श्वेत रव

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गॉसियन श्वेत ध्वनि संकेत का तरंगरूप आलेख पर प्लॉट किया गया है।

सिग्नल प्रोसेसिंग में, श्वेत ध्वनि यादृच्छिक सिग्नल होता है जिसमें विभिन्न आवृत्तियों पर समान तीव्रता होती है, जो इसे स्थिर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व देता है। इस शब्द का उपयोग भौतिकी, ध्वनिक इंजीनियरिंग, दूरसंचार और सांख्यिकीय पूर्वानुमान सहित अनेक वैज्ञानिक और विधिक विषयों में, इस या समान अर्थ के साथ किया जाता है। इस प्रकार श्वेत ध्वनि किसी विशिष्ट सिग्नल के अतिरिक्त सिग्नल और सिग्नल स्रोतों के लिए सांख्यिकीय मॉडल को संदर्भित करता है। जिससे कि श्वेत ध्वनि का नाम श्वेत प्रकाशिकी से लिया गया है, चूँकि श्वेत दिखाई देने वाले प्रकाश में सामान्यतः दृश्यमान वर्णक्रम पर सपाट शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व नहीं होता है।

श्वेत ध्वनि वाली छवि

असतत समय में, श्वेत ध्वनि असतत संकेत होता है जिसका नमूना (संकेत) शून्य माध्य (सांख्यिकी) और परिमित विचरण के साथ क्रमिक सहसंबंध यादृच्छिक चर के अनुक्रम के रूप में माना जाता है। इस प्रकार श्वेत ध्वनि का भी मनोभाव आकस्मिक झटका होता है। चूँकि संदर्भ के आधार पर, किसी को यह भी आवश्यकता हो सकती है कि नमूने सांख्यिकीय स्वतंत्रता वाले होते है और समान संभाव्यता वितरण होते है (दूसरे शब्दों में, आईआईडी श्वेत ध्वनि का सबसे सरल प्रतिनिधित्व होता है)। विशेष रूप से, यदि प्रत्येक नमूने में शून्य माध्य के साथ सामान्य वितरण होता है, तब संकेत को योगात्मक श्वेत गाऊसी ध्वनि कहा जाता है।

सामान्यतः श्वेत ध्वनि संकेत के नमूने समय में अनुक्रमिक हो सकते हैं, या अधिक स्थानिक आयामों के साथ व्यवस्थित हो सकते हैं। इस प्रकार डिजिटल छवि प्रसंस्करण में, श्वेत ध्वनि छवि के पिक्सेल सामान्यतः आयताकार ग्रिड में व्यवस्थित होते हैं, और कुछ अंतराल पर निरंतर समान वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर माने जाते हैं। इस अवधारणा को अधिक समष्टि कार्यक्षेत्र, जैसे कि गोले या टोरस्र्स में फैले संकेतों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

कुछ श्वेत ध्वनि वाली ध्वनि (बहुत तेज़)

अनंत-बैंडविड्थ श्वेत ध्वनि संकेत विशुद्ध सैद्धांतिक निर्माण होता है। श्वेत ध्वनि की बैंडविड्थ व्यवहार में ध्वनि उत्पन्न करने के तंत्र, संचरण माध्यम और सीमित अवलोकन क्षमताओं द्वारा सीमित होते है। इस प्रकार, यादृच्छिक संकेतों को "श्वेत ध्वनि" माना जाता है यदि उन्हें संदर्भ के लिए प्रासंगिक आवृत्तियों की सीमा पर सपाट वर्णक्रम के रूप में देखा जाता है। सामान्यतः ऑडियो संकेत के लिए, प्रासंगिक सीमा श्रव्य ध्वनि आवृत्तियों का बैंड (20 और 20,000 हेटर्स के मध्य) होता है। ऐसा संकेत मानव कान द्वारा फुफकारने की ध्वनि के रूप में सुना जाता है, जो निरंतर आकांक्षा में /एच/ ध्वनि जैसा दिखता है। दूसरी ओर, "श" ध्वनि /ʃ/ राख में रंगीन ध्वनि होता है जिससे कि इसकी फॉर्मेंट संरचना होती है। इस प्रकार संगीत और ध्वनिकी में, "श्वेत ध्वनि" शब्द का उपयोग किसी भी सिग्नल के लिए किया जा सकता है जिसमें समान हिसिंग ध्वनि होती है।

श्वेत ध्वनि शब्द का उपयोग कभी-कभी फ़ाइलोजेनेटिक तुलनात्मक विधियों के संदर्भ में तुलनात्मक डेटा में फ़ाइलोजेनेटिक पैटर्न की कमी को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। इसे कभी-कभी गैर-विधिक संदर्भों में सार्थक सामग्री के बिना यादृच्छिक बातचीत के अर्थ में समान रूप से उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय गुण

गुलाबी ध्वनि (बाएं) और श्वेत ध्वनि (दाएं) का वर्ण-क्रमलेखी यंत्र से प्राप्त चित्र , रैखिक आवृत्ति अक्ष (ऊर्ध्वाधर) बनाम समय अक्ष (क्षैतिज) के साथ दिखाया गया है।

मूल्यों का कोई भी वितरण संभव होता है (चूंकि इसमें शून्य डीसी घटक होता है)। यहां तक ​​कि बाइनरी सिग्नल जो केवल 1 या 0 मान ले सकता है। वह श्वेत होता है यदि अनुक्रम सांख्यिकीय रूप से असंबद्ध होता है। इस प्रकार निरंतर वितरण वाला ध्वनि, जैसे कि सामान्य वितरण, निश्चित रूप से श्वेत हो सकता है।

यह अधिकांशतः गलत तरीके से माना जाता है कि गाऊसी ध्वनि (अर्थात्, गाऊसी आयाम वितरण के साथ ध्वनि) – सामान्य वितरण देख सकते है) आवश्यक रूप से श्वेत ध्वनि को संदर्भित करता है, फिर भी कोई भी संपत्ति दूसरे को नहीं दर्शाती है। इस प्रकार गाऊशियनिटी का तात्पर्य मूल्य के संबंध में संभाव्यता वितरण से होता है, इस संदर्भ में किसी विशेष आयाम सीमा के अंदर सिग्नल के गिरने की संभावना होती है, जबकि 'श्वेत' शब्द उस विधि को संदर्भित करता है जिस प्रकार सिग्नल शक्ति समय के साथ या आवृत्तियों के मध्य वितरित की जाती है (अर्थात्, स्वतंत्र रूप से)।

श्वेत ध्वनि वीनर प्रक्रिया या प्रकार कि गति का सामान्यीकृत माध्य-वर्ग व्युत्पन्न होता है।

अनंत आयामी स्थानों पर यादृच्छिक तत्व का सामान्यीकरण, जैसे कि यादृच्छिक क्षेत्र, परमाणु स्थान होता है।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

संगीत

श्वेत ध्वनि का उपयोग सामान्यतः इलेक्ट्रॉनिक संगीत के उत्पादन में किया जाता है, सामान्यतः या तो सीधे या अन्य प्रकार के ध्वनि संकेत बनाने के लिए फ़िल्टर के इनपुट के रूप में इसका उपयोग बड़े पैमाने पर ऑडियो संश्लेषण में किया जाता है, सामान्यतः झांझ या ड्रम फन्दे जैसे ताल वाद्य यंत्रों को फिर से बनाने के लिए, जिनके आवृत्ति कार्यक्षेत्र में उच्च ध्वनि सामग्री होती है। इस प्रकार श्वेत ध्वनि का सरल उदाहरण अस्तित्वहीन रेडियो स्टेशन (स्थैतिक) होता है।

इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग

श्वेत ध्वनि का उपयोग विद्युत परिपथ, विशेष रूप से एम्पलीफायरों और अन्य ऑडियो उपकरणों की आवेग प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है। इसका उपयोग लाउडस्पीकरों के परीक्षण के लिए नहीं किया जाता है जिससे कि इसके वर्णक्रम में उच्च-आवृत्ति सामग्री बहुत अधिक मात्रा में होती है। इस प्रकार गुलाबी ध्वनि, जो श्वेत ध्वनि से भिन्न होता है, जिसमें प्रत्येक सप्तक में समान ऊर्जा होती है, इसका उपयोग लाउडस्पीकर और माइक्रोफोन जैसे ट्रांसड्यूसर के परीक्षण के लिए किया जाता है।

कंप्यूटिंग

श्वेत ध्वनि का उपयोग कुछ हार्डवेयर यादृच्छिक संख्या जनरेटर के आधार के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यादृच्छिक.ओआरजी स्रोतों से यादृच्छिक अंक पैटर्न उत्पन्न करने के लिए वायुमंडलीय एंटीना की प्रणाली का उपयोग करता है जिसे श्वेत ध्वनि द्वारा अच्छी प्रकार से मॉडल किया जा सकता है।

टिनिटस उपचार

श्वेत ध्वनि सामान्य सिंथेटिक ध्वनि स्रोत होता है जिसका उपयोग टिनिटस मास्कर द्वारा ध्वनि मास्किंग के लिए किया जाता है। इस प्रकार श्वेत ध्वनि मशीनों और अन्य श्वेत ध्वनि स्रोतों को गोपनीयता बढ़ाने वाले और नींद सहायक (संगीत और नींद देखें) और टिनिटस को छिपाने के लिए बेचा जाता है। चूँकि मार्पैक स्लीप-मेट पहली घरेलू उपयोग वाली श्वेत ध्वनि मशीन होती थी जिसे सन्न 1962 में ट्रैवलिंग सेल्समैन जिम बकवाल्टर द्वारा बनाया गया था। वैकल्पिक रूप से, अप्रयुक्त आवृत्तियों ("स्थैतिक") पर ट्यून किए गए एफएम रेडियो का उपयोग श्वेत ध्वनि का सरल और अधिक निवेश प्रभावी स्रोत होता है। चूँकि, अप्रयुक्त आवृत्ति पर ट्यून किए गए सामान्य वाणिज्यिक रेडियो रिसीवर से उत्पन्न श्वेत ध्वनि, नकली संकेतों से दूषित होने के लिए अत्यधिक संवेदनशील होता है, जैसे कि आसन्न रेडियो स्टेशन, गैर-आसन्न रेडियो स्टेशनों से हार्मोनिक्स, प्राप्त करने वाले एंटीना के आसपास के विद्युत उपकरण जो हस्तक्षेप उत्पन्न करते हैं, या यहां तक ​​कि सौर फ्लेयर्स और विशेष रूप से विद्युत जैसी वायुमंडलीय घटनाएं भी होती है।

कार्य वातावरण

संज्ञानात्मक कार्य पर श्वेत ध्वनि का प्रभाव मिश्रित होता है। हाल ही में, छोटे से अध्ययन में पाया गया है कि श्वेत ध्वनि पृष्ठभूमि उत्तेजना ध्यान घाटे सक्रियता विकार (एडीएचडी) वाले माध्यमिक छात्रों के मध्य संज्ञानात्मक कार्यप्रणाली में सुधार करती है, जबकि गैर-एडीएचडी छात्रों के प्रदर्शन में कमी आती है। इस प्रकार अन्य कार्यों से संकेत मिलता है कि यह पृष्ठभूमि कार्यालय के ध्वनि को छुपाकर श्रमिकों के मूड और प्रदर्शन को उत्तम बनाने में प्रभावी होती है, किन्तु समष्टि कार्ड सॉर्टिंग कार्यों में संज्ञानात्मक प्रदर्शन कम हो जाता है।

इसी प्रकार, सीखने के माहौल में श्वेत ध्वनि के उपयोग के लाभों को देखने के लिए छियासठ स्वस्थ प्रतिभागियों पर प्रयोग किया गया है। इस प्रकार प्रयोग में प्रतिभागियों को पृष्ठभूमि में भिन्न-भिन्न ध्वनियों के साथ भिन्न-भिन्न छवियों की पहचान करना सम्मिलित होता था। चूँकि कुल मिलाकर प्रयोग से पता चलता है कि सीखने के संबंध में श्वेत ध्वनि का वास्तव में लाभ होता है। अतः प्रयोगों से पता चलता है कि श्वेत ध्वनि ने प्रतिभागियों की सीखने की क्षमताओं और उनकी पहचानने की स्मृति में थोड़ा सुधार किया।

गणितीय परिभाषाएँ

श्वेत ध्वनि सदिश

यादृच्छिक सदिश (अर्थात्, सदिश-मूल्यवान यादृच्छिक चर) को श्वेत ध्वनि सदिश या श्वेत यादृच्छिक सदिश कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक घटक में शून्य माध्य और परिमित विचरण के साथ संभाव्यता वितरण होता है, और सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं अर्थात, उनका संयुक्त संभाव्यता वितरण व्यक्तिगत घटकों के वितरण का उत्पाद होता है।

सामान्यतः दो चरों की सांख्यिकीय स्वतंत्रता के लिए आवश्यक (किन्तु, सामान्यतः, पर्याप्त नहीं) शर्त यह होती है कि वह सहसंबंध होता है। अर्थात् उनका सहप्रसरण शून्य होता है। इसलिए, एन तत्वों के साथ श्वेत ध्वनि सदिश डब्लू के घटकों का सहप्रसरण आव्युह आर एकल एन बटा एन विकर्ण आव्युह होता है, जहां प्रत्येक विकर्ण तत्व आर_आईआई घटक डब्लू_आई का विचरण होता है और सहसंबंध और निर्भरता सहसंबंध आव्युह एन बटा एन पहचान आव्युह होता है।

यदि, स्वतंत्र होने के अतिरिक्त, डब्लू में प्रत्येक चर का शून्य माध्य और समान विचरण के साथ सामान्य वितरण भी होता है $\sigma ^{2}$, w को गॉसियन श्वेत ध्वनि सदिश कहा जाता है। उस स्थिति में, w का संयुक्त वितरण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण होता है। इस प्रकार चरों के मध्य स्वतंत्रता का तात्पर्य यह होता है कि वितरण में एन-आयामी अंतरिक्ष में अण्डाकार वितरण होता है। इसलिए, सदिश के किसी भी ऑर्थोगोनल परिवर्तन के परिणामस्वरूप गॉसियन श्वेत यादृच्छिक सदिश होता है। विशेष रूप से, अधिकांश प्रकार के असतत फूरियर रूपांतरण के अनुसार, जैसे कि तेज फूरियर ट्रांसफॉर्म और असतत हार्टले परिवर्तन, डब्ल्यू का ट्रांसफॉर्म डब्ल्यू गाऊसी श्वेत ध्वनि सदिश भी होता है। अर्थात्, डब्लू के एन फूरियर गुणांक शून्य माध्य और समान विचरण के साथ स्वतंत्र गॉसियन चर $\sigma ^{2}$ होता है।

यादृच्छिक सदिश डब्लू के शक्ति वर्णक्रम पी को इसके फूरियर ट्रांसफॉर्म डब्लू के प्रत्येक गुणांक के वर्ग मापांक के अपेक्षित मूल्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात्, पी_आई= ई(|डब्ल्यू_आई|²). उस परिभाषा के अनुसार, गाऊसी श्वेत ध्वनि सदिश में पी_आई= पी² सभी के लिए आई के साथ बिल्कुल सपाट पावर वर्णक्रम होता है।

यदि डब्लू श्वेत यादृच्छिक सदिश होता है, किन्तु गाऊसी नहीं होता है, तब इसका फूरियर गुणांक डब्लू_आई होता है, अतः दूसरे से पूर्णतः स्वतंत्र नहीं होते है। चूँकि बड़े एन और सामान्य संभाव्यता वितरण के लिए निर्भरताएँ अधिक सूक्ष्म होता हैं, और उनके जोड़ीदार सहसंबंध को शून्य माना जा सकता है।

अधिकांशतः सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र के अतिरिक्त सांख्यिकीय रूप से असंबद्ध अशक्त स्थिति का उपयोग श्वेत ध्वनि की परिभाषा में किया जाता है। चूँकि, श्वेत ध्वनि के कुछ सामान्य अपेक्षित गुण (जैसे सपाट शक्ति वर्णक्रम) इस अशक्त संस्करण के लिए उपयुक्त नहीं हो सकते हैं। इस धारणा के अनुसार, सख्त संस्करण को स्पष्ट रूप से स्वतंत्र श्वेत ध्वनि सदिश के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। अन्य लेखक इसके स्थान पर दृढ़तापूर्वक श्वेत और अशक्त श्वेत का उपयोग करते हैं।

यादृच्छिक सदिश का उदाहरण जो अशक्त अर्थ में गाऊसी श्वेत ध्वनि होते है किन्तु शक्तिशाली अर्थ में नहीं होते है $x=[x_{1},x_{2}]$ जहाँ $x_{1}$ शून्य माध्य वाला सामान्य यादृच्छिक चर होता है, और $x_{2}$ के सामान्तर होता है $+x_{1}$ या करने के लिए $-x_{1}$, समान संभावना के साथ होता है। यह दो चर असंबंधित होते हैं और व्यक्तिगत रूप से सामान्य रूप से वितरित होता हैं, किन्तु वह संयुक्त रूप से सामान्य रूप से वितरित नहीं होते हैं और स्वतंत्र नहीं होते हैं। यदि $x$ 45 डिग्री तक घुमाया जाता है, इसके दो घटक अभी भी असंबद्ध होते है, किन्तु उनका वितरण वर्तमान सामान्य नहीं होता है।

कुछ स्थितियों में कोई व्यक्ति श्वेत यादृच्छिक सदिश के प्रत्येक घटक को अनुमति देकर परिभाषा में ढील दे सकता है। इस प्रकार गैर-शून्य $w$ अपेक्षित मान $\mu$ होता है, विशेष रूप से छवि प्रसंस्करण में, जहां नमूने सामान्यतः धनात्मक मूल्यों तक ही सीमित होते हैं, कोई अधिकांशतः $\mu$ लेता है। अधिकतम नमूना मूल्य का आधा होता है। उस स्थिति में, फूरियर गुणांक $W_{0}$ शून्य-आवृत्ति घटक के अनुरूप (अनिवार्य रूप से, इसका औसत $w_{i}$) का गैर-शून्य अपेक्षित मान $\mu {\sqrt {n}}$ भी होता है और शक्ति वर्णक्रम $P$ केवल गैर-शून्य आवृत्तियों पर समतल होता है।

असतत-समय श्वेत ध्वनि

पृथक-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $W(n)$ घटकों की सीमित संख्या से लेकर अनंत अनेक घटकों तक यादृच्छिक सदिशों का सामान्यीकरण होता है। इस प्रकार पृथक-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $W(n)$ इसे श्वेत ध्वनि कहा जाता है यदि इसका माध्य $n$ समय पर निर्भर नहीं करता है और शून्य के सामान्तर होता है, अर्थात् $\operatorname {E} [W(n)]=0$ और यदि ऑटोसहसंबंध $R_{W}(n)=\operatorname {E} [W(k+n)W(k)]$ कार्य करता है, अर्थात् केवल $R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)$ के लिए शून्येतर मान $n=0$ होता है।

निरंतर-समय श्वेत ध्वनि

निरंतर-समय संकेतों के सिद्धांत में "श्वेत ध्वनि" की धारणा को परिभाषित करने के लिए, किसी को यादृच्छिक सदिश की अवधारणा को निरंतर-समय यादृच्छिक संकेत द्वारा प्रतिस्थापित करना होता है। अर्थात्, यादृच्छिक प्रक्रिया जो $w$ वास्तविक-मूल्यवान पैरामीटर का $t$ फलन उत्पन्न करती है।

ऐसी प्रक्रिया को सबसे शक्तिशाली अर्थों में श्वेत ध्वनि कहा जाता है यदि मूल्य $w(t)$ किसी भी समय के लिए $t$ यादृच्छिक चर होता है जो अपने पहले के संपूर्ण इतिहास से सांख्यिकीय रूप से $t$ स्वतंत्र होता है। इस प्रकार अशक्त परिभाषा के लिए केवल मूल्यों के मध्य स्वतंत्रता की आवश्यकता होती है, अतः $w(t_{1})$ और $w(t_{2})$ भिन्न-भिन्न समय के प्रत्येक जोड़े पर $t_{1}$ और $t_{2}$ होता है। इससे भी अशक्त परिभाषा के लिए केवल ऐसे युग्मों की आवश्यकता होती है जंहा $w(t_{1})$ और $w(t_{2})$ असंबंधित होता है। जैसा कि भिन्न स्थिति में, कुछ लेखक श्वेत ध्वनि के लिए अशक्त परिभाषा को अपनाते हैं, और शक्तिशाली परिभाषाओं में से किसी को संदर्भित करने के लिए स्वतंत्र क्वालीफायर का उपयोग करते हैं। इस प्रकार अन्य लोग उनके मध्य अंतर करने के लिए अशक्त श्वेत और जोरदार श्वेत का उपयोग करते हैं।

चूँकि, इन अवधारणाओं की त्रुटिहीन परिभाषा तुच्छ नहीं होती है, जिससे कि कुछ मात्राएँ जो परिमित असतत स्थिति में परिमित योग होता हैं, उन्हें अभिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो अभिसरण नहीं हो सकते हैं। मुख्य रूप से, सिग्नल के सभी संभावित उदाहरणों का समूह $w$ वर्तमान कोई परिमित-आयामी स्थान $\mathbb {R} ^{n}$, किन्तु अनंत-आयामी फलन स्थान नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, किसी भी परिभाषा के अनुसार श्वेत ध्वनि संकेत $w$ प्रत्येक बिंदु पर अनिवार्य रूप से असंतत होना होता है। इसलिए यहां तक ​​कि सबसे सरल ऑपरेशन भी $w$ सीमित अंतराल पर एकीकरण की भांति, उन्नत गणितीय मशीनरी की आवश्यकता होती है।

कुछ लेखकों को प्रत्येक मान की आवश्यकता होती है, अतः $w(t)$ अपेक्षा के साथ वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर $\mu$ होता है और कुछ सीमित भिन्नता $\sigma ^{2}$ होता है। फिर सहप्रसरण $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ दो समय के मानों के मध्य $t_{1}$ और $t_{2}$ अच्छी प्रकार से परिभाषित होता है। यदि समय भिन्न-भिन्न होता हैं तब यह शून्य होता है, और $\sigma ^{2}$ यदि वह सामान्तर होता हैं, चूँकि इस परिभाषा के अनुसार, अभिन्न

$W_{[a,a+r]}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt$

धनात्मक चौड़ाई के साथ किसी भी अंतराल पर $r$ अपेक्षा से केवल चौड़ाई $r\mu$ गुणा होती है। यह गुण भौतिक श्वेत ध्वनि संकेतों के मॉडल के रूप में अवधारणा को अपर्याप्त बना देता है।

इसलिए, अधिकांश लेखक सिग्नल को परिभाषित करते हैं जिससे कि $w$ के अभिन्नों के लिए गैर-शून्य मान निर्दिष्ट करके अप्रत्यक्ष रूप से $w(t)$ और $|w(t)|^{2}$ किसी भी अंतराल पर $[a,a+r]$, इसकी चौड़ाई के फलन के रूप में $r$ चूँकि, इस दृष्टिकोण में, इसका मूल्य $w(t)$ पृथक समय को वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार सहप्रसरण भी $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ अनंत हो जाता है जब $t_{1}=t_{2}$ और स्वत: सहसंबंध कार्य $\mathrm {R} (t_{1},t_{2})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है $N\delta (t_{1}-t_{2})$, जहाँ $N$ कुछ वास्तविक स्थिरांक होता है और $\delta$ डिराक का फलन होता है।

इस दृष्टिकोण में, कोई सामान्यतः अभिन्न को निर्दिष्ट करता है $W_{I}$ का $w(t)$ अंतराल पर $I=[a,b]$ सामान्य वितरण, शून्य माध्य और विचरण वाला वास्तविक यादृच्छिक चर $(b-a)\sigma ^{2}$ होता है और यह भी कि सहप्रसरण $\mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})$ अभिन्नों का $W_{I}$, $W_{J}$ होता है $r\sigma ^{2}$, जहाँ $r$ चौराहे की चौड़ाई है $I\cap J$ दो अंतरालों में से $I,J$. इस मॉडल को गाऊसी श्वेत ध्वनि संकेत (या प्रक्रिया) कहा जाता है।

गणितीय क्षेत्र में श्वेत ध्वनि विश्लेषण, गाऊसी श्वेत ध्वनि $w$ के रूप में जाना जाता है इसे स्टोकेस्टिक टेम्पर्ड वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात् अंतरिक्ष में मूल्यों के साथ यादृच्छिक चर ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ वितरण का (गणित) टेम्पर्ड वितरण होता है। इस प्रकार परिमित-आयामी यादृच्छिक सदिश के स्थिति के अनुरूप, अनंत-आयामी अंतरिक्ष पर संभाव्यता नियम ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ इसके विशिष्ट कार्य के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है (अस्तित्व और विशिष्टता की गारंटी बोचनर-मिनलोस प्रमेय के विस्तार द्वारा दी जाती है, जो बोचनर-मिनलोस-सज़ानोव प्रमेय के नाम से जाना जाता है)। इस प्रकार बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के स्थिति के अनुरूप $X\sim {\mathcal {N}}_{n}(\mu ,\Sigma )$, जिसका विशिष्ट कार्य होता है।

$\forall k\in \mathbb {R} ^{n}:\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,X\rangle })=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,\mu \rangle -{\frac {1}{2}}\langle k,\Sigma k\rangle },$

श्वेत ध्वनि $w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ संतुष्ट होता है

$\forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ):\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle w,\varphi \rangle })=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\|\varphi \|_{2}^{2}},$

जहाँ $\langle w,\varphi \rangle$ टेम्पर्ड वितरण की प्राकृतिक जोड़ी $w(\omega )$ है, जिसे श्वार्ट्ज फलन के साथ $\varphi$, के लिए परिदृश्यानुसार $\omega \in \Omega$ और $\|\varphi \|_{2}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\vert \varphi (x)\vert ^{2}\,\mathrm {d} x$ लिया गया है।

गणितीय अनुप्रयोग

समय श्रृंखला विश्लेषण और प्रतिगमन

सांख्यिकी और अर्थमिति में अधिकांशतः यह माना जाता है कि डेटा मूल्यों की देखी गई श्रृंखला नियतात्मक रैखिक मॉडल द्वारा उत्पन्न मूल्यों की श्रृंखला का योग होता है, जो कुछ स्वतंत्र (व्याख्यात्मक) चर और यादृच्छिक ध्वनि मूल्यों की श्रृंखला पर निर्भर करती है। ओस प्रकार फिर प्रतिगमन विश्लेषण का उपयोग प्रेक्षित डेटा से मॉडल प्रक्रिया के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए साधारण न्यूनतम वर्गों द्वारा, और परिकल्पना परीक्षण के लिए कि प्रत्येक पैरामीटर वैकल्पिक परिकल्पना के मुकाबले शून्य होता है कि यह गैर-शून्य होता है। इस प्रकार परिकल्पना परीक्षण सामान्यतः मानता है कि ध्वनि मान शून्य माध्य के साथ परस्पर असंबद्ध होता हैं और समान गाऊसी संभाव्यता वितरण होता है – दूसरे शब्दों में, यह ध्वनि गॉसियन श्वेत होता है (सिर्फ श्वेत नहीं)। यदि विभिन्न अवलोकनों के अंतर्निहित ध्वनि मूल्यों के मध्य गैर-शून्य सहसंबंध होते है तब अनुमानित मॉडल पैरामीटर अभी भी अनुमानक का पूर्वाग्रह होता हैं, किन्तु उनकी अनिश्चितताओं (जैसे आत्मविश्वास अंतराल) का अनुमान पक्षपातपूर्ण होगा है (औसतन त्रुटिहीन नहीं)। यह भी सत्य है यदि ध्वनि विषमलैंगिकता वाला होता है – अर्थात्, यदि इसमें भिन्न-भिन्न डेटा बिंदुओं के लिए भिन्न-भिन्न भिन्नताएं होती हैं।

वैकल्पिक रूप से, प्रतिगमन विश्लेषण के उपसमूह में जिसे समय श्रृंखला विश्लेषण के रूप में जाना जाता है, जिससे कि मॉडल किए जा रहे चर (आश्रित चर) के पिछले मूल्यों के अतिरिक्त अधिकांशतः कोई व्याख्यात्मक चर नहीं होते हैं। इस स्थिति में ध्वनि प्रक्रिया को अधिकांशतः चलती औसत मॉडल प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जाता है, जिसमें आश्रित चर का वर्तमान मूल्य अनुक्रमिक श्वेत ध्वनि प्रक्रिया के वर्तमान और पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है।

यादृच्छिक सदिश परिवर्तन

यह दो विचार चैनल अनुमान और मिक्सिंग कंसोल दूरसंचार और ध्वनि पुनरुत्पादन में चैनल समीकरण जैसे अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण होता हैं। इन अवधारणाओं का उपयोग डेटा संपीड़न में भी किया जाता है।

विशेष रूप से, उपयुक्त रैखिक परिवर्तन (रंग परिवर्तन) द्वारा, श्वेत यादृच्छिक सदिश का उपयोग गैर-श्वेत यादृच्छिक सदिश (अर्थात्, यादृच्छिक चर की सूची) उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, जिनके तत्वों में निर्धारित सहप्रसरण आव्युह होता है। इसके विपरीत, ज्ञात सहप्रसरण आव्युह वाले यादृच्छिक सदिश को उपयुक्त श्वेतकरण परिवर्तन द्वारा श्वेत यादृच्छिक सदिश में परिवर्तित किया जा सकता है।

पीढ़ी

श्वेत ध्वनि डिजिटल सिग्नल प्रोसेसर, माइक्रोप्रोसेसर या माइक्रोकंट्रोलर के साथ डिजिटल रूप से उत्पन्न किया जा सकता है। इस प्रकार श्वेत ध्वनि उत्पन्न करने में सामान्यतः डिज़िटल से एनालॉग कन्वर्टर को यादृच्छिक संख्याओं की उचित धारा खिलाना सम्मिलित होता है। इस प्रकार श्वेत ध्वनि की गुणवत्ता उपयोग किए गए एल्गोरिदम की गुणवत्ता पर निर्भर करती है।

अनौपचारिक उपयोग

इस शब्द का उपयोग कभी-कभी बोलचाल की भाषा में परिवेशीय ध्वनि की पृष्ठभूमि का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जो अस्पष्ट या निर्बाध हंगामा उत्पन्न करता है। अतः निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं।

• सीमित स्थान की ध्वनिकी के अंदर अनेक वार्तालापों से होने वाली बातचीत होती है।
• राजनेताओं द्वारा शब्द-बाहुल्य शब्दजाल का उपयोग उस बिंदु को छुपाने के लिए किया जाता है जिस पर वह ध्यान नहीं देना चाहते है।
• ऐसा संगीत जो अप्रिय, कठोर, बेसुरा या सुर रहित और असंगत होता है।

इस शब्द का उपयोग रूपक के रूप में भी किया जा सकता है, जैसा कि डॉन डिलिलो के उपन्यास श्वेत ध्वनि (उपन्यास) (1985) में किया गया है, जो आधुनिकता सांस्कृतिक और दार्शनिक के लक्षणों की पड़ताल करता है जो साथ आते हैं जिससे कि किसी व्यक्ति के लिए अपने विचारों और व्यक्तित्व को साकार करने में कठिनाई हो जाती है।

यह भी देखें

• बोचनर-मिनलोस प्रमेय
• ब्राउनियन ध्वनि
• डिराक डेल्टा फलन
• स्वतंत्र घटक विश्लेषण
• ध्वनि (इलेक्ट्रॉनिक्स)
• ध्वनि (वीडियो)
• गुलाबी ध्वनि
• प्रमुख कंपोनेंट विश्लेषण
• ध्वनि छिपाना