प्रस्तावक कलन

प्रस्तावपरक कलन तर्क की शाखा है। इसे प्रस्तावपरक तर्क, स्टेटमेंट तर्क, सेंटेंशियल कैलकुलस, सेंटेंशियल तर्क या कभी-कभी ज़ीरोथ ऑर्डर तर्क भी कहा जाता है। इन प्रस्तावों (जो सही या असत्य हो सकता है) और प्रस्तावों के बीच संबंधों से यह संबंधित होते है, जिसमें इनके आधार पर तर्कों का निर्माण भी सम्मलित होता हैं। इस प्रकार यौगिक तर्कवाक्यों का निर्माण तर्कवाक्यों के तार्किक संयोजकों द्वारा जोड़कर किया जाता है। वे तर्कवाक्य जिनमें कोई तार्किक संयोजक नहीं होते, परमाण्विक तर्कवाक्य कहलाते हैं।

प्रथम-क्रम तर्क के विपरीत, प्रस्तावपरक तर्क गैर-तार्किक वस्तुओं से निपटता नहीं है, उनके बारे या परिमाणक (तर्क) में भविष्यवाणी करता है। चूंकि, प्रस्तावपरक तर्क की सभी मशीनरी प्रथम-क्रम तर्क और उच्च-क्रम तर्क में सम्मलित है। इस अर्थ में, प्रस्तावात्मक तर्क प्रथम-क्रम तर्क और उच्च-क्रम तर्क की नींव होती हैं।

स्पष्टीकरण

तार्किक संयोजक प्राकृतिक भाषाओं में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए अंग्रेजी में, कुछ उदाहरण हैं और (तार्किक संयोजन), या (तार्किक संयोजन), नहीं (निषेध) और यदि (किन्तु केवल जब भौतिक सशर्त को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है)।

निम्नलिखित प्रस्तावपरक तर्क की सीमा में बहुत ही सरल अनुमान का उदाहरण है:

परिसर 1: यदि बारिश हो रही है तो बादल छाए हुए हैं।

परिसर 2: बारिश हो रही है।

निष्कर्ष: बादल छाए हुए हैं।

इस प्रकार परिसर और निष्कर्ष दोनों प्रस्तावित होते हैं। इस परिसर को प्रदान किया जाता है, और मूड समुच्चय करना (एक अनुमान नियम) के आवेदन के साथ, निष्कर्ष निम्नानुसार है।

जैसा कि प्रस्तावात्मक तर्क उस बिंदु से परे प्रस्तावों की संरचना से संबंधित नहीं है जहां उन्हें तार्किक संयोजकों द्वारा और अधिक विघटित नहीं किया जा सकता है, इस अनुमान को उन परमाणु बयानों को बयान पत्रों के साथ परिवर्तित कर पृथिकृत किया जा सकता है, जिनकी मतानुसार प्रतिनिधित्व करने वाले चर के रूप में व्याख्या की जाती है:

परिसर 1:

P\to Q

परिसर 2:

P

निष्कर्ष:

Q

उसी को संक्षेप में निम्न प्रकार से कहा जाता है:

{\frac {P\to Q,P}{Q}}

जब $P$ यह बारिश हो रही है और $Q$ के रूप में व्याख्या की जाती है, जैसा कि इंगित किया गया है, इस प्रकार उपरोक्त प्रतीकात्मक अभिव्यक्तियों को प्राकृतिक भाषा में मूल अभिव्यक्ति के साथ त्रुटिहीन रूप से मेल खाते देखा जा सकता है। इतना ही नहीं, वे इस रूप के किसी अन्य अनुमान के अनुरूप भी होंगे, जो उसी आधार पर मान्य होगा जिस आधार पर यह अनुमान है।

प्रस्तावात्मक तर्क का अध्ययन औपचारिक प्रणाली के माध्यम से किया जा सकता है जिसमें प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करने के लिए औपचारिक भाषा का सुव्यवस्थित सूत्र व्याख्या (तर्क) हो सकता है। स्वयंसिद्ध की निगमनात्मक प्रणाली और अनुमान का नियम कुछ सूत्रों को व्युत्पन्न करने की अनुमति देता है। इन व्युत्पन्न सूत्रों को प्रमेय कहा जाता है और इन्हें सही तर्कवाक्य के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है। ऐसे सूत्रों के निर्मित अनुक्रम को औपचारिक प्रमाण या प्रमाण के रूप में जाना जाता है और अनुक्रम का अंतिम सूत्र प्रमेय है। व्युत्पत्ति की व्याख्या प्रमेय द्वारा प्रस्तुत प्रस्ताव के प्रमाण के रूप में की जा सकती है।

जब औपचारिक तर्क का प्रतिनिधित्व करने के लिए औपचारिक प्रणाली का उपयोग किया जाता है, तो केवल कथन पत्र (सामान्यतः कैपिटल रोमन अक्षर जैसे $P$ , $Q$ और $R$ ) सीधे प्रतिनिधित्व कर रहे हैं। जब उनकी व्याख्या की जाती है तो उत्पन्न होने वाली प्राकृतिक भाषा के प्रस्ताव प्रणाली की सीमा से बाहर होते हैं, और औपचारिक प्रणाली और इसकी व्याख्या के बीच का संबंध औपचारिक प्रणाली के बाहर भी होता है।

मौलिक सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावपरक तर्क में, सूत्रों की व्याख्या दो संभावित सत्य मानों में से सत्य का सत्य मान या असत्य का सत्य मान के रूप में की जाती हैॉ।^[1] द्विसंयोजकता के सिद्धांत और अपवर्जित मध्य के नियम को निरंतर रखा गया है। ट्रुथ-फंक्शनल प्रस्तावपरक तर्क को इस तरह परिभाषित किया गया है और इसके लिए प्रणाली समाकृतिकता को ज़ीरोथ-ऑर्डर तर्क माना जाता है। चूंकि, वैकल्पिक प्रस्तावपरक तर्क भी संभव हैं। अधिक जानकारी के लिए, प्रस्ताविक कलन वैकल्पिक कलन नीचे देखें।

इतिहास

यद्यपि प्रस्तावपरक तर्क (जो प्रस्तावपरक कलन के साथ विनिमेय है) को पहले के दार्शनिकों द्वारा संकेत दिया गया था, इसे तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में क्रिसिपस द्वारा औपचारिक तर्क (स्टोइक तर्क) में विकसित किया गया था।^[2] और उनके उत्तराधिकारी स्टोइक्स द्वारा विस्तारित किया गया। तर्क प्रस्तावों पर केंद्रित था। यह उन्नति पारंपरिक न्यायवाक्य से भिन्न थी, जो कि न्यायवाक्य में न्यायवाक्य शर्तों पर केंद्रित था। चूंकि, अधिकांश मूल लेखन खो गए थे^[3] और स्टोइक्स द्वारा विकसित प्रस्तावपरक तर्क अब पुरातनता में बाद में समझ में नहीं आया। परिणाम स्वरुप , 12 वीं शताब्दी में pटर एबेलार्ड द्वारा प्रणाली को अनिवार्य रूप से पुनर्निर्मित किया गया था।^[4]

सांकेतिक तर्क का उपयोग करते हुए अंतत: प्रस्तावात्मक तर्क को परिष्कृत किया गया। 17वीं/18वीं सदी के गणितज्ञ गॉटफ्रीड लीबनिज को गणना कैलकुलेटर के साथ अपने कार्य के लिए प्रतीकात्मक तर्क के संस्थापक होने का श्रेय दिया जाता है। चूंकि उनका कार्य अपनी तरह का पहला था, यह बड़े तार्किक समुदाय के लिए अज्ञात था। परिणाम स्वरुप , लीबनिज द्वारा प्राप्त की गई कई प्रगतियों को जॉर्ज बूले और ऑगस्टस डी मॉर्गन जैसे तर्कशास्त्रियों द्वारा फिर से बनाया गया था - लाइबनिज से पूरी तरह से स्वतंत्र हैं।^[5]

जिस तरह प्रस्तावात्मक तर्क को पहले के न्यायवाक्य तर्क से उन्नति माना जा सकता है, गोटलॉब फ्रेज या लेखक विधेय तर्क का वर्णन करता है, जो कि न्यायसंगत तर्क और प्रस्तावपरक तर्क की विशिष्ट विशेषताओं के संयोजन के रूप में है।^[6] परिणाम स्वरुप, विधेय तर्क इनके तर्क के इतिहास में नए युग की प्रारंभ की हैं, चूंकि, प्राकृतिक परिणाम, विश्लेषणात्मक झांकी की विधि और सत्य-तालिका सहित, प्रस्तावपरक तर्क में प्रगति अभी भी फ्रीज के पश्चात की गई थी। प्राकृतिक निगमन का आविष्कार गेरहार्ड जेंटजन और जान लुकासिविक्ज़ ने किया था। ट्रुथ ट्री का आविष्कार एवर्ट विलेम बेथ ने किया था।^[7] चूंकि, सत्य तालिकाओं का आविष्कार अनिश्चित rोपण का है।

अंदर कार्य करता है फ्रीज द्वारा^[8] और बर्ट्रेंड रसेल,^[9] सत्य तालिकाओं के आविष्कार के लिए प्रभावशाली विचार हैं। वास्तविक सारणीबद्ध संरचना (एक तालिका के रूप में स्वरूपित किया जा रहा है), सामान्यतः लुडविग विट्गेन्स्टाइन या एमिल पोस्ट (या दोनों, स्वतंत्र रूप से) को श्रेय दिया जाता है।^[8]फ्रीज और रसेल के अतिरिक्त, अन्य लोगों को सत्य सारणी से पहले के विचार रखने का श्रेय दिया जाता है जिनमें फिलो, बोले, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स, सम्मलित हैं।^[10] और अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) या अर्नस्ट श्रोडर द्वारा किया गया हैं। सारणीबद्ध संरचना का श्रेय अन्य लोगों को दिया जाता है, जिनमें जन लुकासिविक्ज़, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड, विलियम स्टेनली जेवन्स, जॉन वेन और क्लेरेंस इरविंग लुईस सम्मलित हैं।^[9]अंत में, जॉन शोस्की के जैसे कुछ लोगों ने निष्कर्ष निकाला है कि यह स्पष्ट नहीं है कि किसी व्यक्ति को सत्य-सारणियों के 'आविष्कारक' की उपाधि दी जानी चाहिए।^[9]

शब्दावली

सामान्य शब्दों में, कैलकुलस औपचारिक प्रणाली है जिसमें वाक्यात्मक अभिव्यक्तियों (अच्छी तरह से निर्मित सूत्र) का समुच्चय होता है, इन अभिव्यक्तियों (स्वयंसिद्धों) का विशिष्ट उपसमुच्चय, साथ ही औपचारिक नियमों का समुच्चय होता है जो विशिष्ट द्विआधारी संबंध को परिभाषित करता है, जिसका उद्देश्य अभिव्यक्ति के स्थान पर तार्किक तुल्यता के रूप में व्याख्या की जाए।

जब औपचारिक प्रणाली तार्किक प्रणाली होने का मत रखती है, तो अभिव्यक्तियों को बयानों के रूप में व्याख्या करने के लिए होता है, और नियम, जिन्हें अनुमान नियम कहा जाता है, सामान्यतः सत्य-संरक्षण के लिए अभिप्रेत हैं। इस समुच्चयिंग में, नियम, जिसमें अभिगृहीत सम्मलित हो सकते हैं, का उपयोग सत्य कथनों का प्रतिनिधित्व करने वाले सूत्रों को प्राप्त करने (अनुमान) करने के लिए किया जा सकता है—सत्य कथनों का प्रतिनिधित्व करने वाले दिए गए सूत्रों से की जा सकती हैं।

स्वयंसिद्धों का समुच्चय खाली हो सकता है, गैर-खाली परिमित समुच्चय, या गणनीय रूप से अनंत समुच्चय (स्वयंसिद्ध स्कीमा देखें)। औपचारिक व्याकरण औपचारिक भाषा के भावों और सुगठित सूत्रों को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करता है। इसके अतिरिक्त शब्दार्थ दिया जा सकता है जो सत्य और मानांकन (तर्क) (या व्याख्या (तर्क)) को परिभाषित करता है।

प्रस्तावपरक कलन की औपचारिक भाषा में सम्मलित हैं

प्रतीकों का समुच्चय, जिसे विभिन्न रूप से परमाणु सूत्र, प्लेसहोल्डर, प्रस्ताव पत्र या चर के रूप में संदर्भित किया जाता है, और
ऑपरेटर प्रतीकों का समुच्चय, विभिन्न रूप से तार्किक ऑपरेटरों या तार्किक संयोजकों के रूप में व्याख्या की जाती है।

एक सुव्यवस्थित सूत्र कोई परमाणु सूत्र है, या कोई भी सूत्र जो व्याकरण के नियमों के अनुसार ऑपरेटर प्रतीकों के माध्यम से परमाणु सूत्रों से बनाया जा सकता है।

गणितज्ञ कभी-कभी प्रस्तावात्मक स्थिरांक, प्रस्तावात्मक चर और स्कीमाटा के बीच अंतर करते हैं। प्रस्तावनात्मक स्थिरांक कुछ विशेष प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि प्रस्तावनात्मक चर सभी परमाणु प्रस्तावों के समुच्चय पर होते हैं। स्कीमाटा, चूंकि, सभी प्रस्तावों की श्रेणी में से है। द्वारा प्रस्तावनीय स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करना आम है $A$ , $B$ , और $C$ , प्रस्ताव चर द्वारा $P$ , $Q$ , और $R$ , और योजनाबद्ध अक्षर अधिकांशतः ग्रीक अक्षर में सबसे अधिक बार $φ$ , $ψ$ , और $χ$ होते हैं।

बुनियादी अवधारणाएँ

निम्नलिखित मानक प्रस्तावपरक कलन की रूपरेखा देता है। कई अलग-अलग फॉर्मूलेशन सम्मलित हैं जो कमोबेश सभी समकक्ष हैं, किन्तु विवरण में भिन्न हैं:

उनकी भाषा (अर्थात, प्रतीकों और ऑपरेटर प्रतीकों का विशेष संग्रह),
स्वयंसिद्धों का समूह, या विशिष्ट सूत्र, और
अनुमान नियमों का समुच्चय।

किसी दिए गए तर्कवाक्य को अक्षर से प्रदर्शित किया जा सकता है जिसे 'तर्कसंगत स्थिरांक' कहा जाता है, जो गणित में अक्षर द्वारा किसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के समान है (उदाहरण के लिए, $a = 5$ ). सभी प्रस्तावों को दो सत्य-मानों में से की आवश्यकता होती है: सत्य या असत्य। उदाहरण के लिए, चलो $P$ प्रस्ताव हो कि बाहर बारिश हो रही है। यह सत्य होगा ( $P$ ) और असत्य अन्यथा ( $\neg P$ ) यदि बाहर बारिश हो रही है ।

फिर हम सत्य-कार्यात्मक संचालकों को परिभाषित करते हैं, जो निषेध से प्रारंभ होते हैं। $\neg P$ के निषेध का प्रतिनिधित्व $P$ करता है , जिसे इनकार के रूप में माना जा सकता है $P$ . उपरोक्त उदाहरण में, $\neg P$ व्यक्त करता है कि बाहर बारिश नहीं हो रही है, या अधिक मानक पढ़ने से: ऐसा नहीं है कि बाहर बारिश हो रही है। कब $P$ क्या सत्य है, $\neg P$ असत्य है, और जब $P$ असत्य है $\neg P$ क्या सत्य है। परिणाम स्वरुप , $\neg \neg P$ सदैव ही $P$ सत्य-मान होता है।
संयोजन सत्य-कार्यात्मक संयोजक है जो दो सरल तर्कवाक्यों में से प्रस्ताव बनाता है, उदाहरण के लिए, P और Q. का योग P और Q लिखा है P ∧ Q, और व्यक्त करता है कि प्रत्येक सत्य है। हम पढ़ते है P ∧ Q जैसाP और Q. किसी भी दो प्रस्तावों के लिए, सत्य मानों के चार संभावित कार्य हैं:
1. $P$ सत्य है और $Q$ क्या सत्य है
2. $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है
3. $P$ असत्य है और $Q$ क्या सत्य है
4. $P$ असत्य है और $Q$ असत्य है

का योग

P

और

Q

1 के स्थिति में सत्य है, और अन्यथा असत्य है। जहाँ

P

प्रस्ताव है कि बाहर बारिश हो रही है और

Q

यह प्रस्ताव है कि कंसास के ऊपर शीत-मोर्चा है,

P \land Q

सत्य है जब बाहर बारिश हो रही है और कंसास के ऊपर ठंडा-मोर्चा है। यदि बाहर बारिश नहीं हो रही है, तो

P \land Q

असत्य है, और यदि कंसास के ऊपर कोई कोल्ड-फ्रंट नहीं है, तो

P \land Q

भी असत्य है।

डिसजंक्शन संयुग्मन जैसा दिखता है कि यह दो सरल प्रस्तावों में से प्रस्ताव बनाता है। हम इसे लिखते हैं $P \lor Q$ , और इसे पढ़ा जाता है $P$ या $Q$ . यह या तो व्यक्त करता है $P$ या $Q$ क्या सत्य है। इस प्रकार, ऊपर सूचीबद्ध स्थितियों में, का विच्छेदन $P$ साथ $Q$ सभी स्थितियों में सत्य है—केस 4 को छोड़कर। ऊपर दिए गए उदाहरण का उपयोग करते हुएअनन्य संयोजन व्यक्त करता है कि या तो बाहर बारिश हो रही है, या कंसास के ऊपर ठंडा मोर्चा है। (ध्यान दें, संयोजन का यह प्रयोग अंग्रेजी शब्द या के उपयोग के समान माना जाता है। चूंकि, यह अंग्रेजी समावेशी संयोजन या की तरह है, जिसका उपयोग कम से कम दो प्रस्तावों में से की सत्य्चाई को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। यह नहीं है जैसे अंग्रेजी समावेशी विच्छेदन या, जो दो प्रस्तावों में से की सत्य्चाई को व्यक्त करता है। दूसरे शब्दों में, एक्सक्लूसिव या असत्य है जब दोनों $P$ और $Q$ सत्य हैं (स्थिति 1), और समान रूप से असत्य है जब दोनों $P$ और $Q$ असत्य हैं। अनन्य या का उदाहरण है: आपके पास बैगल या पेस्ट्री हो सकती है, किन्तु दोनों नहीं हो सकते। प्राय: प्राकृतिक भाषा में, उचित संदर्भ दिए जाने पर, परिशिष्ट किन्तु दोनों को छोड़ा नहीं जाता है - किन्तु निहित है। गणित में, तथापि, या सदैव समावेशी होता है या, यदि अनन्य या इसका मतलब है तो यह संभवतः xor द्वारा निर्दिष्ट किया जाएगा।)
भौतिक सशर्त भी दो सरल प्रस्तावों में सम्मलित होता है, और हम लिखते हैं $P \to Q$ , जो यदि पढ़ा जाता है $P$ तब $Q$ . तीर के बाईं ओर के प्रस्ताव को पूर्ववर्ती कहा जाता है, और दाईं ओर के प्रस्ताव को परिणामी कहा जाता है। (संयोजन या संयोजन के लिए ऐसा कोई पदनाम नहीं है, क्योंकि वे क्रमविनिमेय संपत्ति संचालन हैं।) यह व्यक्त करता है $Q$ सत्य है जब भी $P$ क्या सत्य है। इस प्रकार $P \to Q$ स्थिति 2 को छोड़कर ऊपर दिए गए प्रत्येक स्थिति में सत्य है, क्योंकि यह एकमात्र स्थिति है जब $P$ सत्य है किन्तु $Q$ क्या नहीं है। उदाहरण का उपयोग करते हुए, यदि $P$ तब $Q$ व्यक्त करता है कि यदि बाहर बारिश हो रही है, तो कंसास के ऊपर ठंडा-मोर्चा है। भौतिक सशर्त अधिकांशतः भौतिक कार्य-कारण के साथ भ्रमित होता है। चूंकि, भौतिक सशर्त, केवल दो प्रस्तावों को उनके सत्य-मानों से संबंधित करता है - जो कि कारण और प्रभाव का संबंध नहीं है। यह साहित्य में विवादास्पद है कि भौतिक निहितार्थ तार्किक कारण का प्रतिनिधित्व करता है या नहीं।
द्विशर्त दो सरल तर्कवाक्यों को जोड़ता है, और हम लिखते हैं $P \leftrightarrow Q$ , जिसे पढ़ा जाता है $P$ यदि और केवल यदि $Q$ . यह व्यक्त करता है $P$ और $Q$ समान सत्य-मान है, और स्थितियों 1 और 4 में।' $P$ सत्य है यदि और केवल यदि $Q$ ' सत्य है, अन्यथा असत्य है।

इन विभिन्न ऑपरेटरों के साथ-साथ विश्लेषणात्मक की विधि के लिए सत्य तालिकाओं को देखना बहुत सहायक है।

संचालन के अनुसार बंद

सत्य-कार्यात्मक संयोजकों के अंतर्गत प्रस्तावात्मक तर्क समापन (गणित) है। अर्थात किसी प्रस्ताव के लिए $φ$ , $\neg φ$ भी प्रस्ताव है। इसी तरह, किसी भी प्रस्ताव के लिए $φ$ और $ψ$ , $φ \land ψ$ प्रस्ताव है, और इसी तरह संयोजन, सशर्त और द्विप्रतिबंध के लिए। इसका तात्पर्य है कि, उदाहरण के लिए, $φ \land ψ$ प्रस्ताव है, और इसलिए इसे दूसरे प्रस्ताव के साथ जोड़ा जा सकता है। इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए, हमें यह इंगित करने के लिए कोष्ठकों का उपयोग करने की आवश्यकता है कि कौन सा प्रस्ताव किसके साथ जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, $P \land Q \land R$ सुनिर्मित सूत्र नहीं है, क्योंकि हम नहीं जानते कि क्या हम जुड़ रहे हैं $P \land Q$ साथ $R$ या यदि हम जुड़ रहे हैं $P$ साथ $Q \land R$ . इस प्रकार हमें या तो लिखना चाहिए, $(P \land Q) \land R$ के पूर्व का प्रतिनिधित्व करने के लिए, या $P \land (Q \land R)$ बाद का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता हैं। सत्य स्थितियों का मानांकन करके, हम देखते हैं कि दोनों अभिव्यक्तियों में समान सत्य स्थितियाँ हैं (समान स्थितियों में सत्य होंगी), और इसके अतिरिक्त मनमाने संयोजनों द्वारा बनाए गए किसी भी प्रस्ताव की समान सत्य स्थितियाँ होंगी, कोष्ठकों के स्थान की परवाह किए बिना किया जाता हैं। इसका मतलब यह है कि संयुग्मन साहचर्य संपत्ति है, चूंकि, किसी को यह नहीं मान लेना चाहिए कि कोष्ठक कभी भी उद्देश्य की पूर्ति नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, वाक्य $P \land (Q \lor R)$ की समान सत्य स्थिति नहीं है $(P \land Q) \lor R$ , इसलिए वे अलग-अलग वाक्य हैं जो केवल कोष्ठकों द्वारा प्रतिष्ठित हैं। उपरोक्त संदर्भित सत्य-तालिका विधि द्वारा इसे सत्यापित किया जा सकता है।

नोट: किसी भी मनमानी संख्या के प्रस्तावक स्थिरांक के लिए, हम स्थितियों की परिमित संख्या बना सकते हैं जो उनके संभावित सत्य-मानों को सूचीबद्ध करते हैं। इसे उत्पन्न करने का सरल विधि सत्य-सारणी है, जिसमें कोई लिखता है $P$ , $Q$ , ..., $Z$ , किसी भी सूची के लिए $k$ प्रस्तावनात्मक स्थिरांक—अर्थात्, प्रस्तावनात्मक स्थिरांक की कोई भी सूची $k$ प्रविष्टियाँ उपयोग कर सकता हैं। इस सूची के नीचे लिखता है $2 k$ पंक्तियाँ, और नीचे $P$ पंक्तियों के पहले आधे भाग को सही (या T) से भरता है और दूसरे आधे हिस्से को असत्य (या F) से भरता है। नीचे $Q$ टी के साथ एक-चौथाई पंक्तियों में भरता है, फिर एक-चौथाई एफ के साथ, फिर एक-चौथाई टी के साथ और अंतिम तिमाही एफ के साथ। अगला कॉलम पंक्तियों के प्रत्येक आठवें के लिए सही और असत्य के बीच वैकल्पिक होता है, फिर सोलहवीं, और इसी तरह, जब तक कि प्रत्येक पंक्ति के लिए T और F के बीच अंतिम प्रस्ताविक स्थिरांक भिन्न न हो जाए। यह उन प्रस्तावित स्थिरांकों के लिए संभावित स्थितियों या सत्य-मान असाइनमेंट की पूरी सूची देगा।

तर्क

प्रस्तावपरक कलन तब तर्क को प्रस्तावों की सूची के रूप में परिभाषित करता है। वैध तर्क प्रस्तावों की सूची है, जिनमें से अंतिम - बाकी से - या निहित है। अन्य सभी तर्क अमान्य हैं। सरलतम मान्य तर्क है मूड समुच्चय करना, जिसका उदाहरण प्रस्तावों की निम्नलिखित सूची है:

{\begin{array}{rl}1.&P\to Q\\2.&P\\\hline \therefore &Q\end{array}}

यह तीन प्रस्तावों की सूची है, प्रत्येक पंक्ति प्रस्ताव है, और अंतिम शेष से अनुसरण करता है। पहली दो पंक्तियों को परिसर कहा जाता है, और अंतिम पंक्ति को निष्कर्ष कहा जाता है। हम कहते हैं कि कोई प्रस्ताव $C$ प्रस्तावों के किसी भी समुच्चय से अनुसरण करता है $(P_{1},...,P_{n})$ , यदि $C$ जब भी समुच्चय के प्रत्येक सदस्य $(P_{1},...,P_{n})$ को सत्य होना चाहिए क्या ये सत्य है। उपरोक्त तर्क में, किसी के लिए $P$ और $Q$ , जब कभी भी $P \to Q$ और $P$ सत्य हैं, अनिवार्य रूप से $Q$ क्या सत्य है। ध्यान दें कि कब $P$ सत्य है, हम केस 3 और 4 (सत्य तालिका से) पर विचार नहीं कर सकते हैं। कब $P \to Q$ सत्य है, हम स्थिति 2 पर विचार नहीं कर सकते। यह केवल स्थिति 1 को छोड़ता है, जिसमें $Q$ भी सत्य है। इस प्रकार $Q$ परिसर द्वारा निहित है।

यह योजनाबद्ध रूप से सामान्यीकरण करता है। इस प्रकार, कहाँ $φ$ और $ψ$ कोई भी प्रस्ताव हो सकता है,

{\begin{array}{rl}1.&\varphi \to \psi \\2.&\varphi \\\hline \therefore &\psi \end{array}}

तर्क के अन्य रूप सुविधाजनक हैं, किन्तु आवश्यक नहीं हैं। स्वयंसिद्धों के पूर्ण समुच्चय को देखते हुए (ऐसे समुच्चय के लिए नीचे देखें), प्रस्तावपरक तर्क में अन्य सभी तर्क रूपों को सिद्ध करने के लिए मॉडस पोनेन्स पर्याप्त हैं, इस प्रकार उन्हें व्युत्पन्न माना जा सकता है। ध्यान दें, यह पहले क्रम के तर्क जैसे अन्य तर्कों के लिए प्रस्तावात्मक तर्क के विस्तार के बारे में सत्य नहीं है। पूर्णता (तर्क) प्राप्त करने के लिए पहले क्रम के तर्क को अनुमान के कम से कम अतिरिक्त नियम की आवश्यकता होती है।

औपचारिक तर्कशास्त्र में तर्क का महत्व यह है कि व्यक्ति स्थापित सत्यों से नए सत्य प्राप्त कर सकता है। उपरोक्त पहले उदाहरण में, दो परिसरों को देखते हुए, की सत्य्चाई $Q$ अभी तक ज्ञात या कहा नहीं गया है। तर्क दिए जाने के बाद, $Q$ निकाला जाता है। इस तरह, हम परिणाम प्रणाली को उन सभी प्रस्तावों के समुच्चय के रूप में परिभाषित करते हैं जिन्हें प्रस्तावों के दूसरे समुच्चय से घटाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रस्तावों के समुच्चय को देखते हुए $A=\{P\lor Q,\neg Q\land R,(P\lor Q)\to R\}$ , हम परिणाम प्रणाली को परिभाषित कर सकते हैं, $Γ$ , जो उन सभी प्रस्तावों का समुच्चय $A$ है जिनका पालन किया जाता है, निगमन प्रमेय अनुमान के आभासी नियम सदैव मान लिए जाते हैं, इसलिए $P\lor Q,\neg Q\land R,(P\lor Q)\to R\in \Gamma$ . इसके अतिरिक्त, के पहले तत्व से $A$ , अंतिम तत्व, साथ ही मोड समुच्चयिंग, $R$ परिणाम है, और इसलिए $R\in \Gamma$ . चूँकि हमने पर्याप्त रूप से पूर्ण स्वयंसिद्धों को सम्मलित नहीं किया है, चूंकि, और कुछ भी नहीं निकाला जा सकता है। इस प्रकार, यदि प्रस्तावात्मक तर्क में अध्ययन की गई अधिकांश निगमन प्रणालियाँ निष्कर्ष निकालने में सक्षम हैं $(P\lor Q)\leftrightarrow (\neg P\to Q)$ , यह प्रस्ताव इस तरह के प्रस्ताव को सिद्ध करने के लिए बहुत कमजोर है।

एक प्रस्तावक कलन का सामान्य विवरण

प्रस्तावपरक विश्लेषण औपचारिक प्रणाली है ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\left(\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} \right)$ , कहाँ:

'अल्फा सेट $\mathrm {A}$ प्रस्ताव प्रतीक या प्रस्तावात्मक चरs कहे जाने वाले तत्वों का एक अनगिनत अनंत सेट है। वाक्यात्मक रूप से बोलना, ये औपचारिक भाषा के सबसे मौलिक तत्व हैं ${\mathcal {L}}$ , अन्यथा परमाणु सूत्रs या टर्मिनल तत्व के रूप में जाना जाता है। अनुसरण किए जाने वाले उदाहरणों में, के तत्व $\mathrm {A}$ प्रायः अक्षर होते हैं $p$ , $q$ , $r$ .
ओमेगा सेट Template:गणित ऑपरेटर प्रतीक या तार्किक संयोजकs नामक तत्वों का एक सीमित सेट है। समुच्चय Template:गणित विभाजित असंयुक्त उपसमुच्चयों में निम्नानुसार है: $\Omega =\Omega _{0}\cup \Omega _{1}\cup \cdots \cup \Omega _{j}\cup \cdots \cup \Omega _{m}.$
इस स्थिति में, $\Omega _{j}$ के ऑपरेटर प्रतीकों का सेट है arity $j$ .
अधिक परिचित प्रस्तावात्मक गणना में, $Ω$ को प्रायः निम्नानुसार विभाजित किया जाता है:

$\Omega _{1}=\{\lnot \},$

$\Omega _{2}\subseteq \{\land ,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}.$

एक बार-बार अपनाया गया सम्मेलन स्थिरांक तार्किक मूल्य को एरिटी शून्य के संचालक के रूप में मानता है, इस प्रकार:: $\Omega _{0}=\{\bot ,\top \}.$
कुछ लेखक टिल्ड (~) का प्रयोग करते हैं , या एन, के अतिरिक्त $\neg$ ; और कुछ इसके अतिरिक्त v का उपयोग करते हैं $\vee$ साथ ही एम्परसैंड (&), उपसर्ग K, या $\cdot$ इसके अतिरिक्त $\wedge$ . तार्किक मानों के सेट के लिए अंकन और भी अधिक भिन्न होता है, जैसे प्रतीकों के साथ {false, true}, {F, T}, or {0, 1} इसके बजाय सभी को विभिन्न संदर्भों में देखा जा रहा है $\{\bot ,\top \}$ .
जीटे समुच्चय $\mathrm {Z}$ रूपांतरण नियमों का परिमित समुच्चय है जिसे अनुमान नियमs कहा जाता है जब वे तार्किक अनुप्रयोग प्राप्त करते हैं।
आयोटा समुच्चय $\mathrm {I}$ आरंभिक बिंदुओं का एक गणनीय समुच्चय है जिसे स्वयंसिद्धs कहा जाता है जब वे तार्किक व्याख्या प्राप्त करते हैं।

की भाषा ${\mathcal {L}}$ , इसके सूत्रों के समुच्चय के रूप में भी जाना जाता है, अच्छी तरह से गठित सूत्र, निम्नलिखित नियमों द्वारा आगमनात्मक परिभाषा है:

आधार: अल्फा समुच्चय का कोई भी तत्व $\mathrm {A}$ का सूत्र है ${\mathcal {L}}$ .
यदि $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{j}$ सूत्र हैं और $f$ में है $\Omega _{j}$ , तब $\left(fp_{1}p_{2}\ldots p_{j}\right)$ सूत्र है।
बंद: और कुछ का सूत्र नहीं है ${\mathcal {L}}$ .

इन नियमों का बार-बार प्रयोग जटिल सूत्रों के निर्माण की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए:

नियम 1 द्वारा, $p$ सूत्र है।
नियम 2 द्वारा, $\neg p$ सूत्र है।
नियम 1 द्वारा, $q$ सूत्र है।
नियम 2 द्वारा, $(\neg p\lor q)$ सूत्र है।

उदाहरण 1। सरल स्वयंसिद्ध प्रणाली

होने देना ${\mathcal {L}}_{1}={\mathcal {L}}(\mathrm {A} ,\Omega ,\mathrm {Z} ,\mathrm {I} )$ , कहाँ $\mathrm {A}$ , $\Omega$ , $\mathrm {Z}$ , $\mathrm {I}$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

समुच्चय $\mathrm {A}$ तार्किक प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्य करने वाले प्रतीकों का अनगिनत अनंत समुच्चय:
$\mathrm {A} =\{p,q,r,s,t,u,p_{2},\ldots \}.$
कार्यात्मक रूप से पूरा समुच्चय $\Omega$ तार्किक संचालकों (तार्किक संयोजकता और निषेध) की संख्या इस प्रकार है। संयोजन, वियोग और निहितार्थ के लिए तीन संयोजकों में से ( $\wedge ,\lor$ , और $\to$ ), को के रूप में लिया जा सकता है और अन्य दो को इसके और निषेध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है ( $\neg$ ).^[11] वैकल्पिक रूप से, सभी तार्किक ऑपरेटरों को एकमात्र पर्याप्त ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जैसे शेफर लाइन इत्यादि। द्विसशर्त ( $a\leftrightarrow b$ ) निश्चित रूप से संयोजन और निहितार्थ के रूप में $(a\to b)\land (b\to a)$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, प्रस्तावपरक विश्लेषण के दो संचालन के रूप में निषेध और निहितार्थ को अपनाना ओमेगा समुच्चय होने के समान है $\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$ विभाजन इस प्रकार है:
$\Omega _{1}=\{\lnot \},$

$\Omega _{2}=\{\to \}.$

तब $a\lor b$ परिभाषित किया जाता है $\neg a\to b$ , और $a\land b$ परिभाषित किया जाता है $\neg (a\to \neg b)$ .

समुच्चय $\mathrm {I}$ $\mathrm {I}$ (तार्किक परिणाम के प्रारंभिक बिंदुओं का समुच्चय, अर्थात, तार्किक स्वयंसिद्ध) जन लुकासिविक्ज़ द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्ध प्रणाली है, और हिल्बर्ट प्रणाली के प्रस्ताव-कलन भाग के रूप में उपयोग किया जाता है। स्वयंसिद्ध सभी प्रतिस्थापन उदाहरण हैं:
- $p\to (q\to p)$
- $(p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))$
- $(\neg p\to \neg q)\to (q\to p)$
समुच्चय $\mathrm {Z}$ रूपांतरण के नियम (अनुमान के नियम) एकमात्र नियम मोडस पोनेन्स है (अर्थात, प्रपत्र के किसी भी सूत्र से $\varphi$ और $(\varphi \to \psi )$ , अनुमान $\psi$ )।

इस प्रणाली का उपयोग मेटामैथ set.mm औपचारिक प्रमाण डेटाबेस में किया जाता है।

उदाहरण 2। प्राकृतिक परिणाम प्रणाली

होने देना ${\mathcal {L}}_{2}={\mathcal {L}}(\mathrm {A} ,\Omega ,\mathrm {Z} ,\mathrm {I} )$ , कहाँ $\mathrm {A}$ , $\Omega$ , $\mathrm {Z}$ , $\mathrm {I}$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

अल्फा समुच्चय $\mathrm {A}$ , प्रतीकों का अनगिनत अनंत समुच्चय है, उदाहरण के लिए:
$\mathrm {A} =\{p,q,r,s,t,u,p_{2},\ldots \}.$
ओमेगा समुच्चय $\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$ विभाजन इस प्रकार है:
$\Omega _{1}=\{\lnot \},$

$\Omega _{2}=\{\land ,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}.$

प्रस्तावपरक विश्लेषण के निम्नलिखित उदाहरण में, रूपांतरण नियमों को तथाकथित प्राकृतिक परिणाम प्रणाली के अनुमान नियमों के रूप में व्याख्या करने का आशय है। यहां प्रस्तुत विशेष प्रणाली में कोई प्रारंभिक बिंदु नहीं है, जिसका अर्थ है कि तार्किक अनुप्रयोगों के लिए इसकी व्याख्या खाली स्वयंसिद्ध समुच्चय से प्रमेयों को प्राप्त करती है।

प्रारंभिक बिंदुओं का समुच्चय खाली है, अर्थात $\mathrm {I} =\varnothing$ .
परिवर्तन नियमों का समुच्चय, $\mathrm {Z}$ , का वर्णन इस प्रकार है:

हमारे प्रस्ताविक कलन में ग्यारह अनुमान नियम हैं। ये नियम हमें अन्य सत्य्चे सूत्रों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं, जो कि सूत्रों का समुच्चय है जिसे सत्य माना जाता है। पहले दस केवल यह कहते हैं कि हम अन्य अच्छी तरह से निर्मित सूत्रों से कुछ अच्छी तरह से निर्मित सूत्रों का अनुमान लगा सकते हैं। अंतिम नियम चूंकि इस अर्थ में काल्पनिक तर्क का उपयोग करता है कि नियम के आधार में हम अस्थायी रूप से अनुमानित सूत्रों के समुच्चय का भाग बनने के लिए (अप्रमाणित) परिकल्पना मान लेते हैं, यह देखने के लिए कि क्या हम निश्चित अन्य सूत्र का अनुमान लगा सकते हैं। चूंकि पहले दस नियम ऐसा नहीं करते हैं, इसलिए उन्हें सामान्यतः गैर-काल्पनिक नियमों के रूप में वर्णित किया जाता है, और अंतिम को काल्पनिक नियम के रूप में वर्णित किया जाता है।

रूपांतरण नियमों का वर्णन करने में, हम धातुभाषा प्रतीक का परिचय दे सकते हैं $\vdash$ . यह अनुमान लगाने के लिए मूल रूप से सुविधाजनक आशुलिपि है। स्वरूप है $\Gamma \vdash \psi$ , जिसमें $Γ$ परिसर नामक सूत्रों का (संभवतः खाली) समुच्चय है, और $ψ$ सूत्र है जिसे निष्कर्ष कहा जाता है। परिवर्तन नियम $\Gamma \vdash \psi$ इसका मतलब है कि यदि हर प्रस्ताव में $Γ$ प्रमेय है (या स्वयंसिद्धों के समान सत्य मान है), तब $ψ$ प्रमेय भी है। ध्यान दें कि निम्नलिखित नियम संयोजन परिचय पर विचार करते हुए, हम जब भी जानेंगे $Γ$ से अधिक सूत्र हैं, हम सदैव संयोजन का उपयोग करके इसे सूत्र में सुरक्षित रूप से कम कर सकते हैं। तो संक्षेप में, उस समय से हम प्रतिनिधित्व कर सकते हैं $Γ$ समुच्चय के अतिरिक्त सूत्र के रूप में। सुविधा के लिए और चूक कब है $Γ$ खाली समुच्चय है, जिस स्थिति में $Γ$ प्रकट नहीं हो सकता।

निषेध परिचय: $(p\to q)$ & $(p\to \neg q)$ , अनुमान $\neg p$ .; वह है, $\{(p\to q),(p\to \neg q)\}\vdash \neg p$ .
ऋणात्मक उन्मूलन: $\neg p$ , अनुमान $(p\to r)$ .; वह है, $\{\neg p\}\vdash (p\to r)$ .
दोहरा निषेध उन्मूलन: से $\neg \neg p$ , अनुमान $p$ .; वह है, $\neg \neg p\vdash p$ .
संयोजन परिचय: से $p$ और $q$ , अनुमान $(p\land q)$ .; वह है, $\{p,q\}\vdash (p\land q)$ .
संयोजन विलोपन: से $(p\land q)$ , अनुमान $p$ .; से $(p\land q)$ , अनुमान $q$ .; वह है, $(p\land q)\vdash p$ और $(p\land q)\vdash q$ .
वियोग परिचय: से $p$ , अनुमान $(p\lor q)$ .; से $q$ , अनुमान $(p\lor q)$ .; वह है, $p\vdash (p\lor q)$ और $q\vdash (p\lor q)$ .
वियोग उन्मूलन: से $(p\lor q)$ और $(p\to r)$ और $(q\to r)$ , अनुमान $r$ .; वह है, $\{p\lor q,p\to r,q\to r\}\vdash r$ .
द्विसशर्त परिचय: से $(p\to q)$ और $(q\to p)$ , अनुमान $(p\leftrightarrow q)$ .; वह है, $\{p\to q,q\to p\}\vdash (p\leftrightarrow q)$ .

द्विसशर्त उन्मूलन: से $(p\leftrightarrow q)$ , अनुमान $(p\to q)$ .

से

(p\leftrightarrow q)

, अनुमान

(q\to p)

.

वह है,

(p\leftrightarrow q)\vdash (p\to q)

और

(p\leftrightarrow q)\vdash (q\to p)

.

मोडस समुच्चयिंग (सशर्त उन्मूलन): से $p$ और $(p\to q)$ , अनुमान $q$ .

वह है, $\{p,p\to q\}\vdash q$ .
सशर्त प्रमाण (सशर्त परिचय): [स्वीकार करने से $p$ के प्रमाण की अनुमति देता है $q$ ], अनुमान $(p\to q)$ .; वह है, $(p\vdash q)\vdash (p\to q)$ .

मूल और व्युत्पन्न तर्क रूप

नाम	तर्कसंगत	विवरण
एक वैध, सरल तर्क और निष्कर्ष के नियम के रूप	$((p\to q)\land p)\vdash q$	यदि p तो q, p, इसलिए q
मोडस टोलेंस	$((p\to q)\land \neg q)\vdash \neg p$	यदि p तो q, q नहीं, इसलिए p नहीं
काल्पनिक न्यायवाक्य	$((p\to q)\land (q\to r))\vdash (p\to r)$	यदि p तो q, यदि q तो r, इसलिए, यदि p तो r
वियोगी न्यायवाक्य	$((p\lor q)\land \neg p)\vdash q$	या तो p या q, या दोनों, p नहीं, इसलिए, q
रचनात्मक दुविधा	$((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor r))\vdash (q\lor s)$	यदि p तो q, और यदि r तो एस, लेकिन p या r, इसलिए q या एस
विनाशकारी दुविधा	$((p\to q)\land (r\to s)\land (\neg q\lor \neg s))\vdash (\neg p\lor \neg r)$	यदि p तो q, और यदि r तो s, लेकिन q या नहीं s, इसलिए p या नहीं r नहीं
द्विदिश दुविधा	$((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor \neg s))\vdash (q\lor \neg r)$	यदि p तो q, और यदि r तो एस, लेकिन p या नहीं एस, इसलिए q या r नहीं
सरलीकरण	$(p\land q)\vdash p$	p और q सत्य हैं, इसलिए p सत्य है
संयोजक	$p,q\vdash (p\land q)$	p और q अलग-अलग सत्य हैं, इसलिए वे संयुक्त रूप से सत्य हैं
जोड़ना	$p\vdash (p\lor q)$	p सत्य है, इसलिए वियोजन (p या q) सत्य है
संघटन	$((p\to q)\land (p\to r))\vdash (p\to (q\land r))$	यदि p तो q, और यदि p तो r, इसलिए यदि p सत्य है तो q और r सत्य हैं
डी मॉर्गन प्रमेय (1)	$\neg (p\land q)\vdash (\neg p\lor \neg q)$	(p और q) का निषेधन समतुल्य है। को (नहीं p या नहीं q)
डी मॉर्गन प्रमेय (2)	$\neg (p\lor q)\vdash (\neg p\land \neg q)$	(p या q) का निषेधन समतुल्य है। को (p नहीं और q नहीं)
कम्यूटेशन (1)	$(p\lor q)\vdash (q\lor p)$	(p या q) समतुल्य है। से (q या p)
कम्यूटेशन (2)	$(p\land q)\vdash (q\land p)$	(p और q) समान है। से (q और p)
कम्यूटेशन (3)	$(p\leftrightarrow q)\vdash (q\leftrightarrow p)$	(p समतुल्य है। q के लिए) समतुल्य है। से (q समकक्ष है। p के लिए)
sोसिएशन (1)	$(p\lor (q\lor r))\vdash ((p\lor q)\lor r)$	p या (q या r) समतुल्य है। से (p या q) या r
sोसिएशन (2)	$(p\land (q\land r))\vdash ((p\land q)\land r)$	p और (q और r) समतुल्य है। से (p और q) और r
वितरण (1)	$(p\land (q\lor r))\vdash ((p\land q)\lor (p\land r))$	p और (q या r) समतुल्य है। से (p और q) या (p और r)
वितरण (2)	$(p\lor (q\land r))\vdash ((p\lor q)\land (p\lor r))$	p या (q और r) समतुल्य है। से (p या q) और (p या r)
दोहरा निषेध	$p\vdash \neg \neg p$ and $\neg \neg p\vdash p$	p, p नहीं के निषेध के बराबर है
स्थानांतरण	$(p\to q)\vdash (\neg q\to \neg p)$	यदि p तो q समतुल्य है। यदि q नहीं तो p नहीं
सामग्री निहितार्थ	$(p\to q)\vdash (\neg p\lor q)$	यदि p तो q समतुल्य है। p या q नहीं
सामग्री तुल्यता (1)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\to q)\land (q\to p))$	(p iff q) समतुल्य है। से (यदि p सत्य है तो q सत्य है) और (यदि q सत्य है तो p सत्य है)
सामग्री तुल्यता (2)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\land q)\lor (\neg p\land \neg q))$	(p iff q) समतुल्य है। या तो (p और q सत्य हैं) या (p और q दोनों गलत हैं)
सामग्री तुल्यता (3)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\lor \neg q)\land (\neg p\lor q))$	(p iff q) के बराबर है।, दोनों (p या नहीं q सत्य है) और (p या q सत्य नहीं है)
निर्यात^[12]	$((p\land q)\to r)\vdash (p\to (q\to r))$	से (यदि p और q सत्य हैं तो r सत्य है) हम सिद्ध कर सकते हैं (यदि q सत्य है तो r सत्य है, यदि p सत्य है)
आयात	$(p\to (q\to r))\vdash ((p\land q)\to r)$	अगर p तो (अगर q तो r) अगर p और q तो r के बराबर है
टॉटोलॉजी (1)	$p\vdash (p\lor p)$	p सत्य है। p सत्य है या p सत्य है
टॉटोलॉजी (2)	$p\vdash (p\land p)$	p सत्य है। p सत्य है और p सत्य है
टर्शियम गैर दातूर (बहिष्कृत मध्य का नियम)	$\vdash (p\lor \neg p)$	p या नहीं p सच है
गैर-विरोधाभास का नियम	$\vdash \neg (p\land \neg p)$	p और p नहीं असत्य है, एक सत्य कथन है

प्रस्ताविक कलन में प्रमाण

जब तार्किक अनुप्रयोगों के लिए व्याख्या की जाती है, तो प्रस्तावात्मक कलन के मुख्य उपयोगों में से है, प्रस्तावनात्मक सूत्रों के बीच तार्किक तुल्यता के संबंधों को निर्धारित करना। इन संबंधों को उपलब्ध परिवर्तन नियमों के माध्यम से निर्धारित किया जाता है, जिनके क्रम को व्युत्पत्ति या प्रमाण कहा जाता है।

आगामी चर्चा में, प्रमाण को क्रमांकित पंक्तियों के अनुक्रम के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें प्रत्येक पंक्ति में सूत्र होता है जिसके बाद उस सूत्र को प्रस्तुत करने का कारण या औचित्य होता है। तर्क का प्रत्येक आधार, अर्थात् तर्क की परिकल्पना के रूप में प्रस्तुत की गई धारणा, अनुक्रम की प्रारंभ में सूचीबद्ध है और अन्य औचित्य के बदले आधार के रूप में चिह्नित है। निष्कर्ष अंतिम पंक्ति पर सूचीबद्ध है। प्रमाण पूरा हो गया है यदि प्रत्येक पंक्ति पिछले वाले से परिवर्तन नियम के सही आवेदन से अनुसरण करती है। (विपरीत दृष्टिकोण के लिए, विश्लेषणात्मक झांकी की विधि देखें। प्रमाण-पेड़)।

प्राकृतिक परिणाम प्रणाली में प्रमाण का उदाहरण

दिखाना है $A \to A$ .
इसका संभावित प्रमाण (जो, चूंकि मान्य है, आवश्यकता से अधिक चरणों को समाविष्ट करता है) को निम्नानुसार व्यवस्थित किया जा सकता है:

प्रमाण का उदाहरण
संख्या	सूत्र	कारण
1	$A$	आधार
2	$A\lor A$	से (1) संयोजन परिचय द्वारा
3	$(A\lor A)\land A$	(1) और (2) से संयोजन परिचय द्वारा
4	$A$	से (3) संयुग्मन विलोपन द्वारा
5	$A\vdash A$	(1) से (4) का सारांश
6	$\vdash A\to A$	से (5) सशर्त प्रमाण द्वारा

व्याख्या $A\vdash A$ मान के रूप में $A$ , अनुमान $A$ . पढ़ना $\vdash A\to A$ जैसा कि कुछ भी नहीं मानते हुए, इसका अनुमान लगाएं $A$ तात्पर्य $A$ , या यह वाद विवाद है कि $A$ तात्पर्य $A$ , या $A$ तात्पर्य $A$ यह सदैव सत्य होता है .

एक मौलिक तर्कवाक्य कलन प्रणाली में प्रमाण का उदाहरण

अब हम उसी प्रमेय को सिद्ध करते हैं $A\to A$ जन लुकासिविक्ज़ द्वारा ऊपर वर्णित स्वयंसिद्ध प्रणाली में, जो मौलिक प्रस्तावपरक कैलकुलस के लिए हिल्बर्ट-शैली के डिडक्टिव प्रणाली का उदाहरण है।

स्वयंसिद्ध हैं:

(A1)

(p\to (q\to p))

(आआ)

((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))

(आ)

((\neg p\to \neg q)\to (q\to p))

और प्रमाण इस प्रकार है:

$A\to ((B\to A)\to A)$ ((A1) का उदाहरण)
$(A\to ((B\to A)\to A))\to ((A\to (B\to A))\to (A\to A))$ ((A2) का उदाहरण)
$(A\to (B\to A))\to (A\to A)$ (समुच्चयिंग विधि से (1) और (2) से)
$A\to (B\to A)$ ((A1) का उदाहरण)
$A\to A$ (समुच्चयिंग विधि से (4) और (3) से)

नियमों की सुदृढ़ता और पूर्णता

नियमों के इस समुच्चय के महत्वपूर्ण गुण यह हैं कि वे सुदृढ़ और पूर्ण हैं। अनौपचारिक रूप से इसका अर्थ है कि नियम सही हैं और किसी अन्य नियम की आवश्यकता नहीं है। इन दावों को निम्नानुसार अधिक औपचारिक बनाया जा सकता है।

ध्यान दें कि तर्कवाक्य तर्क की सुदृढ़ता और पूर्णता के प्रमाण स्वयं प्रमाण तर्कवाक्य में प्रमाण नहीं हैं, ये ZFC में प्रमेय हैं जिनका उपयोग मेटाथ्योरी के रूप में किया जाता है, गणित में प्रस्तावपरक तर्क के गुणों को सिद्ध करने के लिए करता हैं।

हम सत्य असाइनमेंट को फ़ंक्शन (गणित) के रूप में परिभाषित करते हैं जो प्रस्तावात्मक चर को 'सही' या 'असत्य' में मैप करता है। अनौपचारिक रूप से इस तरह के सत्य असाइनमेंट को संभावित स्थिति (दर्शन) (या संभावित दुनिया) के विवरण के रूप में समझा जा सकता है जहां कुछ कथन सत्य हैं और अन्य नहीं हैं। सूत्रों के शब्दार्थ को तब परिभाषित करके औपचारिक रूप दिया जा सकता है कि किस स्थिति के लिए उन्हें सत्य माना जाता है, जो कि निम्नलिखित परिभाषा द्वारा किया जाता है।

हम इस तरह के सत्य असाइनमेंट को परिभाषित करते हैं $A$ निम्नलिखित नियमों के साथ निश्चित सुनिर्मित सूत्र को संतुष्ट करता है:

$A$ प्रस्तावात्मक चर को संतुष्ट करता है $P$ यदि और केवल यदि $A (P) = true$
$A$ संतुष्ट $\neg φ$ यदि और केवल यदि $A$ संतुष्ट नहीं करता $φ$
$A$ संतुष्ट $(φ \land ψ)$ यदि और केवल यदि $A$ दोनों को संतुष्ट करता है $φ$ और $ψ$
$A$ संतुष्ट $(φ \lor ψ)$ यदि और केवल यदि $A$ दोनों में से कम से कम को संतुष्ट करता है $φ$ या $ψ$
$A$ संतुष्ट $(φ \to ψ)$ यदि और केवल यदि ऐसा नहीं है $A$ संतुष्ट $φ$ किन्तु नहीं $ψ$
$A$ संतुष्ट $(φ \leftrightarrow ψ)$ यदि और केवल यदि $A$ दोनों को संतुष्ट करता है $φ$ और $ψ$ या उनमें से किसी को भी संतुष्ट नहीं करता है

इस परिभाषा के साथ अब हम यह औपचारिक रूप दे सकते हैं कि सूत्र के लिए इसका क्या अर्थ है $φ$ निश्चित समुच्चय द्वारा निहित होना $S$ सूत्रों का। अनौपचारिक रूप से यह सत्य है यदि सभी दुनिया में संभव है कि सूत्रों का समुच्चय दिया जाए $S$ सूत्र $φ$ भी रखता है। इससे निम्नलिखित औपचारिक परिभाषा प्राप्त होती है: हम कहते हैं कि समुच्चय $S$ अच्छी तरह से गठित सूत्रों का शब्दार्थ निश्चित अच्छी तरह से गठित सूत्र (या तात्पर्य) पर जोर देता है $φ$ यदि सभी सत्य असाइनमेंट जो सभी सूत्रों को संतुष्ट करते हैं $S$ संतुष्ट भी $φ$ सम्मलित हैं।

अंत में हम वाक्य-विन्यास को ऐसे परिभाषित करते हैं $φ$ वाक्य-रचना से जुड़ा हुआ है $S$ यदि और केवल यदि हम इसे उन अनुमान नियमों के साथ प्राप्त कर सकते हैं जो ऊपर चरणों की सीमित संख्या में प्रस्तुत किए गए थे। यह हमें अनुमान नियमों के समुच्चय के ठोस और पूर्ण होने का वास्तव में अर्थ निकालने की अनुमति देता है।

सुदृढ़ता: यदि सुगठित सूत्रों का समुच्चय $S$ वाक्य रचनात्मक रूप से अच्छी तरह से गठित सूत्र पर जोर देता है $φ$ तब $S$ अर्थपूर्ण रूप से $φ$ में सम्मलित है।

पूर्णता: यदि अच्छी तरह से गठित सूत्रों का समुच्चय $S$ शब्दार्थ अच्छी तरह से गठित सूत्र पर जोर देता है $φ$ तब $S$ वाक्यात्मक रूप से $φ$ में सम्मलित है।

उपरोक्त नियमों के समुच्चय के लिए यह वास्तव में स्थिति है।

एक सुदृढ़ता प्रमाण का रेखाचित्र

(अधिकांश तार्किक प्रणालियों के लिए, यह प्रमाण की तुलनात्मक रूप से सरल दिशा है)

नोटेशनल कन्वेंशन: चलो $G$ वाक्यों के समुच्चय से अधिक परिवर्तनशील हो। होने देना $A, B$ और $C$ वाक्यों की सीमा। के लिए $G$ वाक्यात्मक रूप से सम्मलित है $A$ हम लिखते हैं $G$ को सिद्ध करता $A$ . के लिए $G$ अर्थपूर्ण रूप से सम्मलित है $A$ $G$ तात्पर्य $A$ . हम लिखते हैं।

हम दिखाना चाहते हैं: $(A)(G)$ (यदि $G$ को सिद्ध करता $A$ , तब $G$ तात्पर्य $A$ ).

हमने ध्यान दिया कि $G$ को सिद्ध करता $A$ एक आगमनात्मक परिभाषा है, और यह हमें फॉर्म के दावों को प्रदर्शित करने के लिए तत्काल संसाधन प्रदान करती है $G$ को सिद्ध करता $A$ , तब ... । तो हमारा प्रमाण प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है।

आधार। दिखाएँ: यदि $A$ $G$ का सदस्य है, तो $G$ का तात्पर्य $A$ से है।
आधार। दिखाएँ: यदि $A$ एक अभिगृहीत है, तो $G$ का तात्पर्य $A$ से है।
आगमनात्मक चरण ( $n$ पर आगमन, प्रमाण की लंबाई): Template:आदेशित सूची

ध्यान दें कि आधार चरण II को प्राकृतिक परिणाम प्रणालियों के लिए छोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके पास कोई अभिगृहीत नहीं है। उपयोग किए जाने पर, चरण II में यह दिखाना सम्मलित है कि प्रत्येक स्वयंसिद्ध (सिमेंटिक) तार्किक सत्य है।

बेसिस चरण प्रदर्शित करते हैं कि सरलतम सिद्ध करने योग्य वाक्य $G$ से भी अभिप्राय हैं $G$ , किसी के लिए $G$ . (साक्ष्य सरल है, क्योंकि शब्दार्थ तथ्य यह है कि समुच्चय अपने सदस्यों में से किसी को भी दर्शाता है, यह भी अनुपयोगी है।) आगमनात्मक कदम व्यवस्थित रूप से आगे के सभी वाक्यों को कवर करेगा जो सिद्ध हो सकते हैं - प्रत्येक स्थिति पर विचार करके जहां हम तार्किक निष्कर्ष पर पहुंच सकते हैं। अनुमान नियम का उपयोग करना - और दिखाता है कि यदि कोई नया वाक्य साध्य है, तो यह तार्किक रूप से निहित भी है। (उदाहरण के लिए, हमारे पास यह बताने वाला नियम हो सकता है कि from $A$ हम प्राप्त कर सकते हैं $A$ या $B$ . III.a में हम मानते हैं कि यदि $A$ साध्य है यह निहित है। हम यह भी जानते हैं कि यदि $A$ तब सिद्ध होता है $A$ या $B$ साध्य है। हमें तब दिखाना होगा $A$ या $B$ भी निहित है। हम सिमेंटिक परिभाषा और हमारे द्वारा अभी बनाई गई धारणा के लिए अpल करके ऐसा करते हैं। $A$ से सिद्ध होता है $G$ , हम यह मानते है कि। तो यह द्वारा भी निहित है $G$ . तो कोई भी सिमेंटिक वैल्यूएशन सभी को बना रहा है $G$ सत्य बनाता है $A$ सत्य। किन्तु कोई वैल्यूएशन मेकिंग $A$ सत्य बनाता है $A$ या $B$ सत्य है, या के लिए परिभाषित शब्दार्थ द्वारा। तो कोई भी मानांकन जो सभी को बनाता है $G$ सत्य बनाता है $A$ या $B$ सत्य। इसलिए $A$ या $B$ निहित है।) सामान्यतः, इंडक्टिव स्टेप में स्थितियों द्वारा लंबा किन्तु सरल प्रमाण सम्मलित होगा। स्थिति-दर-स्थिति विश्लेषण के सभी नियमों का विश्लेषण, यह दर्शाता है कि प्रत्येक सिमेंटिक निहितार्थ को संरक्षित करता है।

प्रोविबिलिटी की परिभाषा के अनुसार, इसके सदस्य होने के अतिरिक्त कोई भी वाक्य सिद्ध नहीं होता है $G$ , स्वयंसिद्ध, या नियम के अनुसार, इसलिए यदि उन सभी को सिमेंटिक रूप से निहित किया जाता है, तो डिडक्शन कैलकुलस ध्वनि है।

पूर्णता प्रमाण का रेखाचित्र

(यह सामान्यतः प्रमाण की अधिक कठिन दिशा है।)

हम उपरोक्त के समान ही सांकेतिक सम्मेलनों को अपनाते हैं।

हम दिखाना चाहते हैं: यदि $G$ तात्पर्य $A$ , तब $G$ को सिद्ध करता $A$ . हम गर्भनिरोधक द्वारा आगे बढ़ते हैं: इसके अतिरिक्त हम दिखाते हैं कि यदि $G$ सिद्ध नहीं होता $A$ तब $G$ मतलब नहीं है $A$ . यदि हम दिखाते हैं कि गणितीय प्रारूप है जहाँ $A$ बावजूद नहीं रखता $G$ सत्य हो रहा है, तो प्रकट है $G$ मतलब नहीं है $A$ . विचार यह है कि इस तरह के प्रारूप को हमारी धारणा से बनाया जाए $G$ सिद्ध नहीं होता $A$ .

$G$ सिद्ध नहीं होता $A$ . (मान्यता)
यदि G सिद्ध नहीं होता A,तब हम एक (अनंत) मैक्सिमल सेट का निर्माण कर सकते हैं,G^∗, जो का सुपरसेट है G और जो सिद्ध भी नहीं होताA.
1. Place an ordering (with order type ω) भाषा के सभी वाक्यों पर (उदाहरण के लिए, सबसे छोटा पहले, और समान रूप से लंबे विस्तारित वर्णमाला क्रम में), और उन्हें संख्या दें $(E 1, E 2, ...)$
2. एक श्रृंखला को परिभाषित करें G_n सेट का (G₀, G₁, ...) उपपादन:
  1. $G_{0}=G$
  2. If $G_{k}\cup \{E_{k+1}\}$ को सिद्ध करता $A$ , then $G_{k+1}=G_{k}$
  3. If $G_{k}\cup \{E_{k+1}\}$ does not prove $A$ , तब $G_{k+1}=G_{k}\cup \{E_{k+1}\}$
3. परिभाषित करना $G *$ सभी के संघ के रूप में $G n$ . (वह है, $G *$ किसी भी में मौजूद सभी वाक्यों का सेट है $G n$ .)
4. इसे आसानी से दिखाया जा सकता है
  1. $G *$ contains (is a superset of) $G$ (by (b.i));
  2. $G *$ सिद्ध नहीं होता $A$ (क्योंकि प्रमाण में केवल बहुत से वाक्य होंगे और जब उनमें से अंतिम को कुछ में पेश किया जाएगा $G n$ , वह $G n$ साबित होगा $A$ की परिभाषा के विपरीत $G n$ );और
  3. $G *$ के संबंध में एक अधिकतम सेट है $A$ : यदि कोई और वाक्य जो कुछ भी जोड़ा गया हो $G *$ , यह साबित होगा $A$ . (क्योंकि यदि कोई और वाक्य जोड़ना संभव था, तो उन्हें तब जोड़ा जाना चाहिए था जब वे निर्माण के दौरान सामने आए थे $G n$ , परिभाषा के अनुसार फिर से)
अगर G^∗ के संबंध में एक अधिकतम सेट है A, तो यह सत्य जैसा है। इसका मतलब है कि इसमें शामिल है C अगर और केवल अगर इसमें नहीं शामिल है ¬C; अगर इसमें शामिल हैC और शामिल हैं "अगरC तब B" तो इसमें भी शामिल है B; इत्यादि। इसे दिखाने के लिए, निम्नलिखित के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली को पर्याप्त रूप से मजबूत दिखाना होगा:
- किसी भी सूत्र के लिए $C$ और $D$ ,अगर यह दोनों साबित करता है $C$ और $\negC$ , तो सिद्ध होता है Template:मवार। इससे यह पता चलता है कि $A$ के संबंध में एक अधिकतम समुच्चय $C$ और $\negC$ दोनों को सिद्ध नहीं कर सकता, अन्यथा यह $A} को सिद्ध करेगा। }.$
- किसी भी सूत्र के लिए $C$ और $D$ , यदि यह $C$ → $D$ और $\negC$ →{ दोनों को सिद्ध करता है {mvar, तो यह $D$ को सिद्ध करता है। कटौती प्रमेय के साथ इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि किसी भी सूत्र के लिए, या तो इसका निषेध $'G *$ : माना $B$ में कोई एक सूत्र हो G^∗; तो G^∗ $B$ के योग से $A$ सिद्ध होता है। इस प्रकार निगमन प्रमेय से यह पता चलता है कि G^∗ $B$ → $A$ सिद्ध करता है। लेकिन मान लीजिए $\negB$ भी G^∗ में नहीं थे, तो उसी तर्क से G^∗ भी सिद्ध करता है $\negB$ → $A$ ; लेकिन तब G^∗ $A$ को सिद्ध करता है, जिसे हम पहले ही झूठा दिखा चुके हैं।
- किसी भी सूत्र $C$ और $D$ के लिए, यदि यह $C$ और $D$ को सिद्ध करता है, तो यह $C$ को सिद्ध करता है। Template:मवार।
- किसी भी सूत्र $C$ और $D$ के लिए, यदि यह $C$ और $\negD$ को सिद्ध करता है, तो यह ¬( $C} को सिद्ध करता है$ →Template:मवर)।
- किसी भी सूत्र $C$ और $D$ के लिए, यदि यह $\negC$ को सिद्ध करता है, तो यह $C$ → $D$ को सिद्ध करता है। .
यदि अतिरिक्त तार्किक संक्रिया (जैसे संयोजन और/या संयोजन) शब्दावली का भी हिस्सा हैं, तो स्वयंसिद्ध प्रणाली पर अतिरिक्त आवश्यकताएँ हैं (उदाहरण के लिए यदि यह सिद्ध होता हैC and D,यह उनके संयोजन को भी सिद्ध करेगा)।
यदि $G *$ सत्य-जैसा है तो $G *$ -प्रामाणिक मूल्यांकन है भाषा: वह जो $G *$ के प्रत्येक वाक्य को सत्य और बाहर के प्रत्येक वाक्य को सत्य बनाती है $G *$ भाषा में शब्दार्थ रचना के नियमों का पालन करते हुए भी असत्य। ध्यान दें कि आवश्यकता यह है कि यह सत्य की तरह है, यह गारंटी देने के लिए आवश्यक है कि भाषा में शब्दार्थ रचना के नियम इस सत्य असाइनमेंट से संतुष्ट होंगे।
A $G *$ -प्रामाणिक मूल्यांकन हमारे मूल सेट $G$ को पूर्ण रूप से सत्य और $A$ को असत्य बना देगा।
यदि कोई मूल्यांकन है जिस पर $G$ सत्य हैं और $A$ असत्य है तो $G$ (अर्थात्) मतलब नहीं है $A$ .

इस प्रकार प्रत्येक प्रणाली जिसमें अनुमान नियम के रूप में मॉडस पोनेन्स है, और निम्नलिखित प्रमेयों को सिद्ध करता है (इसके प्रतिस्थापन सहित) पूर्ण है:

$p\to (\neg p\to q)$
$(p\to q)\to ((\neg p\to q)\to q)$
$p\to (q\to (p\to q))$
$p\to (\neg q\to \neg (p\to q))$
$\neg p\to (p\to q)$
$p\to p$
$p\to (q\to p)$
$(p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))$

पहले पांच का उपयोग उपरोक्त चरण III में पांच शर्तों की संतुष्टि के लिए किया जाता है, और अंतिम तीन का परिणाम प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी अन्य पुनरुक्ति के रूप में, पहले वर्णित मौलिक प्रस्तावपरक कलन प्रणाली के तीन स्वयंसिद्धों को किसी भी प्रणाली में सिद्ध किया जा सकता है जो उपरोक्त को संतुष्ट करता है, अर्थात् अनुमान नियम के रूप में मॉडस पोनेंस है, और उपरोक्त को सिद्ध करता है आठ प्रमेय (इसके प्रतिस्थापन सहित)। आठ प्रमेयों में से, अंतिम दो तीन स्वयंसिद्धों में से दो हैं, तीसरा स्वयंसिद्ध, $(\neg q\to \neg p)\to (p\to q)$ , सिद्ध भी किया जा सकता है, जैसा कि अब हम दिखाते हैं।

प्रमाण के लिए हम काल्पनिक न्यायवाक्य #प्रमाण 2 (इस स्वयंसिद्ध प्रणाली के लिए प्रासंगिक रूप में) का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि यह केवल दो स्वयंसिद्धों पर निर्भर करता है जो पहले से ही आठ प्रमेयों के उपरोक्त समुच्चय में हैं।

प्रमाण तो इस प्रकार है:

$q\to (p\to q)$ (सातवें प्रमेय का उदाहरण)
$(q\to (p\to q))\to ((\neg q\to \neg p)\to (q\to (p\to q)))$ (सातवें प्रमेय का उदाहरण)
$(\neg q\to \neg p)\to (q\to (p\to q))$ (समुच्चयिंग विधि से (1) और (2) से)
$(\neg p\to (p\to q))\to ((\neg q\to \neg p)\to (\neg q\to (p\to q)))$ (काल्पनिक न्यायवाक्य प्रमेय का उदाहरण)
$(\neg p\to (p\to q))$ (पांचवें प्रमेय का उदाहरण)
$(\neg q\to \neg p)\to (\neg q\to (p\to q))$ (से (5) और (4) समुच्चयिंग विधि द्वारा)
$(q\to (p\to q))\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q))$ (द्वितीय प्रमेय का उदाहरण)
$((q\to (p\to q))\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q)))\to ((\neg q\to \neg p)\to ((q\to (p\to q))\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q))))$ (सातवें प्रमेय का उदाहरण)
$(\neg q\to \neg p)\to ((q\to (p\to q))\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q)))$ (समुच्चयिंग विधि से (7) और (8) से)
$((\neg q\to \neg p)\to ((q\to (p\to q))\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q))))\to$
$(((\neg q\to \neg p)\to (q\to (p\to q)))\to ((\neg q\to \neg p)\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q))))$ (आठवीं प्रमेय का उदाहरण)
$((\neg q\to \neg p)\to (q\to (p\to q)))\to ((\neg q\to \neg p)\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q)))$ (से (9) और (10) समुच्चयिंग विधि द्वारा)
$(\neg q\to \neg p)\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q))$ ((3) और (11) समुच्चयिंग विधि से)
$((\neg q\to \neg p)\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q)))\to (((\neg q\to \neg p)\to (\neg q\to (p\to q)))\to ((\neg q\to \neg p)\to (p\to q)))$ (आठवीं प्रमेय का उदाहरण)
$((\neg q\to \neg p)\to (\neg q\to (p\to q)))\to ((\neg q\to \neg p)\to (p\to q))$ (समुच्चयिंग मोड से (12) और (13) से)
$(\neg q\to \neg p)\to (p\to q)$ (समुच्चयिंग मोड से (6) और (14) से)

मौलिक तर्कवाक्य कलन प्रणाली के लिए पूर्णता का सत्यापन

अब हम सत्यापित करते हैं कि पहले वर्णित मौलिक तर्कवाक्य कलन प्रणाली वास्तव में ऊपर उल्लिखित आवश्यक आठ प्रमेयों को सिद्ध कर सकती है। हम हिल्बर्ट प्रणाली द्वारा सिद्ध किए गए कई लेम्मा का उपयोग करते हैं, कुछ उपयोगी प्रमेय और उनके प्रमाण:

(dn1)

\neg \neg p\to p

- दोहरा निषेध मौलिक प्रस्तावपरक कैलकुलस प्रणाली में (एक दिशा)

(dn2)

p\to \neg \neg p

- दोहरा निषेध (दूसरी दिशा)

(hs1)

(q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))

- काल्पनिक न्यायवाक्य का रूप वैकल्पिक रूप

(hs2)

(p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))

- काल्पनिक न्यायवाक्य का दूसरा रूप

(tr1)

(p\to q)\to (\neg q\to \neg p)

- स्थानान्तरण (तर्क) # मौलिक प्रस्तावपरक कलन प्रणाली में किया जाता हैं।

(tr2)

(\neg p\to q)\to (\neg q\to p)

- स्थानान्तरण का दूसरा रूप हैं।

(L1)

p\to ((p\to q)\to q)

(s)

(\neg p\to p)\to p

हम परिकल्पनात्मक न्यायवाक्य की विधि का भी प्रयोग करते हैं, एक मेटाथोरम के रूप में कई प्रमाण चरणों के लिए आशुलिपि के रूप में किया जाता हैं।

$p\to (\neg p\to q)$ $p\to (\neg p\to q)$ - प्रमाण:
1. $p\to (\neg q\to p)$ ((A1) का उदाहरण)
2. $(\neg q\to p)\to (\neg p\to \neg \neg q)$ ((TR1) का उदाहरण)
3. $p\to (\neg p\to \neg \neg q)$ ((1) और (2) काल्पनिक न्यायवाक्य मेटाथोरम का प्रयोग करके)
4. $\neg \neg q\to q$ ((DN1) का उदाहरण)
5. $(\neg \neg q\to q)\to ((\neg p\to \neg \neg q)\to (\neg p\to q))$ ((HS1) का उदाहरण)
6. $(\neg p\to \neg \neg q)\to (\neg p\to q)$ ((4) और (5) से मॉडस पोनेन्स का उपयोग करके)
7. $p\to (\neg p\to q)$ ((3) और (6) काल्पनिक न्यायवाक्य मेटाथोरम का प्रयोग करके)
$(p\to q)\to ((\neg p\to q)\to q)$ $(p\to q)\to ((\neg p\to q)\to q)$ - प्रमाण:
1. $(p\to q)\to ((\neg q\to p)\to (\neg q\to q))$ ((HS1) का उदाहरण)
2. $(\neg q\to q)\to q$ ((L3) का उदाहरण)
3. $((\neg q\to q)\to q)\to (((\neg q\to p)\to (\neg q\to q))\to ((\neg q\to p)\to q))$ ((HS1) का उदाहरण)
4. $((\neg q\to p)\to (\neg q\to q))\to ((\neg q\to p)\to q)$ ((2) और (3) समुच्चयिंग विधि से)
5. $(p\to q)\to ((\neg q\to p)\to q)$ ((1) और (4) काल्पनिक न्यायवाक्य मेटाथोरम का प्रयोग करके)
6. $(\neg p\to q)\to (\neg q\to p)$ ((TR2) का उदाहरण)
7. $((\neg p\to q)\to (\neg q\to p))\to (((\neg q\to p)\to q)\to ((\neg p\to q)\to q))$ ((HS2) का उदाहरण)
8. $((\neg q\to p)\to q)\to ((\neg p\to q)\to q)$ ((6) और (7) से मॉडस पोनेन्स का प्रयोग करके)
9. $(p\to q)\to ((\neg p\to q)\to q)$ ((5) और (8) काल्पनिक न्यायवाक्य मेटाथोरम का प्रयोग करके)
$p\to (q\to (p\to q))$ $p\to (q\to (p\to q))$ - प्रमाण:
1. $q\to (p\to q)$ ((A1) का उदाहरण)
2. $(q\to (p\to q))\to (p\to (q\to (p\to q)))$ ((A1) का उदाहरण)
3. $p\to (q\to (p\to q))$ ((1) और (2) मोडस पोनेन्स का उपयोग करके)
$p\to (\neg q\to \neg (p\to q))$ $p\to (\neg q\to \neg (p\to q))$ - प्रमाण:
1. $p\to ((p\to q)\to q)$ ((L1) का उदाहरण)
2. $((p\to q)\to q)\to (\neg q\to \neg (p\to q))$ ((TR1) का उदाहरण)
3. $p\to (\neg q\to \neg (p\to q))$ ((1) और (2) काल्पनिक न्यायवाक्य मेटाथोरम का प्रयोग करके)
$\neg p\to (p\to q)$ $\neg p\to (p\to q)$ - प्रमाण:
1. $\neg p\to (\neg q\to \neg p)$ ((A1) का उदाहरण)
2. $(\neg q\to \neg p)\to (p\to q)$ ((A3) का उदाहरण)
3. $\neg p\to (p\to q)$ ((1) और (2) काल्पनिक न्यायवाक्य मेटाथोरम का प्रयोग करके)
$p\to p$ - प्रपोजल कैलकुलस में दिया गया प्रमाण मौलिक प्रस्तावपरक कैलकुलस प्रणाली में प्रमाण का उदाहरण
$p\to (q\to p)$ - स्वयंसिद्ध (A1)
$(p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))$ - स्वयंसिद्ध (एए)

पूर्णता प्रमाण के लिए अन्य रूपरेखा

यदि कोई सूत्र टॉटोलॉजी (तर्क) है, तो उसके लिए सत्य तालिका है, जो दर्शाती है कि प्रत्येक मानांकन से सूत्र के लिए सही मान प्राप्त होता है। ऐसे मानांकन पर विचार करें। सबफॉर्मुला की लंबाई पर गणितीय प्रेरण से, दिखाएं कि सबफॉर्मुला की सत्यता या असत्यता उपफॉर्मुला में प्रत्येक प्रस्तावक चर के सत्य या असत्यता (मानांकन के लिए उपयुक्त) से होती है। फिर उपयोग करके सत्य तालिका की पंक्तियों को साथ दो बार मिलाएं ( $P$ सत्य का तात्पर्य है $S$ ) तात्पर्य (( $P$ असत्य तात्पर्य है $S$ ) तात्पर्य $S$ ) . इसे तब तक दोहराते रहें जब तक कि प्रस्तावात्मक चर पर सभी निर्भरताएँ समाप्त नहीं हो जातीं। परिणाम यह है कि हमने दिए गए वाद विवाद को सिद्ध कर दिया है। चूँकि प्रत्येक पुनरुक्ति साध्य है, तर्क पूर्ण है।

एक सत्य-कार्यात्मक प्रस्ताविक कलन की व्याख्या

एक सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावपरक कलन की व्याख्या ${\mathcal {P}}$ के प्रत्येक प्रस्तावक चर के लिए असाइनमेंट (गणितीय तर्क) है ${\mathcal {P}}$ सत्य मानों के या दूसरे (किन्तु दोनों नहीं) का सत्य (T) और असत्य (तर्क) (F), और के तार्किक संयोजक के लिए असाइनमेंट ${\mathcal {P}}$ उनके सामान्य सत्य-कार्यात्मक अर्थ है। ट्रुथ-फंक्शनल प्रस्तावपरक कैलकुलस की व्याख्या को ट्रुथ टेबल के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।^[13]

$n$ के लिए अलग प्रस्तावात्मक प्रतीक $2^{n}$ विशिष्ट संभावित व्याख्याएं हैं। किसी विशेष प्रतीक के लिए $a$ , उदाहरण के लिए, हैं $2^{1}=2$ संभावित व्याख्याएं:

$a$ t असाइन किया गया है, या
$a$ F सौंपा गया है।

जोड़ी के लिए $a$ , $b$ वहाँ हैं $2^{2}=4$ संभावित व्याख्या:

दोनों को सौंपा गया है,
दोनों को F सौंपा गया है,
$a$ t और सौंपा गया है $b$ के लिए आवंटित किया गया है
$a$ F और सौंपा गया है $b$ t सौंपा गया है।^[13]

तब से ${\mathcal {P}}$ $\aleph _{0}$ है, अर्थात्, संख्यामूलक रूप से अनंत अनेक प्रस्तावपरक प्रतीक $2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ हैं, और इसलिए निरंतरता की कार्डिनैलिटी ${\mathcal {P}}$ की अलग-अलग संभावित व्याख्याएं है।^[13]

सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावपरक तर्क के वाक्य की व्याख्या

यदि $φ$ और $ψ$ के सूत्र (गणितीय तर्क) हैं ${\mathcal {P}}$ और ${\mathcal {I}}$ की व्याख्या है ${\mathcal {P}}$ तब निम्नलिखित परिभाषाएँ लागू होती हैं:

व्याख्यात्मक तर्क का वाक्य व्याख्या के अनुसार ${\mathcal {I}}$ सत्य है, यदि ${\mathcal {I}}$ उस वाक्य को सत्य मान T प्रदान करता है। यदि किसी व्याख्या के अंतर्गत कोई वाक्य तार्किक सत्य है, तो उस व्याख्या को उस वाक्य का 'प्रारूप' कहा जाता है।
$φ$ व्याख्या के अनुसार असत्य है ${\mathcal {I}}$ यदि $φ$ के अंतर्गत सत्य नहीं है ${\mathcal {I}}$ .^[13]* प्रस्तावपरक तर्क का वाक्य तार्किक रूप से मान्य है यदि यह हर व्याख्या के अनुसार सत्य है।
$\models$ $φ$ मतलब कि $φ$ तार्किक रूप से मान्य है।
एक वाक्य $ψ$ प्रस्तावपरक तर्क का वाक्य का तार्किक परिणाम है $φ$ यदि जिसके अनुसार कोई व्याख्या नहीं है $φ$ सत्य है और $ψ$ असत्य है।
प्रस्तावपरक तर्क का वाक्य संगति है यदि यह कम से कम व्याख्या के अनुसार सत्य है। यदि यह सुसंगत नहीं है तो यह असंगत है।

इन परिभाषाओं के कुछ परिणाम:

किसी दी गई व्याख्या के लिए दिया गया सूत्र या तो सत्य या असत्य है ।^[13]* कोई भी सूत्र ही व्याख्या के अंतर्गत सत्य और असत्य दोनों नहीं होता।^[13]* $φ$ दी गई व्याख्या के लिए असत्य है, iff $\neg \phi$ उस व्याख्या के लिए सही है, और $φ$ व्याख्या के अनुसार सत्य है iff $\neg \phi$ उस व्याख्या के अनुसार असत्य है।^[13]* यदि $φ$ और $(\phi \to \psi )$ दोनों दी गई व्याख्या के अनुसार सत्य हैं, तो $ψ$ उस व्याख्या के अनुसार सत्य है।^[13]* यदि $\models _{\mathrm {P} }\phi$ और $\models _{\mathrm {P} }(\phi \to \psi )$ , तब $\models _{\mathrm {P} }\psi$ .^[13]* $\neg \phi$ के अंतर्गत सत्य है ${\mathcal {I}}$ iff $φ$ के अंतर्गत सत्य नहीं है ${\mathcal {I}}$ .
$(\phi \to \psi )$ के अंतर्गत सत्य है ${\mathcal {I}}$ iff दोनों में से $φ$ के अंतर्गत सत्य नहीं है ${\mathcal {I}}$ या $ψ$ के अंतर्गत सत्य है ${\mathcal {I}}$ .^[13]* वाक्य $ψ$ प्रस्तावपरक तर्क का वाक्य का शब्दार्थ परिणाम है $φ$ iff $(\phi \to \psi )$ तार्किक रूप से मान्य है, अर्थात $\phi \models _{\mathrm {P} }\psi$ iff $\models _{\mathrm {P} }(\phi \to \psi )$ .^[13]

वैकल्पिक पथरी

प्रस्तावपरक कलन के अन्य संस्करण को परिभाषित करना संभव है, जो स्वयंसिद्धों के माध्यम से तार्किक संचालकों के अधिकांश वाक्य-विन्यास को परिभाषित करता है, और जो केवल अनुमान नियम का उपयोग करता है।

अभिगृहीत

होने देना $φ$ , $χ$ , और $ψ$ अच्छी तरह से गठित सूत्रों के लिए खड़े हो जाओ। (सुगठित सूत्रों में स्वयं कोई ग्रीक अक्षर नहीं होगा, किन्तु केवल बड़े रोमन अक्षर, संयोजी संचालक और कोष्ठक होंगे।) फिर स्वयंसिद्ध इस प्रकार हैं:

Axioms
नाम	स्वयंसिद्ध स्कीमा	विवरण
THEN-1	$\phi \to (\chi \to \phi )$	परिकल्पना $χ$ , निहितार्थ परिचय जोड़ें
THEN-2	$(\phi \to (\chi \to \psi ))\to ((\phi \to \chi )\to (\phi \to \psi ))$	परिकल्पना वितरित करें 𝜙 निहितार्थ से अधिक
AND-1	$\phi \land \chi \to \phi$	संयुग्मन को हटा दें
AND-2	$\phi \land \chi \to \chi$
AND-3	$\phi \to (\chi \to (\phi \land \chi ))$	संयुग्मन का परिचय दें
OR-1	$\phi \to \phi \lor \chi$	संयोजन का परिचय दें
OR-2	$\chi \to \phi \lor \chi$
OR-3	$(\phi \to \psi )\to ((\chi \to \psi )\to (\phi \lor \chi \to \psi ))$	वियोग को दूर करें
NOT-1	$(\phi \to \chi )\to ((\phi \to \neg \chi )\to \neg \phi )$	निषेध का परिचय दें
NOT-2	$\phi \to (\neg \phi \to \chi )$	नकार को दूर करो
NOT-3	$\phi \lor \neg \phi$	बहिष्कृत मध्य, शास्त्रीय तर्क
IFF-1	$(\phi \leftrightarrow \chi )\to (\phi \to \chi )$	समानता को दूर करें
IFF-2	$(\phi \leftrightarrow \chi )\to (\chi \to \phi )$
IFF-3	$(\phi \to \chi )\to ((\chi \to \phi )\to (\phi \leftrightarrow \chi ))$	समानता का परिचय दें

स्वयंसिद्ध THEN-2 निहितार्थ के संबंध में निहितार्थ की वितरण संपत्ति माना जा सकता है।
सिद्धांत AND-1 और AND-2 संयोजन विलोपन के अनुरूप। के बीच संबंध AND-1 और AND-2 संयुग्मन संचालक की क्रमविनिमेयता को दर्शाता है।
स्वयंसिद्ध AND-3 संयोजन परिचय के अनुरूप है।
सिद्धांत OR-1 और OR-2 संयोजन परिचय के अनुरूप। के बीच संबंध OR-1 और OR-2 संयोजन ऑपरेटर की क्रमविनिमेयता को दर्शाता है।
स्वयंसिद्ध NOT-1 बेतुके को कम करने के अनुरूप है।
स्वयंसिद्ध NOT-2 कहते हैं कि विरोधाभास से कुछ भी निकाला जा सकता है।
स्वयंसिद्ध NOT-3 बहिष्कृत मध्य का नियम कहा जाता है। टर्शियम नॉन-डेटर (लैटिन: तीसरा नहीं दिया गया है) और प्रस्तावक सूत्रों के शब्दार्थ मानांकन को दर्शाता है: सूत्र में सत्य या असत्य का सत्य-मान हो सकता है। कोई तीसरा सत्य-मान नहीं है, कम से कम मौलिक तर्कशास्त्र में तो नहीं। अंतर्ज्ञानवादी तर्कशास्त्री स्वयंसिद्ध को स्वीकार नहीं करते हैं NOT-3.

अनुमान नियम

अनुमान नियम मॉडस पोनेन्स है:

{\frac {\phi ,\ \phi \to \chi }{\chi }}

.

मेटा-निष्कर्ष नियम

एक प्रदर्शन को अनुक्रम द्वारा प्रस्तुत किया जाना चाहिए, जिसमें टर्नस्टाइल (प्रतीक) के बाईं ओर परिकल्पना और टर्नस्टाइल के दाईं ओर निष्कर्ष हो। फिर परिणाम प्रमेय को निम्नानुसार कहा जा सकता है:

यदि अनुक्रम

\phi _{1},\ \phi _{2},\ ...,\ \phi _{n},\ \chi \vdash \psi

प्रदर्शित किया गया है, तो अनुक्रम प्रदर्शित करना भी संभव है

\phi _{1},\ \phi _{2},\ ...,\ \phi _{n}\vdash \chi \to \psi

.

यह परिणाम प्रमेय (डीटी) स्वयं प्रस्तावपरक कलन के साथ तैयार नहीं किया गया है: यह प्रस्तावपरक कलन का प्रमेय नहीं है, अपितु प्रस्तावपरक कलन के बारे में प्रमेय है। इस अर्थ में, यह मेटा-प्रमेय है, जो प्रस्तावपरक कलन की ध्वनि या पूर्णता के बारे में प्रमेयों के बराबर है।

दूसरी ओर, DT प्रारूपोंल प्रमाण प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए इतना उपयोगी है कि इसे मॉडस पोनेन्स के साथ अन्य अनुमान नियम के रूप में माना और उपयोग किया जा सकता है। इस अर्थ में, डीटी प्राकृतिक सशर्त प्रमाण अनुमान नियम से मेल खाता है जो इस आलेख में प्रस्तुत किए गए प्रस्तावपरक कलन के पहले संस्करण का भाग है।

DT का विलोम भी मान्य है:

यदि अनुक्रम

\phi _{1},\ \phi _{2},\ ...,\ \phi _{n}\vdash \chi \to \psi

प्रदर्शित किया गया है, तो अनुक्रम प्रदर्शित करना भी संभव है

\phi _{1},\ \phi _{2},\ ...,\ \phi _{n},\ \chi \vdash \psi

वास्तव में, DT की तुलना में DT के विलोम की वैधता लगभग अनुपयोगी है:

यदि

\phi _{1},\ ...,\ \phi _{n}\vdash \chi \to \psi

तब

1:

\phi _{1},\ ...,\ \phi _{n},\ \chi \vdash \chi \to \psi

2:

\phi _{1},\ ...,\ \phi _{n},\ \chi \vdash \chi

और (1) और (2) से निष्कर्ष निकाला जा सकता है

3:

\phi _{1},\ ...,\ \phi _{n},\ \chi \vdash \psi

मोडस पोनेन्स के माध्यम से, Q.E.D.

DT के विलोम के शक्तिशाली निहितार्थ हैं: इसका उपयोग स्वयंसिद्ध को अनुमान नियम में बदलने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिगृहीत AND-1 द्वारा हमारे पास,

\vdash \phi \wedge \chi \to \phi ,

जिसे निगमन प्रमेय के विलोम द्वारा रूपांतरित किया जा सकता है

\phi \wedge \chi \vdash \phi ,

जो हमें बताता है कि अनुमान नियम

{\frac {\phi \wedge \chi }{\phi }}

स्वीकार्य नियम है। यह अनुमान नियम संयोजन विलोपन है, प्रस्ताविक कलन के पहले संस्करण (इस लेख में) में उपयोग किए गए दस अनुमान नियमों में से है।

प्रमाण का उदाहरण

निम्नलिखित प्रदर्शन का उदाहरण है, जिसमें केवल स्वयंसिद्ध THEN-1 और THEN-2 सम्मलित हैं:

सिद्ध करना: $A\to A$ (निहितार्थ की संवेदनशीलता)।

प्रमाण:

$(A\to ((B\to A)\to A))\to ((A\to (B\to A))\to (A\to A))$
स्वयंसिद्ध THEN-2 साथ $\phi =A,\chi =B\to A,\psi =A$
$A\to ((B\to A)\to A)$
स्वयंसिद्ध THEN-1 साथ $\phi =A,\chi =B\to A$
$(A\to (B\to A))\to (A\to A)$
से (1) और (2) समुच्चयिंग विधि द्वारा किया जाता हैं।।
$A\to (B\to A)$
स्वयंसिद्ध THEN-1 साथ $\phi =A,\chi =B$
$A\to A$
(3) और (4) से रखकर किया जाता हैं।

समीकरणीय तर्क की समानता

पूर्ववर्ती वैकल्पिक कलन हिल्बर्ट-शैली की परिणाम प्रणाली का उदाहरण है। तर्कवाक्य प्रणालियों के स्थिति में अभिगृहीत ऐसे शब्द हैं जो तार्किक संयोजकों के साथ निर्मित होते हैं और एकमात्र अनुमान नियम मॉडस पोनेन्स है। उच्च विद्यालय बीजगणित में मानक रूप से अनौपचारिक रूप से उपयोग किए जाने वाले समीकरण तर्क हिल्बर्ट प्रणाली से अलग प्रकार की कलन है। इसके प्रमेय समीकरण हैं और इसके निष्कर्ष नियम समानता के गुणों को अभिव्यक्त करते हैं, अर्थात् यह उन पदों की सर्वांगसमता है जो प्रतिस्थापन को स्वीकार करते हैं।

जैसा कि ऊपर बताया गया है, मौलिक प्रस्तावपरक कैलकुलस बूलियन बीजगणित (तर्क) के बराबर है, जबकि इंट्यूशनिस्टिक तर्क हेयटिंग बीजगणित के बराबर है। तुल्यता संबंधित प्रणालियों के प्रमेयों के प्रत्येक दिशा में अनुवाद द्वारा दिखाया गया है। प्रमेयों $\phi$ मौलिक या अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक कलन का समीकरणों के रूप में अनुवाद किया जाता है $\phi =1$ क्रमशः बूलियन या हेटिंग बीजगणित। इसके विपरीत प्रमेय $x=y$ बूलियन या हेटिंग बीजगणित का प्रमेय के रूप में अनुवाद किया जाता है $(x\to y)\land (y\to x)$ क्रमशः मौलिक या अंतर्ज्ञानवादी कलन, जिसके लिए $x\equiv y$ मानक संक्षिप्त नाम है। बूलियन बीजगणित के स्थिति में $x=y$ के रूप में भी अनुवादित किया जा सकता है $(x\land y)\lor (\neg x\land \neg y)$ , किन्तु यह अनुवाद अंतर्ज्ञानवादी रूप से असत्य है।

बूलियन और हेटिंग बीजगणित दोनों में असमानता $x\leq y$ समानता के स्थान पर प्रयोग किया जा सकता है। समानता $x=y$ असमानताओं की जोड़ी $x\leq y$ और $y\leq x$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, इसके विपरीत असमानता $x\leq y$ समानता के रूप में अभिव्यक्त होता है $x\land y=x$ , या के रूप में $x\lor y=y$ . में हिल्बर्ट-शैली प्रणालियों के लिए असमानता का महत्व यह है कि यह बाद के परिणाम या प्रवेश प्रतीक के अनुरूप है $\vdash$ . मजबूरी

\phi _{1},\ \phi _{2},\ \dots ,\ \phi _{n}\vdash \psi

बीजगणितीय ढांचे के असमानता संस्करण में अनुवादित है

\phi _{1}\ \land \ \phi _{2}\ \land \ \dots \ \land \ \phi _{n}\ \ \leq \ \ \psi

इसके विपरीत बीजगणितीय असमानता $x\leq y$ अनिवार्यता के रूप में अनुवादित है

x\ \vdash \ y

.

निहितार्थ के बीच का अंतर $x\to y$ और असमानता या मजबूरी $x\leq y$ या $x\ \vdash \ y$ यह है कि पूर्व तर्क के लिए आंतरिक है जबकि बाद वाला बाहरी है। दो शब्दों के बीच आंतरिक निहितार्थ उसी तरह का और शब्द है। दो शब्दों के बीच बाहरी निहितार्थ के रूप में प्रवेश तर्क की भाषा के बाहर मेटाट्रूथ व्यक्त करता है, और इसे धातुभाषा का भाग माना जाता है। यहां तक कि जब अध्ययन के अनुसार तर्क अंतर्ज्ञानवादी है, तब भी सामान्यतः मौलिक रूप से दो-रूपों के रूप में समझा जाता है: या तो बाएं पक्ष में प्रवेश होता है, या कम-या-बराबर, सही पक्ष, या यह नहीं है।

जैसा कि ऊपर वर्णित है और अनुक्रमिक कलन के लिए प्राकृतिक निगमन प्रणालियों के लिए और बीजगणितीय तर्क से समान किन्तु अधिक जटिल अनुवाद संभव हैं। उत्तरार्द्ध के निहितार्थों को दो-रूपों में व्याख्या किया जा सकता है, किन्तु अधिक अंतर्दृष्टिपूर्ण व्याख्या समुच्चय के रूप में है, जिनमें से तत्वों को श्रेणी (गणित) के morphisms के रूप में आयोजित सार प्रमाण के रूप में समझा जा सकता है। इस व्याख्या में अनुक्रम कलन का कट नियम श्रेणी में रचना से मेल खाता है। बूलियन और हेटिंग बीजगणित इस तस्वीर को विशेष श्रेणियों के रूप में अंकित करते हैं, जिसमें प्रति होमसमुच्चय में अधिकतम मोर्फिज़्म होता है, अर्थात, प्रमाण प्रति प्रवेश, इस विचार के अनुरूप कि प्रमाणों का अस्तित्व ही वह सब है जो मायने रखता है: कोई भी प्रमाण करेगा और उन्हें अलग करने का कोई मतलब नहीं है .

ग्राफिकल कैलकुली

गणितीय संरचनाओं के कई अन्य समुच्चयों को सम्मलित करने के लिए परिमित आधार पर परिमित अनुक्रमों के समुच्चय से औपचारिक भाषा की परिभाषा को सामान्य बनाना संभव है, जब तक कि वे परिमित सामग्रियों से परिमित साधनों द्वारा निर्मित हों। क्या अधिक है, औपचारिक संरचनाओं के इन समूहों में से कई तर्क में उपयोग के लिए विशेष रूप से उपयुक्त हैं।

उदाहरण के लिए, ग्राफ (असतत गणित) के कई परिवार हैं जो औपचारिक भाषाओं के अधिक करीब हैं कि कलन की अवधारणा अधिक आसानी से और स्वाभाविक रूप से उनके लिए विस्तारित है। पाठ संरचनाओं के संबंधित समूहों के प्रारूपों के विश्लेषण में ग्राफ़ की कई प्रजातियाँ पार्स ग्राफ के रूप में उत्पन्न होती हैं। औपचारिक भाषाओं पर व्यावहारिक संगणना की अनिवार्यता अधिकांशतः यह मांग करती है कि टेक्स्ट स्ट्रिंग्स को पार्स ग्राफ़ के सूचक संरचना प्रस्तुतियों में परिवर्तित किया जाए, केवल यह जाँचने के स्थिति में कि स्ट्रिंग्स अच्छी तरह से बनाए गए सूत्र हैं या नहीं। यह हो जाने के बाद, स्ट्रिंग्स पर कैलकुलस के ग्राफिकल एनालॉग को विकसित करने से कई लाभ प्राप्त होते हैं। स्ट्रिंग्स से पार्स ग्राफ़ तक की मैपिंग को पदच्छेद कहा जाता है और पार्स ग्राफ़ से स्ट्रिंग्स तक उलटा मैपिंग ऑपरेशन द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसे ग्राफ ट्रैवर्सल ग्राफ़ कहा जाता है।

अन्य तार्किक गणना

प्रस्तावपरक कलन वर्तमान उपयोग में सबसे सरल प्रकार की तार्किक कलन के बारे में है। इसे कई तरह से बढ़ाया जा सकता है। (टर्म तर्क या अरिस्टोटेलियन सिलिऑलिस्टिक कैलकुलस, जिसे आधुनिक तर्कशास्त्र में अधिक हद तक दबा दिया गया है, कुछ प्रस्तावों में सरल है - किन्तु अन्य विधियों से अधिक जटिल - प्रोपोजल कैलकुलस की तुलना में किया जाता हैं।) अधिक जटिल तार्किक कैलकुलस विकसित करने का सबसे तात्कालिक विधि नियमों को प्रस्तुत करना है। उपयोग किए जा रहे वाक्यों के अधिक बारीक विवरण के प्रति संवेदनशील हैं।

प्रथम-क्रम तर्क (उर्फ प्रथम-क्रम विधेय तर्क) परिणाम जब प्रस्तावपरक तर्क के परमाणु वाक्यों को एकवचन शब्द, चर (गणित), विधेय (तर्क), और क्वांटिफायर (तर्क) में विभाजित किया जाता है, सभी के नियमों को ध्यान में रखते हुए प्रस्तावित तर्क के साथ कुछ नए प्रस्तुत किए गए (उदाहरण के लिए, सभी कुत्ते स्तनधारी हैं से हम अनुमान लगा सकते हैं कि यदि रोवर कुत्ता है तो रोवर स्तनपायी है।)। प्रथम-क्रम तर्क के उपकरणों के साथ कई सिद्धांतों को तैयार करना संभव है, या तो स्पष्ट स्वयंसिद्धों के साथ या नियमों के द्वारा अनुमान, जिसे स्वयं तार्किक गणना के रूप में माना जा सकता है। अंकगणित इनमें से सबसे प्रसिद्ध है, अन्य में समुच्चय सिद्धान्त और mereology सम्मलित हैं। दूसरे क्रम के तर्क और अन्य उच्च क्रम के तर्क पहले क्रम के तर्क के औपचारिक विस्तार हैं। इस प्रकार, इन तर्क के साथ तुलना करते समय, प्रस्तावात्मक तर्क को शून्य-क्रम तर्क के रूप में संदर्भित करना समझ में आता है।

प्रारूप तर्क कई प्रकार के अनुमान भी प्रस्तुत करता है जिन्हें प्रस्तावपरक कलन में कैप्चर नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आवश्यक रूप से $p$ हम इसका अनुमान $p$ . से $p$ पर लगा सकते हैं, हम अनुमान लगा सकते हैं कि यह संभवतः $p$ है . मोडल तर्क और बीजगणितीय तर्क के बीच अनुवाद मौलिक और अंतर्ज्ञानवादी तर्क से संबंधित है, किन्तु बूलियन या हेटिंग बीजगणित पर यूनरी ऑपरेटर की प्रारंभ के साथ, बूलियन संचालन से अलग, संभावना के तौर-विधियों की व्याख्या, और हेटिंग बीजगणित के स्थिति में दूसरा ऑपरेटर आवश्यकता की व्याख्या करता है। (बूलियन बीजगणित के लिए यह अनावश्यक है क्योंकि आवश्यकता संभावना का डी मॉर्गन दोहरा है)। पहला ऑपरेटर 0 और संयोजन को संरक्षित करता है जबकि दूसरा 1 और संयुग्मन को संरक्षित करता है।

बहु-रूपों तर्क वे हैं जो वाक्यों को सत्य और असत्य के अतिरिक्त अन्य मानों की अनुमति देते हैं। (उदाहरण के लिए, न तो और दोनों मानक अतिरिक्त मान हैं, सातत्य तर्क प्रत्येक वाक्य को सत्य और असत्य के बीच सत्य की अनंत डिग्री की कोई भी डिग्री रखने की अनुमति देता है।) इन तर्क को अधिकांशतः गणनात्मक उपकरणों की आवश्यकता होती है जो प्रस्ताविक कलन से अधिक भिन्न होते हैं। जब मान बूलियन बीजगणित बनाते हैं (जिसमें दो से अधिक या असीम रूप से कई मान हो सकते हैं), बहु-रूपों तर्क मौलिक तर्क में कम हो जाता है, बहु-रूपों तर्क इसलिए केवल स्वतंत्र हित के होते हैं जब मान बीजगणित बनाते हैं जो बूलियन नहीं होता है।

सैट सॉल्वर

प्रस्तावपरक तर्क सूत्रों की संतुष्टि का निर्णय करना एनp-पूर्ण समस्या है। चूंकि, व्यावहारिक विधियाँ सम्मलित हैं (जैसे, डीpएलएल कलन, 1962, चैफ कलन, 2001) जो कई उपयोगी स्थितियों के लिए बहुत तेज़ हैं। हाल के कार्य ने एसएटी सॉल्वर कलन को अंकगणितीय अभिव्यक्ति वाले प्रस्तावों के साथ कार्य करने के लिए बढ़ाया है।

यह भी देखें

उच्च तार्किक स्तर

पहले क्रम का तर्क
द्वितीय क्रम प्रस्तावपरक तर्क
दूसरे क्रम का तर्क
उच्च-क्रम तर्क

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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Formal Predicate Calculus, contains a systematic formal development along the lines of Alternative calculus
forall x: an introduction to formal logic, by P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.
Chapter 2 / Propositional Logic from Logic In Action
Propositional sequent calculus prover on Project Nayuki. (note: implication can be input in the form !XयाY, and a sequent can be a single formula prefixed with > and having no commas)
Propositional Logic - A Generative Grammar

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