फ़िबिनरी संख्या

गणित में, फ़िबिनरी संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनके द्विआधारी प्रतिनिधित्व में निरंतर दो संख्याएँ नहीं होती हैं। अर्थात्, इस प्रकार वे दो की विशिष्ट और गैर-क्रमिक घात का योग हैं।

बाइनरी और फाइबोनैचि संख्याओं से संबंध

फ़िबिनरी संख्याओं को उनका नाम मार्क लेब्रून द्वारा दिया गया था, क्योंकि वे बाइनरी संख्याओं और फाइबोनैचि संख्याओं के कुछ गुणों को जोड़ते हैं:

• दो किसी भी घात से कम फ़िबिनरी संख्याओं की संख्या फाइबोनैचि संख्या है। उदाहरण के लिए, इस प्रकार 32 से कम 13 फ़िबिनरी संख्याएँ हैं, जिनमे संख्याएँ 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20 और 21 हैं।
• फ़िबिनरी संख्याओं को परिभाषित करने के लिए बाइनरी में निरंतर दो संख्याओं का उपयोग न करने की नियम वही स्थिति है इस प्रकार जिसका उपयोग किसी भी संख्या के ज़ेकेंडोर्फ प्रतिनिधित्व में गैर-निरंतर फाइबोनैचि संख्याओं के योग के रूप में किया जाता है।
• $n$वीं फ़िबिनरी संख्या (0 को 0वीं संख्या के रूप में गिनते हुए) की गणना इसके ज़ेकेंडोर्फ प्रतिनिधित्व में $n$ को व्यक्त करके और परिणामी बाइनरी अनुक्रम को किसी संख्या के बाइनरी प्रतिनिधित्व के रूप में फिर से व्याख्या करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 19 का ज़ेकेंडोर्फ प्रतिनिधित्व 101001 है (जहां 1 विस्तार 19 = 13 + 5 + 1 में प्रयुक्त फाइबोनैचि संख्याओं की स्थिति को चिह्नित करता है), इस प्रकार बाइनरी अनुक्रम 101001, इस प्रकार जिसे बाइनरी संख्या के रूप में व्याख्या किया गया है, जो 41 = 32 + 8 + 1 का प्रतिनिधित्व करता है, और 19वीं फ़िबिनरी संख्या 41 है।
• $n$वीं फ़िबिनरी संख्या (फिर से, 0 को 0 के रूप में गिनना) सम (गणित) या विषम (गणित) है यदि और केवल तभी जब फाइबोनैचि शब्द में $n$वां मान क्रमशः 0 या 1 है।

गुण

क्योंकि निरंतर दो न होने का गुण नियमित भाषा को परिभाषित करता है, फ़िबिनरी संख्याओं के द्विआधारी प्रतिनिधित्व को परिमित ऑटोमेटन द्वारा पहचाना जा सकता है, इस प्रकार जिसका अर्थ है कि फ़िबिनरी संख्याएँ 2-स्वचालित समुच्चय बनाती हैं।

फ़िबिनरी संख्याओं में मोजर-डी ब्रुइज़न अनुक्रम, चार की विशिष्ट घातों का योग सम्मिलित है। जिस प्रकार ज़ेकेंडोर्फ अभ्यावेदन को बाइनरी के रूप में पुनर्व्याख्या करके फ़िबिनरी संख्याओं का निर्माण किया जा सकता है, उसी प्रकार बाइनरी अभ्यावेदन को चतुर्धातुक के रूप में पुनर्व्याख्या करके मोजर-डी ब्रुइज़ अनुक्रम का निर्माण किया जा सकता है।

एक संख्या $n$ यदि और केवल यदि द्विपद गुणांक है तो यह फ़िबिनरी संख्या है ${\tbinom {3n}{n}}$ अद्वितीय है। संबंधित, $n$ फ़िबिनरी है यदि और केवल यदि केंद्रीय स्टर्लिंग संख्याएँ दूसरे प्रकार की हों $\textstyle \left\{{2n \atop n}\right\}$ अद्वितीय है।

प्रत्येक फ़िबिनरी संख्या $f_{i}$ दो रूपों $2f_{j}$ या $4f_{j}+1$ में से लेता है, जहाँ $f_{j}$ अन्य फ़िबिनरी संख्या है। तदनुसार, वह घात श्रृंखला जिसके घातांक फ़िबिनरी संख्याएँ हैं,

$$B(x)=1+x+x^{2}+x^{4}+x^{5}+x^{8}+\cdots ,$$

कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है

$$B(x)=xB(x^{4})+B(x^{2}).$$

मैड्रिडस्च & वैगनर (2010) पूर्णांक विभाजन की संख्या के लिए स्पर्शोन्मुख सूत्र प्रदान करें जिसमें सभी भाग फ़िबिनरी हैं।

यदि हाइपरक्यूब ग्राफ $Q_{d}$ आयाम का $d$ 0 से पूर्णांक $2^{d}-1$ द्वारा अनुक्रमित किया जाता है इस प्रकार, जिससे दो शीर्ष (ग्राफ़ सिद्धांत) आसन्न हों जब उनके सूचकांकों में हैमिंग दूरी के साथ द्विआधारी प्रतिनिधित्व होता है, इस प्रकार फ़ाइबिनरी संख्याओं द्वारा अनुक्रमित शीर्षों का उपसमुच्चय इसके प्रेरित सबग्राफ के रूप में फाइबोनैचि घन बनाता है।

प्रत्येक संख्या में फ़िबिनरी गुणज होता है। उदाहरण के लिए, 15 फ़िबिनरी नहीं है, किन्तु इसे 11 से गुणा करने पर 165 (10100101₂) प्राप्त होता है), जो है।