नोथेर की प्रमेय

एमी नोथेर के लेख इनवेरिएंट वेरिएशन्सप्रोब्लेमे (1918) का पहला पृष्ठ, जहां उन्होंने अपनी प्रमेय को सिद्ध किया।

नोथेर की प्रमेय में कहा गया है कि संरक्षी बल के साथ भौतिक प्रणाली की क्रिया (भौतिकी) की भौतिकता में प्रत्येक भिन्न कार्य समरूपता के अनुरूप संरक्षण नियम का पालन करती है। इस प्रकार इस प्रमेय में गणितज्ञ एमी नोथेर द्वारा 1915 में सिद्ध किया गया था और इसे पुनः 1918 में प्रकाशित किया गया था। भौतिक प्रणाली की क्रिया लैग्रैजियन यांत्रिकी फलन का समय के अनुसार अभिन्न अंग है, जिससे इस प्रणाली के व्यवहार में कम से कम प्रतिक्रिया के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। इस प्रकार यह प्रमेय केवल भौतिक स्थान पर निरंतर और समतल समरूपता पर लागू होती है।

नोथेर के प्रमेय का उपयोग सैद्धांतिक भौतिकी और विविधताओं के विभिन्न कलनों में किया जाता है। यह भौतिक प्रणाली की समरूपता और संरक्षण नियमों के बीच मूलभूत संबंध को प्रकट करता है। इसने आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकविदों को भौतिक प्रणालियों की समरूपता पर अधिक ध्यान केंद्रित किया हैं। लाग्रंगियन और हैमिल्टन यांत्रिकी (क्रमशः 1788 और 1833 में विकसित की गई थी) में गति के स्थिरांक पर योगों का सामान्यीकरण, यह उन प्रणालियों पर लागू नहीं होता है जिन्हें केवल लाग्रंगियन के साथ प्रारूपित नहीं किया जा सकता है, जैसे उदाहरण के लिए, रेले अपव्यय फलन के साथ प्रणाली को प्रारूपित नहीं कर सकते हैं। इस प्रकार विशेष रूप से, निरंतर समरूपता वाले अपव्यय प्रणालियों के लिए संबंधित संरक्षण नियम की आवश्यकता नहीं होती है।

मूल चित्र और पृष्ठभूमि

एक दृष्टांत के रूप में, यदि कोई भौतिक तंत्र इस बात की सावधानी किए बिना समान व्यवहार करता है कि यह समतल में कैसे उन्मुख है (अर्थात, यह अपरिवर्तनीय (गणित) है), तो इसका लैग्रैन्जियन यांत्रिकी निरंतर घूर्णन के अनुसार सममित है: इस प्रकार इस समरूपता से, नोथेर की प्रमेय यह निर्धारित करती है कि कोणीय गति इसकी गति के नियमों के परिणामस्वरूप प्रणाली का संरक्षण किया जाना चाहिए। इस प्रकार भौतिक प्रणाली को स्वयं सममित होने की आवश्यकता नहीं है, समतल में लुढ़का दांतेदार क्षुद्रग्रह अपनी विषमता के अतिरिक्त कोणीय गति को संरक्षित करता है। इस प्रकार इसके लिए गति का नियम इसमें सममित हैं।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कोई भौतिक प्रक्रिया स्थान या समय की सावधानी किए बिना समान परिणाम प्रदर्शित करती है, तो इसका लैग्रेंजियन क्रमशः समतल और समय में निरंतर अनुवाद के अनुसार सममित है: नोथेर के प्रमेय द्वारा, ये समरूपता इस प्रणाली के भीतर संवेग और ऊर्जा के संरक्षण नियमों के लिए उत्तरदायी हैं।

नोथेर का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह अंतर्दृष्टि संरक्षण नियमों में देता है, और व्यावहारिक गणना उपकरण के रूप में भी होती हैं। यह जांचकर्ताओं को भौतिक प्रणाली की देखी गई समरूपता से संरक्षित मात्रा (इनवेरिएंट) निर्धारित करने की अनुमति देता है। इस प्रकार इसके विपरीत यह शोधकर्ताओं को भौतिक प्रणाली का वर्णन करने के लिए दिए गए आक्रमणकारियों के साथ काल्पनिक लाग्रंगियन के पूरे वर्गों पर विचार करने की अनुमति देता है। उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि भौतिक सिद्धांत प्रस्तावित है जो मात्रा X का संरक्षण करता है। इस प्रकार शोधकर्ता निरंतर समरूपता के माध्यम से X का संरक्षण करने वाले लाग्रंगियन के प्रकारों की गणना कर सकता है। इस प्रकार नोथेर के प्रमेय के कारण, इन लाग्रंगियन के गुण निहितार्थ को समझने और नए सिद्धांत की उपयुक्तता का न्याय करने के लिए और मानदंड प्रदान करते हैं। नोथेर का प्रमेय क्यूएफटी में इतनी अच्छी तरह से सम्मिलित किया गया है कि: इस प्रकार भौतिकी में बहुत समकालीन शोध के लिए इसे गणितीय प्रारूप के रूप में कार्य करने की अनुमति देता है।

सामान्यता की अलग-अलग डिग्री के साथ नोथेर के प्रमेय के कई संस्करण हैं। इस प्रकार वार्ड पहचान में व्यक्त इस प्रमेय के प्राकृतिक क्वांटम के समकक्ष हैं। उपस्थान के लिए नोथेर के प्रमेय का सामान्यीकरण भी सम्मिलित है।

प्रमेय का अनौपचारिक विवरण

सभी ठीक तकनीकी बिंदु तरफ, नोथेर के प्रमेय को अनौपचारिक रूप से कहा जा सकता है:

यदि एक प्रणाली में निरंतर समरूपता गुण है, तो ऐसी संगत मात्राएँ हैं जिनके मान समय में संरक्षित हैं।

क्षेत्रों से जुड़े प्रमेय का अधिक परिष्कृत संस्करण बताता है कि:

स्थानीय क्रियाओं द्वारा उत्पन्न प्रत्येक भिन्न समरूपता के लिए एक संरक्षित वर्तमान से मेल खाता है।

उपर्युक्त कथन में समरूपता शब्द उस रूप के सामान्य सहप्रसरण को अधिक सटीक रूप से संदर्भित करता है जो भौतिक नियम कुछ तकनीकी मानदंडों को पूरा करने वाले परिवर्तनों के आयामी असत्य समूह के संबंध में लेता है। भौतिक मात्रा के संरक्षण नियम को सामान्यतः निरंतरता समीकरण के रूप में व्यक्त किया जाता है।

प्रमेय का औपचारिक प्रमाण संरक्षित भौतिक मात्रा से जुड़े वर्तमान के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए अपरिवर्तनीयता की स्थिति का उपयोग करता है। आधुनिक समय में (1980 के बाद से) इस शब्दावली में, संरक्षित मात्रा को नोथेर आवेश कहा जाता है, जबकि उस आवेश को वहन करने वाले प्रवाह को नोथेर धारा कहा जाता है। नोथेर धारा को सोलेन्वायेडल (डाइवर्जेंसलेस) वेक्टर फील्ड तक परिभाषित किया गया है।

गुरुत्वाकर्षण के संदर्भ में, प्रतिक्रिया के लिए नोथेर के प्रमेय के फेलिक्स क्लेन के अनुसार आक्रमणकारियों के लिए निर्धारित करता हैं:

यदि एक अभिन्न रूप के कारण एक सतत समूह G_ρ के अनुसार ρ पैरामीटर के साथ अपरिवर्तनीय है, तो ρ लैगरैंगियन अभिव्यक्तियों के रैखिक रूप से स्वतंत्र संयोजन विचलन हैं।

संक्षिप्त चित्रण और अवधारणा का अवलोकन

समन्वय-वार समरूपता के लिए नोथेर के प्रमेय को दर्शाने वाला प्लॉट।

नोथेर के प्रमेय के पीछे मुख्य विचार समन्वय वाली प्रणाली द्वारा सबसे सरलता से $q$ को चित्रित किया गया है और सतत समरूपता $\varphi :q\mapsto q+\delta q$ (आरेख पर ग्रे तीर के अनुसार प्रदर्शित किया गया हैं। इस प्रकार किसी भी प्रक्षेपवक्र $q(t)$ पर विचार करें जो प्रणाली के यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है। अर्थात इस क्रिया में भौतिकी के अंतर्गत $S$ को इस प्रणाली को नियंत्रित करने तथा इस प्रक्षेप वक्र पर स्थिर बिंदु द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, अर्थात इस प्रकार प्रक्षेपवक्र की भिन्नताओं के किसी भी स्थानीय कलन के अनुसार परिवर्तित नहीं होता है। विशेष रूप से यह समरूपता प्रवाह लागू करने वाली भिन्नता के अनुसार $\varphi$ समय खंड पर [t₀, t₁] पर नहीं परिवर्तित होगा और उस खंड के बाहर ही गतिहीन अवस्था में रहता है। इस प्रकार प्रक्षेपवक्र को निरंतर बनाए रखने के लिए, हम छोटे समय की बफरिंग अवधियों $\tau$ का उपयोग करते हैं और इन खंडों के बीच धीरे-धीरे संक्रमण करने के लिए पाये जाते हैं।

इस प्रतिक्रिया में कुल परिवर्तन $S$ अब खेल में हर अंतराल द्वारा लाए गए परिवर्तन सम्मिलित हैं। इस प्रकार इस भाग में जहाँ भिन्नता स्वयं लुप्त हो जाती है, नहीं लाते $\Delta S$. मध्य भाग भी क्रिया को नहीं परिवर्तित करता हैं, क्योंकि उसका परिवर्तन होता है जिसका समरूपता $\varphi$ है और इस प्रकार लाग्रंगियन $L$ को संरक्षित करता है और इस प्रतिक्रिया ${\textstyle S=\int L}$ के शेष भाग में बफ़रिंग के टुकड़े पाये जाते हैं। इस प्रकार मुख्य रूप से ये अधिकतर अपनी प्रवणता ${\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau$ के माध्यम से योगदान देते हैं।

यह लाग्रंगियन $\Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}$ को परिवर्तित कर देता है, जो इसे एकीकृत करता है-

$$\Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .$$

इन अंतिम शब्दों का मूल्यांकन समापन बिंदुओं $t_{0}$ और $t_{1}$ के आसपास किया जाता है, इस प्रकार इस प्रतिक्रिया में कुल परिवर्तन करने के लिए दूसरे को निरस्त करना चाहिए जिसके लिए $\Delta S$ का मान शून्य रहता हैं, जैसा कि अपेक्षित होगा यदि प्रक्षेपवक्र अर्थ है। इस कारण-

$$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),$$

इसके लिए यह मात्रा $\left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi$ संरक्षित रहती है, जो नोथेर की प्रमेय का निष्कर्ष है। उदाहरण के लिए यदि शुद्ध अनुवाद $q$ स्थिरांक समरूपता है, तो संरक्षित मात्रा $\left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)=p$, विहित गति का मान प्राप्त किया जाता है।

अधिक सामान्य स्थिति ही विचार का पालन करते हैं:

• जब अधिक निर्देशांक $q_{r}$ एक समरूपता परिवर्तन से गुजरते हैं तब $q_{r}\mapsto q_{r}+\varphi _{r}$, उनके प्रभाव रैखिकता से एक संरक्षित मात्रा ${\textstyle \sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right)\varphi _{r}}$ में जुड़ते हैं।
• जब समय परिवर्तन होते हैं $t\mapsto t+T$, वे "बफरिंग" सेगमेंट को निम्नलिखित दो शर्तों में योगदान करने का कारण बनते हैं $\Delta S$:
  $$\Delta S\approx \pm \left(TL+\int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}\Delta {\dot {q}}_{r}\right)\approx \pm T\left(L-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}\right),$$
  पहला शब्द "बफरिंग" खंड (जो एकीकरण के डोमेन के आकार को बदलता है) के लौकिक आयाम में खिंचाव के कारण होता है, और दूसरा इसके "तिरछे" होने के कारण होता है, जैसा कि अनुकरणीय मामले में होता है। साथ में वे इसका योग संयोजित करते हैं जिसके लिए संरक्षित मात्रा के लिए ${\textstyle T\left(L-\sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right){\dot {q}}_{r}\right)}$ मान देते हैं।
• अंत में, जब एक प्रक्षेपवक्र के अतिरिक्त $q(t)$ पूरे क्षेत्र $\psi (q_{r},t)$ माना जाता है, इस प्रकार यह तर्क परिवर्तित हो जाता है,
  • अंतराल $[t_{0},t_{1}]$ एक सीमाबद्ध क्षेत्र के साथ $U$ के लिए $(q_{r},t)$-कार्यक्षेत्र,
  • जिसका अंतिम बिंदु $t_{0}$ और $t_{1}$ सीमा के साथ $\partial U$ के क्षेत्र में निहित रहता हैं,
  • और इसका योगदान $\Delta S$ संरक्षित धारा के प्रवाह के रूप में व्याख्या की जाती है $j_{r}$, जो एक प्रकार से संरक्षित मात्रा की पूर्व परिभाषा के अनुरूप बनाया गया है।
  अब, "बफरिंग" का शून्य योगदान $\partial U$ to $\Delta S$ धारा के कुल प्रवाह के लुप्त होने के रूप में व्याख्या की जाती है $j_{r}$ इसके साथ $\partial U$ धारा के कुल प्रवाह के लुप्त होने के रूप में व्याख्या की जाती है।

ऐतिहासिक संदर्भ

Main articles: गति का निरंतर, संरक्षण नियम, and संरक्षित धारा

यह संरक्षण नियम कहता है कि किसी प्रणाली के विकास के गणितीय विवरण में कुछ मात्रा X इसकी गति के समय स्थिर रहती है - इस प्रकार यह अपरिवर्तनीय भौतिकी को प्रदर्शित करता है। इसके गणितीय रूप से, X के परिवर्तन की दर (समय के संबंध में इसका व्युत्पन्न) शून्य है,

${\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.$

ऐसी मात्राओं को संरक्षित कहा जाता है, इसे अधिकांशतः गति का स्थिरांक कहा जाता है, चूंकि गति को स्वयं में सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है, केवल समय में विकास के अनुसार किया जाता हैं। उदाहरण के लिए, यदि प्रणाली की ऊर्जा संरक्षित है, तो इसकी ऊर्जा हर समय अपरिवर्तनीय होती है, जो प्रणाली की गति पर बाधा डालती है और इसके मान को निकालने में सहायता करता है। इस प्रकार अंतर्दृष्टि के अतिरिक्त गति के ऐसे स्थिरांक प्रणाली की प्रकृति में देते हैं, इस प्रकार ये उपयोगी गणनात्मक उपकरण हैं, उदाहरण के लिए, उपयुक्त संरक्षण नियमों को संतुष्ट करने वाले निकटतम स्थिति को ढूंढकर अनुमानित मान को सही किया जा सकता है।

इस प्रकार खोजे गए गति के प्रारंभिक स्थिरांक संवेग और गतिज ऊर्जा थे, जो 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस और गॉटफ्रीड लीबनिज द्वारा संघट्ट प्रयोगों के आधार पर प्रस्तावित किए गए थे, और इसके पश्चात शोधकर्ताओं द्वारा इसे परिष्कृत किया गया थे। आइजैक न्यूटन अपने आधुनिक रूप में संवेग के संरक्षण को प्रतिपादित करने वाले पहले व्यक्ति थे, और उन्होंने दिखाया कि यह न्यूटन के गति के नियमों का परिणाम था। न्यूटन का तीसरा नियम कहता हैं कि सामान्य सापेक्षता के अनुसार, रैखिक संवेग, ऊर्जा और कोणीय संवेग के संरक्षण नियम विश्व स्तर पर केवल तभी सही होते हैं जब तनाव-ऊर्जा टेंसर (गैर-गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा) और तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेंसर के योग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। इस प्रकार लन्दौ लिफ़्शिट्ज के तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर (गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा) के अनुसार मुक्त अवस्था में गिरने वाले संदर्भ फ्रेम में गैर-गुरुत्वाकर्षण रैखिक गति और ऊर्जा का स्थानीय संरक्षण तनाव-ऊर्जा टेंसर के सहसंयोजक विचलन के लुप्त होने से व्यक्त होता है। खगोलीय पिंडों के आकाशीय यांत्रिकी के अध्ययन में खोजी गई अन्य महत्वपूर्ण संरक्षित मात्रा, लाप्लास-रेंज-लेनज़ वेक्टर के समान है।

18वीं सदी के अंत और 19वीं सदी के प्रारंभ में, भौतिकविदों ने आक्रमणकारियों की खोज के लिए अधिक व्यवस्थित तरीके विकसित किया गया हैं। 1788 में लाग्रंगियन यांत्रिकी के विकास के साथ बड़ी प्रगति हुई, जो कम से कम प्रतिक्रिया के सिद्धांत से संबंधित है। इस दृष्टिकोण में, प्रणाली की स्थिति को किसी भी प्रकार के सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' द्वारा वर्णित किया जा सकता है, गति के नियमों को कार्तीय समन्वय प्रणाली में व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि न्यूटोनियन यांत्रिकी में प्रथागत था। इस भौतिक क्रिया को फलन के समय अभिन्न रूप में परिभाषित किया गया है जिसे लाग्रंगियन यांत्रिकी L के रूप में जाना जाता है

$I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,$

जहाँ q पर डॉट निर्देशांक q के परिवर्तन की दर को दर्शाता है,

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.$

हैमिल्टन के सिद्धांत में कहा गया है कि भौतिक पथ q(t) - जो वास्तव में प्रणाली द्वारा लिया गया है - ऐसा मार्ग है जिसके लिए उस पथ में अत्यल्प भिन्नता के कारण I में कोई परिवर्तन नहीं होता है, कम से कम पहले क्रम तक इस सिद्धांत का परिणाम यूलर-लैग्रेंज समीकरणों में होता है,

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.$

इस प्रकार, यदि कोई निर्देशांक है, तो q_k का मान लाग्रंगियन में प्रकट नहीं होता है, इस प्रकार समीकरण का दायें पक्ष शून्य है, और बाएँ पक्ष के लिए आवश्यक है कि

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,$

जहां गति

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$

गति के समय (भौतिक पथ पर) संरक्षित है।

इस प्रकार, इस समन्वय q_k की अनुपस्थिति लैगरैंगियन से तात्पर्य है कि लाग्रंगियन q_k के परिवर्तनों या परिवर्तनों से अप्रभावित है, यहाँ पर लाग्रंगियन मान अपरिवर्तनीय है, और इस प्रकार के परिवर्तनों के अनुसार भौतिकी में समरूपता प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है। इस प्रकार यह नोथेर के प्रमेय में सामान्यीकृत बीज विचार है।

उन्नीसवीं शताब्दी में संरक्षित मात्राओं को खोजने के लिए विशेष रूप से विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा कई वैकल्पिक तरीकों का विकास किया गया था। उदाहरण के लिए उन्होंने विहित परिवर्तनों के सिद्धांत को विकसित किया हैं, जिसने निर्देशांक को परिवर्तित करने की अनुमति दी थी, जिससे कि ऊपर के रूप में लैग्रैंगियन से कुछ निर्देशांक विलुप्त हो जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप यह कैनोनिकल संवेग संरक्षित रहता हैं। अन्य दृष्टिकोण, और संभवतः संरक्षित मात्रा खोजने के लिए सबसे कुशल हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण द्वारा प्रकट किया जाता है।

गणितीय अभिव्यक्ति

See also: त्रुटि सिद्धांत

त्रुटि का उपयोग करके सरल रूप

नोथेर के प्रमेय का सार अज्ञानतापूर्ण निर्देशांकों की धारणा का सामान्यीकरण करना है।

कोई यह मान सकता है कि ऊपर परिभाषित लाग्रंगियन L समय चर t और सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' के छोटे क्षोभ के अनुसार अपरिवर्तनीय है। इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं-

${\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}$

जहां क्षोभ δt और δ'q' दोनों छोटे हैं, किन्तु परिवर्तनशील हैं। इस प्रकार इसकी व्यापकता के लिए, मान लें कि (कहते हैं) क्रिया के ऐसे समरूपता परिवर्तन हैं, अर्थात क्रिया को अपरिवर्तित छोड़ते हुए परिवर्तन, इंडेक्स r = 1, 2, 3, ..., N द्वारा लेबल किया गया हैं।

तब परिणामी क्षोभ को अलग-अलग प्रकार के क्षोभों के रैखिक योग के रूप में लिखा जा सकता है,

${\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}$

जहां e_r प्रत्येक के अनुरूप बहुत छोता पैरामीटर गुणांक हैं:

• असत्य समूह एक्सपोनेंशियल मैप t_rसमय के विकास की, और
• लेट समूह एक्सपोनेंशियल मैप q_r सामान्यीकृत निर्देशांक किया हैं।

अनुवाद के लिए, q_r लंबाई की इकाइयों के साथ स्थिरांक है, इस प्रकार घुमाव के लिए, यह q के घटकों में रैखिक अभिव्यक्ति है, और पैरामीटर कोण बनाते हैं।

इन परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, एमी नोथेर ने दिखाया कि N मात्राएँ इस प्रकार हैं-

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}$

गति के स्थिर होने पर यह मान इस प्रकार संरक्षित रहता हैं।

उदाहरण

I. समय निश्चरता

उदाहरण के लिए, लाग्रंगियन पर विचार करें जो समय पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात निर्देशांक q में किसी भी परिवर्तन के बिना परिवर्तन 't → t + δt के अनुसार अपरिवर्तनीय सममित रहता है। इस प्रकार इस स्थिति में, N = 1, T = 1 और Q = 0, संबंधित संरक्षित मात्रा कुल ऊर्जा H है

$H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.$

द्वितीय अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम के अनुसार लाग्रंगियन पर विचार करें जो (उपरोक्त के रूप में अनदेखा) पर निर्भर नहीं करता है, इस प्रकार 'q_k' समन्वित रहता है, इसलिए यह परिवर्तन q_k → q_k + q_k के अनुसार अपरिवर्तनीय (सममित) है। इस स्थिति में, n = 1, t = 0, और q_k= 1, संरक्षित मात्रा संगत रैखिक संवेग p_k है।

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.$

विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता में इन दो संरक्षण नियमों को विश्व स्तर पर (जैसा कि ऊपर किया गया है), या स्थानीय रूप से निरंतरता समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वैश्विक संस्करणों को वैश्विक संरक्षण नियम में ऊर्जा-संवेग 4-वेक्टर का संरक्षण एकजुट किया जा सकता है। इस प्रकार ऊर्जा और संवेग संरक्षण के स्थानीय संस्करण (समतल-समय में किसी भी बिंदु पर) को भी जोड़ा जा सकता है, समतल-समय बिंदु पर स्थानीय रूप से परिभाषित मात्रा के संरक्षण में: तनाव-ऊर्जा टेंसर अगले भाग में प्राप्त किया जाता हैं।

तृतीय घूर्णी व्युत्क्रमण

कोणीय संवेग L = r × p का संरक्षण इसके रैखिक संवेग समकक्ष के अनुरूप है। इस प्रकार यह माना जाता है कि लाग्रंगियन की समरूपता घूर्णी है, अर्थात लाग्रंगियन समतल में भौतिक प्रणाली के पूर्ण अभिविन्यास पर निर्भर नहीं करता है। संक्षिप्तता के लिए, मान लें कि अक्ष 'n' के बारे में δθ कोण के छोटे घुमावों के अनुसार लाग्रंगियन नहीं बदलता है, ऐसा घुमाव समीकरण द्वारा कार्तीय समन्वय प्रणाली को परिवर्तित कर देता है।

$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .$

चूँकि समय परिवर्तित नहीं हो रहा है, इस कारण T = 0, और N = 1. δθ को ε पैरामीटर के रूप में लेना और कार्टेशियन 'r' को सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' के रूप में निर्देशित करता है, इस प्रकार संबंधित 'Q' चर द्वारा दिया जाता है

$\mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .$

फिर नोथेर के प्रमेय में कहा गया है कि निम्न मात्रा संरक्षित है,

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .$

दूसरे शब्दों में, n अक्ष के अनुदिश कोणीय संवेग L का घटक संरक्षित रहता है, और इस प्रकार यदि n चर अवस्था में हैं, अर्थात यदि तंत्र किसी भी घूर्णन के प्रति असंवेदनशील है, तो L का प्रत्येक घटक संरक्षित है, संक्षेप में, कोणीय गति संरक्षित है।

क्षेत्र सिद्धांत संस्करण

चूंकि यह अपने आप में उपयोगी है, नोथेर के प्रमेय का अभी दिया गया संस्करण 1915 में प्राप्त सामान्य संस्करण की विशेष स्थिति है। सामान्य प्रमेय का मान देने के लिए, चार-आयामी समतल-समय में निरंतर क्षेत्रों के लिए नोथेर के प्रमेय का संस्करण अब दिया गया है। चूंकि यांत्रिकी समस्याओं की तुलना में क्षेत्र सिद्धांत की समस्याएं आधुनिक भौतिकी में अधिक सरल हैं, इस प्रकार यह क्षेत्र सिद्धांत संस्करण नोथेर के प्रमेय का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला या अधिकांशतः लागू किया गया संस्करण है।

अलग-अलग क्षेत्र (भौतिकी) का समूह $\varphi$ होने दें इस प्रकार सभी स्थानों और समय पर इसे परिभाषित किया गया हैं। इस प्रकार उदाहरण के लिए, तापमान $T(\mathbf {x} ,t)$ प्रत्येक स्थान और समय पर परिभाषित संख्या होने के अनुसार ऐसे क्षेत्र का प्रतिनिधि मान होगा। इस प्रकार कम से कम प्रतिक्रिया का सिद्धांत ऐसे क्षेत्रों पर लागू किया जाता हैं, किन्तु प्रतिक्रिया अब समतल और समय पर अभिन्न अंग है।

${\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x$

(प्रमेय को आगे उस स्थिति में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां लाग्रंगियन n^th तक निर्भर करता है, इस व्युत्पन्न प्रकार और जेट बंडल का उपयोग करके भी तैयार किया जा सकता है)।

क्षेत्रों का सतत परिवर्तन $\varphi$ के रूप में असीम रूप से लिखा जा सकता है

$\varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,$

जहाँ $\Psi$ सामान्य रूप से ऐसा कार्य है जो दोनों $x^{\mu }$ और $\varphi$ पर निर्भर हो सकता है, इस शर्त के अनुसार $\Psi$ भौतिक समरूपता उत्पन्न करने के लिए ${\mathcal {S}}$ वह क्रिया है जिसके लिए अपरिवर्तनीयता को छोड़ दिया गया है। यह निश्चित रूप से सही होगा यदि लाग्रंगियन घनत्व ${\mathcal {L}}$ अपरिवर्तित छोड़ दिया गया है, किन्तु यह भी सच होगा यदि लैग्रैन्जियन विचलन से परिवर्तित होता हैं,

${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },$

चूँकि डायवर्जेंस का इंटीग्रल डायवर्जेंस प्रमेय के अनुसार सीमा शब्द बन जाता है। इस प्रकार किसी दिए गए क्रिया द्वारा वर्णित प्रणाली में इस प्रकार के कई स्वतंत्र समरूपताएं हो सकती हैं, जिन्हें अनुक्रमित किया गया है $r=1,2,\ldots ,N,$ इसलिए सबसे सामान्य समरूपता परिवर्तन को इस रूप में लिखा जाता हैं।

$\varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},$

इस परिणाम के अनुसार

${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.$

ऐसी प्रणालियों के लिए, नोथेर के प्रमेय में कहा गया है कि $N$ संरक्षित हैं और इस संरक्षित वर्तमान के अनुसार-

$j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}$

(जहां डॉट उत्पाद को फील्ड इंडेक्स को अनुबंधित करने के लिए समझा जाता है, इस प्रकार $\nu$ सूचकांक या $r$ अनुक्रमणिका हैं)।

ऐसी स्थितियों में, संरक्षण नियम को चार आयामी तरीके से व्यक्त किया जाता है।

$\partial _{\nu }j^{\nu }=0,$

जो इस विचार को व्यक्त करता है कि गोले के भीतर संरक्षित मात्रा की मात्रा तब तक परवर्तित नहीं कर सकती है जब तक कि इसका कुछ भागों के लिए गोले से बाहर न निकल जाए। उदाहरण के लिए, विद्युत आवेश संरक्षित होता है, गोले के भीतर आवेश की मात्रा तब तक नहीं परिवर्तित कर सकती है इस प्रकार जब तक कि कुछ आवेश गोले को छोड़ न दिया जाए इस बात का ध्यान रखना चाहिए।

उदाहरण के लिए, क्षेत्र की भौतिक प्रणाली पर विचार करें जो समय और स्थान में अनुवाद के अनुसार समान व्यवहार करती है, जैसा कि ऊपर माना गया है, दूसरे शब्दों में, $L\left({\boldsymbol {\varphi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\varphi }},x^{\mu }\right)$ अपने तीसरे तर्क में स्थिर है। उस स्थिति में, N = 4, स्थान और समय के प्रत्येक आयाम के लिए किसी समतल में अपरिमेय अनुवाद, $x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }$ (जिसके साथ $\delta$ क्रोनकर डेल्टा को निरूपित करते हैं), यह क्षेत्रों को प्रभावित करता है $\varphi (x^{\mu })\mapsto \varphi \left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)$: अर्थात इन निर्देशांक को फिर से लेबल करना, क्षेत्र का अनुवाद करते समय निर्देशांक को जगह पर छोड़ने के बराबर है, जो बदले में प्रत्येक बिंदु पर इसके मान को परिवर्तित कर इस क्षेत्र को परिवर्तित करने के बराबर है। इस कारण $x^{\mu }$ बिंदु पर मूल्य के साथ $x^{\mu }-\varepsilon X^{\mu }$ इसके पीछे जिस पर मैप किया जाएगा $x^{\mu }$ विचाराधीन अत्यल्प विस्थापन द्वारा किया जाता हैं। चूँकि यह अतिसूक्ष्म है, हम इस परिवर्तन को इस रूप में लिख सकते हैं

$\Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\varphi .$

लाग्रंगियन घनत्व उसी प्रकार परिवर्तित करता है, ${\mathcal {L}}\left(x^{\mu }\right)\mapsto {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)$, इसलिए

$\Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}$

और इस प्रकार नोथेर की प्रमेय में तनाव-ऊर्जा टेन्सर t_μ^ν के संरक्षण नियम के अनुरूप है, जहां हमने $\mu$ के स्थान पर $r$ को उपयोग किया जाता है, इस प्रकार पहले दी गई अभिव्यक्ति का उपयोग करके, और चार संरक्षित धाराओं (प्रत्येक के लिए $\mu$) टेंसर में $T$, नोथेर का प्रमेय देता है।

$T_{\mu }{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}$

इसके साथ

$T_{\mu }{}^{\nu }{}_{,\nu }=0$

(हमने पुनः लेबल किया $\mu$ जैसा $\sigma$ संघर्ष से बचने के लिए मध्यवर्ती चरण पर किया जाता हैं)। (चूंकि $T$ इस प्रकार प्राप्त किया गया सामान्य सापेक्षता में स्रोत शब्द के रूप में प्रयुक्त सममित टेन्सर से भिन्न हो सकता है, तनाव-ऊर्जा टेंसर कैनोनिकल तनाव देखें। इस प्रकार E2.80.93एनर्जी टेंसर या कैनोनिकल तनाव ऊर्जा टेंसर को देंखे।)

विद्युत आवेश का संरक्षण, इसके विपरीत, डेरिवेटिव के अतिरिक्त क्षेत्र φ में Ψ रैखिक पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है। क्वांटम यांत्रिकी में, बिंदु 'x' पर कण को ​​​​खोजने की संभावना आयाम ψ('x') जटिल क्षेत्र φ है, क्योंकि यह समतल और समय में प्रत्येक बिंदु के लिए जटिल संख्या का वर्णन करता है। इस प्रकार प्रायिकता का आयाम स्वयं शारीरिक रूप से अमापीय है, केवल प्रायिकता पी = |ψ|^{माप के समूह से 2} का अनुमान लगाया जा सकता है। इसलिए, प्रणाली ψ क्षेत्र और इसके जटिल संयुग्म क्षेत्र ψ के परिवर्तनों के अनुसार अपरिवर्तनीय है,^* जिसके लिए |ψ|² अपरिवर्तित छोड़ देता हैं, जैसे

$\psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,$

एक जटिल घुमाव के लिए इस सीमा में जब चरण θ अधिकांशतः छोटा हो जाता है, तब δθ इसे पैरामीटर ε के रूप में लिया जा सकता है, जबकि Ψ क्रमशः iψ और -iψ* के बराबर हैं। विशिष्ट उदाहरण क्लेन-गॉर्डन समीकरण है, स्पिन (भौतिकी) कणों के लिए श्रोडिंगर समीकरण का विशेष सापेक्षता संस्करण, जिसमें लैग्रैंगियन घनत्व है

$L=\partial _{\nu }\psi \partial _{\mu }\psi ^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.$

इस स्थिति में, नोथेर के प्रमेय में कहा गया है कि संरक्षित (∂ ⋅ j = 0) वर्तमान बराबर है

$j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,$

जिसे, उस प्रकार के कण पर आवेश से गुणा करने पर, उस प्रकार के कण के कारण विद्युत धारा घनत्व के बराबर हो जाता है। इस प्रकार यह गेज इनवेरियन सबसे पहले हरमन वेइल द्वारा नोट किया गया था, और यह भौतिकी के प्रोटोटाइप गेज समरूपता में से है।

व्युत्पत्ति

एक स्वतंत्र चर

सबसे सरल स्थिति पर विचार करें, इस प्रकार इस प्रणाली में जिसमें स्वतंत्र चर समय है। मान लीजिए आश्रित चर q इस प्रकार हैं कि यह क्रिया अभिन्न है-

$$I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt$$

निर्भर चरों में संक्षिप्त अतिसूक्ष्म विविधताओं के अनुसार अपरिवर्तनीय है। दूसरे शब्दों में वे यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को संतुष्ट करते हैं-

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].$

और मान लीजिए कि निरंतर समरूपता के अनुसार अभिन्न अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार गणितीय रूप से ऐसी समरूपता को प्रवाह (गणित) के रूप में दर्शाया जाता है, φ जो निम्न प्रकार से चरों पर कार्य करता है

${\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}$

जहां ε वास्तविक चर है जो प्रवाह की मात्रा को दर्शाता है, और T वास्तविक स्थिरांक है (जो शून्य हो सकता है) यह दर्शाता है कि यह प्रवाह कितने समय पर परिवर्तित रहता हैं।

${\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].$

यह क्रिया अभिन्न रूप से प्रवाहित होती है

${\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}$

जिसे ε के कार्य के रूप में माना जा सकता है। ε' = 0 पर अवकलज की गणना करने पर और लाइबनिज के नियम (डेरिवेटिव और इंटीग्रल) या लीबनिज के नियम का उपयोग करके हम प्राप्त कर सकते हैं-

${\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}$

ध्यान दें कि यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का अर्थ है

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}$

इसे पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, प्राप्त होता है

${\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}$

फिर से यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.$

इसे पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, प्राप्त होता है

${\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}$

जिससे यह देखा जा सकता है

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}$

गति का स्थिरांक है, अर्थात यह संरक्षित मात्रा है। चूँकि φ[q, 0] = q, हम पाते हैं ${\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1$ और इसलिए संरक्षित मात्रा सरल हो जाती है

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.$

सूत्रों की अत्यधिक जटिलता से बचने के लिए, इस व्युत्पत्ति ने माना कि समय बीतने के साथ प्रवाह परिवर्तित नहीं होता है। अधिक सामान्य स्थिति में ही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

क्षेत्र-सैद्धांतिक व्युत्पत्ति

टेन्सर क्षेत्रों φ^A के लिए नोथेर प्रमेय भी व्युत्पन्न किया जा सकता है, जहां अनुक्रमणिका A विभिन्न टेन्सर क्षेत्र के विभिन्न घटकों पर होती है। ये क्षेत्र मात्राएँ चार-आयामी स्थान पर परिभाषित कार्य हैं जिनके बिंदुओं को निर्देशांक x^μ द्वारा लेबल किया जाता है, इस प्रकार जहां सूचकांक μ समय के साथ (μ = 0) और तीन स्थानिक आयाम (μ = 1, 2, 3) होता है। ये चार निर्देशांक स्वतंत्र चर हैं, और प्रत्येक घटना में फ़ील्ड्स के मान निर्भर चर हैं। अतिसूक्ष्म परिवर्तन के अनुसार, निर्देशांक में भिन्नता लिखी जाती है

$x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }$

जबकि क्षेत्र चर के परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया गया है

$\varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.$

इस परिभाषा के अनुसार, क्षेत्र भिन्नताएं δφ^A दो कारकों से परिणाम: क्षेत्र में आंतरिक परिवर्तन और निर्देशांक में परिवर्तन, रूपांतरित क्षेत्र α^A के बाद से रूपांतरित निर्देशांक ξ^μ पर निर्भर करता है। इस प्रकार आंतरिक परिवर्तनों को अलग करने के लिए, बिंदु x पर क्षेत्र भिन्नता^μ परिभाषित किया जा सकता है

$\alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.$

यदि निर्देशांक बदल दिए जाते हैं, तो समतल-समय के क्षेत्र की सीमा भी परिवर्तित की जाती है, जिस पर लग्रांगियन को एकीकृत किया जा रहा है, इस प्रकार इस मूल सीमा और इसके रूपांतरित संस्करण को क्रमशः Ω और Ω' के रूप में दर्शाया जाता है।

नोथेर का प्रमेय इस धारणा से प्रारंभ होता है कि निर्देशांक और क्षेत्र चर का विशिष्ट परिवर्तन क्रिया (भौतिकी) को परिवर्तित नहीं करता हैं, जिसे स्पेसटाइम के दिए गए क्षेत्र पर लैग्रैंगियन घनत्व के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार गणितीय रूप से व्यक्त, इस धारणा को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0$

जहां कॉमा सबस्क्रिप्ट अल्पविराम के पश्चात आने वाले निर्देशांक (ओं) के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को इंगित करता है, उदाहरण के लिए-

${\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.$

चूंकि ξ एकीकरण का डमी चर है, और इस प्रकार चूंकि सीमा Ω में परिवर्तन धारणा से असीम है, इसलिए दो इंटीग्रल को विचलन प्रमेय के चार-आयामी संस्करण का उपयोग करके निम्नलिखित रूप में जोड़ा जा सकता है

$\int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.$

लाग्रंगियन के अंतर को पहले-क्रम में अत्यल्प विविधताओं में लिखा जा सकता है

$\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.$

चूंकि, क्योंकि भिन्नताएँ उसी बिंदु पर परिभाषित की गई हैं जैसा कि ऊपर वर्णित है, भिन्नता और व्युत्पन्न को विपरीत क्रम में किया जा सकता है, वे क्रमविनिमेयता

${\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.$

यूलर-लैग्रेंज क्षेत्र समीकरणों का उपयोग करना

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}$

लाग्रंगियन में अंतर को बड़े करीने से लिखा जा सकता है

${\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}$

इस प्रकार, क्रिया में परिवर्तन को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.$

चूँकि यह किसी भी क्षेत्र Ω के लिए लागू होता है, समाकलन शून्य होना चाहिए

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.$

भौतिकी परिवर्तनों में विभिन्न समरूपता के किसी भी संयोजन के लिए त्रुटि लिखी जा सकती है

${\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}$

जहाँ ${\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}$ φ^A X^mu में दिशा का असत्य व्युत्पन्न है । जब F^A अदिश या है ${X^{\mu }}_{,\nu }=0$,

${\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.$

इन समीकरणों का अर्थ है कि बिंदु पर लिया गया क्षेत्र परिवर्तन बराबर होता है

${\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.$

उपरोक्त विचलन को ε के संबंध में ε = 0 पर अलग करना और चिह्न परिवर्तित करने से संरक्षण नियम प्राप्त होता है

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0$

जहां संरक्षित धारा बराबर होती है

$j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.$

कई गुना/फाइबर बंडल व्युत्पत्ति

मान लें कि हमारे पास एन-डायमेंशनल ओरिएंटेड रीमैनियन कई गुना , एम और टारगेट मैनिफोल्ड टी है। इस प्रकार ${\mathcal {C}}$ M से T तक सुचारू कार्यों का विन्यास स्थान (भौतिकी) मे किया जाता हैं। इस प्रकार इससे अधिक हम M पर फाइबर बंडल के समतल खंड तक रख सकते हैं।)

भौतिकी में इस एम के उदाहरणों में सम्मिलित किया जाता हैं:

• मौलिक यांत्रिकी में, हैमिल्टनियन यांत्रिकी सूत्रीकरण में, m आयामी $\mathbb {R}$ से कई गुना है, इस कारण समय और लक्ष्य स्थान का प्रतिनिधित्व करना सामान्यीकृत स्थितियों के स्थान का स्पर्शरेखा बंडल है।
• फील्ड (भौतिकी) में, m समतल समय मैनिफोल्ड है और टारगेट स्पेस उन मूल्यों का समूह है जो क्षेत्र किसी भी बिंदु पर ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एम वास्तविक संख्या-मूल्यवान अदिश क्षेत्र हैं, $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$, तो लक्ष्य $\mathbb {R} ^{m}$ कई गुना है, यदि क्षेत्र वास्तविक वेक्टर क्षेत्र है, तो लक्ष्य मैनिफोल्ड समरूपी $\mathbb {R} ^{3}$ है।

अब मान लीजिए कि कार्यात्मक (गणित) है

${\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,$

इसे भौतिक क्रिया कहा जाता है। (यह $\mathbb {R}$ के मान को लेता है, इसके अतिरिक्त $\mathbb {C}$ भौतिक कारणों से है, और इस प्रमाण के लिए महत्वहीन है।)

नोथेर के प्रमेय के सामान्य संस्करण को प्राप्त करने के लिए, हमें क्रिया (भौतिकी) पर अतिरिक्त प्रतिबंधों की आवश्यकता है। इस प्रकार हम यह मानते है कि ${\mathcal {S}}[\varphi ]$ फलन के एम पर अभिन्न अंग है

${\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)$

लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है, जो φ, इसके व्युत्पन्न और स्थिति पर निर्भर करता है। दूसरे शब्दों में, φ के लिए में ${\mathcal {C}}$

${\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.$

मान लीजिए कि हमें सीमा की स्थिति दी गई है, अर्थात, सीमा (टोपोलॉजी) पर φ के मान का विनिर्देश यदि एम कॉम्पैक्ट जगह है, या φ पर कुछ सीमा है क्योंकि X∞ तक पहुंचता है। फिर की उप-स्थान टोपोलॉजी ${\mathcal {C}}$ कार्यों से मिलकर φ जैसे कि सभी कार्यात्मक डेरिवेटिव ${\mathcal {S}}$ φ पर शून्य हैं, जो इस प्रकार हैं:

${\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}\approx 0$

और वह φ दी गई सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है, शेल के मान को हल करने पर इसका उप-स्थान प्राप्त करता है। (स्थिर क्रिया का सिद्धांत देखें)

अब, मान लीजिए कि हमारे पास अतिसूक्ष्म परिवर्तन ${\mathcal {C}}$ है , इस प्रकार कार्यात्मक (गणित) व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) द्वारा उत्पन्न, q ऐसा है

$Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }$

सभी कॉम्पैक्ट सबमेनिफोल्ड n या दूसरे शब्दों में,

$Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)$

सभी एक्स के लिए, जहां हम समूहों को इस प्रकार प्रकट करते हैं

${\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].$

यदि यह शेल और बंद आवरण पर नियत है, तो हम कहते हैं कि Q ऑफ-शेल समरूपता उत्पन्न करता है। इस प्रकार यदि यह केवल शेल पर टिका रहता है, तो हम कहते हैं कि Q ऑन-शेल समरूपता उत्पन्न करता है। फिर, हम कहते हैं कि q एक-पैरामीटर समूह समरूपता ली समूह का जनरेटर है।

अब, किसी भी N के लिए, शेल पर (और केवल ऑन-शेल) यूलर-लैग्रेंज प्रमेय के कारण, हमारे पास है

${\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}$

चूँकि यह किसी भी N के लिए सत्य है, हमारे पास है

$\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]\approx 0.$

किन्तु यह वर्तमान के लिए निरंतरता समीकरण है, इसे $J^{\mu }$ द्वारा परिभाषित किया जाता हैं:

$J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },$

जिसे समरूपता से जुड़ा नोथेर धारा कहा जाता है। निरंतरता समीकरण हमें बताता है कि यदि हम इस धारा को समतल की तरह के टुकड़े पर एकीकृत करते हैं, तो इस प्रकार हमें संरक्षण नियम मिलता है जिसे नोथेर आवेश कहा जाता है (यदि 'एम' गैर-कॉम्पैक्ट है, धाराएं अनंत पर पर्याप्त तेजी से गिरती हैं)

टिप्पणियाँ

नोथेर की प्रमेय आवरण प्रमेय है: यह गति के समीकरणों के उपयोग पर मौलिक पथ के रूप में निर्भर करती है। यह सीमा शर्तों और परिवर्तनशील सिद्धांत के बीच संबंध को दर्शाता है। प्रतिक्रिया में कोई सीमा शर्तें नहीं मानते हुए, नोथेर के प्रमेय का तात्पर्य है

$\int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }\approx 0.$

नोथेर के प्रमेय के क्वांटम एनालॉग्स में अपेक्षा मान सम्मिलित हैं (उदाहरण के लिए, ${\textstyle \left\langle \int d^{4}x~\partial \cdot {\textbf {J}}\right\rangle =0}$) वार्ड ताकाहाशी पहचान के साथ-साथ शैल मात्राओं की जांच करना आवश्यक रहता हैं।

असत्य बीजगणित का सामान्यीकरण

मान लीजिए कि हमारे पास दो सममिति व्युत्पन्न Q₁ और Q₂ हैं, इस प्रकार [Q₁, Q₂] भी सममिति व्युत्पत्ति है। आइए इसे स्पष्ट रूप से देखें जो इस प्रकार हैं-

$$Q_{1}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{1}^{\mu }$$

और

$$Q_{2}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{2}^{\mu }$$

इस प्रकार ,

$$[Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]\approx \partial _{\mu }f_{12}^{\mu }$$

जहां f₁₂= Q₁[F₂^μ] − Q₂[F₁^μ] हैं इसलिए,

$$j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.$$

इससे पता चलता है कि हम प्राकृतिक तरीके से बड़े ले बीजगणित में नोथेर के प्रमेय का विस्तार कर सकते हैं।

प्रमाण का सामान्यीकरण

यह किसी भी स्थानीय समरूपता व्युत्पत्ति Q पर लागू होता है जो QS ≈ 0 को संतुष्ट करता है, और अधिक सामान्य स्थानीय कार्यात्मक भिन्नात्मक क्रियाओं पर भी लागू होता है, इस प्रकार जिसमें ये सम्मिलित हैं जहाँ लाग्रंगियन क्षेत्र के उच्च डेरिवेटिव पर निर्भर करता है। इस प्रकार ε स्पेसटाइम (या समय) का कोई भी स्वयं रूप सुचारू कार्य करता है, जैसे कि इसके समर्थन का बंद होना सीमा से अलग है। ε एक परीक्षण कार्य है। फिर, भिन्नता सिद्धांत के कारण (जो सीमा पर लागू नहीं होता है), Q [ε] [Φ (x)] = ε (x) Q [Φ (x)] द्वारा उत्पन्न व्युत्पन्न वितरण q संतुष्ट करता है, इस प्रकार q[ε][S] ≈ 0 के लिए प्रत्येक ε का मान या अधिक संक्षिप्त रूप से, q(x)[S] ≈ 0 सभी x के लिए सीमा पर नहीं है (किन्तु याद रखें कि q(x) व्युत्पत्ति वितरण के लिए आशुलिपि है, नहीं सामान्य रूप से एक्स द्वारा व्युत्पन्न व्युत्पत्ति को प्रकट करता हैं)। यह नोथेर के प्रमेय का सामान्यीकरण है।

यह देखने के लिए कि सामान्यीकरण ऊपर दिए गए संस्करण से कैसे संबंधित है, मान लें कि प्रतिक्रिया लैग्रैन्जियन का स्पेसटाइम इंटीग्रल है जो केवल φ और इसके पहले डेरिवेटिव पर निर्भर करता है। इसके साथ ही, मान लीजिए

$Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }$

इस प्रकार,

${\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}$

सभी के लिए $\varepsilon$.

अधिक सामान्यतः, यदि लाग्रंगियन उच्च डेरिवेटिव पर निर्भर करता है, तो

$\partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\approx 0.$

उदाहरण

उदाहरण 1: ऊर्जा का संरक्षण

द्रव्यमान m के न्यूटोनियन कण के विशिष्ट स्थिति को देखते हुए, x को समन्वित करते हैं, इस प्रकार संभावित V के प्रभाव के अनुसार गतिमान, समय t द्वारा समन्वित करके इस क्रिया (भौतिकी), S से प्रकट करते हैं:

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}$

कोष्ठक में पहला शब्द कण की गतिज ऊर्जा है, जबकि दूसरा इसकी संभावित ऊर्जा है। समय अनुवाद के जनरेटर Q = d/dt पर विचार करें। इस प्रकार दूसरे शब्दों में, $Q[x(t)]={\dot {x}}(t)$. निर्देशांक x की समय पर स्पष्ट निर्भरता है, जबकि V की नहीं, फलस्वरूप:

$Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}$

जिससे कि हम समूह कर सकें

$L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).$

तब,

${\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}$

दाहिने हाथ की ओर ऊर्जा है, और नोथेर की प्रमेय $dj/dt=0$ यह बताती है। (अर्थात ऊर्जा के संरक्षण का सिद्धांत समय अनुवाद के अनुसार अपरिवर्तनीयता का परिणाम है)।

अधिक सामान्यतः, यदि लाग्रंगियन समय, मात्रा पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है,

$\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L$

(हैमिल्टनियन यांत्रिकी कहा जाता है) संरक्षित है।

उदाहरण 2: गति के केंद्र का संरक्षण

अभी भी 1-आयामी समय पर विचार करते हुए, जो इस प्रकार हैं-

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}$

या $N$ न्यूटोनियन कण जहां क्षमता केवल सापेक्ष विस्थापन पर संयुग्मित रूप से निर्भर करती है।

के लिए ${\vec {Q}}$, गैलिलियन परिवर्तनों के जनरेटर पर विचार करें (अर्थात संदर्भ के फ्रेम में परिवर्तन)। दूसरे शब्दों में,

$Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.$

और

${\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}$

इसका रूप है ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}$ जिससे कि हम स्थित करते हैं-

${\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.$

इस प्रकार,

${\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}$

जहाँ ${\vec {P}}$ कुल संवेग है, M कुल द्रव्यमान है और ${\vec {x}}_{CM}$ द्रव्यमान का केंद्र है। नोथेर के प्रमेय में कहा गया है:

${\frac {d{\vec {j}}}{dt}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.$

उदाहरण 3: अनुरूप परिवर्तन

दोनों उदाहरण 1 और 2 1-आयामी कई गुना (समय) से अधिक हैं। इस प्रकार स्पेसटाइम को सम्मिलित करने वाला उदाहरण (3 + 1) मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम में क्वार्टिक इंटरेक्शन के साथ द्रव्यमान रहित वास्तविक स्केलर क्षेत्र का अनुरूप परिवर्तन है।

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}$

क्यू के लिए, स्पेसटाइम रीस्केलिंग के जनरेटर पर विचार करें। दूसरे शब्दों में,

$Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).$

दाहिने हाथ की ओर दूसरा पद $\varphi$ के अनुरूप भार के कारण है, और इस कारण-

$Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).$

इसका रूप है

$\partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)$

(जहां हमने डमी इंडेक्स में परिवर्तन किया है) तो समूह करें

$f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.$

इस प्रकार

${\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}$

नोथेर के प्रमेय में कहा गया है कि $\partial _{\mu }j^{\mu }=0$ (जैसा कि बाएं हाथ की ओर यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को प्रतिस्थापित करके स्पष्ट रूप से जांचा जा सकता है)।

यदि कोई इस समीकरण के वार्ड-टाकाहाशी पहचान या वार्ड-टाकाहाशी एनालॉग को खोजने का प्रयास करता है, तो यह विसंगति (भौतिकी) के कारण समस्या में चला जाता है।

अनुप्रयोग

नोथेर के प्रमेय का अनुप्रयोग भौतिकविदों को भौतिक विज्ञान में किसी भी सामान्य सिद्धांत में शक्तिशाली अंतर्दृष्टि प्राप्त करने की अनुमति देता है, केवल विभिन्न परिवर्तनों का विश्लेषण करके जो नियमों के रूप को अपरिवर्तनीय बनाते हैं। उदाहरण के लिए:

• स्थानिक अनुवाद (भौतिकी) के संबंध में पृथक प्रणाली का आक्रमण दूसरे शब्दों में, भौतिकी के नियम समतल में सभी स्थानों पर समान हैं तथा रैखिक गति के संरक्षण का नियम देता है, जो बताता है कि कुल रैखिक गति पृथक प्रणाली स्थिर है।
• टाइम ट्रांसलेशन के संबंध में पृथक प्रणाली का आक्रमण अर्थात भौतिकी के नियम समय के सभी बिंदुओं पर समान हैं, जो ऊर्जा के संरक्षण का नियम देता है, जो बताता है कि पृथक प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थिर है।
• घूर्णन के संबंध में पृथक प्रणाली का आक्रमण अर्थात, समतल में सभी कोणीय अभिविन्यासों के संबंध में भौतिकी के नियम समान हैं। इस प्रकार कोणीय गति के संरक्षण का नियम देता है, जो बताता है कि पृथक प्रणाली का कुल कोणीय गति स्थिर है।
• लोरेंत्ज़ बूस्ट के संबंध में पृथक प्रणाली का आक्रमण अर्थात, भौतिकी के नियम सभी जड़त्वीय संदर्भ फ़्रेमों के संबंध में समान हैं द्रव्यमान प्रमेय का केंद्र देता है जो बताता है कि द्रव्यमान का केंद्र पृथक प्रणाली स्थिर वेग से चलती है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, नोथेर के प्रमेय के अनुरूप, वार्ड-टाकाहाशी पहचान, आगे के संरक्षण नियमों का उत्पादन करती है, जैसे आवेशित कण के जटिल संख्या क्षेत्र के चरण कारक में परिवर्तन के संबंध में विद्युत आवेश के संरक्षण नियम का पालन करती है, और इस प्रकार विद्युत क्षमता और सदिश क्षमता के संबंधित गेज आक्रमण के रूप में प्रकट किया जाता हैं।

स्थिर ब्लैक होल की एन्ट्रॉपी की गणना में नोथेर आवेश का भी उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

• संरक्षण नियम
• चार्ज (भौतिकी)
• गेज समरूपता
• गेज समरूपता (गणित)
• अपरिवर्तनीय (भौतिकी)
• गोल्डस्टोन बोसोन
• भौतिकी में समरूपता

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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