View source for सदिश गणना सर्वसमिका

{{Short description|Mathematical identities}}
{{See also|वेक्टर बीजगणित संबंध}}
{{Calculus |Vector}}
सदिश कलन में डेरिवेटिव और इंटीग्रल को सम्मिलित करने वाली महत्वपूर्ण [[पहचान (गणित)]] निम्नलिखित हैं।

== ऑपरेटर नोटेशन ==

=== ग्रेडिएंट ===
{{main|ग्रेडिएंट}}

फलन के लिए <math>f(x, y, z)</math> त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली चर में, ढाल वेक्टर क्षेत्र है:
<math display="block">
  \operatorname{grad}(f) = \nabla f =
  \begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x},\ \frac{\partial }{\partial y},\ \frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} f =
  \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}
</math>
जहाँ i, j, k ''x'', ''y'', ''z''-अक्षों के लिए [[मानक आधार]] इकाई वैक्टर हैं। अधिक सामान्यतः, 'n' चर के फलन के लिए <math>\psi(x_1, \ldots, x_n)</math>, जिसे [[अदिश (गणित)]] क्षेत्र भी कहा जाता है, ग्रेडिएंट सदिश क्षेत्र है:
<math display="block">
  \nabla\psi = \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots,\ \frac{\partial}{\partial x_n} \end{pmatrix}\psi = 
  \frac{\partial\psi}{\partial x_1} \mathbf{e}_1 + \dots + \frac{\partial\psi}{\partial x_n}\mathbf{e}_n
.</math>
जहाँ <math>\mathbf{e}_{i}</math> मनमाना दिशाओं में ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर हैं।

जैसा कि नाम से पता चलता है, ढाल आनुपातिक है और फलन के सबसे तेज़ (सकारात्मक) परिवर्तन की दिशा में इंगित करता है।

वेक्टर क्षेत्र के लिए <math>\mathbf{A} = \left(A_1, \ldots, A_n\right)</math> 1 × n पंक्ति सदिश के रूप में लिखा जाता है, जिसे ऑर्डर 1 का टेंसर फ़ील्ड भी कहा जाता है, ढाल या सहसंयोजक व्युत्पन्न n × n जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक है:
<math display="block"> \mathbf{J}_{\mathbf{A}} = (\nabla \!\mathbf{A})^\mathrm{T}  = \left(\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right)_{\!ij}.</math>
[[टेंसर क्षेत्र]] के लिए <math>\mathbf{A}</math> किसी भी क्रम के k, ग्रेडिएंट <math>\operatorname{grad}(\mathbf{A}) = (\nabla\!\mathbf{A})^\mathrm{T}</math> क्रम k + 1 का टेंसर क्षेत्र है।

=== विचलन ===
{{main|विचलन}}

कार्तीय निर्देशांक में सतत भिन्न वेक्टर क्षेत्र का विचलन <math>\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}</math> अदिश-मूल्यवान कार्य है:
<math display="block">
  \operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =
  \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix} =
  \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.
</math>
जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है कि डायवर्जेंस इस बात का माप है कि कितने वैक्टर डायवर्जिंग कर रहे हैं।

टेंसर क्षेत्र का विचलन <math>\mathbf{A}</math> शून्येतर कोटि का k इस प्रकार लिखा जाता है <math>\operatorname{div}(\mathbf{A}) = \nabla \cdot \mathbf{A}</math>, क्रम k - 1 के टेंसर क्षेत्र के लिए टेन्सर संकुचन विशेष रूप से, सदिश का विचलन अदिश राशि है। उच्च क्रम के टेंसर क्षेत्र का विचलन टेंसर क्षेत्र को बाहरी उत्पादों के योग में विघटित करके और पहचान का उपयोग करके पाया जा सकता है,
<math display="block">\nabla \cdot \left(\mathbf{B} \otimes \hat{\mathbf{A}}\right) = \hat{\mathbf{A}} (\nabla \cdot \mathbf{B}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla) \hat{\mathbf{A}}</math>
जहाँ <math>\mathbf{B} \cdot \nabla</math> की दिशा में [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] है <math>\mathbf{B}</math> इसके परिमाण से गुण विशेष रूप से, दो सदिशों के बाहरी उत्पाद के लिए,
<math display="block">\nabla \cdot \left(\mathbf{b} \mathbf{a}^\mathsf{T}\right) = \mathbf{a}\left(\nabla \cdot \mathbf{b}\right) + \left(\mathbf{b} \cdot \nabla\right) \mathbf{a}.</math>


=== कर्ल ===
{{main|कर्ल (गणित)}}

कार्टेशियन निर्देशांक में, के लिए <math>\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}</math> कर्ल वेक्टर क्षेत्र है:
<math display="block">
  \begin{align}
\operatorname{curl}\mathbf{F} &= \nabla \times \mathbf{F} = 
    \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}
    =
    \begin{vmatrix} 
    \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
    \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
    F_x & F_y & F_z
  \end{vmatrix} \\[1em]
  &=
    \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} +
    \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} +
    \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}
    \end{align}</math>
जहाँ i, j, और k क्रमशः ''x''-, ''y''-, और ''z''-अक्षों के लिए इकाई सदिश हैं।

जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है कि कर्ल इस बात का माप है कि आस-पास के वैक्टर वृत्ताकार दिशा में कितने झुकते हैं।

[[ आइंस्टीन संकेतन | आइंस्टीन संकेतन]] में, वेक्टर क्षेत्र <math>\mathbf{F} = \begin{pmatrix} F_1 & F_2 & F_3 \end{pmatrix}</math> द्वारा दिया गया कर्ल है:
<math display="block">\nabla \times \mathbf{F} = \varepsilon^{ijk}\mathbf{e}_i \frac{\partial F_k}{\partial x_j}</math>
जहाँ <math>\varepsilon</math> = ±1 या 0 लेवी-सिविता प्रतीक है'''।'''

=== लाप्लासियन ===
{{main|लाप्लास ऑपरेटर}}

[[कार्तीय निर्देशांक]] में, किसी फलन का लाप्लासियन <math>f(x,y,z)</math> है
<math display="block">\Delta f = \nabla^2\! f = (\nabla \cdot \nabla) f = \frac{\partial^2\! f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\! f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\! f}{\partial z^2}.</math>
लाप्लासियन इस बात का माप है कि बिंदु पर केंद्रित छोटे से क्षेत्र में फलन कितना बदल रहा है।

टेंसर फ़ील्ड के लिए, <math>\mathbf{A}</math>लाप्लासियन को सामान्यतः इस प्रकार लिखा जाता है:
<math display="block">\Delta\mathbf{A} = \nabla^2\! \mathbf{A} = (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{A}</math>
और उसी क्रम का टेन्सर क्षेत्र है।

जब लाप्लासियन 0 के बराबर होता है, तो फलन को [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक फलन]] कहा जाता है। वह है,
<math display="block">\Delta f = 0</math>


=== विशेष संकेत ===
फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन में,
<math display="block">\nabla_\mathbf{B}\! \left( \mathbf{A {\cdot} B} \right) = \mathbf{A} {\times}\! \left( \nabla {\times} \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{A} {\cdot} \nabla \right) \mathbf{B}</math>
जहां अंकन ∇<sub>'''B'''</sub> इसका अर्थ है कि सबस्क्रिप्टेड ग्रेडिएंट केवल फैक्टर बी पर काम करता है।<ref name=Feynman>{{cite book |first1=R. P. |last1=Feynman |first2=R. B. |last2=Leighton |first3=M. |last3=Sands |title=भौतिकी पर फेनमैन व्याख्यान|publisher = Addison-Wesley |year=1964 |isbn=0-8053-9049-9 |no-pp= true |pages= Vol II, p. 27–4}}</ref><ref name=Missevitch>{{cite arXiv |eprint=physics/0504223 |first1=A. L. |last1=Kholmetskii |first2=O. V. |last2=Missevitch |title=सापेक्षता सिद्धांत में फैराडे प्रेरण कानून|year=2005 |page=4 }}</ref>

कम सामान्य लेकिन [[ज्यामितीय बीजगणित]] में हेस्टेन्स ओवरडॉट नोटेशन समान है।<ref name="Doran">{{cite book |first1=C. |last1=Doran |author-link1=Chris J. L. Doran |first2=A. |last2=Lasenby |title=भौतिकविदों के लिए ज्यामितीय बीजगणित|year=2003 |publisher=Cambridge University Press |page=169 |isbn=978-0-521-71595-9}}</ref> उपरोक्त पहचान तब व्यक्त की जाती है:
<math display="block">\dot{\nabla} \left( \mathbf{A} {\cdot} \dot{\mathbf{B}} \right) = \mathbf{A} {\times}\! \left( \nabla {\times} \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{A} {\cdot} \nabla \right) \mathbf{B} </math>
जहां ओवरडॉट्स वेक्टर डेरिवेटिव के दायरे को परिभाषित करते हैं। बिंदीदार वेक्टर, इस स्थितियों में B, विभेदित है, जबकि (बिना बिंदीदार) A को स्थिर रखा जाता है।

इस लेख के शेष भाग के लिए, फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन का उपयोग जहां उपयुक्त होगा।

== पहली व्युत्पन्न पहचान ==
अदिश क्षेत्रों के लिए <math>\psi</math>, <math>\phi</math> और वेक्टर क्षेत्र <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathbf{B}</math>, हमारे पास निम्नलिखित व्युत्पन्न पहचान हैं।

=== वितरण गुण ===

:<math>\begin{align}
                     \nabla ( \psi + \phi ) &= \nabla \psi + \nabla \phi \\
         \nabla ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) &= \nabla \mathbf{A} + \nabla \mathbf{B} \\
   \nabla \cdot ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) &= \nabla {\cdot} \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B} \\
  \nabla \times ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) &= \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B}
\end{align}</math>


=== अदिश द्वारा गुणन के लिए गुणन नियम ===
हमारे पास एकल चर कलन में उत्पाद नियम के निम्नलिखित सामान्यीकरण हैं।

:<math>\begin{align}
               \nabla ( \psi \phi ) &= \phi\, \nabla \psi + \psi\, \nabla \phi \\
         \nabla ( \psi \mathbf{A} ) &= (\nabla \psi) \mathbf{A}^{\mathbf{T}} + \psi \nabla \mathbf{A}
                                    \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf{A} + \psi\, \nabla \mathbf{A}  \\
   \nabla \cdot ( \psi \mathbf{A} ) &= \psi\, \nabla {\cdot} \mathbf{A} + ( \nabla \psi ) \,{\cdot} \mathbf{A} \\
  \nabla {\times} ( \psi \mathbf{A} ) &= \psi\, \nabla {\times} \mathbf{A} + ( \nabla \psi ) {\times} \mathbf{A} \\
                    \nabla^{2}(\psi \phi) &= \psi\,\nabla^{2\!}\phi + 2\,\nabla\! \psi\cdot\!\nabla \phi+\phi\, \nabla^{2\!}\psi
\end{align}</math>
दूसरे सूत्र में, रूपांतरित ढाल <math>(\nabla \psi)^{\mathbf{T}}</math> n × 1 कॉलम वेक्टर है, <math>\mathbf{A}</math> एक 1 × n पंक्ति सदिश है, और उनका गुणनफल n × n मैट्रिक्स है (या अधिक सटीक रूप से, डाइएडिक्स परिभाषाएँ और शब्दावली); इसे [[टेंसर उत्पाद]] भी माना जा सकता है <math>\otimes</math> दो सदिशों का, या सदिश और सदिश का।

=== अदिश द्वारा विभाजन के लिए भागफल नियम ===

:<math>\begin{align}
  \nabla\left(\frac{\psi}{\phi}\right) 
    &= \frac{\phi\,\nabla \psi - \psi\,\nabla\phi}{\phi^2} \\[1em]
  \nabla\left(\frac{\mathbf{A}}{\phi}\right) 
    &= \frac{\phi\,\nabla \mathbf{A} - \nabla\phi \otimes \mathbf{A}}{\phi^2} \\[1em]
  \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{A}}{\phi}\right) 
    &= \frac{\phi\, \nabla{\cdot} \mathbf{A} - \nabla\!\phi \cdot \mathbf{A}}{\phi^2} \\[1em]
  \nabla \times \left(\frac{\mathbf{A}}{\phi}\right) 
    &= \frac{\phi\, \nabla {\times} \mathbf{A} - \nabla\!\phi \,{\times}\, \mathbf{A}}{\phi^2} \\[1em]
  \nabla^2 \left(\frac{\psi}{\phi}\right)
    &= \frac{\phi\, \nabla^{2\!}\psi - 2\, \phi\, \nabla\!\left(\frac{\psi}{\phi}\right)\cdot\!\nabla\phi - \psi\, \nabla^{2\!}\phi}{\phi^2}
\end{align}</math>


=== श्रृंखला नियम ===
माना <math>f(x)</math> स्केलर्स से स्केलर्स तक एक-वैरिएबल फलन बनें, <math>\mathbf{r}(t) = (r_1(t),\ldots,r_n(t))</math> [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)]] वक्र, और <math>F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> वेक्टर से स्केलर तक फलन हमारे पास बहु-चर [[श्रृंखला नियम]] के निम्नलिखित विशेष स्थितियों हैं।

:<math>\begin{align}
           \nabla(f \circ F) &= \left(f' \circ F\right)\, \nabla F \\
       (F \circ \mathbf{r})' &= (\nabla F \circ \mathbf{r}) \cdot \mathbf{r}' \\
  \nabla(F \circ \mathbf{A}) &= (\nabla F \circ \mathbf{A})\, \nabla \mathbf{A} \\
\nabla \times (\mathbf r \circ F) &= \nabla F \times (\mathbf r' \circ F)
\end{align}</math>
समन्वय प्रणाली के लिए <math>\Phi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
</math> अपने पास:

:<math>\nabla \cdot (\mathbf{A} \circ \Phi) = \mathrm{tr} \left((\nabla\mathbf{A} \circ \Phi) \mathbf{J}_\Phi\right)</math>
यहाँ हम दो n × n आव्यूहों के गुणनफल का [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] लेते हैं: 'A' की प्रवणता और <math>\Phi</math>.

=== डॉट उत्पाद नियम ===

:<math>\begin{align}
  \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) &\ =\  (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} \,+\,  (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} \,+\,  \mathbf{A} {\times} (\nabla {\times} \mathbf{B}) \,+\,  \mathbf{B} {\times} (\nabla {\times} \mathbf{A}) \\
                                      &\ =\  \mathbf{A}\cdot\mathbf{J}_\mathbf{B} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{J}_\mathbf{A}   
                                       \ =\ 
(\nabla\mathbf{B})\cdot \mathbf{A} \,+\, (\nabla\mathbf{A}) \cdot\mathbf{B}
\end{align}</math>
जहाँ <math>\mathbf{J}_{\mathbf{A}} = (\nabla \!\mathbf{A})^\mathrm{T} = (\partial A_i/\partial x_j)_{ij}</math> जेकोबियन मैट्रिक्स और वेक्टर क्षेत्र के निर्धारक को दर्शाता है <math>\mathbf{A} = (A_1,\ldots,A_n)</math>.

वैकल्पिक रूप से, फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन का उपयोग करते हुए,

:<math> \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \nabla_\mathbf{A}(\mathbf{A}  \cdot \mathbf{B}) +  \nabla_\mathbf{B} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \ . </math>
इन नोटों को देखें।<ref>{{cite book |last1=Kelly |first1=P. |year=2013 |title=Mechanics Lecture Notes Part III: Foundations of Continuum Mechanics |url=http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/ |publisher=University of Auckland |chapter=Chapter 1.14 Tensor Calculus 1: Tensor Fields |chapter-url=http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |access-date=7 December 2017}}</ref> विशेष स्थितियों के रूप में, जब {{math|'''A''' {{=}} '''B'''}},

:<math>
    \tfrac{1}{2} \nabla \left( \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} \right)
\ =\  \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_\mathbf{A} \ =\    (\nabla \mathbf{A})\cdot \mathbf{A}\ =\ (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{A} \,+\, \mathbf{A} {\times} (\nabla {\times} \mathbf{A}) \ =\ A \nabla (A)
.
</math>
रीमैनियन कई गुना के लिए [[डॉट उत्पाद]] सूत्र का सामान्यीकरण रीमैनियन कनेक्शन की परिभाषित संपत्ति है, जो वेक्टर-मूल्य वाले [[विभेदक रूप]] देने के लिए वेक्टर फ़ील्ड को अलग करता है। 1-फॉर्म

=== क्रॉस उत्पाद नियम ===
:<math>\begin{align}
  \nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})
     &\ =\ (\nabla {\times} \mathbf{A}) \cdot \mathbf{B} 
            \,-\, \mathbf{A} \cdot (\nabla {\times} \mathbf{B}) \\[5pt]
  \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})
     &\ =\  \mathbf{A}(\nabla {\cdot} \mathbf{B}) \,-\, \mathbf{B}(\nabla {\cdot} \mathbf{A}) 
           \,+\, (\mathbf{B} {\cdot} \nabla) \mathbf{A} \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[2pt]
     &\ =\  (\nabla {\cdot}\, \mathbf{B}  \,+\, \mathbf{B}\, {\cdot} \nabla)\mathbf{A} 
            \,-\, (\nabla {\cdot} \mathbf{A} \,+\, \mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[2pt]
     &\ =\  \nabla {\cdot} \left(\mathbf{B} \mathbf{A}^\mathrm{T}\right) 
            \,-\, \nabla {\cdot} \left(\mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{T}\right) \\[2pt]
     &\ =\  \nabla {\cdot} \left(\mathbf{B} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,-\, \mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{T}\right) \\
    \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})
     &\ =\  \nabla_{\mathbf{B}}(\mathbf{A} {\cdot} \mathbf{B}) \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[2pt]
     &\ =\ \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_\mathbf{B} \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} =\ (\nabla\mathbf{B})\cdot\mathbf{A}  \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[5pt]
     &\ =\ \mathbf{A} \cdot (\mathbf{J}_\mathbf{B} \,-\, \mathbf{J}_\mathbf{B}^\mathrm{T})\\[5pt]
    (\mathbf{A} \times \nabla) \times \mathbf{B}
     &\ =\ (\nabla\mathbf{B})  \cdot \mathbf{A} \,-\, \mathbf{A}  (\nabla {\cdot} \mathbf{B})\\
     &\ =\ \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) \,+\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \,-\, \mathbf{A}  (\nabla {\cdot} \mathbf{B})
\end{align}</math>
ध्यान दें कि मैट्रिक्स <math> \mathbf{J}_\mathbf{B} \,-\, \mathbf{J}_\mathbf{B}^\mathrm{T}</math> विषम है।

== दूसरी व्युत्पन्न पहचान ==

=== कर्ल का [[विचलन]] शून्य है ===

==== किसी भी लगातार दो बार अलग-अलग वेक्टर फ़ील्ड 'A' के कर्ल का विचलन हमेशा शून्य होता है: ====
<math display="block">\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0 </math>
यह [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] श्रृंखला परिसर में [[बाहरी व्युत्पन्न]] के वर्ग के गायब होने का एक विशेष स्थितियों है।

=== ग्रेडिएंट डायवर्जेंस [[लाप्लासियन]] है ===
अदिश क्षेत्र का लाप्लासियन इसकी प्रवणता का विचलन है:
<math display="block">\Delta \psi = \nabla^2 \psi = \nabla \cdot (\nabla \psi) </math>
परिणाम अदिश राशि है।

=== विचलन का विचलन परिभाषित नहीं है ===
सदिश क्षेत्र A का अपसरण अदिश राशि है, और आप किसी अदिश राशि का अपसरण नहीं ले सकते। इसलिए:
<math display="block"> \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) \text{ is undefined} </math>



=== [[ ग्रेडियेंट | ग्रेडियेंट]] का कर्ल शून्य है ===
किसी भी लगातार दो बार अलग-अलग स्केलर क्षेत्र के ढाल का [[कर्ल (गणित)]]। <math>\varphi </math> (यानी, स्मूथनेस मल्टीवेरिएट डिफरेंशियलिटी क्लासेस <math>C^2</math>) हमेशा [[शून्य वेक्टर]] होता है:
<math display="block">\nabla \times ( \nabla \varphi )  = \mathbf{0}</math>
इसे व्यक्त करके सरलता से सिद्ध किया जा सकता है <math>\nabla \times ( \nabla \varphi )</math> दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता के साथ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में श्वार्ज़ का प्रमेय (जिसे मिश्रित आंशिकों की समानता पर क्लेराट का प्रमेय भी कहा जाता है)। यह परिणाम डी राम कोहोलॉजी श्रृंखला परिसर में बाहरी व्युत्पन्न के वर्ग के गायब होने का विशेष स्थितियों है।

=== कर्ल का कर्ल ===
<math display="block"> \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) \ =\ \nabla(\nabla {\cdot} \mathbf{A}) \,-\, \nabla^{2\!}\mathbf{A}</math>
यहाँ ∇<sup>2</sup> सदिश क्षेत्र A पर सक्रिय सदिश लाप्लासियन है।

=== विचलन का कर्ल परिभाषित नहीं है ===
सदिश क्षेत्र A का अपसरण अदिश राशि है, और आप किसी अदिश राशि का कर्ल नहीं ले सकते। इसलिए
<math display="block"> \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf{A}) \text{ is undefined} </math>

[[File:DCG chart.svg|right|thumb|300px|डीसीजी चार्ट:


दूसरे डेरिवेटिव के लिए कुछ नियम।]]

=== स्मृति चिन्ह ===
इनमें से कुछ पहचानों के लिए दाईं ओर का आंकड़ा स्मरक है। उपयोग किए गए संक्षेप हैं:
* D: विचलन,
* C: कर्ल,
* G: ढाल,
* L: लाप्लासियन,
* CC: कर्ल का कर्ल।

प्रत्येक तीर को पहचान के परिणाम के साथ लेबल किया जाता है, विशेष रूप से, तीर की पूंछ पर ऑपरेटर को उसके सिर पर ऑपरेटर लगाने का परिणाम। बीच में नीले वृत्त का अर्थ है कर्ल का कर्ल उपस्थित है, जबकि अन्य दो लाल वृत्त (धराशायी) का अर्थ है कि DD और GG उपस्थित नहीं हैं।

== महत्वपूर्ण पहचानों का सारांश ==

=== भेद ===

==== ग्रेडिएंट ====

*<math>\nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi </math>
*<math>\nabla(\psi \phi) = \phi\nabla \psi  + \psi \nabla \phi </math>
*<math>\nabla(\psi \mathbf{A} ) = \nabla \psi \otimes \mathbf{A} + \psi \nabla \mathbf{A}</math>
*<math>\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})
 + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})</math>


==== विचलन ====

*<math> \nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})= \nabla\cdot\mathbf{A}+\nabla\cdot\mathbf{B} </math>
*<math> \nabla\cdot\left(\psi\mathbf{A}\right)= \psi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla \psi</math>
*<math> \nabla\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)= (\nabla\times\mathbf{A})\cdot \mathbf{B}-(\nabla\times\mathbf{B})\cdot \mathbf{A}</math>


==== कर्ल ====

*<math>\nabla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\times\mathbf{A}+\nabla\times\mathbf{B} </math>
*<math>\nabla\times\left(\psi\mathbf{A}\right)=\psi\,(\nabla\times\mathbf{A})-(\mathbf{A}\times\nabla)\psi=\psi\,(\nabla\times\mathbf{A})+(\nabla\psi)\times\mathbf{A}</math>
*<math>\nabla\times\left(\psi\nabla\phi\right)= \nabla \psi \times \nabla \phi</math>
*<math>\nabla\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)= \mathbf{A}\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)-\mathbf{B} \left( \nabla\cdot\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}- \left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B} </math><ref>{{Cite web |title=lecture15.pdf |url=https://www2.ph.ed.ac.uk/~mevans/mp2h/VTF/lecture15.pdf |url-status=live}}</ref>


==== वेक्टर डॉट डेल ऑपरेटर ====

*<math>(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} = \frac{1}{2}\bigg[\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) - \nabla\times(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) - \mathbf{B}\times(\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A}\times(\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A}(\nabla \cdot\mathbf{B})\bigg]</math><ref name=KuoAcharya>{{cite book |last1=Kuo |first1=Kenneth K. |last2=Acharya |first2=Ragini |title=अशांत और बहु-चरण दहन के अनुप्रयोग|date=2012 |publisher=Wiley |location=Hoboken, N.J. |isbn=9781118127575 |page=520 |doi=10.1002/9781118127575.app1 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/9781118127575.app1|access-date=19 April 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210419221120/https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/9781118127575.app1|archive-date=19 April 2020 |url-status=live }}</ref>
*<math>(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{A} = \frac{1}{2}\nabla |\mathbf{A}|^2-\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \frac{1}{2}\nabla |\mathbf{A}|^2 + (\nabla\times\mathbf{A})\times \mathbf{A}</math>


==== दूसरा डेरिवेटिव ====

*<math>\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0</math>
*<math>\nabla \times (\nabla\psi) = \mathbf{0}</math>
*<math>\nabla \cdot (\nabla\psi) = \nabla^2\psi</math> ([[लाप्लास ऑपरेटर]])
*<math>\nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{A}\right) - \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) = \nabla^2\mathbf{A}</math> (वेक्टर लाप्लासियन)
*<math>\nabla \cdot (\phi\nabla\psi) = \phi\nabla^2\psi + \nabla\phi \cdot \nabla\psi</math> *<math>\psi\nabla^2\phi - \phi\nabla^2\psi = \nabla \cdot \left(\psi\nabla\phi - \phi\nabla\psi\right)</math>
*<math>\nabla^2(\phi\psi) = \phi\nabla^2\psi + 2(\nabla\phi) \cdot(\nabla\psi) + \left(\nabla^2\phi\right)\psi</math>
*<math>\nabla^2(\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A}\nabla^2\psi + 2(\nabla\psi \cdot \nabla)\mathbf{A} + \psi\nabla^2\mathbf{A}</math>
*<math>\nabla^2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \cdot \nabla^2\mathbf{B} - \mathbf{B} \cdot \nabla^2\!\mathbf{A} + 2\nabla \cdot ((\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}))</math> (ग्रीन की पहचान | ग्रीन की वेक्टर पहचान)

==== तीसरा डेरिवेटिव ====

*<math>   \nabla^2(\nabla\psi) =  \nabla(\nabla \cdot (\nabla\psi)) = \nabla\left(\nabla^2\psi\right)</math>
*<math>   \nabla^2(\nabla \cdot \mathbf{A}) =  \nabla \cdot (\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})) = \nabla \cdot \left(\nabla^2\mathbf{A}\right)</math>
*<math>  \nabla^{2}(\nabla\times\mathbf{A}) = -\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})) = \nabla \times \left(\nabla^2\mathbf{A}\right)</math>


=== एकीकरण ===
नीचे, घुमावदार प्रतीक ∂ का अर्थ सतह या ठोस "की सीमा" है।

====सतह-मात्रा अभिन्नता ====
निम्नलिखित सतह-आयतन अभिन्न प्रमेयों में, V त्रि-आयामी आयतन को संबंधित द्वि-आयामी सीमा (टोपोलॉजी) S = ∂V ( [[बंद सतह]]) के साथ दर्शाता है:

* {{oiint
 | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math>
 | integrand=<math>\psi\,d\mathbf{S}\ =\ \iiint_V \nabla\psi\,dV</math>
 }}
* {{oiint
 | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math>
 | integrand=<math>\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}\ =\ \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{A}\,dV</math>
 }} ([[विचलन प्रमेय]])
* {{oiint
 | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math>
 | integrand=<math>\mathbf{A} \times d\mathbf{S}\ =\ -\iiint_V \nabla \times \mathbf{A}\,dV</math>
 }}
*{{oiint
 | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math>
 | integrand=<math>\psi \nabla\!\varphi \cdot d\mathbf{S}\ =\ \iiint_V \left(\psi\nabla^2 \!\varphi + \nabla\!\varphi \cdot \nabla\!\psi\right)\,dV</math>
 }} (ग्रीन की पहली पहचान)
* {{oiint
 | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math>
 | integrand=<math>\left(\psi\nabla\!\varphi - \varphi\nabla\!\psi\right) \cdot d\mathbf{S}
\ =\ </math>{{oiint
  | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math>
  | integrand=<math>\left(\psi\frac{\partial\varphi}{\partial n} - \varphi\frac{\partial\psi}{\partial n}\right)dS</math>
  }} <math>\displaystyle\ =\ \iiint_{V}\left(\psi\nabla^2\!\varphi - \varphi\nabla^2\!\psi\right)\,dV</math>
 }} (ग्रीन की दूसरी पहचान)
* {{oiint
 | preintegral=<math>\iiint_V \mathbf{A} \cdot \nabla\psi\,dV\ =\ </math>
 | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math>
 | integrand=<math>\psi\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} - \iiint_V \psi\nabla \cdot \mathbf{A}\,dV</math>
 }} ([[भागों द्वारा एकीकरण]])
* {{oiint
 | preintegral=<math>\iiint_V \psi\nabla \cdot \mathbf{A}\,dV\ =\ </math>
 | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math>
 | integrand=<math>\psi\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} - \iiint_V \mathbf{A} \cdot \nabla\psi\,dV</math>
 }} (भागों द्वारा एकीकरण)
* {{oiint
 | preintegral=<math>\iiint_V \mathbf{A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf{B}\right)\,dV\ =\ -</math>
 | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math>
 | integrand=<math>\left(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\right) \cdot d\mathbf{S} + \iiint_V \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) \cdot \mathbf{B}\,dV</math>
 }} (भागों द्वारा एकीकरण)

====वक्र-सतह अभिन्न ====
निम्नलिखित वक्र-सतह अभिन्न प्रमेयों में, S एक 2d खुली सतह को दर्शाता है जिसकी संगत 1d सीमा C = ∂S ( [[बंद वक्र]]) है:

*<math> \oint_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell}\ =\ \iint_{S}\left(\nabla \times \mathbf{A}\right)\cdot d\mathbf{S} </math> (स्टोक्स प्रमेय)
*<math> \oint_{\partial S}\psi\, d\boldsymbol{\ell}\ =\ -\iint_{S} \nabla\psi \times d\mathbf{S} </math>
[[दक्षिणावर्त]] अर्थ में बंद वक्र के चारों ओर एकीकरण वामावर्त अर्थ में समान रेखा अभिन्न का ऋणात्मक है ( निश्चित अभिन्न में सीमाओं को बदलने के अनुरूप):
:{{intorient|
 | preintegral = {{intorient
  | preintegral =
  | symbol = oint
  | intsubscpt = <math>{\scriptstyle \partial S}</math>
  | integrand = <math>\mathbf{A}\cdot{\rm d}\boldsymbol{\ell} = -</math>
 }}
 | symbol = ointctr
 | intsubscpt = <math>{\scriptstyle \partial S}</math>
 | integrand = <math>\mathbf{A}\cdot{\rm d}\boldsymbol{\ell}.</math>
}}

==== एंडपॉइंट-वक्र इंटीग्रल ====
निम्नलिखित समापन बिंदु-वक्र अभिन्न प्रमेयों में, P हस्ताक्षरित 0d सीमा बिंदुओं के साथ 1d खुले पथ को दर्शाता है <math>\mathbf{q}-\mathbf{p} = \partial P</math> और P के साथ एकीकरण से है <math>\mathbf{p}</math> को <math>\mathbf{q}</math>:

*<math> \psi|_{\partial P} = \psi(\mathbf{q})-\psi(\mathbf{p}) = \int_{P} \nabla\psi\cdot d\boldsymbol{\ell} </math> ([[ढाल प्रमेय]])।

== यह भी देखें ==

* {{annotated link|वेक्टर बीजगणित और ज्यामितीय बीजगणित की तुलना}}
* {{annotated link|डेल बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में}}
* {{annotated link|विभेदन नियम}}
* {{annotated link|बाहरी कैलकुलस पहचान}}
* {{annotated link|बाहरी व्युत्पन्न}}
* {{annotated link|सीमाओं की सूची}}
* {{annotated link|डेरिवेटिव की तालिका}}
* {{annotated link|वेक्टर बीजगणित संबंध}}

==संदर्भ==
{{reflist}}


==अग्रिम पठन==
{{Refbegin}}
* {{cite book | title = Advanced Engineering Electromagnetics | first = Constantine A. | last = Balanis | date = 23 May 1989 | isbn = 0-471-62194-3 }}
* {{cite book | first = H. M. | last = Schey | title = Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus | publisher=W. W. Norton & Company | year= 1997 | isbn = 0-393-96997-5 }}
* {{cite book | first = David J. | last = Griffiths | title = Introduction to Electrodynamics | publisher = Prentice Hall | year = 1999 | isbn = 0-13-805326-X | url-access = registration | url = https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0 }}
{{Refend}}

[[Category: गणितीय पहचान]] [[Category: गणित से संबंधित सूचियाँ]] [[Category: वेक्टर पथरी]] 

[[eo:Vektoraj identoj]]
[[zh:向量恆等式列表]]



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 20/05/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]