रेडियल आधार फलन

रेडियल आधार फलन (आरबीएफ) वास्तविक मूल्यवान कार्य है, ${\textstyle \varphi }$ जिसका मान केवल इनपुट और कुछ निश्चित बिंदु, या तो मूल के मध्य की दूरी पर निर्भर करता है, जिससे कि ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$, या कुछ अन्य निश्चित बिंदु ${\textstyle \mathbf {c} }$, जिसे केंद्र कहा जाता है, जिससे कि ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|)}$ कोई फलन ${\textstyle \varphi }$ जो संपत्ति को संतुष्ट करता है, ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$ रेडियल फलन है। सामान्यतः यूक्लिडियन दूरी होती है, चूँकि कभी-कभी अन्य दूरी कार्यों का उपयोग किया जाता है। वे प्रायः संग्रह के रूप में उपयोग किए जाते हैं $\{\varphi _{k}\}_{k}$ जो रुचि के कुछ कार्य स्थान के लिए आधार बनाता है।

रेडियल आधार कार्यों का योग सामान्यतः दिए गए कार्यों का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है। इस सन्निकटन प्रक्रिया की व्याख्या साधारण प्रकार के तंत्रिका नेटवर्क के रूप में भी की जा सकती है; यह वह संदर्भ था जिसमें वे मूल रूप से 1988 में डेविड ब्रूमहेड और डेविड लोवे द्वारा मशीन लर्निंग पर प्रस्तावित किए गए थे, जो 1977 से माइकल जे. डी. पॉवेल के मौलिक शोध हैं। आरबीएफ का उपयोग सदिश वर्गीकरण में कर्नेल के रूप में भी किया जाता है। यह प्रौद्योगिकी प्रभावी और पर्याप्त रूप से कोमल सिद्ध हुई है कि रेडियल आधार कार्य अब विभिन्न प्रकार के अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों में प्रस्तावित होते हैं।

परिभाषा

रेडियल फलन ${\textstyle \varphi :[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ है। जब सदिश स्थान पर मीट्रिक के साथ युग्मित किया जाता है, तो ${\textstyle \|\cdot \|:V\to [0,\infty )}$ फलन ${\textstyle \varphi _{\mathbf {c} }=\varphi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}$ पर केन्द्रित रेडियल कर्नेल ${\textstyle \mathbf {c} }$ कहा जाता है, रेडियल फलन और संबंधित रेडियल कर्नेल को रेडियल आधार फलन कहा जाता है, यदि नोड्स के किसी भी समुच्चय के लिए $\{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}$है।

• कर्नेल $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। (उदाहरण के लिए $\varphi (r)=r^{2}$ में $V=\mathbb {R}$ रेडियल आधार कार्य नहीं है।)
• कर्नेल $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ हार स्थान के लिए आधार बनाते हैं, जिसका अर्थ इंटरपोलेशन आव्यूह है।

  $${\begin{bmatrix}\varphi (\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{1}\|)&\varphi (\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|)&\dots &\varphi (\|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{1}\|)\\\varphi (\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|)&\varphi (\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{2}\|)&\dots &\varphi (\|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{2}\|)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi (\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{n}\|)&\varphi (\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{n}\|)&\dots &\varphi (\|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{n}\|)\\\end{bmatrix}},$$

  (1)

  गैर-एकवचन है।

उदाहरण

सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले प्रकार के रेडियल आधार कार्यों में सम्मिलित हैं (लेखन ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}$ और उपयोग करना ${\textstyle \varepsilon }$ आकार पैरामीटर को प्रदर्शित करने के लिए जिसका उपयोग रेडियल कर्नेल के इनपुट को स्केल करने के लिए किया जा सकता है):

• अत्यंत रूप से उपयोग किया जाने वाला आरबीएफ

  ये रेडियल आधार कार्य हैं $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ और कठोरता से सकारात्मक निश्चित कार्य हैं जिन्हें आकार पैरामीटर को ट्यून करने की आवश्यकता होती है $\varepsilon$

  • गॉसियन:

    $$\varphi (r)=e^{-(\varepsilon r)^{2}},$$

    (2)

    

    Gaussian function for several choices of $\varepsilon$
    

    Plot of the scaled bump function with several choices of $\varepsilon$
  • बहुचतुर्भुज:

    $$\varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}},$$

    (3)

  • विपरीत द्विघात:

    $$\varphi (r)={\dfrac {1}{1+(\varepsilon r)^{2}}},$$

    (4)

  • विपरीत मल्टीक्वाड्रिक:

    $$\varphi (r)={\dfrac {1}{\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}},$$

    (5)

• बहुहारमोनिक पट्टी:

  $${\begin{aligned}\varphi (r)&=r^{k},&k&=1,3,5,\dotsc \\\varphi (r)&=r^{k}\ln(r),&k&=2,4,6,\dotsc \end{aligned}}$$

  (6)

  *सम-डिग्री पॉलीहार्मोनिक स्प्लाइन के लिए $(k=2,4,6,\dotsc )$, संख्यात्मक समस्याओं से बचने के लिए $r=0$ जहां $\ln(0)=-\infty$, कम्प्यूटेशनल कार्यान्वयन प्रायः के रूप में लिखा जाता है। $\varphi (r)=r^{k-1}\ln(r^{r})$.
• पतली प्लेट पट्टी (विशेष बहुहारमोनिक पट्टी):

  $$\varphi (r)=r^{2}\ln(r),$$

  (7)

• कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित आरबीएफ

  ठोस रूप से हैं और इस प्रकार केवल त्रिज्या के भीतर गैर-शून्य हैं $1/\varepsilon$, जो इस प्रकार विरल विभेदन आव्यूह हैं।

  • विभक्त फलन:

    $$\varphi (r)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-(\varepsilon r)^{2}}}\right)&{\text{ for }}r<{\frac {1}{\varepsilon }}\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}},$$

    (8)

सन्निकटन

Main article: कर्नेल समरेखण

Main article: रेडियल आधार फलन प्रक्षेप

रेडियल आधार फलन का उपयोग सामान्यतः फ़ॉर्म के फलन सन्निकटन बनाने के लिए किया जाता है:

$$y(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,\varphi (\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|),$$

(9)

जहां अनुमानित फलन ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ को योग के रूप में दर्शाया गया है $N$ रेडियल आधार कार्य करता है, प्रत्येक भिन्न केंद्र ${\textstyle \mathbf {x} _{i}}$ से जुड़ा हुआ है, और उपयुक्त गुणांक द्वारा भारित ${\textstyle w_{i}}$ है, भार ${\textstyle w_{i}}$ भारित अल्प से अल्प वर्गों के आव्यूह विधियों का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है, क्योंकि सन्निकट कार्य भार ${\textstyle w_{i}}$ में रैखिक है।

इस प्रकार की सन्निकटन योजनाओं का विशेष रूप से उपयोग किया गया है समय श्रृंखला की भविष्यवाणी और गैर-रैखिक प्रणालियों के नियंत्रण सिद्धांत में पर्याप्त सरल अराजकता सिद्धांत व्यवहार और कंप्यूटर चित्रलेख में 3 डी पुनर्निर्माण (उदाहरण के लिए, पदानुक्रमित आरबीएफ और पोज़ स्पेस विरूपण) प्रदर्शित करता है।

आरबीएफ नेटवर्क

Main article: रेडियल आधार फलन नेटवर्क

इनपुट आयाम में दो असामान्य गॉसियन रेडियल आधार कार्य करता है। आधार कार्य केंद्र ${\textstyle x_{1}=0.75}$ और ${\textstyle x_{2}=3.25}$ स्थित हैं।

योग

$$y(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,\varphi (\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|),$$

(10)

रेडियल आधार फलन नेटवर्क कहे जाने वाले कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क के अपेक्षाकृत सरल सिंगल-लेयर प्रकार के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है, जिसमें रेडियल आधार फलन नेटवर्क के सक्रियण कार्यों की भूमिका निभाते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि सघन स्थान अंतराल पर किसी भी निरंतर कार्य को सिद्धांत रूप में इच्छानुसार त्रुटिहीनता के साथ प्रक्षेपित किया जा सकता है, यदि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या ${\textstyle N}$ हो, तो रेडियल आधार कार्यों का प्रयोग किया जाता है।

सन्निकट ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ भार ${\textstyle w_{i}}$के संबंध में भिन्न-भिन्न है। इस प्रकार तंत्रिका नेटवर्क के लिए किसी भी मानक पुनरावृत्ति विधियों का उपयोग करके भार सीखा जा सकता है।

इस तरह से रेडियल आधार कार्यों का उपयोग करने से उचित प्रक्षेप दृष्टिकोण प्राप्त होता है, नियमानुसार फिटिंग समूह का इस प्रकार चयन किया गया हो कि यह पूर्ण श्रेणी को व्यवस्थित रूप से कवर करता है (समतुल्य डेटा बिंदु आदर्श हैं)। चूँकि, बहुपद शब्द के बिना जो रेडियल आधार कार्यों के लिए लंबकोणीय है, फिटिंग समूह के बाहर अनुमान अकथनीय प्रदर्शन करते हैं।

पीडीई के लिए आरबीएफ

Main article: कंस विधि

रेडियल आधार कार्यों का उपयोग अनुमानित कार्यों के लिए किया जाता है और इसलिए इसका उपयोग आंशिक विभेदक समीकरणों (पीडीई) को भिन्न करने और संख्यात्मक रूप से समाधान करने के लिए किया जा सकता है। यह प्रथम बार 1990 में ई. जे. कंस द्वारा किया गया था जिन्होंने पूर्व आरबीएफ आधारित संख्यात्मक पद्धति विकसित की थी। इसे कंस विधि कहा जाता है और इसका उपयोग अण्डाकार प्वासों के समीकरण और रैखिक संवहन-प्रसार समीकरण का समाधान करने के लिए किया गया था। फलन बिंदुओं $\mathbf {x}$ पर मान देता है, डोमेन में आरबीएफ के रैखिक संयोजन द्वारा अनुमानित हैं:

$$u(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,\varphi (\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|),\quad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$$

(11)

डेरिवेटिव इस प्रकार अनुमानित हैं:

$${\frac {\partial ^{n}u({\textbf {x}})}{\partial x^{n}}}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,{\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}\varphi (\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|),\quad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$$

(12)

जहाँ $N$ विवेकाधीन डोमेन में बिंदुओं की संख्या है, $d$ डोमेन का आयाम और $\lambda$ स्केलर गुणांक जो अंतर ऑपरेटर द्वारा अपरिवर्तित हैं।

उसके बाद रेडियल आधार फलन के आधार पर विभिन्न संख्यात्मक विधियों का विकास किया गया। कुछ विधियां आरबीएफ-एफडी विधि, आरबीएफ-क्यूआर विधि और आरबीएफ-पम विधि हैं।

यह भी देखें

• मातृ सहप्रसरण फलन
• रेडियल आधार फलन प्रक्षेप
• कंस विधि

अग्रिम पठन

• Hardy, R.L. (1971). "Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces". Journal of Geophysical Research. 76 (8): 1905–1915. Bibcode:1971JGR....76.1905H. doi:10.1029/jb076i008p01905.
• Hardy, R.L. (1990). "Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method, 20 years of Discovery, 1968 1988". Comp. Math Applic. 19 (8/9): 163–208. doi:10.1016/0898-1221(90)90272-l.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 3.7.1. Radial Basis Function Interpolation", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences, Iowa State University, Ames, Iowa.
• Sirayanone, S.; Hardy, R.L. (1995). "The Multiquadric-biharmonic Method as Used for Mineral Resources, Meteorological, and Other Applications". Journal of Applied Sciences and Computations. 1: 437–475.