मॉरिसन समीकरण

समय के फलन के रूप में संनादी प्रवाह में रखे गए निकाय के लिए मॉरिसन समीकरण के अनुसार प्रवाह बल। नीली रेखा: कर्षण बल; लाल रेखा: जड़त्व बल; काली रेखा: मॉरिसन समीकरण के अनुसार कुल बल। ध्यान दें कि जड़त्व बल कर्षण बल के चरण के सामने है: प्रवाह वेग एक कोज्या तरंग है, जबकि स्थानीय त्वरण समय के फलन के रूप में कोज्या तरंग है।

द्रव गतिकी में मॉरिसन समीकरण एक अर्ध-अनुभवजन्य समीकरण है जो दोलनशील प्रवाह में एक पिंड पर समरेखीय बल के लिए होते है। इसे कभी-कभी 1950 के लेख्य के सभी चार लेखकों- मॉरिसन, मॉरो पार्कर ओ'ब्रायन, जॉनसन और शाफ के बाद एमओजेएस समीकरण कहा जाता है जिसमें समीकरण प्रस्तुत किया गया था। मॉरिसन समीकरण का उपयोग तेल प्लेटफार्मों और अन्य अपतटीय निर्माण के डिजाइन में तरंग भार का अनुमान लगाने के लिए किए जाते है।

विवरण

अपतटीय वियतनाम के रोंग दोई तेल क्षेत्र में एक प्रोडक्शन यूटिलिटीज क्वार्टर्स कम्प्रेशन (पीयूक्यूसी) प्लेटफॉर्म के तेल प्लेटफॉर्म पर तरंग लदान (तेल महापरियोजना (2010) देखें)।

मॉरिसन समीकरण दो बल घटकों का योग है: स्थानीय प्रवाह त्वरण के साथ चरण में जड़त्व बल और तात्कालिक प्रवाह वेग के (हस्ताक्षरित) वर्ग (बीजगणित) के आनुपातिक कर्षण (भौतिकी) बल है। जड़त्व बल कार्यात्मक रूप का है जैसा कि संभावित प्रवाह सिद्धांत में पाया जाता है, जबकि कर्षण बल का रूप स्थिर प्रवाह में रखे गए निकाय के लिए पाए जाते है। मॉरिसन, ओ'ब्रायन, जॉनसन और शाफ के अनुमानी दृष्टिकोण में इन दो बल घटकों, जड़त्व और कर्षण को दोलन प्रवाह में समरेखीय बल का वर्णन करने के लिए जोड़े जाते है। अनुप्रस्थ बल - प्रवाह दिशा के लंबवत, भ्रमिल नियतन के कारण - को अलग से संबोधित किया जाना है।

मॉरिसन समीकरण में दो अनुभवजन्य जल-गत्यात्मकता गुणांक हैं- एक जड़त्व गुणांक और एक कर्षण गुणांक- जो प्रयोगात्मक डेटा से निर्धारित होते हैं। जैसा कि आयामी विश्लेषण और सर्पकाया द्वारा प्रयोगों में दिखाया गया है, ये गुणांक सामान्य रूप से केउलेगन- कार्पेन्टर संख्या, रेनॉल्ड्स संख्या और पृष्ठ रूक्षता पर निर्भर करते हैं।

मॉरिसन समीकरण के नीचे दिए गए विवरण एकदिशीय प्रवाह स्थितियों के साथ-साथ निकाय की गति के लिए हैं।

एक दोलन प्रवाह में निश्चित निकाय

प्रवाह वेग $u(t)$ के साथ दोलनशील प्रवाह में मॉरिसन समीकरण समरेखीय बल को प्रवाह दिशा के समानांतर देते है:

$F\,=\,\underbrace {\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}} _{F_{I}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|} _{F_{D}},$

जहाँ

• $F(t)$ वस्तु पर कुल समरेखीय बल है,
• ${\dot {u}}\equiv {\text{d}}u/{\text{d}}t$ प्रवाह त्वरण है, अर्थात प्रवाह वेग $u(t)$ का समय व्युत्पन्न,
• जड़त्व बल $F_{I}\,=\,\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}$, फ्राउड-क्रिलोव बल $\rho \,V\,{\dot {u}}$ और द्रवगतिकीय द्रव्यमान बल $\rho \,C_{a}\,V\,{\dot {u}}$ का योग है,
• कर्षण समीकरण के अनुसार कर्षण बल $F_{D}\,=\,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|$,
• $C_{m}=1+C_{a}$ जड़त्व गुणांक है, और $C_{a}$ योजित द्रव्यमान गुणांक है,
• A संदर्भ क्षेत्र है, उदाहरण के लिए प्रवाह दिशा के लंबवत निकाय का अनुप्रस्थ काट क्षेत्र,
• V निकाय का आयतन है।

उदाहरण के लिए दोलनशील प्रवाह में व्यास D के परिपत्र सिलेंडर के लिए, संदर्भ क्षेत्र प्रति इकाई सिलेंडर लंबाई $A=D$ है और प्रति इकाई सिलेंडर लंबाई सिलेंडर मात्रा $V={\scriptstyle {\frac {1}{4}}}\pi {D^{2}}$ है। फलस्वरूप, $F(t)$ प्रति इकाई सिलेंडर लंबाई का कुल बल है:

$F\,=\,C_{m}\,\rho \,{\frac {\pi }{4}}D^{2}\,{\dot {u}}\,+\,C_{d}\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,D\,u\,|u|.$

समरेखीय बल के अतिरिक्त, भ्रमिल नियतन के कारण प्रवाह दिशा के लंबवत दोलनशील उत्तोलन (बल) बल भी होते हैं। ये मॉरिसन समीकरण द्वारा आच्छादित नहीं किए गए हैं, जो मात्र समरेखीय बलों के लिए है।

एक दोलनशील प्रवाह में निकाय की गतिशीलता

यदि निकाय गति करता है, $v(t)$ के साथ, मोरिसन समीकरण बन जाता है:

$F=\underbrace {\rho \,V{\dot {u}}} _{a}+\underbrace {\rho \,C_{a}V\left({\dot {u}}-{\dot {v}}\right)} _{b}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\rho \,C_{d}A\left(u-v\right)\left|u-v\right|} _{c}.$

जहां कुल बल योगदान हैं:

• a: फ्राउड-क्रिलोव बल,
• b: द्रवगतिकीय द्रव्यमान बल,
• c: कर्षण बल।

ध्यान दें कि योजित द्रव्यमान गुणांक $C_{a}$ जड़त्व गुणांक $C_{m}$ से $C_{m}=1+C_{a}$ के रूप में संबंधित है।

सीमाएं

• मॉरिसन समीकरण दोलनशील प्रवाह में बल के उच्चावचन का अन्वेषण सूत्रीकरण है। पहली धारणा यह है कि निकाय के स्थान पर प्रवाह त्वरण लगभग एक समान है। उदाहरण के लिए, समुद्र की सतह की लहर में लंबवत सिलेंडर के लिए यह आवश्यक है कि सिलेंडर का व्यास तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटा हो। यदि निकाय का व्यास तरंग दैर्ध्य की तुलना में छोटा नहीं है, तो विवर्तन प्रभाव को ध्यान में रखना होगा।
• दूसरा, यह माना जाता है कि स्पर्शोन्मुख रूप: जड़त्व और कर्षण बल योगदान, क्रमशः बहुत छोटे और बहुत बड़े केउलेगन-कारपेंटर संख्याओं के लिए मान्य, मात्र मध्यवर्ती केलगन-कारपेंटर संख्याओं पर बल के उच्चावचन का वर्णन करने के लिए जोड़े जा सकते है। यद्यपि, प्रयोगों से यह पाया गया है कि इस मध्यवर्ती प्रवृत्ति में- जहाँ कर्षण और जड़त्व दोनों ही महत्वपूर्ण योगदान दे रहे हैं- मॉरिसन समीकरण बल इतिहास का बहुत ठीक रूप से वर्णन करने में सक्षम नहीं है। यद्यपि जड़त्व और कर्षण गुणांक को बल के उचित परम मान देने के लिए समायोजित किए जा सकते है।
• तीसरा, जब कक्षीय प्रवाह के लिए विस्तारित किए जाते है जो गैर-एक-दिशात्मक प्रवाह की स्थिति है, उदाहरण के लिए तरंगों के अंतर्गत क्षैतिज सिलेंडर द्वारा सामना किया जाता है, मॉरिसन समीकरण समय के कार्य के रूप में बलों का ठीक प्रतिनिधित्व नहीं देते है।

अग्रिम पठन

• Morison, J. R.; O'Brien, M. P.; Johnson, J. W.; Schaaf, S. A. (1950), "The force exerted by surface waves on piles", Petroleum Transactions, American Institute of Mining Engineers, 189 (5): 149–154, doi:10.2118/950149-G
• Sarpkaya, T. (2010), Wave Forces on Offshore Structures, Cambridge University Press, ISBN 9780521896252
• Sarpkaya, T.; Isaacson, M. (1981), Mechanics of wave forces on offshore structures, New York: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-25402-4
• Sumer, B. M.; Fredsøe, J. (2006), Hydrodynamics around cylindrical structures, Advanced Series on Ocean Engineering, vol. 26 (revised ed.), World Scientific, ISBN 981-270-039-0, 530 pages