पुनरावृत्ति परिमाणीकरण विश्लेषण

पुनरावृत्ति परिमाणीकरण विश्लेषण (आरक्यूए) गतिशील प्रणालियों की जांच के लिए गैर-रेखीय डेटा विश्लेषण (सीएफ चाओस सिद्धांत) की विधि है। यह अपने चरण स्थान प्रक्षेपवक्र द्वारा प्रस्तुत गतिशील प्रणाली की पुनरावृत्ति की संख्या और अवधि को निर्धारित करता है।

पृष्ठभूमि

पुनरावृत्ति परिमाणीकरण विश्लेषण (आरक्यूए) को छोटे मापदंड की संरचनाओं के आधार पर भिन्न-भिन्न दिखने वाले पुनरावृत्ति प्लॉट (आरपी) को मापने के लिए विकसित किया गया था। पुनरावृत्ति प्लॉट ऐसे उपकरण हैं जो चरण स्थान प्रक्षेपवक्र ${\vec {x}}(i)$के पुनरावृत्ति व्यवहार की कल्पना करते हैं:

${R}(i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)$,

जहाँ $\Theta :\mathbf {R} \rightarrow \{0,1\}$ हेविसाइड फलन और $\varepsilon$ पूर्वनिर्धारित सहिष्णुता है।

पुनरावृत्ति प्लॉट में अधिकतर एकल बिंदु और रेखाएं होती हैं जो माध्य विकर्ण (पहचान की रेखा, एलओआई) के समानांतर होती हैं या जो लंबवत/क्षैतिज होती हैं। एलओआई के समानांतर रेखाओं को विकर्ण रेखाएं और ऊर्ध्वाधर संरचनाओं को ऊर्ध्वाधर रेखाएं कहा जाता है। क्योंकि आरपी सामान्यतः सममित होती है, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएं एक-दूसरे से मेल खाती हैं, और इसलिए, केवल लंबवत रेखाओं पर विचार किया जाता है। रेखाएँ चरण स्थान प्रक्षेपवक्र के विशिष्ट व्यवहार के अनुरूप होती हैं: जबकि विकर्ण रेखाएँ चरण स्थान प्रक्षेपवक्र के ऐसे खंडों का प्रतिनिधित्व करती हैं जो कुछ समय के लिए समानांतर चलते हैं, ऊर्ध्वाधर रेखाएँ उन खंडों का प्रतिनिधित्व करती हैं जो कुछ समय के लिए एक ही चरण स्थान क्षेत्र में रहते हैं।

यदि केवल एक समय श्रृंखला उपलब्ध है, तो समय विलंब एम्बेडिंग का उपयोग करके चरण स्थान का पुनर्निर्माण किया जा सकता है (टेकेन्स प्रमेय देखें):

${\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),$

जहाँ $u(i)$ समय श्रृंखला है, $m$ एम्बेडिंग आयाम और $\tau$ समय विलंब।

आरक्यूए पुनरावृत्ति भूखंडों की छोटे मापदंड की संरचनाओं की मात्रा निर्धारित करता है, जो गतिशील प्रणाली की पुनरावृत्ति की संख्या और अवधि प्रस्तुत करता है। आरक्यूए के लिए प्रारंभ किए गए उपायों को 1992 और 2002 (ज़्बिलुत और वेबर 1992; वेबर और ज़्बिलुत 1994; मारवान एट अल 2002) के मध्य अनुमानतः विकसित किया गया था। वे वास्तव में सम्मिश्रता हैं। पुनरावृत्ति परिमाणीकरण विश्लेषण का मुख्य लाभ यह है कि यह छोटे और गैर-स्थिर डेटा के लिए भी उपयोगी जानकारी प्रदान कर सकता है, जहां अन्य विधियां विफल हो जाती हैं।

आरक्यूए को लगभग हर प्रकार के डेटा पर प्रयुक्त किया जा सकता है। इसका व्यापक रूप से फिजियोलॉजी में उपयोग किया जाता है, किंतु इसे अभियांत्रिकी , रसायन विज्ञान, पृथ्वी विज्ञान आदि की समस्याओं पर भी सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है।

आरक्यूए के उपाय

सबसे सरल माप पुनरावृत्ति दर है, जो पुनरावृत्ति प्लॉट में पुनरावृत्ति बिंदुओं का घनत्व है:

${\text{RR}}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{R}(i,j).$

पुनरावृत्ति दर उस संभावना से मेल खाती है कि विशिष्ट स्थिति दोबारा होगी। यह सहसंबंध योग की परिभाषा के लगभग बराबर है, जहां एलओआई को गणना से बाहर रखा गया है।

अगला माप पुनरावृत्ति बिंदुओं का प्रतिशत है जो न्यूनतम लंबाई $\ell _{\min }$ की पुनरावृत्ति प्लॉट में विकर्ण रेखाएं बनाते हैं:

${\text{DET}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =1}^{N}\ell P(\ell )}},$

जहाँ $P(\ell )$ विकर्ण रेखाओं की लंबाई $\ell$ का आवृत्ति वितरण है (अर्थात, यह गणना करता है कि कितने उदाहरणों की लंबाई $\ell$ है)। इस माप को नियतिवाद कहा जाता है और यह गतिशील प्रणाली की पूर्वानुमेयता से संबंधित है, क्योंकि सफेद ध्वनि में लगभग केवल एकल बिंदुओं और बहुत कम विकर्ण रेखाओं के साथ पुनरावृत्ति प्लॉट होता है, जबकि नियतिवादी प्रक्रिया में बहुत कम एकल बिंदुओं और कई लंबी विकर्ण रेखाओं के साथ एक पुनरावृत्ति प्लॉट होता है।

ऊर्ध्वाधर रेखाएँ बनाने वाले पुनरावृत्ति बिंदुओं की संख्या को उसी तरह से निर्धारित किया जा सकता है:

${\text{LAM}}={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=1}^{N}vP(v)}},$

जहाँ $P(v)$ ऊर्ध्वाधर रेखाओं की लंबाई $v$ का आवृत्ति वितरण है, जिनकी लंबाई कम से कम $v_{\min }$ है। इस माप को लैमिनैरिटी कहा जाता है और यह प्रणाली में लैमिनर चरणों की मात्रा (आंतरायिकता) से संबंधित है।

विकर्ण और ऊर्ध्वाधर रेखाओं की लंबाई भी मापी जा सकती है। औसत विकर्ण रेखा की लंबाई

${\text{L}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}P(\ell )}}$

गतिशील प्रणाली की पूर्वानुमेयता समय और ट्रैपिंग समय से संबंधित है, ऊर्ध्वाधर रेखाओं की औसत लंबाई को मापता है,

$TT={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=v_{\min }}^{N}P(v)}}$

गतिशील प्रणाली के लैमिनैरिटी समय से संबंधित है, अर्थात प्रणाली विशिष्ट स्थिति में कितने समय तक रहता है।

क्योंकि विकर्ण रेखाओं की लंबाई उस समय से संबंधित होती है जब चरण स्थान प्रक्षेपवक्र के लंबे खंड समानांतर चलते हैं, अर्थात प्रक्षेपवक्र के विचलन व्यवहार पर, कभी-कभी यह कहा जाता था कि विकर्ण रेखाओं की अधिकतम लंबाई का गुणक व्युत्क्रम (बिना एलओआई) गतिशील प्रणाली के सकारात्मक अधिकतम ल्यपुनोव प्रतिपादक के लिए अनुमानक होता है। इसलिए, 'अधिकतम विकर्ण रेखा लंबाई' $L_{\max }$ या विचलन है

$DIV={\frac {1}{L_{\max }}}$

आरक्यूए के उपाय भी हैं। चूँकि, सकारात्मक अधिकतम ल्यपुनोव प्रतिपादक के साथ इन उपायों के मध्य संबंध उतना आसान नहीं है जितना कहा गया है, किंतु और भी अधिक सम्मिश्र है (आरपी ​​से ल्यपुनोव प्रतिपादक की गणना करने के लिए, विकर्ण रेखाओं की संपूर्ण आवृत्ति वितरण पर विचार करना होगा)। विचलन में सकारात्मक अधिकतम ल्यपुनोव प्रतिपादक की प्रवृत्ति हो सकती है, किंतु इससे अधिक नहीं होती है। इसके अतिरिक्त, श्वेत ध्वनि प्रक्रियाओं के आरपी में वास्तव में लंबी विकर्ण रेखा हो सकती है, चूँकि बहुत कम ही, केवल सीमित संभावना से। इसलिए, विचलन अधिकतम ल्यपुनोव प्रतिपादक को प्रतिबिंबित नहीं कर सकता है।

संभावना $p(\ell )$ कि विकर्ण रेखा की लंबाई $\ell$ पूर्णतः सही होती है, $P(\ell )$ के साथ आवृत्ति वितरण से अनुमान $p(\ell )={\frac {P(\ell )}{\sum _{\ell =l_{\min }}^{N}P(\ell )}}$ लगाया जा सकता है। इस संभावना की शैनन एन्ट्रापी,

${\text{ENTR}}=-\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}p(\ell )\ln p(\ell ),$

प्रणाली में नियतात्मक संरचना की सम्मिश्रता को दर्शाता है। चूँकि, यह एन्ट्रापी बिन संख्या पर संवेदनशील रूप से निर्भर करती है और इस प्रकार, एक ही प्रक्रिया की विभिन्न प्राप्ति के साथ-साथ विभिन्न डेटा तैयारियों के लिए भिन्न हो सकती है।

आरक्यूए का अंतिम माप पुनरावृत्ति प्लॉट के थिनिंग-आउट की मात्रा निर्धारित करता है। प्रवृत्ति एलओआई के समानांतर रेखा में पुनरावृत्ति बिंदुओं के घनत्व और एलओआई से इसकी दूरी के मध्य रैखिक संबंध का प्रतिगमन गुणांक है। अधिक स्पष्ट रूप से, k दूरी के LOI के समानांतर विकर्ण रेखा में पुनरावृत्ति दर पर विचार करें (विकर्ण-वार पुनरावृत्ति दर या τ-पुनरावृत्ति दर):

${\text{RR}}_{k}={\frac {1}{N-k}}\sum _{j-i=k}^{N-k}{R}(i,j),$

तब प्रवृत्ति को परिभाषित किया जाता है

${\text{TREND}}={\frac {\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)(RR_{i}-\langle RR_{i}\rangle )}{\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)^{2}}},$

औसत मान के रूप में $\langle \cdot \rangle$ और ${\tilde {N}}<N$ के साथ। इस बाद वाले संबंध को पुनरावृत्ति प्लॉट के किनारों में बहुत कम पुनरावृत्ति बिंदु घनत्व के किनारे प्रभावों से बचना सुनिश्चित करना चाहिए। माप प्रवृत्ति प्रणाली की स्थिरता के बारे में जानकारी प्रदान करती है।

$\tau$-पुनरावृत्ति दर के समान, विकर्ण रेखाओं (डीईटी, एल, ईएनटीआर) पर आधारित अन्य उपायों को विकर्ण-वार परिभाषित किया जा सकता है। ये परिभाषाएँ विभिन्न प्रणालियों के मध्य अंतर्संबंधों या तुल्यकालन का अध्ययन करने के लिए उपयोगी हैं (पुनरावृत्ति प्लॉट या पुनरावृत्ति प्लॉट या एक्सटेंशन का उपयोग करके)।

समय पर निर्भर आरक्यूए

संपूर्ण पुनरावृत्ति प्लॉट के आरक्यूए उपायों की गणना करने के अतिरिक्त, उनकी गणना एलओआई के साथ पुनरावृत्ति प्लॉट पर चलती छोटी विंडोज़ में की जा सकती है। यह समय-निर्भर आरक्यूए उपाय प्रदान करता है जो पता लगाने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, अराजकता-संक्रमण (मारवान एट अल। 2002)। ध्यान दें: विंडो के आकार का चुनाव माप प्रवृत्ति को दृढ़ता से प्रभावित कर सकता है।

उदाहरण

लॉजिस्टिक मानचित्र के लिए द्विभाजन आरेख।

नियंत्रण पैरामीटर की विभिन्न सेटिंग के लिए लॉजिस्टिक मानचित्र के आरक्यूए उपाय। आरआर और डीईटी उपाय अराजकता-आदेश/आदेश-अराजकता संक्रमण पर अधिकतमता प्रदर्शित करते हैं। माप डीआईवी में अधिकतम ल्यपुनोव प्रतिपादक के समान प्रवृत्ति है (किंतु यह समान नहीं है!)। माप एलएएम में अराजकता-संक्रमण (लैमिनर चरण, रुक-रुक कर) पर अधिकतम सीमा होती है।

यह भी देखें

• पुनरावृत्ति कथानक, गतिशील (और अन्य) प्रणालियों में पुनरावृत्ति का शक्तिशाली विज़ुअलाइज़ेशन उपकरण।
• पुनरावृत्ति अवधि घनत्व एन्ट्रापी, नियतात्मक और स्टोकेस्टिक गतिशील प्रणालियों दोनों की पुनरावृत्ति गुणों को सारांशित करने के लिए सूचना-सैद्धांतिक विधि।
• अनुमानित एन्ट्रापी

अग्रिम पठन

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• Girault, J.-M. (2015). "Recurrence and Symmetry of time series : application to transition detection" (PDF). Chaos, Solitons & Fractals. 77: 11–28. Bibcode:2015CSF....77...11G. doi:10.1016/j.chaos.2015.04.010.

बाहरी संबंध

• http://www.recurrence-plot.tk/