilon ^{2}u_{2}+\cdots$, $\psi =\varepsilon \psi _{1}+\varepsilon ^{2}\psi _{2}\cdots$ के रूप में स्पर्शोन्मुख श्रृंखला को प्रस्तुत करके सीमा परत समीकरण के लिए औपचारिक रूप से समाधान प्राप्त कर सकते हैं।

प्रथम सन्निकटन में प्राप्त होता है-

${\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial y^{2}}}=-\omega \cos kx\Re (ie^{-i\omega t}).$

समाधान जो दीवार $y/\delta =0$ पर नो-स्लिप स्थिति को संतुष्ट करता है और $U$ के रूप में $y/\delta \rightarrow \infty$ द्वारा प्रदान किया जाता है-

$u_{1}=\Re \left[\cos kx\,(1-e^{-\kappa y})\,e^{-i\omega t}\right],\quad \psi _{1}=\Re \left[\cos kx\,\zeta _{1}(y)\,e^{-i\omega t}\right]$

जहाँ $\kappa =(1-i)/\delta$ और $\zeta _{1}=y+(e^{-\kappa y}-1)/\kappa .$ है। अग्र क्रम पर समीकरण है-

${\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}-u_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}-v_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}.$

चूँकि दाईं ओर का प्रत्येक पद द्विघात है, इसका परिणाम आवृत्तियों $\omega +\omega =2\omega$ और$\omega -\omega =0.$ के संदर्भ में होता है। $\omega =0$ पद $u_{2}$ के लिए स्वतंत्र बल के समय के अनुरूप होता है। हम इस प्रकार के समाधान ज्ञात करते हैं जो मात्र समय-स्वतंत्र भाग से युग्मित होते हैं। इससे $\psi _{2}=\sin 2kx\,\zeta _{2}(y)/c$ प्राप्त होता है, जहाँ $\zeta _{2}$ समीकरण को संतुष्ट करता है-

$2\delta \zeta _{2}'''=1-|\zeta _{1}'|^{2}+\Re (\zeta _{1}\zeta _{1}'')$

जहाँ प्राइम y के सापेक्ष अवकलन को दर्शाता है। दीवार पर सीमा की स्थिति का तात्पर्य $\zeta (0)=\zeta '(0)=0.$ है। चूँकि $y/\delta \rightarrow \infty$, $\zeta _{2}$ परिमित होना चाहिए। उपरोक्त समीकरण को समाकलित करने पर प्राप्त होता है-

$\zeta _{2}'={\frac {3}{8}}-{\frac {1}{8}}e^{-2y/\delta }-e^{-y/\delta }\left[\sin {\frac {y}{\delta }}+{\frac {1}{4}}\cos {\frac {y}{\delta }}+{\frac {y}{4\delta }}\left(\sin {\frac {y}{\delta }}-\cos {\frac {y}{\delta }}\right)\right].$

चूँकि $y/\delta \rightarrow \infty$, $\zeta '(\infty )=3/8$ निम्लिखित परिणाम की ओर अग्रसर है-

$v_{2}(x,\infty ,t)=(3/8c)\sin 2kx.$

इस प्रकार, सीमा के कोर से दोलन गति पर अध्यारोपित द्रव की स्थिर गति होती है। यह वेग बल सीमा परत की अपरिवर्ती स्ट्रीमिंग गति को आरंभ करता है। चूँकि $v_{2}(\infty )$, $\nu$ से स्वतंत्र होती है, तो सीमा परत की स्थिर स्ट्रीमिंग गति भी श्यानता से स्वतंत्र होती है, चूँकि इसके अस्तित्व की उत्पत्ति श्यान सीमा परत के कारण होती है।

बाह्य स्थिर स्ट्रीमिंग असम्पीडित गति समस्या पर निर्भर करती है। यदि $y=0$ और $y=2h$ पर दो दीवारें हैं, तो-

$\psi _{2}={\frac {3}{16c}}\sin 2kx\,[-(y-h)+(y-h)^{3}/h^{2}]$

जो काउंटर-रोटेटिंग भंवरों की आवधिक सरणी से युग्मित होती है।

उत्पत्ति: द्रव में ध्वनिक अवशोषण के कारण शरीर बल

ध्वनिक स्ट्रीमिंग अरैखिक प्रभाव है।

हम कंपन भाग और स्थिर भाग ${u}=v+{\overline {u}}$ में वेग क्षेत्र को विघटित कर सकते हैं।

कंपन भाग $v$ ध्वनि के कारण है, जबकि स्थिर भाग ध्वनिक स्ट्रीमिंग वेग (औसत वेग) है।

ध्वनिक स्ट्रीमिंग वेग के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरण का अर्थ है-

${\overline {\rho }}{\partial _{t}{\overline {u}}_{i}}+{\overline {\rho }}{\overline {u}}_{j}{\partial _{j}{\overline {u}}_{i}}=-{\partial {\overline {p}}_{i}}+\eta {\partial _{j}^{2}{\overline {u}}_{i}}-{\partial _{j}}({\overline {\rho v_{i}v_{j}}}/{\partial x_{j}}).$

स्थिर प्रवाह स्थिर देह बल $f_{i}=-{\partial }({\overline {\rho v_{i}v_{j}}})/{\partial x_{j}}$ से उत्पन्न होता है, जो दाहिनी ओर अवलोकित है। यह बल विक्षोभ में $-{\overline {\rho v_{i}v_{j}}}$ रेनॉल्ड्स तनाव के रूप में कार्य है। रेनॉल्ड्स तनाव ध्वनि कंपन के आयाम पर निर्भर करता है और देह बल इस ध्वनि आयाम में कमी को प्रदर्शित करता है।

वेग आयाम में तनाव अरैखिक (द्विघात फलन) होता है।

यदि द्रव का वेग ध्वनि के कारण $\epsilon \cos(\omega t)$ के रूप में दोलन करता है, तो द्विघात अरैखिकता के समानुपाती स्थिर बल उत्पन्न करता है।

$\scriptstyle {\overline {\epsilon ^{2}\cos ^{2}(\omega t)}}=\epsilon ^{2}/2$.

ध्वनिक स्ट्रीमिंग वेगों के परिमाण का क्रम

यदि ध्वनिक स्ट्रीमिंग के लिए श्यानता उत्तरदायी है, तो निकट-सीमा ध्वनिक स्ट्रीमिंग की स्तिथि में परिणामी स्ट्रीमिंग वेग से श्यानता का मान अदृश्य हो जाता है।

स्ट्रीमिंग वेगों के परिमाण का क्रम है-

• सीमा के निकट-

$U\sim -{3}/{(4\omega )}\times v_{0}dv_{0}/dx,$

ध्वनि कंपन वेग $v_{0}$ और दीवार की सीमा $x$ के साथ है। प्रवाह को ध्वनि कंपन कम करने की दिशा में निर्देशित किया जाता है।

• विश्राम त्रिज्या a, के कंपन बुलबुले के निकट जिसका त्रिज्या सापेक्ष आयाम $\epsilon =\delta r/a$ (या $r=\epsilon a\sin(\omega t)$) के साथ स्पंदित होता है और जिसका द्रव्यमान केंद्र भी समय-समय पर सापेक्ष आयाम $\epsilon '=\delta x/a$ (या $x=\epsilon 'a\sin(\omega t/\phi )$) के साथ चरण बदलाव $\phi$ के साथ अनुवाद करता है।

$\displaystyle U\sim \epsilon \epsilon 'a\omega \sin \phi$

• दीवारों से दूर $U\sim \alpha P/(\pi \mu c)$ प्रवाह की उत्पत्ति (ध्वनिक शक्ति $P$ के साथ, गतिशील श्यानता $\mu$ और ध्वनि की गति $c$) होती है। प्रवाह की उत्पत्ति के निकट $P$ की जड़ के रूप में वेग को मापता है।

• ध्वनिक तरंगों के संपर्क में आने पर जैविक प्रजातियां, उदाहरण के लिए, सहायक कोशिकाएँ भी ध्वनिक स्ट्रीमिंग प्रवाह प्रदर्शित कर सकती हैं। सतह से युग्मित कोशिकाएँ सतह से भिन्न किए बिना मिमी/एस के क्रम में ध्वनिक स्ट्रीमिंग प्रवाह उत्पन्न कर सकती हैं।

यह भी देखें

• ध्वनिक चिमटी