लीनार्ड-विएचर्ट विभव , सदिश विभव और लॉरेंज गेज में एक अदिश विभव के संदर्भ में एक गतिमान विद्युत आवेश के चिरसम्मत विद्युत चुंबकत्व प्रभाव का वर्णन करती है। मैक्सवेल के समीकरणों से सीधे उत्पन्न, ये पूर्ण विशेष सापेक्षता , मानवीय गति में एक बिंदु आवेश के लिए समय-भिन्न विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का वर्णन करते हैं, लेकिन क्वांटम यांत्रिकी प्रभावों के लिए सही नहीं हैं। इन विभवों से तरंग (भौतिकी) के रूप में विद्युत चुम्बकीय विकिरण प्राप्त किया जा सकता है। इन अभिव्यक्तियों को 1898 में अल्फ्रेड-मैरी लियनार्ड द्वारा आंशिक रूप से विकसित किया गया था[1] एमिल वीचर्ट द्वारा वर्णन करते हैं।[2] [3]
समीकरण लियोनार्ड-विचर्ट विभव की परिभाषा आवेशों और धाराओं के वितरण के संदर्भ में विलंबित समय को परिभाषित किया गया है
t r ( r , r s , t ) = t − 1 c | r − r s | , {\displaystyle t_{r}(\mathbf {r} ,\mathbf {r_{s}} ,t)=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|,} r {\displaystyle \mathbf {r} } r s {\displaystyle \mathbf {r} _{s}} चल आवेशित बिंदु q {\displaystyle q} r s ( t ) {\displaystyle \mathbf {r_{s}} (t)}
r s {\displaystyle \mathbf {r_{s}} } q {\displaystyle q}
t r = t − 1 c | r − r s ( t r ) | , {\displaystyle t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|,} जो विलम्ब समय t r {\displaystyle t_{r}}
t r = t r ( r , t ) {\displaystyle t_{r}=t_{r}(\mathbf {r} ,t)} द लियनार्ड-विचर्ट क्षमताएं φ {\displaystyle \varphi } A {\displaystyle \mathbf {A} } q {\displaystyle q} r s {\displaystyle \mathbf {r} _{s}} v s {\displaystyle \mathbf {v} _{s}}
φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ( q ( 1 − n s ⋅ β s ) | r − r s | ) t r {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}} और
A ( r , t ) = μ 0 c 4 π ( q β s ( 1 − n s ⋅ β s ) | r − r s | ) t r = β s ( t r ) c φ ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q{\boldsymbol {\beta }}_{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}={\frac {{\boldsymbol {\beta }}_{s}(t_{r})}{c}}\varphi (\mathbf {r} ,t)} जहाँ:
β s ( t ) = v s ( t ) c {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}} | r − r s | {\displaystyle {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}} n s = r − r s | r − r s | {\displaystyle \mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}} प्रतीक ( ⋯ ) t r {\displaystyle (\cdots )_{t_{r}}} t r = t r ( r , t ) {\displaystyle t_{r}=t_{r}(\mathbf {r} ,t)} यह एक लोरेंत्ज़ सहप्रसरण में भी लिखा जा सकता है, जहाँ विद्युत चुम्बकीय चार-विभव पर X μ = ( t , x , y , z ) {\displaystyle X^{\mu }=(t,x,y,z)} [4] A μ ( X ) = − μ 0 q c 4 π ( U μ R ν U ν ) t r {\displaystyle A^{\mu }(X)=-{\frac {\mu _{0}qc}{4\pi }}\left({\frac {U^{\mu }}{R_{\nu }U^{\nu }}}\right)_{t_{r}}} R μ = X μ − R s μ {\displaystyle R^{\mu }=X^{\mu }-R_{\rm {s}}^{\mu }} R s μ {\displaystyle R_{\rm {s}}^{\mu }} U μ = d X μ / d τ {\displaystyle U^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }
वैद्युत क्षेत्र गणना हम परिभाषाओं का उपयोग करके सीधे विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की विभव की गणना कर सकते हैं:
E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}} और
B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
गणना गैर-सूक्ष्म है और इसके लिए कई चरणों की आवश्यकता होती है। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हैं (गैर सहसंयोजक रूप में):
E ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ( q ( n s − β s ) γ 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 3 | r − r s | 2 + q n s × ( ( n s − β s ) × β s ˙ ) c ( 1 − n s ⋅ β s ) 3 | r − r s | ) t r {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}}
और
B ( r , t ) = μ 0 4 π ( q c ( β s × n s ) γ 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 3 | r − r s | 2 + q n s × ( n s × ( ( n s − β s ) × β s ˙ ) ) ( 1 − n s ⋅ β s ) 3 | r − r s | ) t r = n s ( t r ) c × E ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {qc({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times \mathbf {n} _{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\Big (}\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}{\Big )}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}={\frac {\mathbf {n} _{s}(t_{r})}{c}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}
जहाँ
β s ( t ) = v s ( t ) c {\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}} ,
n s ( t ) = r − r s ( t ) | r − r s ( t ) | {\textstyle \mathbf {n} _{s}(t)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)|}}} और
γ ( t ) = 1 1 − | β s ( t ) | 2 {\textstyle \gamma (t)={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)|^{2}}}}} (
लोरेंत्ज़ कारक )।
ध्यान दें कि n s − β s {\displaystyle \mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}} c β s {\displaystyle c{\boldsymbol {\beta }}_{s}}
दूसरा शब्द, जो गतिमान आवेश द्वारा विद्युत चुम्बकीय विकिरण से जुड़ा होता है, उसे आवेश त्वरण β ˙ s {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}} q {\displaystyle q} E ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}
व्युत्पत्ति φ ( r , t ) {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)} A ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)} ρ ( r , t ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)} J ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}
∇ 2 φ + ∂ ∂ t ( ∇ ⋅ A ) = − ρ ε 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{{\partial } \over \partial t}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-{\rho \over \varepsilon _{0}}\,,}
और एम्पीयर-मैक्सवेल नियम है:
∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 − ∇ ( 1 c 2 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A ) = − μ 0 J . {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}-\nabla \left({1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.}
चूंकि संभावनाएं अद्वितीय नहीं हैं, लेकिन गेज सिद्धांत चिरसम्मत गेज सिद्धांत स्वतंत्र है,
गेज स्थिरीकरण द्वारा इन समीकरणों को सरल बनाया जा सकता है। लोरेन्ज़ गेज स्थिति एक साधारण विकल्प है:
1 c 2 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A = 0 {\displaystyle {1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0}
तब गैर-समरूप तरंग समीकरण अयुग्मित हो जाते हैं और विभव में सममित हो जाते हैं:
∇ 2 φ − 1 c 2 ∂ 2 φ ∂ t 2 = − ρ ε 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\varphi \over \partial t^{2}}=-{\rho \over \varepsilon _{0}}\,,} ∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ 0 J . {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.}
साधारण तौर पर, अदिश और सदिश विभव (एसआई इकाइयों) के लिए विलम्ब समाधान होते हैं
φ ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( r ′ , t r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ + φ 0 ( r , t ) {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '+\varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)}
और
A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ J ( r ′ , t r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ + A 0 ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '+\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)}
जहाँ
t r ′ = t − 1 c | r − r ′ | {\textstyle t_{r}'=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|} विलम्ब समय है और
φ 0 ( r , t ) {\displaystyle \varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)} और
A 0 ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)} बिना किसी स्रोत और सीमा शर्तों के सजातीय तरंग समीकरण को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकरण में कि स्रोतों के आस-पास कोई सीमा नहीं है,
φ 0 ( r , t ) = 0 {\displaystyle \varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)=0} A 0 ( r , t ) = 0 {\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)=0}
एक चल आवेशित बिंदु आवेश के लिए जिसका प्रक्षेपवक्र r s ( t ′ ) {\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')}
ρ ( r ′ , t ′ ) = q δ 3 ( r ′ − r s ( t ′ ) ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',t')=q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))} J ( r ′ , t ′ ) = q v s ( t ′ ) δ 3 ( r ′ − r s ( t ′ ) ) {\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')=q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}
जहाँ
δ 3 {\displaystyle \delta ^{3}} त्रि-आयामी
डिराक डेल्टा फलन है और
v s ( t ′ ) {\displaystyle \mathbf {v} _{s}(t')} बिंदु आवेश का वेग है।
संभावित मानों के लिए भावों में प्रतिस्थापित कर देता है
φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ q δ 3 ( r ′ − r s ( t r ′ ) ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t_{r}'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '} A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ q v s ( t r ′ ) δ 3 ( r ′ − r s ( t r ′ ) ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {q\mathbf {v} _{s}(t_{r}')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t_{r}'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '}
इन अभिन्न मानों का उनके वर्तमान रूप में मूल्यांकन करना कठिन है, इसलिए हम उन्हें बदलकर फिर से
t r ′ {\displaystyle t_{r}'} के साथ
t ′ {\displaystyle t'} लिखेंगे और डेल्टा वितरण पर एकीकरण
δ ( t ′ − t r ′ ) {\displaystyle \delta (t'-t_{r}')} दर्शाने के लिए:
φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∬ q δ 3 ( r ′ − r s ( t ′ ) ) | r − r ′ | δ ( t ′ − t r ′ ) d t ′ d 3 r ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\delta (t'-t_{r}')\,dt'\,d^{3}\mathbf {r} '} A ( r , t ) = μ 0 4 π ∬ q v s ( t ′ ) δ 3 ( r ′ − r s ( t ′ ) ) | r − r ′ | δ ( t ′ − t r ′ ) d t ′ d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\delta (t'-t_{r}')\,dt'\,d^{3}\mathbf {r} '}
इस प्रकार हम एकीकरण के क्रम का आदान-प्रदान करते हैं:
φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∬ δ ( t ′ − t r ′ ) | r − r ′ | q δ 3 ( r ′ − r s ( t ′ ) ) d 3 r ′ d t ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'} A ( r , t ) = μ 0 4 π ∬ δ ( t ′ − t r ′ ) | r − r ′ | q v s ( t ′ ) δ 3 ( r ′ − r s ( t ′ ) ) d 3 r ′ d t ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'}
डेल्टा फलन
r ′ = r s ( t ′ ) {\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{s}(t')} चुनता है जो हमें आंतरिक एकीकरण को आसानी से एकीकृत करने की अनुमति देता है। ध्यान दें कि
t r ′ {\displaystyle t_{r}'} का एक कार्य
r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} है, तो यह एकीकरण भी सार्थक रूप में
t r ′ = t − 1 c | r − r s ( t ′ ) | {\textstyle t_{r}'=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|} निर्गत करता है .
φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ q δ ( t ′ − t r ′ ) | r − r s ( t ′ ) | d t ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int q{\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}}dt'} A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ q v s ( t ′ ) δ ( t ′ − t r ′ ) | r − r s ( t ′ ) | d t ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int q\mathbf {v} _{s}(t'){\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}}\,dt'}
पिछड़ा हुआ समय
t r ′ {\displaystyle t_{r}'} क्षेत्र बिंदु का एक कार्य
( r , t ) {\displaystyle (\mathbf {r} ,t)} है और स्रोत प्रक्षेपवक्र
r s ( t ′ ) {\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')} , इसलिए
t ′ {\displaystyle t'} निर्भर करता है, इस अभिन्न मान का मूल्यांकन करने के लिए, हमें एक फलन के साथ डायराक डेल्टा फलन संरचना की आवश्यकता है
δ ( f ( t ′ ) ) = ∑ i δ ( t ′ − t i ) | f ′ ( t i ) | {\displaystyle \delta (f(t'))=\sum _{i}{\frac {\delta (t'-t_{i})}{|f'(t_{i})|}}}
जहां प्रत्येक
t i {\displaystyle t_{i}} का
f {\displaystyle f} शून्य है, क्योंकि एक ही विलम्ब काल
t r {\displaystyle t_{r}} है, किसी दिए गए स्पेस-टाइम निर्देशांक के लिए
( r , t ) {\displaystyle (\mathbf {r} ,t)} और स्रोत प्रक्षेपवक्र
r s ( t ′ ) {\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')} हैं जो कि कम हो जाता है:
δ ( t ′ − t r ′ ) = δ ( t ′ − t r ) ∂ ∂ t ′ ( t ′ − t r ′ ) | t ′ = t r = δ ( t ′ − t r ) ∂ ∂ t ′ ( t ′ − ( t − 1 c | r − r s ( t ′ ) | ) ) | t ′ = t r = δ ( t ′ − t r ) 1 + 1 c ( r − r s ( t ′ ) ) / | r − r s ( t ′ ) | ⋅ ( − v s ( t ′ ) ) | t ′ = t r = δ ( t ′ − t r ) 1 − β s ⋅ ( r − r s ) / | r − r s | {\displaystyle {\begin{aligned}\delta (t'-t_{r}')=&{\frac {\delta (t'-t_{r})}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-t_{r}')|_{t'=t_{r}}}}={\frac {\delta (t'-t_{r})}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-(t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|))|_{t'=t_{r}}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{r})}{1+{\frac {1}{c}}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t'))/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|\cdot (-\mathbf {v} _{s}(t'))|_{t'=t_{r}}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{r})}{1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\end{aligned}}}
जहाँ
β s = v s / c {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}=\mathbf {v} _{s}/c} और
r s {\displaystyle \mathbf {r} _{s}} विलंबित समय
t r {\displaystyle t_{r}} पर मूल्यांकन किया जाता है, और पहचान का उपयोग किया है
| x | ′ = x ^ ⋅ v {\displaystyle |\mathbf {x} |'={\hat {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {v} } साथ
v = x ′ {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} '} . ध्यान दें कि विलम्ब समय
t r {\displaystyle t_{r}} समीकरण
t r = t − 1 c | r − r s ( t r ) | {\textstyle t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|} का हल है, अंत में, डेल्टा फलन
t ′ = t r {\displaystyle t'=t_{r}} चुनता है, और
φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ( q | r − r s | ( 1 − β s ⋅ ( r − r s ) / | r − r s | ) ) t r = 1 4 π ϵ 0 ( q ( 1 − n s ⋅ β s ) | r − r s | ) t r {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}} A ( r , t ) = μ 0 4 π ( q v | r − r s | ( 1 − β s ⋅ ( r − r s ) / | r − r s | ) ) t r = μ 0 c 4 π ( q β s ( 1 − n s ⋅ β s ) | r − r s | ) t r {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {q\mathbf {v} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q{\boldsymbol {\beta }}_{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}}
जो लियनार्ड-विएचर्ट क्षमताएं हैं।
लॉरेंज गेज, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र φ {\displaystyle \varphi } A {\displaystyle \mathbf {A} } r s = r s ( t r ) {\displaystyle \mathbf {r_{s}} =\mathbf {r_{s}} (t_{r})}
t r + 1 c | r − r s | = t {\displaystyle t_{r}+{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=t} t के संबंध में अंतर,
d t r d t + 1 c d t r d t d | r − r s | d t r = 1 {\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}+{\frac {1}{c}}{\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}=1} d t r d t ( 1 − n s ⋅ β s ) = 1 {\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)=1} d t r d t = 1 ( 1 − n s ⋅ β s ) {\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}={\frac {1}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}
इसी तरह,
r {\displaystyle \mathbf {r} } के संबंध में ग्रेडिएंट लेना और बहुभिन्नरूपी
श्रृंखला नियम का उपयोग सार्थक रूप में निर्गत करता है,
∇ t r + 1 c ∇ | r − r s | = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}{\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=0} ∇ t r + 1 c ( ∇ t r d | r − r s | d t r + n s ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}\left({\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+\mathbf {n} _{s}\right)=0} ∇ t r ( 1 − n s ⋅ β s ) = − n s / c {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)=-\mathbf {n} _{s}/c} ∇ t r = − n s / c ( 1 − n s ⋅ β s ) {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}=-{\frac {\mathbf {n} _{s}/c}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}
यह इस प्रकार है कि
d | r − r s | d t = d t r d t d | r − r s | d t r = − n s ⋅ β s c ( 1 − n s ⋅ β s ) {\displaystyle {\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt}}={\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}={\frac {-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}c}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}} ∇ | r − r s | = ∇ t r d | r − r s | d t r + n s = n s ( 1 − n s ⋅ β s ) {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |={\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+\mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {n} _{s}}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}
इनका उपयोग सदिश विभव के डेरिवेटिव की गणना में किया जा सकता है और परिणामी भाव इस प्रकार है कि
d φ d t = − q 4 π ϵ 0 1 | r − r s | 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 2 d d t [ ( | r − r s | ( 1 − n s ⋅ β s ) ] = − q 4 π ϵ 0 1 | r − r s | 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 2 d d t [ | r − r s | − ( r − r s ) ⋅ β s ] = − q c 4 π ϵ 0 1 | r − r s | 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 3 [ − n s ⋅ β s + β s 2 − ( r − r s ) ⋅ β ˙ s / c ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right]\\=&-{\frac {qc}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+{\beta _{s}}^{2}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}} ∇ ⋅ A = − q 4 π ϵ 0 c 1 | r − r s | 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 2 ( ∇ [ ( | r − r s | − ( r − r s ) ⋅ β s ) ] ⋅ β s − [ ( | r − r s | − ( r − r s ) ⋅ β s ) ] ∇ ⋅ β s ) = − q 4 π ϵ 0 c 1 | r − r s | 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 3 ⋅ [ ( n s ⋅ β s ) − β s 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) − β s 2 n s ⋅ β s + ( ( r − r s ) ⋅ β ˙ s / c ) ( n s ⋅ β s ) + ( | r − r s | − ( r − r s ) ⋅ β s )
ये निर्गत करता है लॉरेंज गेज संतुष्ट है, अर्थात् वह
d φ d t + c 2 ∇ ⋅ A = 0 {\textstyle {\frac {d\varphi }{dt}}+c^{2}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =0} .
इसी प्रकार एक गणना करता है:
∇ φ = − q 4 π ϵ 0 1 | r − r s | 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 3 [ n s ( 1 − β s 2 + ( r − r s ) ⋅ β ˙ s / c ) − β s ( 1 − n s ⋅ β s ) ] {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi =-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\mathbf {n} _{s}\left(1-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)-{\boldsymbol {\beta }}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]} d A d t = q 4 π ϵ 0 1 | r − r s | 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 3 [ β s ( n s ⋅ β s − β s 2 + ( r − r s ) ⋅ β ˙ s / c ) + | r − r s | β ˙ s ( 1 − n s ⋅ β s ) / c ] {\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[{\boldsymbol {\beta }}_{s}\left(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)+|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})/c\right]}
यह ध्यान में रखते हुए कि किसी भी सदिश के लिए
u {\displaystyle \mathbf {u} } ,
v {\displaystyle \mathbf {v} } ,
w {\displaystyle \mathbf {w} } :
u × ( v × w ) = ( u ⋅ w ) v − ( u ⋅ v ) w {\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} }
ऊपर वर्णित विद्युत क्षेत्र के लिए व्यंजक बन जाता है
E ( r , t ) = q 4 π ϵ 0 1 | r − r s | 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 3 ⋅ [ ( n s − β s ) ( 1 − β s 2 ) + | r − r s | ( n s ⋅ β ˙ s / c ) ( n s − β s ) − | r − r s | ( n s ⋅ ( n s − β s ) ) β ˙ s / c ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\left[\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}
जो आसानी से बराबर देखा जा सकता है
− ∇ φ − d A d t {\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}}
उसी प्रकार ∇ × A {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }
B = ∇ × A = − q 4 π ϵ 0 c 1 | r − r s | 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 2 ( ∇ [ ( | r − r s | − ( r − r s ) ⋅ β s ) ] × β s − [ ( | r − r s | − ( r − r s ) ⋅ β s ) ] ∇ × β s ) = − q 4 π ϵ 0 c 1 | r − r s | 2 ( 1 − n s ⋅ β s ) 3 ⋅ [ ( n s × β s ) − ( β s × β s ) ( 1 − n s ⋅ β s ) − β s 2 n s × β s + ( ( r − r s ) ⋅ β ˙ s / c ) ( n s × β s ) + ( | r − r s | − ( r s {\displaystyle \mathbf {r} _{s}} n s {\displaystyle \mathbf {n} _{s}} β s {\displaystyle \mathbf {\beta } _{s}}
निहितार्थ अल्बर्ट आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत के विकास में चिरसम्मत ऊष्मागतिकी का अध्ययन सहायक था। विद्युत चुम्बकीय तरंगों की गति और प्रसार के विश्लेषण ने समतल और समय के विशेष सापेक्षता विवरण का नेतृत्व किया। लीनार्ड-विएचर्ट निरूपण सापेक्षतावादी गतिमान कणों के गहन विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण लॉन्चपैड है।
लीनार्ड-विचर्ट विवरण एक बड़े, स्वतंत्र रूप से गतिमान कण के लिए सटीक है (अर्थात उपचार चिरसम्मत है और आवेश का त्वरण विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र से स्वतंत्र बल के कारण होता है)। लियनार्ड-विएचर्ट निरूपण सदैव समाधान के दो सेट प्रदान करता है: उन्नत क्षेत्र आवेशों द्वारा अवशोषित होते हैं और विलम्ब क्षेत्र उत्सर्जित होते हैं। श्वार्ज़चाइल्ड और फोकर ने गतिमान आवेशों की एक प्रणाली के उन्नत क्षेत्र और समान ज्यामिति और विपरीत आवेशों वाले आवेशों की प्रणाली के विलम्ब क्षेत्र पर विचार किया। वैक्यूम में मैक्सवेल के समीकरणों की रैखिकता दोनों प्रणालियों को जोड़ने की अनुमति देती है, ताकि प्रेक्षण अदृश्य हो जाएं: यह क्रियाविधि मैक्सवेल के समीकरणों को प्रकरण में रैखिक बनने की अनुमति देती है।
स्वतन्त्र रूप से वास्तविक स्थिरांक द्वारा दोनों समस्याओं के विद्युत मापदंडों को गुणा करने से पदार्थ के साथ प्रकाश की एक सुसंगत अंतःक्रिया उत्पन्न होती है जो आइंस्टीन के सिद्धांत को सामान्य बनाती है[5]
ऊर्जा की गणना करने के लिए, निरपेक्ष क्षेत्रों का उपयोग करना आवश्यक है जिसमें शून्य बिंदु क्षेत्र सम्मिलित है; अन्यथा, एक त्रुटि दिखाई देती है, उदाहरण के लिए फोटॉन की गिनती में इस तरह की समस्या का समन्वय होता है।
प्लैंक द्वारा खोजे गए शून्य बिंदु क्षेत्र को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है।[6]
क्वांटम ऊष्मागतिकी ने क्वांटम बाधाओं के साथ विकिरण संबंधी व्यवहार को एक साथ लाने में मदद की। यह ग्रहण किए गए पूर्ण प्रकाशिकी अनुनादकों में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के सामान्य मोड के परिमाणीकरण का परिचय देता है।
सार्वभौमिक गति सीमा किसी दिए गए स्थान पर कण पर संरक्षित बल r t t r r t विलम्ब समय कहा जाता है, tr r = tr ('R', t) परोक्ष रूप से परिभाषित किया गया है
t r = t − R ( t r ) c {\displaystyle t_{r}=t-{\frac {R(t_{r})}{c}}} जहाँ R ( t r ) {\displaystyle R(t_{r})}
लिएनार्ड-विचर्ट विभव में एक आदर्श विशेषता इसकी शर्तों के दो प्रकार के क्षेत्र शर्तों (नीचे देखें) में टूटने में देखी जाती है, जिनमें से केवल एक विलम्ब समय पर पूरी तरह से निर्भर करता है। इनमें से पहला स्थिर विद्युत (या चुंबकीय) क्षेत्र शब्द है जो केवल गतिमान आवेश की दूरी पर निर्भर करता है, और विलंबित समय पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है, यदि स्रोत का वेग स्थिर है। दूसरा शब्द गतिशील है, इसमें यह आवश्यक है कि गतिमान आवेश, आवेश और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत घटक के साथ त्वरित हो और तब तक प्रकट न हो जब तक स्रोत वेग में परिवर्तन न करे। यह दूसरा शब्द विद्युत चुम्बकीय विकिरण से जुड़ा है।
पहला शब्द आवेश से निकट और दूर के क्षेत्र के प्रभावों का वर्णन करता है, और समतल में इसकी दिशा को एक ऐसे शब्द के साथ अद्यतन किया जाता है जो आवेश के किसी भी स्थिर-वेग गति के लिए उसके दूर के स्थैतिक क्षेत्र पर सुधार करता है, ताकि दूर का स्थिर क्षेत्र दूरी पर दिखाई दे आवेश, प्रकाश या प्रकाश-समय सुधार के विपथन के साथ यह शब्द, जो स्थिर क्षेत्र की दिशा में समय-विलंबता देरी के लिए सुधार करता है, लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस द्वारा आवश्यक है। एक निरंतर वेग के साथ चलते हुए एक आवेश को एक दूर के पर्यवेक्षक को ठीक उसी तरह दिखाई देना चाहिए जैसे एक गतिशील पर्यवेक्षक को स्थिर आवेश दिखाई देता है, और बाद के प्रकरण में, स्थैतिक क्षेत्र की दिशा बिना किसी समय-देरी के तत्काल बदलनी चाहिए, इस प्रकार स्थैतिक क्षेत्र (पहला पद) आवेशित वस्तु की सही तात्कालिक (गैर-विलम्ब) स्थिति पर इंगित करता है यदि इसका वेग विलम्ब समय विलंब पर नहीं बदला है। यह किसी भी दूरी को अलग करने वाली वस्तुओं पर लागू होता है।
हालाँकि, दूसरा शब्द, जिसमें आवेश के त्वरण और अन्य अद्भुत व्यवहार के बारे में जानकारी सम्मिलित है, जिसे लोरेंत्ज़ फ्रेम (पर्यवेक्षक का जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम) को बदलकर हटाया नहीं जा सकता है, समय-विलम्ब स्थिति पर दिशा के लिए पूरी तरह से निर्भर है। स्रोत इस प्रकार, विद्युत चुम्बकीय विकिरण (दूसरे पद द्वारा वर्णित) सदैव 'विलम्ब समय पर' उत्सर्जक आवेश की स्थिति की दिशा से आता हुआ प्रतीत होता है। केवल यह दूसरा शब्द आवेश के व्यवहार के बारे में सूचना के हस्तांतरण का वर्णन करता है, जो प्रकाश की गति से होता है (आवेश से विकीर्ण होता है)। दूर की दूरी पर (विकिरण की कई तरंग दैर्ध्य से अधिक), इस शब्द की 1/R निर्भरता विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र प्रभाव (इस क्षेत्र शब्द का मान) को स्थिर क्षेत्र प्रभावों से अधिक शक्तिशाली बनाती है, जिसे 1/R2 द्वारा वर्णित किया गया है। पहले (स्थैतिक) पद का क्षेत्र और इस प्रकार आवेश से दूरी के साथ अधिक तेजी से क्षय होता है।
विलम्ब काल का अस्तित्व और विलक्षणता अस्तित्व विलम्ब समय सामान्य रूप से उपलब्ध रहने की निश्चितता नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि दिए गए संदर्भ के फ्रेम में, एक इलेक्ट्रॉन अभी निर्मित किया गया है, तो इस क्षण में एक अन्य इलेक्ट्रॉन अभी भी अपने विद्युत चुम्बकीय बल को महसूस नहीं करता है। हालाँकि, कुछ शर्तों के तहत, सदैव एक विलम्ब समय उपलब्ध होता है। उदाहरण के लिए, यदि स्रोत प्रेक्षण असीमित समय के लिए अस्तित्व में है, जिसके दौरान यह सदैव गति v M < c {\displaystyle v_{M}<c} t r {\displaystyle t_{r}} f ( t ′ ) = | r − r s ( t ′ ) | − c ( t − t ′ ) {\displaystyle f(t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|-c(t-t')} t ′ = t {\displaystyle t'=t} f ( t ′ ) = | r − r s ( t ′ ) | − c ( t − t ′ ) = | r − r s ( t ′ ) | ≥ 0 {\displaystyle f(t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|-c(t-t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|\geq 0} f ′ ( t ′ ) {\displaystyle f'(t')}
f ′ ( t ′ ) = r − r s ( t r ) | r − r s ( t r ) | ⋅ ( − v s ( t ′ ) ) + c ≥ c − | r − r s ( t r ) | r − r s ( t r ) | | | v s ( t ′ ) | = c − | v s ( t ′ ) | ≥ c − v M > 0 {\displaystyle f'(t')={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}}\cdot (-\mathbf {v} _{s}(t'))+c\geq c-\left|{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}}\right|\,|\mathbf {v} _{s}(t')|=c-|\mathbf {v} _{s}(t')|\geq c-v_{M}>0} औसत मूल्य प्रमेय द्वारा, f ( t − Δ t ) ≤ f ( t ) − f ′ ( t ) Δ t ≤ f ( t ) − ( c − v M ) Δ t {\displaystyle f(t-\Delta t)\leq f(t)-f'(t)\Delta t\leq f(t)-(c-v_{M})\Delta t} Δ t {\displaystyle \Delta t} f ( t ′ ) < 0 {\displaystyle f(t')<0} मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय द्वारा, एक मध्यवर्ती t r {\displaystyle t_{r}} f ( t r ) = 0 {\displaystyle f(t_{r})=0} r {\displaystyle \mathbf {r} } c {\displaystyle c} v < c {\displaystyle v<c} r {\displaystyle \mathbf {r} }
अद्वितीयता किसी दिए गए बिंदु के लिए ( r , t ) {\displaystyle (\mathbf {r} ,t)} r s ( t ′ ) {\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')} t r {\displaystyle t_{r}} t r {\displaystyle t_{r}} | r − r s ( t r ) | = c ( t − t r ) {\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|=c(t-t_{r})} t 1 {\displaystyle t_{1}} t 2 {\displaystyle t_{2}} t 1 ≤ t 2 {\displaystyle t_{1}\leq t_{2}} | r − r s ( t 1 ) | = c ( t − t 1 ) {\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{1})|=c(t-t_{1})} | r − r s ( t 2 ) | = c ( t − t 2 ) {\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{2})|=c(t-t_{2})}
c ( t 2 − t 1 ) = | r − r s ( t 1 ) | − | r − r s ( t 2 ) | ≤ | r s ( t 2 ) − r s ( t 1 ) | {\displaystyle c(t_{2}-t_{1})=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{1})|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{2})|\leq |\mathbf {r} _{s}(t_{2})-\mathbf {r} _{s}(t_{1})|} t 2 = t 1 {\displaystyle t_{2}=t_{1}} t 1 {\displaystyle t_{1}} t 2 {\displaystyle t_{2}} | r s ( t 2 ) − r s ( t 1 ) | / ( t 2 − t 1 ) ≥ c {\displaystyle |\mathbf {r} _{s}(t_{2})-\mathbf {r} _{s}(t_{1})|/(t_{2}-t_{1})\geq c} r {\displaystyle \mathbf {r} }
निष्कर्ष यह है कि कुछ शर्तों के तहत, विलम्ब समय उपलब्ध है और अद्वितीय है।
यह भी देखें
संदर्भ
↑ Liénard, A. (1898). "Champ électrique et magnétique produit par une charge concentrée en un point et animée d'un mouvement quelconque" . L'Éclairage Électrique . 16 (27, 28, 29): 5–14, 53–59, 106–112. ↑ Wiechert, E. (1901). "इलेक्ट्रोडायनामिक प्राथमिक कानून" . Annalen der Physik . 309 (4): 667–689. Bibcode :1901AnP...309..667W . doi :10.1002/andp.19013090403 . ↑ Some Aspects in Emil Wiechert ↑ David Tong: Lectures on Electromagnetism , Lecture 5: 4.Electromagnetism and Relativity, University of Cambridge↑ Einstein, A. (1917). "विकिरण के क्वांटम सिद्धांत पर" . Physikalische Zeitschrift (in Deutsch). 18 : 121–128. Bibcode :1917PhyZ...18..121E .↑ Planck, M. (1911). "एक नई विकिरण परिकल्पना" . Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft (in Deutsch). 13 : 138–175.
बाहरी संबंध
