प्रमुख आदर्श प्रभावक्षेत्र

गणित में, प्रमुख आदर्श प्रभावक्षेत्र (प्रिंसिपल आइडियल डोमेन), या पीआईडी, एक अभिन्न डोमेन है जिसमें प्रत्येक आदर्श सिद्धांत है, अर्थात, एक अवयव द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। सामान्यतः एक प्रमुख आदर्श वलय एक गैर-शून्य क्रमविनिमेय वलय होता है, जिसके आदर्श प्रधान होते हैं, हालांकि कुछ लेखक (जैसे, बॉरबाकी) पीआईडी को प्रमुख वलय के रूप में संदर्भित करते हैं। अंतर यह है कि एक प्रमुख आदर्श वलय में शून्य विभाजक हो सकते हैं जबकि एक प्रमुख आदर्श प्रांत नहीं हो सकता है।

सिद्धांत आदर्श डोमेन इस प्रकार गणितीय वस्तुएं हैं जो विभाज्यता के संबंध में कुछ पूर्णांकों की तरह व्यवहार करती हैं: पीआईडी ​​के किसी भी तत्व में प्रमुख तत्वों में एक अद्वितीय अपघटन होता है (इसलिए अंकगणितीय धारण के मौलिक प्रमेय का एक एनालॉग); पीआईडी ​​के किन्हीं भी दो तत्वों में एक महानतम सामान्य विभाजक होता है (हालांकि यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके इसे खोजना संभव नहीं हो सकता है)। यदि x और y समान विभाजक के बिना एक पीआईडी ​​के तत्व हैं, तो पीआईडी ​​के प्रत्येक तत्व को ax + by के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रमुख आदर्श डोमेन नोथेरियन है, फिर r इंटीग्रेटेड क्लोज्ड है, वे यूनीक फैक्टराइजेशन डोमेन और डेडेकिंड डोमेन हैं। सभी यूक्लिडियन डोमेन और सभी क्षेत्र मुख्य आदर्श डोमेन हैं I

प्रमुख आदर्श डोमेन वर्ग समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला में प्रकट होते हैं:

rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields

उदाहरण

उदाहरणों में सम्मिलित:

• $K$: कोई भी क्षेत्र (गणित),
• $\mathbb {Z}$: पूर्णांकों का वलय (गणित),
• $K[x]$: एक क्षेत्र में गुणांक के साथ एक चर में बहुपद रिंग। (विपरीत भी सत्य है, अर्थात यदि $A[x]$एक पीआईडी है तो $A$ एक फ़ील्ड है।) आदर्श $(x^{k})$ के रूप में है,
• $\mathbb {Z} [i]$: गाऊसी पूर्णांकों का वलय,
• $\mathbb {Z} [\omega ]$ (जहाँ पर $\omega$ 1 का आदिम घनमूल है): आइज़ेंस्टीन पूर्णांक,
• कोई असतत मूल्यांकन वलय, उदाहरण के लिए,पी-एडिक पूर्णांक $\mathbb {Z} _{p}$ का वलय

गैर-उदाहरण

अभिन्न डोमेन के उदाहरण जो पीआईडी ​​नहीं हैं:

• $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ एक वलय का एक उदाहरण है जो एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन नहीं है, क्योंकि $4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).$ इसलिए यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं है क्योंकि प्रमुख आदर्श डोमेन अद्वितीय गुणनखंड डोमेन हैं।

• $\mathbb {Z} [x]$: पूर्णांक गुणांक वाले सभी बहुपदों का वलय। यह प्रमुख नहीं है क्योंकि $\langle 2,x\rangle$ एक आदर्श का एक उदाहरण है जिसे एक बहुपद द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है।
• $K[x,y]$:दो चरों में बहुपदों के वलय।आदर्श $\langle x,y\rangle$ प्रधान नहीं है।
• बीजगणितीय पूर्णांकों के अधिकांश वलय प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं हैं क्योंकि उनके आदर्श गुण हैं जो एक तत्व द्वारा उत्पन्न नहीं होते हैं। डेडेकिंड डोमेन की डेडेकिंड की परिभाषा के पीछे यह मुख्य प्रेरणाओं में से एक है क्योंकि एक प्रमुख पूर्णांक को अब तत्वों में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है, इसके बजाय, वे प्रमुख आदर्श हैं। वास्तव में कई $\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$एकता के p-वें रूट के लिए $\zeta _{p}$ मुख्य आदर्श डोमेन नहीं हैं [स्पष्टीकरण आवश्यक] वास्तव में, बीजगणितीय पूर्णांकों ${\mathcal {O}}_{K}$ की एक वलय की वर्ग संख्या "कितनी दूर" की धारणा देती है कि यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन होने से है।

मॉड्यूल

Main article: एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर बारीकी से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय

मुख्य परिणाम संरचना प्रमेय है: यदि R एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, और M एक परिमित है उत्पन्न आर-मॉड्यूल, फिर $M$ चक्रीय मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है, यानी एक जनरेटर के साथ मॉड्यूल। चक्रीय मॉड्यूल आइसोमॉर्फिक हैं $R/xR$ कुछ के लिए $x\in R$ (नोटिस जो $x$ के बराबर हो सकता है $0$, किस स्थिति में $R/xR$ है $R$).

यदि M एक आदर्श आदर्श डोमेन R पर एक मुक्त मॉड्यूल है, तो M का प्रत्येक सबमॉड्यूल फिर से मुक्त है। यह मनमाना छल्ले पर मॉड्यूल के लिए लागू नहीं होता है, उदाहरण के रूप में $(2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]$ $\mathbb {Z} [X]$ पर मॉड्यूल के दिखाता है।

गुण

एक प्रमुख आदर्श डोमेन में, कोई भी दो तत्व a,b एक महानतम सामान्य विभाजक है, जिसे आदर्श के जनरेटर के रूप में प्राप्त किया जा सकता है (a, b).

सभी यूक्लिडियन डोमेन प्रमुख आदर्श डोमेन हैं, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है। प्रमुख आदर्श डोमेन का एक उदाहरण जो यूक्लिडियन डोमेन नहीं है, रिंग है $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right].$ इस डोमेन में नं q और r मौजूद है, साथ 0 ≤ |r| < 4, ताकि $(1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r$, इसके बावजूद $1+{\sqrt {-19}}$ और $4$ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है 2.

प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन (यूएफडी) है। किसी भी यूएफडी के लिए विलोम मान्य नहीं है K, अंगूठी K[X, Y] 2 चरों में बहुपदों की संख्या एक यूएफडी है लेकिन पीआईडी नहीं है। (इसे सिद्ध करने के लिए इसके द्वारा उत्पन्न आदर्श को देखें $\left\langle X,Y\right\rangle .$ यह संपूर्ण वलय नहीं है क्योंकि इसमें 0 डिग्री का कोई बहुपद नहीं है, लेकिन इसे किसी एक तत्व द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है।)

1. प्रत्येक प्रमुख आदर्श क्षेत्र नोथेरियन वलय है।
2. सभी यूनिटल रिंग्स में, अधिकतम आदर्श गुण प्रधान आदर्श होते हैं। प्रिंसिपल आइडियल डोमेन्स में एक नियर कॉन्वर्स होल्ड करता है: हर नॉनजीरो प्राइम आइडियल मैक्सिमम होता है।
3. सभी प्रमुख आदर्श डोमेन अभिन्न रूप से बंद डोमेन हैं।

पिछले तीन कथन डेडेकाइंड डोमेन की परिभाषा देते हैं, और इसलिए प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन डेडेकाइंड डोमेन है।

माना A एक पूर्णांकीय प्रांत है। उसके बाद निम्न बराबर हैं।

1. A एक पीआईडी है।
2. A का प्रत्येक अभाज्य गुणज प्रधान होता है।
3. A एक डेडेकाइंड डोमेन है जो एक यूएफडी है।
4. A का प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्श प्रधान है (अर्थात, A एक बेज़ाउट डोमेन है) और A प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।
5. A डेडेकिंड-हस्से मानदंड को स्वीकार करता है।

कोई भी यूक्लिडियन मानदंड एक डेडेकिंड-हस मानक है; इस प्रकार, (5) दर्शाता है कि यूक्लिडियन डोमेन एक पीआईडी है। (4) इसकी तुलना करता है:

• एक अभिन्न डोमेन एक यूएफडी है अगर और केवल अगर यह एक जीसीडी डोमेन है (यानी, एक डोमेन जहां हर दो तत्वों में एक सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है) प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।

एक अभिन्न डोमेन बेज़ाउट डोमेन है अगर और केवल अगर इसमें किसी भी दो तत्वों में एक जीसीडी है जो दोनों का एक रैखिक संयोजन है। एक बेज़ाउट डोमेन इस प्रकार एक जीसीडी डोमेन है, और (4) एक और प्रमाण देता है कि पीआईडी ​​एक यूएफडी है।

यह भी देखें

• बेजाउट की पहचान

संदर्भ

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• John B. Fraleigh, Victor J. Katz. A first course in abstract algebra. Addison-Wesley Publishing Company. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3
• Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1
• Paulo Ribenboim. Classical theory of algebraic numbers. Springer, 2001. ISBN 0-387-95070-2

बाहरी संबंध

• Principal ring on MathWorld