निम्न को सीमित करें और श्रेष्ठ को सीमित करें

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गणित में, किसी अनुक्रम की निचली सीमा और श्रेष्ठ सीमा को अनुक्रम पर सीमित (अर्थात, अंतिम और चरम) सीमा के रूप में माना जा सकता है। उन्हें किसी फ़ंक्शन (गणित) के लिए समान प्रणाली (फ़ंक्शन की सीमा देखें) से सोचा जा सकता है। एक सेट (गणित) के लिए, वे क्रमशः सेट की सीमा बिंदुओं के न्यूनतम और सर्वोच्च हैं। सामान्यतः, जब कई वस्तुएं होती हैं जिनके चारों ओर अनुक्रम, फ़ंक्शन या सेट जमा होता है, तो निम्न और श्रेष्ठ सीमाएं उनमें से सबसे छोटी और सबसे बड़ी को निकाल लेती हैं; वस्तु का प्रकार और आकार की माप संदर्भ पर निर्भर है, किन्तु चरम सीमा की धारणा अपरिवर्तनीय है।

निचली सीमा को अनंत सीमा, सीमित सीमा, सीमित सीमा, निम्न सीमा, निचली सीमा या आंतरिक सीमा भी कहा जाता है; लिमिट सुपीरियर को सुप्रीम लिमिट, लिमिट सुप्रीम, लिम्सअप, सुपीरियर लिमिट, अपर लिमिट या आउटर लिमिट के नाम से भी जाना जाता है।

सीमा श्रेष्ठ और सीमा निम्न का उदाहरण. अनुक्रम x_n नीले रंग में दिखाया गया है. दो लाल वक्र x की ऊपरी सीमा और निचली सीमा तक पहुंचते हैं_n, धराशायी काली रेखाओं के रूप में दिखाया गया है। इस स्थिति में, अनुक्रम दो सीमाओं के आसपास जमा होता है। ऊपरी सीमा दोनों में बड़ी है, और निचली सीमा छोटी है। निम्न और श्रेष्ठ सीमाएँ तभी सहमत होती हैं जब अनुक्रम अभिसारी अनुक्रम हो (अर्थात्, जब ही सीमा हो)।

किसी अनुक्रम की निचली सीमा $(x_{n})$ द्वारा निरूपित किया जाता है

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$$

और अनुक्रम की श्रेष्ठतम सीमा $(x_{n})$ द्वारा निरूपित किया जाता है

$$\limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.$$

अनुक्रमों के लिए परिभाषा

limit inferior अनुक्रम का (x_n) द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}$$

या

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup \,\{\,\inf \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$$

इसी प्रकार,सीमा श्रेष्ठ का (x_n) द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}$$

या

$$\limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf \,\{\,\sup \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$$

वैकल्पिक रूप से, संकेतन $\varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}$ और $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$ कभी-कभी उपयोग किया जाता है।

अनुक्रम $(x_{n})$ की क्रमिक सीमाओं की अवधारणा का उपयोग करके श्रेष्ठ और निम्न सीमाओं को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है। तत्व $\xi$ विस्तारित वास्तविक संख्याओं का ${\overline {\mathbb {R} }}$ की अनुवर्ती सीमा $(x_{n})$ है यदि प्राकृतिक संख्याओं का कड़ाई से बढ़ता हुआ क्रम $(n_{k})$ उपस्थित है जैसे कि $\xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}$है। यदि $E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}$ की सभी अनुवर्ती सीमाओं $(x_{n})$ का समुच्चय है, तब

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E$ और

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.$

यदि अनुक्रम में पद वास्तविक संख्याएँ हैं, तो सीमा श्रेष्ठ और सीमा निम्न हमेशा उपस्थित रहती हैं, क्योंकि ±∞ (अर्थात विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा) के साथ वास्तविक संख्याएँ पूर्ण मीट्रिक स्थान हैं। अधिक सामान्यतः, ये परिभाषाएँ किसी भी आंशिक रूप से क्रमित सेट में समझ में आती हैं, किन्तु सर्वोच्च और अनंत उपस्थित हों, जैसे कि पूर्ण जाली में।

जब भी सामान्य सीमा उपस्थित होती है, निचली सीमा और श्रेष्ठ सीमा दोनों उसके बराबर होती हैं; इसलिए, प्रत्येक को सामान्य सीमा का सामान्यीकरण माना जा सकता है जो मुख्य रूप से उन मामलों में दिलचस्प है जहां सीमा उपस्थित नहीं है। जब भी lim inf x_nऔर लिम lim sup x_nदोनों उपस्थित हैं, हमारे पास हैं

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.$

निचली और श्रेष्ठ सीमाएँ बिग-ओ संकेतन से संबंधित हैं, जिसमें वे क्रम को केवल सीमा में बांधते हैं; अनुक्रम सीमा से अधिक हो सकता है. चूँकि, बिग-ओ नोटेशन के साथ अनुक्रम केवल अनुक्रम के सीमित उपसर्ग में सीमा से अधिक हो सकता है, जबकि e⁻ⁿ जैसे अनुक्रम की सीमा श्रेष्ठ होती है वास्तव में अनुक्रम के सभी तत्वों से कम हो सकता है। एकमात्र वादा यह किया गया है कि अनुक्रम की कुछ पूँछ को ऊपर सीमा श्रेष्ठ प्लस स्वैच्छिक रूप से छोटे धनात्मक स्थिरांक द्वारा सीमित किया जा सकता है, और नीचे सीमा अवर शून्य स्वैच्छिक रूप से छोटे धनात्मक स्थिरांक द्वारा सीमित किया जा सकता है।

किसी अनुक्रम की ऊपरी सीमा और निचली सीमा किसी फ़ंक्शन (नीचे देखें) का विशेष स्थिति है।

वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम का स्थिति

गणितीय विश्लेषण में, वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों का अध्ययन करने के लिए सीमा श्रेष्ठ और सीमा निम्न महत्वपूर्ण उपकरण हैं। चूंकि वास्तविक संख्याओं के असीमित सेट का सर्वोच्च और अनंत उपस्थित (वास्तविक पूर्ण जाली नहीं हैं) नहीं हो सकता है, एफ़िनली विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली में अनुक्रमों पर विचार करना सुविधाजनक है: हम धनात्मक और नकारात्मक अनंत को वास्तविक रेखा में जोड़ते हैं पूर्ण रूप से ऑर्डर किया गया सेट [−∞,∞] देने के लिए, जो पूर्ण जाली है।

व्याख्या

क्रम पर विचार करें $(x_{n})$ वास्तविक संख्याओं से युक्त। मान लें कि सीमा श्रेष्ठ और सीमा निम्न वास्तविक (इसलिए, अनंत नहीं) संख्याएँ हैं।

• $x_{n}$ की सीमा श्रेष्ठता सबसे छोटी वास्तविक संख्या $b$ है, जैसे कि, किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या $\varepsilon$ के लिए, एक प्राकृतिक संख्या $N$ उपस्थित होती है, जैसे कि $x_{n}<b+\varepsilon$ सभी $n>N$ के लिए। दूसरे शब्दों में, सीमा से अधिक बड़ी कोई भी संख्या अनुक्रम के लिए अंतिम ऊपरी सीमा होती है। अनुक्रम के तत्वों की केवल सीमित संख्या $b+\varepsilon$ से अधिक होती हैं।
• $x_{n}$की सीमा हीनता सबसे बड़ी वास्तविक संख्या $b$ है जैसे कि, किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या $\varepsilon$ के लिए, वहाँ प्राकृतिक संख्या $N$ उपस्थित है, जैसे है कि $x_{n}>b-\varepsilon$ सभी $n>N$ के लिए। दूसरे शब्दों में, निचली सीमा से नीचे की कोई भी संख्या अनुक्रम के लिए अंतिम निचली सीमा होती है। अनुक्रम के तत्वों की केवल सीमित संख्या $b-\varepsilon$ से कम हैं।

गुण

यदि अनुक्रम बंधा हुआ है, तो सभी के लिए $\epsilon >0$ लगभग सभी अनुक्रम सदस्य खुले अंतराल में स्थित हैं $(\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon ,\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon ).$

वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के लिए सीमा निम्न और सीमा श्रेष्ठ का संबंध इस प्रकार है:

$$\limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}$$

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, $\mathbb {R}$ को $[-\infty ,\infty ].$ तक विस्तारित करना सुविधाजनक है। तब, $\left(x_{n}\right)$ में $[-\infty ,\infty ]$ किसी अनुक्रम की सीमा यदि और केवल यदि

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$$

किस स्थिति में $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ उनके सामान्य मूल्य के बराबर है। (ध्यान दें कि जब आप काम कर रहे हों $\mathbb {R} ,$ के लिए अभिसरण $-\infty$ या $\infty$ अभिसरण के रूप में नहीं माना जाएगा।) चूंकि निचली सीमा अधिकतम सीमा से बेहतर है, इसलिए निम्नलिखित शर्तें लागू होती हैं

$${\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}$$

यदि $I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}$ और $S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$, फिर अंतराल $[I,S]$ किसी भी संख्या $x_{n},$ को सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है, किन्तु प्रत्येक साधारण वृद्धि $[I-\epsilon ,S+\epsilon ],$ स्वैच्छिक रूप से छोटे $\epsilon >0,$ के लिए सम्मिलित है सभी किन्तु सीमित रूप से कई सूचकांक $n.$ के लिए $x_{n}$ सम्मिलित होगा। क्योंकि, अंतराल $[I,S]$ इस संपत्ति के साथ सबसे छोटा संवृत अंतराल है। हम इस गुण को इस तरह औपचारिक रूप दे सकते हैं: अनुवर्ती उपस्थित हैं $x_{k_{n}}$ और $x_{h_{n}}$ का $x_{n}$ (जहाँ $k_{n}$ और $h_{n}$ बढ़ रहे हैं) जिसके लिए हमारे पास है

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon$$

दूसरी ओर, वहाँ उपस्थित है $n_{0}\in \mathbb {N}$ जिससे सभी $n\geq n_{0}$ के लिए

$$\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon$$

पुनर्पूंजीकरण करने के लिए:

• यदि $\Lambda$ श्रेष्ठ सीमा से अधिक है, तो $\Lambda ;$ से अधिक से अधिक सीमित संख्या $x_{n}$ में हैं; यदि यह कम है, तो अनंत रूप से अनेक हैं।
• यदि $\lambda$ निम्न सीमा से कम है, तो $\lambda ;$ सेअधिक से अधिक सीमित संख्या $x_{n}$ में कम हैं; यदि यह कम है, तो अनंत रूप से अनेक हैं।

सामान्य रूप में,

$$\inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.$$

किसी अनुक्रम का लिमिफ़ और लिमसुप क्रमशः सबसे छोटा और सबसे बड़ा सीमा बिंदु हैं।

• वास्तविक संख्याओं के किन्हीं दो अनुक्रमों के लिए $(a_{n}),(b_{n}),$ जब भी असमानता का दाहिना पक्ष परिभाषित किया जाता है (अर्थात नहीं) तो श्रेष्ठ सीमा उप-अडिटिविटी को संतुष्ट करती है $\infty -\infty$ या $-\infty +\infty$):
  $$\limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.$$

अनुरूप रूप से, निचली सीमा सुपरएडिटिविटी को संतुष्ट करती है:

$$\liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.$$

विशेष स्थिति में कि अनुक्रमों में से वास्तव में अभिसरण करता है, मान लीजिए $a_{n}\to a,$ तब ऊपर की असमानताएँ समानताएँ (के साथ) बन जाती हैं। $\limsup _{n\to \infty }a_{n}$ या $\liminf _{n\to \infty }a_{n}$ $a$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा रहा है).

• गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं $(a_{n}),(b_{n}),$ के किन्हीं दो अनुक्रमों के लिए, असमानताएँ
  $$\limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)$$
  और
  $$\liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)$$

जब भी दाहिना भाग $0\cdot \infty .$ के रूप का न हो तो दबाए रखें।

यदि $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ (स्थितियां सहित) उपस्थित है। $A=+\infty$) और $B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},$ तब $\limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB$ उसे उपलब्ध कराया किन्तु $AB$ $0\cdot \infty .$ के स्वरूप का नहीं हो।

उदाहरण

• उदाहरण के तौर पर, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन फ़ंक्शन द्वारा दिए गए अनुक्रम $x_{n}=\sin(n).$ पर विचार करें: इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि π अपरिमेय संख्या है, यह इस प्रकार है
  $$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1$$
  और
  $$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.$$
  (ऐसा इसलिए है क्योंकि अनुक्रम $\{1,2,3,\ldots \}$ समवितरित मॉड 2π है, जो समवितरण प्रमेय का परिणाम है।)

• संख्या सिद्धांत से उदाहरण है
  $$\liminf _{n\to \infty }\,(p_{n+1}-p_{n}),$$
  जहाँ $p_{n}$ $n$-वाँ अभाज्य संख्या हैं।

इस निचली सीमा का मान 2 होने का अनुमान लगाया गया है - यह जुड़वां अभाज्य अनुमान है - किन्तु as of April 2014 246 से कम या उसके बराबर होने का केवल गणितीय प्रमाण रहा है। संगत सीमा $+\infty$ श्रेष्ठ है, क्योंकि स्वैच्छिक रूप से बड़े प्राइम गैप हैं।

वास्तविक-मूल्यवान फलन

मान लें कि फ़ंक्शन को वास्तविक संख्याओं के सबसेट से वास्तविक संख्याओं तक परिभाषित किया गया है। जैसा कि अनुक्रमों के स्थिति में, यदि हम +∞ और −∞ मानों की अनुमति देते हैं, तो निचली सीमा और श्रेष्ठ सीमा हमेशा अच्छी तरह से परिभाषित होती हैं; वास्तव में, यदि दोनों सहमत हैं तो सीमा उपस्थित है और उनके सामान्य मूल्य के बराबर है (फिर से संभवतः अनंत सहित)। उदाहरणार्थ, दिया गया $f(x)=\sin(1/x)$, अपने पास $\limsup _{x\to 0}f(x)=1$ और $\liminf _{x\to 0}f(x)=-1$ हैं। दोनों के बीच का अंतर इस बात का मोटा माप है कि फ़ंक्शन कितनी तेज़ी से दोलन करता है, और इस तथ्य के अवलोकन में, इसे 0 पर f का दोलन (गणित) कहा जाता है। दोलन का यह विचार, उदाहरण के लिए, रीमैन अभिन्न को चित्रित करने के लिए पर्याप्त है। रीमैन-इंटीग्रेबल माप शून्य के सेट को छोड़कर निरंतर फ़ंक्शन के रूप में फलन करता है। ध्यान दें कि गैर-शून्य दोलन के बिंदु (अर्थात्, जिन बिंदुओं पर एफ पैथोलॉजिकल (गणित) है) असंततताएं हैं, जब तक कि वे शून्य का सेट नहीं बनाते हैं, नगण्य सेट तक सीमित होते हैं।

<स्पैन क्लास= एंकर आईडी= फ्रॉमटॉपस्पेस > टोपोलॉजिकल स्पेस से लेकर संपूर्ण लैटिस तक के फलन

मीट्रिक रिक्त स्थान से फलन

मीट्रिक स्पेस पर परिभाषित फलनों के लिए लिमसुप और लिमिफ़ की धारणा है, जिसका वास्तविक-मूल्यवान फलनों की सीमा से संबंध लिमसुप, लिमिफ़ और वास्तविक अनुक्रम की सीमा के बीच के संबंध को दर्शाता है। मीट्रिक स्थान लें $X$, उपस्थान $E$ में निहित $X$, और फ़ंक्शन $f:E\to \mathbb {R}$. किसी भी सीमा बिंदु के लिए परिभाषित करें $a$ का $E$,

$\limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)$

और

$\liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)$

जहाँ $B(a,\varepsilon )$ त्रिज्या की गेंद (गणित) को दर्शाता है $\varepsilon$ के बारे में $a$.

ध्यान दें कि जैसे-जैसे ε सिकुड़ता है, गेंद पर फ़ंक्शन का सर्वोच्चता मोनोटोन घटता जा रहा है, इसलिए हमारे पास है

$\limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)$

और इसी तरह

$\liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right).$

टोपोलॉजिकल स्पेस से फलन

यह अंततः सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए परिभाषाओं को प्रेरित करता है। पहले की तरह x, e और a लें, किन्तु अब x को टोपोलॉजिकल स्पेस होने दें। इस स्थिति में, हम मीट्रिक गेंदों को पड़ोस (गणित) से बदल देते हैं:

$\limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}$

$\liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}$

(नेट (गणित) और पड़ोस फ़िल्टर का उपयोग करके लिम का उपयोग करके सूत्र लिखने की एक विधि है)। यह संस्करण अधिकांश अर्ध-निरंतरता की चर्चाओं में उपयोगी होता है जो अधिकांश विश्लेषण में सामने आते हैं। रोचक नोट यह है कि यह संस्करण अनुक्रमों को विस्तारित वास्तविक रेखा के टोपोलॉजिकल उप-स्थान के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के फलनों के रूप में मानते हुए, अंतरिक्ष में ([−∞,∞] में N का संवृत होना, विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा, N ∪ {∞} है।)

समुच्चयों का क्रम

सेट (गणित) विशेष रूप से, X का प्रत्येक उपसमुच्चय ऊपर X से और नीचे खाली सेट ∅ से घिरा है क्योंकि ∅ ⊆ Y ⊆ (अर्थात्, X के उपसमुच्चय का क्रम)।

सेटों के अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करने के दो सामान्य प्रणाली हैं। दोनों ही मामलों में:

• अनुक्रम एकल बिंदुओं के अतिरिक्त बिंदुओं के सेट के आसपास जमा होता है। अर्थात्, क्योंकि अनुक्रम का प्रत्येक तत्व स्वयं समुच्चय है, ऐसे संचय समुच्चय उपस्थित हैं जो किसी न किसी तरह अनुक्रम के अनंत रूप से कई तत्वों के निकट हैं।
• सर्वोच्च/श्रेष्ठ/बाहरी सीमा ऐसा समुच्चय है जो (गणित) इन संचय समुच्चयों को साथ जोड़ता है। अर्थात्, यह सभी संचय समुच्चयों का संघ (समुच्चय सिद्धांत) है। सेट समावेशन द्वारा ऑर्डर करते समय, सर्वोच्च सीमा संचय बिंदुओं के सेट पर सबसे कम ऊपरी सीमा होती है क्योंकि इसमें उनमें से प्रत्येक सम्मिलित होता है। इसलिए, यह सीमा बिंदुओं का सर्वोच्च है।
• न्यूनतम/हीन/आंतरिक सीमा ऐसा सेट है जहां ये सभी संचय सेट मिलते हैं (गणित)। अर्थात्, यह सभी संचय सेटों का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है। सेट समावेशन द्वारा ऑर्डर करते समय, अनंत सीमा संचय बिंदुओं के सेट पर सबसे बड़ी निचली सीमा होती है क्योंकि यह उनमें से प्रत्येक में समाहित होती है। इसलिए, यह सीमा बिंदुओं में से न्यूनतम है।
• क्योंकि ऑर्डर सेट समावेशन द्वारा होता है, तो बाहरी सीमा में हमेशा आंतरिक सीमा (अर्थात्, lim inf X_n ⊆ lim sup X_n) सम्मिलित होगी. इसलिए, जब सेटों के अनुक्रम के अभिसरण पर विचार किया जाता है, तो आम तौर पर उस अनुक्रम की बाहरी सीमा के अभिसरण पर विचार करना पर्याप्त होता है।

दो परिभाषाओं के बीच अंतर यह है कि टोपोलॉजी (अर्थात्, पृथक्करण की मात्रा कैसे निर्धारित करें) को कैसे परिभाषित किया जाता है। वास्तव में, दूसरी परिभाषा पहली के समान है जब एक्स पर टोपोलॉजी को प्रेरित करने के लिए अलग मीट्रिक का उपयोग किया जाता है।

सामान्य सेट अभिसरण

See also: कुराटोव्स्की अभिसरण and बाद की सीमा

मेट्रिज़ेबल स्थान में सेटों का क्रम $X$ जब अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य के तत्व सीमित सेट के तत्वों के पास पहुंचते हैं तो सीमित सेट के निकट पहुंचता है। विशेषकर, यदि $(X_{n})$ के उपसमुच्चय का क्रम $X,$ है तब:

• $\limsup X_{n},$ जिसे बाहरी सीमा भी कहा जाता है, इसमें वे तत्व सम्मिलित होते हैं जो बिंदुओं $X_{n}$ की सीमा होते हैं, गणनीय अनंत से लिया गया|(गणनीय) अनंत अनेक $n.$ वह $x\in \limsup X_{n}$ है, यदि और केवल यदि बिंदुओं का कोई क्रम $(x_{k})$ और ए परिणाम को $(X_{n_{k}})$ का $(X_{n})$ उपस्थित है ऐसा है कि $x_{k}\in X_{n_{k}}$ और $\lim _{k\to \infty }x_{k}=x.$
• $\liminf X_{n},$ जिसे आंतरिक सीमा भी कहा जाता है, इसमें वे तत्व सम्मिलित होते हैं जो बिंदुओं की सीमा होते हैं $X_{n}$ निश्चित रूप से बहुतों को छोड़कर सभी के लिए $n$ (अर्थात, निश्चित रूप से अनेक $n$). वह है, $x\in \liminf X_{n}$ यदि और केवल यदि कोई उपस्थित है अनुक्रम अंकों का $(x_{k})$ जैसे कि $x_{k}\in X_{k}$ और $\lim _{k\to \infty }x_{k}=x.$ हैं।

सीमा $\lim X_{n}$ अस्तित्व में है यदि और केवल यदि $\liminf X_{n}$ और $\limsup X_{n}$ सहमत हूँ, किस स्थिति में $\lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.$ बाहरी और आंतरिक सीमाओं को सेट-सैद्धांतिक सीमा के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। सेट-सैद्धांतिक सीमाएं श्रेष्ठ और निम्न हैं, क्योंकि बाद वाले सेट अंतरिक्ष की टोपोलॉजिकल संरचना के प्रति संवेदनशील नहीं हैं।

विशेष स्थिति: असतत मीट्रिक

यह माप सिद्धांत और संभाव्यता में प्रयुक्त परिभाषा है। सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से आगे की चर्चा और उदाहरण, नीचे चर्चा किए गए टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण के विपरीत, सेट-सैद्धांतिक सीमा पर हैं।

इस परिभाषा के अनुसार, सेटों का अनुक्रम सीमित सेट के निकट पहुंचता है, जब सीमित सेट में ऐसे तत्व सम्मिलित होते हैं जो अनुक्रम के सीमित सेटों को छोड़कर सभी में होते हैं और इसमें ऐसे तत्व सम्मिलित नहीं होते हैं जो अनुक्रम के सेटों के सीमित कई सेटों को छोड़कर सभी में होते हैं। अर्थात्, यह स्थिति सामान्य परिभाषा को विशिष्ट बनाता है जब सेट एक्स पर टोपोलॉजी असतत मीट्रिक से प्रेरित होती है।

विशेष रूप से, बिंदु x, y ∈ X के लिए, असतत मीट्रिक को परिभाषित किया गया है

$d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}$

जिसके अंतर्गत बिंदुओं का क्रम (x_k) बिंदु x ∈ X पर अभिसरित होता है यदि और केवल यदि x_k = x सभी के लिए किन्तु सीमित रूप से अनेक k के लिए हैं। इसलिए, यदि सीमा सेट उपस्थित है तो इसमें बिंदु और केवल वे बिंदु सम्मिलित हैं जो अनुक्रम के कई सेटों को छोड़कर सभी में हैं। चूंकि असतत मीट्रिक में अभिसरण अभिसरण का सबसे सख्त रूप है (अर्थात्, इसकी सबसे अधिक आवश्यकता है), सीमा निर्धारित की यह परिभाषा सबसे सख्त संभव है।

यदि (X_n) X के उपसमुच्चय का क्रम है, तो निम्नलिखित हमेशा उपस्थित रहते हैं:

• lim sup X_n में X के तत्व सम्मिलित हैं जो अनंत रूप से कई n के लिए X_n से संबंधित हैं (गणनीय अनंत देखें)। अर्थात्, x ∈ lim sup X_n यदि और केवल यदि (X_n) का एक अनुवर्ती (X_nk) उपस्थित है जैसे कि सभी k के लिए x ∈ X_nk।
• lim inf X_n में X के तत्व सम्मिलित हैं जो कि सीमित रूप से कई n को छोड़कर सभी के लिए X_n से संबंधित हैं (अर्थात्, cofinitely कई n के लिए)। अर्थात्, x ∈ lim inf X_n यदि और केवल यदि कुछ m > 0 मौजूद है जैसे कि सभी n > m के लिए x ∈ X_n।

ध्यान दें कि x ∈ lim sup X_n यदि और केवल यदि x ∉ lim inf X_nc।

• lim X_n उपस्थित है यदि और केवल यदि lim inf X_n और lim sup X_n सहमत हैं, तो उस स्थिति में lim X_n = lim sup X_n = lim inf X_n।

इस अर्थ में, अनुक्रम की एक सीमा होती है जब तक कि X में प्रत्येक बिंदु या तो सीमित रूप से कई X_n को छोड़कर सभी में दिखाई देता है या अंतिम रूप से कई X_nc को छोड़कर सभी में दिखाई देता है।

सेट सिद्धांत की मानक भाषा का उपयोग करते हुए, सेट समावेशन एक्स के सभी सबसेट के संग्रह पर एक आंशिक क्रम प्रदान करता है जो सेट चौराहे को सबसे बड़ी निचली सीमा उत्पन्न करने और सेट यूनियन को कम से कम ऊपरी सीमा उत्पन्न करने की अनुमति देता है। इस प्रकार, उपसमुच्चय के संग्रह का इन्फ़िमम या मिलन सबसे बड़ी निचली सीमा है जबकि सर्वोच्च या जुड़ाव सबसे कम ऊपरी सीमा है। इस संदर्भ में, आंतरिक सीमा, lim inf X_n, अनुक्रम की पूंछों का सबसे बड़ा मिलन है, और बाहरी सीमा, lim sup X_n, अनुक्रम की पूंछों का सबसे छोटा जुड़ाव है। निम्नलिखित इसे त्रुटिहीन बनाता है।

• मान लीजिए कि I_n अनुक्रम की nवीं पूँछ का मिलन है। वह है,

${\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}$

क्रम (I_n) गैर-घटता नहीं है (अर्थात् I_n ⊆ I_n+1) क्योंकि प्रत्येक I_n+1 I से कम समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है_n. पूँछों के मिलने के इस क्रम में सबसे कम ऊपरी सीमा है

${\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}$

तो अधिकतम सीमा में सभी उपसमुच्चय सम्मिलित हैं जो अनुक्रम के सभी किन्तु सीमित रूप से कई सेटों के लिए निचली सीमाएं हैं।

• इसी प्रकार, मान लीजिए कि J_n अनुक्रम की nवीं पूँछ का जोड़ है। वह है,

${\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}$

क्रम (J_n) गैर-बढ़ती है (अर्थात् J_n ⊇ J_n+1) क्योंकि प्रत्येक J_n+1 J_n से कम समुच्चयों का मिलन हैं। पूँछों के जुड़ने के इस क्रम पर सबसे बड़ी निचली सीमा है

${\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}$

तो सीमा सर्वोच्च सभी उपसमुच्चयों में निहित है जो अनुक्रम के सभी किन्तु सीमित रूप से कई सेटों के लिए ऊपरी सीमाएं हैं।

उदाहरण

निम्नलिखित कई सेट अभिसरण उदाहरण हैं। सेट एक्स पर टोपोलॉजी को प्रेरित करने के लिए उपयोग की जाने वाली मीट्रिक के संबंध में उन्हें खंडों में तोड़ दिया गया है।

असतत मीट्रिक का उपयोग करना

• बोरेल-कैंटेली लेम्मा इन निर्माणों का उदाहरण अनुप्रयोग है।

असतत मीट्रिक या यूक्लिडियन मीट्रिक का उपयोग करना

• समुच्चय X = {0,1} और उपसमुच्चय के अनुक्रम पर विचार करें:

$(X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).$

इस अनुक्रम के विषम और सम तत्व दो अनुवर्ती ({0}, {0}, {0}, ...) और ({1}, {1}, {1}, ...) बनाते हैं, जो क्रमशः सीमा बिंदु 0 और 1 हैं, और इसलिए बाहरी या ऊपरी सीमा इन दो बिंदुओं का सेट {0,1} है। चूँकि, कोई सीमा बिंदु नहीं है जिसे (X_n) से लिया जा सके) समग्र रूप से अनुक्रम, और इसलिए आंतरिक या निचली सीमा खाली सेट है { }। वह है,

• lim sup X_n = {0,1}
• lim inf X_n = { }

चूँकि, (Y_n के लिए)) = ({0}, {0}, {0}, ...) और (Z_n) = ({1}, {1}, {1}, ...):

• • lim sup Y_n = lim inf Y_n = lim Y_n = {1}
  • lim sup Z_n = lim inf Z_n = lim Z_n = {0}

• समुच्चय X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} और उपसमुच्चय के अनुक्रम पर विचार करें:

$(X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).$

जैसा कि पिछले दो उदाहरणों में है,

• im sup X_n = {0,1}
• lim inf X_n = { }

अर्थात, जो चार तत्व प्रारूप से मेल नहीं खाते हैं, वे लिम इन्फ़ और लिम सुप को प्रभावित नहीं करते हैं क्योंकि उनमें से केवल सीमित संख्या में हैं। वास्तव में, इन तत्वों को क्रम में कहीं भी रखा जा सकता है। जब तक अनुक्रम की पूँछें बनी रहती हैं, बाहरी और भीतरी सीमाएँ अपरिवर्तित रहेंगी। आवश्यक आंतरिक और बाहरी सीमाओं की संबंधित अवधारणाएं, जो आवश्यक सर्वोच्च और आवश्यक अनंत का उपयोग करती हैं, महत्वपूर्ण संशोधन प्रदान करती हैं जो अनगिनत अंतरालीय परिवर्धन को कुचल देती है (केवल सीमित रूप से कई के अतिरिक्त)।

यूक्लिडियन मीट्रिक का उपयोग करना

• परिमेय संख्याओं के उपसमुच्चय के अनुक्रम पर विचार करें:

$(X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).$

इस अनुक्रम के विषम और सम तत्व दो अनुवर्ती ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) और ({1}, {1/2) }, {1/3}, {1/4}, ...) बनाते हैं, जिनकी सीमा बिंदु क्रमशः 1 और 0 हैं, और इसलिए बाहरी या ऊपरी सीमा इन दो बिंदुओं का सेट {0,1} है। चूँकि, कोई सीमा बिंदु नहीं है जिसे (X_n) से लिया जा सके) समग्र रूप से अनुक्रम, और इसलिए आंतरिक या निचली सीमा खाली सेट है { }। तो, पिछले उदाहरण की तरह,

• im sup X_n = {0,1}
• lim inf X_n = { }

चूँकि, (Y के लिए)_n) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) और (Z_n) = ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...):

• • lim sup Y_n = lim inf Y_n = lim Y_n = {1}
  • lim sup Z_n = lim inf Z_n = lim Z_n = {0}

इन चार स्थितियों में से प्रत्येक में, सीमित सेट के तत्व मूल अनुक्रम से किसी भी सेट के तत्व नहीं हैं।

• गतिशील प्रणाली के समाधान की Ω सीमा (अर्थात्, सीमा सेट) प्रणाली के समाधान प्रक्षेप पथ की बाहरी सीमा है। क्योंकि प्रक्षेप पथ इस सीमा सेट के और निकट आते जाते हैं, इन प्रक्षेप पथों की पूंछें सीमा निर्धारित में परिवर्तित हो जाती हैं।

• उदाहरण के लिए, एलटीआई प्रणाली, जो बिना अवमंदित दूसरे क्रम की एलटीआई प्रणाली (अर्थात्, शून्य अवमंदन अनुपात) के साथ कई स्थिरता सिद्धांत प्रणालियों का कैस्केड कनेक्शन है, परेशान होने के बाद अंतहीन रूप से दोलन (उदाहरण के लिए, आदर्श घंटी बजने के बाद) करेगी। इसलिए, यदि इस प्रणाली की स्थिति और वेग को एक-दूसरे के विरुद्ध प्लॉट किया जाता है, तो प्रक्षेप पथ राज्य स्थान (नियंत्रण) में सर्कल तक पहुंच जाएंगे। यह वृत्त, जो सिस्टम का Ω सीमा सेट है, सिस्टम के समाधान प्रक्षेप पथ की बाहरी सीमा है। वृत्त शुद्ध साइनसोइडल टोन आउटपुट के अनुरूप प्रक्षेपवक्र के स्थान का प्रतिनिधित्व करता है; अर्थात्, सिस्टम आउटपुट शुद्ध स्वर के निकट/अनुमानित होता है।

सामान्यीकृत परिभाषाएँ

उपरोक्त परिभाषाएँ कई तकनीकी अनुप्रयोगों के लिए अपर्याप्त हैं। वास्तव में, उपरोक्त परिभाषाएँ निम्नलिखित परिभाषाओं की विशेषज्ञता हैं।

सेट के लिए परिभाषा

समुच्चय X⊆ Y की निचली सीमा समुच्चय के सभी सीमा बिंदुओं का न्यूनतम है। वह है,

$\liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,$

इसी प्रकार, X की सीमा श्रेष्ठता समुच्चय के सभी सीमा बिंदुओं में सर्वोच्च है। वह है,

$\limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,$

ध्यान दें कि सेट इसके अलावा, यह पूर्ण जाली होनी चाहिए ताकि सुप्रीमा और इनफिमा हमेशा उपस्थित रहें। उस स्थिति में प्रत्येक सेट की सीमा श्रेष्ठ और सीमा निम्न होती है। यह भी ध्यान दें कि किसी समुच्चय की निचली सीमा और ऊपरी सीमा का समुच्चय के तत्व होना जरूरी नहीं है।

फ़िल्टर आधारों के लिए परिभाषा

See also: टोपोलॉजी में फ़िल्टर

उस स्थान में टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स और फ़िल्टर आधार बी लें। उस फ़िल्टर बेस के लिए सभी क्लस्टर बिंदुओं का सेट दिया गया है

$\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}$

जहाँ ${\overline {B}}_{0}$ का समापन (टोपोलॉजी) है $B_{0}$. यह स्पष्ट रूप से संवृत सेट है और सेट के सीमा बिंदुओं के सेट के समान है। मान लें कि X भी आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है। फ़िल्टर बेस बी की सीमा श्रेष्ठ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}$

जब वह सर्वोच्च अस्तित्व में है. जब X का कुल ऑर्डर होता है, पूर्ण जाली होती है और ऑर्डर टोपोलॉजी होती है,

$\limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.$

इसी प्रकार, फिल्टर बेस बी की निचली सीमा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}$

जब वह असीम अस्तित्व में हो; यदि X पूरी तरह से ऑर्डर किया गया है, पूर्ण जाली है, और उसके पास ऑर्डर टोपोलॉजी है, तो

$\liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.$

यदि सीमा अवर और सीमा श्रेष्ठ सहमत हैं, तो बिल्कुल क्लस्टर बिंदु होना चाहिए और फ़िल्टर आधार की सीमा इस अद्वितीय क्लस्टर बिंदु के बराबर है।

अनुक्रमों और जालों के लिए विशेषज्ञता

ध्यान दें कि फ़िल्टर आधार नेट (गणित) के सामान्यीकरण हैं, जो अनुक्रमों के सामान्यीकरण हैं। इसलिए, ये परिभाषाएँ किसी भी नेट (और इस प्रकार किसी भी अनुक्रम) की सीमा को निम्न और नेट (गणित) सीमा को श्रेष्ठ भी देती हैं। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस लें $X$ और जाल $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$, जहाँ $(A,{\leq })$ निर्देशित सेट और $x_{\alpha }\in X$ सभी के लिए $\alpha \in A$ है। इस नेट द्वारा उत्पन्न फिल्टर बेस (टेल्स का) है $B$ द्वारा परिभाषित

$B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,$

इसलिए, नेट की सीमा निम्न और सीमा श्रेष्ठ, सीमा श्रेष्ठ और सीमा निम्न के $B$ क्रमश बराबर हैं। इसी प्रकार, टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $X$, अनुक्रम ले लो $(x_{n})$ जहाँ $x_{n}\in X$ किसी के लिए $n\in \mathbb {N}$ हैं। इस अनुक्रम द्वारा उत्पन्न फिल्टर बेस (पूंछ का) है $C$ द्वारा परिभाषित

$C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,$

इसलिए, अनुक्रम की सीमा निम्न और सीमा श्रेष्ठ, सीमा श्रेष्ठ और सीमा निम्न $C$ के बराबर हैं।

यह भी देखें

• निम्नतम आवश्यक और उच्चतम आवश्यक
• लिफाफा (लहरें)
• एकतरफ़ा सीमा
• दीनी व्युत्पन्न
• सेट-सैद्धांतिक सीमा

संदर्भ

• Amann, H.; Escher, Joachim (2005). Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-7153-6.
• González, Mario O (1991). Classical complex analysis. New York: M. Dekker. ISBN 0-8247-8415-4.

बाहरी संबंध

• "Upper and lower limits", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]