विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण के ज्यावक्रीय समतल-तरंग समाधान

ज्यावक्रीय समतल-तरंग समाधान विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण के विशेष समाधान हैं।

सजातीय, रैखिक, काल निरपेक्ष मीडिया में विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण का सामान्य समाधान विभिन्न आवृत्तियों और ध्रुवीकरण (तरंगों) के समतल तरंग के अधिस्थापन सिद्धांत के रूप में लिखा जा सकता है।

इस लेख में अभिक्रिया पारम्परिक भौतिकी है, लेकिन विद्युत् गतिक के लिए मैक्सवेल के समीकरणों की व्यापकता के कारण, उपचार को केवल प्राचीन मात्राओं की पुनर्व्याख्या के साथ परिमाण यांत्रिकी उपचार में परिवर्तित किया जा सकता है (आवेश और धारा घनत्व के लिए आवश्यक परिमाण यांत्रिक उपचार के अतिरिक्त है)।

पुनर्व्याख्या मैक्स प्लैंक के सिद्धांतों और अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा उन सिद्धांतों और अन्य प्रयोगों की व्याख्याओं पर आधारित है। प्राचीन निरूपण का परिमाण सामान्यीकरण युग्म-रेखाछिद्र प्रयोग में फोटॉन ध्रुवीकरण और फोटॉन गतिशीलता पर लेखों में पाया जा सकता है।

स्पष्टीकरण

प्रायोगिक तौर पर, प्रत्येक प्रकाश संकेत को तरंग समीकरण के ज्यावक्रीय समाधानों से जुड़ी आवृत्तियों और तरंग दैर्ध्य के विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम में विघटित किया जा सकता है। ध्रुवीकरण निस्यंदक का उपयोग प्रकाश को उसके विभिन्न ध्रुवीकरण घटकों में विघटित करने के लिए किया जा सकता है। ध्रुवीकरण घटक रैखिक ध्रुवीकरण, गोलाकार ध्रुवीकरण या अण्डाकार ध्रुवीकरण हो सकते हैं।

समतल तरंगें

Z दिशा में यात्रा करने वाले विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण के लिए समतल ज्यावक्रीय समाधान है

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\\E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\\0\end{pmatrix}}=E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right){\hat {\mathbf {x} }}\;+\;E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right){\hat {\mathbf {y} }}$$

विद्युत क्षेत्र के लिए, और

$$c\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}-E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\\E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\\0\end{pmatrix}}=-E_{y}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right){\hat {\mathbf {x} }}\;+\;E_{x}^{0}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right){\hat {\mathbf {y} }}$$

चुंबकीय क्षेत्र के लिए, जहां k तरंग संख्या है,

$$\omega =ck$$

$\omega$ तरंग की कोणीय आवृत्ति है, और $c$ प्रकाश की गति है। सदिश (ज्यामितीय) पर आच्छद x, y और z दिशाओं में इकाई सदिश को दर्शाती हैं। r = (x, y, z) स्थिति सदिश (मीटर में) है।

समतल तरंग को निम्न आयामों द्वारा मानकीकृत किया जाता है

विद्युत चुम्बकीय विकिरण की कल्पना विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की स्व-प्रसारित अनुप्रस्थ दोलन तरंग के रूप में की जा सकती है। यह आरेख दाएं से बाएं ओर फैलती हुई एक समतल रैखिक ध्रुवीकृत तरंग को दर्शाता है। चुंबकीय क्षेत्र (M सूचक) क्षैतिज तल में है, और विद्युत क्षेत्र (E सूचक) ऊर्ध्वाधर तल में है।

$$E_{x}^{0}=\left|\mathbf {E} \right|\cos \theta$$

$$E_{y}^{0}=\left|\mathbf {E} \right|\sin \theta$$

और चरण (तरंगें)

$$\alpha _{x},\alpha _{y}$$

जहाँ

$$\theta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \tan ^{-1}\left({E_{y}^{0} \over E_{x}^{0}}\right).$$

और

$$\left|\mathbf {E} \right|^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(E_{x}^{0}\right)^{2}+\left(E_{y}^{0}\right)^{2}.$$

ध्रुवीकरण अवस्था सदिश

Main article: जोन्स कलन

जोन्स सदिश

सभी ध्रुवीकरण सूचनाओं को x-y तल में एक एकल सदिश में घटाया जा सकता है, जिसे जोन्स सदिश कहा जाता है। यह सदिश, ध्रुवीकरण के विशुद्ध पारम्परिक उपचार से उत्पन्न होने पर, परिमाण अवस्था सदिश के रूप में व्याख्या की जा सकती है। परिमाण यांत्रिकी के साथ संबंध फोटॉन ध्रुवीकरण पर लेख में बनाया गया है।

सदिश समतल-तरंग समाधान से निकलता है। विद्युत क्षेत्र समाधान को जटिल संख्या संकेतन में फिर से लिखा जा सकता है

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=|\mathbf {E} |\,\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left[|\psi \rangle e^{i(kz-\omega t)}\right]$$

जहाँ

$$|\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{i\alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}$$

x-y तल में जोन्स सदिश है। इस सदिश के लिए संकेतन पॉल डिराक का ब्रा-केट संकेतन है, जो सामान्यतः परिमाण संदर्भ में उपयोग किया जाता है। परिमाण संकेतन का उपयोग यहां परिमाण अवस्था सदिश के रूप में जोन्स सदिश की व्याख्या की प्रत्याशा में किया जाता है।

द्वैध जोन्स सदिश

जोन्स सदिश में एक दोहरा स्थान दिया गया है

$$\langle \psi |\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}^{*}&\psi _{y}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{-i\alpha _{x}}&\sin(\theta )e^{-i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}.$$

जोन्स सदिश का सामान्यीकरण

रैखिक ध्रुवीकरण.

जोन्स सदिश एक विशिष्ट चरण, आयाम और ध्रुवीकरण की स्थिति के साथ एक विशिष्ट तरंग का प्रतिनिधित्व करता है। जब कोई ध्रुवीकरण की स्थिति को इंगित करने के लिए जोन्स सदिश का उपयोग कर रहा है, तो यह सामान्यीकृत तरंग फलन होने के लिए प्रथागत है। इसके लिए आवश्यक है कि सदिश का आंतरिक उत्पाद स्वयं एकता हो:

$$\langle \psi |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}^{*}&\psi _{y}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}=1.$$

इस विशेषता को प्राप्त करने के लिए एक स्वेच्छाचारी जोन्स सदिश को आसानी से अनुमाप किया जा सकता है। सभी सामान्यीकृत जोन्स सदिश समान तीव्रता (एक विशेष समदैशिक माध्यम के भीतर) की तरंग का प्रतिनिधित्व करते हैं। यहां तक ​​कि एक सामान्यीकृत जोन्स सदिश दिए जाने पर भी, शुद्ध चरण कारक द्वारा गुणा करने पर ध्रुवीकरण की समान स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला एक अलग सामान्यीकृत जोन्स सदिश प्राप्त होगा।

ध्रुवीकरण की स्थिति

Main article: ध्रुवीकरण (तरंग)

अण्डाकार ध्रुवीकरण.

रैखिक ध्रुवीकरण

Main article: रैखिक ध्रुवीकरण

सामान्यतः, तरंग रैखिक रूप से ध्रुवीकृत होती है जब चरण कोण $\alpha _{x},\alpha _{y}$ बराबर होते हैं,

$$\alpha _{x}=\alpha _{y}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha .$$

यह x अक्ष के संबंध में $\theta$ कोण पर ध्रुवीकृत तरंग का प्रतिनिधित्व करता है। उस स्थिति में जोन्स सदिश निम्न रूप से लिखा जा सकता है

$$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}e^{i\alpha }.$$

अण्डाकार और गोलाकार ध्रुवीकरण

Main article: दीर्घवृत्तीय ध्रुवण

सामान्य स्थिति जिसमें विद्युत क्षेत्र एक दिशा तक सीमित नहीं होता बल्कि x-y तल में घूमता है, अण्डाकार ध्रुवीकरण कहलाता है। अवस्था सदिश निम्न द्वारा दिया गया है

$$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{i\alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}=e^{i\alpha }{\begin{pmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )e^{i\Delta \alpha }\end{pmatrix}}.$$

$\Delta \alpha =0$ की विशेष स्तिथि में, रैखिक ध्रुवीकरण कम हो जाता है।

वृत्ताकार ध्रुवीकरण $\theta =\pm \pi /4$ साथ $\Delta \alpha =\pi /2$ की विशेष स्तिथियों से मेल खाता है। दो गोलाकार ध्रुवीकरण अवस्थाएँ इस प्रकार जोन्स सदिश द्वारा दी गई हैं:

$$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}=e^{i\alpha }{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}.$$

यह भी देखें

• फोरियर श्रेणी
• अनुप्रस्थ प्रकार
• अनुप्रस्थ तरंग
• श्रोडिंगर समीकरण के लिए सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक औचित्य
• मैक्सवेल के समीकरण
• विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण
• विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण
• परमाणु संक्रमण से ध्रुवीकरण: रैखिक और परिपत्र

संदर्भ

• Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.