स्टेनर इनलिप्से

द स्टीनर इनलिप्से। मार्डेन के प्रमेय के अनुसार, शीर्षों वाला त्रिभुज दिया गया है (1, 7), (7, 5), (3, 1), अण्डाकार का फोकस (ज्यामिति) हैं (3, 5) और (13/3, 11/3), तब से ${\begin{aligned}&D_{x}(1+7i-x)(7+5i-x)(3+i-x)\\&=-3\left({\tfrac {13}{3}}+{\tfrac {11}{3}}i-x\right)(3+5i-x)\end{aligned}}$

ज्यामिति में, स्टीनर इनेलिप्से, मध्यबिंदु अण्डाकार, या किसी त्रिभुज का मध्यबिंदु दीर्घवृत्त, त्रिभुज में अंकित अद्वितीय दीर्घवृत्त होता है और भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा होता है। यह अण्डाकार का एक उदाहरण है। तुलनात्मक रूप से, त्रिभुज का उत्कीर्ण वृत्त और मैंडार्ट अंडाकार अन्य असंगतियां हैं जो भुजाओं पर स्पर्शरेखा होती हैं, लेकिन मध्य बिंदुओं पर नहीं, जब तक कि त्रिभुज समबाहु त्रिभुज न हो। स्टीनर इनलिप्स का श्रेय डॉरी को दिया जाता है जैकब स्टीनर को, और इसकी विशिष्टता का प्रमाण डैन कलमैन द्वारा दिया गया है।

स्टीनर इनेलिप्स, स्टीनर परिधि के विपरीत है, जिसे केवल स्टीनर दीर्घवृत्त भी कहा जाता है, जो अद्वितीय दीर्घवृत्त है जो किसी दिए गए त्रिभुज के शीर्षों से होकर गुजरता है और जिसका केंद्र त्रिभुज का केन्द्रक है।

परिभाषा और गुण

परिभाषा

एक दीर्घवृत्त जो किसी त्रिभुज की भुजाओं पर स्पर्शरेखा होता है △ABC इसके मध्यबिंदुओं पर $M_{1},M_{2},M_{3}$ का स्टीनर इनलिप्स कहा जाता है △ABC.

  Arbitrary triangle △ABC

  Steiner inellipse

  Steiner ellipse

  Major and minor axes

  Equilateral triangle △ABC

  Steiner inellipse

  Steiner ellipse

गुण:

एक मनमाना त्रिभुज के लिए △ABC मध्यबिंदुओं के साथ $M_{1},M_{2},M_{3}$ इसके पक्षों में निम्नलिखित कथन सत्य हैं:
a) बिल्कुल एक स्टीनर इनलिप्स मौजूद है।
बी) स्टीनर इनलिप्स का केंद्र केन्द्रक है S का △ABC.
c1) त्रिकोण $\triangle M_{1}M_{2}M_{3}$ एक ही केन्द्रक है S और स्टीनर इनलिप्स △ABC त्रिभुज का स्टीनर दीर्घवृत्त है $\triangle M_{1}M_{2}M_{3}.$
सी2) एक त्रिभुज का स्टीनर इनलिप्स स्केल्ड स्टीनर एलिप्स है जिसमें स्केलिंग फैक्टर 1/2 और केंद्र के रूप में सेंट्रोइड होता है। इसलिए दोनों दीर्घवृत्तों में समान विलक्षणता (गणित) है, समान हैं।
d) स्टीनर इनलिप्स का क्षेत्रफल है ${\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$-त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुना.
ई) स्टीनर इनलिप्स का क्षेत्रफल त्रिभुज के सभी इनलिप्स का सबसे बड़ा है।

सबूत

गुणों के प्रमाण a),b),c) एफ़िन मैपिंग के निम्नलिखित गुणों पर आधारित हैं: 1) किसी भी त्रिभुज को एक समबाहु त्रिभुज की एफ़िन छवि के रूप में माना जा सकता है। 2) भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मध्यबिंदु पर और केन्द्रक को केन्द्रक पर मैप किया जाता है। एक दीर्घवृत्त का केंद्र उसकी छवि के केंद्र पर मैप किया जाता है।
इसलिए एक समबाहु त्रिभुज के लिए गुण a),b),c) सिद्ध करना पर्याप्त है:
a) किसी भी समबाहु त्रिभुज में त्रिभुज का एक अंतःवृत्त और बाह्यवृत्त मौजूद होता है। यह अपने मध्य बिंदुओं पर भुजाओं को छूता है। समान गुणों वाला कोई अन्य (गैर-अपक्षयी) शंकु अनुभाग नहीं है, क्योंकि एक शंकु अनुभाग 5 बिंदुओं/स्पर्शरेखाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है।
बी) एक साधारण गणना द्वारा।
ग) परिवृत्त को एक स्केलिंग द्वारा, कारक 1/2 और केंद्र के रूप में केन्द्रक के साथ, अंतःवृत्त पर मैप किया जाता है। विलक्षणता एक अपरिवर्तनीय है।
घ) क्षेत्रों का अनुपात एफ़िन परिवर्तनों के लिए अपरिवर्तनीय है। तो समबाहु त्रिभुज के लिए अनुपात की गणना की जा सकती है।
ई) सबसे बड़े क्षेत्र के साथ Inellipse#Inellipse देखें।

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व और अर्ध-अक्ष

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व:

• क्योंकि एक त्रिभुज का स्टीनर अण्डाकार है △ABC एक स्केल किया हुआ स्टीनर दीर्घवृत्त है (कारक 1/2, केंद्र केन्द्रक है) किसी को स्टीनर दीर्घवृत्त के त्रिकोणमितीय प्रतिनिधित्व #पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व और समीकरण से प्राप्त एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व मिलता है:

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\color {blue}{\frac {1}{2}}}{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{{\color {blue}2}{\sqrt {3}}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \ .$

• स्टाइनर इनलिप्स के 4 शीर्ष हैं

${\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),$

कहाँ t₀ का समाधान है

$\cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad$ साथ $\quad {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}{\vec {AB}}\ .$

अर्ध-अक्ष:

• संक्षिप्ताक्षरों के साथ

${\begin{aligned}M&:={\color {blue}{\frac {1}{4}}}\left({\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\right)\\N&:={\frac {1}{{\color {blue}4}{\sqrt {3}}}}\left|\det \left({\vec {SC}},{\vec {AB}}\right)\right|\end{aligned}}$

एक अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष|अर्ध-अक्ष के लिए मिलता है a, b (कहाँ a > b):

${\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}}\right)\\b&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}}\right)\ .\end{aligned}}$

• रैखिक विलक्षणता cस्टाइनर इनलिप्स का है

$c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\dotsb ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .$

त्रिरेखीय समीकरण

भुजाओं की लंबाई वाले त्रिभुज के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक में स्टीनर इनलिप्स का समीकरण a, b, c (इन मापदंडों का पहले से भिन्न अर्थ है) है:$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0$ कहाँ x लंबाई की ओर से एक बिंदु की दूरी का एक मनमाना सकारात्मक स्थिरांक है a, और इसी तरह के लिए b और cसमान गुणात्मक स्थिरांक के साथ।

अन्य गुण

भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्षों की लंबाई a, b, c हैं

${\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},$

कहाँ

$Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.$

मार्डेन के प्रमेय के अनुसार,यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष (ज्यामिति) सम्मिश्र संख्या बहुपद हैं#घन बहुपद के बहुपद समीकरणों को हल करना, तो स्टीनर इनलिप्स का फोकस (ज्यामिति) बहुपद के व्युत्पन्न के शून्य हैं।

स्टीनर इनलिप्स की प्रमुख धुरी शीर्षों के लिए डेमिंग प्रतिगमन है।

एक त्रिभुज के केन्द्रक और पहले और दूसरे फ़र्मेट बिंदुओं को इस प्रकार निरूपित करें $G,F_{+},F_{-}$ क्रमश। त्रिभुज के स्टीनर इनलिप्स का प्रमुख अक्ष आंतरिक समद्विभाजक है $\angle F_{+}GF_{-}.$ अक्षों की लंबाई हैं $|GF_{-}|\pm |GF_{+}|\!;$ अर्थात्, केन्द्रक से फ़र्मेट बिंदुओं की दूरी का योग और अंतर।

एक त्रिभुज के स्टीनर इनलिप्स की कुल्हाड़ियाँ इसके कीपर्ट परवलय की स्पर्शरेखा होती हैं, अद्वितीय परवलय जो त्रिभुज की भुजाओं की स्पर्शरेखा होती है और इसकी डायरेक्ट्रिक्स (शंकु खंड) के रूप में यूलर रेखा होती है।

एक त्रिभुज के स्टीनर इनलिप्स का फोकस इनलिप्स के प्रमुख अक्ष और लघु अक्ष पर केंद्र के साथ वृत्त और फ़र्मेट बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का प्रतिच्छेदन है।

जैसा कि किसी त्रिभुज में अंकित किसी दीर्घवृत्त के साथ होता है △ABC, फ़ॉसी को रहने देना P और Q अपने पास

${\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.$

सामान्यीकरण

एक त्रिभुज के स्टीनर इनलिप्स को सामान्यीकृत किया जा सकता है n-चर्चा: कुछ n-गोन्स में एक आंतरिक दीर्घवृत्त होता है जो प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु पर स्पर्शरेखा होता है। मार्डेन का प्रमेय अभी भी लागू होता है: स्टीनर इनलिप्स का फोकस बहुपद के व्युत्पन्न के शून्य हैं जिनके शून्य के शीर्ष हैं n-गोन.