सदिश कलन में डेरिवेटिव और इंटीग्रल को सम्मिलित करने वाली महत्वपूर्ण पहचान (गणित) निम्नलिखित हैं।
ऑपरेटर नोटेशन ग्रेडिएंट फलन के लिए f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)}
grad ( f ) = ∇ f = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k {\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }
जहाँ i, j, k
x ,
y ,
z -अक्षों के लिए
मानक आधार इकाई वैक्टर हैं। अधिक सामान्यतः, 'n' चर के फलन के लिए
ψ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})} , जिसे
अदिश (गणित) क्षेत्र भी कहा जाता है, ग्रेडिएंट सदिश क्षेत्र है:
∇ ψ = ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) ψ = ∂ ψ ∂ x 1 e 1 + ⋯ + ∂ ψ ∂ x n e n . {\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,\ {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}.}
जहाँ
e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} मनमाना दिशाओं में ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर हैं।
जैसा कि नाम से पता चलता है, ढाल आनुपातिक है और फलन के सबसे तेज़ (सकारात्मक) परिवर्तन की दिशा में इंगित करता है।
वेक्टर क्षेत्र के लिए A = ( A 1 , … , A n ) {\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)}
J A = ( ∇ A ) T = ( ∂ A i ∂ x j ) i j . {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.} टेंसर क्षेत्र के लिए
A {\displaystyle \mathbf {A} } किसी भी क्रम के k, ग्रेडिएंट
grad ( A ) = ( ∇ A ) T {\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {A} )=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }} क्रम k + 1 का टेंसर क्षेत्र है।
विचलन कार्तीय निर्देशांक में सतत भिन्न वेक्टर क्षेत्र का विचलन F = F x i + F y j + F z k {\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }
div F = ∇ ⋅ F = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ ( F x , F y , F z ) = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z . {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}
जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है कि डायवर्जेंस इस बात का माप है कि कितने वैक्टर डायवर्जिंग कर रहे हैं।
टेंसर क्षेत्र का विचलन A {\displaystyle \mathbf {A} } div ( A ) = ∇ ⋅ A {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }
∇ ⋅ ( B ⊗ A ^ ) = A ^ ( ∇ ⋅ B ) + ( B ⋅ ∇ ) A ^ {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {B} \otimes {\hat {\mathbf {A} }}\right)={\hat {\mathbf {A} }}(\nabla \cdot \mathbf {B} )+(\mathbf {B} \cdot \nabla ){\hat {\mathbf {A} }}}
जहाँ
B ⋅ ∇ {\displaystyle \mathbf {B} \cdot \nabla } की दिशा में
दिशात्मक व्युत्पन्न है
B {\displaystyle \mathbf {B} } इसके परिमाण से गुण विशेष रूप से, दो सदिशों के बाहरी उत्पाद के लिए,
∇ ⋅ ( b a T ) = a ( ∇ ⋅ b ) + ( b ⋅ ∇ ) a . {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {a} \left(\nabla \cdot \mathbf {b} \right)+\left(\mathbf {b} \cdot \nabla \right)\mathbf {a} .}
कर्ल कार्टेशियन निर्देशांक में, के लिए F = F x i + F y j + F z k {\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }
curl F = ∇ × F = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) × ( F x , F y , F z ) = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) j + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}
जहाँ i, j, और k क्रमशः
x -,
y -, और
z -अक्षों के लिए इकाई सदिश हैं।
जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है कि कर्ल इस बात का माप है कि आस-पास के वैक्टर वृत्ताकार दिशा में कितने झुकते हैं।
आइंस्टीन संकेतन में, वेक्टर क्षेत्र F = ( F 1 F 2 F 3 ) {\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{pmatrix}}}
∇ × F = ε i j k e i ∂ F k ∂ x j {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}}
जहाँ
ε {\displaystyle \varepsilon } = ±1 या 0 लेवी-सिविता प्रतीक है
।
लाप्लासियन कार्तीय निर्देशांक में, किसी फलन का लाप्लासियन f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)}
Δ f = ∇ 2 f = ( ∇ ⋅ ∇ ) f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}
लाप्लासियन इस बात का माप है कि बिंदु पर केंद्रित छोटे से क्षेत्र में फलन कितना बदल रहा है।
टेंसर फ़ील्ड के लिए, A {\displaystyle \mathbf {A} }
Δ A = ∇ 2 A = ( ∇ ⋅ ∇ ) A {\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\nabla ^{2}\!\mathbf {A} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} }
और उसी क्रम का टेन्सर क्षेत्र है।
जब लाप्लासियन 0 के बराबर होता है, तो फलन को हार्मोनिक फलन कहा जाता है। वह है,
Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0}
विशेष संकेत फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन में,
∇ B ( A ⋅ B ) = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }
जहां अंकन ∇
B इसका अर्थ है कि सबस्क्रिप्टेड ग्रेडिएंट केवल फैक्टर बी पर काम करता है।
[1] [2]
कम सामान्य लेकिन ज्यामितीय बीजगणित में हेस्टेन्स ओवरडॉट नोटेशन समान है।[3]
∇ ˙ ( A ⋅ B ˙ ) = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }
जहां ओवरडॉट्स वेक्टर डेरिवेटिव के दायरे को परिभाषित करते हैं। बिंदीदार वेक्टर, इस स्थितियों में B, विभेदित है, जबकि (बिना बिंदीदार) A को स्थिर रखा जाता है।
इस लेख के शेष भाग के लिए, फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन का उपयोग जहां उपयुक्त होगा।
पहली व्युत्पन्न पहचान अदिश क्षेत्रों के लिए ψ {\displaystyle \psi } ϕ {\displaystyle \phi } A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} }
वितरण गुण ∇ ( ψ + ϕ ) = ∇ ψ + ∇ ϕ ∇ ( A + B ) = ∇ A + ∇ B ∇ ⋅ ( A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B ∇ × ( A + B ) = ∇ × A + ∇ × B {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi )&=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla {\cdot }\mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}}
अदिश द्वारा गुणन के लिए गुणन नियम हमारे पास एकल चर कलन में उत्पाद नियम के निम्नलिखित सामान्यीकरण हैं।
∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ ∇ ( ψ A ) = ( ∇ ψ ) A T + ψ ∇ A = ∇ ψ ⊗ A + ψ ∇ A ∇ ⋅ ( ψ A ) = ψ ∇ ⋅ A + ( ∇ ψ ) ⋅ A ∇ × ( ψ A ) = ψ ∇ × A + ( ∇ ψ ) × A ∇ 2 ( ψ ϕ ) = ψ ∇ 2 ϕ + 2 ∇ ψ ⋅ ∇ ϕ + ϕ ∇ 2 ψ {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi \phi )&=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi \\\nabla (\psi \mathbf {A} )&=(\nabla \psi )\mathbf {A} ^{\mathbf {T} }+\psi \nabla \mathbf {A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \\\nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi )\,{\cdot }\mathbf {A} \\\nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} \\\nabla ^{2}(\psi \phi )&=\psi \,\nabla ^{2\!}\phi +2\,\nabla \!\psi \cdot \!\nabla \phi +\phi \,\nabla ^{2\!}\psi \end{aligned}}} दूसरे सूत्र में, रूपांतरित ढाल ( ∇ ψ ) T {\displaystyle (\nabla \psi )^{\mathbf {T} }} A {\displaystyle \mathbf {A} } टेंसर उत्पाद भी माना जा सकता है ⊗ {\displaystyle \otimes }
अदिश द्वारा विभाजन के लिए भागफल नियम ∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ − ψ ∇ ϕ ϕ 2 ∇ ( A ϕ ) = ϕ ∇ A − ∇ ϕ ⊗ A ϕ 2 ∇ ⋅ ( A ϕ ) = ϕ ∇ ⋅ A − ∇ ϕ ⋅ A ϕ 2 ∇ × ( A ϕ ) = ϕ ∇ × A − ∇ ϕ × A ϕ 2 ∇ 2 ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ 2 ψ − 2 ϕ ∇ ( ψ ϕ ) ⋅ ∇ ϕ − ψ ∇ 2 ϕ ϕ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \mathbf {A} -\nabla \phi \otimes \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla ^{2}\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla ^{2\!}\psi -2\,\phi \,\nabla \!\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)\cdot \!\nabla \phi -\psi \,\nabla ^{2\!}\phi }{\phi ^{2}}}\end{aligned}}}
श्रृंखला नियम माना f ( x ) {\displaystyle f(x)} r ( t ) = ( r 1 ( t ) , … , r n ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)=(r_{1}(t),\ldots ,r_{n}(t))} पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) वक्र, और F : R n → R {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } श्रृंखला नियम के निम्नलिखित विशेष स्थितियों हैं।
∇ ( f ∘ F ) = ( f ′ ∘ F ) ∇ F ( F ∘ r ) ′ = ( ∇ F ∘ r ) ⋅ r ′ ∇ ( F ∘ A ) = ( ∇ F ∘ A ) ∇ A ∇ × ( r ∘ F ) = ∇ F × ( r ′ ∘ F ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (f\circ F)&=\left(f'\circ F\right)\,\nabla F\\(F\circ \mathbf {r} )'&=(\nabla F\circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\\nabla (F\circ \mathbf {A} )&=(\nabla F\circ \mathbf {A} )\,\nabla \mathbf {A} \\\nabla \times (\mathbf {r} \circ F)&=\nabla F\times (\mathbf {r} '\circ F)\end{aligned}}} समन्वय प्रणाली के लिए Φ : R n → R n {\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
∇ ⋅ ( A ∘ Φ ) = t r ( ( ∇ A ∘ Φ ) J Φ ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \Phi )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {A} \circ \Phi )\mathbf {J} _{\Phi }\right)} यहाँ हम दो n × n आव्यूहों के गुणनफल का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) लेते हैं: 'A' की प्रवणता और Φ {\displaystyle \Phi }
डॉट उत्पाद नियम ∇ ( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ ) B + ( B ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × B ) + B × ( ∇ × A ) = A ⋅ J B + B ⋅ J A = ( ∇ B ) ⋅ A + ( ∇ A ) ⋅ B {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}} जहाँ J A = ( ∇ A ) T = ( ∂ A i / ∂ x j ) i j {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}} A = ( A 1 , … , A n ) {\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}
वैकल्पिक रूप से, फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन का उपयोग करते हुए,
∇ ( A ⋅ B ) = ∇ A ( A ⋅ B ) + ∇ B ( A ⋅ B ) . {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .} इन नोटों को देखें।[4] A = B
1 2 ∇ ( A ⋅ A ) = A ⋅ J A = ( ∇ A ) ⋅ A = ( A ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × A ) = A ∇ ( A ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla (A).} रीमैनियन कई गुना के लिए डॉट उत्पाद सूत्र का सामान्यीकरण रीमैनियन कनेक्शन की परिभाषित संपत्ति है, जो वेक्टर-मूल्य वाले विभेदक रूप देने के लिए वेक्टर फ़ील्ड को अलग करता है। 1-फॉर्म
क्रॉस उत्पाद नियम ∇ ⋅ ( A × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − A ⋅ ( ∇ × B ) ∇ × ( A × B ) = A ( ∇ ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B = ( ∇ ⋅ B + B ⋅ ∇ ) A − ( ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇ ) B = ∇ ⋅ ( B A T ) − ∇ ⋅ ( A B T ) = ∇ ⋅ ( B A T − A B T ) A × ( ∇ × B ) = ∇ B ( A ⋅ B ) − ( A ⋅ ∇ ) B = A ⋅ J B − ( A ⋅ ∇ ) B = ( ∇ B ) ⋅ A − ( A ⋅ ∇ ) B = A ⋅ ( J B − J ध्यान दें कि मैट्रिक्स J B − J B T {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\mathrm {T} }}
दूसरी व्युत्पन्न पहचान कर्ल का विचलन शून्य है किसी भी लगातार दो बार अलग-अलग वेक्टर फ़ील्ड 'A' के कर्ल का विचलन हमेशा शून्य होता है:
∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}
यह
डॉ कहलमज गर्भाशय श्रृंखला परिसर में
बाहरी व्युत्पन्न के वर्ग के गायब होने का एक विशेष स्थितियों है।
ग्रेडिएंट डायवर्जेंस लाप्लासियन है अदिश क्षेत्र का लाप्लासियन इसकी प्रवणता का विचलन है:
Δ ψ = ∇ 2 ψ = ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) {\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}
परिणाम अदिश राशि है।
विचलन का विचलन परिभाषित नहीं है सदिश क्षेत्र A का अपसरण अदिश राशि है, और आप किसी अदिश राशि का अपसरण नहीं ले सकते। इसलिए:
∇ ⋅ ( ∇ ⋅ A ) is undefined {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined}}}
किसी भी लगातार दो बार अलग-अलग स्केलर क्षेत्र के ढाल का कर्ल (गणित) । φ {\displaystyle \varphi } C 2 {\displaystyle C^{2}} शून्य वेक्टर होता है:
∇ × ( ∇ φ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} }
इसे व्यक्त करके सरलता से सिद्ध किया जा सकता है
∇ × ( ∇ φ ) {\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )} दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता के साथ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में श्वार्ज़ का प्रमेय (जिसे मिश्रित आंशिकों की समानता पर क्लेराट का प्रमेय भी कहा जाता है)। यह परिणाम डी राम कोहोलॉजी श्रृंखला परिसर में बाहरी व्युत्पन्न के वर्ग के गायब होने का विशेष स्थितियों है।
कर्ल का कर्ल
∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }
यहाँ ∇
2 सदिश क्षेत्र A पर सक्रिय सदिश लाप्लासियन है।
विचलन का कर्ल परिभाषित नहीं है सदिश क्षेत्र A का अपसरण अदिश राशि है, और आप किसी अदिश राशि का कर्ल नहीं ले सकते। इसलिए
∇ × ( ∇ ⋅ A ) is undefined {\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined}}}
डीसीजी चार्ट: दूसरे डेरिवेटिव के लिए कुछ नियम।
स्मृति चिन्ह इनमें से कुछ पहचानों के लिए दाईं ओर का आंकड़ा स्मरक है। उपयोग किए गए संक्षेप हैं:
D: विचलन,
C: कर्ल,
G: ढाल,
L: लाप्लासियन,
CC: कर्ल का कर्ल। प्रत्येक तीर को पहचान के परिणाम के साथ लेबल किया जाता है, विशेष रूप से, तीर की पूंछ पर ऑपरेटर को उसके सिर पर ऑपरेटर लगाने का परिणाम। बीच में नीले वृत्त का अर्थ है कर्ल का कर्ल उपस्थित है, जबकि अन्य दो लाल वृत्त (धराशायी) का अर्थ है कि DD और GG उपस्थित नहीं हैं।
महत्वपूर्ण पहचानों का सारांश भेद ग्रेडिएंट ∇ ( ψ + ϕ ) = ∇ ψ + ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi } ∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi } ∇ ( ψ A ) = ∇ ψ ⊗ A + ψ ∇ A {\displaystyle \nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} } ∇ ( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ ) B + ( B ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × B ) + B × ( ∇ × A ) {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}
विचलन ∇ ⋅ ( A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} } ∇ ⋅ ( ψ A ) = ψ ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇ ψ {\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi } ∇ ⋅ ( A × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − ( ∇ × B ) ⋅ A {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} }
कर्ल ∇ × ( A + B ) = ∇ × A + ∇ × B {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} } ∇ × ( ψ A ) = ψ ( ∇ × A ) − ( A × ∇ ) ψ = ψ ( ∇ × A ) + ( ∇ ψ ) × A {\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+(\nabla \psi )\times \mathbf {A} } ∇ × ( ψ ∇ ϕ ) = ∇ ψ × ∇ ϕ {\displaystyle \nabla \times \left(\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi } ∇ × ( A × B ) = A ( ∇ ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} } [5]
वेक्टर डॉट डेल ऑपरेटर ( A ⋅ ∇ ) B = 1 2 [ ∇ ( A ⋅ B ) − ∇ × ( A × B ) − B × ( ∇ × A ) − A × ( ∇ × B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + A ( ∇ ⋅ B ) ] {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\bigg ]}} [6] ( A ⋅ ∇ ) A = 1 2 ∇ | A | 2 − A × ( ∇ × A ) = 1 2 ∇ | A | 2 + ( ∇ × A ) × A {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} }
दूसरा डेरिवेटिव ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0} ∇ × ( ∇ ψ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} } ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) = ∇ 2 ψ {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi } लाप्लास ऑपरेटर )∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ 2 A {\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} } ∇ ⋅ ( ϕ ∇ ψ ) = ϕ ∇ 2 ψ + ∇ ϕ ⋅ ∇ ψ {\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi } ψ ∇ 2 ϕ − ϕ ∇ 2 ψ = ∇ ⋅ ( ψ ∇ ϕ − ϕ ∇ ψ ) {\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)} ∇ 2 ( ϕ ψ ) = ϕ ∇ 2 ψ + 2 ( ∇ ϕ ) ⋅ ( ∇ ψ ) + ( ∇ 2 ϕ ) ψ {\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi } ∇ 2 ( ψ A ) = A ∇ 2 ψ + 2 ( ∇ ψ ⋅ ∇ ) A + ψ ∇ 2 A {\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} } ∇ 2 ( A ⋅ B ) = A ⋅ ∇ 2 B − B ⋅ ∇ 2 A + 2 ∇ ⋅ ( ( B ⋅ ∇ ) A + B × ( ∇ × A ) ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))} तीसरा डेरिवेटिव ∇ 2 ( ∇ ψ ) = ∇ ( ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) ) = ∇ ( ∇ 2 ψ ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)} ∇ 2 ( ∇ ⋅ A ) = ∇ ⋅ ( ∇ ( ∇ ⋅ A ) ) = ∇ ⋅ ( ∇ 2 A ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)} ∇ 2 ( ∇ × A ) = − ∇ × ( ∇ × ( ∇ × A ) ) = ∇ × ( ∇ 2 A ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}
एकीकरण नीचे, घुमावदार प्रतीक ∂ का अर्थ सतह या ठोस "की सीमा" है।
सतह-मात्रा अभिन्नता निम्नलिखित सतह-आयतन अभिन्न प्रमेयों में, V त्रि-आयामी आयतन को संबंधित द्वि-आयामी सीमा (टोपोलॉजी) S = ∂V ( बंद सतह ) के साथ दर्शाता है:
∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ d S = ∭ V ∇ ψ d V {\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV} ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} A ⋅ d S = ∭ V ∇ ⋅ A d V {\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV} (विचलन प्रमेय ) ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} A × d S = − ∭ V ∇ × A d V {\displaystyle \mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV} ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ ∇ φ ⋅ d S = ∭ V ( ψ ∇ 2 φ + ∇ φ ⋅ ∇ ψ ) d V {\displaystyle \psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV} (ग्रीन की पहली पहचान) ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( ψ ∇ φ − φ ∇ ψ ) ⋅ d S = {\displaystyle \left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( ψ ∂ φ ∂ n − φ ∂ ψ ∂ n ) d S {\displaystyle \left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS} = ∭ V ( ψ ∇ 2 φ − φ ∇ 2 ψ ) d V {\displaystyle \displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV} (ग्रीन की दूसरी पहचान)∭ V A ⋅ ∇ ψ d V = {\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ A ⋅ d S − ∭ V ψ ∇ ⋅ A d V {\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV} भागों द्वारा एकीकरण )∭ V ψ ∇ ⋅ A d V = {\displaystyle \iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ A ⋅ d S − ∭ V A ⋅ ∇ ψ d V {\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV} ∭ V A ⋅ ( ∇ × B ) d V = − {\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,dV\ =\ -} ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( A × B ) ⋅ d S + ∭ V ( ∇ × A ) ⋅ B d V {\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot d\mathbf {S} +\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \mathbf {B} \,dV} वक्र-सतह अभिन्न निम्नलिखित वक्र-सतह अभिन्न प्रमेयों में, S एक 2d खुली सतह को दर्शाता है जिसकी संगत 1d सीमा C = ∂S ( बंद वक्र ) है:
∮ ∂ S A ⋅ d ℓ = ∬ S ( ∇ × A ) ⋅ d S {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} } ∮ ∂ S ψ d ℓ = − ∬ S ∇ ψ × d S {\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} } दक्षिणावर्त अर्थ में बंद वक्र के चारों ओर एकीकरण वामावर्त अर्थ में समान रेखा अभिन्न का ऋणात्मक है ( निश्चित अभिन्न में सीमाओं को बदलने के अनुरूप):
∂ S {\displaystyle {\scriptstyle \partial S}} A ⋅ d ℓ = − {\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\rm {d}}{\boldsymbol {\ell }}=-} ∂ S {\displaystyle {\scriptstyle \partial S}} A ⋅ d ℓ . {\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\rm {d}}{\boldsymbol {\ell }}.} एंडपॉइंट-वक्र इंटीग्रल निम्नलिखित समापन बिंदु-वक्र अभिन्न प्रमेयों में, P हस्ताक्षरित 0d सीमा बिंदुओं के साथ 1d खुले पथ को दर्शाता है q − p = ∂ P {\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =\partial P} p {\displaystyle \mathbf {p} } q {\displaystyle \mathbf {q} }
ψ | ∂ P = ψ ( q ) − ψ ( p ) = ∫ P ∇ ψ ⋅ d ℓ {\displaystyle \psi |_{\partial P}=\psi (\mathbf {q} )-\psi (\mathbf {p} )=\int _{P}\nabla \psi \cdot d{\boldsymbol {\ell }}} ढाल प्रमेय )।यह भी देखें संदर्भ
↑ Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1964). भौतिकी पर फेनमैन व्याख्यान . Addison-Wesley. Vol II, p. 27–4. ISBN 0-8053-9049-9 ↑ Kholmetskii, A. L.; Missevitch, O. V. (2005). "सापेक्षता सिद्धांत में फैराडे प्रेरण कानून". p. 4. arXiv :physics/0504223 ↑ Doran, C. ; Lasenby, A. (2003). भौतिकविदों के लिए ज्यामितीय बीजगणित . Cambridge University Press. p. 169. ISBN 978-0-521-71595-9 ↑ Kelly, P. (2013). "Chapter 1.14 Tensor Calculus 1: Tensor Fields" (PDF) . Mechanics Lecture Notes Part III: Foundations of Continuum Mechanics . Retrieved 7 December 2017 . ↑ "lecture15.pdf" (PDF) .{{cite web }}: CS1 maint: url-status (link )↑ Kuo, Kenneth K.; Acharya, Ragini (2012). अशांत और बहु-चरण दहन के अनुप्रयोग doi :10.1002/9781118127575.app1 . ISBN 9781118127575 Archived from the original on 19 April 2020. Retrieved 19 April 2020 .
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