पहाड़ा
गणित में, गुणन तालिका (कभी-कभी, कम औपचारिक रूप से, समय तालिका) एक गणितीय तालिका होती है जिसका उपयोग बीजगणितीय प्रणाली के लिए गुणन संक्रिया को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
दशमलव गुणन सारणी को पारंपरिक रूप से दुनिया भर में प्रारंभिक अंकगणित के एक अनिवार्य भाग के रूप में पढ़ाया जाता था, क्योंकि यह आधार-दस संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं की नींव रखता है। कई शिक्षकों का मानना है कि 9 × 9 तक की तालिका को याद करना आवश्यक होता है।[1]
इतिहास
पूर्व-आधुनिक समय में
लगभग 4000 साल पहले बेबीलोनियों द्वारा सबसे पुरानी ज्ञात गुणन सारणी का उपयोग किया गया था।[2] चूंकि, उन्होंने 60 के आधार का उपयोग किया।[2] 10 के आधार का उपयोग करने वाली सबसे पुरानी ज्ञात सारणी चीन के युद्धरत राज्यों की अवधि के दौरान लगभग 305 ईसा पूर्व की बांस की पट्टियों पर चीनी दशमलव गुणा तालिका है।[2]
गुणा तालिका को कभी-कभी प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ पाइथागोरस (570-495 ईसा पूर्व) के लिए उत्तरदायी ठहराया जाता है। इसे कई भाषाओं में पाइथागोरस की तालिका भी कहा जाता है (उदाहरण के लिए फ्रेंच, इतालवी और रूसी), कभी-कभी अंग्रेजी में भी कहा जाता है।[4] ग्रीको रोमन गणितज्ञ निकोमेकस (60-120 ईस्वी), नियोपाइथागोरियनवाद के अनुयायी, ने अपने अंकगणित के परिचय में एक गुणन तालिका सम्मलित की, जबकि सबसे पुरानी जीवित ग्रीक गुणन तालिका पहली शताब्दी ईस्वी की एक मोम की गोली पर है और वर्तमान में इसे ब्रिटिश संग्रहालय में रखी गई है।[5]
493 ईस्वी में, एक्विटाइन के विक्टोरियस ने एक 98-स्तंभ गुणन तालिका लिखी, जिसने (रोमन अंकों में) 2 से 50 गुणा तक प्रत्येक संख्या का उत्पाद दिया और पंक्तियां एक हजार से प्रारंभ होने वाली संख्याओं की एक सूची थी, जो सैकड़ों से एक तक उतरती थी। सौ, फिर दस से दस तक घटते हुए, फिर एक से एक तक, और फिर भिन्न से 1/144 तक घटाते है।[6]
आधुनिक समय में
गणितज्ञ जॉन लेस्ली ने अपनी 1820 की पुस्तक द फिलॉसफी ऑफ अरिथमेटिक में,[7] 99 × 99 तक गुणा तालिका प्रकाशित की, जो एक समय में अंकों के जोड़े में संख्याओं को गुणा करने की अनुमति देती है। लेस्ली ने यह भी सिफारिश की कि युवा विद्यार्थियों को 50 × 50 तक की गुणन सारणी याद रखनी चाहिए।
नीचे दिया गया उदाहरण 12 × 12 तक की तालिका दिखाता है, जो आजकल अंग्रेजी-दुनिया के स्कूलों में सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला आकार है।
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| 5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| 6 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
| 7 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
| 9 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 |
| 10 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
| 11 | 0 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 |
| 12 | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 |
चूँकि, चीन में, क्योंकि पूर्णांकों का गुणन क्रमविनिमेय है, कई स्कूल नीचे दी गई छोटी तालिका का उपयोग करते है। कुछ स्कूल पहले कॉलम को भी हटा देते है क्योंकि 1 गुणक पहचान है।
| 1 | 1 | ||||||||
| 2 | 2 | 4 | |||||||
| 3 | 3 | 6 | 9 | ||||||
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | |||||
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | ||||
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | |||
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | ||
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
गुणन की पारंपरिक रटने की सीख तालिका में स्तंभों को याद करने पर आधारित थी, जैसे
1 × 10 = 10
2 × 10 = 20
3 × 10 = 30
4 × 10 = 40
5 × 10 = 50
6 × 10 = 60
7 × 10 = 70
8 × 10 = 80
9 × 10 = 90
पूर्ण संख्या वाले वाक्यों वाले स्तंभों में गुणा तालिका लिखने का यह रूप अभी भी कुछ देशों में उपयोग किया जाता है, जैसे कि बोस्निया और हर्ज़ेगोविना, उपरोक्त आधुनिक ग्रिड के अतिरिक्त होते है।
तालिकाओं में पैटर्न
गुणन सारणी में एक पैटर्न है जो लोगों को तालिका को अधिक आसानी से याद करने में मदद कर सकता है। यह नीचे दिए गए आंकड़ों का उपयोग करता है:
| → | → | |||||||||
| ↑ | 1 | 2 | 3 | ↓ | ↑ | 2 | 4 | ↓ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 5 | 6 | ||||||||
| 7 | 8 | 9 | 6 | 8 | ||||||
| ← | ← | |||||||||
| 0 | 5 | 0 | ||||||||
| चित्र 1: विषम | चित्र 2: सम | |||||||||
चित्र 1 का उपयोग 1, 3, 7 और 9 के गुणकों के लिए किया गया है। चित्र 2 का उपयोग 2, 4, 6 और 8 के गुणकों के लिए किया गया है। इन पैटर्नों का उपयोग 5 को छोड़कर 0 से 10 तक किसी भी संख्या के गुणकों को याद करने के लिए किया जा सकता है। जैसा कि आप उस संख्या पर प्रारंभ करेंगे जिसे आप गुणा कर रहे है, जब आप 0 से गुणा करते है, तो आप 0 पर बने रहते है (0 बाहरी है और इसलिए तीरों का 0 पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, अन्यथा 0 का उपयोग एक सतत चक्र बनाने के लिए जोड़ने के रूप में किया जाता है )। पैटर्न 10 के गुणकों के साथ भी काम करता है, 1 से प्रारंभ करके और केवल 0 जोड़कर, आपको 10 देता है, फिर पैटर्न में हर संख्या को "दस" इकाई पर लागू करें जैसा कि आप सामान्य रूप से "इकाई" के लिए करते है।
उदाहरण के लिए, 7 के सभी गुणकों को वापस बुलाने के लिए:
- पहले चित्र में 7 को देखें और तीर का अनुसरण करें।
- तीर की दिशा में अगली संख्या 4 है। इसलिए 7 के बाद अगली संख्या के बारे में सोचें जो 4 पर समाप्त होती है, जो कि 14 है।
- तीर की दिशा में अगली संख्या 1 है। तो 14 के बाद अगली संख्या के बारे में सोचें जो 1 के साथ समाप्त होती है, जो कि 21 है।
- इस कॉलम के ऊपर आने के बाद, अगले कॉलम के नीचे से प्रारंभ करें, और उसी दिशा में आगे बढ़ें। संख्या 8 है। अतः 21 के बाद अगली संख्या के बारे में सोचें जो 8 पर समाप्त होती है, जो 28 है।
- 63 के अनुरूप अंतिम संख्या 3 तक इसी तरह आगे बढ़ें।
- अगला, नीचे 0 का उपयोग करें। यह 70 के अनुरूप है।
- फिर, 7 से फिर से प्रारंभ करें। इस बार यह 77 के अनुरूप होगा।
- ऐसे ही जारी रखें।
सार बीजगणित में
टेबल्स समूहों, क्षेत्र, रिंग्स और अन्य बीजगणितीय प्रणालियों पर द्विआधारी संचालन को भी परिभाषित कर सकते है। ऐसे संदर्भों में उन्हें केली टेबल कहा जाता है। यहाँ परिमित क्षेत्र Z5 के लिए योग और गुणन तालिकाएँ है:
- प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, वलय Zn के लिए जोड़ और गुणन सारणी भी है।
|
|
अन्य उदाहरणों के लिए, समूह और ऑक्टोनियन देखें।
चीनी और जापानी गुणन सारणी
हेजो पैलेस में खोजे गए मोक्कन ने सुझाव दिया कि गुणन तालिका को जापान में चीनी गणितीय ग्रंथों जैसे सनजी सुंजिंग के माध्यम से प्रस्तुत किया गया हो सकता है, क्योंकि गुणा तालिका की उनकी अभिव्यक्ति दस से कम उत्पादों में चरित्र 如 को साझा करती है।[8] चीनी और जापानी 9 × 9 तक गुणन तालिका सीखने में मदद करने के लिए छात्रों को सिखाए जाने वाले इक्यासी छोटे, आसानी से याद रखने वाले वाक्यों की एक समान प्रणाली साझा करते है। वर्तमान उपयोग में, दस से कम उत्पादों को व्यक्त करने वाले वाक्यों में दोनों में एक अतिरिक्त कण सम्मलित होता है। आधुनिक चीनी के स्थिति में, यह 得 (डीई) है, और जापानी में, यह が (गा) है। यह उन लोगों के लिए उपयोगी है जो एक सूनपैन या सोरोबान के साथ गणना का अभ्यास करते है, क्योंकि वाक्य उन्हें याद दिलाते है कि एक उत्पाद को इनपुट करते समय एक कॉलम को दाईं ओर ले जाना चाहिए जो दस अंकों से प्रारंभ नहीं होता है। विशेष रूप से, जापानी गुणन तालिका कुछ विशिष्ट उदाहरणों में संख्याओं के लिए गैर-मानक उच्चारण का उपयोग करती है (जैसे कि सबरोकू के साथ सैन रोकू का प्रतिस्थापन)।
| × | 1 ichi | 2 ni | 3 san | 4 shi | 5 go | 6 roku | 7 shichi | 8 ha | 9 ku |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 in | inichi ga ichi | inni ga ni | insan ga san | inshi ga shi | ingo ga go | inroku ga roku | inshichi ga shichi | inhachi ga hachi | inku ga ku |
| 2 ni | ni ichi ga ni | ni ninga shi | ni san ga roku | ni shi ga hachi | ni go juu | ni roku juuni | ni shichi juushi | ni hachi juuroku | ni ku juuhachi |
| 3 san | san ichi ga san | san ni ga roku | sazan ga ku | san shi juuni | san go juugo | saburoku juuhachi | san shichi nijuuichi | sanpa nijuushi | san ku nijuushichi |
| 4 shi | shi ichi ga shi | shi ni ga hachi | shi san juuni | shi shi juuroku | shi go nijuu | shi roku nijuushi | shi shichi nijuuhachi | shi ha sanjuuni | shi ku sanjuuroku |
| 5 go | go ichi ga go | go ni juu | go san juugo | go shi nijuu | go go nijuugo | go roku sanjuu | go shichi sanjuugo | go ha shijuu | gokku shijuugo |
| 6 roku | roku ichi ga roku | roku ni nijuu | roku san juuhachi | roku shi nijuushi | roku go sanjuu | roku roku sanjuuroku | roku shichi shijuuni | roku ha shijuuhachi | rokku gojuushi |
| 7 shichi | shichi ichi ga shichi | shichi ni juushi | shichi san nijuuichi | shichi shi nijuuhachi | shichi go sanjuugo | shichi roku shijuuni | shichi shichi shijuuku | shichi ha gojuuroku | shichi ku rokujuusan |
| 8 hachi | hachi ichi ga hachi | hachi ni juuroku | hachi san nijuushi | hachi shi sanjuuni | hachi go shijuu | hachi roku shijuuhachi | hachi shichi gojuuroku | happa rokujuushi | hakku shichijuuni |
| 9 ku | ku ichi ga ku | ku ni juuhachi | ku san nijuushichi | ku shi sanjuuroku | ku go shijuugo | ku roku gojuushi | ku shichi rokujuusan | ku ha shichijuuni | ku ku hachijuuichi |
वारिंग स्टेट्स दशमलव गुणा बांस फिसल जाता है
सिंघुआ बांस स्लिप्स (清華簡) संग्रह में युद्धरत राज्यों की अवधि में 305 ईसा पूर्व की 21 बांस की पर्चियों का एक बंडल दशमलव गुणन तालिका का दुनिया का सबसे पहला ज्ञात उदाहरण है।[9]
अमेरिका में मानक-आधारित गणित सुधार
1989 में, नेशनल काउंसिल ऑफ़ टीचर्स ऑफ़ मैथमैटिक्स (एनसीटीएम) ने नए मानक विकसित किए जो इस विश्वास पर आधारित थे कि सभी छात्रों को उच्च-स्तरीय सोच कौशल सीखना चाहिए, जिसमें रट्टा मारने पर निर्भर पारंपरिक तरीकों के शिक्षण पर कम जोर देने की सिफारिश की गई थी, जैसे कि गुणन सारणी के रूप में की गई थी। संख्याओं, डेटा और अंतरिक्ष में जांच जैसे व्यापक रूप से अपनाए गए पाठ (व्यापक रूप से इसके निर्माता, तकनीकी शिक्षा अनुसंधान केंद्र के बाद टीईआरसी के रूप में जाना जाता है) प्रारंभिक संस्करणों में गुणन सारणी जैसे छोड़े गए सहायक उपकरण होते है। एनसीटीएम ने अपने 2006 के फोकल अंक में यह स्पष्ट कर दिया कि बुनियादी गणित के तथ्यों को सीखना चाहिए, चूंकि इस बात पर कोई सहमति नहीं है कि क्या रटकर याद करना सबसे अच्छी विधि है। हाल के वर्षों में, बच्चों को गुणन तथ्य सीखने में मदद करने के लिए कई गैर-पारंपरिक तरीके तैयार किए गए है, जिनमें वीडियो-गेम शैली के ऐप और किताबें सम्मलित है, जिनका उद्देश्य चरित्र-आधारित कहानियों के माध्यम से समय सारिणी सिखाना है।
यह भी देखें
- वैदिक चौराहा
- आईबीएम 1620, एक प्रारंभिक कंप्यूटर जो जोड़ने और गुणा करने के लिए स्मृति में संग्रहीत तालिकाओं का उपयोग करता था
संदर्भ
- ↑ Trivett, John (1980), "The Multiplication Table: To Be Memorized or Mastered!", For the Learning of Mathematics, 1 (1): 21–25, JSTOR 40247697.
- ↑ Jump up to: 2.0 2.1 2.2 Qiu, Jane (January 7, 2014). "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips". Nature News. doi:10.1038/nature.2014.14482. S2CID 130132289.
- ↑ Wikisource:Page:Popular Science Monthly Volume 26.djvu/467
- ↑ for example in An Elementary Treatise on Arithmetic by John Farrar
- ↑ David E. Smith (1958), History of Mathematics, Volume I: General Survey of the History of Elementary Mathematics. New York: Dover Publications (a reprint of the 1951 publication), ISBN 0-486-20429-4, pp. 58, 129.
- ↑ David W. Maher and John F. Makowski. "Literary evidence for Roman arithmetic with fractions". Classical Philology, 96/4 (October 2001), p. 383.
- ↑ Leslie, John (1820). The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand. Edinburgh: Abernethy & Walker.
- ↑ "「九九」は中国伝来…平城宮跡から木簡出土". Yomiuri Shimbun. December 4, 2010. Archived from the original on December 7, 2010.
- ↑ Nature article The 2,300-year-old matrix is the world's oldest decimal multiplication table
