मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण

Maxwell–Boltzmann

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$a>0$
Support	$x\in (0;\infty )$
PDF	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a^{3}}}$
CDF	$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a}}$ where erf is the error function
Mean	$\mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$
Mode	${\sqrt {2}}a$
Variance	$\sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}$
Skewness	$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}$
Ex. kurtosis	$\gamma _{2}=4{\frac {\left(-96+40\pi -3\pi ^{2}\right)}{(3\pi -8)^{2}}}$
Entropy	$\ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}$

भौतिकी में (विशेष रूप से सांख्यिकीय यांत्रिकी में ), मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन बंटन, या मैक्सवेलियन बंटन, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और लुडविग बोल्ट्जमैन के नाम पर एक विशेष प्रायकिता बंटन है ।

यह पहली बार परिभाषित किया गया था और आदर्श गैस में कण गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किया गया था, जहां कण एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया किए बिना एक स्थिर पात्र के अंदर स्वतंत्र रूप से संचरित होतेहैं, बहुत ही संक्षिप्त संघट्टन को छोड़कर जिसमें वे एक दूसरे के साथ या अपने तापीय वातावरण के साथ ऊर्जा और गति का आदान-प्रदान करते हैं। इस संदर्भ में शब्द कण केवल गैसीय कणों (परमाणुओं या अणुओं) को संदर्भित करता है, और माना जाता है कि कणों की प्रणाली ऊष्मागतिक साम्यावस्था तक पहुंच गई है। ऐसे कणों की ऊर्जा मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के रूप में जानी जाती है, और गति का सांख्यिकीय बंटन कण ऊर्जा को गतिज ऊर्जा के साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

गणितीय रूप से, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान बंटन स्वतंत्रता की तीन कोटि (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वेग सदिश के घटक) के साथ ची बंटन है, जिसमें मापनी प्राचल मापने की गति इकाइयों में $T/m$ (तापमान और कण द्रव्यमान का अनुपात) वर्गमूल के अनुपात में होती है।

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन बंटन गैसों के गतिज सिद्धांत का परिणाम है, जो दबाव और प्रसार सहित कई मौलिक गैसीय गुणों का सरलीकृत विवरण प्रदान करता है। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन बंटन मूलभूत रूप से तीन आयामों में कण वेगों पर प्रयुक्त होता है, लेकिन यह केवल कणों की गति (वेग के परिमाण (गणित) पर निर्भर करता है। एक कण गति प्रायकिता बंटन प्रदर्शित करता है कि कौन सी गति अधिक होने की संभावना है: एक यादृच्छिक रूप से चयन किए गए कण में बंटन से यादृच्छिक रूप से चयन की गई गति होगी, और गति की एक सीमा के अंदर दूसरे की तुलना में अधिक होने की संभावना है। गैसों का गतिज सिद्धांत उत्कृष्ट आदर्श गैस पर प्रयुक्त होता है, जो वास्तविक गैसों का एक आदर्शीकरण है। वास्तविक गैसों में, विभिन्न प्रभाव होते हैं उदाहरण के लिए, वैन डेर वाल्स अंतःक्रिया, जलावर्त प्रवाह, विशेष सापेक्षता गति सीमा, और क्वांटम विनिमय परस्पर क्रिया होती है। जो मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन फॉर्म से उनकी गति बंटन को अलग बना सकते हैं। हालांकि, सामान्य तापमान पर विरलन गैसें एक आदर्श गैस की तरह लगभग व्यवहार करती हैं और मैक्सवेल गति बंटन ऐसी गैसों के लिए एक उत्कृष्ट सन्निकटन है। यह आदर्श प्लाज्मा (भौतिकी) के लिए भी सही है, जो पर्याप्त रूप से कम घनत्व की आयनीकृत गैसें हैं।

बंटन पहली बार मैक्सवेल द्वारा 1860 में अनुमानी आधार पर प्राप्त किया गया था। बाद में, 1870 के दशक में बोल्ट्जमैन ने इस बंटन के भौतिक मूल की महत्वपूर्ण जांच की। बंटन को इस आधार पर प्राप्त किया जा सकता है कि यह प्रणाली की उत्क्रम-माप को अधिकतम करता है। व्युत्पत्तियों की एक सूची है:

1. औसत ऊर्जा के संरक्षण की बाधा के साथ चरण स्थान में अधिकतम एन्ट्रापी प्रायकिता बंटन $\langle H\rangle =E$;
2. विहित समुदाय।

बंटन फलन

ऊष्मागतिक साम्यावस्था में समान गैर-अंतःक्रियात्मक, गैर-सापेक्ष उत्कृष्ट कणों की एक बड़ी संख्या वाली प्रणाली के लिए, त्रि-आयामी वेग अंतरिक्ष $d^{3}v$ केंद्रित के एक अतिसूक्ष्म तत्व के अंदर कणों का अंश परिमाण, v के वेग सदिश पर, द्वारा दिया गया है

$$f(v)~d^{3}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}~d^{3}v,$$

जहाँ $m$ कण द्रव्यमान है, $k$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और $T$ ऊष्मप्रवैगिकी तापमान है। अतः $f(v)$ एक प्रायिकता बंटन फलन है, जिसे सही से सामान्यीकृत किया गया है ताकि ${\textstyle \int f(v)\,d^{3}v}$ सभी वेगों पर समानता है।

गति प्रायकिता घनत्व 298.15 K (25 °C) के तापमान पर कुछ उत्कृष्ट गैसों की गति का कार्य करता है। Y-अक्ष s/m में है ताकि वक्र के किसी भी खंड के अंतर्गत क्षेत्र जो उस सीमा में होने की गति की प्रायकिता का प्रतिनिधित्व करता है और ये आयामहीन है।

मानक कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में वेग के लिए वेग अंतरिक्ष के तत्व को $d^{3}v=dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$ के रूप में लिख सकते हैं, या $d^{3}v=v^{2}\,dv\,d\Omega$ एक मानक गोलाकार निर्देशांक प्रणाली में, जहाँ $d\Omega$ ठोस कोण का एक तत्व है।

केवल एक दिशा में गतिमान कणों के लिए मैक्सवेलियन बंटन फलन, यदि यह दिशा $x$ है तब,

$$f(v_{x})~dv_{x}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{1/2}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}~dv_{x},$$

जिसे ऊपर दिए गए त्रि-आयामी रूप को $v_{y}$ और $v_{z}$ समाकल करके प्राप्त किया जा सकता है

$f(v)$ की समरूपता को पहचानते हुए, ठोस कोण पर समाकल किया जा सकता है और फलन के रूप में गति का प्रायकिता बंटन लिख सकता है

$$f(v)=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,4\pi v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}.$$

यह प्रायिकता घनत्व फलन प्रति इकाई गति के निकट $v$ गति वाले कण को ​​खोजने की प्रायिकता देता है। यह समीकरण केवल मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन बंटन (इन्फोबॉक्स में दिया गया) बंटन पैरामीटर ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}}$ के साथ है। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन बंटन तीन स्वतंत्रता की कोटियां और मापनी प्राचल ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}}$ के साथ चई बंटन के समान है।

बंटन से संतुष्ट सबसे सरल साधारण अवकल समीकरण है:

$$kTvf'(v)+f(v)\left(mv^{2}-2kT\right)=0,$$

$$f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {m}{2kT}}}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}$$

या इकाई रहित प्रस्तुति में:

$$a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x)=0,$$

$$f(1)={\frac {{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{1}/{2a^{2}}}}{a^{3}}}.$$

औसत मानो की डार्विन-फाउलर पद्धति के साथ, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान बंटन को एक परिशुद्ध परिणाम के रूप में प्राप्त किया जाता है।

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन गति बंटन की ओर शिथिलक 2D गैस का अनुकरण

2D मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन बंटन से संबंध

समतल में गति करने के लिए सीमित कणों के लिए, गति बंटन द्वारा दिया जाता है

$$P(s<|{\vec {v}}|<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp \left(-{\frac {ms^{2}}{2kT}}\right)ds$$

इस बंटन का उपयोग साम्यावस्था में प्रणालियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। हालाँकि, अधिकांश प्रणालियाँ अपनी साम्यावस्था अवस्था में प्रारंभ नहीं होती हैं। अपनी साम्यावस्था स्थिति की ओर एक प्रणाली का विकास बोल्ट्जमैन समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है। समीकरण भविष्यवाणी करता है कि छोटी दूरी की परस्पर क्रिया के लिए, साम्यावस्था वेग बंटन मैक्सवेल-बोल्ट्जमान बंटन का अनुसरण करेगा। दाईं ओर एक आणविक गतिकी (एमडी) अनुकरण है जिसमें 900 कठोर गोले कण एक आयत में गति करने के लिए आश्रित हैं। वे पूर्ण प्रत्यास्थ संघट्ट के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं। प्रणाली को साम्यावस्था से बाहर प्रारंभ किया गया है, लेकिन वेग बंटन (नीले रंग में) तीव्रता से 2D मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन बंटन (नारंगी में) में परिवर्तित हो जाता है।

विशिष्ट गति

सूर्य का प्रकाशमंडल क्रमशः T = 5800 K. ${\tilde {V}}$, ${\bar {V}}$, और V_rms सबसे संभावित, माध्य और मूल माध्य वर्ग वेगों को चिह्नित करें। उनके मान ${\tilde {V}}$ ≈ 9.79 km/s, ${\bar {V}}$ ≈ 11.05 km/s, और V_rms ≈ 12.00 km/s हैं।

माध्य गति $\langle v\rangle$, सबसे संभावित गति (मोड (सांख्यिकी)) v_p, और मूल-माध्य-वर्ग गति ${\textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$ मैक्सवेल बंटन के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है।

यह लगभग आदर्श गैस, हीलियम जैसी उत्कृष्ट गैस, गैसों के लिए अच्छी तरह से काम करता है, ऐसा इसलिए है क्योंकि बड़ी ताप क्षमता (एक ही तापमान पर बड़ी आंतरिक ऊर्जा) के होने के बाद भी उनकी बड़ी संख्या में स्वतंत्रता के कारण, उनकी अनुवादिक गतिज ऊर्जा (और इस प्रकार उनकी गति) अपरिवर्तित रहती है।

• सबसे प्रसंभाव्य गति vp, वह गति है जो प्रणाली में किसी भी अणु (समान द्रव्यमान m के) के पास होने की संभावना है और अधिकतम मान या f(v) के मोड से अनुरूप होती है। इसे खोजने के लिए, हम अवकल df/dv की गणना करते हैं, इसे शून्य पर स्थापित करते हैं और v के लिए संशोधित करते हैं:
  $${\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\ v\ e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\left({\frac {mv^{2}}{2kT}}-1\right)=0$$
  समाधान के साथ:
  $${\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2kT}}=1$$
  $$v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}$$
  R गैस स्थिर है और M पदार्थ का ग्राम अणुक द्रव्यमान है, और इस प्रकार इसकी गणना कण द्रव्यमान m और अवोगाद्रो स्थिरांक, N_A के गुणन के रूप में की जा सकती है:

$$M=mN_{\text{A}}$$

द्विपरमाणुक नाइट्रोजन के लिए (N₂, वायु का प्राथमिक घटक) कमरे के तापमान पर (300 K), यह देता है

$$v_{\text{p}}\approx {\sqrt {\frac {2\cdot 8.31\ {\text{J}}\cdot {\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}\ 300\ {\text{K}}}{0.028\ {\text{kg}}\cdot {\text{mol}}^{-1}}}}\approx 422\ {\text{m/s}}.$$

• औसत गति गति बंटन, संस्थापन का अपेक्षित मान ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ है:
  $${\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\&=4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv\\&=4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2b^{2}}}={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}\\&={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$$
• औसत वर्ग गति $\langle v^{2}\rangle$ गति बंटन का दूसरा क्रम बिंदु आघूर्ण (गणित) है। मूल माध्य वर्ग गति $v_{\mathrm {rms} }$ औसत गतिज ऊर्जा, संस्थापन के साथ एक कण की गति के अनुरूप, औसत वर्ग गति का वर्गमूल ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$ है:

$${\begin{aligned}v_{\mathrm {rms} }&={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left(\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right)^{1/2}\\&=\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right)^{1/2}\\&=\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}{\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {\pi }{b^{5}}}}\right)^{1/2}=\left({\frac {3}{2b}}\right)^{1/2}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$$

संक्षेप में, विशिष्ट गति निम्नानुसार संबंधित हैं:

$$v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.$$

मूल माध्य वर्ग गति गैस में ध्वनि c की गति से प्रत्यक्ष रूप से संबंधित है, जिसके द्वारा,

$$c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},$$

जहाँ ${\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$ स्थिरोष्म सूचकांक f है। व्यक्तिगत गैस अणु की स्वतंत्रता की कोटि की संख्या है। उपरोक्त उदाहरण के लिए, द्विपरमाणुक नाइट्रोजन (अनुमानित वायु) पर 300 K, $f=5$ और

$$c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,$$

वायुमंडलीय रसायन विज्ञान के औसत अणु भार का उपयोग करके वायु के लिए सही मान (29 g/mol), विस्तार 347 m/s पर 300 K (परिवर्तनीय आर्द्रता के लिए सुधार 0.1% से 0.6% के क्रम में हैं) का अनुमान लगाया जा सकता है।

औसत सापेक्ष वेग

$$v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle =\int \!d^{3}v_{1}\,d^{3}v_{2}\left|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\right|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle$$

जहां त्रि-आयामी वेग बंटन है

$$f({\vec {v}})\equiv {\frac {1}{\left(2\pi kT/m\right)^{3/2}}}e^{-{\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}/kT}.$$

निर्देशांक में परिवर्तित करके ${\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ और ${\vec {U}}={\frac {{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}}{2}}$ को आसानी से समाकल किया जा सकता है।

अवकल और संबंधित बंटन

मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी

Main article: मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी § अवकल, और बोल्ट्जमैन वितरण

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा 1860 में मूल व्युत्पत्ति गैसों के गतिज सिद्धांत के आणविक संघट्टन के साथ-साथ गति बंटन फलन में कुछ समरूपताओं पर आधारित एक तर्क था; मैक्सवेल ने एक प्रारंभिक तर्क भी दिया कि ये आणविक संघट्ट साम्यावस्था की ओर एक प्रवृत्ति को बढ़ाते हैं। मैक्सवेल के बाद, 1872 में लुडविग बोल्ट्जमैन यांत्रिक आधार पर बंटन भी प्राप्त किया और तर्क दिया कि संघट्टनों के कारण गैसों को समय के साथ इस बंटन की (H-प्रमेय देखें) ओर बढ़ना चाहिए। वह बाद में (1877) सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी के संरचना के अंतर्गत पुनः बंटन प्राप्त किया। इस खंड की व्युत्पत्ति बोल्ट्ज़मैन की 1877 की व्युत्पत्ति पर आधारित है, जिसके प्रारंभ मे मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी (सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी से) के रूप में ज्ञात परिणाम से होती है। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े किसी दिए गए एकल-कण सूक्ष्म अवस्था (सांख्यिकीय यांत्रिकी) में पाए जाने वाले कणों की औसत संख्या देते हैं। कुछ धारणाओं के अंतर्गत, किसी दिए गए सूक्ष्म अवस्था में कणों के अंश का लघुगणक उस अवस्था की ऊर्जा के अनुपात में प्रणाली के तापमान के अनुपात में होता है:

$$-\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)\propto {\frac {E_{i}}{T}}.$$

इस समीकरण की धारणा यह है कि कण परस्पर क्रिया नहीं करते हैं, और वे उत्कृष्ट हैं; इसका अर्थ है कि प्रत्येक कण की अवस्था को अन्य कणों की अवस्था से स्वतंत्र रूप से माना जा सकता है। इसके अतिरिक्त, कणों को तापीय साम्यावस्था में माना जाता है।

इस संबंध को सामान्य करने वाले कारक को प्रस्तुत करके समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp(-E_{i}/kT)}{\sum _{j}\exp(-E_{j}/kT)}}$

(1)

जहां:

• N_i एकल-कण सूक्ष्म अवस्था में कणों की अपेक्षित संख्या i है,
• N प्रणाली में कणों की कुल संख्या है,
• E_i सूक्ष्म अवस्था की ऊर्जा i है,
• सूचकांक पर योग j सभी सूक्ष्म अवस्था को ध्यान में रखता है,
• T प्रणाली का साम्यावस्था तापमान है,
• k बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।

समीकरण में भाजक (1) एक सामान्य कारक है ताकि अनुपात $N_{i}:N$ समानता में जोड़ें - दूसरे शब्दों में यह एक प्रकार का विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है एकल-कण प्रणाली के लिए, संपूर्ण प्रणाली का सामान्य विभाजन फलन नहीं है।

क्योंकि वेग और गति ऊर्जा से संबंधित हैं, समीकरण (1) तापमान और गैस कणों की गति के बीच संबंधों को प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। ऊर्जा में सूक्ष्म अवस्था के घनत्व की खोज करने के लिए सभी की आवश्यकता है, जो गति के स्थान को समान आकार के क्षेत्रों में विभाजित करके निर्धारित किया जाता है।

संवेग सदिश के लिए बंटन

स्थितिज ऊर्जा को शून्य लिया जाता है, ताकि सारी ऊर्जा गतिज ऊर्जा के रूप में हो। विशाल गैर-विशेष सापेक्षता कणों के लिए कठोर पिंडों की गतिज ऊर्जा के बीच संबंध है

$E={\frac {p^{2}}{2m}}$

(2)

जहां p² संवेग सदिश का वर्ग p = [p_x, p_y, p_z] है, इसलिए हम समीकरण (1) को पुनः लिख सकते हैं जैसा:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}\right]$

(3)

जहाँ Z विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है, जो समीकरण (1) में विभाजक के अनुरूप है। यहाँ m गैस का आणविक द्रव्यमान है, T ऊष्मप्रवैगिकी तापमान है और k बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है। यह बंटन $N_{i}:N$ प्रायिकता घनत्व फलन f_p के लिए आनुपातिकता (गणित) है गति घटकों के इन मानो के साथ एक अणु खोजने के लिए, इसलिए:

$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]$

(4)

सामान्यीकरण स्थिरांक को यह पहचान कर निर्धारित किया जा सकता है कि किसी अणु के कुछ संवेग होने की प्रायकिता 1 होनी चाहिए। सभी P_x, P_y, और P_z पर (4) में घातांक को समाकल करने से एक कारक प्राप्त होता है

$$\iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}=\left({\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}}\right)^{3}$$

ताकि सामान्यीकृत बंटन फलन है:

$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left(2\pi mkT\right)^{-3/2}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]$   (6)

वितरण को विचरण $mkT$ के साथ तीन स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित चर P_x, P_y, और P_z के उत्पाद के रूप में देखा जाता है। इसके अतिरिक्त, यह देखा जा सकता है कि संवेग का परिमाण मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन बंटन के रूप में $a={\sqrt {mkT}}$ साथ में वितरित किया जाएगा। संवेग के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन बंटन (या वेग के लिए समान रूप से) गैसों के संरचना के गतिज सिद्धांत के अंदर साम्यावस्था पर H-प्रमेय का उपयोग करके अधिक मौलिक रूप से प्राप्त किया जा सकता है।

ऊर्जा के लिए बंटन

ऊर्जा बंटन प्रभावशाली पाया जाता है

$f_{E}(E)dE=f_{p}({\textbf {p}})\,d^{3}{\textbf {p}},$

(7)

जहां $d^{3}{\textbf {p}}$ ऊर्जा अंतराल के अनुरूप संवेग का अपरिमेय प्रावस्था-अंतरिक्ष आयतन $dE$ है। ऊर्जा-संवेग विस्तार संबंध के गोलाकार समरूपता $E=|{\textbf {p}}|^{2}/2m$ का उपयोग करना, $dE$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। जैसे कि

$d^{3}{\textbf {p}}=4\pi |{\textbf {p}}|^{2}d|{\textbf {p}}|=4\pi m{\sqrt {2mE}}\,dE.$

(8)

(8) में (7) तब उपयोग करना, और ऊर्जा के संदर्भ में $E$ व्यक्त करना, हम प्राप्त हैं

$$f_{E}(E)dE={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}e^{-E/kT}4\pi m{\sqrt {2mE}}dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\left({\frac {1}{kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)dE$$

और अंत में

$f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\left({\frac {1}{kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)$   (9)

चूंकि ऊर्जा तीन सामान्य रूप से वितरित संवेग घटकों के वर्गों के योग के समानुपाती होती है, इसलिए इस ऊर्जा बंटन को आकार पैरामीटर का उपयोग करते हुए गामा बंटन $k_{\text{shape}}=3/2$ और एक मापनी प्राचल, $\theta _{\text{scale}}=kT$ के रूप में समान रूप से लिखा जा सकता है,

समविभाजन प्रमेय का उपयोग करते हुए, यह देखते हुए कि साम्यावस्था में स्वतंत्रता की सभी तीन कोटि के बीच ऊर्जा समान रूप से वितरित की जाती है, हम $f_{E}(E)dE$ ची-वर्ग बंटन के एक समुच्चय में विभाजित भी कर सकते हैं, जहां स्वतंत्रता की प्रति कोटि ऊर्जा, $\epsilon$, स्वतंत्रता की एक कोटि के साथ ची-वर्ग बंटन के रूप में वितरित किया जाता है,

$$f_{\epsilon }\left(\epsilon \right)\,d\epsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \epsilon kT}}}~\exp \left(-{\frac {\epsilon }{kT}}\right)\,d\epsilon$$

साम्यावस्था पर, यह बंटन स्वतंत्रता की किसी भी संख्या की कोटि के लिए सही रहेगा। उदाहरण के लिए, यदि कण निश्चित द्विध्रुव आघूर्ण के कठोर द्रव्यमान द्विध्रुव हैं, तो उनके पास स्वतंत्रता की तीन स्थानांतरीय कोटि और स्वतंत्रता की दो अतिरिक्त घूर्णी कोटि होंगी। स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि में ऊर्जा को स्वतंत्रता की एक कोटि के साथ उपरोक्त ची-वर्ग बंटन के अनुसार वर्णित किया जाएगा, और कुल ऊर्जा को पांच कोटि स्वतंत्रता के साथ ची-वर्ग बंटन के अनुसार वितरित किया जाएगा। इसका प्रभाव गैस की विशिष्ट ऊष्मा के सिद्धांत पर पड़ता है।

वेग सदिश के लिए बंटन

धारणा है कि वेग प्रायिकता घनत्व f_v द्वारा संवेग प्रायिकता घनत्व फलन के समानुपाती होता है

$$f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v$$

और p = mv का प्रयोग करके हम प्राप्त हैं

$f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right]$

जो मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वेग बंटन है। अतिसूक्ष्म तत्व में वेग वाले कण के संयोजन की प्रायिकता [dv_x, dv_y, dv_z] वेग के बारे में v = [v_x, v_y, v_z] प्राप्त करते है

$$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.$$

गति की तरह, यह बंटन तीन स्वतंत्र सामान्य बंटन चर $v_{x}$, $v_{y}$, और $v_{z}$ लेकिन अवकल के साथ ${\textstyle {\frac {kT}{m}}}$ के गुणन के रूप में देखा जाता है। यह भी देखा जा सकता है कि सदिश वेग के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वेग बंटन[v_x, v_y, v_z] तीन दिशाओं में से प्रत्येक के लिए बंटन का गुणन है:

$$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})$$

जहां एक दिशा के लिए बंटन है

$$f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2kT}}\right).$$

वेग सदिश के प्रत्येक घटक का माध्य के साथ एक सामान्य बंटन $\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ और मानक विचलन ${\textstyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$ होता है, इसलिए सदिश में 3-आयामी सामान्य बंटन होता है, एक विशेष प्रकार का बहुभिन्नरूपी सामान्य बंटन, माध्य के साथ $\mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0}$ और सहप्रसरण ${\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I}$, जहां $I$ और $3\times 3$ सर्वसम आव्यूह है।

गति के लिए बंटन

गति के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन बंटन ऊपर दिए गए वेग सदिश के बंटन से तुरंत अनुसरण करता है। ध्यान दें कि गति

$$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$$

और गोलीय निर्देशांक में आयतन अवयव

$$dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}dv\,d\Omega$$

जहां $\phi$ और $\theta$ वेग सदिश के गोलाकार निर्देशांक प्रणाली कोण हैं। गोलाकार निर्देशांक प्रणाली ठोस कोणों पर वेग के प्रायिकता घनत्व फलन के गोलाकार निर्देशांक में समाकल और अवकल $d\Omega$ का अतिरिक्त कारक $4\pi$ देता है। सदिश घटकों के वर्गों के योग के लिए गति के प्रतिस्थापन के साथ गति बंटन:

$f(v)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}v^{2}\exp \left[-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right].$

n -आयाम समष्टि में

n-आयाम समष्टि में, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन बंटन बन जाता है:

$$f(v)~d^{n}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{n/2}\,e^{-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}}~d^{n}v$$

गति बंटन बन जाता है:

$$f(v)~dv={\text{const.}}\times e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\times v^{n-1}~dv$$

निम्नलिखित समाकल परिणाम उपयोगी है:

$${\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}dx^{\frac {1}{2}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}{\frac {x^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}dx\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}{\frac {\Gamma ({\frac {a+1}{2}})}{2}}\end{aligned}}$$

जहाँ $\Gamma (z)$ गामा फलन है। गति बंटन फलन के आघूर्ण (गणित) की गणना करने के लिए इस परिणाम का उपयोग किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\[4pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\end{aligned}}$$

जो अपेक्षा मान ${\textstyle v_{\text{avg}}=\langle v\rangle =\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}}$ गति है

$${\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}$$

जो मूल-माध्य-वर्ग गति ${\textstyle v_{\text{rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[{\frac {nkT}{m}}\right]^{1/2}}$ देता है।

गति बंटन फलन का अवकल:

$${\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \ e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\left(-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}\right)=0$$

यह सबसे संभावित गति (प्रणाली (सांख्यिकी)) ${\textstyle v_{\text{p}}=\left[{\frac {(n-1)kT}{m}}\right]^{1/2}}$ उत्पन्न करता है

यह भी देखें

• क्वांटम बोल्ट्जमैन समीकरण
• मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी
• मैक्सवेल-जुटनर बंटन
• बोल्ट्जमैन बंटन
• रेले का बंटन
• गैसों का गतिकी सिद्धांत

अग्रिम पठन

• Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7
• Thermodynamics, From Concepts to Applications (2nd Edition), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, USA), 2009, ISBN 978-1-4200-7368-3
• Chemical Thermodynamics, D.J.G. Ives, University Chemistry, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0-356-03736-3
• Elements of Statistical Thermodynamics (2nd Edition), L.K. Nash, Principles of Chemistry, Addison-Wesley, 1974, ISBN 0-201-05229-6
• Ward, CA & Fang, G 1999, 'Expression for predicting liquid evaporation flux: Statistical rate theory approach', Physical Review E, vol. 59, no. 1, pp. 429–40.
• Rahimi, P & Ward, CA 2005, 'Kinetics of Evaporation: Statistical Rate Theory Approach', International Journal of Thermodynamics, vol. 8, no. 9, pp. 1–14.

बाहरी संबंध

• "The Maxwell Speed Distribution" from The Wolfram Demonstrations Project at Mathworld