स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन

For द्वि-आयामी प्रवाह, see स्ट्रीम फ़ंक्शन.

द्रव गतिकी में, स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन का उपयोग अक्षसममिति के साथ त्रि-आयामी असंपीड्य प्रवाह में धारारेखा और प्रवाह वेग का वर्णन करने के लिए किया जाता है। स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन के निरंतर मूल्य वाली एक सतह एक स्ट्रीमट्यूब को घेरती है, जो हर जगह प्रवाह वेग वैक्टर के स्पर्शरेखा है। इसके अतिरिक्त, इस स्ट्रीमट्यूब के भीतर वॉल्यूम फ्लक्स स्थिर है, और प्रवाह की सभी स्ट्रीमलाइनें इस सतह पर स्थित हैं। स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन से जुड़ा वेग क्षेत्र सोलेनोइडल है - इसमें शून्य विचलन है। इस स्ट्रीम फ़ंक्शन का नाम जॉर्ज गैब्रियल स्टोक्स के सम्मान में रखा गया है।

अक्षसममित स्टोक्स प्रवाह में एक गोले के चारों ओर स्ट्रीमलाइन। टर्मिनल वेग पर कर्षण बल F_d बल F को संतुलित करता है_g वस्तु को आगे बढ़ाना।

बेलनाकार निर्देशांक

बेलनाकार निर्देशांक के साथ आलेखित एक बिंदु।

एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली ( ρ , φ , z ) पर विचार करें, जिसमें z-अक्ष वह रेखा है जिसके चारों ओर असम्पीडित प्रवाह अक्ष-सममित है, φ अज़ीमुथल कोण और ρ z-अक्ष की दूरी है। तब प्रवाह वेग घटकों u_ρऔर u_z को स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन $\Psi$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

${\begin{aligned}u_{\rho }&=-{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial z}},\\u_{z}&=+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}.\end{aligned}}$

दिगंशीय वेग घटक u_φ धारा फ़ंक्शन पर निर्भर नहीं करता है। अक्षसममिति के कारण, सभी तीन वेग घटक ( u_ρ , u_φ , u_z) केवल ρ और z पर निर्भर करते हैं, अज़ीमुथ φ पर नहीं।

स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन के स्थिर मान ψ से घिरी सतह के माध्यम से आयतन प्रवाह, 2π ψ के बराबर है।

गोलाकार निर्देशांक

गोलाकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करके प्लॉट किया गया एक बिंदु

गोलाकार निर्देशांक (r , θ , φ) में, r मूल बिंदु से रेडियल दूरी है, θ आंचल कोण है और φ अज़ीमुथल कोण है। अक्षीय सममिति प्रवाह में, θ = 0 घूर्णी समरूपता अक्ष के साथ, प्रवाह का वर्णन करने वाली मात्राएँ फिर से दिगंश φ से स्वतंत्र होती हैं। प्रवाह वेग घटक u_r और u_θ स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन $\Psi$ से संबंधित हैं:

${\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\end{aligned}}$

पुनः, अज़ीमुथल वेग घटक u_φ स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन ψ का एक फ़ंक्शन नहीं है। स्थिरांक ψ की सतह से घिरी एक धारा ट्यूब के माध्यम से प्रवाह की मात्रा, पहले की तरह, 2π ψ के बराबर होती है।

वर्टिसिटी

See also: स्ट्रीम_फंक्शन वर्टिसिटी

वर्टिसिटी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\psi }}$,

जहाँ ${\boldsymbol {\psi }}=-{\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}},$

${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ के साथ,$\phi \,$-दिशा में इकाई वेक्टर

स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन का उपयोग करके वर्टिसिटी की व्युत्पत्ति 𝜔

Consider the vorticity as defined by ${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}.$ From the definition of the curl in spherical coordinates: ${\begin{aligned}\omega _{r}&={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }\left(u_{\phi }\sin \theta \right)-{\partial u_{\theta } \over \partial \phi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}},\\\omega _{\theta }&={1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial u_{r} \over \partial \phi }-{\partial \over \partial r}\left(ru_{\phi }\right)\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}},\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(ru_{\theta }\right)-{\partial u_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\phi }}}.\end{aligned}}$ First notice that the $r$ and $\theta$ components are equal to 0. Secondly substitute $u_{r}$ and $u_{\theta }$ into $\omega _{\phi }.$ The result is: ${\begin{aligned}\omega _{r}&=0,\\\omega _{\theta }&=0,\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(r\left(-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}$ Next the following algebra is performed: ${\begin{aligned}\omega _{\phi }&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\partial \over \partial r}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}\right)-{\frac {\sin \theta }{r^{2}\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&=-{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}$

परिणामस्वरूप, गणना से वर्टिसिटी वेक्टर इसके बराबर पाया जाता है:

${\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\[1ex]0\\[1ex]\displaystyle -{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\end{pmatrix}}.$

बेलनाकार के साथ तुलना

बेलनाकार और गोलाकार समन्वय प्रणालियाँ संबंधित हैं

$z=r\,\cos \theta \,$ और $\rho =r\,\sin \theta .\,$

विपरीत चिह्न के साथ वैकल्पिक परिभाषा

जैसा कि सामान्य स्ट्रीम फ़ंक्शन लेख में बताया गया है, स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन और प्रवाह वेग के बीच संबंध के लिए - विपरीत संकेत फ़ंक्शन का उपयोग करने वाली परिभाषाएं भी उपयोग में हैं।

शून्य विचलन

बेलनाकार निर्देशांक में, वेग क्षेत्र का विचलन u हो जाता है:

${\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}{\Bigl (}\rho \,u_{\rho }{\Bigr )}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(-{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}\right)=0,\end{aligned}}$

जैसा कि एक असम्पीडित प्रवाह के लिए अपेक्षित था।

और गोलाकार निर्देशांक में:

${\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(u_{\theta }\,\sin \theta )+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{2}\,u_{r}{\Bigr )}\\&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)=0.\end{aligned}}$

निरंतर स्ट्रीम फ़ंक्शन के वक्र के रूप में सुव्यवस्थित करें

कैलकुलस से, यह ज्ञात होता है कि ग्रेडिएंट वेक्टर $\nabla \Psi$ वक्र $\Psi =C$ के लिए सामान्य है (उदाहरण के लिए लेवल सेट#लेवल सेट बनाम ग्रेडिएंट देखें)। यदि यह दिखाया गया है कि हर जगह ${\boldsymbol {u}}\cdot \nabla \Psi =0,$ के संदर्भ में ${\boldsymbol {u}}$ के सूत्र का उपयोग किया जाता है

$\Psi ,$ तो इससे सिद्ध होता है कि $\Psi$ के स्तर वक्र सुव्यवस्थित हैं।

बेलनाकार निर्देशांक

बेलनाकार निर्देशांक में,

$\nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{z}$.

और

${\boldsymbol {u}}=u_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+u_{z}{\boldsymbol {e}}_{z}=-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{z}.$

चूँकि

$\nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial \rho }(-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z})+{\partial \Psi \over \partial z}{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }=0.$

गोलाकार निर्देशांक

और गोलाकार निर्देशांक में

$\nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{r}+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }$

और

${\boldsymbol {u}}=u_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+u_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }={1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{r}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{\theta }.$

चूँकि

$\nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial r}\cdot {1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }\cdot {\Big (}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\Big )}=0.$

संदर्भ

• Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.
• Lamb, H. (1994). Hydrodynamics (6th ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9. Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
• Stokes, G.G. (1842). "On the steady motion of incompressible fluids". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 7: 439–453. Bibcode:1848TCaPS...7..439S.
  Reprinted in: Stokes, G.G. (1880). Mathematical and Physical Papers, Volume I. Cambridge University Press. pp. 1–16.