प्रभाव रेखा

चित्र 1: (A) यह सरल समर्थित किरण एक इकाई भार के साथ बाएं छोर से x दूरी पर दिखाया गया है। चार अलग-अलग फलनों के लिए इसकी प्रभाव रेखाएं: (B) बाएं आलम्बन पर प्रतिक्रिया (निरूपित A), (C) सही आलम्बन पर प्रतिक्रिया (निरूपित C), (D) किरण के साथ एक बिंदु B पर अपरूपण के लिए, और (E) एक आघूर्ण के लिए भी बिंदु B पर।

अभियांत्रिकी में, प्रभाव रेखा संरचना के साथ किसी भी बिंदु पर रखे गए एक इकाई भार के कारण एक किरण या ट्रस (बंधन) पर एक विशिष्ट बिंदु पर एक फलन (जैसे कि अपरूपण, आघूर्ण आदि। एक संरचनात्मक इकाई में अनुभव किया जाता है) जिसकी भिन्नता को रेखांकन करती है। प्रभाव रेखाओं के साथ अध्ययन किए जाने वाले सामान्य कार्यों में प्रतिक्रियाएं सम्मिलित हैं (बल जो संरचना के आलम्बन को स्थिर रहने के लिए संरचना के लिए प्रयुक्त होनी चाहिए), अपरूपण, आघूर्ण और विक्षेपण (विरूपण) सम्मिलित हैं। पुल, भारोत्तोलन यंत्र रेल, वाहित्र क्षेत्र, कार्यस्थल धरण, और अन्य संरचनाओं में उपयोग किए जाने वाले किरण (बीम) और ट्रस को डिजाइन करने में प्रभाव रेखाएं महत्वपूर्ण हैं, जहां भार उनकी अवधि के साथ आगे बढ़ेगा। प्रभाव रेखाएँ दिखाती हैं कि अध्ययन किए गए किसी भी कार्य के लिए भार कहाँ अधिकतम प्रभाव उत्पन्न करेगा।

प्रभाव रेखाएँ अदिश (गणित) और योज्य मानचित्र दोनों हैं। इसका तात्पर्य यह है कि उनका उपयोग तब भी किया जा सकता है जब प्रयुक्त किया जाने वाला भार एक इकाई भार नहीं है या यदि कई भार प्रयुक्त होते हैं। किसी संरचना पर किसी गैर-इकाई भार के प्रभाव का पता लगाने के लिए, प्रभाव रेखा द्वारा प्राप्त समन्वय परिणाम को प्रयुक्त किए जाने वाले वास्तविक भार के परिमाण से गुणा किया जाता है। संपूर्ण प्रभाव रेखा को बढ़ाया जा सकता है, या केवल रेखा के साथ अधिकतम और न्यूनतम प्रभावों का अनुभव किया जा सकता है। मापन किए गए अधिकतम और न्यूनतम महत्वपूर्ण परिमाण हैं जिन्हें किरण या ट्रस में डिज़ाइन किया जाना चाहिए।

ऐसे स्थितियों में जहां कई भार प्रभाव में हो सकते हैं, कुल प्रभाव प्राप्त करने के लिए अलग-अलग भारों के लिए प्रभाव रेखाओं को एक साथ जोड़ा जा सकता है, जो किसी दिए गए बिंदु पर संरचना को अनुभव करता है। प्रभाव रेखाओं को एक साथ जोड़ते समय, संरचना में भार के अंतर के कारण उपयुक्त समायोजन सम्मिलित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, संरचना पर एक ट्रक भार प्रयुक्त होता है। पश्च अक्षदण्ड, B, अग्र अक्षदण्ड, A से तीन फीट पीछे है, तो संरचना के साथ x फीट पर A का प्रभाव संरचना के साथ (x - 3) फीट पर B के प्रभाव में जोड़ा जाना चाहिए, संरचना के साथ पर B का प्रभाव नहीं x फीट के प्रभाव को नहीं जोड़ा जाना चाहिए।

कई भार केंद्रित होने के अतिरिक्त वितरित किए जाते हैं। प्रभाव रेखाओं का उपयोग या तो केंद्रित या वितरित भारण के साथ किया जा सकता है। एक केंद्रित (या बिंदु) भार के लिए, एक इकाई बिंदु भार को संरचना के साथ ले जाया जाता है। किसी दिए गए चौड़ाई के वितरित भार के लिए, समान चौड़ाई के एक इकाई-वितरित भार को संरचना के साथ ले जाया जाता है, यह देखते हुए कि जैसे-जैसे भार सिरों के पास आता है और संरचना से हटता है, कुल भार का केवल एक हिस्सा संरचना द्वारा वहन किया जाता है। वितरित इकाई भार का प्रभाव संरचनाओं की इसी लंबाई पर बिंदु भार की प्रभाव रेखा को एकीकृत करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

निर्धारित संरचनाओं की प्रभाव रेखाएँ एक तंत्र बन जाती हैं जबकि अनिश्चित संरचनाओं की प्रभाव रेखाएँ केवल निर्धारित हो जाती हैं।

बेट्टी के प्रमेय से प्रदर्शन

प्रभाव रेखाएँ बेट्टी के प्रमेय पर आधारित हैं। वहां से, दो बाहरी बल प्रणालियों, $F_{i}^{P}$ और $F_{i}^{Q}$ पर विचार करें, प्रत्येक एक विस्थापन क्षेत्र से जुड़ा है जिसका विस्थापन बल के अनुप्रयोग बिंदु $d_{i}^{P}$ और $d_{i}^{Q}$ में मापा जाता है।

विचार करें कि $F_{i}^{P}$ प्रणाली संरचना पर प्रयुक्त वास्तविक बलों का प्रतिनिधित्व करती है, जो संतुलन में हैं। विचार करें कि $F_{i}^{Q}$ प्रणाली एक बल $F^{Q}$ द्वारा बनाई गई है विस्थापन क्षेत्र $d_{i}^{Q}$ इस बल से जुड़े को उस बिंदु $F^{Q}$पर कार्य करने वाले संरचनात्मक प्रतिबंधों को जारी करके परिभाषित किया गया है और प्रयुक्त किया जाता है और एक सापेक्ष इकाई विस्थापन लगाया जाता है जो ऋणात्मक दिशा में गतिज रूप से स्वीकार्य है, जिसे $d_{1}^{Q}=-1$ दर्शाया गया है। बेट्टी के प्रमेय से, हम निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं:

$-F_{1}^{P}+\sum _{i=2}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=F^{Q}\times 0\iff F_{1}^{P}=\sum _{i=2}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}$

अवधारणा

किरण या ट्रस को डिजाइन करते समय, संरचना इकाइयों के अंदर अधिकतम अपेक्षित प्रतिक्रियाओं, अपरूपण और आघूर्णों के कारण परिदृश्यों के लिए डिजाइन करना आवश्यक है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि संरचना के जीवन के समय कोई इकाई विफल न हो। अचल भार से निर्धारित करने के समय (ऐसे भार जो कभी नहीं चलते हैं, जैसे कि संरचना का भार), यह अपेक्षाकृत आसान है क्योंकि भार की भविष्यवाणी करना और योजना बनाना आसान है। सक्रिय भार के लिए (कोई भी भार जो संरचना के जीवन के समय चलता है, जैसे कि फर्नीचर और लोग), यह अनुमान लगाना बहुत कठिन हो जाता है कि भार कहाँ होगा या वे संरचना के पूरे जीवन में कितने केंद्रित या वितरित होंगे।

प्रभाव रेखाएँ एक किरण या ट्रस की प्रतिक्रिया को रेखांकन करती हैं क्योंकि एक इकाई भार इसके आगे जाता है। प्रभाव रेखा डिजाइनरों को यह पता लगाने में सहायक करती है कि निम्नलिखित कार्यों में से प्रत्येक के लिए अधिकतम परिणामी प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए प्रतिक्रिया, अपरूपण या आघूर्ण सक्रिय भार कहां रखा जाए। इसके बाद डिजाइनर प्रत्येक कार्य की अधिकतम प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए अधिकतम अपेक्षित भार द्वारा प्रभाव रेखा को मापन कर सकता है जिसके लिए किरण या ट्रस को डिजाइन किया जाना चाहिए। प्रयुक्त इकाई भार के लिए अन्य कार्यों (जैसे विक्षेपण या अक्षीय बल) की प्रतिक्रियाओं को खोजने के लिए प्रभाव रेखाओं का भी उपयोग किया जा सकता है, लेकिन प्रभाव रेखाओं के ये उपयोग कम सामान्य हैं।

प्रभाव रेखाओं के निर्माण की विधियाँ

प्रभाव रेखा के निर्माण के लिए तीन विधियों का उपयोग किया जाता है। सबसे पहले संरचना के साथ कई बिंदुओं के लिए प्रभाव मानों को सारणीबद्ध करना है, फिर प्रभाव रेखा बनाने के लिए उन बिंदुओं का उपयोग करना है। दूसरा प्रभाव-रेखा समीकरणों को निर्धारित करना है जो संरचना पर प्रयुक्त होते हैं, जिससे x के संदर्भ में प्रभाव रेखा के साथ सभी बिंदुओं को हल किया जाता है, जहां x संरचना के प्रारंभ से उस बिंदु तक संयोजन की संख्या है जहां इकाई भार प्रयुक्त की गई है। तीसरी विधि को मुलर-ब्रेस्लाउ का सिद्धांत कहा जाता है। यह एक गुणात्मक डेटा प्रभाव रेखा बनाता है। यह प्रभाव रेखा अभी भी डिज़ाइनर को एक परिशुद्ध विचार प्रदान करेगी कि इकाई भार अध्ययन किए जा रहे बिंदु पर किसी फलन की सबसे बड़ी प्रतिक्रिया कहां उत्पन्न करेगा, लेकिन इसका उपयोग प्रत्यक्ष रूप से यह गणना करने के लिए नहीं किया जा सकता है कि प्रतिक्रिया कितनी परिमाण होगी, जबकि प्रभाव पहले दो तरीकों से उत्पादित रेखाए कर सकते हैं।

सारणीबद्ध मान

संरचना पर कुछ बिंदु A के संबंध में प्रभावशाली मानो को सारणीबद्ध करने के लिए, संरचना के साथ विभिन्न बिंदुओं पर एक इकाई भार रखा जाना चाहिए। स्थैतिकी का उपयोग यह गणना करने के लिए किया जाता है कि बिंदु A पर फलन (प्रतिक्रिया, अपरूपण या आघूर्ण) का मान क्या है। सामान्य रूप से ऊपर की ओर प्रतिक्रिया को धनात्मक रूप में देखा जाता है। अपरूपण और आघूर्ण आरेख के लिए उपयोग किए जाने वाले समान सम्मेलनों के अनुसार अपरूपण और आघूर्णों को धनात्मक या ऋणात्मक मान दिए जाते हैं।

आरसी हिबेलर ने अपनी पुस्तक संरचनात्मक विश्लेषण में कहा है, "सभी स्थिर रूप से निर्धारित किरणों में प्रभाव रेखाएं होंगी जिनमें सीधी रेखा खंड सम्मिलित होंगे।" इसलिए, उन बिंदुओं को पहचान कर संगणनाओं की संख्या को कम करना संभव है जो प्रभाव रेखा के प्रवणता में परिवर्तन का कारण बनेंगे और केवल उन बिंदुओं पर मानो की गणना करेंगे। विभक्ति रेखा का प्रवणता आलम्बन, मध्य-विस्तार और जोड़ों पर परवर्तित कर सकता है।

किसी दिए गए फलन के लिए एक प्रभाव रेखा, जैसे प्रतिक्रिया, अक्षीय बल, अपरूपण बल, या बंकन आघूर्ण, एक ग्राफ है जो किसी भी संरचना पर बिंदु इकाई भार के अनुप्रयोग के कारण संरचना पर किसी दिए गए बिंदु पर उस फलन की भिन्नता को दर्शाता है। ।

किसी फलन के लिए प्रभाव रेखा अपरूपण, अक्षीय या बंकन आघूर्ण आरेख से भिन्न होती है। एक संरचना पर कई बिंदुओं पर एक इकाई भार को स्वतंत्र रूप से प्रयुक्त करके और इस भार के कारण फलन के मान का निर्धारण करके, अर्थात अपरूपण, अक्षीय और वांछित स्थान पर आघूर्ण के द्वारा प्रभाव रेखाएं उत्पन्न की जा सकती हैं। प्रत्येक फलन के लिए परिकलित मान तब आलेखित किए जाते हैं जहां भार प्रयुक्त किया गया था और फिर फलन के लिए प्रभाव रेखा उत्पन्न करने के लिए एक साथ जुड़ा हुआ था।

एक बार प्रभाव मानों को सारणीबद्ध कर लेने के बाद, बिंदु A पर फलन के लिए प्रभाव रेखा x के संदर्भ में खींची जा सकती है। सबसे पहले, सारणीबद्ध मानो को स्थित होना चाहिए। सारणीबद्ध बिंदुओं के बीच के वर्गों के लिए, प्रक्षेप आवश्यक है। इसलिए, बिंदुओं को जोड़ने के लिए सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं। एक बार यह हो जाने के बाद, प्रभाव रेखा पूरी हो जाती है।

प्रभाव-रेखा समीकरण

किसी संरचना की संपूर्ण अवधि में प्रभाव रेखा को परिभाषित करने वाले समीकरण बनाना संभव है। यह एक विशिष्ट दूरी के अतिरिक्त संरचना के साथ x फीट (पाद) पर रखे गए एक इकाई भार के कारण बिंदु A पर प्रतिक्रिया, अपरूपण या आघूर्ण के लिए संशोधित करके किया जाता है। यह विधि सारणीबद्ध मान पद्धति के समान है, लेकिन एक संख्यात्मक समाधान प्राप्त करने के अतिरिक्त, परिणाम x के संदर्भ में एक समीकरण है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस पद्धति के लिए प्रभाव रेखा का प्रवणता कहां बदलता है क्योंकि प्रभाव रेखा के प्रत्येक रैखिक खंड के लिए प्रभाव-रेखा समीकरण बदल जाएगा। इसलिए, प्रभाव रेखा के प्रत्येक रैखिक खंड के लिए एक अलग प्रभाव-रेखा समीकरण के साथ पूर्ण समीकरण एक खंडश: रैखिक फलन है।

मुलर-ब्रेसलाऊ का सिद्धांत

Www.public.iastate.edu के अनुसार, "मुलर-ब्रेसलाऊ सिद्धांत का उपयोग गुणात्मक डेटा प्रभाव रेखाएँ खींचने के लिए किया जा सकता है, जो वास्तविक प्रभाव रेखा के प्रत्यक्ष रूप से आनुपातिक हैं।" किरण के साथ एक इकाई भार को स्थानांतरित करने के अतिरिक्त,मुलर-ब्रेस्लाउ सिद्धांत पहले अध्ययन किए जा रहे बिंदु पर किरण को जारी करने और फिर उस बिंदु पर अध्ययन किए जा रहे फलन (प्रतिक्रिया, अपरूपण, या आघूर्ण) को प्रयुक्त करने के कारण किरण के विक्षेपित आकार का पता लगाता है। सिद्धांत कहता है कि किसी फलन की प्रभाव रेखा में एक प्रवर्धित आकार होगा जो किरण के विक्षेपित आकार के समान होता है जब किरण पर फलन द्वारा कार्य किया जाता है।

यह समझने के लिए कि फलन के अंतर्गत किरण कैसे विक्षेपित होता है, फलन का विरोध करने के लिए किरण की क्षमता को हटाना आवश्यक है। नीचे इस बात की व्याख्या दी गई है कि सरल रूप से समर्थित, कठोर किरण (जैसे चित्र 1 में प्रदर्शित एक) की प्रभाव रेखाओं को कैसे खोजा जाए।

* आलम्बन पर होने वाली प्रतिक्रिया का निर्धारण करते समय, आलम्बन को एक रोलर (बेलन) से परिवर्तित कर दिया जाता है, जो एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया का विरोध नहीं कर सकता। फिर ऊपर की ओर (धनात्मक) प्रतिक्रिया उस बिंदु पर प्रयुक्त होती है जहां आलम्बन था। चूंकि आलम्बन हटा दिया गया है, किरण ऊपर की ओर घूमेगा, और चूंकि किरण कठोर है, यह दूसरे आलम्बन पर बिंदु के साथ एक त्रिभुज बनाएगा। यदि किरण दूसरे आलम्बन से परे एक बाहुधरण के रूप में विस्तृत हुई है, तो बाहुधरण स्थिति के नीचे एक समान त्रिकोण का निर्माण किया जाएगा। इसका तात्पर्य है कि प्रतिक्रिया की प्रभाव रेखा दूसरे आलम्बन के स्थान पर शून्य के मान के साथ एक सीधी, झुकी हुई रेखा होगी।

* किरण के साथ किसी बिंदु B पर होने वाली अपरूपण का निर्धारण करते समय, किरण को परिच्छेद किया जाना चाहिए और एक नियामक बेलन (जो आघूर्णों का विरोध करने में सक्षम है लेकिन अपरूपण नहीं) बिंदु B पर डाला जाना चाहिए। फिर, उस बिंदु पर एक धनात्मक अपरूपण लगाने से, यह देखा जा सकता है कि बाईं ओर नीचे की ओर घूमेगा, लेकिन दाईं ओर ऊपर की ओर घूमेगा। यह एक असंतुलित प्रभाव रेखा बनाता है जो आलम्बन पर शून्य तक पहुंचती है और जिसका प्रवणता विच्छिन्नता के दोनों ओर समान होता है। यदि बिंदु B एक आलम्बन पर है, तो बिंदु B और किसी भी अन्य आलम्बन के बीच का विक्षेपण अभी भी एक त्रिकोण बना देगा, लेकिन यदि किरण बाहुधरण है, तो संपूर्ण बाहुधरण पक्ष एक आयत बनाते हुए ऊपर या नीचे जाएगा।

* किरण के साथ किसी बिंदु B पर होने वाले आघूर्ण का निर्धारण करते समय, बिंदु B पर एक हिंज रखा जाएगा, इसे आघूर्णों तक जारी किया जाएगा लेकिन अपरूपण का विरोध किया जाएगा। फिर जब बिंदु B पर एक धनात्मक आघूर्ण रखा जाता है, तो किरण के दोनों कोर ऊपर की ओर घूमेंगे। यह एक सतत प्रभाव रेखा बनाएगा, लेकिन प्रवणता बिंदु B पर हिंज के दोनों ओर समान और विपरीत होगा। चूंकि किरण केवल समर्थित है, इसका अंत आलम्बन (पिन) आघूर्ण का विरोध नहीं कर सकता है; इसलिए, यह देखा जा सकता है कि आलम्बन कभी भी स्थिर स्थिति में आघूर्णों का अनुभव नहीं करेगा, तथापि भार कहीं भी रखा गया हो।

मुलर-ब्रेस्लाउ सिद्धांत केवल गुणात्मक प्रभाव रेखाएँ उत्पन्न कर सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि इंजीनियर इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं कि अधिकतम कार्य करने के लिए भार कहां रखा जाए, लेकिन उस अधिकतम के परिमाण की गणना प्रभाव रेखा से नहीं की जा सकती। इसके अतिरिक्त, उस भारण स्थिति में फलन मान को हल करने के लिए इंजीनियर को स्थैतिकी का उपयोग करना चाहिए।

वैकल्पिक भारण स्थिति

एकाधिक भार

सबसे सरल भारण स्थिति एकल बिंदु भार है, लेकिन कई भारों और वितरित भारों के कारण प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए प्रभाव रेखाओं का भी उपयोग किया जा सकता है। कभी-कभी यह ज्ञात होता है कि अलग-अलग निश्चित दूरी पर कई भार होंगे। उदाहरण के लिए, एक पुल पर कारों या ट्रकों के पहिए बिन्दु भार बनाते हैं जो अपेक्षाकृत मानक दूरी पर कार्य करते हैं।

प्रभाव रेखा का उपयोग करके इन सभी बिंदु भारों के लिए एक फलन की प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए, प्रभाव रेखा के साथ पाए जाने वाले परिणामों को प्रत्येक भार के लिए बढ़ाया जा सकता है, और फिर प्रवर्धित किए गए परिमाणों को उस कुल प्रतिक्रिया को खोजने के लिए अभिव्यक्त किया जा सकता है जिसे संरचना का प्रतिरोध करना होगा। बिंदु भार में अलग-अलग परिमाण हो सकते हैं, लेकिन तथापि वे संरचना पर समान बल प्रयुक्त करते हों, उन्हें अलग-अलग मापना आवश्यक होगा क्योंकि वे संरचना के साथ अलग-अलग दूरी पर कार्य करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कार के पहिए 10 फीट अलग हैं, तो जब पहला समूह पुल पर 13 फीट होगा, तो दूसरा समूह पुल पर केवल 3 फीट होगा। यदि पहियों का पहला समूह पुल पर 7 फीट है, तो दूसरा समूह अभी तक पुल तक नहीं पहुंचा है, और इसलिए केवल पहला समूह पुल पर भार डाल रहा है।

इसके अतिरिक्त, यदि दो भारों के बीच, भारों में से एक भारी है, तो भार को दोनों भारण अनुक्रम (दाईं ओर बड़ा भार और बाईं ओर बड़ा भार) में जांचना चाहिए ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि अधिकतम भार पाया जाता है। यदि तीन या अधिक भार हैं, तो जांच किए जाने वाले स्थितियों की संख्या बढ़ जाती है।

वितरित भार

कई भार बिंदु भार के रूप में कार्य नहीं करते हैं, बल्कि वितरित भार के रूप में विस्तारित लंबाई या क्षेत्र पर कार्य करते हैं। उदाहरण के लिए, निरंतर पटरियों वाला एक ट्रैक्टर प्रत्येक ट्रैक की लंबाई पर वितरित भार प्रयुक्त करेगा।

वितरित भार के प्रभाव का पता लगाने के लिए, डिज़ाइनर संरचना की प्रभावित दूरी पर एक बिंदु भार का उपयोग करके पाई जाने वाली प्रभाव रेखा को एकीकृत कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि तीन फुट लंबा ट्रैक किरण के साथ 5 फीट और 8 फीट के बीच काम करता है, तो उस किरण की प्रभाव रेखा 5 और 8 फीट के बीच एकीकृत होनी चाहिए। प्रभाव रेखा का एकीकरण वह प्रभाव देता है जो वितरित भार में इकाई परिमाण होने पर अनुभव किया जाएगा। इसलिए, एकीकृत करने के बाद, वितरित भार के वास्तविक प्रभाव को प्राप्त करने के लिए डिजाइनर को अभी भी परिणामों को मापना चाहिए।

अनिश्चित संरचनाएं

जबकि स्थैतिक रूप से निर्धारित संरचनाओं की प्रभाव रेखाएँ (जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है) सीधी रेखा खंडों से बनी हैं, वही अनिश्चित संरचनाओं के लिए सही नहीं है। अनिश्चित संरचनाओं को कठोर नहीं माना जाता है; इसलिए, उनके लिए खींची जाने वाली प्रभाव रेखाएँ सीधी रेखाएँ नहीं होंगी, बल्कि वक्र होंगी। संरचना के लिए प्रभाव रेखाओं को निर्धारित करने के लिए उपरोक्त विधियों का अभी भी उपयोग किया जा सकता है, लेकिन कार्य अधिक जटिल हो जाता है क्योंकि किरण के गुणों को ही ध्यान में रखा जाना चाहिए।

यह भी देखें

• किरण (संरचना)
• अपरूपण और आघूर्ण आरेख
• निष्क्रिय और सक्रिय भार
• मुलर-ब्रेस्लाउ का सिद्धांत