समरेखण (कॉलिनेशन)

प्रक्षेपी ज्यामिति में, कॉलिनेशन इंजेक्शन कार्य है | एक-से-एक और प्रक्षेपण मैप (एक द्विभाजन) प्रक्षेपण स्थान से दूसरे में, या प्रक्षेपण स्थान से खुद के लिए, जैसे कि समरेख बिंदु की छवि (गणित) खुद हैं संरेख। संरेखन इस प्रकार प्रक्षेपी रिक्त स्थान के बीच समरूपता है, या प्रक्षेपी स्थान से स्वयं के लिए ऑटोमोर्फिज़्म है। कुछ लेखकों ने समानता की परिभाषा को उस स्थिति तक सीमित कर दिया है जहां यह समाकृतिकता है।^[1] किसी स्थान के सभी संयोजनों का समूह (गणित) स्वयं समूह (गणित) बनाता है, जिसे समरेखण समूह कहा जाता है।

परिभाषा

सीधे शब्दों में, संपार्श्विक प्रक्षेपण स्थान से दूसरे में, या प्रक्षेपण स्थान से खुद के लिए एक-से-एक मैप होता है, जैसे कि कोलीनियर बिंदु की छवि खुद कोलीनियर होती हैं। कोई प्रक्षेपण स्थान प्रस्तुत करने के विभिन्न विधि का उपयोग करके इसे औपचारिक रूप दे सकता है। साथ ही, प्रक्षेपी रेखा का स्थिति विशेष है, और इसलिए सामान्यतः अलग तरह से उपचारित किया जाता है।

रेखीय बीजगणित

रेखीय बीजगणित ( सदिश स्थल के प्रक्षेपण के रूप में) के संदर्भ में परिभाषित प्रक्षेपण स्थान के लिए, कॉलिनेशन प्रक्षेपण स्थान के बीच नक्शा है जो उप-स्थानों के समावेशन (समूह सिद्धांत) के संबंध में क्रम -संरक्षित है।

औपचारिक रूप से, V को क्षेत्र (गणित) K पर वेक्टर स्थान होने दें और क्षेत्र L पर वेक्टर स्थान होने दें। प्रक्षेपण स्थान PG(V) और PG(W) पर विचार करें, जिसमें V और W की वेक्टर रेखा सम्मिलित हैं।

D(V) और D(W) को क्रमशः V और W की उपसमष्टियों का समुच्चय कहिए। PG(V) से PG(W) तक समरेखण मानचित्र α : D(V) → D(W) है, जैसे कि:

α आक्षेप है।
A ⊆ B ⇔ α(A) ⊆ α(B) for all A, B in D(V).के लिए।^[2]

स्वयंसिद्ध रूप से

एक घटना संरचना के संदर्भ में प्रक्षेपण स्थान के लिए प्रक्षेपण स्थान सम्मिलित एक्सिओम्स को देखते हुए (बिंदु पी, रेखा एल, और घटना संबंध निर्दिष्ट करता है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर झूठ बोलते हैं, कुछ सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं), इस प्रकार परिभाषित प्रक्षेपण रिक्त स्थान के बीच संयोजन तब बिंदुओं के समुच्चय के बीच विशेषण फलन f और रेखाओं के समुच्चय के बीच विशेषण फलन g होना, घटना संबंध को बनाए रखना।^[3]

तीन से अधिक या उसके समान आयाम का प्रत्येक प्रक्षेप्य स्थान विभाजन वलय पर रेखीय स्थान के प्रक्षेपण के लिए समरूप है, इसलिए इन आयामों में यह परिभाषा उपरोक्त रैखिक-बीजगणितीय की तुलना में अधिक सामान्य नहीं है, किंतु आयाम दो में अन्य हैं परियोजनाकरण प्लेन्स, अर्थात् गैर-डेसार्गेसियन स्थान, और यह परिभाषा किसी को ऐसे प्रक्षेपण प्लेन्स में कॉललाइनेशन को परिभाषित करने की अनुमति देती है।

आयाम के लिए, प्रक्षेपण रेखा पर लाइंग वाले बिंदुओं का समूह प्रक्षेपण स्थान को परिभाषित करता है, और कॉलिनेशन की परिणामी धारणा समूह का कोई भी आक्षेप है।

प्रक्षेपी रेखा की संरेखन

आयाम के प्रक्षेपण स्थान के लिए (एक प्रक्षेपण रेखा ; डायमेंशन (वेक्टर स्पेस) दो के वेक्टर स्थान का प्रक्षेपण ), सभी बिंदु समरेख हैं, इसलिए कॉलिनेशन समूह प्रक्षेपण रेखा के बिंदुओं का सममित समूह है। यह उच्च आयामों में उपचारित से अलग है, और इस प्रकार अधिक प्रतिबंधात्मक परिभाषा देता है, निर्दिष्ट किया जाता है जिससे प्रक्षेपी ज्यामिति का सम्मिलित मौलिक प्रमेय धारण करता है।

इस परिभाषा में, जब V का आयाम दो होता है, तो PG(V) से PG(W) तक संरेखन मानचित्र α : D(V) → D(W), होता है जैसे कि:

V का_वेक्टर_स्पेस सम्मिलित ट्रिवियल_या_शून्य_वेक्टर_स्थान के उदाहरण W के शून्य उप-स्थान पर मैप किए गए हैं।
V को W में मैप किया गया है।
V से W तक गैर-एकवचन सेमीलाइनर नक्शा β है, जैसे कि, V में सभी v के लिए, $\alpha (\langle v\rangle )=\langle \beta (v)\rangle$

यह अंतिम आवश्यकता सुनिश्चित करती है कि समरेखण सभी अर्धरेखीय मानचित्र हैं।

प्रकार

कोलीनेशन के मुख्य उदाहरण हैं प्रक्षेपण रैखिक परिवर्तन(होमोग्राफी के रूप में भी जाना जाता है) और सम्मिलित ऑटोमॉर्फिक कॉलिनेशन। रेखीय स्थान से आने वाले प्रक्षेपण स्थान के लिए, प्रक्षेपण ज्योमेट्री का सम्मिलित फंडामेंटल प्रमेय कहता है कि सभी कॉलिनेशन इनका संयोजन हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

प्रक्षेपी रैखिक परिवर्तन

प्रक्षेपण रैखिक परिवर्तन (होमोग्राफ़ीज़) कोलाइनेशन हैं (वेक्टर स्थान में प्लेन संबंधित प्रक्षेपण स्थान में रेखाओ के अनुरूप हैं, और रैखिक परिवर्तन मैप समतल से समतल, इसलिए प्रक्षेपण रैखिक परिवर्तन मैप रेखा से रेखा ), किंतु सामान्यतः सभी कॉलिनेशन प्रक्षेपी रैखिक समूह होते हैं परिवर्तन प्रक्षेपी रेखीय परिवर्तनों का समूह (प्रक्षेपी रेखीय समूह) सामान्य रूप से संरेखन समूह का उचित उपसमूह है।

ऑटोमोर्फिक कॉलिनेशन

एक ऑटोमॉर्फिक संरेखण नक्शा है, जो निर्देशांक में, निर्देशांक पर प्रयुक्त क्षेत्र ऑटोमोर्फिज्म है।

प्रक्षेपी ज्यामिति का मौलिक प्रमेय

यदि पप्पस के षट्भुज प्रमेय प्रक्षेपी स्थान का ज्यामितीय आयाम कम से कम 2 है, तो प्रत्येक संरेखण होमोग्राफी (एक प्रक्षेपी रैखिक परिवर्तन) और ऑटोमोर्फिक संरेखन का उत्पाद है। अधिक स्पष्ट रूप से, कॉलिनेशन समूह प्रक्षेपी अर्धरेखीय समूह है, जो कि ऑटोमोर्फिक कॉलिनेशन द्वारा होमोग्राफी का अर्ध प्रत्यक्ष उत्पाद है।

विशेष रूप से, की कोलिनेशन PG(2, R) ठीक समरूपताएं हैं, क्योंकि R में कोई गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म नहीं है (अर्थात, Gal(R/Q) तुच्छ है)।

मान लीजिए φ V से W तक का गैर-एकवचन सेमीलीनियर मैप है, जिसमें V का आयाम कम से कम तीन है। परिभाषित करना α : D(V) → D(W) ऐसा कहकर Z^α = {φ(z) : z ∈ Z} D(V) में सभी Z के लिए। चूंकि φ सेमीलीनियर है, कोई भी आसानी से जांच कर सकता है कि यह नक्शा ठीक से परिभाषित है, और इसके अतिरिक्त , φ एकवचन नहीं है, यह विशेषण है। अब यह स्पष्ट है कि α संरेखण है। हम कहते हैं कि α φ से प्रेरित है।

प्रक्षेपी ज्यामिति का मौलिक प्रमेय विपरीत बताता है:

मान लीजिए कि कम से कम तीन आयामों के साथ क्षेत्र K पर सदिश स्थान है, W क्षेत्र L पर सदिश स्थान है, और α PG(V) से PG(W) तक समरेखण है। इसका अर्थ है कि K और L आइसोमॉर्फिक क्षेत्र हैं, V और W का ही आयाम है, और सेमीलीनियर मैप φ ऐसा है कि φ α को प्रेरित करता है।

n ≥ 3 के लिए संरेखन समूह प्रक्षेपी अर्धरैखिक समूह है, PΓL - यह PGL है, क्षेत्र ऑटोमोर्फिज़्म द्वारा मुड़ा हुआ है; औपचारिक रूप से, अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद PΓL ≅ PGL ⋊ Gal(K/k), जहाँ k, K के लिए प्रमुख क्षेत्र है।

रैखिक संरचना

इस प्रकार K के लिए प्रमुख क्षेत्र ( $\mathbb {F} _{p}$ या $\mathbb {Q}$ ), अपने पास PGL = PΓL, किंतु K के लिए प्रमुख क्षेत्र नहीं है (जैसे $\mathbb {C}$ या $\mathbb {F} _{p^{n}}$ के लिए n ≥ 2), प्रक्षेपण लीनियर समूह सामान्य रूप से कॉलिनेशन समूह का उचित उपसमूह है, जिसे प्रक्षेपण अर्द्ध रेखीय संरचना को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों के रूप में माना जा सकता है। तदनुसार, भागफल समूह PΓL / PGL ≅ Gal(K/k) रैखिक संरचना के विकल्पों से मेल खाता है, जिसमें पहचान (आधार बिंदु) वर्तमान रैखिक संरचना है। रेखीय अंतरिक्ष के प्रक्षेपण के रूप में पहचान के बिना प्रक्षेप्य स्थान को देखते हुए, समतलीकरण समूह और PΓL के बीच कोई प्राकृतिक समरूपता नहीं है, और रैखिक संरचना का विकल्प (एक रेखीय अंतरिक्ष के प्रक्षेपण के रूप में प्राप्ति) उपसमूह की पसंद से मेल खाती है PGL < PΓL, ये विकल्प Gal(K/k) पर टॉर्सर बनाते हैं।

इतिहास

एक रेखा (ज्यामिति) का विचार संपार्श्विकता (एकल रेखा पर स्थित बिंदु) द्वारा निर्धारित त्रिगुणात्मक संबंध के लिए अमूर्त था। विल्हेम ब्लाश्के के अनुसार^[4] यह अगस्त मोबियस था जिसने सबसे पहले ज्यामितीय परिवर्तन के इस सार को समझा:

अब हमारे ज्यामितीय परिवर्तनों का क्या अर्थ है? मोबियस ने अपने बैरीसेंट्रिक कैलकुलस (1827) में पहले ही इस प्रश्न को दिया और इस प्रश्न का उत्तर दिया। वहां उन्होंने परिवर्तनों के बारे में नहीं किंतु क्रमचय के बारे में बात की [वेरवांडट्सचैफ्टन], जब उन्होंने कहा कि डोमेन से खींचे गए दो तत्वों को अनुमति दी गई थी, जब वे इच्छानुसार समीकरण द्वारा परस्पर जुड़े हुए थे। हमारे विशेष स्थिति में, सजातीय बिंदु निर्देशांक के बीच रैखिक समीकरण, मोबियस ने विशेष रूप से संयोजन में दोनों बिंदु रिक्त स्थान के क्रमचय [वर्वांडट्सचाफ्ट] कहा। यह संकेत बाद में माइकल चेसल्स द्वारा होमोग्राफी में बदल दिया जाएगा। मोबियस की अभिव्यक्ति तुरंत समझ में आती है जब हम ही रेखा पर लाइंग वाले बिंदुओं को संरेखित करने में मोबियस का अनुसरण करते हैं। मोबियस के पदनाम को यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है कि समरेख बिंदुओं को संरेख बिंदुओं के क्रमपरिवर्तन द्वारा मैप किया जाता है, या सादे भाषण में, सीधी रेखाएँ सीधी रहती हैं।

समकालीन गणितज्ञ ज्यामिति को घटना संरचना के रूप में देखते हैं जिसमें ऑटोमोर्फिज़्म समूह होता है जिसमें अंतर्निहित स्थान के मानचित्रण होते हैं जो घटना (ज्यामिति) को संरक्षित करते हैं। इस तरह की मैपिंग घटना संरचना की रेखाओं की अनुमति देती है, और संरेखन की धारणा बनी रहती है।

जैसा कि ब्लास्चके और क्लेन द्वारा उल्लेख किया गया है, मिशेल चासल्स ने समरूपता के लिए होमोग्राफी शब्द को प्राथमिकता दी। वास्तविक प्रक्षेपी तल और जटिल प्रक्षेपी रेखा के बीच भेद को स्पष्ट किए जाने पर शब्दों के बीच अंतर उत्पन्न हुआ। चूँकि वास्तविक संख्या क्षेत्र का कोई गैर-तुच्छ क्षेत्र ऑटोमोर्फिज्म समूह है, इसलिए वास्तविक प्रक्षेपी तल में सभी सम्मिलन समरूपताएँ हैं,^[5] चूँकि , जटिल संयुग्मन के क्षेत्र ऑटोमोर्फिज़्म के कारण, जटिल प्रक्षेपी रेखा के सभी समतलीकरण समरूप नहीं हैं। कंप्यूटर दृष्टि जैसे अनुप्रयोगों में जहां अंतर्निहित क्षेत्र वास्तविक संख्या क्षेत्र है, होमोग्राफी और कॉलिनेशन का परस्पर उपयोग किया जा सकता है।

एंटी-होमोग्राफी

जटिल स्थान में जटिल संयुग्म लेने का संचालन वास्तविक रेखा में प्रतिबिंब (गणित) के समान होता है। टिप्पणी z^∗ के साथ z के संयुग्म के लिए, 'एंटी-होमोग्राफी' द्वारा दिया जाता है

f(z)={\frac {az^{*}+b}{cz^{*}+d}}.

इस प्रकार एंटी-होमोग्राफ़ी होमोग्राफी के साथ संयुग्मन की कार्य संरचना है, और इसलिए समानता का उदाहरण है जो होमोग्राफी नहीं है। उदाहरण के लिए, ज्यामितीय रूप से, मानचित्रण $f(z)=1/z^{*}$ व्युत्क्रम ज्योमेट्रीसम्मिलित वृत्त व्युत्क्रम के समान है।^[6] स्थान के व्युत्क्रम ज्यामिति के परिवर्तनों को प्रायः जटिल स्थान के सभी होमोग्राफी और एंटी-होमोग्राफी के संग्रह के रूप में वर्णित किया जाता है।^[7]

↑ For instance, Beutelspacher & Rosenbaum 1998, p.21, Casse 2006, p. 56 and Yale 2004, p. 226
↑ Geometers still commonly use an exponential type notation for functions and this condition will often appear as A ⊆ B ⇔ A^α ⊆ B^α for all A, B in D(V).
↑ "Preserving the incidence relation" means that if point $p$ is on line $l$ then $f (p)$ is in $g (l)$ ; formally, if $(p, l) \in I$ then $(f (p), g (l)) \in I'$ .
↑ Felix Klein (1926, 1949) Vorlesungen über Höhere Geometrie, edited by Blaschke, Seite 138
↑ Casse 2006, p. 64, Corollary 4.29
↑ Morley & Morley 1933, p. 38
↑ Blair 2000, p. 43; Schwerdtfeger 2012, p. 42.

संदर्भ

Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry / From Foundations to Applications, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48364-6
Blair, David E. (2000), Inversion Theory and Conformal Mapping, Student mathematical library, vol. 9, American Mathematical Society, ISBN 9780821826362
Blaschke, Wilhelm (1948), Projective Geometrie, Wolfenbütteler Verlagsanstalt
Casse, Rey (2006), Projective Geometry / An Introduction, Oxford University Press, ISBN 9780199298860
Morley, Frank; Morley, F.V. (1933), Inversive Geometry, London: G. Bell and Sons
Schwerdtfeger, Hans (2012), Geometry of Complex Numbers, Courier Dover Publications, ISBN 9780486135861
Yale, Paul B. (2004) [first published 1968], Geometry and Symmetry, Dover, ISBN 0-486-43835-X

बाहरी संबंध

projectivity at PlanetMath.

[1] For instance, Beutelspacher & Rosenbaum 1998, p.21, Casse 2006, p. 56 and Yale 2004, p. 226

[2] Geometers still commonly use an exponential type notation for functions and this condition will often appear as A ⊆ B ⇔ A^α ⊆ B^α for all A, B in D(V).

[3] "Preserving the incidence relation" means that if point $p$ is on line $l$ then $f (p)$ is in $g (l)$ ; formally, if $(p, l) \in I$ then $(f (p), g (l)) \in I'$ .

[4] Felix Klein (1926, 1949) Vorlesungen über Höhere Geometrie, edited by Blaschke, Seite 138

[5] Casse 2006, p. 64, Corollary 4.29

[:0-6] Morley & Morley 1933, p. 38

[7] Blair 2000, p. 43; Schwerdtfeger 2012, p. 42.

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