प्रतिरूप अनुक्रम न्यूनन

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प्रतिरूप अनुक्रम न्यूनन (एमओआर) संख्यात्मक सिमुलेशन में गणितीय प्रतिरूप के कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी को कम करने की तकनीक है। इस प्रकार यह गणितीय प्रतिरूपण के सभी क्षेत्रों में अनुप्रयोगों के साथ, मेटामॉडलिंग की अवधारणा से संबंधित है।

अवलोकन

वास्तविक जीवन की प्रक्रियाओं के विभिन्न आधुनिक गणितीय प्रतिरूप सम्मिश्रता और बड़े आकार (आयाम) के कारण संख्यात्मक सिमुलेशन में उपयोग किए जाने पर चुनौतियां उत्पन्न करते हैं। प्रतिरूप अनुक्रम में न्यूनन का उद्देश्य ऐसी समस्याओं की कम्प्यूटेशनल सम्मिश्रता को कम करना है, उदाहरण के लिए, बड़े मापदंड पर गतिशील प्रणालियों और नियंत्रण प्रणालियों के सिमुलेशन में प्रतिरूप के संबद्ध स्टेट स्पेस आयाम या स्वतंत्रता की डिग्री में न्यूनन करके, मूल प्रतिरूप के लिए अनुमान की गणना की जाती है जिसे सामान्यतः न्यूनन अनुक्रम प्रतिरूप के रूप में जाना जाता है।

इस प्रकार न्यूनन अनुक्रम प्रतिरूप उन सेटिंग्स में उपयोगी होते हैं जहां पूर्ण पूर्ण अनुक्रम प्रतिरूप का उपयोग करके संख्यात्मक सिमुलेशन करना अधिकांशतः संभव नहीं होता है। यह कम्प्यूटेशनल रिसोर्स में सीमाओं या सिमुलेशन सेटिंग की आवश्यकताओं के कारण हो सकता है, उदाहरण के लिए रीयल-टाइम कंप्यूटिंग या रीयल-टाइम सिमुलेशन सेटिंग्स या विभिन्न-क्वेरी सेटिंग्स जिसमें बड़ी संख्या में सिमुलेशन करने की आवश्यकता होती है।[1][2] रीयल-टाइम सिमुलेशन सेटिंग्स के उदाहरणों में इलेक्ट्रॉनिक्स में कंट्रोल सिस्टम और प्रतिरूप परिणामों का डेटा विज़ुअलाइज़ेशन सम्मिलित है, जबकि विभिन्न-क्वेरी सेटिंग के उदाहरणों में गणितीय अनुकूलन समस्या और डिज़ाइन अन्वेषण सम्मिलित हो सकते हैं। वास्तविक संसार की समस्याओं पर प्रयुक्त होने के लिए, अधिकांशतः न्यूनन अनुक्रम प्रतिरूप की आवश्यकताएं होती हैं:[3][4]

  • पूर्ण अनुक्रम प्रतिरूप की तुलना में छोटी सन्निकटन त्रुटि है।
  • पूर्ण अनुक्रम प्रतिरूप के गुणों और विशेषताओं का संरक्षण (जैसे इलेक्ट्रॉनिक्स में स्थिरता और निष्क्रियता (इंजीनियरिंग) का उपयोग किया जाता है।।
  • कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल और सशक्त न्यूनन अनुक्रम प्रतिरूपण तकनीक का उपयोग किया जाता है।

इस प्रकार यह ध्यान रखना रोचक है कि कुछ स्थितियों में (उदाहरण के लिए बहुपद अंतर समीकरणों की प्रतिबंधित लम्पिंग) शून्य सन्निकटन त्रुटि होना संभव है, जिसके परिणामस्वरूप सटीक प्रतिरूप क्रम में न्यूनन आती है।[5]

विधि

इस प्रकार समकालीन प्रतिरूप अनुक्रम न्यूनन तकनीकों को सामान्यतः 5 वर्गों में वर्गीकृत किया जा सकता है:[1][6]

  • समुचित ऑर्थोगोनल अपघटन विधियाँ।[7][8]
  • न्यूनीकृत आधार विधियाँ।[9]
  • संतुलन के विधि
  • सरलीकृत भौतिकी [10] या परिचालन आधारित न्यूनन के विधि।[3]
  • नॉनलीनियर मैनिफोल्ड विधियाँ।[11][12]

इस प्रकार सरलीकृत भौतिकी दृष्टिकोण को पारंपरिक गणितीय प्रतिरूपण दृष्टिकोण के अनुरूप वर्णित किया जा सकता है, जिसमें भौतिक अंतर्दृष्टि या अन्यथा प्राप्त जानकारी का उपयोग करके मान्यताओं और सरलीकरणों के आधार पर प्रणाली का न्यूनीकृत सम्मिश्र विवरण तैयार किया जाता है। चूंकि, प्रतिरूप अनुक्रम में न्यूनन के संदर्भ में यह दृष्टिकोण अधिकांशतः विचार का विषय नहीं होता है क्योंकि यह विज्ञान, इंजीनियरिंग और गणित में सामान्य विधि है।

इस प्रकार शेष सूचीबद्ध विधियाँ प्रक्षेपण-आधारित न्यूनन की श्रेणी में आती हैं। प्रक्षेपण-आधारित न्यूनन मूल समाधान समष्टि की तुलना में न्यूनीकृत आयामीता के आधार पर या तो प्रतिरूप समीकरणों या समाधान के प्रक्षेपण पर निर्भर करती है। वह विधियाँ जो इस वर्ग में आती हैं किन्तु संभवतः न्यूनीकृत सामान्य हैं:

कार्यान्वयन

  • आरबीमैटलैब: मैटलैब लाइब्रेरी जिसमें परिमित अवयव, परिमित मात्रा या स्थानीय असंतत गैलरकिन विवेक के साथ रैखिक और अरेखीय, एफ़िन या इच्छानुसार विधि से मापदंड पर निर्भर विकास समस्याओं के लिए सभी न्यूनीकृत सिमुलेशन दृष्टिकोण सम्मिलित हैं। अधिक जानकारी डाउनलोड और डॉक्यूमेंटेसन पेज पर पाई जा सकती है।
  • एएनएसवाईएस के अंदर प्रतिरूप न्यूनन: एएनएसवाईएस में बहुभौतिकीय परिमित अवयव प्रतिरूप के लिए क्रायलोव-आधारित प्रतिरूप अनुक्रम न्यूनन को प्रयुक्त करता है। एएनएसवाईएस के अंदर प्रतिरूप न्यूनन के माध्यम से प्रतिरूप सरलीकरण घटक विकास में अनुकूलन रणनीतियों के साथ-साथ इलेक्ट्रॉनिक्स, ऑटोमोटिव या माइक्रोसिस्टम्स के क्षेत्र में समग्र सिस्टम सिमुलेशन में कॉम्पैक्ट प्रतिरूप को एकीकृत करने के लिए उपयुक्त है। न्यूनन के अतिरिक्त, परीक्षा मापदंडों को बनाए रखा गया है, जिसका अर्थ है कि डिजाइन और सिस्टम सिमुलेशन के संबंध में तेजी से परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक जानकारी के लिए, https://www.cadfem.net/en/our-solutions/cadfem-एएनएसवाईएस-extensions/model-reduction-inside-ansys.html पर जाएं।
  • पाइमोर: पाइमोर पायथन प्रोग्रामिंग लैंग्वेज के साथ प्रतिरूप अनुक्रम न्यूनन एप्लिकेशन बनाने के लिए सॉफ्टवेयर लाइब्रेरी है। इसका मुख्य फोकस पैरामिट्रीकृत आंशिक अंतर समीकरणों के लिए न्यूनीकृत आधार विधियों के अनुप्रयोग पर है। पाइमोर में सभी एल्गोरिदम बाहरी उच्च-आयामी पीडीई सॉल्वर के साथ निर्बाध एकीकरण के लिए एब्स्ट्रेक्ट इंटरफेस के संदर्भ में तैयार किए गए हैं। इसके अतिरिक्त, शीघ्र आरंभ करने के लिए न्यूमपी/साइपी वैज्ञानिक कंप्यूटिंग स्टैक का उपयोग करके परिमित अवयव और परिमित मात्रा विवेक के शुद्ध पायथन कार्यान्वयन प्रदान किए जाते हैं। अधिक जानकारी के लिए, http://pymor.org पर जाएँ
  • ईएमजीआर: एम्पिरिकल ग्रामियन फ्रेमवर्क प्रतिरूप अनुक्रम में न्यूनन, अनिश्चितता मात्रा का स्थिरता या सिस्टम पहचान के प्रयोजनों के लिए एम्पिरिकल व्याकरण की गणना रैखिक और गैर-रेखीय नियंत्रण प्रणालियों के लिए की जा सकती है। ईएमजीआर फ्रेमवर्क ग्रामियन-आधारित प्रतिरूप न्यूनन के लिए कॉम्पैक्ट ओपन सोर्स टूलबॉक्स है और ऑक्टेव और मैटलैब के साथ संगत है। और अधिक जानकारी के लिए: http://gramian.de पर जाएँ
  • केरमोर: ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड मैटलैब© लाइब्रेरी नॉनलाइनियर डायनेमिक सिस्टम के प्रतिरूप अनुक्रम में न्यूनन के लिए रूटीन प्रदान करती है। उप-समष्टि प्रक्षेपण और कर्नेल विधियों या डीईआईएम के माध्यम से गैर-रेखीयताओं के सन्निकटन के माध्यम से न्यूनन प्राप्त की जा सकती है। पीओडी-ग्रीडी विधि जैसी मानक प्रक्रियाओं को सरलता से प्रयुक्त किया जाता है और साथ ही विभिन्न सिस्टम कॉन्फ़िगरेशन के लिए उन्नत ए-पोस्टीरियर त्रुटि अनुमानक भी प्रयुक्त किए जाते हैं। प्रदान की गई कार्यक्षमता से शीघ्रता से परिचित होने के लिए केरमोर में विभिन्न कार्य उदाहरण और कुछ डेमो फ़ाइल भी सम्मिलित हैं। अधिक जानकारी http://www.morepas.org/software/केरमोर/ पर पाई जा सकती है
  • जेआरएमओएस: जेआरएमओएस का कारण जावा रिड्यूस्ड प्रतिरूप सिमुलेशन है और इसका उद्देश्य किसी भी जावा-सक्षम प्लेटफॉर्म पर विभिन्न स्रोतों से विभिन्न रिड्यूस्ड मॉडलों के आयात और सिमुलेशन को सक्षम करना है। अब तक आरबीमैटलैब, केरमोर और आरबीएमआईटी रिड्यूस्ड प्रतिरूप के लिए समर्थन उपस्थित है, जहां हम केवल आरबीएमआईटी प्रतिरूप आयात कर सकते हैं जो पहले आरबीएपीएमआईटी एंड्रॉइड एप्लिकेशन के साथ प्रकाशित हो चुके हैं। अब तक के एक्सटेंशन न्यूनन प्रतिरूप को चलाने के लिए डेस्कटॉप-वर्जन हैं और केरमोर कर्नेल-आधारित न्यूनन प्रतिरूप के लिए प्रारंभिक समर्थन आने वाला है। अधिक जानकारी http://www.morepas.org/software/जेआरएमओएस/ पर पाई जा सकती है
  • मोरलैब: प्रतिरूप अनुक्रम न्यूनन प्रयोगशाला यह टूलबॉक्स मैट्रिक्स समीकरणों के समाधान के आधार पर रैखिक गतिशील प्रणालियों के प्रतिरूप क्रम में न्यूनन के लिए मैटलैब/ओकटाव रूटीन का संग्रह है। कार्यान्वयन वर्णक्रमीय प्रक्षेपण विधियों पर आधारित है, उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स साइन फ़ंक्शन और मैट्रिक्स डिस्क फ़ंक्शन पर आधारित विधियां इस सॉफ़्टवेयर के बारे में अधिक जानकारी के लिए देखें: https://www.mpi-magdeburg.mpg.de/projects/morlab
  • ड्यून-आरबी: ड्यून लाइब्रेरी के लिए मॉड्यूल (www.dune-project.org, http://dune.mathematik.uni-freiburg.de), जो स्नैपशॉट जेनरेशन और आरबी ऑफ़लाइन चरणों में उपयोग के लिए सी++ टेम्पलेट कक्षाओं का अनुभव करता है। विभिन्न विवेकाधिकार. सिंगल-कोर एल्गोरिदम के अतिरिक्त, पैकेज का लक्ष्य पैरेललिज़ का उपयोग करना भी हैकुशल स्नैपशॉट निर्माण के लिए तकनीकें और अधिक जानकारी के लिए देखें: http://users.dune-project.org/projects/dune-rb/wiki
  • लिबरोम: C++ कक्षाओं का संग्रह जो आंशिक और साधारण अंतर समीकरणों की प्रणालियों के लिए प्रतिरूप अनुक्रम में न्यूनन और हाइपर-न्यूनन की गणना करता है। लिबरोम में समुचित ऑर्थोगोनल अपघटन के लिए स्केलेबल और समानांतर, अनुकूली विधि, हाइपर-न्यूनन के लिए समानांतर, गैर-अनुकूली विधि और यादृच्छिक एकवचन मूल्य अपघटन सम्मिलित हैं। लिबरोम में डायनामिक मोड अपघटन क्षमता भी सम्मिलित है। लिबरोम में भौतिकी-सूचित लालची प्रारूपिकरण क्षमता है। स्रोत कोड https://github.com/LLNL/लिबरोम। वेबपेज पर पाए जा सकते हैं: यहां https://www.librom.net, पाया जा सकता है: जहां आप विभिन्न उदाहरण पा सकते हैं, उदाहरण के लिए, शॉक-मूविंग वेव के साथ लैग्रेंजियन हाइड्रोडायनामिक्स के लिए न्यूनन अनुक्रम प्रतिरूप का उपयोग किया जाता है।[16]
  • प्रेसियो: प्रेसियो ओपन-सोर्स प्रोजेक्ट है जिसका उद्देश्य बड़े मापदंड के कोड के लिए प्रक्षेपण-आधारित न्यूनीकृत-अनुक्रम प्रतिरूप की अतिक्रमण की प्रकृति को न्यूनीकृत करना है। प्रोजेक्ट का मूल हेडर-ओनली C++ लाइब्रेरी है जो इच्छानुसार डेटा-प्रकारों का उपयोग करके साझा या वितरित मेमोरी अनुप्रयोगों के साथ इंटरफेस करने के लिए सामान्य प्रोग्रामिंग का लाभ उठाता है। प्रेसियो प्रतिरूप न्यूनन करने के लिए विभिन्न कार्यात्मकताएं और सॉल्वर प्रदान करता है, जैसे गैलेर्किन और न्यूनतम-वर्ग पेट्रोव-गैलेर्किन अनुमान प्रेसियो इकोसिस्टम यह भी प्रदान करता है: (1) प्रेसियो4पाई, प्रोटोटाइपिंग में सरलता के लिए पायथन बाइंडिंग लाइब्रेरी, (2) प्रेसियो-ट्यूटोरियल, लाइब्रेरी जो एंड-टू-एंड डेमो भी प्रदान करती है जिसे कोई भी सरलता से खेल सकता है, जो https://pressio.github.io/pressio-tutorials/ पर पाया जा सकता है, (3) प्रेसियो-टूल्स, बड़े मापदंड पर एसवीडी, क्यूआर और प्रारूप मेस के लिए लाइब्रेरी, और (4) प्रेसियो-डेमोएप्स, रोम और हाइपर-न्यूनन के परीक्षण के लिए 1d, 2d और 3d डेमो अनुप्रयोगों का इकोसिस्टम की मुख्य वेबसाइट https://pressio.github.io/ पर पाई जा सकती है, C++ लाइब्रेरी डॉक्यूमेंट https://pressio.github.io/pressio/ पर पाया जा सकता है।

अनुप्रयोग

इस प्रकार प्रतिरूप क्रम में न्यूनन गणितीय प्रतिरूपण और विभिन्न समीक्षाओं से जुड़े सभी क्षेत्रों में प्रयुक्त होती है [10][13] इलेक्ट्रानिक्स द्रव यांत्रिकी,[17] हाइड्रोडायनामिक्स,[16] संरचनात्मक यांत्रिकी,[7] एमईएमएस, [18] बोल्ट्ज़मैन समीकरण,[8] और डिज़ाइन अनुकूलन के विषयों के लिए उपस्थित हैं[19]।[14][20]

द्रव यांत्रिकी

इस प्रकार द्रव यांत्रिकी में वर्तमान समस्याओं में विभिन्न भिन्न-भिन्न मापदंड पर विभिन्न प्रभावों का प्रतिनिधित्व करने वाली बड़ी गतिशील प्रणालियाँ सम्मिलित हैं। कम्प्यूटेशनल तरल गतिशीलता अध्ययन में अधिकांशतः नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को परिमाण के ऊपर के क्रम में स्वतंत्रता की विभिन्न डिग्री के साथ हल करने वाले प्रतिरूप सम्मिलित होते हैं। प्रतिरूप अनुक्रम न्यूनन तकनीकों का पहला उपयोग 1967 में लुमली के काम से मिलता है,[21] जहां इसका उपयोग द्रव प्रवाह समस्याओं में उपस्थित टर्बुलेन्स और सुसंगत टर्बुलेन्स संरचनाओं के तंत्र और तीव्रता में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए किया गया था। प्रतिरूप अनुक्रम में न्यूनन को विमान के निकाय पर प्रवाह को प्रतिरूप करने के लिए वैमानिकी में आधुनिक अनुप्रयोगों का भी पता चलता है।[22] उदाहरण लिउ एट अल में पाया जा सकता है [23] जिसमें 2.1 मिलियन डिग्री से अधिक स्वतंत्रता के साथ जनरल डायनेमिक्स एफ-16 फाइटिंग फाल्कन लड़ाकू विमान का पूर्ण अनुक्रम प्रतिरूप, केवल 90 डिग्री स्वतंत्रता के प्रतिरूप में एकत्र हो गया था। इसके अतिरिक्त न्यूनीकृत क्रम प्रतिरूपण को हेमोडायनामिक्स में रियोलॉजी और वैस्कुलर सिस्टम और वैस्कुलर वाल्स के माध्यम से बहने वाले रक्त के मध्य द्रव-संरचना इंटरेक्सन का अध्ययन करने के लिए प्रयुक्त किया गया है।[24][25]

यह भी देखें

संदर्भ

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अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

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