विहित मानचित्र

श्रेणी सिद्धांत में एक संबंधित अवधारणा, प्राकृतिक परिवर्तन भी देखें।

प्रक्षेप्य स्थान में बीजगणितीय विविधता के विहित मानचित्र के लिए, Template:अनुभाग लिंक या कैनोनिकल समूह के लिए कैनोनिकल मानचित्र देखें।

गणित में, विहित मानचित्र, जिसे प्राकृतिक मानचित्र भी कहा जाता है, इसका उपयोग मुख्य रूप से दो वस्तुओं के बीच फलन (गणित) को प्रकट करने के लिए किया जाता है, जो वस्तुओं की परिभाषा या निर्माण से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। अधिकांशतः यह मानचित्र का स्वरूप होता है जो संरचना की व्यापक मात्रा को संरक्षित करता है। इस प्रकार विहित मानचित्र का चुनाव कभी-कभी किसी परिपाटी जैसे, संकेत परिपाटी पर निर्भर करता है।

इसके आधार पर निकट से संबंधित किसी धारणा की संरचना को मानचित्र या संरचना रूपवाद के अंतर्गत प्रस्तुत करते हैं, इस प्रकार कोई मानचित्र जो वस्तु पर दी गई संरचना के साथ आता है। इन्हें कभी-कभी विहित मानचित्र भी कहा जाता है।

विहित समरूपता, विहित मानचित्र का आधार है जो समरूपता अर्ताथ, व्युत्क्रम फलन भी कहते हैं। कुछ संदर्भों में, विहित मानचित्र या विहित समरूपता के विकल्प के विवाद को संबोधित करना आवश्यक हो जाता है, विशिष्ट उदाहरण के लिए, प्रीस्टैक परिभाषा देखें।

विहित मानचित्र को परिभाषित करने की समस्या पर चर्चा के लिए 2022 ग्रोथेंडिक सम्मेलन में केविन बज़र्ड की बातचीत देखें।

उदाहरण

• यदि N, समूह (गणित) G का सामान्य उपसमूह है, तो G से भागफल समूह G/N तक विहित विशेषण समूह समरूपता है, जो किसी तत्व g को g द्वारा निर्धारित सह समुच्चय में भेजता है।
• यदि यह वलय R का आदर्श (रिंग सिद्धांत) है, तो R से भागफल रिंग R/I पर विहित विशेषण रिंग समरूपता को प्रकट करता है, जो किसी तत्व r को उसके सहसमुच्चय I+r पर भेजता है।
• यदि V सदिश समष्टि है, तो V से V के दूसरे दोहरे समष्टि तक विहित मानचित्र है, जो सदिश v को रैखिक रूप f_v में भेजता है, इस प्रकार F_v(λ) = λ(v) द्वारा इसे परिभाषित किया जाता हैं।
• यदि f: R → S क्रमविनिमेय वलय के बीच समरूपता होती है, तो S को R के ऊपर वलय पर बीजगणित के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार किसी वलय की समरूपता f को तब संरचना मानचित्र बीजगणित संरचना के लिए कहा जाता है। इस प्रकार प्राइम स्पेक्ट्रम पर संबंधित मानचित्र f^*: Spec(S) → Spec(R) को संरचना मानचित्र भी कहा जाता है।
• यदि E टोपोलॉजिकल स्पेस X पर सदिश समूह है, तो ई से एक्स तक का प्रक्षेपण मानचित्र संरचना मानचित्र है।
• टोपोलॉजी में, कैनोनिकल मैप फलन f है, जो किसी समुच्चय X → X/R (X modulo R) को मैप करता है, जहां R, X पर समतुल्य संबंध है, जो X में प्रत्येक x को समतुल्य वर्ग [x] modulo R में ले जाता है।