ब्राचिस्टोक्रोन वक्र

तीव्रतम अवरोहण का वक्र एक सीधी या बहुभुज रेखा (नीला) नहीं बल्कि एक चक्रज (लाल) होता है।

भौतिकी और गणित में, ब्राचिस्टोक्रोन वक्र (from Ancient Greek βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) 'shortest time'), या सबसे तेज़ अवरोही वक्र, वह बिंदु है जो A और एक निचले बिंदु B के बीच तल पर स्थित है, जहाँ B सीधे A के नीचे नहीं है, जिस पर मनका एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में किसी दिए गए अंत बिंदु पर घर्षण रहित रूप से सबसे कम समय में फिसलता है। यह प्रश्न 1696 में जोहान बर्नौली द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

ब्राचिस्टोक्रोन वक्र का आकार टोटोक्रॉन वक्र के समान होता है; दोनों साइक्लोइड हैं। हालाँकि, दोनों में से प्रत्येक के लिए उपयोग किए जाने वाले चक्रज का भाग भिन्न होता है। अधिक विशेष रूप से, ब्राचिस्टोक्रोन साइक्लोइड के पूर्ण रोटेशन तक उपयोग कर सकता है (सीमा पर जब A और B समान स्तर पर होते हैं), लेकिन हमेशा एक कस्प (विलक्षणता) पर शुरू होता है। इसके विपरीत, टॉटोक्रोन समस्या केवल पहले आधे रोटेशन का उपयोग कर सकती है, और हमेशा क्षैतिज पर समाप्त होती है। कैलकुलस ऑफ़ वैरिएशंस और इष्टतम नियंत्रण साधनों का उपयोग करके समस्या को हल किया जा सकता है ।

वक्र परीक्षण निकाय के द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण की स्थानीय शक्ति दोनों से स्वतंत्र है। केवल एक पैरामीटर चुना जाता है ताकि वक्र प्रारंभिक बिंदु A और अंतिम बिंदु B को फिट पर फिट हो सके। यदि वस्तु को A पर प्रारंभिक वेग दिया जाता है, या यदि घर्षण को ध्यान में रखा जाता है, तो समय को कम करने वाला वक्र टॉटोक्रोन वक्र से भिन्न होता है।

इतिहास

जोहान बर्नौली ने जून, 1696 में जर्नल ऑफ स्कॉलर्स के पाठकों के सामने ब्रेकिस्टोक्रोन की समस्या रखी। उसने बोला:

"मैं, जोहान बर्नौली, दुनिया के सबसे शानदार गणितज्ञों को संबोधित करता हू। बुद्धिमान लोगों के लिए एक ईमानदार, चुनौतीपूर्ण समस्या से ज्यादा आकर्षक कुछ भी नहीं है,, जिसका संभव समाधान प्रसिद्धि प्रदान करेगा और एक स्थायी स्मारक के रूप में बना रहेगा। पास्कल, फ़र्मेट आदि द्वारा प्रस्तुत उदाहरण के बाद, मुझे उम्मीद है कि हमारे समय के बेहतरीन गणितज्ञों के सामने एक ऐसी समस्या रखकर पूरे वैज्ञानिक समुदाय का आभार प्राप्त करूंगा जो उनकी विधियों और उनकी बुद्धि ताकत का परीक्षण करेगा। यदि कोई मुझे प्रस्तावित समस्या का समाधान बताता है तो मैं उसे सार्वजनिक रूप से प्रशंसा के योग्य घोषित करूँगा।"

बरनौली ने समस्या कथन को इस प्रकार लिखा:

"एक लंबवत सतह में दो बिंदुओं A और B को देखते हुए, केवल गुरुत्वाकर्षण द्वारा कार्य किए गए बिंदु द्वारा वक्र का पता लगाया जाय, जो A से शुरू होता है और कम से कम समय में B तक पहुंचता है।"

जोहान और उनके भाई जैकब बर्नौली ने एक ही समाधान निकाला, लेकिन जोहान की व्युत्पत्ति गलत थी, और उन्होंने जैकब के समाधान को अपना बताने की कोशिश की। जोहान ने अगले वर्ष मई में पत्रिका में समाधान प्रकाशित किया, और नोट किया कि समाधान ह्यूजेन्स के टॉटोक्रोन वक्र के समान वक्र है। नीचे दी गई विधि द्वारा वक्र के लिए अवकल समीकरण प्राप्त करने के बाद, उन्होंने दिखाया कि यह एक चक्रज उत्पन्न करता है। हालांकि, उनके प्रमाण को तीन स्थिरांक v_m, 2g और D के बजाय एक स्थिरांक के उपयोग से खराब कर दिया गया है, जैसा नीचे दिखाया गया है,

बरनौली ने समाधान के लिए छह महीने की अनुमति दी लेकिन इस अवधि के दौरान कोई भी समाधान प्राप्त नहीं हुआ। लीबनिज के अनुरोध पर, समय को सार्वजनिक रूप से डेढ़ साल के लिए बढ़ा दिया गया। 29 जनवरी 1697 को 4 बजे, जब वह रॉयल मिंट से घर पहुंचे, आइजैक न्यूटन ने जोहान बर्नौली के एक पत्र में चुनौती पाई। न्यूटन इसे हल करने के लिए पूरी रात जागते रहे और अगले पोस्ट द्वारा समाधान को गुमनाम रूप से मेल कर दिया। समाधान को पढ़ने पर, बर्नौली ने तुरंत इसके लेखक को पहचान लिया, यह कहते हुए कि वह एक शेर को उसके पंजे के निशान से पहचानता है। यह कहानी न्यूटन की शक्ति का कुछ अनुमान देती है, क्योंकि जोहान बर्नोली ने इसे हल करने में दो सप्ताह का समय लिया। न्यूटन ने यह भी लिखा, "मुझे गणितीय चीजों के बारे में विदेशियों द्वारा चिढ़ाया जाना [परेशान] पसंद नहीं है... " और न्यूटन ने पहले ही न्यूटनस मिनिमल रेजिस्टेंस प्रॉब्लम को हल कर दिया था, जिसे कैलकुलस ऑफ़ वैरिएशंस में अपनी तरह का पहला माना जाता है।

अंत में, पांच गणितज्ञों न्यूटन, जैकब बर्नौली, गॉटफ्रीड लीबनिज, एहरनफ्राइड वाल्थर वॉन चिरनहॉस और गिलाउम डे ल'हॉपिटल, ने समाधानों के साथ जवाब दिया। चार समाधान (आई होपितल को छोड़कर) जोहान बर्नौली के जर्नल के उसी संस्करण में प्रकाशित किए गए थे। अपने पेपर में, जैकब बर्नौली ने यह दिखाने से पहले कम से कम समय के समान स्थिति का प्रमाण दिया कि इसका समाधान एक चक्रज है।न्यूटोनियन विद्वान टॉम व्हाइटसाइड के अनुसार, अपने भाई से आगे निकलने के प्रयास में, जैकब बर्नौली ने ब्रेकिस्टोक्रोन समस्या का एक कठिन संस्करण बनाया। इसे हल करने में, उन्होंने नए तरीके विकसित किए जिन्हें लियोनहार्ड यूलर द्वारा परिष्कृत किया गया जिसे बाद में (1766 में) कैलकुलस ऑफ़ वैरिएशंस कहा। जोसेफ-लुई लाग्रेंज ने आगे का काम किया जिसके परिणामस्वरूप आधुनिक इनफिनिटेसिमल कैलकुलस का चलन हुआ।

इससे पहले, 1638 में, गैलीलियो ने अपने "टू न्यू साइंसेज" में दीवार की एक बिंदु से गिरने के सबसे तेज़ के मार्ग के लिए इसी तरह की समस्या को हल करने का प्रयास किया था। इससे उन्होने यह निष्कर्ष निकाला कि वृत्त का चाप उसकी किसी भी जीवाओं से अधिक तेज़ होता है,

पिछले सन्दर्भ से यह अनुमान लगाना संभव है कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक, सबसे तेज मार्ग [लेशनम ओम्नियम वेलोसिसिमम], सबसे छोटा रास्ता नहीं होता है, अर्थात् एक सीधी रेखा, बल्कि यह एक वृत्त का चाप होता है।

...

नतीजतन अंकित बहुभुज जब एक वृत्त के करीब होता है, A से C तक उतरने के लिए आवश्यक समय कम होता जाता है। चतुर्थांश के लिए जो सिद्ध किया गया है वह छोटे चापों के लिए भी सही है; तर्क वही है।

"टू न्यू साइंसेज" के प्रमेय 6 के ठीक बाद, गैलीलियो ने संभावित भ्रांतियों और "उच्च विज्ञान" की आवश्यकता की चेतावनी दी। इस संवाद में गैलीलियो अपने ही काम की समीक्षा करता है। गैलीलियो ने चक्रज का अध्ययन किया और इसे अपना नाम दिया, लेकिन इसके और उनकी समस्या के बीच संबंध को गणित में प्रगति के लिए इंतजार करना पड़ा।

गैलीलियो का अनुमान है कि "सबमें सबसे छोटा समय [चल निकाय के लिए] चाप ADB [एक चौथाई सर्कल के] के साथ गिरने का होगा और इसी तरह के गुणों को निम्नतम सीमा B से ऊपर की ओर ले जाने वाले सभी छोटे चापों के लिए होल्डिंग के रूप में समझा जाना चाहिए।"

चित्र 1 में, "डायलाग कंसर्निंग द टू चीफ वर्ल्ड सिस्टम्स" से, गैलीलियो का दावा है कि A से B तक, एक चौथाई वृत्त के वृत्ताकार चाप के साथ फिसलने वाला पिंड कम समय में B तक पहुंच जाएगा बजाय वह A से B तक कोई अन्य रास्ता अपनाता है। इसी तरह, चित्र 2 में, चाप AB पर किसी भी बिंदु D से, वह दावा करता है कि छोटे चाप DB के साथ समय, D से B तक के किसी भी अन्य पथ की तुलना में कम होगा। वास्तव में, सबसे तेज़ पथ A से B या D से B तक, ब्राचिस्टोक्रोन, एक साइक्लोइडल आर्क है, जो कि A से B के पथ के लिए चित्र 3 में दिखाया गया है, और D से B के पथ के लिए Fig.4, संबंधित परिपत्र चाप पर आरोपित है।

जोहान बर्नौली का समाधान

परिचय

L'Hôpital, (21/12/1696) को लिखे एक पत्र में, बर्नौली ने कहा कि जब सबसे तेज गिरावट के वक्र की समस्या पर विचार किया गया, तो केवल 2 दिनों के बाद उन्होंने एक जिज्ञासु आत्मीयता या किसी अन्य समान रूप से उल्लेखनीय समस्या के साथ संबंध पर ध्यान दिया जो समाधान की 'अप्रत्यक्ष विधि' की ओर ले गया । फिर कुछ ही समय बाद उन्होंने एक 'प्रत्यक्ष विधि' खोज ली।

प्रत्यक्ष विधि

30 मार्च 1697 को यूनिवर्सिटी ऑफ बेसल पब्लिक लाइब्रेरी में एक आयोजन पर हेनरी बेसनेज को लिखे एक पत्र में, जोहान बर्नौली ने कहा कि उन्होंने यह दिखाने के लिए दो तरीके (हमेशा प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से संदर्भित) खोजे थे कि ब्राचिस्टोक्रोन "सामान्य चक्रज" भी था जिसे "रूलेट" भी कहा जाता है। लीबनिज की सलाह के बाद, उन्होंने मई 1697 के एक्टा एरुडिटोरम लिप्सिडे में केवल अप्रत्यक्ष विधि को शामिल किया। उन्होंने लिखा कि यह आंशिक रूप से था क्योंकि उनका मानना ​​था कि यह निष्कर्ष पर संदेह करने वाले किसी भी व्यक्ति को समझाने के लिए पर्याप्त था, आंशिक रूप से क्योंकि इसने प्रकाशिकी में दो प्रसिद्ध समस्याओं का भी समाधान किया था जिसे स्वर्गीय श्री ह्यूजेंस ने प्रकाश पर अपने निबंध में उठाया था। उसी पत्र में उन्होंने अपने तरीके को छुपाने के लिए न्यूटन की आलोचना की।

अपनी अप्रत्यक्ष पद्धति के अलावा उन्होंने प्राप्त हुई समस्या के पांच अन्य उत्तरों को भी प्रकाशित किया।

जोहान बर्नौली की प्रत्यक्ष विधि ऐतिहासिक रूप से एक प्रमाण के रूप में महत्वपूर्ण है कि ब्राचिस्टोक्रोन चक्रज है। विधि प्रत्येक बिंदु पर वक्र की वक्रता निर्धारित करना है। न्यूटन सहित अन्य सभी प्रमाण (जो उस समय प्रकट नहीं हुए थे) प्रत्येक बिंदु पर प्रवणता ज्ञात करने पर आधारित हैं।

1718 में, बर्नौली ने बताया कि कैसे उन्होंने अपनी प्रत्यक्ष पद्धति से ब्राचिस्टोक्रोन समस्या को हल किया।

उन्होंने समझाया कि उन्होंने उन कारणों से इसे 1697 में प्रकाशित नहीं किया था जो अब 1718 में लागू नहीं होते। इस पत्र को 1904 तक काफी हद तक नजरअंदाज कर दिया गया था जब विधि की गहराई की पहली बार कांस्टेंटिन कैराथोडोरी द्वारा सराहना की गई थी, जिन्होंने कहा था कि यह दर्शाता है कि साइक्लोइड ही सबसे तेज अवरोहण का एकमात्र संभव वक्र है। उनके अनुसार, अन्य समाधानों का तात्पर्य केवल यह है कि अवतरण का समय चक्रज के लिए स्थिर है, लेकिन जरूरी नहीं कि न्यूनतम संभव हो।

विश्लेषणात्मक समाधान

एक पिंड को त्रिज्या KC और Ke के बीच किसी भी छोटे गोलाकार चाप Ce के साथ फिसलने वाला माना जाता है, जिसका केंद्र K निश्चित है। प्रमाण के पहले चरण में विशेष वृत्ताकार चाप, Mm को खोजना शामिल है, जिसे पिंड न्यूनतम समय में तय करता है।

रेखा KNC, AL को N पर प्रतिच्छेद करती है, और रेखा Kne इसे n पर प्रतिच्छेद करती है, और वे K पर एक छोटा कोण CKe बनाते हैं। मान लीजिए NK = a, और विस्तारित KN पर एक चर बिंदु C परिभाषित करते हैं। सभी संभावित वृत्ताकार चाप Ce में से, चाप Mm को ज्ञात करना आवश्यक है, जिसके लिए 2 त्रिज्याओं, KM और Km के बीच फिसलने के लिए न्यूनतम समय की आवश्यकता होती है। Mm को खोजने के लिए बर्नौली ने निम्नानुसार तर्क दिया गया है।

मान लीजिए MN = x, वह m को परिभाषित करता है ताकि MD = mx, और n जिससे कि Mm = nx + na और नोट करें कि x एकमात्र चर है और वह m परिमित है और n असीम रूप से छोटा है। चाप Mm के साथ यात्रा करने का छोटा समय है ${\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}$, जो न्यूनतम होना चाहिए ('अन प्लस पेटिट')। वह यह नहीं समझाता है कि क्योंकि Mm इतना छोटा है कि इसके साथ गति को M पर गति माना जा सकता है, जो कि MD के वर्ग केंद्र के रूप में है, क्षैतिज रेखा AL के नीचे M की ऊर्ध्वाधर दूरी।

यह इस प्रकार है कि, यह विभेदित होने पर अवश्य देना चाहिए

${\frac {(x-a)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0$ ताकि x = a,

यह स्थिति उस वक्र को परिभाषित करती है जिस पर पिंड कम से कम समय में फिसल करता है। वक्र पर प्रत्येक बिंदु M के लिए, वक्रता की त्रिज्या, MK को उसके अक्ष AL द्वारा 2 बराबर भागों में काटा जाता है। बर्नौली कहते हैं, यह विशेषता, चक्रज के लिए अद्वितीय है जिसे लंबे समय से जाना जाता था।

अंत में, वह अधिक सामान्य मामले पर विचार करता है जहां गति एक मनमाना समीकरण X(x) है, इसलिए कम से कम समय ${\frac {(x+a)}{X}}$ है| इस तरह न्यूनतम शर्त तब बन जाती है कि

$X={\frac {(x+a)dX}{dx}}$

जिसे वह इस प्रकार लिखता हैं: $X=(x+a)\Delta x$ और जो NK (= a) के फलन के रूप में MN (=x) देता है। इससे वक्र का समीकरण समाकल कलन से प्राप्त किया जा सकता है, हालांकि वह इसे प्रदर्शित नहीं करते हैं।

संश्लेषित समाधान

इसके बाद वह अपने संश्लेषित समाधान के साथ आगे बढ़ते हैं, जो एक उत्कृष्ट, ज्यामितीय प्रमाण था, कि केवल एक ही वक्र है जिसे एक पिंड न्यूनतम समय में नीचे फिसल सकता है, और वह वक्र चक्रज है।

संश्लेषित समाधान प्रदर्शन का कारण, पूर्वजों के तरीके में, श्री डे ला हायर को समझाने के लिए था। हमारे नए विश्लेषण के लिए उनके पास बहुत कम समय है, इसे झूठा बताते हुए (उनका दावा है कि उन्होंने यह साबित करने के लिए 3 तरीके खोजे हैं कि वक्र एक घन परवलय है) - जोहान बर्नौली से पियरे वेरिग्नन का पत्र दिनांक 27 जुलाई 1697।

मान लें कि AMmB साइक्लोइड का हिस्सा है जो A से B को मिलता है, जिसपर पिंड न्यूनतम समय में नीचे फिसलता है। मानिये कि ICcJ, A से B को मिलाने वाला वक्र का दूसरा हिस्सा है, जो AMmB की तुलना में AL के करीब हो सकता है। यदि चाप Mm अपने वक्रता केंद्र K पर कोण MKm अंतरित करता है, तो मान लीजिए कि IJ पर वह चाप जो समान कोण अंतरित करता है, Cc है। केंद्र K के साथ C से होकर जाने वाला वृत्ताकार चाप Ce है। AL पर बिंदु D, M के ठीक ऊपर है। K को D से मिलाएँ और बिंदु H वह स्थान है जहाँ CG, KD को काटता है, यदि आवश्यक हो तो बढ़ाया जाता है।

मानिये $\tau$ और t वह समय होगा जब पिंड क्रमशः Mm और Ce के साथ गिरता है।

$\tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}$, $t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}$,

CG को बिंदु F तक बढ़ाएँ जहाँ, $CF={\frac {CH^{2}}{MD}}$ और चूँकि ${\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}$, यह इस प्रकार है कि

${\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}$

चूँकि MN = NK, चक्रज के लिए:

$GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}$, $CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}$, तथा $CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}$

यदि Ce, Mm की तुलना में K के अधिक निकट है, तब

$CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}$ तथा $CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}$

किसी भी मामले में,

$CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG$, और यह बताता है कि $\tau <t$

यदि चाप, Cc कोण IJ पर अनंत कोण MKm द्वारा बनाया गया गोलाकार नहीं है, तो यह Ce से अधिक होना चाहिए, क्योंकि Cec सीमा में समकोण त्रिभुज बन जाता है क्योंकि कोण MKm शून्य की ओर अग्रसर होता है।

ध्यान दें, बर्नौली साबित करता है कि CF> CG एक समान लेकिन अलग तर्क से।

इससे वह यह निष्कर्ष निकालता है कि एक पिंड किसी भी अन्य वक्र ACB की तुलना में कम समय में चक्रज AMB से गुजरता है।

अप्रत्यक्ष विधि

फ़र्मेट के सिद्धांत के अनुसार, प्रकाश की किरण द्वारा लिए गए दो बिंदुओं के बीच का वास्तविक पथ वह है जो कम से कम समय लेता है। 1697 में जोहान बर्नौली ने इस सिद्धांत का उपयोग एक माध्यम में प्रकाश की किरण के प्रक्षेपवक्र पर विचार करके ब्रेकिस्टोक्रोन वक्र को प्राप्त करने के लिए किया था, जहां एक निरंतर ऊर्ध्वाधर त्वरण (गुरुत्वाकर्षण g) के बाद प्रकाश की गति बढ़ जाती है।

ऊर्जा संरक्षण के अनुसार, एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में ऊंचाई y गिरने के बाद किसी पिंड की तात्कालिक गति v निम्न द्वारा दी जाती है:

$v={\sqrt {2gy}}$,

किसी भी वक्र के साथ पिंड की गति, गति की क्षैतिज विस्थापन पर निर्भर नहीं करती है।

बर्नौली ने नोट किया कि अपवर्तन का नियम परिवर्तनीय घनत्व के माध्यम में प्रकाश की बीम के लिए गति का नियतांक देता है:

${\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}$,

जहां v_m नियतांक है और $\theta$ ऊर्ध्वाधर के संबंध में प्रक्षेपवक्र के कोण का प्रतिनिधित्व करता है।

उपरोक्त समीकरण दो निष्कर्षों की ओर ले जाते हैं:

1. शुरुआत में, कण की गति शून्य होने पर कोण शून्य होना चाहिए। इसलिए, ब्रचिस्टोक्रोन वक्र केंद्र बिंदु पर लंबवत स्पर्शरेखा है।
2. गति अधिकतम केंद्र्य तक पहुँचती है जब प्रक्षेपवक्र क्षैतिज हो जाता है और कोण θ = 90° हो जाता है।

सादगी के लिए यह मानते हुए कि निर्देशांक (x, y) के साथ कण (या किरण) बिंदु (0,0) से प्रस्थान करता है और ऊर्ध्वाधर दूरी D गिरने के बाद अधिकतम गति तक पहुँचता है:

$v_{m}={\sqrt {2gD}}$.

अपवर्तन और वर्ग के नियम में शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

$v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})$

जिसे dy के मामले में dx के लिए हल किया जा सकता है:

$dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}$.

ऊपर के v और v_m समीकरणों को घटाने से प्राप्त होता है :

$dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}\,dy\,,$

व्यास D = 2r के एक वृत्त द्वारा उत्पन्न एक उल्टे चक्रज का अंतर समीकरण है, जिसका पैरामीट्रिक समीकरण निम्न है:

${\begin{aligned}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi ).\end{aligned}}$

जहां φ एक वास्तविक पैरामीटर है, जो कोण के अनुरूप है जिसके माध्यम से रोलिंग वृत्त घुमाया गया है। दिए गए φ के लिए, वृत्त का केंद्र पर स्थित है (x, y) = (rφ, r).

ब्राचिस्टोक्रोन समस्या में, पिंड की गति को पैरामीटर के समय विकास द्वारा दिया जाता है:

$\varphi (t)=\omega t\,,\omega ={\sqrt {\frac {g}{r}}}$

जहां t बिंदु (0,0) से पिंड के निकलने के बाद का समय है।

जैकब बर्नौली का समाधान

जोहान के भाई जैकब बर्नौली ने दिखाया कि कम से कम समय के लिए स्थिति प्राप्त करने के लिए दूसरे अंतर का उपयोग कैसे किया जा सकता है। समाधान का एक आधुनिक संस्करण इस प्रकार है। यदि हम कम से कम समय के पथ से एक नगण्य विचलन करते हैं, तो पथ के साथ विस्थापन और क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन द्वारा गठित अंतर त्रिकोण के लिए,

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$.

dy नियत के साथ अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है,

$2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x$.

और अंत में पुनर्व्यवस्थित करने पर देता है,

${\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t$

जहां अंतिम भाग दूसरे अवकलन के लिए समय में परिवर्तन के लिए विस्थापन है। अब नीचे दिए गए चित्र में दो पड़ोसी पथों के साथ परिवर्तनों पर विचार करें जिसके लिए केंद्रीय रेखा के साथ पथों के बीच क्षैतिज अलगाव d²x है (ऊपरी और निचले दोनों अवकल त्रिभुजों के लिए समान)। पुराने और नए रास्तों के साथ, अलग-अलग हिस्से हैं,

:$d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x$

$d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x$

कम से कम समय के पथ के लिए ये समय बराबर हैं इसलिए उनके अंतर के लिए हम प्राप्त करते हैं,

$d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x$

और कम से कम समय के लिए शर्त है,

${\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}$

जो अपवर्तन के नियम पर आधारित जोहान की धारणा से सहमत है।

न्यूटन का हल

परिचय

जून 1696 में, जोहान बर्नौली ने अंतर्राष्ट्रीय गणितीय समुदाय के लिए एक चुनौती पेश करने के लिए एक्टा एरुडिटोरम लिप्सिडे के पन्नों का इस्तेमाल किया: दो निश्चित बिंदुओं को जोड़ने वाले वक्र के रूप को खोजने के लिए ताकि एक पिंड गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में कम से कम समय में नीचे की ओर खिसक जाए। समाधान केंद्र रूप से छह महीने के भीतर प्रस्तुत किया जाना था। लीबनिज के सुझाव पर, बर्नौली ने नीदरलैंड में ग्रोनिंगन में प्रकाशित प्रोग्राममा नामक एक मुद्रित पाठ के माध्यम से ईस्टर 1697 तक चुनौती को बढ़ाया।

ग्रेगोरियन कैलेंडर के अनुसार, कार्यक्रम दिनांक 1 जनवरी 1697 को तय किया गया। जो ब्रिटेन में उपयोग में आने वाले जूलियन कैलेंडर में 22 दिसंबर 1696 था।न्यूटन की भतीजी, कैथरीन कोंडुइट के अनुसार, न्यूटन को 29 जनवरी को शाम 4 बजे चुनौती के बारे में पता चला और अगली सुबह 4 बजे तक इसे हल कर लिया। उनका समाधान दिनांक 30 जनवरी को रॉयल सोसाइटी को सूचित किया गया। यह समाधान, जिसे बाद में गुमनाम रूप से फिलोसोफिकल ट्रांजैक्शन्स में प्रकाशित किया गया, सही है लेकिन न्यूटन के निष्कर्ष पर पहुंचने की विधि को इंगित नहीं करता है। बर्नौली ने मार्च 1697 में हेनरी बसनेज को लिखे पत्र में संकेत दिया था कि भले ही इसके लेखक ने अत्यधिक शालीनता से अपना नाम प्रकट नहीं किया, फिर भी प्रदान किए गए अल्प विवरण से भी इसे न्यूटन के काम के रूप में पहचाना जा सकता है, "शेर को उसके पंजे से पहचानना" (लैटिन में, पूर्व अनगु लियोनेम)।

डी. टी. व्हाईटसाइड लैटिन ने केंद्र रूप से ग्रीक से अभिव्यक्ति की उत्पत्ति की व्याख्या काफी विस्तार से की है। फ्रेंच भाषा के पत्र में 'एक्स उन्गुए लेओनेम' फ्रेंच शब्द 'कमे' से पहले आता है। 1855 में न्यूटन के जीवन और कार्यों पर डेविड ब्रूस्टर की पुस्तक के कारण बहुत अधिक उद्धृत संस्करण 'तनक्वाम एक्स अनग्यू लियोनेम' है। बर्नौली का इरादा बस इतना था कि वह गुमनाम समाधान को न्यूटन का बता सके, ठीक वैसे ही जैसे यह बताना संभव था कि एक जानवर एक शेर था जिसे उसका पंजा दिया गया था। इसका मतलब यह नहीं था कि बर्नौली न्यूटन को गणितज्ञों के बीच शेर मानते थे जैसा कि तब से इसकी व्याख्या की जाने लगी।

जॉन वालिस, जो उस समय 80 वर्ष के थे, को सितंबर 1696 में जोहान बर्नौली के सबसे छोटे भाई हिरोनिमस से समस्या के बारे में पता चला, और डेविड ग्रेगोरी को दिसंबर में पास करने से पहले समाधान का प्रयास करने में तीन महीने बिताए, जो खुद भी असफल हो गए। न्यूटन द्वारा अपना समाधान प्रस्तुत करने के बाद, ग्रेगोरी ने उनसे विवरण मांगा और उनकी बातचीत से नोट्स बनाए। इन्हें यूनिवर्सिटी ऑफ़ एडिनबर्ग लाइब्रेरी, पांडुलिपि A$78^{1}$,दिनांक 7 मार्च 1697 में पाया जा सकता है । या तो ग्रेगरी न्यूटन के तर्क को नहीं समझ पाए, या न्यूटन की व्याख्या बहुत संक्षिप्त थी। हालांकि, ग्रेगरी के नोट्स से न्यूटन का समाधान निकालना, उच्च स्तर के विश्वास के साथ संभव है, न्यूनतम प्रतिरोध के ठोस को निर्धारित करने की उनकी विधि के अनुरूप (प्रिंसिपीअ, बुक 2, प्रोपोज़ 34, स्कोलियम 2)। इस बाद की समस्या के उनके समाधान का विस्तृत विवरण 1694 में डेविड ग्रेगोरी को भी एक पत्र के मसौदे में शामिल है। मिनिमम टाइम कर्व प्रॉब्लम के अलावा एक दूसरी प्रॉब्लम भी थी जिसे न्यूटन ने भी उसी समय निराकरण किया था। दोनों समाधान गुमनाम रूप से रॉयल सोसाइटी के फिलोसोफिकल ट्रांसक्शन्स में जनवरी 1697 के लिए दिखाई दिए।

ब्रेकिस्टोक्रोन समस्या

चित्र 1, ग्रेगरी के आरेख को दिखाता है (अतिरिक्त रेखा IF और Z को छोड़कर जो इसमें अनुपस्थित है, प्रारंभ बिंदु जोड़ा गया है)। वक्र ZVA एक चक्रज है और CHV इसका जनक वृत्त है। चूँकि ऐसा प्रतीत होता है कि पिंड e से E तक ऊपर की ओर बढ़ रहा है, यह माना जाना चाहिए कि Z से एक छोटा पिंड छोड़ा जाता है और गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत बिना घर्षण के वक्र के साथ A की ओर फिसलता है।

एक छोटे चाप eE पर विचार करें, जिस पर पिंड चढ़ रहा है। मान लें कि यह सीधी रेखा eL से बिंदु L तक जाती है, E से क्षैतिज रूप से चाप eE के बजाय एक छोटी दूरी, o से विस्थापित होती है। ध्यान दें कि eL, e पर स्पर्श रेखा नहीं है, और जब L, B और E के बीच में है तो o ऋणात्मक है। E से होकर CH के समांतर एक रेखा खींचिए, eL को n पर काटिए। चक्रज की विशेषता से, En पर स्पर्शरेखा E के लिए लंबवत है, और इसी प्रकार E पर स्पर्शरेखा VH के समानांतर है।

चूंकि विस्थापन EL छोटा है, यह E पर स्पर्शरेखा से दिशा में थोड़ा भिन्न होता है ताकि कोण EnL एक समकोण के करीब हो। सीमा में जब चाप eE शून्य की ओर अग्रसर होता है, eL VH के समानांतर हो जाता है, बशर्ते o, eE की तुलना में छोटा हो जिससे त्रिभुज EnL और CHV समान हो जाते हैं।

साथ ही en जीवा eE की लंबाई के करीब पहुंचता है और लंबाई में वृद्धि , $eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}$, $o^{2}$ और उच्चतर को अनदेखा करके, जो eL और VH समानांतर होने के सन्निकटन के कारण त्रुटि का प्रतिनिधित्व करते हैं।

eE या eL के साथ गति को E पर ${\sqrt {CB}}$ के समानुपाती के रूप में लिया जा सकता है, जो CH के रूप में है, चूंकि $CH={\sqrt {CB.CV}}$

ऐसा प्रतीत होता है कि ग्रेगरी के नोट में यही सब कुछ है।

माना L पर पहुँचने के लिए अतिरिक्त समय t है,

$t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}$

इसलिए, एक समापन बिंदु पर विस्थापित एक छोटे चाप को पार करने के लिए समय में वृद्धि केवल अंत बिंदु पर विस्थापन पर निर्भर करती है और चाप की स्थिति से स्वतंत्र होती है। हालाँकि, न्यूटन की विधि के अनुसार, वक्र को न्यूनतम संभव समय में पार करने के लिए यह आवश्यक शर्त है। इसलिए, वह निष्कर्ष निकालता है कि न्यूनतम वक्र चक्रज होना चाहिए।

वह इस प्रकार तर्क देता है।

अब यह मानते हुए कि चित्र 1, ऊर्ध्वाधर अक्ष CV के साथ न्यूनतम वक्र है जो अभी तक निर्धारित नहीं किया गया है, और वृत्त CHV हटा दिया गया है, और चित्र 2 इनफिनिटिमल चाप eE और एक और इन्फिनिटिमल चाप Ff के बीच एक परिमित दूरी के साथ वक्र का हिस्सा दिखाता है। वक्र। eL (eE के बजाय) को पार करने के लिए अतिरिक्त समय t, nL को E पर गति से विभाजित किया जाता है (${\sqrt {CB}}$ के आनुपातिक ), $o^{2}$ और उच्चतर को अनदेखा करके:

$t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}$,

L पर कण LM पथ के साथ किसी बिंदु M तक केंद्र EF के समानांतर चलता है। चूंकि इसकी गति L पर E के समान है, LM को पार करने का समय वही है जो यह मूल वक्र EF के साथ होता। M पर यह बिंदु f पर मूल पथ पर लौटता है। उसी तर्क से, समय में कमी, T, F से एMफ के बजाय M से F तक पहुंचने के लिए है

$T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}$

अंतर (t - T) मूल eEFf की तुलना में eLMf पथ के साथ अतिरिक्त समय लगता है:

$(t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o$ , $o^{2}$ और उच्चतर(1) कि साथ

क्योंकि eEFf न्यूनतम वक्र है, (t – T) शून्य से अधिक होना चाहिए, चाहे o धनात्मक हो या ऋणात्मक। यह इस प्रकार है कि (1) में o का गुणांक शून्य होना चाहिए:

${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}$ (2) सीमा में eE और fF शून्य की ओर बढ़ते हैं। ध्यान दें कि चूंकि eEFf न्यूनतम वक्र है, इसलिए यह माना जाना चाहिए कि $o^{2}$ का गुणांक शून्य से बड़ा है।

स्पष्ट रूप से 2 समान और विपरीत विस्थापन होने चाहिए, या पिंड वक्र के समापन बिंदु, A पर वापस नहीं आएगा।

यदि e स्थिर है, और यदि f को वक्र के ऊपर एक परिवर्तनशील बिंदु माना जाता है, तो ऐसे सभी बिंदुओं के लिए, f, ${\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}$ स्थिर है ( ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}$ के बराबर). f को स्थिर रखकर और e को एक चर बनाकर यह स्पष्ट है कि ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}$ भी स्थिर है।

लेकिन, चूँकि बिंदु, e और f स्वेच्छ हैं, समीकरण (2) केवल तभी सत्य हो सकता है जब ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{constant}}$हर जगह स्थिर है, और यह स्थिति वांछित वक्र की विशेषता है। यह वही तकनीक है जिसका उपयोग वह सॉलिड ऑफ लीस्ट रेसिस्टेंस के रूप को खोजने के लिए करता है।

चक्रज के लिए, ${\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}$ , ताकि ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}$, जो ऊपर स्थिर दिखाया गया था, और ब्राचिस्टोक्रोन चक्रज है।

न्यूटन इस बात का कोई संकेत नहीं देते कि उन्होंने कैसे पता लगाया कि चक्रज इस अंतिम संबंध को संतुष्ट करता है। यह परीक्षण और त्रुटि के द्वारा हो सकता है, या हो सकता है कि उसने तुरंत पहचान लिया हो कि यह वक्र चक्रज था।

यह भी देखें

• अरस्तू का पहिया विरोधाभास
• बेल्ट्रामी पहचान
• विचरण-कलन
• कैटनेरी
• चक्रज
• न्यूटन की न्यूनतम प्रतिरोध समस्या
• टौटोक्रोन वक्र
• Trochoid
• गति के समीकरण # समान रूप से त्वरित रैखिक गति के समीकरण

बाहरी संबंध

• "Brachistochrone", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Brachistochrone Problem". MathWorld.
• Brachistochrone ( at MathCurve, with excellent animated examples)
• The Brachistochrone, Whistler Alley Mathematics.
• Table IV from Bernoulli's article in Acta Eruditorum 1697
• Brachistochrones by Michael Trott and Brachistochrone Problem by Okay Arik, Wolfram Demonstrations Project.
• The Brachistochrone problem at MacTutor
• Geodesics Revisited — Introduction to geodesics including two ways of derivation of the equation of geodesic with brachistochrone as a special case of a geodesic.
• Optimal control solution to the Brachistochrone problem in Python.
• The straight line, the catenary, the brachistochrone, the circle, and Fermat Unified approach to some geodesics.