समकोण त्रिभुज

समकोण त्रिभुज (अमेरिकी अंग्रेजी याब्रिटिश अंग्रेजी), या औपचारिक रूप से लंबकोणीय त्रिभुज, जिसे पहले आयत त्रिभुज कहा जाता था (Ancient Greek: ὀρθόσγωνία, lit. 'सीधे कोण'), त्रिभुज है जिसमें एक कोण समकोण है (अर्थात, 90 डिग्री (कोण)), अर्थात जिसमें दो बहुभुज भुजाएँ लंबवत हैं। समकोण त्रिभुज की भुजाओं और अन्य कोणों के बीच संबंध त्रिकोणमिति का आधार है।

समकोण की सम्मुख भुजा कर्ण (आकृति में भुजा c) कहलाती है। समकोण से सटे पक्षों को आधार (या कैथेटी, एकवचन: कैथेटस) कहा जाता है। साइड a को कोण B के आसन्न भुजा के रूप में पहचाना जा सकता है और कोण A के विपरीत (या विपरीत) भुजा के रूप में पहचाना जाता है, जबकि साइड b कोण A के आसन्न भुजा है और कोण B के सम्मुख में है।

यदि समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई पूर्णांक हैं, तो त्रिभुज को 'पाइथागोरस त्रिभुज' कहा जाता है और इसकी भुजाओं की लंबाई को सामूहिक रूप से पाइथागोरस के त्रिक के रूप में जाना जाता है।

प्रमुख गुण

क्षेत्रफल

जैसा कि किसी भी त्रिकोण के साथ होता है, क्षेत्रफल आधार के आधे गुणा के बराबर होता है। समकोण त्रिभुज में, यदि एक भुजा को आधार के रूप में लिया जाता है तो दूसरा ऊँचाई है, इसलिए समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल दो आधार के उत्पाद का आधा होता है। सूत्र के रूप में क्षेत्रफल T है

$T={\tfrac {1}{2}}ab$

जहाँ a और b त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

यदि किसी त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त बिंदु P पर कर्ण AB को स्पर्श करते हैं, तो अर्ध-परिधि को (a + b + c) / 2 को s के रूप में दर्शाते हुए, हमारे पास है PA = s − a और PB = s − b है, और क्षेत्रफल द्वारा दिया गया है

$T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).$

यह सूत्र केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है।

ऊँचाई

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई

यदि शीर्ष से कर्ण के समकोण के साथ ऊँचाई (त्रिकोण) खींचा जाता है, तो त्रिभुज को दो छोटे त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, जो दोनों मूल के समान (ज्यामिति) हैं और इसलिए एक दूसरे के समान हैं। इस से:

• कर्ण की ऊँचाई कर्ण के दो खंडों का गुणोत्तर माध्य (माध्यानुपाती) है।
• त्रिभुज का प्रत्येक आधार कर्ण का औसत आनुपातिक है और कर्ण का वह खंड जो आधार से सटा हुआ है।

समीकरणों में,

$\displaystyle f^{2}=de,$ (इसे कभी-कभी समकोण त्रिभुज ऊँचाई प्रमेय के रूप में जाना जाता है)

$\displaystyle b^{2}=ce,$

$\displaystyle a^{2}=cd$

जहां a, b, c, d, e, f आरेख में दिखाए गए हैं। इस प्रकार

$f={\frac {ab}{c}}.$

इसके अतिरिक्त, कर्ण की ऊँचाई का सम्बन्ध समकोण त्रिभुज के आधार से होता है

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.$

a, b, f, और c के पूर्णांक मानों में इस समीकरण के समाधान के लिए, यहाँ देखें

किसी भी आधार की ऊँचाई दूसरे आधार से मेल खाती है। चूँकि ये समकोण शीर्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं, समकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र—इसकी तीन ऊँचाई का प्रतिच्छेदन—समकोण शीर्ष से मेल खाता है।

पायथागॉरियन प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय के यूक्लिड के प्रमाण के लिए आरेख: प्रत्येक छोटे वर्ग का क्षेत्रफल संबंधित रंग के आयत के बराबर होता है।

Main article: पायथागॉरियन प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि:

किसी भी समकोण त्रिभुज में, उस वर्ग (ज्यामिति) का क्षेत्रफल, जिसकी भुजा कर्ण (समकोण के विपरीत भुजा) है, उन वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, जिनकी भुजाएँ दो आधार हैं (दो भुजाएँ जो एक समकोण पर मिलती हैं) ).

इसे समीकरण के रूप में कहा जा सकता है

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

जहाँ c कर्ण की लंबाई है, और a और b शेष दो भुजाओं की लंबाई हैं।

पायथागॉरियन ट्रिपल इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले a, b, c के पूर्णांक मान हैं

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या

आधार a और b और कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या है

$r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.$

परिवृत्त की त्रिज्या कर्ण की आधी लंबाई है,

$R={\frac {c}{2}}.$

इस प्रकार परिधि और अंतःत्रिज्या का योग आधार के योग का आधा है:

$R+r={\frac {a+b}{2}}.$

आधार में से एक को अंतःत्रिज्या और दूसरे आधार के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.$

लक्षण

भुजाओं वाला त्रिभुज ABC, $a\leq b<c$, अर्धपरिधि ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)},$ क्षेत्रफल T, ऊँचाई (त्रिकोण) h सबसे लंबी भुजा के विपरीत, परिबद्ध वृत्त R, त्रिभुज का अंतर्त्रिज्या r और बहिर्त्रिज्याr_a, r_b, r_c (क्रमशः a, b, c के लिए स्पर्शरेखा), और माध्यिका (ज्यामिति) m_a, m_b, m_c समकोण त्रिभुज है यदि और केवल यदि निम्नलिखित छह श्रेणियों में से कोई एक कथन सत्य है। उनमें से प्रत्येक इस प्रकार किसी समकोण त्रिभुज का गुण भी है।

भुजाएँ और अर्धपरिधि

• $\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})$
• $\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)$
• $\displaystyle s=2R+r.$
• $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.$

कोण

• A और B पूरक कोण हैं।
• $\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.$
• $\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.$* $\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.$* $\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.$

क्षेत्रफल

• $\displaystyle T={\frac {ab}{2}}$
• $\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
• $\displaystyle T=r(2R+r)$
• $\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)$
• $T=PA\cdot PB,$ जहां P सबसे लंबी भुजा AB पर त्रिभुज के अंतःवृत्त और बाह्य वृत्तों का स्पर्श बिंदु है।

अंतर्त्रिज्या और एक्सराडी

• $\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2$
• $\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2$
• $\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2$
• $\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2$
• $\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c$
• $\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
• $\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.$

ऊँचाई और माध्यिका

The altitude of a right triangle from its right angle to its hypotenuse is the geometric mean of the lengths of the segments the hypotenuse is split into. Using Pythagoras' theorem on the 3 triangles of sides (p + q, r, s ), (r, p, h ) and (s, h, q ),
${\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}$

• $\displaystyle h={\frac {ab}{c}}$
• $\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.$
• माध्यिका (ज्यामिति) की लंबाई परिबद्ध वृत्त के बराबर होती है।
• सबसे छोटा ऊँचाई (त्रिकोण) (सबसे बड़े कोण वाले शीर्ष से एक) रेखा खंड का गुणोत्तर माध्य है जो इसे विपरीत (सबसे लंबी) भुजा में विभाजित करता है। यह समकोण त्रिभुज ऊँचाई प्रमेय है।

बाह्य वृत्त और अंतःवृत्त

• त्रिकोण को अर्धवृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसमें एक तरफ व्यास (थेल्स प्रमेय) की संपूर्णता होती है।
• परिबद्ध वृत्त सबसे लंबी भुजा का मध्यबिंदु है।
• सबसे लंबी भुजा परिवृत्त का व्यास है $\displaystyle (c=2R).$
• परिवृत्त नौ-बिंदु वाले वृत्त की स्पर्शरेखा है।
• लम्बकेन्द्र परिवृत्त पर स्थित है।*
• त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त और लम्बकेन्द्र के बीच की दूरी ${\sqrt {2}}r$ बराबर होती है।

त्रिकोणमितीय अनुपात

Main article: त्रिकोणमितीय कार्य - समकोण त्रिभुज परिभाषाएँ

न्यून कोण के त्रिकोणमितीय फलन को समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। किसी दिए गए कोण के लिए, इस कोण के साथ समकोण त्रिभुज का निर्माण किया जा सकता है, और उपरोक्त परिभाषाओं के अनुसार इस कोण के संदर्भ में भुजाओं को विपरीत, आसन्न और कर्ण के रूप में वर्गीकरण किया जा सकता है। भुजाओं के ये अनुपात चुने गए विशेष समकोण त्रिभुज पर निर्भर नहीं करते हैं, बल्कि केवल दिए गए कोण पर निर्भर करते हैं, क्योंकि इस तरह से निर्मित सभी त्रिभुज समरूप त्रिभुज हैं। यदि किसी दिए गए कोण α के लिए, विपरीत भुजा, आसन्न भुजा और कर्ण को क्रमशः O, A और H से वर्गीकरण किया जाता है, तो त्रिकोणमितीय फलन हैं

$\sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.$

समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में अतिपरवलयिक फलन की अभिव्यक्ति के लिए, अतिपरवलयिक वृत्तखण्ड का अतिपरवलयिक त्रिभुज देखें।

विशेष समकोण त्रिभुज

Main article: विशेष समकोण त्रिभुज

त्रिकोणमितीय फलन के मानो का मूल्यांकन विशेष कोणों के साथ समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके निश्चित कोणों के लिए किया जा सकता है। इनमें 30-60-90 त्रिभुज सम्मिलित है जिसका उपयोग π/6 के किसी भी गुणक के लिए त्रिकोणमितीय फलन का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है, और 45-45-90 त्रिभुज जिसका उपयोग π/4 के किसी भी गुणक के लिए त्रिकोणमितीय फलन का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है। .

केप्लर त्रिभुज

H, G और A हरात्मक माध्य, गुणोत्तर माध्य, और दो घनात्मक संख्याओं के समान्तर माध्य a और b के साथ a> b होने दें। यदि समकोण त्रिभुज के आधार H और G हैं और कर्ण A है, तो

${\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,$

और

${\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,$

जहाँ $\phi$ स्वर्णिम अनुपात है ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,$ चूँकि इस समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्यामितीय प्रगति में हैं, यह केप्लर त्रिभुज है।

थेल्स प्रमेय

Main article: थेल्स प्रमेय

त्रिभुज के समकोण की माध्यिका

थेल्स के प्रमेय में कहा गया है कि यदि A व्यास BC (स्वयं B या C को छोड़कर) वाले वृत्त का कोई बिंदु है तो ABC समकोण त्रिकोण है जहां A समकोण है। विलोम बताता है कि यदि समकोण त्रिभुज को वृत्त में अंकित किया जाता है तो कर्ण वृत्त का व्यास होता है। उपप्रमेय यह है कि कर्ण की लंबाई समकोण शीर्ष से कर्ण के मध्य बिंदु तक की दूरी से दोगुनी है। साथ ही, उस वृत्त का केंद्र जो समकोण त्रिभुज से परिबद्ध है, कर्ण का मध्य बिंदु है और इसकी त्रिज्या कर्ण की लंबाई का आधा है।

माध्यिका

निम्नलिखित सूत्र समकोण त्रिभुज की माध्यिका (ज्यामिति) के लिए मान्य हैं:

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.$

समकोण त्रिभुज के कर्ण पर माध्यिका त्रिभुज को दो समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करती है, क्योंकि माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है।

माध्यिका m_a और m_b आधार से संतुष्ट है

$4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.$

यूलर लाइन

समकोण त्रिभुज में, यूलर रेखा में कर्ण पर माध्यिका होती है - अर्थात, यह समकोण वाले शीर्ष और उस शीर्ष के विपरीत भुजा के मध्य बिंदु दोनों से होकर जाती है। इसका कारण यह है कि समकोण त्रिभुज का लम्बकेन्द्र, इसकी ऊँचाई का प्रतिच्छेदन, समकोण शीर्ष पर पड़ता है, जबकि इसका परिकेन्द्र, इसके लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन, कर्ण के मध्यबिंदु पर पड़ता है।

असमानताएं

किसी भी समकोण त्रिभुज में अंतःवृत्त का व्यास कर्ण के आधे से कम होता है, और अधिक दृढ़ता से यह कर्ण गुणा $({\sqrt {2}}-1).$से कम या उसके बराबर होता है

आधार a, b और कर्ण c के साथ समकोण त्रिभुज में,

$c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)$

केवल समद्विबाहु मामले में समानता के साथ है।

यदि कर्ण से ऊँचाई को h_c से निरूपित किया जाता है, तब

$h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)$

केवल समद्विबाहु मामले में समानता के साथ है।

अन्य गुण

यदि शीर्ष C से निकलने वाली लंबाई p और q के खंड कर्ण को लंबाई c/3 के खंडों में विभाजित करते हैं, तो

$p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.$

समकोण त्रिभुज एकमात्र त्रिभुज है जिसमें एक या तीन के अतिरिक्त दो अलग-अलग उत्कीर्ण वर्ग हैं।

दिया हुआ h > k. मान लीजिए h और k कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज में दो उत्कीर्ण वर्गों की भुजाएँ हैं। तब

${\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.$

ये भुजाएँ और अंतःवृत्त त्रिज्या r एक समान सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

$\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.$

समकोण त्रिभुज का परिमाप अंतःवृत्त की त्रिज्या के योग के बराबर होता है:

$a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.$

यह भी देखें

• तीव्र और अधिक त्रिकोण (तिरछा त्रिकोण)
• थियोडोरस का सर्पिल

संदर्भ

• Weisstein, Eric W. "Right Triangle". MathWorld.
• Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co.

बाहरी कड़ियाँ

• Calculator for right triangles Archived 2017-09-30 at the Wayback Machine
• Advanced right triangle calculator