पायथागॉरियन टाइलिंग

From Vigyanwiki
एक पायथागॉरियन टाइलिंग
दरवाजे पर स्ट्रीट म्यूजिशियन, जैकब ऑक्टरवेल्ट, 1665. जैसा कि नेल्सन ने देखा[1]इस चित्रकारी में फर्श की टाइलें पायथागॉरियन टाइलिंग में समूह की गई हैं

एक पायथागॉरियन टाइलिंग या दो वर्ग चौकोर दो अलग-अलग आकारों के वर्ग (ज्यामिति) द्वारा एक यूक्लिडियन तल का एक टाइलिंग है, जिसमें प्रत्येक वर्ग अपने चार पक्षों पर दूसरे आकार के चार वर्गों को स्पर्श करता है। पायथागॉरियन प्रमेय के कई प्रमाण इस पर आधारित हैं,[2] इसका नाम समझाते हुए।[1]यह सामान्यतः फर्श टाइल्स के लिए एक पैटर्न के रूप में उपयोग किया जाता है। इसके लिए उपयोग किए जाने पर, इसे हॉपस्कॉच पैटर्न[3] या पिनव्हील पैटर्न[4] के रूप में भी जाना जाता है,लेकिन इसे गणितीय पिनव्हील टाइलिंग, एक असंबंधित पैटर्न के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।[5]

इस टाइलिंग में इसके प्रत्येक वर्ग के चारों ओर चार-पक्षीय घूर्णी समरूपता है। जब दो वर्गों की भुजाओं की लंबाई का अनुपात एक अपरिमेय संख्या होती है जैसे कि बहुमूल्य अनुपात, तो इसके व्यापक प्रतिनिधित्व फाइबोनैचि शब्द के समान पुनरावर्ती संरचना के साथ एपेरियोडिक अनुक्रम बनाते हैं। इस टाइलिंग के तीन आयामों के सामान्यीकरण का भी अध्ययन किया गया है।


टोपोलॉजी और समरूपता

पायथागॉरियन टाइलिंग दो अलग-अलग आकारों के वर्गों द्वारा अद्वितीय टाइलिंग है जो दोनों एकपक्षीय है (कोई भी दो वर्गों का एक सामान्य पक्ष नहीं है) और समसंक्रमणीय (एक ही आकार के प्रत्येक दो वर्गों को टाइलिंग की समरूपता द्वारा एक दूसरे में प्रतिचित्रित किया जा सकता है)।[6]

टोपोलॉजिकल रूप से, पायथागॉरियन टाइलिंग में समान संरचना वही है जो वर्गों और नियमित अष्टकोणों द्वारा काटी गई वर्गाकार टाइलिंग की होती है।[7] पाइथागोरस की टाइलिंग में छोटे वर्ग चार बड़ी टाइलों से संलग्न हैं, जैसे कि छोटे चौकोर टाइलिंग में वर्ग हैं, जबकि पाइथागोरस की टाइलिंग में बड़े वर्ग आठ पड़ोसियों से संलग्न हैं, जो बड़े और छोटे के बीच वैकल्पिक होते हैं,ठीक वैसे ही जैसे काटे गए वर्ग टाइलिंग में अष्टकोण होते हैं। यद्यपि, दो झुकावों में समरूपता के अलग-अलग समूह होते हैं, क्योंकि छोटा वर्ग टाइलिंग दर्पण प्रतिबिंबों के तहत सममित होता है जबकि पायथागॉरियन टाइलिंग नहीं है। गणितीय रूप से, इसे यह कहकर समझाया जा सकता है कि काटे गए वर्ग टाइलिंग में प्रत्येक टाइल के केंद्र के चारों ओर द्वितल समूह समरूपता होती है, जबकि पायथागॉरियन टाइलिंग में संबंधित बिंदुओं के चारों ओर समरूपता का एक छोटा चक्रीय समूह समूह होता है, जो इसे p4 सममिति देता है।[8] यह एक चिरल पैटर्न है, जिसका अर्थ है कि केवल अनुवाद और घुमाव का उपयोग करके इसे अपनी दर्पण छवि के शीर्ष पर रखना असंभव है।

एक समान टाइलिंग एक टाइलिंग है जिसमें प्रत्येक टाइल एक नियमित बहुभुज है और जिसमें टाइलिंग की समरूपता द्वारा प्रत्येक शीर्ष को प्रत्येक दूसरे शीर्ष पर प्रतिचित्रित किया जा सकता है। सामान्यतः समान टाइलिंग के लिए अतिरिक्त रूप से टाइल्स की आवश्यकता होती है जो किनारे से किनारे तक मिलती हैं, लेकिन यदि इस आवश्यकता को ढील दी जाती है तो आठ अतिरिक्त समान टाइलिंग होते हैं। चार वर्गों या समबाहु त्रिभुजों की अनंत पट्टियों से बनते हैं, और तीन समबाहु त्रिभुजों और नियमित षट्भुजों से बनते हैं। शेष एक पायथागॉरियन टाइलिंग है।[9]


पाइथागोरस प्रमेय और विच्छेदन

अल-नायरीज़ी और थाबित इब्न कुर्रा (बाएं) और हेनरी पेरिगल (दाएं) द्वारा सबूतों में उपयोग किए गए पांच-टुकड़े विच्छेदन

इस टाइलिंग को पायथागॉरियन टाइलिंग कहा जाता है क्योंकि इसका उपयोग नौवीं शताब्दी के इस्लामी गणितज्ञों अल-नायरीज़ी और थाबित इब्न कुर्रा और 19वीं शताब्दी के ब्रिटिश महत्वाकांछी गणितज्ञ हेनरी पेरिगल द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के आधार के रूप में किया गया है।[1][10][11][12] यदि टाइलिंग बनाने वाले दो वर्गों की भुजाएँ a और b हैं, तो सर्वांगसम वर्गों पर संबंधित बिंदुओं के बीच की निकटतम दूरी c है, जहाँ c भुजाओं a और b वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है।[13] उदाहरण के लिए, बाईं ओर के चित्रण में, पायथागॉरियन टाइलिंग में दो वर्गों की सहायक लंबाई 5 और 12 इकाई लंबी है, और ओवरलेइंग स्क्वायर टाइलिंग में टाइल्स की सहायक लंबाई 13 है, जो पायथागॉरियन ट्रिपल (5,12,13) पर आधारित है।

पायथागॉरियन टाइलिंग पर पार्श्व लंबाई c के एक वर्ग ग्रिड को ओवरले करके, इसका उपयोग सहायक c के एक एकल वर्ग में भुजाओं a और b के दो असमान वर्गों की पांच-खंड विच्छेदन समस्या उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, यह दर्शाता है कि दो छोटे वर्गों में बड़े के समान क्षेत्र। इसी तरह, दो पाइथागोरियन टाइलिंग को ओवरले करने से दो असमान वर्गों के छह-खंड विच्छेदन को एक अलग दो असमान वर्गों में उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।[10]



एपेरियोडिक व्यापक प्रतिनिधित्व

दो वर्गों द्वारा टाइलिंग से उत्पन्न एक एपेरियोडिक अनुक्रम जिसकी भुजा की लंबाई बहुमूल्य अनुपात बनाती है

यद्यपि पायथागॉरियन टाइलिंग अपने आप में एपेरियोडिक है (इसमें स्थानांतरीय समरूपता का एक वर्गाकार जालक है) इसके क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) का उपयोग एक-आयामी एपरियोडिक टाइलिंग अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।[14]

एपेरियोडिक अनुक्रमों के लिए क्लॉट्ज़ निर्माण में (क्लॉट्ज़ एक ब्लॉक के लिए एक जर्मन शब्द है), एक पायथागॉरियन टाइलिंग बनाता है जिसमें दो वर्ग होते हैं जिनके आकार दो पक्षों की लंबाई के बीच के अनुपात को एक अपरिमेय संख्या x बनाने के लिए चुने जाते हैं। फिर, कोई वर्गों के किनारों के समानांतर एक रेखा चुनता है, और रेखा द्वारा पार किए गए वर्गों के आकार से बाइनरी मानों का अनुक्रम बनाता है: 0 एक बड़े वर्ग के क्रॉसिंग से मेल खाता है और 1 एक छोटे वर्ग के क्रॉसिंग से मेल खाता है। इस क्रम में, 0s और 1s का आपेक्षिक अनुपात x:1 के अनुपात में होगा। यह अनुपात 0s और 1s के पेरियोडिक अनुक्रम द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह अपरिमेय है, इसलिए यह क्रम अपरिमित है।[14]

यदि x को सुनहरे अनुपात के रूप में चुना जाता है, तो इस तरह से उत्पन्न 0s और 1s के अनुक्रम में फिबोनाची शब्द के समान पुनरावर्ती संरचना होती है: इसे 01 और 0 के रूप में उप श्रृंखला में विभाजित किया जा सकता है अर्थात, निरन्तर दो नहीं हैं) और यदि इन दो उप श्रृंखला को निरन्तर छोटे श्रृंखला 0 और 1 से बदल दिया जाता है तो समान संरचना वाले दूसरे श्रृंखला का परिणाम मिलता है।[14]




संबंधित परिणाम

केलर के अनुमान के अनुसार, सर्वांगसम वर्गों द्वारा तल के किसी भी टाइलिंग में दो वर्ग समिलित होने चाहिए जो किनारे से किनारे तक मिलते हों।[15] पायथागॉरियन टाइलिंग में कोई भी वर्ग किनारे से किनारे तक नहीं मिलता है,[6] लेकिन यह तथ्य केलर के अनुमान का उल्लंघन नहीं करता है क्योंकि टाइल्स के अलग-अलग आकार होते हैं, इसलिए वे सभी एक दूसरे के अनुरूप नहीं होते हैं।

पायथागॉरियन टाइलिंग को दो अलग-अलग आकारों के घन द्वारा यूक्लिडियन स्थान के त्रि-आयामी टाइलिंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो एकपक्षीय और समसंक्रमणीय भी है। अत्तिला बोल्स्की इस त्रि-आयामी टाइलिंग को रोजर्स फिलिंग कहते हैं। वह अनुमान लगाता है कि, तीन से अधिक किसी भी आयाम में, दो अलग-अलग आकारों के अतिविम द्वारा टाइलिंग स्थान का एक अनूठा एकपक्षीय और समतुल्य विधि है।[16]

बर्न्स और रिग्बी को कोच स्नोफ्लेक्स सहित कई प्रोटोटाइप के लिए मिले, जिनका उपयोग केवल दो या दो से अधिक विभिन्न आकारों में प्रोटोटाइल की प्रतियों का उपयोग करके तल को टाइल करने के लिए किया जा सकता है।[17] डेंजर, ग्रुनबाउम और शेफर्ड द्वारा पहले का पेपर एक और उदाहरण प्रदान करता है, एक उत्तल पंचभुज जो दो आकारों में संयुक्त होने पर ही तल को टाइल करता है।[18] यद्यपि पायथागॉरियन टाइलिंग दो अलग-अलग आकार के वर्गों का उपयोग करती है, वर्ग में समान गुण नहीं होते हैं क्योंकि ये केवल समानता से टाइलिंग के प्रोटोटाइल होते हैं, क्योंकि एक ही आकार के केवल वर्गों का उपयोग करके तल को टाइल करना भी संभव है।

अनुप्रयोग

पायथागॉरियन टाइलिंग का एक प्रारंभिक संरचनात्मक अनुप्रयोग लियोनार्डो दा विंची के कार्यों में दिखाई देता है, जिन्होंने इसे कड़ी के लिए कई अन्य संभावित पैटर्नों में से एक माना।[19] इस टाइलिंग का लंबे समय से फर्श की टाइलों या अन्य समान पैटर्न के लिए सजावटी रूप से उपयोग किया जाता है, जैसा कि उदाहरण के लिए जैकब ओचटरवेल्ट की चित्रकारी स्ट्रीट म्यूज़िशियन एट द डोर (1665) में देखा जा सकता है।[1] यह सुझाव दिया गया है कि पोलिक्रेट्स के महल में एक समान टाइलिंग को देखने से पाइथागोरस को अपने प्रमेय के लिए मूल प्रेरणा मिली होगी।[13]



संदर्भ

Wikimedia Commons has media related to [[commons:Category:पायथागॉरियन टाइलिंग|पायथागॉरियन टाइलिंग]].
  1. ↑ Jump up to: 1.0 1.1 1.2 1.3 Nelsen, Roger B. (November 2003), "Paintings, plane tilings, and proofs" (PDF), Math Horizons, 11 (2): 5–8, doi:10.1080/10724117.2003.12021741, S2CID 126000048. Reprinted in Haunsperger, Deanna; Kennedy, Stephen (2007), The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons, Spectrum Series, Mathematical Association of America, pp. 295–298, ISBN 978-0-88385-555-3. See also Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), Charming proofs: a journey into elegant mathematics, Dolciani mathematical expositions, vol. 42, Mathematical Association of America, pp. 168–169, ISBN 978-0-88385-348-1.
  2. ↑ Wells, David (1991), "two squares tessellation", The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, pp. 260–261, ISBN 0-14-011813-6.
  3. ↑ "How to Install Hopscotch Pattern Tiles", Home Guides, San Francisco Chronicle, retrieved 2016-12-12.
  4. ↑ Editors of Fine Homebuilding (2013), Bathroom Remodeling, Taunton Press, p. 45, ISBN 978-1-62710-078-6. A schematic diagram illustrating this floor tile pattern appears earlier, on p. 42.
  5. ↑ Radin, C. (1994), "The Pinwheel Tilings of the Plane", Annals of Mathematics, 139 (3): 661–702, doi:10.2307/2118575, JSTOR 2118575
  6. ↑ Jump up to: 6.0 6.1 Martini, Horst; Makai, Endre; Soltan, Valeriu (1998), "Unilateral tilings of the plane with squares of three sizes", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 39 (2): 481–495, MR 1642720.
  7. ↑ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987), Tilings and Patterns, W. H. Freeman, p. 171.
  8. ↑ Grünbaum & Shephard (1987), p. 42.
  9. ↑ Grünbaum & Shephard (1987), pp. 73–74.
  10. ↑ Jump up to: 10.0 10.1 Frederickson, Greg N. (1997), Dissections: Plane & Fancy, Cambridge University Press, pp. 30–31.
  11. ↑ Aguiló, Francesc; Fiol, Miquel Angel; Fiol, Maria Lluïsa (2000), "Periodic tilings as a dissection method", American Mathematical Monthly, 107 (4): 341–352, doi:10.2307/2589179, JSTOR 2589179, MR 1763064.
  12. ↑ Grünbaum & Shephard (1987), p. 94.
  13. ↑ Jump up to: 13.0 13.1 Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), "Thales and Pythagoras", Geometry by Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, pp. 3–26, doi:10.1007/978-3-642-29163-0_1. See in particular pp. 15–16.
  14. ↑ Jump up to: 14.0 14.1 14.2 Steurer, Walter; Deloudi, Sofia (2009), "3.5.3.7 The Klotz construction", Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures, Springer Series in Materials Science, vol. 126, Springer, pp. 91–92, doi:10.1007/978-3-642-01899-2, ISBN 978-3-642-01898-5.
  15. ↑ The truth of his conjecture for two-dimensional tilings was known already to Keller, but it was since proven false for dimensions eight and above. For a recent survey on results related to this conjecture, see Zong, Chuanming (2005), "What is known about unit cubes", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 42 (2): 181–211, doi:10.1090/S0273-0979-05-01050-5, MR 2133310.
  16. ↑ Bölcskei, Attila (2001), "Filling space with cubes of two sizes", Publicationes Mathematicae Debrecen, 59 (3–4): 317–326, MR 1874434. See also Dawson (1984), which includes an illustration of the three-dimensional tiling, credited to "Rogers" but cited to a 1960 paper by Richard K. Guy: Dawson, R. J. M. (1984), "On filling space with different integer cubes", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 36 (2): 221–229, doi:10.1016/0097-3165(84)90007-4, MR 0734979.
  17. ↑ Burns, Aidan (1994), "78.13 Fractal tilings", Mathematical Gazette, 78 (482): 193–196, doi:10.2307/3618577, JSTOR 3618577. Rigby, John (1995), "79.51 Tiling the plane with similar polygons of two sizes", Mathematical Gazette, 79 (486): 560–561, doi:10.2307/3618091, JSTOR 3618091.
  18. ↑ Figure 3 of Danzer, Ludwig; Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1982), "Unsolved Problems: Can All Tiles of a Tiling Have Five-Fold Symmetry?", The American Mathematical Monthly, 89 (8): 568–570+583–585, doi:10.2307/2320829, JSTOR 2320829, MR 1540019.
  19. ↑ Sánchez, José; Escrig, Félix (December 2011), "Frames designed by Leonardo with short pieces: An analytical approach", International Journal of Space Structures, 26 (4): 289–302, doi:10.1260/0266-3511.26.4.289, S2CID 108639647.
Retrieved from ‘https://www.vigyanwiki.in/index.php?title=पायथागॉरियन_टाइलिंग&oldid=58586’