x(x + y )n के विस्तार के लिए n वीं पंक्ति में दाहिनी ओर क्रमांकित चूँकि शीर्ष पंक्ति 0 वीं पंक्ति हो,
पदों में x के घातांक n , n − 1, ..., 2, 1, 0x 0 = 1
शब्दों में y के घातांक 0, 1, 2, ..., n − 1, n हैं, पहले पद में स्पष्ट रूप से y 0 = 1
गुणांक पास्कल के त्रिभुज की n वीं पंक्ति बनाते हैं
समान पदों के संयोजन से पहले, विस्तार में 2n वाँ पद x i y j
समान पदों के संयोजन के बाद, n + 12n .होता है। अंतिम दो बिंदुओं को दर्शाने वाला एक उदाहरण
( x + y ) 3 = x x x + x x y + x y x + x y y + y x x + y x y + y y x + y y y ( 2 3 terms ) = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ( 3 + 1 terms ) {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}}
1 + 3 + 3 + 1 = 2 3 {\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}
y
( x + 2 ) 3 = x 3 + 3 x 2 ( 2 ) + 3 x ( 2 ) 2 + 2 3 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8. {\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}} y ( x − 2 ) 3 = x 3 − 3 x 2 ( 2 ) + 3 x ( 2 ) 2 − 2 3 = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8. {\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}
ज्यामितीय व्याख्या a तथा b के सकारात्मक मूल्यों के लिए द्विपद प्रमेय के साथ n = 2a + b a वाले वर्ग, भुजा b ,वाले वर्ग और भुजाओं a तथा b .वाले दो आयतों में बाँटा जा सकता है। n = 3a + b a के घन, भुजा b के घन, तीन a × a × b a × b × b
कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है ( x n ) ′ = n x n − 1 : {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:} [14] a = x {\displaystyle a=x} b = Δ x , {\displaystyle b=\Delta x,} b को a में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में व्याख्या करना, यह चित्र एकn -आयामी अतिविम के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है,( x + Δ x ) n , {\displaystyle (x+\Delta x)^{n},} Δ x {\displaystyle \Delta x} n x n − 1 , {\displaystyle nx^{n-1},} n फलकों का क्षेत्र, प्रत्येक का आयाम n − 1
( x + Δ x ) n = x n + n x n − 1 Δ x + ( n 2 ) x n − 2 ( Δ x ) 2 + ⋯ . {\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .} ( Δ x ) 2 {\displaystyle (\Delta x)^{2}} ( x n ) ′ = n x n − 1 , {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},} n -घन के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर, भुजा की लंबाई के रूप में भिन्न होती है, इसके (n − 1) विमीय फलकों के n का क्षेत्रफ है।
यदि कोई इस चित्र को समाकलित करता है, जो कलन के मौलिक प्रमेय को लागू करने के अनुरूप है, तो उससे कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, समाकलन प्राप्त होता है ∫ x n − 1 d x = 1 n x n {\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}} [14]
द्विपद गुणांक द्विपद प्रसार में प्रकट होने वाले गुणांक द्विपद गुणांक कहलाते हैं। इन्हें सामान्तया ( n k ) , {\displaystyle {\tbinom {n}{k}},} n को चुन कर k का उच्चारण किया जाता है।
सूत्र x n −k y k
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! , {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},} n !( n k ) = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ⋯ 1 = ∏ ℓ = 1 k n − ℓ + 1 ℓ = ∏ ℓ = 0 k − 1 n − ℓ k − ℓ {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}} k गुणकों के साथ है। चूँकि इस सूत्र में एक अंश सम्मिलित है, द्विपद गुणांक ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
मिश्रित व्याख्या द्विपद गुणांक ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} n -तत्व सम्मुचय से k तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के रूप में की जा सकती है। यह निम्नलिखित कारणों से द्विपदों से संबंधित है, यदि हम (x + y )n को गुणनफल के रूप में लिखते हैं।
( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ⋯ ( x + y ) , {\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),} x या y के प्रत्येक विकल्प के विस्तार में एक शब्द होता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्विपद से x को चुनने के संगत केवल एक पद x n x n −2y 2 y .का योगदान करने के लिए ठीक दो द्विपदों को चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए हैं। इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक x n −2y 2 n -तत्व सम्मुचय से ठीक 2 तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होता है।
प्रमाण संयोजन प्रमाण उदाहरण का गुणांक xy 2
( x + y ) 3 = ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) = x x x + x x y + x y x + x y y _ + y x x + y x y _ + y y x _ + y y y = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 _ + y 3 {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}} ( 3 2 ) = 3 {\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3} x ,y x y y , y x y , y y x , {\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,} {1, 2, 3} ,के तीन-तत्वों के 2-उपसमूहों के अनुरूप,
{ 2 , 3 } , { 1 , 3 } , { 1 , 2 } , {\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}
जहां प्रत्येक उपसमुच्चय संबंधित श्रृंखला में y की स्थिति निर्दिष्ट करता है।
सामान्य स्थिति (x + y )n का विस्तार करने पर e 1 e 2 ... e n 2n उत्पादों का योग प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक e i x y है, पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद 0 तथा n के बीच कुछ k के लिए x n −k y k
प्रतियों की संख्या x n −k y k
बिल्कुल k स्थितियों में y वाले n -वर्ण x ,y
{1, 2, ..., n } k -तत्व सबसम्मुचय की संख्या है।( n k ) , {\displaystyle {\tbinom {n}{k}},} ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} n ! k ! ( n − k ) ! . {\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.} आगमनात्मक प्रमाण गणितीय आगमन द्विपद प्रमेय का एक और प्रमाण देता है। जब n = 0x 0 = 1( 0 0 ) = 1. {\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.} n , के लिए समानता लागू होती है, हम इसे n + 1j , k ≥ 0[f (x , y )]j ,k के गुणांक को निरूपित करते है x j y k f (x , y )(x + y )n , x और y में एक बहुपद है जैसे कि [(x + y )n j ,k है ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} j + k = n 0 अन्यथा इकाई में,
( x + y ) n + 1 = x ( x + y ) n + y ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}} (x + y )n +1 x तथा y , में एक बहुपद है, तथा
[ ( x + y ) n + 1 ] j , k = [ ( x + y ) n ] j − 1 , k + [ ( x + y ) n ] j , k − 1 , {\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},} j + k = n + 1(j − 1) + k = n तथा j + (k − 1) = n ( n k ) + ( n k − 1 ) = ( n + 1 k ) , {\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},} [15] j + k ≠ n + 1(j – 1) + k ≠ n तथा j + (k – 1) ≠ n 0 + 0 = 0 . इस प्रकार
( x + y ) n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 ( n + 1 k ) x n + 1 − k y k , {\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},} n + 1n और इस तरह आगमनात्मक चरण को पूरा करता है।
सामान्यीकरण न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय 1665 के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत करते है। वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है। इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी यादृच्छिक ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। चूँकि, यादृच्छिक संख्या r , के लिए परिभाषित कर सकते हैं।
( r k ) = r ( r − 1 ) ⋯ ( r − k + 1 ) k ! = ( r ) k k ! , {\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},} ( ⋅ ) k {\displaystyle (\cdot )_{k}} r एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो यदि x तथा y के साथ वास्तविक संख्याएँ |x y हैं[Note 1] ( x + y ) r = ∑ k = 0 ∞ ( r k ) x r − k y k = x r + r x r − 1 y + r ( r − 1 ) 2 ! x r − 2 y 2 + r ( r − 1 ) ( r − 2 ) 3 ! x r − 3 y 3 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}
जब r एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, के लिए द्विपद गुणांक k > r r + 1r , के अन्य मूल्यों के लिए, श्रृंखला में सामान्यता असीम रूप से कई गैर शून्य शब्द होते हैं।
उदाहरण के लिए, r = 1/2
1 + x = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − 5 128 x 4 + 7 256 x 5 − ⋯ {\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots } r = −1|x के लिए मान्य है( 1 + x ) − 1 = 1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − x 5 + ⋯ {\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots } s = −r 1 ( 1 − x ) s = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 k ) x k . {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.} s = 1/21 1 + x = 1 − 1 2 x + 3 8 x 2 − 5 16 x 3 + 35 128 x 4 − 63 256 x 5 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots }
सामान्यीकरण सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को इस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जहां x तथा y जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण में, एक को फिर से |x y [Note 1] x पर केंद्रित त्रिज्या |x की एक खुली डिस्क पर परिभाषित लॉग की पूर्ण सममितिक शाखा का उपयोग करके x + y x की घातो को परिभाषित करता है। सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय बानाख बीजगणित के तत्वों x तथा y के लिए मान्य है जब तक कि xy = yx x व्युत्क्रमणीय है, और ||y/x|| < 1 .है
द्विपद प्रमेय का संस्करण निम्नलिखित पोचहैमर प्रतीक के लिए मान्य है, जैसे किसी दिए गए वास्तविक स्थिरांक c , के लिए बहुपदों का समूह, x ( 0 ) = 1 {\displaystyle x^{(0)}=1}
x ( n ) = ∏ k = 1 n [ x + ( k − 1 ) c ] {\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}
के लिये n > 0. {\displaystyle n>0.} [16]
( a + b ) ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) a ( n − k ) b ( k ) . {\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.} c = 0
सामान्यतः, बहुपदों के अनुक्रम { p n } n = 0 ∞ {\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}
deg p n = n {\displaystyle \deg p_{n}=n} n {\displaystyle n} p 0 ( 0 ) = 1 {\displaystyle p_{0}(0)=1} p n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p k ( x ) p n − k ( y ) {\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} n {\displaystyle n} बहुपदों के अंतराल पर ऑपरेटर Q {\displaystyle Q} { p n } n = 0 ∞ {\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }} Q p 0 = 0 {\displaystyle Qp_{0}=0} Q p n = n p n − 1 {\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}} n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} { p n } n = 0 ∞ {\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }} [17] a {\displaystyle a} E a {\displaystyle E^{a}} I − E − c {\displaystyle I-E^{-c}} c > 0 {\displaystyle c>0} c = 0 {\displaystyle c=0} E − c − I {\displaystyle E^{-c}-I} c < 0 {\displaystyle c<0}
बहुपद प्रमेय द्विपद प्रमेय को दो से अधिक शब्दों वाली राशियों की घातो को सम्मिलित करने के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। सामान्य संस्करण है
( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m , {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},} k 1 k m n है। विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए n गुणांक ( n k 1 , ⋯ , k m ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}} ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! ⋅ k 2 ! ⋯ k m ! . {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.} ( n k 1 , ⋯ , k m ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}} k 1 , ..., k m n -तत्व को विभाजित करने के तरीकों की संख्या को दिखाता है।
बहु-द्विपद प्रमेय अधिक आयामों में कार्य करते समय, द्विपद अभिव्यक्तियों के उत्पादों का प्रयोग करना प्रायः उपयोगी होता है। द्विपदीय प्रमेय में यह बराबर होता है।
( x 1 + y 1 ) n 1 ⋯ ( x d + y d ) n d = ∑ k 1 = 0 n 1 ⋯ ∑ k d = 0 n d ( n 1 k 1 ) x 1 k 1 y 1 n 1 − k 1 … ( n d k d ) x d k d y d n d − k d . {\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.} ( x + y ) α = ∑ ν ≤ α ( α ν ) x ν y α − ν . {\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}
जनरल लीबनिज नियम सामान्य लीबनिज़ नियम द्विपद प्रमेय के समान रूप में दो कार्यों के उत्पाद का nवां व्युत्पन्न होता है।[18]
( f g ) ( n ) ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( n − k ) ( x ) g ( k ) ( x ) . {\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}
यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट (n ) किसी फलन के n वें व्युत्पन्न को इंगित करता है। यदि एक सेट f (x ) = e ax g (x ) = e bx e (a + b )x [19]
अनुप्रयोग बहु-कोण पहचान जटिल संख्याओं के लिए द्विपद प्रमेय को ज्या और कोसाइन के लिए बहु-कोण सूत्र प्राप्त करने के लिए डी मोइवर के सूत्र के साथ जोड़ा जा सकता है। डी मोइवर के सूत्र के अनुसार,
cos ( n x ) + i sin ( n x ) = ( cos x + i sin x ) n . {\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, दाहिनी ओर के व्यंजक(गणित) का विस्तार किया जा सकता है, और फिर वास्तविक और काल्पनिक भाग, कोज्या(एनएक्स) और ज्या( एनएक्स) के सूत्र प्रस्तुत करने के लिए लिया जा सकता है।.उदाहरण के लिए, क्योंकि
( cos x + i sin x ) 2 = cos 2 x + 2 i cos x sin x − sin 2 x , {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x,} cos ( 2 x ) = cos 2 x − sin 2 x and sin ( 2 x ) = 2 cos x sin x , {\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,} ( cos x + i sin x ) 3 = cos 3 x + 3 i cos 2 x sin x − 3 cos x sin 2 x − i sin 3 x , {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,} cos ( 3 x ) = cos 3 x − 3 cos x sin 2 x and sin ( 3 x ) = 3 cos 2 x sin x − sin 3 x . {\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.} cos ( n x ) = ∑ k even ( − 1 ) k / 2 ( n k ) cos n − k x sin k x {\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x} sin ( n x ) = ∑ k odd ( − 1 ) ( k − 1 ) / 2 ( n k ) cos n − k x sin k x . {\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}
ई के लिए श्रृंखला संख्या e (गणितीय स्थिरांक) को अधिकांशता सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है।
e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} e के लिए सामान्य अनंत श्रृंखला प्राप्त होती है। विशेष रूप से,
( 1 + 1 n ) n = 1 + ( n 1 ) 1 n + ( n 2 ) 1 n 2 + ( n 3 ) 1 n 3 + ⋯ + ( n n ) 1 n n . {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}
इस योग का kवाँ पद है।
( n k ) 1 n k = 1 k ! ⋅ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) n k {\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}} n → ∞1 तक पहुंचती है, और इसलिए,
lim n → ∞ ( n k ) 1 n k = 1 k ! . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}
यह इंगित करता है कि e को एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है।
e = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ . {\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .} n का वर्धमान फलन है, यह श्रृंखला के लिए एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से अनुसरण करता है कि इस अनंत श्रृंखला का योग e के बराबर होता है।
संभावना द्विपद प्रमेय का निकटता से संबंधित द्विपद बंटन की प्रायिकता द्रव्यमान फलन से है। स्वतंत्र बर्नोली परीक्षणों के एक(गणनीय) संग्रह की प्रायिकता { X t } t ∈ S {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}} p ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\in [0,1]}
P ( ⋂ t ∈ S X t C ) = ( 1 − p ) | S | = ∑ n = 0 | S | ( | S | n ) ( − p ) n . {\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.} इस मात्रा के लिए एक ऊपरी सीमा e − p | S | . {\displaystyle e^{-p|S|}.} [20]
अमूर्त बीजगणित में द्विपद प्रमेय अधिकांशतया वलय में x y xy = yx n × n [21]
द्विपद प्रमेय को बहुपद अनुक्रम कर कहा जा सकता है {1, x , x 2 , x 3 , ...} ये द्विपद प्रकार का है।
लोकप्रिय संस्कृति में कॉमिक ओपेरा द पाइरेट्स ऑफ पेन्जेंस में मेजर-जनरल के गाने में द्विपद प्रमेय का उल्लेख किया गया है।
शर्लक होम्स द्वारा प्रोफेसर मोरियार्टी का वर्णन द्विपद प्रमेय पर एक आलेख लिखने के रूप में वर्णित किया गया है।
पुर्तगाली कवि फर्नांडो पेसोआ ने अल्वारो डी कैम्पोस के विषम नाम का उपयोग करते हुए लिखा है कि न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना सुंदर है। सच तो यह है कि कम ही लोग इस पर प्रतिक्रिया करते हैं। [22]
2014 की फिल्म द इमिटेशन गेम में, एलन ट्यूरिंग ने बैलेचले पार्क में कमांडर डेनिस्टन के साथ अपनी पहली मुलाकात के दौरान द्विपद प्रमेय पर आइजैक न्यूटन के काम का संदर्भ दिया। यह भी देखें द्विपद सन्निकटन
द्विपद वितरण
द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय
स्टर्लिंग का अनुमान
चर्म शोधन प्रमेय टिप्पणियाँ
↑ Jump up to: 1.01.1 This is to guarantee convergence. Depending on r , the series may also converge sometimes when |x y .
संदर्भ
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