वक्ररेखीय निर्देशांक

"लम गुणांक" redirects here. Not to be confused with लैम पैरामीटर (ठोस यांत्रिकी).

कार्टेशियन द्वि-आयामी अंतरिक्ष में समन्वय करता है

ज्यामिति में, वक्रीय निर्देशांक स्थानिक रूप से घुमी हुई हो सकने वाली यूक्लिडीयन स्थान के लिए एक निर्देशांक प्रणाली है। इन निर्देशांकों को कार्टेशियन निर्देशांकों के सेट से प्राप्त किया जा सकता है जो प्रत्येक बिंदु पर स्थानिक रूप से पलटने वाली होती है। इसका अर्थ है कि हम एक कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में दिए गए बिंदु को उसके वक्रीय निर्देशांकों में और वापस परिवर्तित कर सकता है। वक्रीय निर्देशांकों का नाम, जिसे फ़्रांसीसी गणितज्ञ लामे ने नवीनतम उपयोग किया, वक्रीय प्रणालियों के निर्देशांक सतहें घुमी हुई होने के तत्व से उत्पन्न होता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वक्ररेखीय समन्वय प्रणालियों के प्रसिद्ध उदाहरण (आर) बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली और गोलाकार निर्देशांक निर्देशांक हैं। इस स्थान में एक कार्टेशियन समन्वय सतह एक समन्वय विमान है; उदाहरण के लिए z = 0 x-y समतल को परिभाषित करता है। उसी स्थान में, गोलाकार निर्देशांक में समन्वय सतह r = 1 एक इकाई गोले की सतह होती है, जो घुमावदार होती है। वक्रीय निर्देशांक की औपचारिकता मानक समन्वय प्रणालियों का एकीकृत और सामान्य विवरण प्रदान करती है।

वक्रीय निर्देशांक का उपयोग प्रायः भौतिक मात्राओं के स्थान या वितरण को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो उदाहरण के लिए, स्केलर (गणित) एस, सदिश (ज्यामितीय) या टेन्सर हो सकते हैं।परिवर्तन नियमों के अनुसार, सदिश कलन और टेंसर विश्लेषण (जैसे कि ग्रेडियेंट , विचलन , कर्ल (गणित), और लाप्लासियन) में इन मात्राओं को सम्मिलित करने वाले गणितीय अभिव्यक्तियों को एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है। ऐसी अभिव्यक्तियाँ किसी भी वक्ररेखीय समन्वय प्रणाली के लिए मान्य होती हैं।

कुछ अनुप्रयोगों के लिए वक्रीय निर्देशांक प्रणाली कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करने से सरल हो सकती है। केंद्रीय बल के प्रभाव में धारित कणों की गति को सामान्यतः कार्टेशियन निर्देशांकों के अतिरिक्त गोलाकार निर्देशांकों में हल करना आसान होता है; इसका सत्यापन R³ में परिभाषित गोलाकार सममिति वाले कई भौतिक समस्याओं के लिए सत्य होती है। किसी विशेष वक्रीय निर्देशांक प्रणाली के लिए निर्देशांक सतहों का अनुसरण करने वाली सीमा शर्तों के साथ समीकरणों को उस प्रणाली में हल करना आसान हो सकता है। जबकि किसी कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में एक आयताकार बक्से में कण की गति का वर्णन किया जा सकता है, गोलाकार निर्देशांकों में गोला में गति का वर्णन करना आसान होता है। गोलाकार निर्देशांक सबसे सामान्य वक्रीय निर्देशांक प्रणाली हैं और इनका उपयोग पृथ्वी विज्ञान, मानचित्रकला, क्वांटम यांत्रिकी, सापेक्षता के सिद्धांत, और अभियांत्रिकी में किया जाता हैं।

3 आयामों में ओर्थोगोनल वक्ररेखीय निर्देशांक

निर्देशांक, आधार और सदिश

चित्र 1 - समन्वय सतहों, समन्वय रेखाओं और सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांकों के समन्वय अक्ष पर होता हैं।

चित्र 2 - समन्वय सतहों, समन्वय रेखाओं और गोलाकार निर्देशांक के समन्वय अक्ष सतहें: आर - गोले, θ - शंकु, φ - अर्ध-तल; रेखाएँ: आर - सीधी किरणें, θ - ऊर्ध्वाधर अर्धवृत्त, φ - क्षैतिज वृत्त इत्यादि होती हैं।अक्ष: आर - सीधी किरणें, θ - ऊर्ध्वाधर अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा, φ - क्षैतिज वृत्त की स्पर्शरेखा होती हैं।

अब, 3-डी स्थान को ध्यान में रखें। 3-डी स्थान में एक बिंदु पी (P) या उसके स्थानीय सदिश r को कार्टेशियन निर्देशांक (x, y, z$\mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}$ का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, , जहां ex, ey, ez मानक आधार सदिश हैं।

यदि इस तिकोनी संख्या का एकल बिंदु को निर्देशित विधियों से परिभाषित करता हो, तो यह भी उसके वक्ररेखीय निर्देशांकों (q¹, q², q³) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। निर्देशांक के मध्य का संबंध व्युत्क्रमणीय परिवर्तन फलन द्वारा दिया जाता है:

$x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})$

$q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)$

सतहें q¹ = स्थिरांक, q² = स्थिरांक, q³ = स्थिरांक को "निर्देशांक सतहें" कहा जाता है; और जोड़े में उनके प्रतिच्छेदन से बनने वाले अंतरिक्ष वक्रों को निर्देशांक वक्र कहा जाता है। निर्देशांक अक्षों का निर्धारण तीन सतहों के प्रतिच्छेदन पर समन्वय वक्र की स्पर्शरेखाओं द्वारा किया जाता है। वे अंतरिक्ष में सामान्य रूप से निश्चित दिशाओं में नहीं होते हैं, जो कि सरल कार्टेशियन निर्देशांक के परिस्थति में होता है, और इस प्रकार वक्रीय निर्देशांक के लिए सामान्यतः कोई प्राकृतिक वैश्विक आधार नहीं होता है।

कार्टेशियन प्रणाली में, मानक आधार सदिश निर्देशांकीय स्थान के अवशिष्टीकरण से प्राप्त किए जा सकते हैं, जिसमें बिंदु p की स्थान के अवशिष्टीकरण के साथ संबंधित अवशिष्टीकरण होते हैं।

$\mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.$

बिंदु P पर स्थानिक रूप से वक्रीय प्रणाली में उसी अवशिष्टीकरण को लागू करने से प्राकृतिक आधार सदिशों को परिभाषित किया जाता है।

$\mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}.$

ऐसा आधार, जिसके सदिश एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर अपनी दिशा और/या परिमाण परिवर्तित होते हैं, जिसे स्थानिक रूप से निर्देशित किया जाता है। वक्ररेखीय निर्देशांक से जुड़े सभी आधार आवश्यक रूप से स्थानीय हैं। आधार सदिश जो सभी बिंदुओं पर समान होते हैं, वैश्विक आधार होते हैं, और केवल रैखिक या धार्मिक समन्वय प्रणालियों से जुड़े हो सकते हैं।

इस लेख के लिए, e को मानक आधार (कार्टेशियन) के लिए और h या b को वक्रीय आधार के लिए आरक्षित किया गया है।

ये आधार एक इकाई लंबाई नहीं रख सकते हैं और संभवतः अर्थोगोनल नहीं हो सकते हैं। जब वे सभी बिंदुओं पर अर्थयोग्य अवशिष्टीकरण के साथ अर्थोगोनल होते हैं, तब हम गब्रियेल लामे के नाम से लामे संख्याओं की परिभाषा करते हैं।

$h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|$

और वक्ररेखीय ऑर्थोनॉर्मल आधार सदिश द्वारा

$\mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.$

ये आधार सदिश बिंदु पी के स्थान पर निर्भर कर सकते हैं; इसलिए इसे माना नहीं जा सकता है कि वे क्षेत्र के अधिकांश में स्थिर हैं।

सामान्यतः, वक्रीय निर्देशांक में प्राकृतिक आधार सदिशों ही सभी एक-दूसरे के लिए अनुपेक्षागत नहीं होते हैं और इकाई लंबाई का आवश्यकता नहीं होती है: वे विभिन्न गुणांक और दिशा के हो सकते हैं। अर्थोगोनल आधार का उपयोग गैर-अर्थोगोनल के मुकाबले सदिश में गणनाएं सरल बना देता है। यद्यपि, भौतिकी और अभियांत्रिकी के कुछ क्षेत्र, विशेषकर तरल यांत्रिकी और संयोजन संयंत्रिकी, विघटनों और तरल परिवहन का वर्णन करने के लिए गैर-अर्थोगोनल आधार की आवश्यकता होती है, जिसमें भौतिक मात्राओं की जटिल दिशात्मकता के लिए समर्थन होता है। इस पृष्ठ पर सामान्य विधियों की चर्चा उपरांत में दी गई है।

सदिश कैलकुलस

See also: विभेदक ज्यामिति

विभेदक तत्व

अर्थोगोनल वक्रीय निर्देशांकों में, क्योंकि r में कुल अंतर परिवर्तित होता रहता है

$d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}$

तो पैमाने के कारक $h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|$ हैं

गैर-अर्थोगोनल निर्देशांकों में, $d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}$ की लंबाई $d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}$ की सकारात्मक वर्गमूल है। प्राकृतिक आधार सदिशों के छः असम्बद्ध स्केलर उत्पाद g_ij=h_i.h_j वास्तविक आधार निर्देशांकों के लिए ऊपर वर्णित तीन माप अंकों को व्यापकता देते हैं। नौ g_ij g टेंसर घटक हैं, जो मीट्रिक टेंसर के घटक हैं, जो अर्थोगोनल निर्देशांकों g₁₁=h₁h₁, g₂₂=h₂h₂, g₃₃=h₃h₃. में केवल तीन गैर-समशून्य घटकों की होती है।

सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार

Main articles: सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण and सूचकांकों को ऊपर उठाना और घटाना

एक सदिश v (लाल) जिसे • वेक्टर बेसिस (पीला, बाएं ओर: e₁, e₂, e₃), समन्वयी तांगें (काले) के संदर्भ में प्रस्तुत किया गया है और • कोवेक्टर बेसिस या कोबेसिस (नीला, दाएं ओरe¹, e², e³),, समन्वयी सतहों (धूसर) के लिए सामान्य (आवश्यक नहीं संयोजनात्मक) कर्वीलिनियर निर्देशांक (q¹, q², q³) में होते है। समन्वयी और कोवेक्टर बेसिस एक ही स्थान पर नहीं पाए जाते हैं जब तक निर्देशांक प्रणाली अखंड होते हैं।।

स्थानिक ढाल, दूरियां, समय व्युत्पन्न और पैमाने के कारक एक समन्वय प्रणाली के अंदर आधार सदिश के दो समूहों द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं:

1. आधार सदिश जो स्थानीय रूप से उनके संबंधित समन्वय पथरेखा के स्पर्शरेखा होता हैं:
   $$\mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}$$
   सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण होते हैं, और
2. आधार सदिश जो अन्य निर्देशांकों द्वारा निर्मित आइसोसतह के लिए स्थानीय रूप से सामान्य होते हैं:
   $$\mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}$$
   इन आधार सदिशों को सहसंवर्ती सदिश कहा जाता है (ऊपरी आंकन द्वारा चिह्नित), ∇ डेल ऑपरेटर है।

ध्यान दें कि, आइंस्टीन के योग परिपाटी के कारण, सदिशों के सूचकांकों की स्थिति निर्देशांकों के विपरीत होती है।

इसलिए, प्रत्येक बिंदु के लिए एक सामान्य वक्रीय निर्देशांक प्रणाली में दो सेट आधार सदिश होते हैं: {b₁, b₂, b₃} संविरोधी आधार है, और {b¹, b², b³} सहसंवर्ती (जिसे आपके द्वारा प्राचलित रूप से प्रतिस्थापी भी कहा जाता है) आधार है। अर्थोगोनल वक्रीय निर्देशांक प्रणालियों के लिए सहसंवर्ती और संविरोधी आधार सदिशों के दिशा समान होती हैं, परंतु उनकी इकाई्स एक-दूसरे के प्रति विपरीत होती हैं।

निम्नलिखित महत्वपूर्ण समानता पर ध्यान दें।

$$\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}$$

जहां $\delta _{j}^{i}$ में सामान्यकृत क्रोनेकर डेल्टा को दर्शाता है।

Proof

In the Cartesian coordinate system $(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})$, we can write the dot product as:

$\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}$

Consider an infinitesimal displacement $d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}$. Let dq₁, dq₂ and dq₃ denote the corresponding infinitesimal changes in curvilinear coordinates q₁, q₂ and q₃ respectively.

By the chain rule, dq₁ can be expressed as:

$dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)$

If the displacement dr is such that dq₂ = dq₃ = 0, i.e. the position vector r moves by an infinitesimal amount along the coordinate axis q₂=const and q₃=const, then:

$dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}$

Dividing by dq₁, and taking the limit dq₁ → 0:

$1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}$

or equivalently:

$\mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1$

Now if the displacement dr is such that dq₁=dq₃=0, i.e. the position vector r moves by an infinitesimal amount along the coordinate axis q₁=const and q₃=const, then:

$0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}$

Dividing by dq₂, and taking the limit dq₂ → 0:

$0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}$

or equivalently:

$\mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0$

And so forth for the other dot products.

Alternative Proof:

$\delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}$

and the Einstein summation convention is implied.

एक सदिश v को किसी भी आधार के आधार पर निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात्,,

$\mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}$

आइंस्टीन सारांश सम्मेलन का उपयोग करते हुए, आधार सदिश घटकों से संबंधित होते हैं

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}$

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}$

और

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}$

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}$

जहां g मीट्रिक टेंसर है।

एक सदिश को सहसंयोजक निर्देशांक (निचले आंकन, v^k के रूप में लिखे जाते हैं) या विरोधाभासी निर्देशांक (ऊपरी आंकन, v^k के रूप में लिखे जाते हैं). ऊपरी सदिश युग्मों से पता चलता है कि संविरोधी निर्देशांक सहसंवर्ती आधार सदिशों से संबंधित होते हैं, और निचले निर्देशांक संविरोधी आधार सदिशों से संबंधित होते हैं।

सूचकांकित घटकों और आधार सदिशों के माध्यम से सदिशों और टेंसरों की प्रतिनिधि करने की एक महत्वपूर्ण विशेषता वैषम्यशून्यता में है, जिसका अर्थ है कि सहसंवर्ती ढंग में (या संविरोधी ढंग में) परिवर्तित होने वाले सदिश घटक संविरोधी ढंग में (या सहसंवर्धी ढंग में) परिवर्तित होने वाले आधार सदिशों के साथ जोड़े जाते हैं।

एकीकरण

Main article: सहसंयोजक परिवर्तन

एक आयाम में सहसंयोजक आधार का निर्माण

चित्र 3 - सामान्य वक्रीय निर्देशांक के परिस्थति में स्थानीय सहसंयोजक आधार का परिवर्तन होता रहता है।

चित्र 3 में दर्शाई गई एक-आयामी वक्र को ध्यान में रखें। बिंदु पी को मूल मानक माना जाता है, x मानक निर्देशांकों में से एक है, और q¹ मानक निर्देशांकों में से एक है। स्थानिक (गैर-इकाई) आधार सदिश b₁ (ऊपर h₁ के रूप में चिह्नित, b को इकाई सदिशों के लिए आरक्षित किया गया है) और यह q¹ धुरी पर बना है जो बिंदु पी पर उस निर्देशांक रेखा को छूता है। धुरी q¹ और इसलिए सदिश b₁ मूल कार्टेशियन x धुरी और कार्टेशियन आधार सदिश e₁ के साथ एक कोण बनाते हैं, जिसे एल्फा (α) कहा जाता है।

इसे त्रिभुज PAB से देखा जा सकता है

$\cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha$

जहां |e1|, |b1| दोनों आधार सदिशों के मान हैं, अर्थात्, दो अंशक यानि PB और PA। PA भी x धुरी पर b₁ की प्रक्षेपण है।.

यद्यपि, दिशात्मक कोसाइन का उपयोग करके आधार सदिश परिवर्तनों के लिए यह विधि निम्नलिखित कारणों से वक्रीय निर्देशांक पर लागू नहीं होता है:

1. बिंदु P से दूरी बढ़ाने से, कर्वीलीन रेखा q1 और कार्टेशियन धुरी x के मध्य का $\alpha$ कोण धीरे-धीरे एक से पृथक होता है। .
2. दूरी PB पर सच्चा कोण वही है जिसे बिंदु C पर स्पर्श रेखा x धुरी के साथ बनाती है और इस अंतिम कोण का खुला स्पष्ट रूप से a से पृथक होता है।

जब किसी व्यक्ति ने पी बिंदु की ओर आगे बढ़ना प्रारंभ किया है, तो q¹ रेखा और उस धुरी का कोण जो x धुरी के साथ बनाते हैं, वह मान के काफी समीप आते हैं और P पर बिल्कुल समान हो जाते हैं।

मान लीजिए कि बिंदु E, P के बहुत समीप स्थित है, इतना समीप कि दूरी PE अनंत रूप से छोटी है। पुनः पीई को क्यू पर मापा गया¹ अक्ष लगभग q पर मापे गए PE से मेल खाता है¹लाइन. साथ ही, अनुपात पीडी/पीई (पीडी एक्स अक्ष पर पीई का प्रक्षेपण है) लगभग बिल्कुल समान हो जाता है .

मान लीजिए कि बिंदु E P के काफी पास स्थित है, इतना समीप कि दूरी PE असीमित छोटी होती है। पुनः PE को q¹ धुरी पर मापा जाता है जो q¹ रेखा पर मापे जाने वाले PE के साथ लगभग मिलता है। उसी समय, अनुपात PD/PE (PD PE की x धुरी पर प्रक्षेपण होती है) तथा $\cos \alpha$ के समान हो जाता है।

मान लीजिए कि अत्यंत छोटे अंतःखंड PD और PE को क्रमशः dx और dq¹ के रूप में लेबल किया गया है. तब

$\cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}$.

इस प्रकार, दिशात्मक कोसाइन को असीम रूप से छोटे समन्वय अंतःखंडों के मध्य अधिक सटीक अनुपात के साथ परिवर्तनों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि बी का घटक (प्रक्षेपण)।₁ x अक्ष

पर है

इस प्रकार,दिशात्मक कोसाइनों को असीमित छोटे निर्देशांक अंतरों के मध्य के अधिक सटीक अनुपातों के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इससे परिणामित होता है कि x धुरी पर b₁ का घटक (प्रक्षेपण) होता है।

$p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}$.

यदि qⁱ = qⁱ(x₁, x₂, x₃) और x_i = x_i(q¹, q², q³) सतत (निरंतर विभेदीमान) फलन हैं, तो प्रतिरूपण अनुपात ${\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}$ और ${\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}$ के रूप में लिखे जा सकते हैं। इसका अर्थ है, वे अनुपात उन निर्देशांकों के संबंध हैं जिनके संबंध अन्य प्रणाली में निर्देशांक सम्मिलित होते हैं।

तीन आयामों में सहसंयोजक आधार का निर्माण

अन्य 2 आयामों में निर्देशांकों के लिए भी ऐसा ही करते हुए, b₁ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$\mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}$

इसी तरह के समीकरण b₂ और b₃ के लिए भी समान होते हैं क्योंकी मानक आधार {e₁, e₂, e₃} स्थानीय (क्रमशः व्यवस्थित और मानकृत) आधार {b₁, b₂, b₃} में परिवर्तित हो जाता हैं। यह समीकरण सिस्टम है:

${\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$

समानांतरित तर्क के द्वारा, हम स्थानीय आधार से मानक आधार तक का प्रतिस्थापन प्राप्त कर सकते हैं:

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}$

परिवर्तन का जैकोबियन

रैखिक समीकरणों की उपरोक्त प्रणालियों को आइंस्टीन योग सम्मेलन का उपयोग करके आव्यूह रूप में लिखा जा सकता है

${\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}$.

रैखिक प्रणाली का यह गुणांक आव्यूह परिवर्तन का जैकोबियन आव्यूह (और इसका व्युत्क्रम) है। ये वे समीकरण हैं जिनका उपयोग कार्टेशियन आधार को वक्रीय आधार में परिवर्तितने के लिए किया जा सकता है, और इसके विपरीत इसका परिवर्तन नही किया जा सकता है।

तीन आयामों में इन आव्यूहों के विस्तारित रूप हैं

$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}$

व्युत्क्रम परिवर्तन (द्वितीय समीकरण प्रणाली) में, अज्ञात वक्रीय आधार सदिश हैं। किसी भी विशिष्ट स्थान के लिए आधार सदिश का केवल एक और केवल एक सेट मौजूद हो सकता है (अन्यथा उस बिंदु पर आधार अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है)। यह शर्त तभी संतुष्ट होती है जब समीकरण प्रणाली का एक ही समाधान हो। रैखिक बीजगणित में, एक रैखिक समीकरण प्रणाली का एक ही समाधान (गैर-तुच्छ) होता है, यदि इसके सिस्टम आव्यूह का निर्धारक गैर-शून्य होता है::

$\det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0$

जो व्युत्क्रम जैकोबियन निर्धारक से संबंधित उपरोक्त आवश्यकता के पीछे तर्क को दर्शाता है।

n आयामों का सामान्यीकरण

यह प्रारूपता किसी भी सीमित आयाम तक निम्नानुसार विस्तारित होती है।

n-आयामी रियल यूक्लिडियन स्थान को विचार करें, जो R × R × ... × R (n बार) के रूप में होता है, यहां R वास्तविक संख्याओं की समूह है और × कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, जो एक सदिश स्थल होता है।

इस स्थान के निर्देशांक इस प्रकार से चिह्नित x = (x₁, x₂,...,x_n) किए जा सकते हैं। यह एक सदिश होता है, और इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}$

यहां e¹ = (1,0,0...,0), e² = (0,1,0...,0), e³ = (0,0,1...,0),...,eⁿ = (0,0,0...,1) Rⁿ स्थान के लिए मानक आधार सेट सदिश होते हैं, और i = 1, 2, ..., n एक संकेतक है जो घटकों को लेबल करता है। प्रत्येक सदिश का प्रत्येक आयाम (या "धुरी") में बिल्कुल एक घटक होता है और वे परस्पर ऑर्थोगोनल सदिश और मानकृत (इकाई सदिश) होते हैं।

सामान्यतः, हम आधार सदिश 'b' को परिभाषित कर सकते हैं क्योंकी वे q = (q₁, q₂,...,q_n) पर भी निर्भर करता है , अर्थात वे एक बिंदु से दूसरे बिंदु ' b_i = b_i(q) पर परिवर्तित हैं। किस परिस्थति में इस वैकल्पिक आधार के संदर्भ में एक ही बिंदु x को परिभाषित किया जाता हैं: इस आधार के संबंध में समन्वय सदिश v_i यह आवश्यक रूप से 'x' पर भी निर्भर करता है,अर्थात v_i = v_i(x).निर्भर करता है, पुनः इस स्थान में एक सदिश 'v', इन वैकल्पिक निर्देशांक और आधार सदिश के संबंध में, इस आधार में एक रैखिक संयोजन के रूप में विस्तारित किया जा सकता है

$\mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )$

नवीन आधार में v का वर्णन करने वाला सदिश योग विभिन्न सदिशों से बना है, यद्यपि योग स्वयं एक सीमा रखती है।

निर्देशांक का परिवर्तन

एक अधिक सामान्य और सार्वभौमिक दृष्टिकोण से, एक वक्रीय निर्देशांक प्रणाली बस एक विभक्तियों योग्य बहुपद मानिफोल्ड En (n-आयामी यूक्लिडियन स्थान) पर कोआर्डिनेट पैच होती है जो मानिफोल्ड पर कार्टेशियन कोआर्डिनेट पैच के समानरूप में विभक्तियों योग्य है। [3] डिफियोमोर्फिक तकोनों वाले दो निर्देशांक पैच एक डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर अवयवतः अवरुद्ध नहीं होने की आवश्यकता होती है। इस सामान्य वक्रीय निर्देशांक प्रणाली की इस सरल परिभाषा के साथ, नीचे दिए गए सभी परिणाम सिर्फ डिफरेंशियल टोपोलॉजी में मानक सिद्धांतों के अनुप्रयोग हैं।

परिवर्तन फलनें ऐसी होती हैं कि "पुराने" और "नए" निर्देशांकों में बिंदुओं के मध्य एक-एक संबंध होता है, अर्थात,वे फलन अनुमान लगाते हैं, और फलन के अपने डोमेन के अंदर निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करते हैं:

1. They are smooth functions: qⁱ = qⁱ(x)
2. The inverse Jacobian determinant

   $J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0$

   is not zero; meaning the transformation is invertible: x_i(q).

   according to the inverse function theorem. The condition that the Jacobian determinant is not zero reflects the fact that three surfaces from different families intersect in one and only one point and thus determine the position of this point in a unique way.

त्रि-आयामी वक्रीय निर्देशांक में सदिश और टेंसर बीजगणित

Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.

वक्रीय निर्देशांक में प्राथमिक सदिश और टेंसर बीजगणित का उपयोग यांत्रिकी और भौतिक विज्ञान की कुछ पुरानी वैज्ञानिक साहित्य में किया जाता है और पहले और मध्य-20वीं सदी के कार्य को समझने में अविवाहित हो सकता है, जैसे कि ग्रीन और जरना के पाठ से] वक्रीय निर्देशांक में सदिश और द्वितीय क्रम टेंसरों के बीजगणित में कुछ उपयोगी संबंध इस खंड में दिए गए हैं। निर्देशांकों और सामग्री मुख्य रूप से ओग्डेन , नगधी, साइमंड्स, हरा और ज़र्ना, बाज़ार और वीचर्ट, और सियारलेट. से हैं।

वक्ररेखीय निर्देशांक में टेंसर

Main article: वक्ररेखीय निर्देशांक में टेंसर

दूसरे क्रम के टेंसर को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

${\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}$

जहां $\scriptstyle \otimes$ टेंसर गुणा को दर्शाता है। घटक S^ij को अपवादी घटक कहा जाता है, SS_i ^j मिश्रित दायाँ-अपवादी घटक,S_i ^j j मिश्रित बाएँ-अपवादी घटक, और S_ij द्वितीय क्रम टेंसर के अपवादी घटक हैं। द्वितीय क्रम टेंसर के घटकों के मध्य संबंध होता हैं:

$S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }$

ऑर्थोगोनल वक्रीय निर्देशांक में मीट्रिक टेंसर

Main article: मीट्रिक टेंसर

प्रत्येक बिंदु पर, हम एक छोटे से रेखा तत्व dx का निर्माण कर सकते हैं, इसलिए रेखा तत्व की लंबाई का वर्ग, अर्थात dx • dx, स्केलर गुण होता है और इसे स्थान की माप द्वारा दिया गया है:

$d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}$.

उपरोक्त समीकरण का निम्नलिखित भाग निम्न है:

${\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}$

यह एक सममिश्री टेंसर है जिसे वक्रीय निर्देशांक में यूक्लिडियन स्थान का मूल (या मैट्रिक) टेंसर कहा जाता है।

सूचकांक मैट्रिक द्वारा उच्चतम उठाया जा सकते हैं और न्यनतम भी किए जा सकते हैं:

$v^{i}=g^{ik}v_{k}$

लेमे गुणांक से संबंध

पैमाने के कारकों को परिभाषित करना h_i द्वारा दर्शाया जाता है

$h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|$

मीट्रिक टेंसर और लैम गुणांक के मध्य एक संबंध देता है, और

$g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}$

जहां h_ij लैम गुणांक हैं। ऑर्थोगोनल आधार के लिए हमारे पास यह भी है:

$g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J$

उदाहरण: ध्रुवीय निर्देशांक

यदि हम R² के लिए ध्रुवीय निर्देशांक पर विचार करें,

$(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$

(r, θ) कर्वीलीनियर निर्देशांक हैं, और परिवर्तन (r, θ → (r cos θ, r sin θ) का जेकोबियन निर्णयक अंक r है।

अर्थोगनल आधार सदिश b_r = (cos θ, sin θ), b_θ = (−r sin θ, r cos θ) हैं। माप घटक h_r = 1और h_θ= r होता हैं। मूल टेंसर g₁₁ =1, g₂₂ =r², g₁₂ = g₂₁ =0 है।

प्रत्यावर्ती टेंसर

ऑर्थोनॉर्मल दाएं हाथ के आधार पर, तीसरे क्रम के लेवी-सिविटा प्रतीक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}$

सामान्य वक्ररेखीय आधार पर समान टेंसर को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

${\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}$

प्रत्यावर्ती टेंसर को दर्शाया जा सकता है

${\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}$

क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक

पहली तरह के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक $\Gamma _{kij}$

$\mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}$

जहां अल्पविराम आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। Γ_kij व्यक्त करने के लिए g_ij, के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है,

${\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}$

तब से

$\mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}$

उपरोक्त संबंधों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए इनका उपयोग करने से प्राप्त होता है

$\Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]$

दूसरे प्रकार के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक $\Gamma ^{k}{}_{ji}$

$\Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}$

इसका अर्थ यह है कि

$\Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad$ तब से $\quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0$.

अन्य संबंध जो अनुसरण करते हैं वे निम्न हैं

${\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}$

सदिश संचालन

1. बिंदु गुना:

   वक्ररेखीय निर्देशांक में दो सदिशों का अदिश गुणनफल होता है

   $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}$

2. अन्योन्य गुणन:

   सदिशों का अन्योन्या गुणन द्वारा दिया जाता है

   $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}$

   जहाँ $\epsilon _{ijk}$ क्रमपरिवर्तन प्रतीक है और एक कार्टेशियन आधार वेक्टर है। वक्ररेखीय निर्देशांक में समतुल्य अभिव्यक्ति है

   $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}$

   जहाँ ${\mathcal {E}}_{ijk}$ तीसरे क्रम का प्रत्यावर्ती टेंसर है।.

त्रि-आयामी वक्रीय निर्देशांक में सदिश और टेंसर कैलकुलस

Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.

रेखा, सतह और आयतनीय ऐन्टीग्रेल की गणना में समायोजन की आवश्यकता होती है। सरलता के लिए, निम्नलिखित तीन आयामों और अर्थोगनल वक्ररेखीय निर्देशांकों पर सीमित होता है। यद्यपि, इसी तरह के तर्कएन-आयामी स्थानों के लिए भी प्रयोगी होते हैं। जब निर्देशांक प्रणाली अर्थोगनल नहीं होती है, तो अभिव्यक्तियों में कुछ अतिरिक्त पद होते हैं।

साइमंड्स,टेंसर विश्लेषण पर अपनी पुस्तक में, अल्बर्ट आइंस्टीन के कथन को उद्धृत किया गया है

यह सिद्धांत सचमुच अद्वितीय रूप से अपने आप को उस व्यक्ति पर थोपने में कामयाब होगा जिसने इसे वास्तव में समझ लिया है; यह गाउस, रीमन, रिकी, और लेवी-सिविटा द्वारा स्थापित अविच्छिन्न अभिलेखन गणित के विधि की वास्तविक विजय को प्रतिष्ठित करता है।

सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक में सदिश और टेंसर कैलकुलस का उपयोग सामान्य सापेक्षता में चार-आयामी वक्ररेखीय कई गुना पर टेंसर विश्लेषण में किया जाता है, घुमावदार प्लेट सिद्धांत के ठोस यांत्रिकी में,मैक्सवेल के समीकरणों के अपरिवर्तनीय गुणों की जांच करने में जो मेटामैटेरियल्स और कई अन्य क्षेत्रों में रुचि रहा है

वक्रीय निर्देशांक में सदिशों और दूसरे क्रम के टेंसरों की गणना में कुछ उपयोगी संबंध इस खंड में दिए गए हैं। निर्देशांकों और सामग्री मुख्य रूप से ओग्डेन साइमंड्स,हरा और ज़र्ना, बाज़ार और वीचर्ट,और सियारलेट. से हैं।

यहां φ = φ(x) एक स्पष्ट परिभाषित स्केलर क्षेत्र और v = v(x) एक स्पष्ट परिभाषित अदिश क्षेत्र हैं, और λ₁, λ₂.... निर्देशांकों के पैरामीटर हैं।

ज्यामितीय तत्व

1. Tangent vector: If x(λ) parametrizes a curve C in Cartesian coordinates, then

   ${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}$

   is a tangent vector to C in curvilinear coordinates (using the chain rule). Using the definition of the Lamé coefficients, and that for the metric g_ij = 0 when i ≠ j, the magnitude is:

   $\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {g_{ij}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {h_{i}^{2}\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)^{2}}}$

2. Tangent plane element: If x(λ₁, λ₂) parametrizes a surface S in Cartesian coordinates, then the following cross product of tangent vectors is a normal vector to S with the magnitude of infinitesimal plane element, in curvilinear coordinates. Using the above result,

   ${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)\mathbf {b} _{p}$

   where ${\mathcal {E}}$ is the permutation symbol. In determinant form:

   ${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix}}$

समाकलन

ऑपरेटर	अदिश क्षेत्र	सदिश क्षेत्र
रेखा अभिन्न	$\int _{C}\varphi (\mathbf {x} )ds=\int _{a}^{b}\varphi (\mathbf {x} (\lambda ))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|d\lambda$	$\int _{C}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda ))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right)d\lambda$
सतह अभिन्न	$\int _{S}\varphi (\mathbf {x} )dS=\iint _{T}\varphi (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right|d\lambda _{1}d\lambda _{2}$	$\int _{S}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right)d\lambda _{1}d\lambda _{2}$
आयतन अभिन्न	$\iiint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iiint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}$	$\iiint _{V}\mathbf {u} (x,y,z)dV=\iiint _{V}\mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}$

अवकलन

ढाल, विचलन और लाप्लासियन के व्यंजक को सीधे एन-आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, यद्यपि कर्ल को केवल 3डी में परिभाषित किया गया है।

सदिश फ़ील्ड 'बी'_i q के स्पर्शरेखा है^{मैं वक्र का समन्वय करता हूं और वक्र पर प्रत्येक बिंदु पर एक 'प्राकृतिक आधार' बनाता हूं। इस आधार को, जैसा कि इस लेख की शुरुआत में चर्चा की गई है, 'सहसंयोजक' वक्ररेखीय आधार भी कहा जाता है। हम 'पारस्परिक आधार', या 'विपरीत' वक्ररेखीय आधार, 'बी' को भी परिभाषित कर सकते हैं।मैं. आधार सदिशों के मध्य सभी बीजगणितीय संबंध, जैसा कि टेन्सर बीजगणित पर अनुभाग में चर्चा की गई है, प्रत्येक बिंदु 'x' पर प्राकृतिक आधार और उसके व्युत्क्रम के लिए लागू होते हैं।}

सदिश क्षेत्र b_i qⁱ स्पर्शरेखा कर्व पर्ण के संपर्क में होता है और इसे प्रत्येक बिंदु पर प्राकृतिक आधार बनाता है। यह आधार, इस लेख की शुरुआत में चर्चा की गई तरह, कोवैरिएंट कर्व पर्ण आधार भी कहलाता है। हम एक विपरीत आधार या विरोधाभासी कर्व पर्ण आधार bi की परिभाषा भी कर सकते हैं। आधार सदिशों के बीच सभी बीजगणितीय संबंध, टेंसर बीजगणित के अध्याय में चर्चा की गई तरह, प्रत्येक बिंदु x पर प्राकृतिक आधार और उसके विरोधाभासी के लिए लागू होते हैं।

ऑपरेटर	अदिश क्षेत्र	सदिश क्षेत्र	दूसरा क्रम टेंसर क्षेत्र
ढाल	$\nabla \varphi ={\cfrac {1}{h_{i}}}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}\mathbf {b} ^{i}$	$\nabla \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}$	${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}$
विचलन	N/A	$\nabla \cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}\prod _{j\neq i}h_{j})$	$({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )$ जहाँ a एक मनमाना स्थिरांक सदिश है। वक्रीय निर्देशांक में, ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j}$
लाप्लासियन	$\nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {\prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)$
कर्ल	N/A	केवल 3डी में सदिश क्षेत्र के लिए, $\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\mathbf {e} _{i}\epsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}$ जहाँ $\epsilon _{ijk}$ लेवी-सिविटा प्रतीक होती हैं.	देखे टेंसर फ़ील्ड का कर्ल होता है

सामान्य वक्रीय निर्देशांक में काल्पनिक बल

परिभाषा के अनुसार, यदि कोई कण जिस पर कोई बल नहीं प्रभावित कर रहा हो, उसकी स्थान को एक जड़त्वीय समन्व प्रणाली x₁, x₂, x₃, t), में व्यक्त किया जाएगा ( तो उसे कोई (d²x_j/dt² = 0) त्वरित नहीं होगा। इस संदर्भ में, एक संयोजन प्रणाली "अच्युत" होने में असफल हो सकती है, या तो समय धारा अच्युत न हो या स्थान धाराएँ अच्युत न हों। दूसरे शब्दों में, संयोजनों के आधार सदिश समय के साथ स्थिर स्थानों पर परिवर्तित हो सकते हैं, या वे स्थान के साथ परिवर्तित कर सकते हैं। जब गति के समीकरणों को किसी गैर-जड़त्वीय समन्वय प्रणाली (इस अर्थ में) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिन्हें क्रिस्टोफेल चिह्न कहा जाता है। सख्ती से कहा जा सकता है कि ये शब्द अभिशाप के घटकों को प्रतिष्ठित करते हैं , परंतु हम डी के संबंध में जारी रखना भी चुन सकते हैं कि को त्वरण d²x_j/dt² के रूप में संज्ञान करते रहें और अतिरिक्त शब्दों को बलों की तरह व्यवहार करें, जिन्हें अवास्तविक बल कहा जाता है। ऐसे मानक के विपरीत माध्यमों का कोई भी शक्ति कण के पथ के सामान्य नर्म मांडल में और पथ की मुख्यता में निकटता वाली एकमात्र घटक कहा जाता है।

इस अधिक सामान्य संदर्भ में, घूर्णनशील संयोजन प्रणालियों में और स्थिर वक्ररेखीय संयोजन प्रणालियों में केन्द्रापसारक बल के अवधारणाओं के मध्य संबंध स्पष्ट होता है। (इन दोनों अवधारणाओं का प्रायः उल्लेख होता है।) एक सरल उदाहरण के लिए, एक कक्षा में दूरी r के वृत्त में गति करने वाले एक कण का वजन m है और यह एक पॉलर संयोजन प्रणाली के लिए प्रतीक्षाशील है जिसकी कक्षीय गति W है। त्रिज्या गति का समीकरण mr” = F_r + mr(w + W)² होता है। इस प्रकार, केन्द्रापसारक बल m गुणा अवशेष वृत्तीय गति A = w + W के वर्ग के समान होता है। यदि हम कण की गति के तेजी से घूमने वाले संयोजन प्रणाली का चयन करें, तो W = A और w = 0 होता है, जिसके अनुसार केन्द्रापसारक बल mrA² होता है, जबकि यदि हम एक स्थिर संयोजन प्रणाली का चयन करें तो हमें W = 0 और w = A होता है, जिसके अनुसार केन्द्रापसारक बल पुनः से mrA² होता है। इन परिणामों के समान होने का कारण है कि दोनों स्तिथियो में कण के स्थान पर आधार सदिस समय के साथ परिवर्तित हो रहे होते हैं और यह सच है कि ये बिलकुल एक ही चीज़ का विवरण करने के दो विभिन्न विधिया होती हैं,एक वर्णन घूर्णन निर्देशांक के संदर्भ में है और दूसरा स्थिर वक्रीय निर्देशांक के संदर्भ में है, जो दोनों उस शब्द के अधिक अमूर्त अर्थ के अनुसार गैर-जड़त्वीय होता हैं।

.

सामान्य गति का वर्णन करते समय, किसी कण पर कार्य करने वाली वास्तविक शक्तियों को प्रायः गति के पथ के स्पर्शरेखा वाले तात्कालिक दोलन वृत्त के रूप में संदर्भित किया जाता है, और सामान्य स्थिति में यह वृत्त एक निश्चित स्थान पर केंद्रित नहीं होता है, और इसलिए अपकेंद्रित्र और कोरिओलिस में विघटित होता है घटक निरंतर परिवर्तित हो रहे हैं. यह सत्य है चाहे गति को स्थिर या घूर्णन निर्देशांक के संदर्भ में वर्णित किया गया हो।

यह भी देखें

• सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण
• सामान्य सापेक्षता के गणित का परिचय
• विशेष स्थितियां:
  • लांबिक निर्देशांक
  • तिर्यक् निर्देशांक
• वक्ररेखीय निर्देशांक में टेंसर
• फ्रेनेट-सेरेट सूत्र
• सहसंयोजक व्युत्पन्न
• टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी)
• वक्ररेखीय परिप्रेक्ष्य
• बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल

अग्रिम पठन

• Spiegel, M. R. (1959). Vector Analysis. New York: Schaum's Outline Series. ISBN 0-07-084378-3.
• Arfken, George (1995). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.

बाहरी संबंध

• Planetmath.org Derivation of Unit vectors in curvilinear coordinates
• MathWorld's page on Curvilinear Coordinates
• Prof. R. Brannon's E-Book on Curvilinear Coordinates
• Wikiversity:Introduction to Elasticity/Tensors#The divergence of a tensor field – Wikiversity, Introduction to Elasticity/Tensors.