सम्मिश्र संयुग्मी

ज्यामितीय प्रतिनिधित्व (आर्गन आरेख) $z$ और इसके संयुग्मी ${\overline {z}}$ सम्मिश्र विमान में।सम्मिश्र संयुग्मी प्रतिबिंब समरूपता द्वारा पाया जाता है $z$ वास्तविक अक्ष के पार।

गणित में, सम्मिश्र संख्या का सम्मिश्र संयुग्मी समान वास्तविक संख्या भाग के साथ संख्या है और परिमाण में काल्पनिक संख्या भाग है, किन्तु संकेत (गणित) में विपरीत है। वह है, (यदि $a$ और $b$ वास्तविक हैं, फिर) के सम्मिश्र संयुग्मी $a+bi$ के सामान्तर है $a-bi.$ का सम्मिश्र संयुग्मी $z$ अधिकांशतः के रूप में निरूपित किया जाता है ${\overline {z}}$ या $z^{*}$।

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली सम्मिश्र संख्याओं में, का संयुग्मी $re^{i\varphi }$ है $re^{-i\varphi }.$ यह यूलर के सूत्र का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

सम्मिश्र संख्या और इसके संयुग्मी का उत्पाद वास्तविक संख्या है: $a^{2}+b^{2}$& एनबीएसपी; (या & एनबीएसपी; $r^{2}$ ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में)।

यदि वास्तविक गुणांक के साथ अविभाजित बहुपद की जड़ सम्मिश्र है, तबी इसका सम्मिश्र संयुग्मी जड़ प्रमेय है।

संकेतन

सम्मिश्र संख्या का सम्मिश्र संयुग्मी $z$ के रूप में लिखा है ${\overline {z}}$ या $z^{*}.$ पहला संकेतन, विनकुलम (प्रतीक), मैट्रिक्स (गणित) के संयुग्मीन ट्रांसपोज़ के लिए संकेतन के साथ भ्रम से बचता है, जिसे सम्मिश्र संयुग्मी के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है।दूसरे को भौतिकी में पसंद किया जाता है, जहां डैगर (मार्क) (†) का उपयोग संयुग्मी ट्रांसपोज़, साथ ही इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और कंप्यूटर इंजीनियरिंग के लिए किया जाता है, जहां बार नोटेशन तार्किक ऋणात्मकता (नहीं) बूलियन बीजगणित प्रतीक के लिए भ्रमित हो सकता है, जबकिशुद्ध गणित में बार संकेतन अधिक सामान्य है।यदि सम्मिश्र संख्या सम्मिश्र संख्या है मैट्रिक्स सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व | के रूप में प्रतिनिधित्व किया $2\times 2$ मैट्रिक्स, सूचनाएं समान हैं।

गुण

निम्नलिखित गुण सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए क्रियान्वित होते हैं $z$ और $w,$ जब तक अन्यथा नहीं कहा जाता है, और लेखन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है $z$ और $w$ प्रपत्र में $a+bi.$ किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए, संयुग्मीन अतिरिक्त, घटाव, गुणन और विभाजन पर वितरण योग्य संपत्ति है:

$${\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}$$

सम्मिश्र संख्या इसके सम्मिश्र संयुग्मी के सामान्तर है यदि इसका काल्पनिक भाग शून्य है, अर्थात्, यदि संख्या वास्तविक है।दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्या संयुग्मीन का एकमात्र निश्चित बिंदु (गणित) है।

संयुग्मीन सम्मिश्र संख्या के मापांक को नहीं बदलता है: $\left|{\overline {z}}\right|=|z|.$

संयुग्मीन इनव्यूशन (गणित) है, अर्थात, सम्मिश्र संख्या के संयुग्मी का संयुग्मी $z$ है $z.$ प्रतीकों में, ${\overline {\overline {z}}}=z.$

इसके संयुग्मी के साथ सम्मिश्र संख्या का उत्पाद संख्या के मापांक के वर्ग के सामान्तर है:

$$z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.$$

यह आयताकार निर्देशांक में दिए गए सम्मिश्र संख्या के गुणक व्युत्क्रम की आसान गणना की अनुमति देता है:

$$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ for all }}z\neq 0.$$

संयुग्मीन पूर्णांक शक्तियों के लिए घातांक के साथ रचना के अनुसार कम्यूटेटिव है, घातीय कार्य के साथ, और गैर -तर्कों के लिए प्राकृतिक लघुगणक के साथ:

$${\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z}$$

$$\exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}$$

$$\ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ if }}z{\text{ is non-zero }}$$

यदि $p$ वास्तविक संख्या गुणांक के साथ बहुपद है और $p(z)=0,$ तब $p\left({\overline {z}}\right)=0$ भी।इस प्रकार, वास्तविक बहुपद की गैर-वास्तविक जड़ें सम्मिश्र संयुग्मी जोड़े में होती हैं (सम्मिश्र संयुग्मी रूट प्रमेय देखें)।

सामान्यतः, अगर $\varphi$ होलोमोर्फिक फलन है जिसका वास्तविक संख्या पर प्रतिबंध वास्तविक-मूल्य है, और $\varphi (z)$ और $\varphi ({\overline {z}})$ परिभाषित किया गया है, फिर

$$\varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!$$

वह मानचित्र $\sigma (z)={\overline {z}}$ से $\mathbb {C}$ को $\mathbb {C}$ होमोमोर्फिज्म है (जहां टोपोलॉजी पर $\mathbb {C}$ यदि कोई विचार करता है, तब मानक टोपोलॉजी के रूप में लिया जाता है) और एंटीरेखाियर $\mathbb {C}$ अपने आप में सम्मिश्र सदिश स्थान के रूप में।यदि यह अच्छी तरह से व्यवहार करने वाला कार्य प्रतीत होता है, यह होलोमोर्फिक फलन नहीं है;यह अभिविन्यास को उलट देता है जबकि होलोमोर्फिक कार्य स्थानीय रूप से अभिविन्यास को संरक्षित करता है।यह अंकगणितीय संचालन के साथ आचार और संगत है, और इसलिए क्षेत्र (गणित) ऑटोमोर्फिज्म है।जैसा कि यह वास्तविक संख्याओं को तय करता है, यह फील्ड एक्सटेंशन के गैलोइस समूह का तत्व है $\mathbb {C} /\mathbb {R} .$ इस गैलोइस समूह के केवल दो तत्व हैं: $\sigma$ और पहचान पर $\mathbb {C} .$ इस प्रकार केवल दो क्षेत्र ऑटोमोर्फिज्म $\mathbb {C}$ जो वास्तविक संख्या में निश्चित संख्या में पहचान मानचित्र और सम्मिश्र संयुग्मीन हैं।

चर के रूप में उपयोग करें

बार सम्मिश्र संख्या $z=x+yi$ या $z=re^{i\theta }$ दिया गया है, इसका संयुग्मी के कुछ हिस्सों को पुन: पेश करने के लिए पर्याप्त है $z$-चर:

• वास्तविक भाग: $x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}$
• काल्पनिक भाग: $y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}$
• निरपेक्ष मान | मापांक (या निरपेक्ष मान): $r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$
• तर्क (सम्मिश्र विश्लेषण): $e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},$ इसलिए $\theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}$

आगे, ${\overline {z}}$ विमान में रेखाओं को निर्दिष्ट करने के लिए उपयोग किया जा सकता है: समूह

$$\left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}$$

मूल और लंबवत के माध्यम से रेखा है ${r},$ के वास्तविक हिस्से के पश्चात् से $z\cdot {\overline {r}}$ शून्य तभी है जब के कोण के कोसाइन $z$ और ${r}$ शून्य है। इसी प्रकार, निश्चित सम्मिश्र इकाई के लिए $u=e^{ib},$ समीकरण

$${\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}$$

के माध्यम से रेखा निर्धारित करता है $z_{0}$ 0 और के माध्यम से रेखा के समानांतर $u.$

के संयुग्मी के इन उपयोगों $z$ चर के रूप में फ्रैंक मॉर्ले की पुस्तक इनवर्सिव ज्यामिति (1933) में चित्रित किया गया है, जो उनके बेटे फ्रैंक वर्ल मॉर्ले के साथ लिखा गया है।

सामान्यीकरण

अन्य प्लानर रियल यूनिटल बीजगणित, दोहरी संख्या और विभाजन-सम्मिश्र संख्याओं का भी सम्मिश्र संयुग्मीन का उपयोग करके विश्लेषण किया जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं के मैट्रिस के लिए, ${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$ कहां ${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ के तत्व-दर-तत्व संयुग्मीन का प्रतिनिधित्व करता है $\mathbf {A} .$ संपत्ति के विपरीत ${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$ कहां ${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$ के संयुग्मीन ट्रांसपोज़ का प्रतिनिधित्व करता है ${\textstyle \mathbf {A} .}$ सम्मिश्र मैट्रिक्स (गणित) का संयुग्मी ट्रांसपोज़ (या आसन्न) लेना सम्मिश्र संयुग्मीन को सामान्य करता है।इससे भी अधिक सामान्य ऑपरेटरों के लिए आसन्न ऑपरेटर की अवधारणा है (संभवतः अनंत-आयामी) सम्मिश्र हिल्बर्ट रिक्त स्थान।यह सब C *-Algebras के *-ऑपरेशन द्वारा प्रस्तुत किया गया है।

भी चतुर्भुज और विभाजन-क्वाटेरन के लिए संयुग्मीन को परिभाषित कर सकता है: का संयुग्मी ${\textstyle a+bi+cj+dk}$ है ${\textstyle a-bi-cj-dk.}$ यह सभी सामान्यीकरण केवल तभी गुणक होते हैं जब कारक उलट होते हैं:

$${\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.$$

चूंकि प्लानर वास्तविक बीजगणित का गुणन कम्यूटेटिव है, इसलिए इस उलट की आवश्यकता नहीं है।

सदिश रिक्त स्थान के लिए संयुग्मीन की अमूर्त धारणा भी है ${\textstyle V}$ सम्मिश्र संख्याओं पर। इस संदर्भ में, किसी भी एंटिलिनियर मानचित्र ${\textstyle \varphi :V\to V}$ वह संतुष्ट है

1. $\varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,$ जहां $\varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi$ और $\operatorname {id} _{V}$ पहचान मानचित्र पर है $V,$
2. $\varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)$ सबके लिए $v\in V,z\in \mathbb {C} ,$ और
3. $\varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,$ सबके लिए $v_{1}v_{2},\in V,$

कहा जाता है समष्टि संयुग्म रेखा, या वास्तविक संरचना।अन्वेषण के रूप में $\varphi$ एंटीलिनियर है, यह पहचान का मानचित्र नहीं हो सकता है $V.$ बेशक, ${\textstyle \varphi }$ है ${\textstyle \mathbb {R} }$ के -इनर ट्रांसफॉर्मेशन ${\textstyle V,}$ यदि कोई नोट करता है कि हर सम्मिश्र स्थान $V$ मूल स्थान में ही सदिश (गणित और भौतिकी) को लेने और अदिश को वास्तविक होने तक सीमित करने के लिए वास्तविक रूप प्राप्त किया गया है।उपरोक्त गुण वास्तव में सम्मिश्र सदिश अंतरिक्ष पर वास्तविक संरचना को परिभाषित करते हैं $V.$ इस धारणा का उदाहरण ऊपर परिभाषित सम्मिश्र आव्युह का संयुग्मी ट्रांसपोज़ ऑपरेशन है।चूंकि, सामान्य सम्मिश्र सदिश रिक्त स्थान पर, कोई नहीं है विहित सम्मिश्र संयुग्मीन की धारणा।

यह भी देखें

• पूर्ण वर्ग
• समष्टि संयुग्म रेखा
• समष्टि संयुग्म प्रतिनिधित्व
• समष्टि संयुग्मी सदिश समष्टि
• रचना बीजगणित – Type of algebras, possibly non associative
• संयुग्म (वर्गमूल) – Change of the sign of a square root
• हर्मिटियन फ़ंक्शन
• विर्टिंगर डेरिवेटिव – Concept in complex analysis

ग्रन्थसूची

• Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (antilinear maps are discussed in section 3.3).