मान फलन

किसी अनुकूलन निर्मेय का मान फलन किसी समाधान पर उद्देश्य फलन द्वारा प्राप्त मान (गणित) देता है, जबकि यह केवल निर्मेय के पैरामीटरों पर निर्भर करता है। ^[1]^[2] एक नियंत्रण सिद्धांत गतिशील प्रणाली में, मान फलन अंतराल [t, t₁ पर प्रणाली के इष्टतम भुगतान का प्रतिनिधित्व करता है] जब समय-t स्थिति चर x(t)=x पर प्रारंभ किया गया। ^[3] यदि उद्देश्य फलन कुछ लागत का प्रतिनिधित्व करता है जिसे कम किया जाना है, तो मूल्य फलन को इष्टतम क्रमानुदेश को पूरा करने की लागत के रूप में व्याख्या की जा सकती है, और इस प्रकार इसे कॉस्ट-टू-गो फलन के रूप में संदर्भित किया जाता है। ^[4]^[5] एक आर्थिक संदर्भ में, जहां उद्देश्य फलन सामान्यतः उपयोगिता का प्रतिनिधित्व करता है, मान फलन अवधारणात्मक रूप से अप्रत्यक्ष उपयोगिता फलन के समतुल्य है। ^[6]^[7] इष्टतम नियंत्रण की निर्मेय में, मान फलन को स्वीकार्य नियंत्रणों के सम्मुच्चय पर लिए गए उद्देश्य फलन के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है। दिया गया $(t_{0},x_{0})\in [0,t_{1}]\times \mathbb {R} ^{d}$ , निम्न एक विशिष्ट इष्टतम नियंत्रण निर्मेय

{\text{maximize}}\quad J(t_{0},x_{0};u)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}I(t,x(t),u(t))\,\mathrm {d} t+\phi (x(t_{1}))

का विषय

{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(t,x(t),u(t))

प्रारंभिक अवस्था $x(t_{0})=x_{0}$ चर के साथ है। ^[8] उद्देश्य फलन $J(t_{0},x_{0};u)$ सभी स्वीकार्य नियंत्रणों पर अधिकतम $u\in U[t_{0},t_{1}]$ किया जाना है, जहाँ कुछ निर्धारित स्वेच्छाचारी सम्मुच्चय $\mathbb {R} ^{m}$ में $u$ से एक मापने योग्य कार्य $[t_{0},t_{1}]$ है। मूल्य फलन तब के रूप में परिभाषित किया गया है

$V(t,x(t))=\max _{u\in U}\int _{t}^{t_{1}}I(\tau ,x(\tau ),u(\tau ))\,\mathrm {d} \tau +\phi (x(t_{1}))$

$V(t_{1},x(t_{1}))=\phi (x(t_{1}))$ के साथ, जहाँ $\phi (x(t_{1}))$ उच्छिष्ट मूल्य है। यदि नियंत्रण और राज्य प्रक्षेपवक्र की इष्टतम जोड़ी $(x^{\ast },u^{\ast })$ है, तब $V(t_{0},x_{0})=J(t_{0},x_{0};u^{\ast })$ है। कार्यक्रम $h$ जो इष्टतम नियंत्रण $u^{\ast }$ देता है वर्तमान स्थिति के आधार पर $x$ एक प्रतिक्रिया नियंत्रण नीति,^[4] या बस एक नीति फलन कहा जाता है। ^[9]

बेलमैन का इष्टतमता का सिद्धांत स्थूलतः बताता है कि समय $t$ पर कोई भी इष्टतम नीति, $t_{0}\leq t\leq t_{1}$ वर्तमान स्थिति $x(t)$ नई प्रारंभिक स्थिति शेष निर्मेय के लिए इष्टतम होनी चाहिए। यदि मान फलन अवकलनीय फलन होता है,^[10] यह एक महत्वपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण को उत्पन्न करता है जिसे हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन समीकरण के रूप में जाना जाता है,

-{\frac {\partial V(t,x)}{\partial t}}=\max _{u}\left\{I(t,x,u)+{\frac {\partial V(t,x)}{\partial x}}f(t,x,u)\right\}

जहाँ विक्षनरी: दाएँ हाथ की ओर अधिकतम भी हैमिल्टनियन (नियंत्रण सिद्धांत) $H\left(t,x,u,\lambda \right)=I(t,x,u)+\lambda f(t,x,u)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जैसे

-{\frac {\partial V(t,x)}{\partial t}}=\max _{u}H(t,x,u,\lambda )

$\partial V(t,x)/\partial x=\lambda (t)$ कॉस्टेट चर की भूमिका निभा रहा है। ^[11] इस परिभाषा को देखते हुए, हमारे पास आगे $\mathrm {d} \lambda (t)/\mathrm {d} t=\partial ^{2}V(t,x)/\partial x\partial t+\partial ^{2}V(t,x)/\partial x^{2}\cdot f(x)$ है, और x के संबंध में HJB समीकरण के दोनों पक्षों को अवकलित करने के बाद समीकरण निम्न प्रकार है,

-{\frac {\partial ^{2}V(t,x)}{\partial t\partial x}}={\frac {\partial I}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}V(t,x)}{\partial x^{2}}}f(x)+{\frac {\partial V(t,x)}{\partial x}}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}

जो उपयुक्त परिस्थितियों को बदलने के बाद कॉस्टेट समीकरण को पुनः प्राप्त करता है

-{\dot {\lambda }}(t)={\frac {\partial I}{\partial x}}+\lambda (t){\frac {\partial f(x)}{\partial x}}={\frac {\partial H}{\partial x}}

जहाँ ${\dot {\lambda }}(t)$ समय के संबंध में व्युत्पन्न शब्द के लिए न्यूटन संकेत पद्धति है। ^[12] मूल्य फलन हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन समीकरण का अद्वितीय श्यानता समाधान है। ^[13] एक ऑनलाइन कलन विधि बंद-परिपथ अनुमानित इष्टतम नियंत्रण में, वैल्यू फलन भी एक लायपुनोव फलन है जो बंद-परिपथ प्रणाली की वैश्विक स्पर्शोन्मुख स्थिरता स्थापित करता है।^[14]

संदर्भ

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↑ Caputo, Michael R. (2005). Foundations of Dynamic Economic Analysis : Optimal Control Theory and Applications. New York: Cambridge University Press. p. 185. ISBN 0-521-60368-4.
↑ Weber, Thomas A. (2011). Optimal Control Theory : with Applications in Economics. Cambridge: The MIT Press. p. 82. ISBN 978-0-262-01573-8.
↑ ^4.0 ^4.1 Bertsekas, Dimitri P.; Tsitsiklis, John N. (1996). न्यूरो-डायनामिक प्रोग्रामिंग. Belmont: Athena Scientific. p. 2. ISBN 1-886529-10-8.
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↑ Theorem 10.1 in Bressan, Alberto (2019). "Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations and Optimal Control Problems" (PDF). Lecture Notes.
↑ Kamalapurkar, Rushikesh; Walters, Patrick; Rosenfeld, Joel; Dixon, Warren (2018). "Optimal Control and Lyapunov Stability". Reinforcement Learning for Optimal Feedback Control: A Lyapunov-Based Approach. Berlin: Springer. pp. 26–27. ISBN 978-3-319-78383-3.

अग्रिम पठन

Caputo, Michael R. (2005). "Necessary and Sufficient Conditions for Isoperimetric Problems". Foundations of Dynamic Economic Analysis : Optimal Control Theory and Applications. New York: Cambridge University Press. pp. 174–210. ISBN 0-521-60368-4.
Clarke, Frank H.; Loewen, Philip D. (1986). "The Value Function in Optimal Control: Sensitivity, Controllability, and Time-Optimality". SIAM Journal on Control and Optimization. 24 (2): 243–263. doi:10.1137/0324014.
LaFrance, Jeffrey T.; Barney, L. Dwayne (1991). "गतिशील अनुकूलन में लिफाफा प्रमेय" (PDF). आर्थिक गतिशीलता और नियंत्रण जर्नल. 15 (2): 355–385. doi:10.1016/0165-1889(91)90018-V.
Stengel, Robert F. (1994). "अनुकूलता के लिए शर्तें". इष्टतम नियंत्रण और अनुमान. New York: Dover. pp. 201–222. ISBN 0-486-68200-5.

[1] Fleming, Wendell H.; Rishel, Raymond W. (1975). नियतात्मक और स्टोकेस्टिक इष्टतम नियंत्रण. New York: Springer. pp. 81–83. ISBN 0-387-90155-8.

[2] Caputo, Michael R. (2005). Foundations of Dynamic Economic Analysis : Optimal Control Theory and Applications. New York: Cambridge University Press. p. 185. ISBN 0-521-60368-4.

[3] Weber, Thomas A. (2011). Optimal Control Theory : with Applications in Economics. Cambridge: The MIT Press. p. 82. ISBN 978-0-262-01573-8.

[Bertsekas_Tsitsiklis-4] 4.0 ^4.1 Bertsekas, Dimitri P.; Tsitsiklis, John N. (1996). न्यूरो-डायनामिक प्रोग्रामिंग. Belmont: Athena Scientific. p. 2. ISBN 1-886529-10-8.

[5] "EE365: Dynamic Programming" (PDF).

[6] Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (1995). सूक्ष्म आर्थिक सिद्धांत. New York: Oxford University Press. p. 964. ISBN 0-19-507340-1.

[7] Corbae, Dean; Stinchcombe, Maxwell B.; Zeman, Juraj (2009). आर्थिक सिद्धांत और अर्थमिति के लिए गणितीय विश्लेषण का परिचय. Princeton University Press. p. 145. ISBN 978-0-691-11867-3.

[8] Kamien, Morton I.; Schwartz, Nancy L. (1991). Dynamic Optimization : The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management (2nd ed.). Amsterdam: North-Holland. p. 259. ISBN 0-444-01609-0.

[9] Ljungqvist, Lars; Sargent, Thomas J. (2018). पुनरावर्ती मैक्रोइकॉनॉमिक थ्योरी (Fourth ed.). Cambridge: MIT Press. p. 106. ISBN 978-0-262-03866-9.

[10] Benveniste and Scheinkman established sufficient conditions for the differentiability of the value function, which in turn allows the application of the envelope theorem, see Benveniste, L. M.; Scheinkman, J. A. (1979). "On the Differentiability of the Value Function in Dynamic Models of Economics". Econometrica. 47 (3): 727–732. doi:10.2307/1910417. JSTOR 1910417. Also see Seierstad, Atle (1982). "Differentiability Properties of the Optimal Value Function in Control Theory". Journal of Economic Dynamics and Control. 4: 303–310. doi:10.1016/0165-1889(82)90019-7.

[11] Kirk, Donald E. (1970). इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. p. 88. ISBN 0-13-638098-0.

[12] Zhou, X. Y. (1990). "अधिकतम सिद्धांत, गतिशील प्रोग्रामिंग, और नियतात्मक नियंत्रण में उनका संबंध". Journal of Optimization Theory and Applications. 65 (2): 363–373. doi:10.1007/BF01102352. S2CID 122333807.

[13] Theorem 10.1 in Bressan, Alberto (2019). "Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations and Optimal Control Problems" (PDF). Lecture Notes.

[14] Kamalapurkar, Rushikesh; Walters, Patrick; Rosenfeld, Joel; Dixon, Warren (2018). "Optimal Control and Lyapunov Stability". Reinforcement Learning for Optimal Feedback Control: A Lyapunov-Based Approach. Berlin: Springer. pp. 26–27. ISBN 978-3-319-78383-3.

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