बाइबिक प्रक्षेप

Comparison of बाइबिक प्रक्षेप with some 1- and 2-dimensional interpolations.
Black and red/yellow/green/blue dots correspond to the interpolated point and neighbouring samples, respectively.
Their heights above the ground correspond to their values.

गणित में द्वि-आयामी नियमित ग्रिड पर डेटा बिंदुओं को प्रक्षेपित करने के लिए बाइबिक प्रक्षेप, क्यूबिक प्रक्षेप का विस्तार है (क्यूबिक स्पलाइन प्रक्षेप के साथ भ्रमित नहीं होना, डेटा सेट में क्यूबिक प्रक्षेप लागू करने की एक विधि)। प्रक्षेपित सतह (अर्थात कर्नेल आकार, छवि नहीं) द्विरेखीय प्रक्षेप या निकटतम-पड़ोसी प्रक्षेप द्वारा प्राप्त संबंधित सतहों की तुलना में सरल कार्य है। बाइक्यूबिक प्रक्षेप लैग्रेंज बहुपद,घनीय पट्टी या बाइक्यूबिक कनवल्शन एल्गोरिथम का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है।

छवि प्रसंस्करण में बाइक्यूबिक प्रक्षेप को अधिकतर रीसैंपलिंग (बिटमैप) में बिलिनियर या निकटतम-पड़ोसी प्रक्षेप पर चुना जाता है जब गति कोई समस्या नहीं होती है। बिलिनियर प्रक्षेप के विपरीत जो केवल 4 पिक्सेल (2×2) को ध्यान में रखता है, बाइक्यूबिक प्रक्षेप 16 पिक्सल (4×4) पर विचार करता है। बाइबिक प्रक्षेप के साथ प्रतिदर्श किए गए चित्रण में अलग-अलग प्रक्षेप स्थानिक विरोधी अलियासिंग हो सकते हैं जो चुने गए बी और सी मानों पर निर्भर करता है।

संगणना

वर्ग पर बाइबिक प्रक्षेप $[0,4]\times [0,4]$ जिसमें 25 इकाई वर्ग एक साथ पैच किए गए हैं। माटप्लोटलिब के कार्यान्वयन के अनुसार बाइक्यूबिक प्रक्षेप। रंग, फ़ंक्शन मान को इंगित करता है। ब्लैक डॉट्स प्रक्षेपित किए जा रहे निर्धारित डेटा के स्थान हैं। ध्यान दें कि कैसे रंग के नमूने रेडियल सममित नहीं हैं।

उपरोक्त के समान डेटासेट पर बिलिनियर प्रक्षेप। सतह के डेरिवेटिव वर्ग सीमाओं पर निरंतर नहीं होते हैं।

उपरोक्त के समान डेटासेट पर निकटतम-पास के प्रक्षेप।

मान लीजिए फ़ंक्शन मान $f$ और डेरिवेटिव $f_{x}$, $f_{y}$ और $f_{xy}$ चार कोनों पर $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$, और $(1,1)$ इकाई वर्ग जाना जाता है। तब प्रक्षेपित सतह को लिखा जा सकता है:

$p(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}a_{ij}x^{i}y^{j}.$

प्रक्षेप समस्या में 16 गुणांक निर्धारित करना सम्मिलित है $a_{ij}$ मिलान $p(x,y)$ फ़ंक्शन मानों के साथ चार समीकरण प्राप्त होते हैं:

1. $f(0,0)=p(0,0)=a_{00},$
2. $f(1,0)=p(1,0)=a_{00}+a_{10}+a_{20}+a_{30},$
3. $f(0,1)=p(0,1)=a_{00}+a_{01}+a_{02}+a_{03},$
4. $f(1,1)=p(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}.$

इसी तरह $x$ और $y$ डेरिवेटिव के लिए आठ समीकरण निर्देश:

1. $f_{x}(0,0)=p_{x}(0,0)=a_{10},$
2. $f_{x}(1,0)=p_{x}(1,0)=a_{10}+2a_{20}+3a_{30},$
3. $f_{x}(0,1)=p_{x}(0,1)=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13},$
4. $f_{x}(1,1)=p_{x}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}i,$
5. $f_{y}(0,0)=p_{y}(0,0)=a_{01},$
6. $f_{y}(1,0)=p_{y}(1,0)=a_{01}+a_{11}+a_{21}+a_{31},$
7. $f_{y}(0,1)=p_{y}(0,1)=a_{01}+2a_{02}+3a_{03},$
8. $f_{y}(1,1)=p_{y}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}j.$

और $xy$ मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न के लिए चार समीकरण:

1. $f_{xy}(0,0)=p_{xy}(0,0)=a_{11},$
2. $f_{xy}(1,0)=p_{xy}(1,0)=a_{11}+2a_{21}+3a_{31},$
3. $f_{xy}(0,1)=p_{xy}(0,1)=a_{11}+2a_{12}+3a_{13},$
4. $f_{xy}(1,1)=p_{xy}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}ij.$

ऊपर दिए गए भावों में निम्नलिखित सर्वसमिकाओं का उपयोग किया गया है:

$p_{x}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}ix^{i-1}y^{j},$

$p_{y}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}x^{i}jy^{j-1},$

$p_{xy}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}.$

यह प्रक्रिया $p(x,y)$ इकाई वर्ग पर सतह $[0,1]\times [0,1]$ उत्पन्न करती है जो निरंतर और निरंतर डेरिवेटिव है। मनमाने आकार के नियमित ग्रिड पर बाइबिक प्रक्षेप तब ऐसी बाइबिक सतहों को एक साथ पैच करके पूरा किया जा सकता है यह सुनिश्चित करते हुए कि डेरिवेटिव सीमाओं पर मेल खाते हैं।

अज्ञात मापदंडों $a_{ij}$ को वेक्टर में समूहीकृत करना

$\alpha =\left[{\begin{smallmatrix}a_{00}&a_{10}&a_{20}&a_{30}&a_{01}&a_{11}&a_{21}&a_{31}&a_{02}&a_{12}&a_{22}&a_{32}&a_{03}&a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{smallmatrix}}\right]^{T}$

और

$x=\left[{\begin{smallmatrix}f(0,0)&f(1,0)&f(0,1)&f(1,1)&f_{x}(0,0)&f_{x}(1,0)&f_{x}(0,1)&f_{x}(1,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(1,0)&f_{y}(0,1)&f_{y}(1,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(0,1)&f_{xy}(1,1)\end{smallmatrix}}\right]^{T},$

समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली को रैखिक समीकरण $A\alpha =x$ के लिए मैट्रिक्स में सुधारा जा सकता है।

आव्यूह का उल्टा करने से अधिक उपयोगी रेखीय समीकरण $A^{-1}x=\alpha$ प्राप्त होता है जहाँ

$\alpha$