रिब ग्राफ

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टोरस पर ऊंचाई फलन का रीब ग्राफ़।

रिब ग्राफ [1] (रेने थॉम द्वारा जॉर्ज रीब के नाम पर रखा गया) गणित वस्तु है जो भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड पर वास्तविक-मूल्यवान फलन (गणित) के लेवल सेट के विकास को दर्शाती है।[2] इसके अनुसार [3] इसी तरह की अवधारणा जॉर्जी एडेल्सन-वेल्स्की या जी.एम. द्वारा प्रस्तुत की गई थी। इस प्रकार एडेलसन-वेल्स्की और अलेक्जेंडर क्रोनरोड या ए.एस. क्रोनरोड और हिल्बर्ट की तेरहवीं समस्या के विश्लेषण के लिए आवेदन किया था।[4] मोर्स सिद्धांत में उपकरण के रूप में जी. रीब द्वारा प्रस्तावित किया गया था,[5] रीब ग्राफ़ 2डी अदिश क्षेत्रों के बीच , , और स्थितियों का बहुमूल्यवान कार्यात्मक संबंधों का अध्ययन करने का प्राकृतिक उपकरण है जो स्थितियों से उत्पन्न होते हैं। और , क्योंकि रीब ग्राफ़ के व्यक्तिगत किनारे से जुड़े क्षेत्र तक सीमित होने पर ये सम्बन्ध एकल-मूल्यवान होते हैं। इस सामान्य सिद्धांत का उपयोग सबसे पहले समुद्र विज्ञान में तटस्थ घनत्व स्थानिक निर्भरता का अध्ययन करने के लिए किया गया था।[6] रीब ग्राफ़ को कम्प्यूटेशनल ज्यामिति और कंप्यूटर चित्रलेख में भी विविध प्रकार के अनुप्रयोग मिले हैं,[1][7] इस प्रकार जिसमें कंप्यूटर सहायता प्राप्त ज्यामितीय डिज़ाइन, टोपोलॉजी-आधारित आकार मिलान सम्मिलित है,[8][9][10] टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण,[11] टोपोलॉजिकल सरलीकरण और सफाई, सतह विभाजन [12] और पैरामीट्रिज़ेशन, लेवल सेट की कुशल गणना, तंत्रिका विज्ञान,[13] और ज्यामितीय ऊष्मप्रवैगिकी है।[3] समतल समिष्ट (तकनीकी रूप से सरल रूप से जुड़ा हुआ डोमेन) पर फलन के विशेष स्थिति में, रीब ग्राफ़ पॉलीट्री बनाता है और इस प्रकार इसे कंटूर ट्री भी कहा जाता है।[14] लेवल सेट ग्राफ़ संभाव्यता घनत्व कार्यों और प्रतिगमन विश्लेषण कार्यों के आकलन से संबंधित सांख्यिकीय अनुमान में सहायता करते हैं, और उनका उपयोग अन्य चीजों के अतिरिक्त क्लस्टर विश्लेषण और फलन अनुकूलन समस्या में किया जा सकता है।[15]

औपचारिक परिभाषा

एक टोपोलॉजिकल स्पेस f−1(c) कुछ वास्तविक c के लिए 'रीब ग्राफ' भागफल समिष्ट (टोपोलॉजी) X ∼/∼ भागफल टोपोलॉजी से संपन्न है।

मोर्स फलन के लिए विवरण

यदि f विशिष्ट महत्वपूर्ण मान वाला मोर्स फलन है, जिससे रीब ग्राफ़ को अधिक स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार इसके नोड्स, या शीर्ष, महत्वपूर्ण लेवल सेट f−1(c) के अनुरूप हैं. वह क्रम जिसमें चाप, या किनारे, नोड्स/शीर्षों पर मिलते हैं, लेवल सेट f−1(t) की टोपोलॉजी में परिवर्तन को दर्शाता है जैसे ही t महत्वपूर्ण मान c से होकर निकलता है। उदाहरण के लिए, यदि c न्यूनतम या अधिकतम f है, तो घटक बनाया या नष्ट किया जाता है; परिणामस्वरूप, चाप संबंधित नोड पर उत्पन्न या समाप्त होता है, जिसकी डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) 1 है। यदि c सूचकांक 1 का सैडल बिंदु है और f−1(t) के दो घटक हैं जैसे-जैसे t बढ़ता है, इस प्रकार t = c पर विलीन हो जाता है, रीब ग्राफ़ के संगत शीर्ष की डिग्री 3 होती है और यह अक्षर Y जैसा दिखता है; इस प्रकार यदि c का सूचकांक मंद X−1 है और f−1(c) का घटक है तो भी यही तर्क प्रयुक्त होता है दो भागों में विभाजित हो जाता है।

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Y. Shinagawa, T.L. Kunii, and Y.L. Kergosien, 1991. Surface coding based on Morse theory. IEEE Computer Graphics and Applications, 11(5), pp.66-78
  2. ↑ Harish Doraiswamy, Vijay Natarajan, Efficient algorithms for computing Reeb graphs, Computational Geometry 42 (2009) 606–616
  3. ↑ 3.0 3.1 Gorban, Alexander N. (2013). "Thermodynamic Tree: The Space of Admissible Paths". SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 12 (1): 246–278. arXiv:1201.6315. doi:10.1137/120866919. S2CID 5706376.
  4. ↑ G. M. Adelson-Velskii, A. S. Kronrod, About level sets of continuous functions with partial derivatives, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 49 (4) (1945), pp. 239–241.
  5. ↑ G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complètement intégrable ou d’une fonction numérique, C. R. Acad. Sci. Paris 222 (1946) 847–849
  6. ↑ Stanley, Geoffrey J. (June 2019). "तटस्थ सतह टोपोलॉजी". Ocean Modelling. 138: 88–106. arXiv:1903.10091. Bibcode:2019OcMod.138...88S. doi:10.1016/j.ocemod.2019.01.008. S2CID 85502820.
  7. ↑ Y. Shinagawa and T.L. Kunii, 1991. Constructing a Reeb graph automatically from cross sections. IEEE Computer Graphics and Applications, 11(6), pp.44-51.
  8. ↑ Pascucci, Valerio; Scorzelli, Giorgio; Bremer, Peer-Timo; Mascarenhas, Ajith (2007). "Robust On-line Computation of Reeb Graphs: Simplicity and Speed" (PDF). ACM Transactions on Graphics. 26 (3): 58.1–58.9. doi:10.1145/1276377.1276449.
  9. ↑ M. Hilaga, Y. Shinagawa, T. Kohmura and T.L. Kunii, 2001, August. Topology matching for fully automatic similarity estimation of 3D shapes. In Proceedings of the 28th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (pp. 203-212). ACM.
  10. ↑ Tung, Tony; Schmitt, Francis (2005). "The Augmented Multiresolution Reeb Graph Approach for Content-Based Retrieval of 3D Shapes". International Journal of Shape Modeling. 11 (1): 91–120. doi:10.1142/S0218654305000748.
  11. ↑ "the Topology ToolKit".
  12. ↑ Hajij, Mustafa; Rosen, Paul (2020). "An Efficient Data Retrieval Parallel Reeb Graph Algorithm". Algorithms. 13 (10): 258. doi:10.3390/a13100258.
  13. ↑ Shailja, S; Zhang, Angela; Manjunath, B. S. (2021). "A Computational Geometry Approach for Modeling Neuronal Fiber Pathways". Medical Image Computing and Computer Assisted Intervention – MICCAI 2021. Lecture Notes in Computer Science. Lecture Notes in Computer Science. 12908: 175–185. doi:10.1007/978-3-030-87237-3_17. ISBN 978-3-030-87236-6. PMC 8560085. PMID 34729555.
  14. ↑ Carr, Hamish; Snoeyink, Jack; Axen, Ulrike (2000), "Computing contour trees in all dimensions", Proc. 11th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 2000), pp. 918–926, ISBN 9780898714531.
  15. ↑ Klemelä, Jussi (2018). "Level set tree methods". Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics. 10 (5): e1436. doi:10.1002/wics.1436. S2CID 58864566.
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