बैनक निश्चित-बिंदु प्रमेय

गणित में, बैनक निश्चित-बिंदु प्रमेय (संकुचन मानचित्रण प्रमेय या संविदात्मक मानचित्रण प्रमेय या बैनक-कैसीओपोली प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) आव्यूह रिक्त समष्टि के सिद्धांत में महत्वपूर्ण अभिसरण प्रमाण तकनीक है; यह आव्यूह स्थान के कुछ स्व-मानचित्रों के निश्चित बिंदु (गणित) के अस्तित्व और विशिष्टता की प्रत्याभूति देता है, और उन निश्चित बिंदुओं को खोजने के लिए रचनात्मक विधि प्रदान करता है। पिकार्ड की क्रमिक सन्निकटन की विधि के अमूर्त सूत्रीकरण के रूप में समझा जा सकता है। इस प्रमेय का नाम स्टीफ़न बैनक (1892-1945) के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे पहली बार 1922 में दिया था।

कथन

परिभाषा। माना $(X,d)$ पूर्ण आव्यूह समष्टि बनता हैं। फिर मानचित्र $T:X\to X$ यदि $q\in [0,1)$ उपस्थित है तो इसे X पर संकुचन मानचित्रण कहा जाता है, जैसे कि

$d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)$

सभी के लिए $x,y\in X$ होता हैं।

बैनक निश्चित बिंदु प्रमेय। माना $(X,d)$ संकुचन मानचित्रण के साथ एक अरिक्त पूर्ण आव्यूह समष्टि $T:X\to X$ बनता हैं। तब T अद्वितीय निश्चित बिंदु $x^{*}$X में स्वीकार करता है (अर्थात $T(x^{*})=x^{*}$) होता हैं। आगे, $x^{*}$ निम्नानुसार पाया जा सकता है: यादृच्छिक अवयव $x_{0}\in X$ से प्रारंभ करें और एक अनुक्रम $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ द्वारा $x_{n}=T(x_{n-1})$ के लिए $n\geq 1$ परिभाषित करता हैं। तब $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}$.

टिप्पणी 1. निम्नलिखित असमानताएँ समतुल्य हैं और अभिसरण की दर का वर्णन करती हैं:

${\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}$

q के ऐसे किसी भी मान को $T$के लिए लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक कहा जाता है, और सबसे छोटे $T$ को कभी-कभी सर्वश्रेष्ठ लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक कहा जाता है।

टिप्पणी 2. $d(T(x),T(y))<d(x,y)$ सभी के लिए $x\neq y$ सामान्यतः एक निश्चित बिंदु के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त नहीं है, जैसा कि मानचित्र द्वारा दिखाया गया है

$T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,$

जिसमें निश्चित बिंदु का अभाव है। यद्यपि की, यदि $X$ सघन है, तो यह कमजोर धारणा निश्चित बिंदु के अस्तित्व और विशिष्टता को दर्शाती है, जिसे आसानी से न्यूनतम $d(x,T(x))$ के रूप में पाया जा सकता है, वास्तव में, न्यूनतम सघनता उपस्थित होती हैं, और इसका निश्चित बिंदु $T$ होता हैं। तब यह आसानी से पता चलता है कि निश्चित बिंदु पुनरावृत्तियों के किसी भी अनुक्रम की सीमा $T$ है।

टिप्पणी 3. अभ्यास में प्रमेय का उपयोग करते समय, सबसे कठिन भाग साधारण तौर पर $X$ को अच्छे से परिभाषित करना होता है जिससे की $T(X)\subseteq X$ हो जाता हैं।

प्रमाण

माना $x_{0}\in X$ यादृच्छिक बनें और $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ x निर्मित करके x_n= T(x_n−1) अनुक्रम परिभाषित करें करता हैं। हम सबसे पहले इसे सभी $n\in \mathbb {N}$ के लिए नोट करते हैं, हमें इसमें

$d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})$ असमानता ज्ञात होती हैं।

यह n पर गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का अनुसरण करता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि T एक संकुचन मानचित्रण है। फिर हम वो दिखा सकते हैं $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ कौसी अनुक्रम है। विशेष रूप से, माना $m,n\in \mathbb {N}$ जैसे की m > n:

${\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}$

मान लीजिए ε > 0 यादृच्छिक है। चूँकि q ∈ [0, 1), हम एक बड़ा $N\in \mathbb {N}$ पा सकते हैं जिससे की

$q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.$

इसलिए, N से बड़ा m और n चुनकर हम लिख सकते हैं:

$d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .$

इससे यह सिद्ध होता है कि अनुक्रम $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ कौसी है। (x,d) की पूर्णता से, अनुक्रम की सीमा $x^{*}\in X$ होती है। और आगे, $x^{*}$ T का निश्चित बिंदु (गणित) होता हैं:

$x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).$

संकुचन मानचित्रण के रूप में, T निरंतर है, इसलिए सीमा को T के अंदर लाना उचित था। अंततः, T में (X,d) में एक से अधिक निश्चित बिंदु नहीं हो सकते, क्योंकि अलग-अलग निश्चित बिंदुओं का कोई भी जोड़ा p₁और p_2, T के संकुचन का खंडन कर देता हैं:

$d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd(p_{1},p_{2}).$

अनुप्रयोग

• एक मानक अनुप्रयोग कुछ सामान्य अंतर समीकरणों के समाधानों के अस्तित्व और विशिष्टता के बारे में पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय का प्रमाण है। विभेदक समीकरण का किया गया समाधान उपयुक्त अभिन्न कार्यरतता के एक निश्चित बिंदु के रूप में व्यक्त किया जाता है जो निरंतर कार्यों को निरंतर कार्यों में बदलता है। फिर बैनक निश्चित-बिंदु प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि इस अभिन्न कार्यरतता के पास अद्वितीय निश्चित बिंदु है।
• बैनक निश्चित-बिंदु प्रमेय का परिणाम यह है कि पहचान के छोटे लिप्सचिट्ज़ अव्यवस्था द्वि-लिप्सचिट्ज़ होमोमोर्फिज्म हैं। मान लीजिए Ω बैनक स्थान E का मुक्त समुच्चय है; मान लीजिए I : Ω → E तत्समक (समावेशन) मानचित्र को दर्शाता है और मान लीजिए कि g : Ω → E स्थिरांक k < 1 का लिप्सचिट्ज़ मानचित्र है।

1. Ω′ := (I+g)(Ω) E का मुक्त उपसमुच्चय है: Ω में किसी भी x के लिए जैसे कि B(x, r) ⊂ Ω में B((I+g)(x) है, r(1−k)) ⊂ Ω′ के लिए सही हैं ;
2. I+g : Ω → Ω′ द्वि-लिप्सचिट्ज़ होमोमोर्फिज्म है;

यथार्थतः, (I+g)⁻¹ अभी भी I + h : Ω → Ω′ के रूप में है जिसमें h स्थिरांक k/(1−k) का लिप्सचिट्ज़ मानचित्र है। इस परिणाम का प्रत्यक्ष परिणाम व्युत्क्रम फलन प्रमेय का प्रमाण देता है।

• इसका उपयोग पर्याप्त स्थितियाँ देने के लिए किया जा सकता है जिसके अनुसार न्यूटन की क्रमिक सन्निकटन की विधि काम करने की निश्चितता प्रदान करती हैं, और इसी तरह चेबीशेव की तीसरी क्रम विधि के लिए भी होता हैं।
• इसका उपयोग अभिन्न समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।
• इसका उपयोग नैश एम्बेडिंग प्रमेय को प्रमाण देने के लिए किया जा सकता है।
• इसका उपयोग मान पुनरावृत्ति, नीति पुनरावृत्ति और सुदृढीकरण सीखने के नीति मूल्यांकन के समाधानों के अस्तित्व और विशिष्टता को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।
• इसका उपयोग कौरनोट प्रतियोगिता में संतुलन के अस्तित्व और विशिष्टता को सिद्ध करने के लिए और अन्य गतिशील आर्थिक मॉडल में किया जा सकता है।

परिवर्तन

बैनक संकुचन सिद्धांत के कई परिवर्तन उपस्थित हैं। 1959 से ज़ेस्लॉ बेसागा के कारण निम्नलिखित है:

मान लीजिए f : X → X अमूर्त समुच्चय गणित) का मानचित्र है, जैसे कि प्रत्येक पुनरावृत्त फ़ंक्शन fⁿ का अद्वितीय निश्चित बिंदु है। माना $q\in (0,1),$ तब X पर पूर्ण आव्यूह उपस्थित है जैसे कि f संकुचनशील है, और q संकुचन स्थिरांक है।

वास्तव में, इस प्रकार का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए बहुत कमजोर धारणाएँ ही पर्याप्त होती हैं। उदाहरण के लिए यदि $f:X\to X$ T1 स्थान पर मानचित्र है| T₁ अद्वितीय निश्चित बिंदु (गणित) के साथ संस्थितिक समष्टि, जैसे कि प्रत्येक के लिए $x\in X$ हमारे पास fⁿ(x) → a, तो X पर पहले से ही आव्यूह उपस्थित है जिसके संबंध में f संकुचन स्थिरांक 1/2 के साथ बैनक संकुचन सिद्धांत की शर्तों को संतुष्ट करता है। इस स्थिति में मात्रिक वास्तव में अतिमात्रिक है।

सामान्यीकरण

कई सामान्यीकरण हैं (जिनमें से कुछ तत्काल परिणाम हैं)। मान लीजिए T : X → X पूर्ण अरिक्त आव्यूह समष्टि पर मानचित्र है। फिर, उदाहरण के लिए, बैनक निश्चित-बिंदु प्रमेय के कुछ सामान्यीकरण हैं:

• मान लें कि कुछ पुनरावृत्त T का Tⁿ संकुचन है। तब T का एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है।
• मान लें कि प्रत्येक n के लिए, c_n उपस्थित है जैसे कि d(Tⁿ(x), Tⁿ(y)) ≤ c_nd(x, y) सभी x और y के लिए, और वह

$\sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .$

तब T का एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है।

अनुप्रयोगों में, एक निश्चित बिंदु के अस्तित्व और विशिष्टता को प्रायः मानक बैनक निश्चित बिंदु प्रमेय के साथ सीधे मात्रिक के उपयुक्त विकल्प द्वारा दिखाया जा सकता है जो मानचित्र T को संकुचन बनाता है। वास्तव में, बेसागा द्वारा उपरोक्त परिणाम दृढ़ता से ऐसे मात्रिक की खोज करने का सुझाव देता है। सामान्यीकरण के लिए अनंत-आयामी स्थानों में निश्चित बिंदु प्रमेय पर लेख पर भी ध्यान दिया जाता हैं।

मात्रिक समष्टि की धारणा के उपयुक्त सामान्यीकरण से सामान्यीकरण का अलग वर्ग उत्पन्न होता है, उदाहरण के लिए मात्रिक की धारणा के लिए परिभाषित सिद्धांतों को शक्तिहीन किया जाता हैं। इनमें से कुछ के अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में प्रोग्रामिंग सिमेंटिक्स के सिद्धांत मेंहोता हैं।

यह भी देखें

• ब्रौवर निश्चित-बिंदु प्रमेय
• कैरिस्टी निश्चित-बिंदु प्रमेय
• संकुचन मानचित्रण
• फिचेरा का अस्तित्व सिद्धांत
• निश्चित-बिंदु पुनरावृत्ति
• निश्चित-बिंदु प्रमेय
• विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
• कांटोरोविच प्रमेय

संदर्भ

• Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). "Banach Contraction Principle and Applications". Fixed Point Theory in Metric Spaces. Singapore: Springer. pp. 1–23. doi:10.1007/978-981-13-2913-5_1. ISBN 978-981-13-2912-8.
• Chicone, Carmen (2006). "Contraction". Ordinary Differential Equations with Applications (2nd ed.). New York: Springer. pp. 121–135. ISBN 0-387-30769-9.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Fixed Point Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
• Istrăţescu, Vasile I. (1981). Fixed Point Theory: An Introduction. The Netherlands: D. Reidel. ISBN 90-277-1224-7. See chapter 7.
• Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. New York: John Wiley. ISBN 0-471-41825-0.

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