सूचकांक दीर्घवृत्त

क्रिस्टल प्रकाशिकी में, सूचकांक दीर्घवृत्त ('ऑप्टिकल सूचक के रूप में भी जाना जाता है) या कभी-कभी परावैद्युत दीर्घवृत्ताभ के रूप में) ऐसा ज्यामितीय निर्माण है जो संक्षिप्त रूप से प्रकाश के अपवर्तक सूचकांक या अपवर्तक सूचकांकों और संबद्ध ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि वेव फ्रंट के अभिविन्यास के कार्यों के रूप में, बायर फ्रिंजेंस या द्वि-अपवर्तक क्रिस्टल में होता है (इसके लिए क्रिस्टल ऑप्टिकल घूर्णन प्रदर्शित न करता हो)। जब इस दीर्घवृत्त को तरंग के समानांतर समतल द्वारा इसके केंद्र से काटा जाता है, तो परिणामी प्रतिच्छेदन (जिसे केंद्रीय खंड या व्यासीय खंड कहा जाता है) से दीर्घवृत्त प्राप्त होता है, जिसके प्रमुख और लघु अर्द्धअक्षों की लंबाई तरंगाग्र के उस अभिविन्यास के लिए दो अपवर्तक सूचकांकों के बराबर होती है, और विद्युत विस्थापन क्षेत्र D वेक्टर द्वारा व्यक्त किए गए संबंधित ध्रुवीकरणों की दिशाएं हैं। सूचकांक दीर्घवृत्ताभ के प्रमुख अर्ध-अक्षों को प्रमुख अपवर्तक सूचकांक कहा जाता है।

सेक्शनिंग प्रक्रिया से यह अनुसरण करता है कि दीर्घवृत्त का प्रत्येक प्रमुख अर्ध-अक्ष सामान्यतः उस अर्ध-अक्ष की दिशा में प्रसार के लिए अपवर्तक सूचकांक नहीं होता है, बल्कि उस दिशा के स्पर्शरेखा तरंगों के लिए अपवर्तक सूचकांक के साथ होता है। D वेक्टर उस दिशा के समानांतर, उस दिशा के लम्बवत् प्रचार करता है। इस प्रकार प्रसार की दिशा (वेवफ्रंट के लिए सामान्य) जिस पर प्रत्येक प्रमुख अपवर्तक सूचकांक लागू होता है, वह संबद्ध प्रमुख सेमीएक्सिस के लंबवत विमान में होता है।

शब्दावली

सूचकांक दीर्घवृत्त को सूचकांक सतह के साथ भ्रमित नहीं होना है, जिसका त्रिज्या वेक्टर (मूल से) किसी भी दिशा में वास्तव में उस दिशा में प्रसार के लिए अपवर्तक सूचकांक है; इस प्रकार द्विअर्थी माध्यम के लिए, सूचकांक सतह दो-चादर वाली सतह होती है, जिसकी किसी भी दिशा में दो त्रिज्या वैक्टर की लंबाई उस दिशा के सामान्य विमान द्वारा सूचकांक दीर्घवृत्त के व्यास खंड के प्रमुख और लघु अर्धवृत्त के बराबर होती है।

यदि इसे हम जाने दें $n_{a},n_{b},n_{c}$ सूचकांक दीर्घवृत्ताभ के प्रमुख अर्ध-अक्षों को निरूपित करें, और कार्तीय समन्वय प्रणाली चुनें जिसमें ये अर्ध-अक्ष क्रमशः $x$, $y$, और $z$ दिशाओं के लिए हैं, सूचकांक दीर्घवृत्ताभ का समीकरण है

${\frac {x^{2}}{n_{a}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n_{b}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{n_{c}^{2}}}=1\,.$

(1)

यदि सूचकांक दीर्घवृत्त त्रिअक्षीय है (जिसका अर्थ है कि इसके प्रमुख अर्ध-अक्ष सभी असमान हैं), तो दो काटने वाले विमान हैं जिनके लिए व्यास खंड चक्र में कम हो जाता है। इन विमानों के समानांतर वेवफ्रंट के लिए, सभी ध्रुवीकरण की अनुमति है और समान अपवर्तक सूचकांक है, इसलिए समान तरंग गति है। इन दो तलों के लिए सामान्य दिशाएँ—अर्थात्, सभी ध्रुवीकरणों के लिए एकल तरंग गति की दिशाएँ—द्विसामान्य अक्ष कहलाती हैं या ऑप्टिक कुल्हाड़ियों, और इसलिए माध्यम को द्विअक्षीय कहा जाता है। इस प्रकार, विरोधाभासी रूप से, यदि किसी माध्यम का सूचकांक दीर्घवृत्त त्रिअक्षीय है, तो माध्यम को ही द्विअक्षीय कहा जाता है।

यदि सूचकांक दीर्घवृत्ताभ के दो प्रमुख अर्ध-अक्ष समान हैं (जिस स्थिति में उनकी सामान्य लंबाई को साधारण सूचकांक कहा जाता है, और तीसरी लंबाई को असाधारण सूचकांक कहा जाता है), तो दीर्घवृत्त गोलाकार (क्रांति के दीर्घवृत्त) में कम हो जाता है, और दो ऑप्टिक अक्ष आपस में विलीन हो जाते हैं, जिससे कि माध्यम को एकअक्षीय कहा जाता है। जैसा कि सूचकांक दीर्घवृत्त गोलाकार में कम हो जाता है, उससे निर्मित दो-पत्रक सूचकांक सतह गोले में कम हो जाती है और गोलाभ उनके सामान्य अक्ष के विपरीत छोरों को छूता है, जो कि सूचकांक दीर्घवृत्त के समानांतर होता है; लेकिन गोलाकार सूचकांक दीर्घवृत्ताभ के प्रमुख अक्ष और सूचकांक सतह की गोलाकार शीट आपस में जुड़े हुए हैं। केल्साइट के प्रसिद्ध स्थिति में, उदाहरण के लिए, सूचकांक दीर्घवृत्त चपटी गोलाकार आकृति है, जिससे कि सूचकांक सतह की शीट को भूमध्य रेखा पर उस चपटी गोलाकार को छूने वाला गोला हो, जबकि सूचकांक सतह की दूसरी शीट लम्बी है गोलाकार गोलाकार गोलाकार गोलाकार गोलाकार सूचकांक दीर्घवृत्त के ध्रुवीय त्रिज्या के बराबर भूमध्यरेखीय त्रिज्या (असाधारण सूचकांक) के साथ ध्रुवों पर गोले को छूता है।

यदि सूचकांक दीर्घवृत्त के सभी तीन प्रमुख अर्ध-अक्ष समान हैं, तो यह गोले में कम हो जाता है: सूचकांक दीर्घवृत्त के सभी व्यास खंड गोलाकार होते हैं, जहां से प्रसार के सभी दिशाओं के लिए सभी ध्रुवीकरणों की अनुमति होती है, सभी दिशाओं के लिए समान अपवर्तक सूचकांक के साथ, और सूचकांक सतह (गोलाकार) सूचकांक दीर्घवृत्त के साथ विलीन हो जाती है, संक्षेप में, माध्यम वैकल्पिक रूप से आइसोट्रॉपी है। घन क्रिस्टल इस गुण को प्रदर्शित करते हैं साथ ही अनाकार पारदर्शी मीडिया जैसे कांच और पानी।

इतिहास

सूचकांक दीर्घवृत्त के अनुरूप सतह को अपवर्तक सूचकांक के अतिरिक्त तरंग गति (वेवफ्रंट के लिए सामान्य) के लिए परिभाषित किया जा सकता है। n सूचकांक दीर्घवृत्ताभ पर सामान्य बिंदु के मूल से त्रिज्या वेक्टर की लंबाई निरूपित करता है। फिर विभाजित समीकरण (1) द्वारा n² निम्नवत मान देता है

${\frac {\cos ^{2}\xi }{n_{a}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\eta }{n_{b}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\zeta }{n_{c}^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}\,,$

(2)

जहां $\cos \xi$, $\cos \eta$, और $\cos \zeta$ त्रिज्या सदिश की दिशा कोसाइन हैं। लेकिन n व्यासीय खंड के समानांतर तरंगाग्र का अपवर्तनांक भी है, जिसकी त्रिज्या सदिश प्रमुख या लघु अर्ध-अक्ष है। यदि उस तरंगाग्र $v$ में गति हो, तब अपने पास $n=c_{0}/v$, कहां $c_{0}$ निर्वात में प्रकाश की गति है। सूचकांक दीर्घवृत्ताभ के प्रमुख अर्ध-अक्षों के लिए, जिसके लिए n मान लेता है $n_{a},n_{b},n_{c},$ होने देना $v$ मान लें a,b,c, क्रमशः, जिससे कि $n_{a}=c_{0}/a,$ $n_{b}=c_{0}/b,$ और $n_{c}=c_{0}/c$. इन प्रतिस्थापनों को बनाना (2) और सामान्य कारक $c_{0}^{2}$ को रद्द कर दिया जाता हैं, इस प्रकार हमें निम्नवत समीकरण प्राप्त होता है

$v^{2}=a^{2}\cos ^{2}\xi +b^{2}\cos ^{2}\eta +c^{2}\cos ^{2}\zeta \,.$

(3)

यह समीकरण ऑगस्टिन-जीन फ्रेस्नेल द्वारा जनवरी 1822 में प्राप्त किया गया था। यदि $v$ त्रिज्या सदिश की लंबाई है, समीकरण उस गुण के साथ सतह का वर्णन करता है जो किसी भी व्यास खंड के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्षों की लंबाई उस खंड के समानांतर वेवफ्रंट्स की तरंग-सामान्य गति के बराबर होती है, और जिसे फ्रेस्नेल कहा जाता है उसकी दिशा कंपन (जिसे अब हम D दोलनों के रूप में पहचानते हैं )।

जबकि द्वारा वर्णित सतह (1) इंडेक्स स्पेस में है (जिसमें निर्देशांक आयामहीन संख्याएं हैं), द्वारा वर्णित सतह (3) वेग स्थान में है (जिसमें निर्देशांक में वेग की इकाइयाँ हैं)। जबकि पूर्व सतह दूसरी डिग्री की है, बाद वाली चौथी डिग्री की है, जैसा कि पुनर्परिभाषित करके सत्यापित किया जा सकता है, $x,y,z$ वेग और डालने के घटकों के रूप में $\cos \xi =x/v$, आदि, इस प्रकार बाद की सतह (3) सामान्यतः दीर्घवृत्त नहीं है, लेकिन अन्य प्रकार का अंडाकार है। और जैसा कि सूचकांक दीर्घवृत्ताभ सूचकांक सतह उत्पन्न करता है, इसलिए सतह (3), उसी प्रक्रिया से, जिसे हम सामान्य-वेग सतह कहते हैं, उत्पन्न करता है। इसलिए सतह (3) यथोचित रूप से सामान्य-वेग अंडाकार कहा जा सकता है। चूंकि, फ्रेस्नेल ने इसे प्रत्यास्थता की सतह कहा, क्योंकि उन्होंने यह मानकर इसे प्राप्त किया कि प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ प्रत्यास्थ तरंगें थीं, कि माध्यम की तीन लंबवत दिशाएँ थीं जिसमें अणुओं के विस्थापन ने ठीक विपरीत दिशा में प्रत्यानयन बल उत्पन्न किया, और कि विस्थापनों के सदिश योग के कारण प्रत्यानयन बल पृथक विस्थापनों के कारण प्रत्यानयन बलों का सदिश योग होता है।

फ्रेस्नेल ने जल्द ही महसूस किया कि लोच की सतह के रूप में ही प्रमुख अर्ध-अक्ष पर निर्मित दीर्घवृत्त का किरण वेगों से वही संबंध है जो लोच की सतह का तरंग-सामान्य वेगों से होता है। फ्रेस्नेल के दीर्घवृत्त को अब किरण दीर्घवृत्ताभ कहा जाता है। इस प्रकार, आधुनिक शब्दों में, किरण दीर्घवृत्त किरण वेग उत्पन्न करता है क्योंकि सूचकांक दीर्घवृत्ताभ अपवर्तक सूचकांक उत्पन्न करता है। किरण दीर्घवृत्ताभ के व्यासीय खंड के प्रमुख और लघु अक्ष विद्युत क्षेत्र E वेक्टर की अनुमत दिशाओं में हैं।

इंडेक्स सतह शब्द 1837 में जेम्स मैककुलघ द्वारा गढ़ा गया था। पिछले पेपर में, 1833 में पढ़ा गया, मैककुलघ ने इस सतह को अपवर्तन की सतह कहा था और दिखाया था कि यह दीर्घवृत्त के व्यास खंड के प्रमुख और आसान अर्ध-अक्षों द्वारा उत्पन्न होता है, जिसमें फ़्रेस्नेल के दीर्घवृत्त के व्युत्क्रमानुपाती प्रमुख अर्ध-अक्ष होते हैं। और इसे मैककुलघ ने बाद में सूचकांकों का दीर्घवृत्त कहा। 1891 में, लाजर फ्लेचर ने इस दीर्घवृत्त को ऑप्टिकल संकेतक कहा जाता हैं।

विद्युत चुम्बकीय व्याख्या

सूचकांक दीर्घवृत्त प्राप्त करना और विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत से इसकी उत्पन्न संपत्ति गैर-तुच्छ है। चूंकि, सूचकांक दीर्घवृत्त को देखते हुए, हम इसके मापदंडों को माध्यम के विद्युत चुम्बकीय गुणों से सरलता से जोड़ सकते हैं।

निर्वात में प्रकाश की गति होती है

$$c_{0}=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}\,,$$

जहां $\mu _{0}$ और $\epsilon _{0}$ क्रमशः चुंबकीय पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) और निर्वात की विद्युत पारगम्यता हैं। पारदर्शी सामग्री माध्यम के लिए, हम अभी भी यथोचित मान सकते हैं कि चुंबकीय पारगम्यता है $\mu _{0}$ (विशेष रूप से ऑप्टिकल आवृत्तियों पर), लेकिन $\epsilon _{0}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $\epsilon _{r}\epsilon _{0}\;\!,$ जहां $\epsilon _{r}$ सापेक्ष पारगम्यता है (जिसे परावैद्युत स्थिरांक भी कहा जाता है), जिससे कि तरंग की गति बन जाती हैं।

$$v=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{r}\epsilon _{0}}}\,.$$

डिवाइडिंग $c_{0}$ द्वारा $v$, हम अपवर्तक सूचकांक प्राप्त करते हैं:

$$n={\sqrt {\epsilon _{r}}}\,.$$

यह व्युत्पत्ति व्यवहार करती है $\epsilon _{r}$ अदिश के रूप में, जो आइसोट्रोपिक माध्यम में मान्य है। असमदिग्वर्ती होने की दशा माध्यम में, परिणाम केवल प्रसार दिशा और ध्रुवीकरण के उन संयोजनों के लिए होता है जो अनिसोट्रॉपी से बचते हैं- अर्थात, उन स्थितियों के लिए जिनमें विद्युत विस्थापन वेक्टर D विद्युत क्षेत्र वेक्टर E के आइसोट्रोपिक माध्यम के रूप में समानांतर है। सूचकांक दीर्घवृत्ताभ की समरूपता को ध्यान में रखते हुए, ये ऐसे स्थिति होने चाहिए जिनमें D अक्ष की दिशा में है। तो इसके सापेक्ष अनुमतियों को दर्शाते हुए $x$, $y$, और $z$ द्वारा निर्देश $\epsilon _{x}\;\!,\epsilon _{y},\epsilon _{z}$ (तथाकथित प्रमुख ढांकता हुआ स्थिरांक), और उसे $n_{a},n_{b},n_{c}$ द्वारा याद करते हुए इन दिशाओं के लिए अपवर्तक सूचकांकों को निरूपित करें D, हमारे पास यह होना चाहिए

$$n_{a}={\sqrt {\epsilon _{x}}}~;~~n_{b}={\sqrt {\epsilon _{y}}}~;~~n_{c}={\sqrt {\epsilon _{z}}}~,$$

यह दर्शाता है कि सूचकांक दीर्घवृत्ताभ के अर्धअक्ष मुख्य परावैद्युत स्थिरांकों के वर्गमूल हैं। इन्हें प्रतिस्थापित करके समीकरण (1) को हम वैकल्पिक रूप में सूचकांक दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त करते हैं

$${\frac {x^{2}}{\epsilon _{x}}}+{\frac {y^{2}}{\epsilon _{y}}}+{\frac {z^{2}}{\epsilon _{z}}}=1\,,$$

जो दर्शाता है कि क्यों इसे परावैद्युत दीर्घवृत्त भी कहा जाता है।

यह भी देखें

• बायरफ्रिंजेंस
• जटिल अपवर्तक सूचकांक
• क्रिस्टल प्रकाशिकी
• डी-दिवस
• अस्पष्टता का गणितीय विवरण।

ग्रन्थसूची

• M. Born and E. Wolf, 2002, Principles of Optics, 7th Ed., Cambridge University Press, 1999 (reprinted with corrections, 2002), ISBN 978-0-521-64222-4.
• A. Fresnel (ed.  H. de Senarmont, E. Verdet, and L. Fresnel), 1868, Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel, Paris: Imprimerie Impériale (3 vols., 1866–70), vol. 2 (1868).
• F.A. Jenkins and H.E. White, 1976, Fundamentals of Optics, 4th Ed., New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5.
• L.D. Landau and E.M. Lifshitz (tr.  J.B. Sykes & J.S. Bell), 1960, Electrodynamics of Continuous Media (vol. 8 of Course of Theoretical Physics), London: Pergamon Press.
• A. Yariv and P. Yeh, 1984, Optical Waves in Crystals: Propagation and control of laser radiation, New York: Wiley, ISBN 0-471-09142-1.
• F. Zernike and J.E. Midwinter, 1973, Applied Nonlinear Optics, New York: Wiley (reprinted Mineola, NY: Dover, 2006).