जटिल संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 10:55, 24 March 2023

सम्मिश्र संख्या को संख्याओं की एक जोड़ी (a, b) के रूप में दृष्टिगत रूप से दर्शाया जा सकता है, जो सम्मिश्र समतल का प्रतिनिधित्व करते हुए, आरगां आरेख नामक आरेख पर वेक्टर बनाता है। Re वास्तविक अक्ष है, Im काल्पनिक अक्ष है, और i "काल्पनिक इकाई" है, जो i² = −1 को संतुष्ट करता है।

गणित में, सम्मिश्र संख्या संख्या प्रणाली का एक तत्व है जो वास्तविक संख्याओं को एक विशिष्ट तत्व के साथ विस्तारित करता है जिसे $i$ कहा जाता है, जिसे काल्पनिक इकाई कहा जाता है और समीकरण $i^{2}=-1$ को संतुष्ट करता है; प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को $a+bi$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएं हैं।क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है, रेने डेसकार्टेस द्वारा $i$ एक काल्पनिक संख्या कहा जाता था। सम्मिश्र संख्या $a+bi$ के लिए $a$ को वास्तविक भाग और $b$ को काल्पनिक भाग कहा जाता है। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को $\mathbb {C}$ या $C$ प्रतीकों में से किसी एक द्वारा निरूपित किया जाता है। ऐतिहासिक नामकरण काल्पनिक के होते हुए भी, सम्मिश्र संख्याओं को गणितीय विज्ञान में वास्तविक संख्या के समान वास्तविक माना जाता है और प्राकृतिक विश्व के वैज्ञानिक विवरण के कई स्वरूपों में मौलिक हैं।^[1]^{[lower-alpha 1]}

सम्मिश्र संख्याएं सभी बहुपद समीकरण के समाधान की स्वीकृति देती हैं, यहां तक कि जिनके पास वास्तविक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है। अधिक परिशुद्ध रूप से, बीजगणित के मौलिक प्रमेय का दृढ़ कथन है कि वास्तविक या सम्मिश्र गुणांक के साथ प्रत्येक गैर-निरंतर बहुपद समीकरण का एक समाधान होता है जो सम्मिश्र संख्या है।उदाहरण के लिए, समीकरण $(x+1)^{2}=-9$ कोई वास्तविक समाधान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है, लेकिन दो गैर-वास्तविक सम्मिश्र $-1+3i$ और $-1-3i$ समाधान हैं।

सम्मिश्र संख्याओं का जोड़, व्यवकलन और गुणा स्वाभाविक रूप से नियम $i^{2}=-1$ को साहचर्य, क्रमविनिमेय और वितरण नियमो के साथ जोड़कर परिभाषित किया जा सकता है।प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या का गुणनात्मक व्युत्क्रम होता है। यह सम्मिश्र संख्याओं को एक क्षेत्र (गणित) बनाता है जिसमें एक उप-क्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएँ होती है।सम्मिश्र संख्या मानक आधार के रूप में ${1, i}$ भी आयाम दो का वास्तविक वेक्टर समष्टि बनाती है।

यह मानक आधार सम्मिश्र संख्याओं को एक कार्तीय तल बनाता है, जिसे सम्मिश्र समतल कहा जाता है। यह सम्मिश्र संख्याओं और उनके संक्रिया की एक ज्यामितीय व्याख्या की स्वीकृति देता है, और इसके विपरीत सम्मिश्र संख्याओं के संदर्भ में कुछ ज्यामितीय गुणों और निर्माणों को व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या वास्तविक रेखा का निर्माण करती है जिसे सम्मिश्र समतल के क्षैतिज अक्ष के लिए पहचाना जाता है। निरपेक्ष मान की सम्मिश्र संख्या एक इकाई वृत्त का निर्माण करती है। सम्मिश्र संख्या के अतिरिक्त सम्मिश्र समतल में एक प्रतिश्रवणिक (ज्यामिति) है, और सम्मिश्र संख्या से गुणा मूल में केंद्रित एक समानता (ज्यामिति) है। सम्मिश्र संयुग्मन वास्तविक अक्ष के संबंध में प्रतिबिंब समरूपता है। सम्मिश्र निरपेक्ष मान एक यूक्लिडियन मानदंड है।

सारांश में, सम्मिश्र संख्या एक समृद्ध संरचना बनाती है जो एक साथ बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र है, जो वास्तविक पर एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) है, और आयाम दो का एक यूक्लिडियन वेक्टर समष्टि है।

परिभाषा

सम्मिश्र संख्या का एक चित्रण

z = x + iy

वास्तविक भाग x है, और इसका काल्पनिक भाग y है।

सम्मिश्र संख्या a + bi के रूप की एक संख्या होती है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और i एक अनिश्चित संतोषजनक i2 = −1 है। उदाहरण के लिए, 2 + 3i सम्मिश्र संख्या है।^[3]

इस तरह, सम्मिश्र संख्या को एकल अनिश्चितता $i$ में वास्तविक गुणांक के साथ एक बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए संबंध $i 2 + 1 = 0$ लगाया जाता है। इस परिभाषा के आधार पर, बहुपद के लिए जोड़ और गुणन का उपयोग करके सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। संबंध $i 2 + 1 = 0$ समानता $i 4 k = 1, i 4 k +1 = i, i 4 k +2 = -1,$ और $i 4 k +3 = - i$ को प्रेरित करता है, जो सभी पूर्णांक $k$ के लिए मान्य है; ये किसी भी बहुपद को कम करने की स्वीकृति देते हैं जो $i$ सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ और गुणन से एक रैखिक बहुपद के रूप में फिर से $a + bi$ वास्तविक गुणांक $a, b$ के साथ होता है।

वास्तविक संख्या $a$ सम्मिश्र संख्या का $a + bi$ वास्तविक भाग कहा जाता है; वास्तविक संख्या $b$ इसका काल्पनिक भाग कहलाती है। जोर देने के लिए, काल्पनिक भाग में एक कारक $i$ सम्मिलित नहीं है;अर्थात्, काल्पनिक भाग $b$ , नहीं $bi$ है। ^[4]^[5]

औपचारिक रूप से, सम्मिश्र संख्याओं को बहुपद, $i 2 + 1$ (नीचे देखें) द्वारा उत्पन्न मानक (वलय सिद्धांत) द्वारा अनिश्चित $i$ में बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है।Bourbaki 1998, §VIII.1</ref>

संकेतन

वास्तविक संख्या $a$ सम्मिश्र संख्या $a + 0 i$ के रूप में माना जा सकता है जिसका काल्पनिक भाग 0 है। विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या $bi$ सम्मिश्र संख्या $0 + bi$ , है, जिसका वास्तविक भाग शून्य है। बहुपदों की तरह $a + 0 i$ के लिए a और $0 + bi$ के लिए $bi$ लिखना सामान्य है।

इसके अतिरिक्त, जब काल्पनिक भाग ऋणात्मक होता है, अर्थात्, $b = - |b| < 0$ , के अतिरिक्त $a - |b|i$ के अतिरिक्त $a + (- |b|) i$ लिखना सामान्य है; उदाहरण के लिए, $b = -4$ के लिए $3 - 4 i$ के स्थान पर $3 + (-4) i$ लिखा जा सकता है।

चूँकि अनिश्चित $i$ और a वास्तविक का गुणन वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों में क्रमविनिमेय होता है, इसलिए बहुपद $a + bi$ को $a + ib$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह प्रायः पदों द्वारा निरूपित काल्पनिक भागों के लिए उपयुक्त होता है, उदाहरण के लिए, जब $b$ एक मूलांक है।^[6]

सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग $z$ या $Re(z)$ , ${\mathcal {Re}}(z)$ , या ${\mathfrak {R}}(z)$ ; सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग $z$ या $Im(z)$ , ${\mathcal {Im}}(z)$ , या ${\mathfrak {I}}(z)$ द्वारा निरूपित किया गया है। उदाहरण के लिए,

\operatorname {Re} (2+3i)=2\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Im} (2+3i)=3~.

सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय (गणित) द्वारा निरूपित किया गया है

\mathbb {C}

( ब्लैकबोर्ड बोल्ड ) या

C

(सीधा बोल्ड) द्वारा निरूपित किया जाता है।।

कुछ विषयों में, विशेष रूप से विद्युतचुम्बकत्व और विद्युत अभियन्त्रण में, $j$ के अतिरिक्त $i$ का उपयोग किया जाता है क्योंकि $i$ का प्रायः विद्युत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।^[7] इन स्थितियों में, सम्मिश्र संख्याओं को $a + bj$ , या $a + jb$ लिखा जाता है।

आभासीकरण

सम्मिश्र संख्या

z

, एक बिंदु (काला) और इसकी स्थिति वेक्टर (नीला) के रूप में

इस प्रकार सम्मिश्र संख्या $z$ को वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म $(\Re (z),\Im (z))$ से पहचाना जा सकता है। वास्तविक संख्याओं में से, जिसे बदले में दो आयामी समष्टि में बिंदु के निर्देशांक के रूप में व्याख्या की जा सकती है। सबसे तत्काल समष्टि उपयुक्त निर्देशांक के साथ यूक्लिडियन तल है, जिसे तब सम्मिश्र समतल या आर्गन आरेख कहा जाता है,^[8]^{[lower-alpha 2]}^[9] जिसका नाम जीन-रॉबर्ट अरगंड के नाम पर रखा गया है। एक अन्य प्रमुख समष्टि जिस पर निर्देशांक प्रक्षेपित किए जा सकते हैं, वह एक वृत्त की द्वि-आयामी सतह है, जिसे तब रीमैन क्षेत्र कहा जाता है।

कार्तीय सम्मिश्र समतल

दो यादृच्छिक वास्तविक मानो को सम्मिलित करने वाली सम्मिश्र संख्याओं की परिभाषा तुरंत सम्मिश्र समतल में कार्तीय निर्देशांक के उपयोग का सुझाव देती है। क्षैतिज (वास्तविक) अक्ष का उपयोग सामान्य रूप से वास्तविक भाग को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, दाईं ओर बढ़ते मानो के साथ, और काल्पनिक भाग ऊर्ध्वाधर (काल्पनिक) अक्ष को चिह्नित करता है, जिसमें मानो को ऊपर की ओर बढ़ाता है।

रेखा-चित्र संख्या या तो समन्वित बिंदु के रूप में या मूल से इस बिंदु तक स्थिति वेक्टर (ज्यामितीय) के रूप में देखी जा सकती है। सम्मिश्र संख्या $z$ के निर्देशांक मान इसके कार्तीय, आयताकार या बीजगणितीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

विशेष रूप से, जोड़ और गुणन के संक्रिया एक बहुत ही प्राकृतिक ज्यामितीय वर्ण पर ले जाते हैं, जब सम्मिश्र संख्याओं को स्थिति वैक्टर के रूप में देखा जाता है: इसके अतिरिक्त यूक्लिडियन वेक्टर जोड़ और व्यवकलन से अनुरूप है, जबकि गुणन (नीचे देखें) उनके परिमाण को गुणा करने और वास्तविक अक्ष के साथ उनके द्वारा बनाए गए कोणों को जोड़ने से अनुरूप है। इस तरह से देखने पर, $i$ द्वारा सम्मिश्र संख्या का गुणा मूल के बारे में एक चौथाई मोड़ (90°) द्वारा स्थिति वेक्टर वामावर्त को घुमाने के अनुरूप होता है - एक तथ्य जिसे बीजगणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है

(a+bi)\cdot i=ai+b(i)^{2}=-b+ai.

ध्रुवीय सम्मिश्र समतल

"ध्रुवीय रूप" यहां पुनर्निर्देश करता है। उच्च-आयामी अनुरूप के लिए, ध्रुवीय अपघटन देखें।

तर्क φ और मापांक r सम्मिश्र तल में एक बिंदु का पता लगाते हैं।

मापांक और तर्क

सम्मिश्र समतल में निर्देशांक के लिए एक वैकल्पिक विकल्प ध्रुवीय समन्वय प्रणाली है जो [[मूल (गणित) |मूल (गणित) ( $O$ )]] से बिंदु $z$ की दूरी का उपयोग करता है, और कोण धनात्मक वास्तविक अक्ष और रेखा-खंड $Oz$ के बीच एक वामावर्त अर्थ में अंतरित कोण का उपयोग करता है। यह ध्रुवीय रूप की ओर जाता है

z=re^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )

सम्मिश्र संख्या का, जहां $r$ , $z$ का निरपेक्ष मान है, और $\varphi$ , $z$ का तर्क (सम्मिश्र विश्लेषण) है ।

सम्मिश्र संख्या $z = x + yi$ का निरपेक्ष मान (या मापांक या परिमाण) है।^[10]

r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

यदि

z

वास्तविक संख्या (अर्थात, यदि

y = 0

), तब

r = | x |

है। अर्थात्, वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान सम्मिश्र संख्या के रूप में इसके निरपेक्ष मान के बराबर है।

पाइथागोरस के प्रमेय द्वारा, सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान सम्मिश्र समतल में सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु की उत्पत्ति की दूरी है।

$z$ का तर्क ( कई अनुप्रयोगों में $φ$ चरण के रूप में संदर्भित)^[9] धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ $Oz$ त्रिज्या का कोण है, और के रूप में लिखा गया है और इसे $arg z$ के रूप में लिखा जाता है। मापांक के साथ, तर्क को आयताकार रूप $x + yi$ ^[11] से काल्पनिक-दर-वास्तविक भागों के भागफल के व्युत्क्रम स्पर्शरेखा को प्रयुक्त करके पाया जा सकता है। आधा-कोण सर्वसमिका का उपयोग करके, आर्कटन की एकल शाखा $arg$ -फलन की सीमा $(- π, π]$ को आच्छादन करने के लिए पर्याप्त है, और अधिक सूक्ष्म स्थिति-दर-स्थिति विश्लेषण से बचाती है

\varphi =\arg(x+yi)={\begin{cases}2\arctan \left({\dfrac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}y\neq 0{\text{ or }}x>0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}

सामान्य रूप से, जैसा कि ऊपर दिया गया है, अंतराल

(- π, π]

में मुख्य मान चयन किया जाता है। यदि तर्क मान ऋणात्मक है, तो श्रेणी

(- π, π]

या

[0, 2 π)

में मान

2 π

जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। इस लेख में

φ

का मान रेडियन में व्यक्त किया गया है। यह

2 π

के किसी भी पूर्णांक गुणक से बढ़ सकता है और फिर भी वही कोण दे सकता है, जो धनात्मक वास्तविक अक्ष की किरणों द्वारा और मूल से

z

के माध्यम से अंतरित रूप में देखा जाता है। इसलिए आर्ग फलन को कभी-कभी बहु-मान माना जाता है। सम्मिश्र संख्या 0 के लिए ध्रुवीय कोण अनिश्चित है, लेकिन ध्रुवीय कोण 0 का एकपक्षीय विकल्प सामान्य है।

φ का मान atan2 के परिणाम के बराबर है:

\varphi =\operatorname {atan2} \left(\operatorname {Im} (z),\operatorname {Re} (z)\right).

साथ में,

r

और

φ

सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका दें, ध्रुवीय रूप, मापांक और तर्क के संयोजन के रूप में तल पर एक बिंदु की स्थिति को पूरी तरह से निर्दिष्ट करें। मूल आयताकार निर्देशांक को ध्रुवीय रूप से पुनर्प्राप्त करना त्रिकोणमितीय रूप नामक सूत्र द्वारा किया जाता है

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).

यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए इसे लिखा जा सकता है

z=re^{i\varphi }{\text{ or }}z=r\exp i\varphi .

cis

फलन का उपयोग करते हुए, यह कभी -कभी संक्षिप्त किया जाता है

z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi .

कोण संकेतन में, प्रायः इलेक्ट्रानिक्स में

r

और चरण

φ

एक चरण (साइन तरंगों) का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसे इस रूप में लिखा है^[12]

z=r\angle \varphi .

सम्मिश्र रेखांकन

पद का रंग-चक्र ग्राफ

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सम्मिश्र विश्लेषण की कल्पना करते समय, सम्मिश्र इनपुट और आउटपुट दोनों की आवश्यकता होती है। क्योंकि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को दो आयामों में दर्शाया जाता है, दृष्टिगत रूप से सम्मिश्र फलन को रेखांकन करने के लिए चार आयामी समष्टि की धारणा की आवश्यकता होगी, जो केवल अनुमानों में संभव है। इस कारण से, सम्मिश्र फलनों को देखने के अन्य तरीकों को डिजाइन किया गया है।

प्रक्षेत्र रंग में आउटपुट आयामों को क्रमशः रंग और चमक द्वारा दर्शाया जाता है। प्रक्षेत्र के रूप में सम्मिश्र समतल में प्रत्येक बिंदु सामान्य रूप से सम्मिश्र संख्या के तर्क का प्रतिनिधित्व करने वाले रंग और परिमाण का प्रतिनिधित्व करने वाली चमक के साथ अलंकृत होता है। अदीप्‍त बिन्दु मोडुली को शून्य के समीप चिह्नित करते हैं, चमकीले बिन्दु मूल से दूर होते हैं, अतः कोटि निर्धारण असंतत हो सकता है, लेकिन इसे एकल माना जाता है। लाल, पीले, हरे, सियान, नीले, मैजेंटा से $π$ /3 के लिए $0$ को $2 π$ के चरणों में भिन्न होते हैं।इन क्षेत्रो को प्रक्षेत्र रंग कहा जाता है। यह जानकारी नष्ट किए बिना फलनों की कल्पना करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है। चित्र में $\pm1, (2 + i)$ के लिए शून्य और $\pm {\sqrt {-2-2i}}$ पर ध्रुवों को दिखाया गया है।

इतिहास

सामान्य घन समीकरण के मूलांक (त्रिकोणमितीय फलनों के बिना) में समाधान, जब इसकी तीनों मूल वास्तविक संख्याएँ होती हैं, तो ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल होते हैं, ऐसी स्थिति जिसे तर्कसंगत मूल परीक्षण द्वारा सहायता प्राप्त कारक द्वारा सही नहीं किया जा सकता है, यदि घन अलघुकरणीय है; यह तथाकथित अनुबंधित अलघुकरणीय (" अलघुकरणीय स्थिति") है। इस पहेली ने इतालवी गणितज्ञ गेरोलामो कार्डानो को 1545 के आसपास अपनी एर्स मैग्ना में सम्मिश्र संख्याओं की कल्पना करने के लिए प्रेरित किया,^[13] हालांकि उनकी समझ अल्पविकसित थी; इसके अतिरिक्त उन्होंने बाद में सम्मिश्र संख्याओं को स्थिर रूप से अस्वीकार कर दिया क्योंकि वे अनुपयोगी हैं।^[14] कार्डानो ने काल्पनिक संख्याओं का उपयोग किया, लेकिन उन्हें "मानसिक यंत्रणा" के रूप में उपयोग किया गया। ^[15] यह आलेखी सम्मिश्र समतल के उपयोग से पहले था। कार्डानो और अन्य इतालवी गणितज्ञ, विशेष रूप से स्किपिओन डेल फेरो, 1500 के दशक में, घन समीकरणों को संशोधित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म बनाया गया था जिसमें सामान्य रूप से वास्तविक समाधान और दो समाधान थे जिसमें एक काल्पनिक संख्या थी। चूंकि उन्होंने काल्पनिक संख्याओं के साथ उत्तरों को उपेक्षित कर दिया था, कार्डानो ने उन्हें अनुपयुक्त पाया।^[16]

सामान्य बहुपदों की समस्या पर कार्य अंततः बीजगणित के मौलिक प्रमेय का नेतृत्व किया, जो दर्शाता है कि सम्मिश्र संख्याओं के साथ, एक या उच्चतर सीमा के प्रत्येक बहुपद समीकरण के लिए सम्मिलित है। सम्मिश्र संख्या इस प्रकार एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र का निर्माण करती है, जहाँ किसी भी बहुपद समीकरण का एक मूल होता है।

कई गणितज्ञों ने सम्मिश्र संख्याओं के विकास में योगदान दिया। इतालवी गणितज्ञ राफेल बॉम्बेली द्वारा सम्मिश्र संख्याओं के जोड़, व्यवकलन, गुणन और रूट निष्कर्षण के नियमों को विकसित किया गया था।^[17] सम्मिश्र संख्याओं के लिए एक अधिक अमूर्त औपचारिकता को आयरिश गणितज्ञ विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने इस अमूर्तता को चतुर्भुज के सिद्धांत तक बढ़ाया।^[18]

ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों का सबसे पहला अस्थायी संदर्भ संभव्यता पहली शताब्दी ईस्वी में अलेक्जेंड्रिया के हेलेनिस्टिक गणित के काम में होने के लिए कहा जा सकता है, जहां उन्होंने अपनी त्रिविम-मेट्रीका में, सामान्य रूप से गलती से, एक असंभव छिन्नक के आयतन पर विचार किया। अपनी गणना में पद ${\sqrt {81-144}}$ तक पहुंचने के लिए एक पिरामिड, जो वर्तमान ${\sqrt {-63}}=3i{\sqrt {7}}$ के लिए सरल होगा। ऋणात्मक मात्रा में हेलेनिस्टिक गणित में कल्पना नहीं की गई थी और हीरो मेरेली ने इसे केवल इसके धनात्मक ${\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}$ ^[19] द्वारा प्रतिस्थापित किया था।

अपने आप में एक विषय के रूप में सम्मिश्र संख्याओं का अध्ययन करने के लिए प्रेरणा पहली बार 16 वीं शताब्दी में उत्पन्न हुई जब घन समीकरण और चतुर्थक समीकरण बहुपद की रूट के लिए बीजगणितीय समाधान इतालवी गणितज्ञों द्वारा पता लगाए गए (निकोलो फोंटाना टार्टग्लिया, गेरोलमो कार्डो देखें)। यह शीघ्र ही अनुभव हुआ (लेकिन बहुत बाद में प्रमाणित हुआ)^[20] कि ये सूत्र, तथापि कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता हो, कभी-कभी ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों में कुशलता पूर्वक उपयोग की आवश्यकता होती है। एक उदाहरण के रूप में $x 3 = px + q$ ^{[lower-alpha 3]} के घन समीकरण के लिए टारटाग्लिया का सूत्र समीकरण $x 3 = x$ का संशोधित देता है।

{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\left(\left({\sqrt {-1}}\right)^{1/3}+\left({\sqrt {-1}}\right)^{-1/3}\right).

पहली दृष्टि में यह अनुपयुक्त जैसा दिखता है। हालांकि, सम्मिश्र संख्याओं के साथ औपचारिक गणना दर्शाती है कि समीकरण

z 3 = i

तीन समाधान :

-i,{\frac {{\sqrt {3}}+i}{2}},{\frac {-{\sqrt {3}}+i}{2}}

हैं। टार्टाग्लिया के घन सूत्र में

{\sqrt {-1}}^{1/3}

के बदले में इन्हें प्रतिस्थापित करने और सरल बनाने पर

x 3 - x = 0

के समाधान के रूप में 0, 1 और और −1 प्राप्त होता है। स्वभावतः इस विशेष समीकरण को देखते ही संशोधित किया जा सकता है लेकिन यह स्पष्ट करता है कि जब सामान्य सूत्रों का उपयोग वास्तविक मूल के साथ घन समीकरणों को संशोधित करने के लिए किया जाता है, जैसा कि बाद के गणितज्ञों ने दृढ़ता से दिखाया,^{[lower-alpha 4]} सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग अपरिहार्य है। राफेल बॉम्बेली घनीय समीकरणों के इन प्रतीत होने वाले विरोधाभासी समाधानों को स्पष्ट रूप से संबोधित करने वाले पहले व्यक्ति थे और इन समस्याओ को संशोधित करने का प्रयास कर रहे सम्मिश्र अंकगणितीय के लिए नियम विकसित किए।

इन मात्राओं के लिए काल्पनिक शब्द 1637 में रेने डेसकार्टेस द्वारा दिया गया था, जो उनके अवास्तविक प्रकृति पर जोर देने के लिए व्यथा में था^[21]

.. कभी-कभी केवल काल्पनिक, अर्थात प्रत्येक समीकरण में जितना मैंने कहा था, उतनी कल्पना कर सकता है, लेकिन कभी-कभी ऐसी कोई मात्रा सम्मिलित नहीं होती है जो उससे अनुरूप हो जिसकी हम कल्पना करते हैं।

[... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.]

भ्रम का एक और स्रोत यह था कि समीकरण ${\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1$ बीजगणितीय सर्वसमिका ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$ के साथ असंगत रूप से असंगत लग रहा था। जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए मान्य है और जिसका उपयोग $a$ , $b$ धनात्मक और अन्य ऋणात्मक में से एक के साथ सम्मिश्र संख्या गणना की जाती है। इस सर्वसमिका का गलत उपयोग (और संबंधित सर्वसमिका ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$ ) स्थिति में जब दोनों $a$ और $b$ ऋणात्मक भी बेडविल्ड लियोनहार्ड यूलर हैं। इस कठिनाई ने अंततः इस गलती से बचने के लिए $i$ के स्थान पर विशेष प्रतीक ${\sqrt {-1}}$ का उपयोग करने की विधि को उत्पन्न किया।^{[citation needed]} फिर भी, यूलर ने आज की तुलना में छात्रों को सम्मिश्र संख्याओं से परिचित कराना स्वाभाविक माना। अपनी प्राथमिक बीजगणित पाठ्य पुस्तक ''एलिमेंट्स ऑफ अलजेब्रा में'', वह इन संख्याओ का परिचय लगभग एक बार में प्रस्तुत करता है और फिर उन्हें प्राकृतिक तरीके से उपयोग करता है।

18वीं शताब्दी में सम्मिश्र संख्याओं में व्यापक उपयोग प्राप्त हुआ, क्योंकि यह देखा गया था कि त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े गणनाओं को सरल बनाने के लिए सम्मिश्र पदों के औपचारिक प्रकलन का उपयोग किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, 1730 में अब्राहम डे मोइवर ने उल्लेख किया कि उस कोण के त्रिकोणमितीय फलनों की घातो के लिए एक कोण के त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित सर्वसमिका को निम्नलिखित डी मोइवर के सूत्र द्वारा फिर से व्यक्त किया जा सकता है:

(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .

1748 में, यूलर ने आगे बढ़कर यूलर के सम्मिश्र विश्लेषण का सूत्र प्राप्त किया:^[22]

\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }

औपचारिक रूप से सम्मिश्र घात श्रेणी में प्रकलन करके और देखा गया कि इस सूत्र का उपयोग किसी भी त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को कम करने के लिए बहुत सरल घातीय सर्वसमिका को कम करने के लिए किया जा सकता है।

सम्मिश्र समतल (ऊपर) में एक बिंदु के रूप में सम्मिश्र संख्या का विचार पहली बार डेनमार्क नॉर्वे गणितज्ञ कैस्पर वेसल द्वारा 1799 में वर्णित किया गया था,^[23] हालांकि वालिस के बीजगणित के एक ग्रंथ में 1685 के प्रारंभ में अनुमानित था।^[24]

वेसेल का संस्मरण कोपेनहेगन एकेडमी की कार्य प्रणाली में दिखाई दिया, लेकिन अधिकतम सीमा तक किसी का ध्यान नहीं गया। 1806 में जीन-रॉबर्ट आर्गंड ने स्वतंत्र रूप से सम्मिश्र संख्याओं पर एक पुस्तिका जारी की और बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक कठिन प्रमाण प्रदान किया।^[25] कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने पहले 1797 में प्रमेय का एक अनिवार्य रूप से सांस्थिति प्रमाण प्रकाशित किया था, लेकिन उस समय अपने संदेह को व्यक्त किया था, जो कि "-1 के वर्गमूल के सत्य तत्वमीमांसा के बारे में है।^[26] यह 1831 तक नहीं था कि उन्होंने इन संदेहों को नियंत्रण कर लिया और तल में बिंदुओं के रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर अपने ग्रंथ को प्रकाशित किया,^[27] बड़े पैमाने पर आधुनिक संकेतन और शब्दावली की स्थापना की:^[28]

यदि किसी ने पहले इस विषय पर असत्य दृष्टिकोण से विचार किया था और इसलिए एक अस्पष्ट अज्ञानता पायी, तो यह बड़े पैमाने पर स्थूल शब्दावली के लिए अधीन है। यदि किसी ने +1, -1, ${\sqrt {-}}1$ धनात्मक, ऋणात्मक, या काल्पनिक (या असंभव भी) इकाइयां नहीं कहा होता, बल्कि सीधे व्युत्क्रम या पार्श्व इकाइयां कहा होता तो संभव्यता ही इस तरह के अज्ञानता की बात होती।

19 वीं शताब्दी के प्रारंभ में, अन्य गणितज्ञों ने स्वतंत्र रूप से सम्मिश्र संख्याओं की बुई,^[29] मौरे,^[30] जॉन वॉरेन (गणितज्ञ),^[31]^[32]^[33] फ्रेंच और उनके भाई, राइट बेल्वाइटिस ने ज्यामितीय प्रतिनिधित्व की खोज की।^[34]^[35]

अंग्रेजी गणितज्ञ जी.एच.हार्डी ने टिप्पणी की कि गॉस 'वास्तव में आत्मविश्वास और वैज्ञानिक तरीके' में सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करने वाले पहले गणितज्ञ थे, हालांकि नॉर्वेजियन नील्स हेनरिक एबेल और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी जैसे गणितज्ञ आवश्यक रूप से गॉस के 1831 के ग्रंथ को प्रकाशित करने से पहले समभुजकोणीय रूप से उनका उपयोग कर रहे थे।^[36]

ऑगस्टिन-लुई कॉची और बर्नहार्ड रीमैन ने कॉची के स्थिति में 1825 के आसपास प्रारंभ करते हुए सम्मिश्र विश्लेषण के मौलिक विचारों को पूर्णता की उच्च स्थिति में लाया।

सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सामान्य शब्द मुख्य रूप से संस्थापकों के कारण हैं। अरगंड ने $cos φ + i sin φ$ को दिशा कारक कहा, और $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ मापांक;^{[lower-alpha 5]}^[37] कॉची (1821) कहा जाता है और $cos φ + i sin φ$ घटा हुआ रूप (लघु पद)^[38] और स्पष्ट रूप से तर्क शब्द का परिचय दिया; गॉस ने ${\sqrt {-1}}$ के लिए $i$ का उपयोग किया ^{[lower-alpha 6]} ने $a + bi$ के लिए सम्मिश्र संख्या पद का परिचय दिया,^{[lower-alpha 7]} और $a 2 + b 2$ नियम को मानक माना।^{[lower-alpha 8]} पद दिशा गुणांक, प्रायः $cos φ + i sin φ$ हैनकेल (1867) के कारण के लिए उपयोग किया जाताहै,^[42] और निरपेक्ष मूल्य, मापांक के लिए, वीरस्ट्रास के कारण है।

बाद में सामान्य सिद्धांत पर शास्त्रीय लेखकों में रिचर्ड डेडेकिंड, ओटो होल्डर, फेलिक्स क्लेन, हेनरी पोइंकेरे, हरमन श्वार्ज़, कार्ल वीमर स्ट्रैस और कई अन्य सम्मिलित हैं। 20 वीं शताब्दी के प्रारंभ में सम्मिश्र बहुभिन्नरूपी कलन में महत्वपूर्ण फलन (व्यवस्थितीकरण सहित) प्रारंभ किया गया है। 1927 में विल्हेम वर्टिंगर द्वारा महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए गए हैं।

संबंध और संक्रिया

समानता

सम्मिश्र संख्याओं में वास्तविक संख्याओं की समानता की एक समान परिभाषा है; दो सम्मिश्र संख्याएँ $a 1 + b 1 i$ और $a 2 + b 2 i$ समान हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग समान हैं, तब, अर्थात् यदि $a 1 = a 2$ और $b 1 = b 2$ हैं।ध्रुवीय रूप में लिखे गए शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ समान होती हैं यदि और केवल यदि उनका परिमाण समान होता है और उनके तर्क $2 π$ के पूर्णांक गुणक से भिन्न होते हैं।

अनुक्रम

वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं का कोई प्राकृतिक क्रम नहीं होता है। विशेष रूप से, सम्मिश्र संख्याओं पर कोई रेखीय क्रम नहीं है जो योग और गुणन के साथ संगत हो। इसलिए, सम्मिश्र संख्याओं में एक क्रमित क्षेत्र की संरचना नहीं होती है। इसके लिए एक स्पष्टीकरण यह है कि एक क्रमित क्षेत्र में वर्गों का प्रत्येक गैर-सामान्य योग अशून्य है, और $i 2 + 1 2 = 0$ वर्गों का गैर-सामान्य योग है। इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं को स्वाभाविक रूप से एक द्वि-आयामी तल पर विद्यमान माना जाता है।

संयुग्म

ज्यामितीय प्रतिनिधित्व

z

और इसके संयुग्म

z

सम्मिश्र समतल में

सम्मिश्र संख्या $z = x + yi$ का सम्मिश्र संयुग्म $x - yi$ द्वारा दिया गया है। इसे या तो $z$ या $z *$ द्वारा दर्शाया जाता है।^[43] सम्मिश्र संख्याओं पर यह एकात्मक संक्रिया केवल उनकी मूल संक्रियाओं जोड़, व्यवकलन, गुणा और भाग को प्रयुक्त करके व्यक्त नहीं की जा सकती।

ज्यामितीय रूप से, $z$ वास्तविक अक्ष के बारे में $z$ का "प्रतिबिंब" है। दो बार संयुग्मन करने से मूल सम्मिश्र संख्या प्राप्त होती है

{\overline {\overline {z}}}=z,

जो इस संक्रिया को एक घातकरण (गणित) बनाता है। प्रतिबिंब वास्तविक भाग और

z

के परिमाण दोनों को अपरिवर्तित छोड़ देता है, अर्थात

\operatorname {Re} ({\overline {z}})=\operatorname {Re} (z)\quad

और

\quad |{\overline {z}}|=|z|.

सम्मिश्र संख्या z का काल्पनिक भाग और तर्कांक संयुग्मन के अंतर्गत अपना चिन्ह बदलते हैं

\operatorname {Im} ({\overline {z}})=-\operatorname {Im} (z)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {arg} {\overline {z}}\equiv -\operatorname {arg} z{\pmod {2\pi }}.

तर्क और परिमाण पर विवरण के लिए, ध्रुवीय रूप पर अनुभाग देखें।

सम्मिश्र संख्या का गुणनफल $z = x + yi$ और इसके संयुग्म को निरपेक्ष वर्ग के रूप में जाना जाता है। यह सदैव गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है और प्रत्येक के परिमाण के वर्ग के बराबर होती है:

z\cdot {\overline {z}}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}=|{\overline {z}}|^{2}.

दिए गए भाजक के संयुग्म द्वारा भिन्न के अंश और हर दोनों का विस्तार करके इस गुण का उपयोग सम्मिश्र भाजक वाले भिन्न को वास्तविक भाजक वाले समतुल्य भिन्न में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को कभी-कभी भाजक का "युक्तिकरण" कहा जाता है (हालांकि अंतिम पद में भाजक एक अपरिमेय वास्तविक संख्या हो सकती है), क्योंकि यह एक भाजक में सरल पदों से रूट को हटाने की विधि जैसा दिखता है।

सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भागों $z$ संयुग्मन का उपयोग करके निकाला जा सकता है:

\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}},\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}.

इसके अतिरिक्त, सम्मिश्र संख्या वास्तविक है यदि और केवल यदि यह अपने स्वयं के संयुग्म के बराबर है।

संयुग्मन मूल सम्मिश्र अंकगणितीय संक्रिया पर वितरित करता है:

{\begin{aligned}{\overline {z\pm w}}&={\overline {z}}\pm {\overline {w}},\\{\overline {z\cdot w}}&={\overline {z}}\cdot {\overline {w}},\\{\overline {z/w}}&={\overline {z}}/{\overline {w}}.\end{aligned}}

संयुग्मन भी व्युत्क्रम ज्यामिति में नियोजित किया जाता है, ज्यामिति की एक शाखा रेखा के बारे में अधिक सामान्य प्रतिबिंबों का अध्ययन करती है।विद्युत परिपथों के नेटवर्क विश्लेषण में, समतुल्य प्रतिबाधा ज्ञात करने के लिए सम्मिश्र संयुग्म का उपयोग किया जाता है जब अधिकतम शक्ति अंतरण प्रमेय की खोज की जाती है

जोड़ना और घटाना

समांतर चतुर्भुज की रचना करके दो सम्मिश्र संख्याओं का योग ज्यामितीय रूप से किया जा सकता है।

दो सम्मिश्र संख्याएँ $a=x+yi$ और $b=u+vi$ को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़कर सबसे आसानी से जोड़ दिया जाता है। अर्थात:

a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.

इसी तरह, व्यवकलन किया जा सकता है

a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.

सम्मिश्र संख्या का गुणन

a=x+yi

और एक वास्तविक संख्या r को अलग-अलग r और a के वास्तविक और काल्पनिक भागों को गुणा करके समान रूप से किया जा सकता है:

ra=r(x+yi)=rx+ryi.

विशेष रूप से, व्यवकलन को वियोजक को अस्वीकार किया जा सकता है (जो इसे

-1

गुणा कर रहा है) और परिणाम को न्यूनतम में जोड़ रहा है:

a-b=a+(-1)\,b.

सम्मिश्र समतल में सम्मिश्र संख्याओं के आभासीकरण का उपयोग करते हुए, जोड़ की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है: सम्मिश्र समतल में बिंदुओं के रूप में व्याख्या की गई दो सम्मिश्र संख्याओं a और b का योग, तीन शीर्ष O से एक समानांतर चतुर्भुज बनाकर प्राप्त किया गया बिंदु है, और a और b स्तर वाले तीरों के बिंदु (तथापि कि वे एक रेखा पर न हों)। समान रूप से, इन बिंदुओं को क्रमशः A, B, और समांतर चतुर्भुज X के चौथे बिंदु को मानकर त्रिकोण OAB और XBA सर्वांगसम हैं।

गुणा और वर्ग

वितरणात्मक गुण के नियम, क्रमविनिमेय गुण (जोड़ और गुणा के), और परिभाषित गुण $i 2 = -1$ सम्मिश्र संख्याओं पर प्रयुक्त होते हैं। यह इस प्रकार है

(x+yi)\,(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i.

विशेष रूप से,

(x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi.

पारस्परिक और विभाजन

संयुग्मन का उपयोग करते हुए, गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या का गुणक $z = x + yi$ के व्युत्क्रम को सदैव विभाजित किया जा सकता है

{\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {\overline {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i,

चूंकि गैर-शून्य का अर्थ है कि

x 2 + y 2

शून्य से अधिक है।

इसका उपयोग एक एकपक्षीय सम्मिश्र संख्या $w = u + vi$ के गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या $z$ द्वारा विभाजन को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है

{\frac {w}{z}}=w\cdot {\frac {1}{z}}=(u+vi)\cdot \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i\right)={\frac {(ux+vy)+(vx-uy)i}{x^{2}+y^{2}}}.

गुणा और ध्रुवीय रूप में विभाजन

2 + i (नीला त्रिभुज) और 3 + i (लाल त्रिभुज) का गुणन। लाल त्रिकोण को नीले त्रिकोण के शीर्ष से मिलाने के लिए घुमाया जाता है (समीकरण में φ1+φ2 के संदर्भ में दोनों कोणों को जोड़कर) और नीले त्रिकोण के कर्ण की लंबाई तक बढ़ाया जाता है(समीकरण में r1r2 पद के अनुसार दोनों त्रिज्याओं का गुणन)।

गुणन, विभाजन और घातांक के सूत्र कार्तीय निर्देशांकों में संबंधित सूत्रों की तुलना में ध्रुवीय रूप में सरल होते हैं। त्रिकोणमितीय पहचान के कारण दो सम्मिश्र संख्याएँ $z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1)$ और $z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2)$ दी गई हैं

{\begin{alignedat}{4}\cos a\cos b&-\sin a\sin b&{}={}&\cos(a+b)\\\cos a\sin b&+\sin a\cos b&{}={}&\sin(a+b).\end{alignedat}}

हम प्राप्त कर सकते हैं

z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).

दूसरे शब्दों में, निरपेक्ष मूल्यों को गुणा किया जाता है और गुणनफल के ध्रुवीय रूप को प्राप्त करने के लिए तर्क जोड़े जाते हैं। उदाहरण के लिए

i

से गुणा करना एक चौथाई मोड़ (ज्यामिति) वामावर्त से अनुरूप है, जो प्रतिवर्त

i 2 = -1

देता है। दाईं ओर की रेखाचित्र के गुणन को दर्शाती है

(2+i)(3+i)=5+5i.

चूंकि

5 + 5 i

वास्तविक और काल्पनिक भागसमान हैं, उस संख्या का तर्क 45 कोटि या

π /4

(रेडियन में) है। दूसरी ओर, यह लाल और नीले त्रिभुजों के मूल में कोणों का योग भी है जो क्रमशः आर्कटान (1/3) और आर्कटान (1/2) हैं। इस प्रकार, सूत्र

{\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)

धारण करता है। जैसा कि आर्कटैन फलन को अत्यधिक कुशलता से अनुमानित किया जा सकता है, इस तरह के सूत्रों को माचिन-जैसे सूत्रों के रूप में जाना जाता है जो

π

के उच्च-परिशुद्धता सन्निकटन के लिए उपयोग किए जाते हैं।

इसी तरह, विभाजन द्वारा दिया जाता है

{\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).

वर्गमूल

$a + bi$ ( $b \neq 0$ के साथ) के वर्गमूल $\pm (\gamma +\delta i)$ हैं, जहाँ

\gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}

और

\delta =(\operatorname {sgn} b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},

जहाँ

sgn

साइनम फलन है। यह वर्ग

\pm (\gamma +\delta i)

प्राप्त करने के लिए

a + bi

द्वारा देखा जा सकता है।^[44]^[45] यहां

{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

का

a + bi

निरपेक्ष मूल्य कहा जाता है और वर्गमूल रूट चिन्ह गैर-ऋणात्मक वास्तविक भाग के साथ वर्गमूल को इंगित करता है, जिसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है; साथ ही

{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {z{\overline {z}}}},

जहाँ

z = a + bi

.^[46]

घातीय फलन

घातीय फलन $\exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto \exp z$ को घात श्रृंखला द्वारा प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए परिभाषित किया जा सकता है

\exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},

जिसमें अभिसरण का एक अनंत त्रिज्या है।

घातीय फलन के 1 का मान यूलर की संख्या है

e=\exp 1=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\approx 2.71828.

यदि

z

वास्तविक है, तो एक के पास है

 $\exp z=e^{z}.$

विश्लेषणात्मक निरंतरता इस समानता $z$ ,के प्रत्येक सम्मिश्र मूल्य के लिए बढ़ाने की स्वीकृति देती है और इस प्रकार आधार $e$ के साथ सम्मिश्र घातांक को परिभाषित करती है

e^{z}=\exp z.

कार्यात्मक समीकरण

घातीय फलन कार्यात्मक समीकरण $e^{z+t}=e^{z}e^{t}$ को संतुष्ट करता है यह या तो दोनों इकाइयों के घात श्रेणी विस्तार की तुलना करके या समीकरण के प्रतिबंध से वास्तविक तर्कों के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता को प्रयुक्त करके प्रमाणित किया जा सकता है।

यूलर का सूत्र

यूलर के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या $y$ के लिए

e^{iy}=\cos y+i\sin y.

कार्यात्मक समीकरण का अर्थ है कि, यदि

x

और

y

वास्तविक हैं, तब

e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y,

जो अपने वास्तविक और काल्पनिक भागों में घातीय फलन का अपघटन है।

सम्मिश्र लघुगणक

वास्तविक स्थिति में, प्राकृतिक लघुगणक को व्युत्क्रम फलन के रूप में घातीय फलन को $\ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x$ परिभाषित किया जा सकता है। इसे सम्मिश्र प्रक्षेत्र में विस्तारित करने के लिए, कोई भी यूलर के सूत्र से प्रारंभ कर सकता है। इसका तात्पर्य है कि, यदि सम्मिश्र संख्या $z\in \mathbb {C} ^{\times }$ ध्रुवीय रूप में लिखा गया है

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )

साथ

r,\varphi \in \mathbb {R} ,

फिर से

\ln z=\ln r+i\varphi

के रूप में सम्मिश्र लघुगणक एक उपयुक्त व्युत्क्रम है:

\exp \ln z=\exp(\ln r+i\varphi )=r\exp i\varphi =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=z.

हालाँकि, क्योंकि कोसाइन और साइन आवधिक फलन हैं, और 2π से φ के पूर्णांक गुणक का जोड़ z नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, e^iπ = e^3iπ = −1 इसलिए iπ और 3iπ दोनों -1 के प्राकृतिक लघुगणक के लिए संभव मान हैं।

इसलिए, यदि सम्मिश्र लघुगणक को बहु-मान फलन के रूप में परिभाषित नहीं किया जाना है

\ln z=\left\{\ln r+i(\varphi +2\pi k)\mid k\in \mathbb {Z} \right\},

किसी को शाखा परिच्छेद का उपयोग करना होगा और सह-प्रक्षेत्र को प्रतिबंधित करना होगा, जिसके परिणामस्वरूप द्विध्रुवीय फलन होता है

\ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].

यदि

z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)

गैर-धनात्मक वास्तविक संख्या (एक धनात्मक या गैर-वास्तविक संख्या) नहीं है, सम्मिश्र लघुगणक का परिणामी प्रमुख मूल्य

- π < φ < π

के साथ प्राप्त होता है। यह ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के बाहर एक विश्लेषणात्मक फलन है, लेकिन इसे किसी ऐसे फलन में विस्तारित नहीं किया जा सकता है जो किसी भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या

z\in -\mathbb {R} ^{+}

पर निरंतर हो, जहां प्रमुख मूल्य

ln z = ln(- z) + iπ

है।^{[lower-alpha 9]}

घातांक

यदि x > 0 वास्तविक और z सम्मिश्र है, तो घातांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

x^{z}=e^{z\ln x},

जहाँ $ln$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है।

इस सूत्र को $x$ सम्मिश्र मानो तक विस्तारित करना स्वाभाविक लगता है, लेकिन इस तथ्य से उत्पन्न कुछ कठिनाइयाँ हैं कि सम्मिश्र लघुगणक वास्तव में एक फलन नहीं है, बल्कि एक बहुस्तरीय फलन है।

यह इस प्रकार है कि यदि $z$ ऊपर है, और यदि $t$ एक और सम्मिश्र संख्या है, तो घातांक बहुवर्धित फलन है

z^{t}=\left\{e^{t\ln r}\,(\cos(\varphi t+2\pi kt)+i\sin(\varphi t+2\pi kt))\}\mid k\in \mathbb {Z} \right\}

पूर्णांक और आंशिक घातांक

Geometric representation of the 2nd to 6th roots of a complex number

z

, in polar form

re iφ

where

r = | z |

and

φ = arg z

. If

z

is real,

φ = 0

or

π

. Principal roots are shown in black.

यदि, पूर्ववर्ती सूत्र में, t एक पूर्णांक है, तो ज्या और कोसाइन k से स्वतंत्र हैं। इस प्रकार, यदि घातांक n एक पूर्णांक है, तो zn अच्छी तरह से परिभाषित है, और घातांक सूत्र डी मोइवर के सूत्र को सरल करता है: $z n}{$

z^{n}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).

 $n$   ${{{1}}}$  सम्मिश्र संख्या z के n और n वें मूल द्वारा दिए गए हैं

z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)

0 \leq k \leq n - 1

के लिए (यहां

{\sqrt[{n}]{r}}

धनात्मक वास्तविक संख्या r का सामान्य (धनात्मक) nवां मूल है।) क्योंकि साइन और कोसाइन आवधिक हैं, अन्य पूर्णांक मान

k

अन्य मान नहीं देते हैं।

जबकि धनात्मक वास्तविक संख्या r का nवाँ मूल धनात्मक वास्तविक संख्या c के रूप में चयन किया जाता है जो cⁿ = r, को संतुष्ट करता है, एक सम्मिश्र संख्या के एक विशेष सम्मिश्र nवें मूल को अलग करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है। इसलिए, nवाँ मूल z का n-मान फलन है। इसका तात्पर्य यह है कि, धनात्मक वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत, एक के पास है

(z^{n})^{1/n}\neq z,

चूँकि बायीं ओर n मान होते हैं, और दायीं ओर एकल मान होता है।

गुण

क्षेत्र संरचना

समुच्चय $\mathbb {C}$ सम्मिश्र संख्याओं में से एक क्षेत्र (गणित) है।^[47] संक्षेप में, इसका तात्पर्य है कि निम्नलिखित तथ्य हैं: सबसे पहले, किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ा जा सकता है और एक और सम्मिश्र संख्या प्राप्त करने के लिए गुणा किया जा सकता है। दूसरा, किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए $z$ , इसके योज्य व्युत्क्रम $- z$ सम्मिश्र संख्या भी है; और तीसरा, प्रत्येक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या में एक गुणक व्युत्क्रम सम्मिश्र संख्या होती है। इसके अतिरिक्त, ये संक्रिया कई नियमो को संतुष्ट करते हैं, उदाहरण के लिए किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए जोड़ और गुणन की संबद्धता का नियम $z 1$ और $z 2$ :

{\begin{aligned}z_{1}+z_{2}&=z_{2}+z_{1},\\z_{1}z_{2}&=z_{2}z_{1}.\end{aligned}}

इन दो नियमो और एक क्षेत्र पर अन्य आवश्यकताओं को ऊपर दिए गए सूत्रों द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि वास्तविक संख्या स्वयं एक क्षेत्र का निर्माण करती है।

वास्तविक के विपरीत, $\mathbb {C}$ एक क्रमित क्षेत्र नहीं है, यह कहना है, किसी संबंध $z 1 < z 2$ को परिभाषित करना संभव नहीं हैज ो योग और गुणन के साथ संगत है। वास्तव में, किसी भी क्रमित क्षेत्र में, किसी भी तत्व का वर्ग आवश्यक रूप से धनात्मक है, इसलिए $i 2 = -1$ संपूर्ण अनुक्रम $\mathbb {C}$ के स्थिति को रोकता है ^[48] जब गणितीय विषय या निर्माण के लिए अंतर्निहित क्षेत्र सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो विषय का नाम सामान्य रूप से उस तथ्य को प्रतिबिंबित करने के लिए संशोधित किया जाता है। उदाहरण के लिए: सम्मिश्र विश्लेषण, सम्मिश्र आव्यूह (गणित), सम्मिश्र बहुपद और सम्मिश्र असत्य बीजगणित है।

बहुपद समीकरणों का समाधान

किसी सम्मिश्र संख्या (गुणांक कहा जाता है) a₀, ..., a_n, समीकरण दिया गया है

a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0

कम से कम सम्मिश्र समाधान z है, परंतु कि कम से कम उच्च गुणांक में से एक

a 1, ..., a n

गैर-शून्य है।https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#cite_note-Bourbaki_1998_loc=%C2%A7VIII.1-7 यह कार्ल फ्रेडरिक गॉस और जीन ले रोंड डी एलेबर्ट के बीजगणित के मौलिक प्रमेय का कथन है। इस तथ्य के कारण,

\mathbb {C}

को बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र कहा जाता है। यह गुण परिमेय संख्याओं

\mathbb {Q}

(बहुपद

x 2 - 2

का कोई परिमेय मूल नहीं है, क्योंकि √2 एक परिमेय संख्या नहीं है) और न ही वास्तविक संख्या

\mathbb {R}

(

x 2 + a

का

a > 0

(बहुपद) के क्षेत्र के लिए मान्य नहीं है। क्योंकि x का वर्ग किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए धनात्मक होता है)।

इस प्रमेय के विभिन्न प्रमाण हैं, या तो लिउविले के प्रमेय जैसे विश्लेषणात्मक तरीकों से, या सांंस्थितिक वाले जैसे वाइंडिंग संख्या, या गैलोइस सिद्धांत के संयोजन के प्रमाण और तथ्य यह है कि विषम घात के किसी भी वास्तविक बहुपद में कम से कम एक वास्तविक मूल है।

इस तथ्य के कारण, किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र $\mathbb {C}$ के लिए धारण करने वाले प्रमेय प्रयुक्त होते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी गैर-रिक्त सम्मिश्र वर्ग आव्यूह में कम से कम एक (सम्मिश्र) इगन मूल्य होता है।

बीजगणितीय विशेषता

क्षेत्र $\mathbb {C}$ निम्नलिखित तीन गुण हैं:

सबसे पहले, इसकी विशेषता (बीजगणित) 0. है। इसका तात्पर्य है कि $1 + 1 + \dots + 1 \neq 0$ योग की किसी भी संख्या के लिए (जिनमें से सभी एक के बराबर हैं)।
दूसरा, $\mathbb {Q}$ के प्रमुख क्षेत्र पर इसकी अबीजीयता की मात्रा $\mathbb {C} ,$ सातत्य की प्रमुखता है।
तीसरा, यह बीजगणितीय रूप से संवृत है (ऊपर देखें)।

यह दिखाया जा सकता है कि इन गुणों वाले किसी भी क्षेत्र $\mathbb {C}$ में सममितीय (एक क्षेत्र के रूप में) है उदाहरण के लिए, $p$ -अंकीय संख्या क्षेत्र $\mathbb {Q} _{p}$ का बीजगणितीय संवृत भी इन तीन गुणों को संतुष्ट करती है, इसलिए ये दो क्षेत्र सममितीय हैं (क्षेत्र के रूप में, लेकिन संस्थानिक क्षेत्र के रूप में नहीं)।^[49] इसके अतिरिक्त, $\mathbb {C}$ सम्मिश्र पुइज़क्स श्रृंखला के क्षेत्र के लिए समरूपीय है। हालांकि, समरूपता को निर्दिष्ट करने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है। इस बीजगणितीय विशेषता का एक और परिणाम यह है कि $\mathbb {C}$ कई उपयुक्त उपक्षेत्र सम्मिलित हैं जो $\mathbb {C}$ के लिए समरूपीय हैं।

संस्थानिक क्षेत्र के रूप में विशेषता

$\mathbb {C}$ के पूर्ववर्ती विशेषता के केवल बीजगणितीय $\mathbb {C}$ स्वरूपों का वर्णन करता है इसका तात्पर्य यह है कि प्रतिवेश (सांस्थिति) और सातत्य (सांस्थिति) के गुण, जो गणितीय विश्लेषण और सांस्थिति जैसे क्षेत्रों में विषय-वस्तु हैं, इसे निर्धारित नहीं जाता है। $\mathbb {C}$ का निम्नलिखित विवरण सामयिक वलय के रूप में (अर्थात, एक क्षेत्र जो एक सामयिक समष्टि से कम है, जो अभिसरण की धारणा की स्वीकृति देता है) संस्थानिक गुणों को ध्यान में रखता है। $\mathbb {C}$ में निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करने वाले अशून्य तत्वों का एक उपसमुच्चय P (अर्थात् धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) होता है:

$P$ योग, गुणन और व्युत्क्रम लेने के अंतर्गत संवृत है।
यदि x और y P के विशिष्ट अवयव हैं, तो या तो x − y या y − x P में है।
यदि S, P का कोई अरिक्त उपसमुच्चय है, तो ${C}$ में कुछ x के लिए S + P = x + P है।

इसके अतिरिक्त, $\mathbb {C}$ में एक गैर-सामान्य समावेशी स्वाकारिकता $x \mapsto x *$ (अर्थात् सम्मिश्र संयुग्मन), जैसे कि $x x *$ में $\mathbb {C}$ किसी भी गैर-शून्य $x$ के लिए $P$ में है।

इन गुणों वाले किसी भी क्षेत्र $F$ समुच्चयों को $B (x, p) = {y | p - (y - x)(y - x)* \in P}$ ले जाकर सांस्थिति के साथ संपन्न किया जा सकता है। एक आधार (सांस्थिति) के रूप में, जहां x की सीमा क्षेत्र के ऊपर है और p की सीमा P के ऊपर है। इस सांस्थिति के साथ F, $\mathbb {C}$ के लिए एक सामयिक क्षेत्र के रूप में समरूप है।

केवल स्थानीय रूप से सुसंहत संस्थानिक क्षेत्र $\mathbb {R}$ और $\mathbb {C}$ है। संस्थानिक क्षेत्र के रूप में $\mathbb {C}$ , की अन्य विशेषता देता है, चूंकि $\mathbb {C}$ को $\mathbb {R}$ से अलग किया जा सकता है क्योंकि गैर-शून्य सम्मिश्र संख्याएं जुड़ी हुई हैं, जबकि गैर-शून्य वास्तविक संख्याएं नहीं हैं।^[50]

औपचारिक निर्माण

क्रमित युग्मों के अनुसार निर्माण

विलियम रोवन हैमिल्टन ने सम्मिश्र संख्याओं के $\mathbb {C}$ समुच्चय ^[51] को वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्मों (a, b) के समुच्चय $\mathbb {R} ^{2}$ के रूप में परिभाषित करने के लिए दृष्टिकोण प्रस्तुत किया, जिसमें योग और गुणन के लिए निम्नलिखित नियम प्रयुक्त किए गए हैंː^[47]

{\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac-bd,bc+ad).\end{aligned}}

तब यह (a, b) को a + bi के रूप में व्यक्त करने के लिए केवल अंकन का विषय है।

भागफल क्षेत्र के रूप में निर्माण

यद्यपि यह निम्न-स्तरीय निर्माण सम्मिश्र संख्याओं की संरचना का सही वर्णन करता है, निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा से $\mathbb {C}$ की बीजगणितीय प्रकृति का अधिक तुरंत पता चलता है। यह विशेषता क्षेत्रों और बहुपदों की धारणा पर निर्भर करता है। क्षेत्र जोड़, घटाव, गुणा और भाग संक्रियाओं से संपन्न एक ऐसा समुच्चय है जो परिमेय संख्याओं से परिचित व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, वितरण नियम

(x+y)z=xz+yz

किसी भी तीन तत्वों

x

,

y

और

z

के लिए धारण करना चाहिए। वास्तविक संख्याओं का समुच्चय

\mathbb {R}

क्षेत्र बनाता है। वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद

p (X)

रूप का एक व्यंजक है

a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},

जहां

a 0, ..., a n

वास्तविक संख्याएं हैं। बहुपदों का सामान्य जोड़ और गुणा ऐसे सभी बहुपदों के समुच्चय

\mathbb {R} [X]

को वलय (गणित) संरचना से संपन्न करता है। इस वलय को वास्तविक संख्याओं पर बहुपद वलय कहा जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को भागफल वलय $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#cite_note-Bourbaki_1998_loc=%C2%A7VIII.1-7इस विस्तार क्षेत्र में, अर्थात् $X$ और $- X$ , क्रमशः $1$ (सहसमुच्चय) $-1$ (सहसमुच्चय) दो वर्गमूल हैं। और $X$ वास्तविक वेक्टर समष्टि के रूप में $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$ का आधार बनाते हैं, जिसका अर्थ है कि विस्तार-क्षेत्र के प्रत्येक तत्व को इन दो तत्वों में एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। समतुल्य रूप से, विस्तार क्षेत्र के तत्वों को वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म $(a, b)$ के रूप में लिखा जा सकता है। भागफल वलय एक क्षेत्र है, क्योंकि $X 2 + 1$ पर अप्रासंगिक है, इसलिए यह जो मानक $\mathbb {R}$ उत्पन्न करता है वह अधिकतम मानक है।

वलय में जोड़ और गुणन के लिए सूत्र $\mathbb {R} [X],$ संबंध $X 2 = -1$ , के अनुरूप हैं, क्रमित जोड़े के रूप में परिभाषित सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ और गुणन के लिए सूत्रों के अनुरूप है। तो क्षेत्र की दो परिभाषाएँ $\mathbb {C}$ समाकृतिकता (क्षेत्र के रूप में) हैं।

यह स्वीकार करते हुए कि $\mathbb {C}$ बीजगणितीय रूप से संवृत है, क्योंकि यह इस दृष्टिकोण में $\mathbb {R}$ का एक बीजगणितीय विस्तार है इसलिए $\mathbb {C}$ , $\mathbb {R}$ का बीजगणितीय समापन है।

आव्यूह सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व

सम्मिश्र संख्याएँ a + bi को 2 × 2 आव्यूहों द्वारा भी दर्शाया जा सकता है जिनका रूप है:

{\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}

यहाँ प्रविष्टियाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं। चूंकि दो ऐसे आव्यूह का योग और गुणनफल फिर से इस रूप का होता है, ये आव्यूह वलय 2 × 2 आव्यूह का एक उप-वलय बनाते हैं।

साधारण संगणना से पता चलता है कि प्रतिचित्र:

a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}

सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र से लेकर इन आव्यूह के वलय तक एक वलय समरूपता है। यह समरूपता एक सम्मिश्र संख्या के पूर्ण मूल्य के वर्ग को संबंधित आव्यूह के निर्धारक के साथ जोड़ती है, और एक सम्मिश्र संख्या के संयुग्म को आव्यूह के स्थानान्तरण के साथ जोड़ती है।

सम्मिश्र संख्याओं के गुणन का ज्यामितीय विवरण सम्मिश्र संख्याओं और ऐसे आव्यूह के बीच इस पत्राचार का उपयोग करके घूर्णन आव्यूह के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है। वेक्टर $(x, y)$ पर आव्यूह की संक्रिया $x + iy$ द्वारा $a + ib$ के गुणन से अनुरूप है। विशेष रूप से, यदि निर्धारक $1$ है, तब वास्तविक संख्या $t$ है जैसे कि आव्यूह का रूप है:

{\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\;\;\cos t\end{pmatrix}}

इस स्थिति में, वैक्टर पर आव्यूह की संक्रिया

\cos t+i\sin t

और सम्मिश्र संख्या से गुणा

t

दोनों कोण के घूर्णन (गणित) दोनों हैं।

सम्मिश्र विश्लेषण

प्रक्षेत्र रंग चक्र ग्राफ

sin(1/ z)

अंदर के काले भागों में बड़े निरपेक्ष मान वाले संख्याओं को संदर्भित किया जाता है।

सम्मिश्र चर के फलनों के अध्ययन को सम्मिश्र विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और प्रयुक्त गणित के साथ -साथ गणित की अन्य शाखाओं में भी इसका व्यावहारिक उपयोग बहुत अधिक होता है। प्रायः, वास्तविक विश्लेषण या सम संख्या सिद्धांत में कथनों के लिए सबसे प्राकृतिक प्रमाण सम्मिश्र विश्लेषण से तकनीकों को नियोजित करते हैं (एक उदाहरण के लिए अभाज्य संख्या प्रमेय देखें)। वास्तविक फलनों के विपरीत, जिन्हें आमतौर पर द्वि-आयामी ग्राफ के रूप में दर्शाया जाता है, सम्मिश्र फलनों में चार-आयामी ग्राफ होते हैं और चार आयामों का सुझाव देने के लिए या सम्मिश्र समतल के सम्मिश्र फलन के गतिशील परिवर्तन को अनुप्राणित करने के लिए त्रि-आयामी ग्राफ को रंग-कोडिंग द्वारा उपयोगी रूप से चित्रित किया जा सकता है।

सम्मिश्र घातीय और संबंधित फलन

(वास्तविक) विश्लेषण में अभिसरण श्रृंखला और निरंतर फलनों की धारणाओं में सम्मिश्र विश्लेषण में प्राकृतिक एनालॉग्स हैं। क्रम सम्मिश्र संख्याओं के रूप में अभिसरण अनुक्रम कहा जाता है यदि और केवल यदि इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग करते हैं। यह सीमाओं के (ε, Δ) -परिभाषा के बराबर है, जहां वास्तविक संख्याओं के निरपेक्ष मान को सम्मिश्र संख्याओं में से एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अधिक अमूर्त दृष्टिकोण से, $\mathbb {C}$ , मीट्रिक (गणित) के साथ संपन्न

\operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|

पूर्ण मीट्रिक समष्टि है, जिसमें विशेष रूप से त्रिभुज असमानता सम्मिलित है

|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|

किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं

z 1

और

z 2

के लिए है।

वास्तविक विश्लेषण की तरह, अभिसरण की इस धारणा का उपयोग कई प्राथमिक फलनो के निर्माण के लिए किया जाता है: घातीय फलन $exp z$ , जिसे $e z$ भी लिखा है, और अनंत श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया गया है

\exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

वास्तविक त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित करने वाली श्रृंखला ज्या और कोज्या, साथ ही साथ अतिशयोक्ति फलन sinh और cosh भी बिना परिवर्तन के सम्मिश्र तर्कों पर ले जाती है। अन्य त्रिकोणमितीय और अतिपरवयलिक फलनों के लिए, जैसे कि स्पर्शरेखा (फलन), वस्तुए अधिक सम्मिश्र हैं, क्योंकि परिभाषित श्रृंखला सभी सम्मिश्र मानो के लिए अभिसरण नहीं करती है। इसलिए, किसी को उन्हें साइन, कोसाइन और घातांक के संदर्भ में परिभाषित करना होगा, या, विश्लेषणात्मक निरंतरता की विधि का उपयोग करके समतुल्य होना चाहिए।

यूलर के सूत्र में कहा गया है:

\exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi

किसी भी वास्तविक संख्या के लिए

φ

, विशेष रूप से

\exp(i\pi )=-1

जो यूलर की सर्वसमिका है। वास्तविक संख्याओं की स्थिति के विपरीत, सम्मिश्र समाधानों

z

का अनंत-समुच्चय होती है

\exp z=w

किसी भी सम्मिश्र संख्या w ≠ 0 के लिए। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसा कोई भी संशोधित z - जिसे w का सम्मिश्र लघुगणक कहा जाता है - संतुष्ट करता है

\log w=\ln |w|+i\arg w,

जहाँ arg ऊपर परिभाषित तर्क है, और ln (वास्तविक) प्राकृतिक लघुगणक है। चूँकि arg एक बहुविकल्पीय फलन है, केवल 2π के गुणक तक अद्वितीय, log भी बहुविकल्पीय है। लॉग का मुख्य मूल्य प्रायः काल्पनिक भाग को अंतराल (−π, π] तक सीमित करके लिया जाता है।

सम्मिश्र घातांक $z ω$ को इस रूप में परिभाषित किया गया है

z^{\omega }=\exp(\omega \log z),

और बहु-मान है, अतिरिक्त कब

ω

एक पूर्णांक है।

ω = 1 / n

के लिए, कुछ प्राकृतिक संख्या

n

के लिए, यह ऊपर उल्लिखित

n

वें मूलों की गैर-विशिष्टता को पुनः प्राप्त करता है।

सम्मिश्र संख्या, वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सामान्य रूप से अपरिवर्तित घात और लॉगरिदम सर्वसमिका को संतुष्ट नहीं करती है, विशेष कर जब सरलता से एकल-मूल्य वाले फलनों के रूप में माना जाता है; घात और लघुगणक सर्वसमिका की विफलता देखें। उदाहरण के लिए, वे संतुष्ट नहीं करते हैं

a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.

समीकरण के दोनों पक्षों को यहां दी गई सम्मिश्र घातांक की परिभाषा द्वारा बहु-मान किया गया है, और बाईं ओर के मान दाईं ओर के उप-समुच्चय हैं।

होलोमोर्फिक फलन

फलन F: $\mathbb {C}$ → $\mathbb {C}$ को होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, कोई $\mathbb {R}$ -रेखीय मानचित्र $\mathbb {C}$ → $\mathbb {C}$ के रूप में लिखा जा सकता है

f(z)=az+b{\overline {z}}

सम्मिश्र गुणांक

a

और

b

के साथ यह मानचित्र होलोमोर्फिक है यदि और केवल यदि

b = 0

है। दूसरा योग

b{\overline {z}}

वास्तविक-विभेदक है, लेकिन कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।

सम्मिश्र विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक विश्लेषण में कुछ विशेषताएं स्पष्ट नहीं हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी दो होलोमोर्फिक फलन $f$ और $g$ जो $\mathbb {C}$ के एकपक्षीय रूप से छोटे विवृत उप-समुच्चय पर सहमत है अनिवार्य रूप से प्रत्येक स्थान पर सहमत होते हैं। मेरोमॉर्फिक फलन, फलन जो स्थानीय रूप से $f (z)/(z - z 0) n$ के रूप में होलोमोर्फिक फलन f के साथ लिखा जा सकता है, अभी भी होलोमोर्फिक फलन की कुछ विशेषताओं को साझा करते हैं। अन्य फलनों में आवश्यक विलक्षणताएँ हैं, जैसे $sin(1/ z)$ पर $z = 0$ है।

अनुप्रयोग

सम्मिश्र संख्याओं में कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें संकेत प्रसंस्करण, नियंत्रण सिद्धांत, विद्युत-चुम्बकत्व, द्रव गतिविज्ञान, क्वांटम यांत्रिकी, स्पंदन विश्लेषण सम्मिलित हैं। इनमें से कुछ अनुप्रयोग नीचे वर्णित हैं।

ज्यामिति

आकार

तीन गैर संरेख बिंदु $u,v,w$ समतल में त्रिभुज $\{u,v,w\}$ का आकार निर्धारित करें।। सम्मिश्र समतल में बिंदुओं का पता लगाने के लिए, त्रिकोण के इस आकार को सम्मिश्र अंकगणित द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.

आकार

S

एक त्रिभुज एक ही रहेगा, जब सम्मिश्र समतल अनुवाद या विस्तार (परिशोधित परिवर्तन द्वारा) द्वारा रूपांतरित किया जाता है, आकार की सामान्य धारणा के अनुरूप, और समानता (ज्यामिति) का वर्णन करता है। इस प्रकार प्रत्येक त्रिकोण

\{u,v,w\}

समान आकार वाले त्रिभुजों के समानता वर्ग में है।^[52]

फ्रैक्टल ज्यामिति

लेबल किए गए वास्तविक और काल्पनिक अक्षों के साथ मंडेलब्रॉट संस्थापित किया गया।

मंडेलब्रॉट समुच्चय सम्मिश्र समतल पर निर्मित एक फ्रैक्टल का एक लोकप्रिय उदाहरण है। यह हर समष्टि $c$ को रचना करके परिभाषित किया गया है जहां अनुक्रम $f_{c}(z)=z^{2}+c$ को पुनरावृति करते हुए जब पुनरावृति अधिकतम रूप से (स्थिरता सिद्धांत) नहीं होती है। इसी तरह, जूलिया समुच्चय के समान नियम हैं, जहां इसके अतिरिक्त $c$ स्थिर रहता है।

त्रिकोण

प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय स्टीनर अर्धवृत्ताकार है - त्रिभुज के अंदर एक दीर्घवृत्त और त्रिभुज के तीन पक्षों के मध्य बिंदुओं के लिए स्पर्शरेखा है। त्रिभुज के स्टेनर अर्धवृत्ताकार का केंद्र बिन्दु (ज्यामिति) मार्डन के प्रमेय के अनुसार, निम्नानुसार पाया जा सकता है:^[53]^[54] सम्मिश्र समतल में त्रिकोण के शीर्षों को $a = x A + y A i$ , $b = x B + y B i$ , और $c = x C + y C i$ के रूप मे निरूपित करें। घन समीकरण $(x-a)(x-b)(x-c)=0$ लिखें, इसके अवलकज को लें, और (द्विघात) अवकलज को शून्य के बराबर करें। मार्डेन के प्रमेय का कहना है कि इस समीकरण के समाधान स्टीनर इनलिप्स के दो केन्द्र के स्थानों को सम्मिश्र संख्याएं दर्शाती हैं।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत

समभुजकोणीय पंचभुज दिक्सूचक और ऋजु कोर का निर्माण।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी गैर-स्थिर बहुपद समीकरण (सम्मिश्र गुणांकों में) का संशोधित $\mathbb {C}$ में होता है। तर्क युक्ति, यदि समीकरण में तर्कसंगत गुणांक हैं तो वही सत्य है। इस तरह के समीकरणों की मूलों को बीजगणितीय संख्या कहा जाता है - वे बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अध्ययन का एक प्रमुख उद्देश्य हैं। ${\overline {\mathbb {Q} }}$ की तुलना में, बीजगणितीय संवृत $\mathbb {Q}$ , जिसमें सभी बीजगणितीय संख्या भी सम्मिलित हैं, $\mathbb {C}$ ज्यामितीय पदों में आसानी से समझने योग्य होने का लाभ है। इस तरह, बीजगणितीय तरीकों का उपयोग ज्यामितीय प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। और इसके विपरीत बीजगणितीय तरीकों के साथ, अधिक विशेष रूप से क्षेत्र सिद्धांत (गणित) की रचना को एकात्मकता की मूल वाले संख्या क्षेत्र में प्रयुक्त करने के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि एक समभुजकोणीय नवभुज दिक्सूचक और ऋजु कोर निर्माण - एक विशुद्ध रूप से ज्यामितीय समस्या का निर्माण करना संभव नहीं है।

अन्य उदाहरण गॉसियन पूर्णांक है; अर्थात् $x + iy$ के रूप की संख्याएँ, जहाँ $x$ और $y$ पूर्णांक हैं, जिनका उपयोग वर्गों के योगों को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत अध्ययन संख्या, प्रायः पूर्णांक या तर्कसंगत, इस तथ्य का लाभ प्राप्त करके कि उन्हें सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जा सकता है, जिसमें विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग किया जा सकता है। यह सम्मिश्र-मान फलनों में संख्या-सिद्धांत संबंधी जानकारी को एन्कोडिंग करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, रीमैन ज़ेटा फलन $ζ(s)$ अभाज्य संख्या के वितरण से संबंधित है।

अनुपयुक्त समाकलन

प्रयुक्त क्षेत्रों में, सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग प्रायः सम्मिश्र-मान फलनों के माध्यम से कुछ वास्तविक-मान अनुचित अभिन्नताओं की गणना करने के लिए किया जाता है। ऐसा करने के लिए कई तरीके सम्मिलित हैं; समोच्च समाकलन के तरीके देखें।

गतिशील समीकरण

अवकल समीकरणों में, सर्वप्रथम एक रेखीय अवकल समीकरण या समीकरण प्रणाली के अभिलक्षणिक समीकरण के सभी सम्मिश्र मूल r को खोजना और फिर f(t) = e^rt के मूल फलनों के संदर्भ में प्रणाली को संशोधित करने का प्रयास करना सामान्य संक्रिया है। इसी तरह, अवकल समीकरणों में, अवकल समीकरण प्रणाली के विशिष्ट समीकरण की सम्मिश्र मूल r का उपयोग f(t) = r^t के आधार फलनों के संदर्भ में प्रणाली को संशोधित करने का प्रयास करने के लिए किया जाता है।

रैखिक बीजगणित

आइगेनडीकंपोजीशन आव्यूह घातो और आव्यूह घातांकों की गणना के लिए एक उपयोगी उपकरण है। हालांकि, इसे प्रायः सम्मिश्र संख्याओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, तथापि आव्यूह वास्तविक हो (उदाहरण के लिए, एक घूर्णन आव्यूह)।

सम्मिश्र संख्याएँ अक्सर उन अवधारणाओं को सामान्यीकृत करती हैं जो मूल रूप से वास्तविक संख्याओं में कल्पना की गई थीं उदाहरण के लिए, संयुग्म स्थानान्तरण स्थानांतरण को सामान्य करता है हरमिटियन आव्यूह सममित आव्यूह को सामान्य करता है, और एकात्मक आव्यूह, ऑर्थोगोनल आव्यूह को सामान्य करता है।

प्रयुक्त गणित में

नियंत्रण सिद्धांत

नियंत्रण सिद्धांत में, प्रणाली को प्रायः समय प्रक्षेत्र से लाप्लास रूपांतरण का उपयोग करके सम्मिश्र आवृत्ति प्रक्षेत्र में बदल दिया जाता है। प्रणाली के शून्य और ध्रुवों का विश्लेषण तब सम्मिश्र समतल में किया जाता है। रूट अवस्थिति, नाइक्विस्ट आरेख, और निकोल्स आरेख तकनीक सभी सम्मिश्र समतल का उपयोग करते हैं।

रूट अवस्थिति विधि में, यह महत्वपूर्ण है कि शून्य और ध्रुव बाएं या दाएं अर्ध समतलों में हैं, अर्थात, शून्य से अधिक या उससे कम वास्तविक भाग है। यदि एक रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली में ध्रुव होते हैं

दाहिने आधे तल में, यह अस्थिर होगा,
सभी बाएँ आधे तल में, यह स्थिर रहेगा,
काल्पनिक अक्ष पर, इसमें सीमान्त स्थिरता होगी।

यदि किसी प्रणाली में दाहिने आधे तल में शून्य है, तो यह एक गैर-न्यूनतम चरण प्रणाली है।

संकेत विश्लेषण

समय -समय पर अलग -अलग संकेतों के लिए सुविधाजनक विवरण के लिए संकेत विश्लेषण और अन्य क्षेत्रों में सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग किया जाता है। वास्तविक भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने वाले वास्तविक फलनों के लिए, प्रायः साइन और कोसाइन के संदर्भ में, इसी सम्मिश्र फलनों को माना जाता है जिनके बारे में वास्तविक भाग मूल मात्रा हैं। किसी दिए गए आवृत्ति की साइन प्रवाह के लिए, निरपेक्ष मूल्य $| z |$ इसी के $z$ आयाम और तर्क (सम्मिश्र विश्लेषण) है $arg z$ चरण (तरंगें) है।

यदि फूरियर विश्लेषण किसी दिए गए वास्तविक-मूल्य वाले संकेत को आवधिक फलनों के योग के रूप में लिखने के लिए नियोजित किया जाता है, तो इन आवधिक फलनों को प्रायः सम्मिश्र-मान फलनों के रूप में लिखा जाता है

x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}

और

X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}

जहां ω कोणीय आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है और सम्मिश्र संख्या A चरण और आयाम को एन्कोड करता है जैसा कि ऊपर बताया गया है।

यह उपयोग डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग और डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग में भी विस्तारित है, जो फूरियर विश्लेषण (और तरंगिका विश्लेषण) के डिजिटल संस्करणों का उपयोग डिजिटल ऑडियो सिग्नल, स्थिर छवि और वीडियो सिग्नल को प्रसारित करने, संपीड़ित करने, पुनर्स्थापित करने और अन्यथा संसाधित करने के लिए करता है।

एएम रेडियो के आयाम मॉडुलन के दो पार्श्व बैंडों के लिए प्रासंगिक एक अन्य उदाहरण है:

{\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}

भौतिकी में

विद्युत चुंबकत्व और विद्युत अभियांत्रिकी

विद्युत अभियांत्रिकी में, फूरियर रूपांतरण का उपयोग अलग-अलग विद्युत-दाब और धाराओं का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। प्रतिरोधों, संधारित्र और प्रेरित्र के उपचार को बाद के दो के लिए काल्पनिक, आवृत्ति-निर्भर प्रतिरोधों को प्रस्तुत करके एकीकृत किया जा सकता है और तीनों को समान सम्मिश्र संख्या में प्रतिबाधा कहा जाता है। इस दृष्टिकोण को फेजर गणना कहा जाता है।

विद्युत अभियांत्रिकी में, I के साथ भ्रम से बचने के लिए, काल्पनिक इकाई को j द्वारा दर्शाया जाता है, जो सामान्य रूप से विद्युत प्रवाह को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है, या, विशेष रूप से, i, जो सामान्य रूप से तात्कालिक विद्युत प्रवाह को दर्शाने के लिए उपयोग में होता है।

चूंकि एक प्रत्यावर्ती धारा विद्युत परिपथ में विद्युत-दाब दोलन कर रहा है, इसलिए इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),

मापने योग्य मात्रा प्राप्त करने के लिए, वास्तविक भाग लिया जाता है:

v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.

सम्मिश्र-मान संकेत

V (t)

वास्तविक-मान, मापने योग्य संकेत

v (t)

का विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व कहा जाता है।^[55]

द्रव की गतिशीलता

द्रव की गतिशीलता में, दो आयामों में संभावित प्रवाह का वर्णन करने के लिए सम्मिश्र फलनों का उपयोग किया जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी

सम्मिश्र संख्या क्षेत्र क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय योग के लिए आंतरिक है, जहां सम्मिश्र हिल्बर्ट समष्टि एक ऐसे सूत्रीकरण के लिए संदर्भ प्रदान करते हैं जो सुविधाजनक और संभव्यता सबसे मानक है। क्वांटम यांत्रिकी के मूल नींव सूत्र - श्रोडिंगर समीकरण और हाइजेनबर्ग के आव्यूह यांत्रिकी - सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हैं।

सापेक्षता

विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता में, अंतरिक्ष समय पर मीट्रिक के लिए कुछ सूत्र सरल हो जाते हैं यदि कोई समष्टि समय सातत्य के समय घटक को काल्पनिक मानता है। (यह दृष्टिकोण उत्कृष्ट सापेक्षता में अब मानक नहीं है, लेकिन क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक आवश्यक तरीके से उपयोग किया जाता है।) सम्मिश्र संख्या स्पिनर के लिए आवश्यक हैं, जो सापेक्षता में उपयोग किए जाने वाले टेन्सर का एक सामान्यीकरण हैं।

सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएँ

केली Q8 चतुष्कोणीय ग्राफ i, j और k द्वारा गुणन के चक्रों को दर्शाता है

क्षेत्र को विस्तारित करने की प्रक्रिया $\mathbb {R}$ के लिए $\mathbb {C}$ केली-डिक्सन निर्माण के रूप में जानी जाती है। इसे और अधिक आयामों तक ले जाया जा सकता है, चतुर्भुजों की प्राप्त $\mathbb {H}$ और ऑक्टोनियन $\mathbb {O}$ जो (वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष के रूप में) क्रमशः आयाम 4 और 8 के हैं। इस संदर्भ में सम्मिश्र संख्याओं को बिनरियन कहा गया है।^[56]

जिस तरह निर्माण को वास्तविकता में प्रयुक्त करने से क्रमित करने के गुण समाप्त हो जाती है, वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं से परिचित गुण प्रत्येक विस्तार के साथ नष्ट हो जाते हैं। चतुष्कोण क्रम-विनिमेयता नष्ट कर देते हैं, अर्थात, x·y ≠ y·x कुछ चतुष्कोणों x, y के लिए, और अष्टक का गुणन, इसके अतिरिक्त क्रमविनिमेय नहीं होने के कारण, : (x·y)·z ≠ x·( y·z) कुछ अष्टक x, y, z के लिए साहचर्य होने में विफल रहता है।

$\mathbb {R}$ पर वास्तविक, सम्मिश्र संख्याएं, चतुष्कोण और अष्टक सभी मानक विभाजन बीजगणित हैं। हर्विट्ज़ प्रमेय के अनुसार केवल वे ही हैं जो सेडेनियन्स, केली-डिक्सन निर्माण में पूर्व चरण, इस संरचना को बनाने में विफल रहा।

केली-डिक्सन का निर्माण $\mathbb {C}$ समभुजकोणीय प्रतिनिधित्व से निकटता से संबंधित है जिसे एक गणित $\mathbb {R}$ -बीजगणित (वलय सिद्धांत) $\mathbb {R}$ वेक्टर समष्टि गुणा के साथ), गुणन के साथ समष्टि $(1, i)$ के रूप में माना जाता है। इसका तात्पर्य है निम्नलिखित: $\mathbb {R}$ -रैखिक मानचित्र

{\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}

कुछ निश्चित सम्मिश्र संख्या के लिए

w

को

2 \times 2

आव्यूह (एक बार एक आधार चयन किया गया है) द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। आधार के संबंध में

(1, i)

, यह आव्यूह है

{\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},

अर्थात, ऊपर सम्मिश्र संख्याओं के आव्यूह प्रतिनिधित्व पर अनुभाग में उल्लेख किया गया है। जबकि यह एक रैखिक प्रतिनिधित्व है जबकि यह

\mathbb {C}

वास्तविक आव्यूहों में 2 × 2 का एक रैखिक निरूपण है, यह केवल एक ही नहीं है। कोई आव्यूह

J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0

गुण है कि इसका वर्ग वर्ग सर्वसमिका आव्यूह

J 2 = - I

का ऋणात्मक है। तब

\{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}

क्षेत्र

\mathbb {C}

के लिए भी समरूपीय है और

\mathbb {R} ^{2}

वैकल्पिक सम्मिश्र संरचना देता है। यह एक रैखिक सम्मिश्र संरचना की धारणा से सामान्यीकृत है।

अतिमिश्र संख्या $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ $\mathbb {H} ,$ और $\mathbb {O}$ को भी सामान्यीकरण करती है। उदाहरण के लिए, इस धारणा में विभाजित-संकलन संख्या सम्मिलित हैं, जो वलय के तत्व $\mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)$ (विरोध के रूप में $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ सम्मिश्र संख्याओं के लिए) हैं। इस वलय में, समीकरण $a 2 = 1$ चार समाधान हैं।

क्षेत्र $\mathbb {R}$ समापन $\mathbb {Q}$ है, सामान्य निरपेक्ष मूल्य मीट्रिक (गणित) के संबंध में तर्कसंगत संख्याओं $\mathbb {Q}$ क्षेत्रों के लिए $\mathbb {Q} _{p}$ निरूपित करते है और $p$ -संख्या (किसी भी प्रमुख संख्या के लिए) $p$ ), जो इस प्रकार $\mathbb {R}$ से अनुरूप हैं। $\mathbb {Q}$ को पूर्ण करने के कोई अन्य $\mathbb {R}$ और $\mathbb {Q} _{p},$ ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय द्वारा बीजगणितीय संवृत हो जाता है और ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ का $\mathbb {Q} _{p}$ अभी भी एक मानक ले जाता है, लेकिन (इसके विपरीत) $\mathbb {C}$ ) इसके संबंध में पूरा नहीं है। पूर्ण $\mathbb {C} _{p}$ का ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ बीजगणित रूप से संवृत हो जाता है। सादृश्य द्वारा, क्षेत्र को $p$ -सम्मिश्र संख्या कहा जाता है।

क्षेत्र $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {Q} _{p},$ और उनके परिमित क्षेत्र विस्तार, सहित $\mathbb {C} ,$ स्थानीय क्षेत्र कहा जाता है।

यह भी देखें

बीजगणितीय सतह
सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए वृत्ताकार गति
सम्मिश्र आधार प्रणाली
सम्मिश्र ज्यामिति
दोहरी-सम्मिश्र संख्या
आइज़ेंस्टीन पूर्णांक
यूलर की सर्वसमिका
ज्यामितीय बीजगणित जिसमें 2-आयामी संदिश उप-समष्टि ${\mathcal {G}}_{2}^{+}$ के रूप में सम्मिश्र समतल सम्मिलित है
एकक सम्मिश्र संख्या

Number systems

Complex

:\;\mathbb {C}

Real

:\;\mathbb {R}

Rational

:\;\mathbb {Q}

Integer

:\;\mathbb {Z}

Natural

:\;\mathbb {N}

Zero: 0

One: 1

Finite decimal
Dyadic (finite binary)
Repeating decimal

↑ "Complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales." — R. Penrose (2016, p. 73)^[2]
↑ Solomentsev 2001: "The plane $\mathbb {R} ^{2}$ whose points are identified with the elements of $\mathbb {C}$ is called the complex plane ... The complete geometric interpretation of complex numbers and operations on them appeared first in the work of C. Wessel (1799). The geometric representation of complex numbers, sometimes called the 'Argand diagram', came into use after the publication in 1806 and 1814 of papers by J.R. Argand, who rediscovered, largely independently, the findings of Wessel".
↑ In modern notation, Tartaglia's solution is based on expanding the cube of the sum of two cube roots: $\left({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)^{3}=3{\sqrt[{3}]{uv}}\left({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)+u+v$ With $x={\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}$ , $p=3{\sqrt[{3}]{uv}}$ , $q=u+v$ , $u$ and $v$ can be expressed in terms of $p$ and $q$ as $u=q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ and $v=q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ , respectively. Therefore, $x={\sqrt[{3}]{q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}}+\ sqrt[3]{q/2-\ sqrt{(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ ।कब $(q/2)^{2}-(p/3)^{3}$ नकारात्मक है (कैसस irreducibilis), दूसरे क्यूब रूट को पहले एक के जटिल संयुग्म के रूप में माना जाना चाहिए।
↑ It has been proved that imaginary numbers have necessarily to appear in the cubic formula when the equation has three real, different roots by Pierre Laurent Wantzel in 1843, Vincenzo Mollame in 1890, Otto Hölder in 1891 and Adolf Kneser in 1892. Paolo Ruffini also provided an incomplete proof in 1799. — S. Confalonieri (2015)^[20]
↑ Argand 1814, p. 204 defines the modulus of a complex number but he doesn't name it:
"Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placés, seront employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu'ils affectent; ainsi, si $a=m+n{\sqrt {-1}}$ , $m$ et $n$ étant réels, on devra entendre que $a_{'}$ ou $a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ ."
[In what follows, accent marks, wherever they're placed, will be used to indicate the absolute size of the quantities to which they're assigned; thus if $a=m+n{\sqrt {-1}}$ , $m$ and $n$ being real, one should understand that $a_{'}$ or $a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ .]
Argand 1814, p. 208 defines and names the module and the direction factor of a complex number: "... $a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ pourrait être appelé le module de $a+b{\sqrt {-1}}$ , et représenterait la grandeur absolue de la ligne $a+b{\sqrt {-1}}$ , tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représenterait la direction."
[... $a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ could be called the module of $a+b{\sqrt {-1}}$ and would represent the absolute size of the line $a+b{\sqrt {-1}}\,,$ (Note that Argand represented complex numbers as vectors.) whereas the other factor [namely, ${\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\ tfrac{b}{\ sqrt{a^{2}+b^{2}}}\ sqrt{-1}$ ], जिसका मॉड्यूल एकता है [1], इसकी दिशा का प्रतिनिधित्व करेगा।]
↑ Gauss writes:^[39]"Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando campus arithmeticae ad quantitates imaginarias extenditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae a + bi, denotantibus i, pro more quantitatem imaginariam ${\sqrt {-1}}$ , atque a, b indefinite omnes numeros reales integros inter - $\infty$ et + $\infty$ ." [Of course just as the higher arithmetic has been investigated so far in problems only among real integer numbers, so theorems regarding biquadratic residues then shine in greatest simplicity and genuine beauty, when the field of arithmetic is extended to imaginary quantities, so that, without restrictions on it, numbers of the form a + bi — i denoting by convention the imaginary quantity ${\sqrt {-1}}$ , and the variables a, b [denoting] all real integer numbers between $-\infty$ and $+\infty$ — constitute an object.]
↑ Gauss:^[40]"Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur." [We will call such numbers [namely, numbers of the form a + bi ] "complex integer numbers", so that real [numbers] are regarded not as the opposite of complex [numbers] but [as] a type [of number that] is, so to speak, contained within them.]
↑ Gauss:^[41] "Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est." [We call a "norm" the product of a complex number [e.g,. a + ib ] with its conjugate [a - ib ]. Therefore the square of a real number should be regarded as its norm.]
↑ However for another inverse function of the complex exponential function (and not the above defined principal value), the branch cut could be taken at any other ray thru the origin.

संदर्भ

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श्रेणी: रचना बीजगणित श्रेणी: सम्मिश्र संख्याएँ

[3] "Complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales." — R. Penrose (2016, p. 73)^[2]

[10] Solomentsev 2001: "The plane $\mathbb {R} ^{2}$ whose points are identified with the elements of $\mathbb {C}$ is called the complex plane ... The complete geometric interpretation of complex numbers and operations on them appeared first in the work of C. Wessel (1799). The geometric representation of complex numbers, sometimes called the 'Argand diagram', came into use after the publication in 1806 and 1814 of papers by J.R. Argand, who rediscovered, largely independently, the findings of Wessel".

[23] In modern notation, Tartaglia's solution is based on expanding the cube of the sum of two cube roots: $\left({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)^{3}=3{\sqrt[{3}]{uv}}\left({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)+u+v$ With $x={\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}$ , $p=3{\sqrt[{3}]{uv}}$ , $q=u+v$ , $u$ and $v$ can be expressed in terms of $p$ and $q$ as $u=q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ and $v=q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ , respectively. Therefore, $x={\sqrt[{3}]{q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}}+\ sqrt[3]{q/2-\ sqrt{(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ ।कब $(q/2)^{2}-(p/3)^{3}$ नकारात्मक है (कैसस irreducibilis), दूसरे क्यूब रूट को पहले एक के जटिल संयुग्म के रूप में माना जाना चाहिए।

[24] It has been proved that imaginary numbers have necessarily to appear in the cubic formula when the equation has three real, different roots by Pierre Laurent Wantzel in 1843, Vincenzo Mollame in 1890, Otto Hölder in 1891 and Adolf Kneser in 1892. Paolo Ruffini also provided an incomplete proof in 1799. — S. Confalonieri (2015)^[20]

[41] Argand 1814, p. 204 defines the modulus of a complex number but he doesn't name it:
"Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placés, seront employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu'ils affectent; ainsi, si $a=m+n{\sqrt {-1}}$ , $m$ et $n$ étant réels, on devra entendre que $a_{'}$ ou $a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ ."
[In what follows, accent marks, wherever they're placed, will be used to indicate the absolute size of the quantities to which they're assigned; thus if $a=m+n{\sqrt {-1}}$ , $m$ and $n$ being real, one should understand that $a_{'}$ or $a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ .]
Argand 1814, p. 208 defines and names the module and the direction factor of a complex number: "... $a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ pourrait être appelé le module de $a+b{\sqrt {-1}}$ , et représenterait la grandeur absolue de la ligne $a+b{\sqrt {-1}}$ , tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représenterait la direction."
[... $a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ could be called the module of $a+b{\sqrt {-1}}$ and would represent the absolute size of the line $a+b{\sqrt {-1}}\,,$ (Note that Argand represented complex numbers as vectors.) whereas the other factor [namely, ${\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\ tfrac{b}{\ sqrt{a^{2}+b^{2}}}\ sqrt{-1}$ ], जिसका मॉड्यूल एकता है [1], इसकी दिशा का प्रतिनिधित्व करेगा।]

[45] Gauss writes:^[39]"Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando campus arithmeticae ad quantitates imaginarias extenditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae a + bi, denotantibus i, pro more quantitatem imaginariam ${\sqrt {-1}}$ , atque a, b indefinite omnes numeros reales integros inter - $\infty$ et + $\infty$ ." [Of course just as the higher arithmetic has been investigated so far in problems only among real integer numbers, so theorems regarding biquadratic residues then shine in greatest simplicity and genuine beauty, when the field of arithmetic is extended to imaginary quantities, so that, without restrictions on it, numbers of the form a + bi — i denoting by convention the imaginary quantity ${\sqrt {-1}}$ , and the variables a, b [denoting] all real integer numbers between $-\infty$ and $+\infty$ — constitute an object.]

[47] Gauss:^[40]"Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur." [We will call such numbers [namely, numbers of the form a + bi ] "complex integer numbers", so that real [numbers] are regarded not as the opposite of complex [numbers] but [as] a type [of number that] is, so to speak, contained within them.]

[49] Gauss:^[41] "Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est." [We call a "norm" the product of a complex number [e.g,. a + ib ] with its conjugate [a - ib ]. Therefore the square of a real number should be regarded as its norm.]

[55] However for another inverse function of the complex exponential function (and not the above defined principal value), the branch cut could be taken at any other ray thru the origin.

[1] For an extensive account of the history of "imaginary" numbers, from initial skepticism to ultimate acceptance, see Bourbaki, Nicolas (1998). "Foundations of Mathematics § Logic: Set theory". Elements of the History of Mathematics. Springer. pp. 18–24.

[2] Penrose, Roger (2016). The Road to Reality: A complete guide to the laws of the universe (reprint ed.). Random House. pp. 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8.

[4] Axler, Sheldon (2010). कॉलेज अल्जेबरा. Wiley. p. 262. ISBN 9780470470770.

[5] Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Schiller, J.J.; Spellman, D. (14 April 2009). जटिल चर. Schaum's Outline Series (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161569-3.

[6] Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). "Chapter P". कॉलेज बीजगणित और त्रिकोणमिति (6 ed.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 978-0-618-82515-8.

[FOOTNOTEAhlfors1979-7] Ahlfors 1979.

[8] Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). जटिल चर और अनुप्रयोग (6th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, j अक्षर का उपयोग i के बजाय किया जाता है।}

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[51] For the former notation, see Apostol 1981, pp. 15–16

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v t e संख्या प्रणाली
गणना योग्य सेट	प्राकृतिक संख्या ( $\mathbb {N}$ ) पूर्णांक ( $\mathbb {Z}$ ) तर्कसंगत संख्या ( $\mathbb {Q}$ ) निर्माण योग्य संख्या बीजगणितीय संख्या ( $\mathbb {A}$ ) अवधि कम्प्यूटेबल नंबर अंकगणितीय संख्या सेट-सिद्धांत रूप से निश्चित संख्या गाऊसी पूर्णांक
रचना बीजगणित	विभाजन बीजगणित: वास्तविक संख्या ( $\mathbb {R}$ ) जटिल संख्या ( $\mathbb {C}$ ) चतुर्भुज ( $\mathbb {H}$ ) ऑक्टोनियन ( $\mathbb {O}$ )
विभाजित करना प्रकार	ऊपर $\mathbb {R}$ : स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर स्प्लिट-क्वैटरन स्प्लिट-फैक्टियन ऊपर $\mathbb {C}$ : $\mathbb {C}$ : BICOMPLEX नंबर Biquaternion Bioctonion
अन्य हाइपरकम्प्लेक्स	दोहरी संख्या दोहरी चतुर्भुज दोहरी-कॉम्प्लेक्स नंबर हाइपरबोलिक चतुर्भुज सेडेनियन ( $\mathbb {S}$ ) स्प्लिट-ब्यूकटरन मल्टीकोम्प्लेक्स नंबर ज्यामितीय बीजगणित/क्लिफोर्ड बीजगणित भौतिक अंतरिक्ष का बीजगणित स्पेसटाइम बीजगणित
अन्य प्रकार	बुनियादी संख्या विस्तारित प्राकृतिक संख्या अपरिमेय संख्या फजी नंबर हाइपरियल नंबर लेवी-सिविटा फील्ड असली संख्या ट्रांसेंडेंटल नंबर क्रमसूचक संख्या [[पी-एडिक नंबर \|p-adicसंख्या]]p-adicसोलेनोइड्स]] अलौकिक संख्या सुपररेल नंबर सामान्य संख्या बंद-फॉर्म नंबर
वर्गीकरण सूची

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 {{Short description|Number with a real and an imaginary part}}
-{{More citations needed|date=July 2022}}
-{{Use dmy dates|date=June 2020|cs1-dates = l}}
-[[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|एक जटिल संख्या को संख्याओं की एक जोड़ी के रूप में नेत्रहीन रूप से दर्शाया जा सकता है {{math|(''a'', ''b'')}} आरेख पर एक सदिश का निर्माण करना, जिसे Argand आरेख कहा जाता है, जो जटिल तल का प्रतिनिधित्व करता है। Re वास्तविक अक्ष है, Im काल्पनिक अक्ष है, और {{mvar|i}} [[काल्पनिक इकाई]] है, जो संतुष्ट करती है {{math|1=''i''{{sup|2}} = −1}}.]]गणित में, एक जटिल संख्या एक [[संख्या प्रणाली]] का एक तत्व है जो [[वास्तविक संख्या]] को एक विशिष्ट तत्व के साथ विस्तारित करता है {{mvar|i}}, काल्पनिक इकाई कहलाती है और [[समीकरण]] को संतुष्ट करती है <math>i^{2}= -1</math>; प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>a + bi</math>, कहां {{mvar|a}} और {{mvar|b}} वास्तविक संख्याएँ हैं। क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है, {{mvar|i}} रेने डेसकार्टेस द्वारा एक [[काल्पनिक संख्या]] कहा गया था। जटिल संख्या के लिए <math>a+bi</math>, {{mvar|a}} कहा जाता है{{visible anchor|real part}}, और {{mvar|b}} कहा जाता है{{visible anchor|imaginary part}}. सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को किसी भी प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mathbb C</math> या {{math|'''C'''}}. ऐतिहासिक नामकरण काल्पनिक होने के बावजूद, [[गणितीय विज्ञान]] में जटिल संख्याओं को वास्तविक संख्याओं के समान ही वास्तविक माना जाता है और प्राकृतिक दुनिया के वैज्ञानिक विवरण के कई पहलुओं में मौलिक हैं।<ref>For an extensive account of the history of "imaginary" numbers, from initial skepticism to ultimate acceptance, see {{cite book |last=Bourbaki |first=Nicolas |author-link=Nicolas Bourbaki |year=1998 |title=Elements of the History of Mathematics |chapter=Foundations of Mathematics § Logic: Set theory |pages=18–24 |publisher=Springer}}
+[[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|सम्मिश्र संख्या को संख्याओं की एक जोड़ी (a, b) के रूप में दृष्टिगत रूप से दर्शाया जा सकता है, जो सम्मिश्र समतल का प्रतिनिधित्व करते हुए, आरगां आरेख नामक आरेख पर वेक्टर बनाता है। Re वास्तविक अक्ष है, Im काल्पनिक अक्ष है, और i "काल्पनिक इकाई" है, जो ''i''<sup>2</sup> = −1 को संतुष्ट करता है।]]गणित में, '''सम्मिश्र संख्या''' [[ संख्या प्रणाली |संख्या प्रणाली]] का एक तत्व है जो वास्तविक संख्याओं को एक विशिष्ट तत्व के साथ विस्तारित करता है जिसे {{mvar|i}} कहा जाता है, जिसे काल्पनिक इकाई कहा जाता है और समीकरण <math>i^{2}= -1</math>को संतुष्ट करता है; प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को <math>a + bi</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां {{mvar|a}} और {{mvar|b}} वास्तविक संख्याएं हैं।क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है, रेने डेसकार्टेस द्वारा {{mvar|i}} एक [[ काल्पनिक संख्या |काल्पनिक संख्या]] कहा जाता था। सम्मिश्र संख्या <math>a+bi</math> के लिए {{mvar|a}} को वास्तविक भाग और {{mvar|b}} को काल्पनिक भाग कहा जाता है। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को <math>\mathbb C</math> या {{math|'''C'''}} प्रतीकों में से किसी एक द्वारा निरूपित किया जाता है। ऐतिहासिक नामकरण काल्पनिक के होते हुए भी, सम्मिश्र संख्याओं को [[ गणितीय विज्ञान |गणितीय विज्ञान]] में वास्तविक संख्या के समान वास्तविक माना जाता है और प्राकृतिक विश्व के वैज्ञानिक विवरण के कई स्वरूपों में मौलिक हैं।<ref>For an extensive account of the history of "imaginary" numbers, from initial skepticism to ultimate acceptance, see {{cite book |last=Bourbaki |first=Nicolas |author-link=Nicolas Bourbaki |year=1998 |title=Elements of the History of Mathematics |chapter=Foundations of Mathematics § Logic: Set theory |pages=18–24 |publisher=Springer}}
 </ref>{{efn| "Complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales." — R. Penrose (2016, <!-- [https://books.google.com/books?id=VWTNCwAAQBAJ&pg=PA73 ] --> p.&nbsp;73)<ref>{{cite book |first=Roger |last=Penrose |year=2016 |title=The Road to Reality: A complete guide to the laws of the universe |edition=reprint |publisher=Random House |isbn=978-1-4464-1820-8 |pages=72–73 |url=https://books.google.com/books?id=VWTNCwAAQBAJ&pg=PA73}}</ref> }}
-जटिल संख्याएं सभी [[बहुपद समीकरण]]ों के समाधान की अनुमति देती हैं, यहां तक कि उनका भी जिनका वास्तविक संख्या में कोई समाधान नहीं है। अधिक सटीक रूप से, बीजगणित के मौलिक प्रमेय का दावा है कि वास्तविक या जटिल गुणांक वाले प्रत्येक गैर-निरंतर बहुपद समीकरण का एक समाधान होता है जो एक जटिल संख्या है। उदाहरण के लिए, समीकरण
+सम्मिश्र संख्याएं सभी [[ बहुपद समीकरण |बहुपद समीकरण]] के समाधान की स्वीकृति देती हैं, यहां तक कि जिनके पास वास्तविक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है। अधिक परिशुद्ध रूप से, [[ बीजगणित के मौलिक प्रमेय |बीजगणित के मौलिक प्रमेय]] का दृढ़ कथन है कि वास्तविक या सम्मिश्र गुणांक के साथ प्रत्येक गैर-निरंतर बहुपद समीकरण का एक समाधान होता है जो सम्मिश्र संख्या है।उदाहरण के लिए, समीकरण<math>(x+1)^2 = -9</math> कोई वास्तविक समाधान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है, लेकिन दो गैर-वास्तविक सम्मिश्र <math>-1+3i</math> और <math>-1-3i</math> समाधान हैं।
-<math>(x+1)^2 = -9</math>
-इसका कोई वास्तविक समाधान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है, लेकिन इसके दो अवास्तविक जटिल समाधान हैं <math>-1+3i</math> और <math>-1-3i</math>.
-नियम का उपयोग करके जटिल संख्याओं के जोड़, घटाव और गुणा को स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है <math>i^{2}=-1</math> साहचर्य कानून, [[विनिमेय कानून]] और [[वितरण कानून]]ों के साथ संयुक्त। प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या का गुणनात्मक व्युत्क्रम होता है। यह सम्मिश्र संख्याओं को एक ऐसा [[क्षेत्र (गणित)]] बनाता है जिसमें उपक्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएँ होती हैं। सम्मिश्र संख्याएँ भी आयाम दो का एक वास्तविक सदिश स्थान बनाती हैं, साथ में {{math|{{mset|1, ''i''}}}} [[मानक आधार]] के रूप में।
+सम्मिश्र संख्याओं का जोड़, व्यवकलन और गुणा स्वाभाविक रूप से नियम <math>i^{2}=-1</math> को साहचर्य, क्रमविनिमेय और वितरण नियमो के साथ जोड़कर परिभाषित किया जा सकता है।प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या का गुणनात्मक व्युत्क्रम होता है। यह सम्मिश्र संख्याओं को एक [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र (गणित)]] बनाता है जिसमें एक उप-क्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएँ होती है।सम्मिश्र संख्या [[ मानक आधार |मानक आधार]] के रूप में{{math|{{mset|1, ''i''}}}} भी आयाम दो का वास्तविक वेक्टर समष्टि बनाती है।
-यह मानक आधार सम्मिश्र संख्याओं को कार्तीय तल बनाता है, जिसे सम्मिश्र तल कहा जाता है। यह जटिल संख्याओं और उनके संचालन की एक ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देता है, और इसके विपरीत कुछ ज्यामितीय गुणों और निर्माणों को जटिल संख्याओं के रूप में व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ [[वास्तविक रेखा]] बनाती हैं जिसे जटिल तल के क्षैतिज अक्ष से पहचाना जाता है। निरपेक्ष मान की सम्मिश्र संख्याएँ इकाई वृत्त बनाती हैं। जटिल संख्या का जोड़ जटिल विमान में एक [[अनुवाद (ज्यामिति)]] है, और जटिल संख्या से गुणा एक [[समानता (ज्यामिति)]] है जो मूल पर केंद्रित है। वास्तविक अक्ष के संबंध में [[जटिल संयुग्मन]] [[प्रतिबिंब समरूपता]] है। जटिल निरपेक्ष मान एक [[यूक्लिडियन मानदंड]] है।
+यह मानक आधार सम्मिश्र संख्याओं को एक [[ कार्टेशियन विमान |कार्तीय तल]] बनाता है, जिसे सम्मिश्र समतल कहा जाता है। यह सम्मिश्र संख्याओं और उनके संक्रिया की एक ज्यामितीय व्याख्या की स्वीकृति देता है, और इसके विपरीत सम्मिश्र संख्याओं के संदर्भ में कुछ ज्यामितीय गुणों और निर्माणों को व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या [[ वास्तविक रेखा |वास्तविक रेखा]] का निर्माण करती है जिसे सम्मिश्र समतल के क्षैतिज अक्ष के लिए पहचाना जाता है। निरपेक्ष मान की सम्मिश्र संख्या एक [[ एकक व्रत |इकाई वृत्त]] का निर्माण करती है। सम्मिश्र संख्या के अतिरिक्त सम्मिश्र समतल में एक [[ अनुवाद |प्रतिश्रवणिक]] (ज्यामिति) है, और सम्मिश्र संख्या से गुणा मूल में केंद्रित एक [[ समानता (ज्यामिति) |समानता (ज्यामिति)]] है।[[ जटिल संयुग्मन | सम्मिश्र संयुग्मन]] वास्तविक अक्ष के संबंध में [[ प्रतिबिंब समरूपता |प्रतिबिंब समरूपता]] है। सम्मिश्र निरपेक्ष मान एक [[ यूक्लिडियन मानदंड |यूक्लिडियन मानदंड]] है।
-संक्षेप में, जटिल संख्याएं एक समृद्ध संरचना बनाती हैं जो एक साथ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र, वास्तविकताओं पर एक कम्यूटेटिव बीजगणित (संरचना) और आयाम दो का एक [[यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष]] है।
+सारांश में, सम्मिश्र संख्या एक समृद्ध संरचना बनाती है जो एक साथ बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र है, जो वास्तविक पर एक [[ कम्यूटेटिव बीजगणित |क्रमविनिमेय बीजगणित]] (संरचना) है, और आयाम दो का एक [[ यूक्लिडियन वेक्टर स्थान |यूक्लिडियन वेक्टर समष्टि]] है।
 {{TOC limit|3}}
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 == परिभाषा ==
-[[File:Illustration of a complex number.svg|right|thumb|upright=1.05|जटिल संख्या का एक उदाहरण {{math|1=''z'' = ''x'' + ''iy''}} जटिल तल पर। असली हिस्सा है {{mvar|x}}, और इसका काल्पनिक हिस्सा है {{mvar|y}}.]]एक सम्मिश्र संख्या रूप की एक संख्या है {{math|1=''a'' + ''bi''}}, कहां {{mvar|a}} और {{mvar|b}} वास्तविक संख्याएँ हैं, और {{math|''i''}} एक अनिश्चित संतोषजनक है {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}. उदाहरण के लिए, {{math|2 + 3''i''}} एक जटिल संख्या है।<ref>{{cite book|title=कॉलेज अल्जेबरा|url=https://archive.org/details/collegealgebrawi00axle |url-access=limited |last=Axler |first=Sheldon |page=[https://archive.org/details/collegealgebrawi00axle/page/n285 262]|publisher=Wiley|year=2010|isbn=9780470470770 }}</ref>
+[[File:Illustration of a complex number.svg|right|thumb|upright=1.05|सम्मिश्र संख्या का एक चित्रण {{math|1=''z'' = ''x'' + ''iy''}} वास्तविक भाग x है, और इसका काल्पनिक भाग y है।]]सम्मिश्र संख्या a + bi के रूप की एक संख्या होती है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और i एक अनिश्चित संतोषजनक i2 = −1 है। उदाहरण के लिए, 2 + 3i सम्मिश्र संख्या है।<ref>{{cite book|title=कॉलेज अल्जेबरा|url=https://archive.org/details/collegealgebrawi00axle |url-access=limited |last=Axler |first=Sheldon |page=[https://archive.org/details/collegealgebrawi00axle/page/n285 262]|publisher=Wiley|year=2010|isbn=9780470470770 }}</ref>
-इस तरह, एक सम्मिश्र संख्या को एकल अनिश्चित में वास्तविक गुणांक वाले [[बहुपद]] के रूप में परिभाषित किया जाता है {{math|''i''}}, जिसके लिए संबंध {{math|''i''<sup>2</sup> + 1 {{=}} 0}} लगाया जाता है। इस परिभाषा के आधार पर, बहुपदों के योग और गुणन का उपयोग करके जटिल संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। रिश्ता {{math|''i''<sup>2</sup> + 1 {{=}} 0}} समानता को प्रेरित करता है {{math|''i''<sup>4''k''</sup> {{=}} 1, ''i''<sup>4''k''+1</sup> {{=}} ''i'', ''i''<sup>4''k''+2</sup> {{=}} −1,}} और {{math|''i''<sup>4''k''+3</sup> {{=}} −''i'',}} जो सभी पूर्णांकों के लिए है {{mvar|k}}; ये किसी भी बहुपद को कम करने की अनुमति देते हैं जो सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ और गुणा से एक रेखीय बहुपद में परिणामित होता है {{mvar|i}}, फिर से फॉर्म का {{math|1=''a'' + ''bi''}} वास्तविक गुणांक के साथ {{mvar|a, b.}}
+इस तरह, सम्मिश्र संख्या को एकल अनिश्चितता {{math|''i''}} में वास्तविक गुणांक के साथ एक [[ बहुपद |बहुपद]] के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए संबंध {{math|''i''<sup>2</sup> + 1 {{=}} 0}} लगाया जाता है। इस परिभाषा के आधार पर, बहुपद के लिए जोड़ और गुणन का उपयोग करके सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। संबंध {{math|''i''<sup>2</sup> + 1 {{=}} 0}} समानता {{math|''i''<sup>4''k''</sup> {{=}} 1, ''i''<sup>4''k''+1</sup> {{=}} ''i'', ''i''<sup>4''k''+2</sup> {{=}} −1,}} और {{math|''i''<sup>4''k''+3</sup> {{=}} −''i''}} को प्रेरित करता है, जो सभी पूर्णांक {{mvar|k}} के लिए मान्य है; ये किसी भी बहुपद को कम करने की स्वीकृति देते हैं जो {{mvar|i}} सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ और गुणन से एक रैखिक बहुपद के रूप में फिर से {{math|1=''a'' + ''bi''}} वास्तविक गुणांक {{mvar|a, b}} के साथ होता है।
-वास्तविक संख्या {{mvar|a}} सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाता है {{math|''a'' + ''bi''}}; वास्तविक संख्या {{mvar|b}} उसका काल्पनिक भाग कहलाता है। जोर देने के लिए, काल्पनिक भाग में एक कारक शामिल नहीं होता है {{mvar|i}}; वह है, काल्पनिक हिस्सा है {{mvar|b}}, नहीं {{math|''bi''}}.<ref>{{cite book |last1=Spiegel |first1= M.R. |last2=Lipschutz |first2= S. |last3= Schiller |first3= J.J. |last4=Spellman |first4=D. |title= जटिल चर|edition=2nd |series=Schaum's Outline Series |publisher= McGraw Hill |isbn= 978-0-07-161569-3|date= 14 April 2009 }}</ref><ref>{{cite book |title=कॉलेज बीजगणित और त्रिकोणमिति|edition=6 |first1=Richard N. |last1=Aufmann |first2=Vernon C. |last2=Barker |first3=Richard D. |last3=Nation |publisher=Cengage Learning |year=2007 |isbn=978-0-618-82515-8 |page=66 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 |chapter=Chapter P}}</ref>
-औपचारिक रूप से, जटिल संख्याओं को अनिश्चित काल में बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है {{math|''i''}}, बहुपद द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) द्वारा {{math|''i''<sup>2</sup> + 1}} (#Construction को भागफल क्षेत्र के रूप में देखें)।<ref name= Bourbaki 1998 loc=§VIII.1>{{harvnb|Bourbaki|1998|loc=§VIII.1}}</रेफरी>
-== नोटेशन ==
+वास्तविक संख्या {{mvar|a}} सम्मिश्र संख्या का {{math|''a'' + ''bi''}} वास्तविक भाग कहा जाता है; वास्तविक संख्या {{mvar|b}} इसका काल्पनिक भाग कहलाती है। जोर देने के लिए, काल्पनिक भाग में एक कारक {{mvar|i}} सम्मिलित नहीं है;अर्थात्, काल्पनिक भाग {{mvar|b}}, नहीं {{math|''bi''}} है। <ref>{{cite book |last1=Spiegel |first1= M.R. |last2=Lipschutz |first2= S. |last3= Schiller |first3= J.J. |last4=Spellman |first4=D. |title= जटिल चर|edition=2nd |series=Schaum's Outline Series |publisher= McGraw Hill |isbn= 978-0-07-161569-3|date= 14 April 2009 }}</ref><ref>{{cite book |title=कॉलेज बीजगणित और त्रिकोणमिति|edition=6 |first1=Richard N. |last1=Aufmann |first2=Vernon C. |last2=Barker |first3=Richard D. |last3=Nation |publisher=Cengage Learning |year=2007 |isbn=978-0-618-82515-8 |page=66 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 |chapter=Chapter P}}</ref>
-एक वास्तविक संख्या {{mvar|a}} एक जटिल संख्या के रूप में माना जा सकता है {{math|''a'' + 0''i''}}, जिसका काल्पनिक भाग 0. एक विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या है {{math|''bi''}} एक जटिल संख्या है {{math|0 + ''bi''}}, जिसका वास्तविक भाग शून्य है। जैसा कि बहुपदों के साथ होता है, लिखना सामान्य है {{mvar|a}} के लिए {{math|''a'' + 0''i''}} और {{math|''bi''}} के लिए {{math|0 + ''bi''}}. इसके अलावा, जब काल्पनिक भाग नकारात्मक होता है, अर्थात, {{math|1=''b'' = −''{{!}}b{{!}}'' < 0}}, लिखना आम बात है {{math|''a'' − ''{{!}}b{{!}}i''}} के बजाय {{math|''a'' + (−''{{!}}b{{!}}'')''i''}}; उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''b'' = −4}}, {{math|3 − 4''i''}} की जगह लिखा जा सकता है {{math|3 + (−4)''i''}}.
+औपचारिक रूप से, सम्मिश्र संख्याओं को बहुपद, {{math|''i''<sup>2</sup> + 1}} (नीचे देखें) द्वारा उत्पन्न मानक (वलय सिद्धांत) द्वारा अनिश्चित {{math|''i''}} में बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है।{{harvnb|Bourbaki|1998|loc=§VIII.1}}<nowiki></ref></nowiki>
-अनिश्चित के गुणन के बाद से {{math|''i''}} और एक वास्तविक बहुपद में वास्तविक गुणांक, बहुपद के साथ क्रमविनिमेय है {{math|''a'' + ''bi''}} रूप में लिखा जा सकता है {{math|''a'' + ''ib''.}} यह अक्सर भावों द्वारा निरूपित काल्पनिक भागों के लिए समीचीन होता है, उदाहरण के लिए, जब {{mvar|b}} एक कट्टरपंथी है।{{sfn|Ahlfors|1979}}
+== संकेतन ==
-एक सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग {{mvar|z}} द्वारा निरूपित किया जाता है {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math>, या <math>\mathfrak{R}(z)</math>; एक जटिल संख्या का काल्पनिक हिस्सा {{mvar|z}} द्वारा निरूपित किया जाता है {{math|Im(''z'')}}, <math>\mathcal{Im}(z)</math>, या <math>\mathfrak{I}(z).</math> उदाहरण के लिए,
-<math display=block>  \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 \quad \text{ and } \quad  \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3~.</math>
-सभी सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय (गणित) को किसके द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\Complex</math> ([[ब्लैकबोर्ड बोल्ड]]) या {{math|'''C'''}} (सीधा बोल्ड)।
-कुछ विषयों में, विशेष रूप से [[विद्युत]] चुंबकत्व और [[विद्युत अभियन्त्रण]] में, {{mvar|j}} की जगह प्रयोग किया जाता है {{mvar|i}} जैसा {{mvar|i}} अक्सर [[विद्युत प्रवाह]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है।<ref>{{cite book |last1=Brown |first1=James Ward |last2=Churchill |first2=Ruel V. |title=जटिल चर और अनुप्रयोग|year=1996 |publisher=McGraw-Hill |location=New York |isbn=978-0-07-912147-9 |edition=6th |page=2 |quote=विद्युत अभियांत्रिकी में, ''i'' के स्थान पर ''j'' अक्षर का प्रयोग किया जाता है।}}</ref> इन मामलों में, सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार लिखी जाती हैं {{math|''a'' + ''bj''}}, या {{math|''a'' + ''jb''}}.
+वास्तविक संख्या {{mvar|a}} सम्मिश्र संख्या {{math|''a'' + 0''i''}} के रूप में माना जा सकता है जिसका काल्पनिक भाग 0 है। विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या {{math|''bi''}} सम्मिश्र संख्या {{math|0 + ''bi''}}, है, जिसका वास्तविक भाग शून्य है। बहुपदों की तरह {{math|''a'' + 0''i''}} के लिए a और {{math|0 + ''bi''}} के लिए {{math|''bi''}} लिखना सामान्य है।
-== विज़ुअलाइज़ेशन ==
+इसके अतिरिक्त, जब काल्पनिक भाग ऋणात्मक होता है, अर्थात्, {{math|1=''b'' = −''{{!}}b{{!}}'' < 0}}, के अतिरिक्त {{math|''a'' − ''{{!}}b{{!}}i''}} के अतिरिक्त {{math|''a'' + (−''{{!}}b{{!}}'')''i''}} लिखना सामान्य है; उदाहरण के लिए, {{math|1=''b'' = −4}} के लिए {{math|3 − 4''i''}} के स्थान पर {{math|3 + (−4)''i''}} लिखा जा सकता है।
-{{Main|Complex plane}}
-[[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|एक जटिल संख्या {{mvar|z}}, एक बिंदु (काला) और इसकी स्थिति वेक्टर (नीला) के रूप में]]एक जटिल संख्या {{mvar|z}} इस प्रकार एक आदेशित जोड़ी के साथ पहचाना जा सकता है <math>(\Re (z),\Im (z))</math> वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें बदले में द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। सबसे तात्कालिक स्थान यूक्लिडियन विमान उपयुक्त निर्देशांक के साथ है, जिसे तब जटिल विमान या अरगंड आरेख कहा जाता है,<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=ज्यामिति: एक व्यापक पाठ्यक्रम|publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref>{{efn| {{harvnb|Solomentsev|2001}}: "The plane <math>\R^2</math> whose points are identified with the elements of <math>\Complex</math> is called the complex plane&nbsp;... The complete geometric interpretation of complex numbers and operations on them appeared first in the work of C. Wessel (1799). The geometric representation of complex numbers, sometimes called the 'Argand diagram', came into use after the publication in 1806 and 1814 of papers by J.R. Argand, who rediscovered, largely independently, the findings of Wessel".}}<ref name=":2">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=जटिल संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html |access-date=2020-08-12 |website=mathworld.wolfram.com}}</ref> [[जीन-रॉबर्ट अरगंड]] के नाम पर। एक अन्य प्रमुख स्थान जिस पर निर्देशांक प्रक्षेपित किए जा सकते हैं, वह एक गोले की द्वि-आयामी सतह है, जिसे तब [[रीमैन क्षेत्र]] कहा जाता है।
-=== कार्तीय जटिल तल ===
+चूँकि अनिश्चित {{math|''i''}} और a वास्तविक का गुणन वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों में क्रमविनिमेय होता है, इसलिए बहुपद {{math|''a'' + ''bi''}} को {{math|''a'' + ''ib''}} के रूप में लिखा जा सकता है। यह प्रायः पदों द्वारा निरूपित काल्पनिक भागों के लिए उपयुक्त होता है, उदाहरण के लिए, जब {{mvar|b}} एक मूलांक है।{{sfn|Ahlfors|1979}}
-जटिल संख्याओं की परिभाषा जिसमें दो मनमाने वास्तविक मूल्य शामिल हैं, तुरंत जटिल विमान में कार्टेशियन निर्देशांक के उपयोग का सुझाव देते हैं। क्षैतिज (वास्तविक) अक्ष का उपयोग आम तौर पर वास्तविक भाग को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, बढ़ते मूल्यों के साथ दाईं ओर, और काल्पनिक भाग ऊर्ध्वाधर (काल्पनिक) अक्ष को चिह्नित करता है, बढ़ते मूल्यों के साथ ऊपर की ओर।
-एक चार्टेड संख्या या तो विक्ट के रूप में देखी जा सकती है: समन्वय बिंदु या मूल से इस बिंदु तक एक [[वेक्टर (ज्यामितीय)]] के रूप में। एक सम्मिश्र संख्या के निर्देशांक मान {{mvar|z}} इसलिए इसके कार्टेशियन, आयताकार, या बीजगणितीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग {{mvar|z}} या {{math|Re(''z'')}}, <math>\mathcal{Re}(z)</math>, या <math>\mathfrak{R}(z)</math>; सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग {{mvar|z}} या {{math|Im(''z'')}}, <math>\mathcal{Im}(z)</math>, या <math>\mathfrak{I}(z)</math> द्वारा निरूपित किया गया है। उदाहरण के लिए,
+<math display="block">  \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 \quad \text{ and } \quad  \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3~.</math>
+सभी सम्मिश्र संख्याओं का [[ सेट (गणित) |समुच्चय (गणित)]] द्वारा निरूपित किया गया है <math>\Complex</math> ([[ ब्लैकबोर्ड बोल्ड | ब्लैकबोर्ड बोल्ड]] ) या {{math|'''C'''}} (सीधा बोल्ड) द्वारा निरूपित किया जाता है।।
-विशेष रूप से, जोड़ और गुणन के संचालन एक बहुत ही प्राकृतिक ज्यामितीय चरित्र पर ले जाते हैं, जब जटिल संख्याओं को स्थिति वैक्टर के रूप में देखा जाता है: जोड़ यूक्लिडियन वेक्टर #जोड़ और घटाव से मेल खाता है, जबकि गुणन (ध्रुवीय रूप में #गुणा और विभाजन देखें) गुणन से मेल खाता है उनके परिमाण और उनके द्वारा वास्तविक अक्ष के साथ बनाए गए कोणों को जोड़ना। इस तरह से देखने पर, एक सम्मिश्र संख्या का गुणा द्वारा {{math|''i''}} मूल के बारे में एक चौथाई [[मोड़ (ज्यामिति)]] (समकोण | 90 °) द्वारा स्थिति सदिश [[अभिविन्यास (ज्यामिति)]] को घुमाने के अनुरूप है - एक तथ्य जिसे बीजगणितीय रूप से निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
+कुछ विषयों में, विशेष रूप से विद्युतचुम्बकत्व और[[ विद्युत | विद्युत]] अभियन्त्रण में, {{mvar|j}} के अतिरिक्त {{mvar|i}} का उपयोग किया जाता है क्योंकि {{mvar|i}} का प्रायः [[ विद्युत प्रवाह |विद्युत प्रवाह]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite book |last1=Brown |first1=James Ward |last2=Churchill |first2=Ruel V. |title=जटिल चर और अनुप्रयोग|year=1996 |publisher=McGraw-Hill |location=New York |isbn=978-0-07-912147-9 |edition=6th |page=2 |quote=इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, '' j '' अक्षर का उपयोग '' i '' के बजाय किया जाता है।}}} </ref> इन स्थितियों में, सम्मिश्र संख्याओं को {{math|''a'' + ''bj''}}, या {{math|''a'' + ''jb''}} लिखा जाता है।
+== आभासीकरण ==
+{{Main|सम्मिश्र तल}}
+[[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}}, एक बिंदु (काला) और इसकी स्थिति वेक्टर (नीला) के रूप में]]इस प्रकार सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} को वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म <math>(\Re (z),\Im (z))</math> से पहचाना जा सकता है। वास्तविक संख्याओं में से, जिसे बदले में दो आयामी समष्टि में बिंदु के निर्देशांक के रूप में व्याख्या की जा सकती है। सबसे तत्काल समष्टि उपयुक्त निर्देशांक के साथ यूक्लिडियन तल है, जिसे तब सम्मिश्र समतल या आर्गन आरेख कहा जाता है,<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=ज्यामिति: एक व्यापक पाठ्यक्रम|publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref>{{efn| {{harvnb|Solomentsev|2001}}: "The plane <math>\R^2</math> whose points are identified with the elements of <math>\Complex</math> is called the complex plane&nbsp;... The complete geometric interpretation of complex numbers and operations on them appeared first in the work of C. Wessel (1799). The geometric representation of complex numbers, sometimes called the 'Argand diagram', came into use after the publication in 1806 and 1814 of papers by J.R. Argand, who rediscovered, largely independently, the findings of Wessel".}}<ref name=":2">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=जटिल संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html |access-date=2020-08-12 |website=mathworld.wolfram.com}}</ref> जिसका नाम जीन-रॉबर्ट अरगंड के नाम पर रखा गया है। एक अन्य प्रमुख समष्टि जिस पर निर्देशांक प्रक्षेपित किए जा सकते हैं, वह एक वृत्त की द्वि-आयामी सतह है, जिसे तब रीमैन क्षेत्र कहा जाता है।
+=== कार्तीय सम्मिश्र समतल ===
+दो यादृच्छिक वास्तविक मानो को सम्मिलित करने वाली सम्मिश्र संख्याओं की परिभाषा तुरंत सम्मिश्र समतल में कार्तीय निर्देशांक के उपयोग का सुझाव देती है। क्षैतिज (वास्तविक) अक्ष का उपयोग सामान्य रूप से वास्तविक भाग को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, दाईं ओर बढ़ते मानो के साथ, और काल्पनिक भाग ऊर्ध्वाधर (काल्पनिक) अक्ष को चिह्नित करता है, जिसमें मानो को ऊपर की ओर बढ़ाता है।
+रेखा-चित्र संख्या या तो समन्वित बिंदु के रूप में या मूल से इस बिंदु तक स्थिति [[ वेक्टर (ज्यामितीय) |वेक्टर (ज्यामितीय)]] के रूप में देखी जा सकती है। सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} के निर्देशांक मान इसके कार्तीय, आयताकार या बीजगणितीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+विशेष रूप से, जोड़ और गुणन के संक्रिया एक बहुत ही प्राकृतिक ज्यामितीय वर्ण पर ले जाते हैं, जब सम्मिश्र संख्याओं को स्थिति वैक्टर के रूप में देखा जाता है: इसके अतिरिक्त यूक्लिडियन वेक्टर जोड़ और व्यवकलन से अनुरूप है, जबकि गुणन (नीचे देखें) उनके परिमाण को गुणा करने और वास्तविक अक्ष के साथ उनके द्वारा बनाए गए कोणों को जोड़ने से अनुरूप है। इस तरह से देखने पर, {{math|''i''}} द्वारा सम्मिश्र संख्या का गुणा मूल के बारे में एक चौथाई मोड़ (90°) द्वारा स्थिति वेक्टर वामावर्त को घुमाने के अनुरूप होता है - एक तथ्य जिसे बीजगणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है
 <math display=block>(a + bi)\cdot i = ai + b(i)^2 = -b + ai .</math>
-===ध्रुवीय जटिल विमान {{anchor|Polar form}}=== <!-- [[Nth root]] links to this section -->
+=== ध्रुवीय सम्मिश्र समतल ===
-{{Main|Polar coordinate system}}
+{{Main|ध्रुवीय समन्वय प्रणाली}}
-{{Redirect|Polar form|the higher-dimensional analogue|Polar decomposition}}
-[[File:Complex number illustration modarg.svg|right|thumb|बहस {{mvar|φ}} और मापांक {{mvar|r}} जटिल विमान में एक बिंदु का पता लगाएं।]]
+''"ध्रुवीय रूप" यहां पुनर्निर्देश करता है। उच्च-आयामी अनुरूप के लिए, ध्रुवीय अपघटन देखें।''[[File:Complex number illustration modarg.svg|right|thumb|तर्क φ और मापांक r सम्मिश्र तल में एक बिंदु का पता लगाते हैं।]]
 ==== मापांक और तर्क ====
-जटिल तल में निर्देशांक के लिए एक वैकल्पिक विकल्प [[ध्रुवीय समन्वय प्रणाली]] है जो बिंदु की दूरी का उपयोग करती है {{mvar|z}} उत्पत्ति से (गणित) ({{mvar|O}}), और धनात्मक वास्तविक अक्ष और रेखा खंड के बीच अंतरित कोण {{mvar|Oz}} वामावर्त अर्थ में। यह ध्रुवीय रूप की ओर जाता है
+सम्मिश्र समतल में निर्देशांक के लिए एक वैकल्पिक विकल्प ध्रुवीय समन्वय प्रणाली है जो [[ मूल (गणित) |मूल (गणित) ({{mvar|O}})]] से बिंदु {{mvar|z}} की दूरी का उपयोग करता है, और कोण [[ सकारात्मक वास्तविक अक्ष |धनात्मक वास्तविक अक्ष]] और रेखा-खंड {{mvar|Oz}} के बीच एक वामावर्त अर्थ में अंतरित कोण का उपयोग करता है। यह ध्रुवीय रूप की ओर जाता है
 :<math>z=re^{i\varphi}=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) </math>
-एक सम्मिश्र संख्या का, जहाँ {{mvar|r}} का परम मूल्य है {{mvar|z}}, और <math>\varphi</math> का [[तर्क (जटिल विश्लेषण)]] है {{mvar|z}}.
+सम्मिश्र संख्या का, जहां {{mvar|r}}, {{mvar|z}} का निरपेक्ष मान है, और <math>\varphi</math>, {{mvar|z}} का [[ तर्क (जटिल विश्लेषण) |तर्क (सम्मिश्र विश्लेषण)]] है ।
-किसी सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान (या मापांक या परिमाण)। {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} है{{sfn|Apostol|1981|p=18}}
+सम्मिश्र संख्या {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} का निरपेक्ष मान (या मापांक या परिमाण) है।{{sfn|Apostol|1981|p=18}}
 <math display=block>r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math>
-यदि {{mvar|z}} एक वास्तविक संख्या है (अर्थात, यदि {{math|1=''y'' = 0}}), तब {{math|1=''r'' = {{!}}''x''{{!}}}}. अर्थात्, एक वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान एक सम्मिश्र संख्या के रूप में उसके निरपेक्ष मान के बराबर होता है।
+यदि {{mvar|z}} वास्तविक संख्या (अर्थात, यदि {{math|1=''y'' = 0}}), तब {{math|1=''r'' = {{!}}''x''{{!}}}} है। अर्थात्, वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान सम्मिश्र संख्या के रूप में इसके निरपेक्ष मान के बराबर है।
-पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान सम्मिश्र तल में सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु की उत्पत्ति की दूरी है।
+पाइथागोरस के प्रमेय द्वारा, सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान सम्मिश्र समतल में सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु की उत्पत्ति की दूरी है।
-का तर्क {{mvar|z}} (कई अनुप्रयोगों में चरण के रूप में जाना जाता है {{mvar|φ}})<ref name=":2" />त्रिज्या का कोण है {{mvar|Oz}} सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ, और के रूप में लिखा है {{math|arg ''z''}}. मापांक की तरह, तर्क को आयताकार रूप से पाया जा सकता है {{mvar|x + yi}}<ref>{{cite book
+{{mvar|z}} का तर्क ( कई अनुप्रयोगों में {{mvar|φ}} चरण के रूप में संदर्भित)<ref name=":2" /> धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ {{mvar|Oz}} त्रिज्या का कोण है, और के रूप में लिखा गया है और इसे {{math|arg ''z''}}के रूप में लिखा जाता है। मापांक के साथ, तर्क को आयताकार रूप {{mvar|x + yi}}<ref>{{cite book
 |title=जटिल चर: सिद्धांत और अनुप्रयोग|edition=2nd
 |chapter=Chapter 1
@@ Line 73: / Line 74: @@
 |isbn=978-81-203-2641-5
 |page=14
-|chapter-url=https://books.google.com/books?id=rFhiJqkrALIC&pg=PA14}}</ref>- काल्पनिक-दर-वास्तविक भागों के भागफल के व्युत्क्रम स्पर्शरेखा को लागू करके। अर्ध-कोण पहचान का उपयोग करके, आर्कटान की एक शाखा सीमा को कवर करने के लिए पर्याप्त होती है {{open-closed|−''π'', ''π''}} की {{math|arg}}-फ़ंक्शन, और अधिक सूक्ष्म केस-बाय-केस विश्लेषण से बचा जाता है
+|chapter-url=https://books.google.com/books?id=rFhiJqkrALIC&pg=PA14}}</ref> से काल्पनिक-दर-वास्तविक भागों के भागफल के व्युत्क्रम स्पर्शरेखा को प्रयुक्त करके पाया जा सकता है। आधा-कोण सर्वसमिका का उपयोग करके, आर्कटन की एकल शाखा {{math|arg}}-फलन की सीमा {{open-closed|−''π'', ''π''}} को आच्छादन करने के लिए पर्याप्त है, और अधिक सूक्ष्म स्थिति-दर-स्थिति विश्लेषण से बचाती है
 <math display=block>\varphi = \arg (x+yi) = \begin{cases}
@@ Line 80: / Line 81: @@
     \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0.
   \end{cases}</math>
-आम तौर पर, जैसा कि ऊपर दिया गया है, अंतराल में मुख्य मूल्य {{open-closed|−{{mvar|π}}, {{mvar|π}}}} चुना जाता है। यदि तर्क मान ऋणात्मक है, तो श्रेणी में मान {{open-closed|−{{mvar|π}}, {{mvar|π}}}} या {{closed-open|0, 2{{mvar|π}}}} जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है {{math|2''π''}}.<!--don't change this into π. Doing so produces *another* complex number.--> का मूल्य {{mvar|φ}} इस आलेख में [[कांति]] में व्यक्त किया गया है। यह किसी भी पूर्णांक गुणक से बढ़ सकता है {{math|2''π''}} और अभी भी वही कोण देते हैं, जिसे सकारात्मक वास्तविक अक्ष की किरणों द्वारा और मूल से के माध्यम से अंतरित के रूप में देखा जाता है {{mvar|z}}. इसलिए, आर्ग फ़ंक्शन को कभी-कभी बहुविकल्पीय फ़ंक्शन माना जाता है। सम्मिश्र संख्या 0 के लिए ध्रुवीय कोण अनिश्चित है, लेकिन ध्रुवीय कोण 0 का मनमाना चयन आम है।
+सामान्य रूप से, जैसा कि ऊपर दिया गया है, अंतराल {{open-closed|−{{mvar|π}}, {{mvar|π}}}} में मुख्य मान चयन किया जाता है। यदि तर्क मान ऋणात्मक है, तो श्रेणी {{open-closed|−{{mvar|π}}, {{mvar|π}}}} या {{closed-open|0, 2{{mvar|π}}}} में मान {{math|2''π''}} जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। इस लेख में {{mvar|φ}} का मान रेडियन में व्यक्त किया गया है। यह {{math|2''π''}} के किसी भी पूर्णांक गुणक से बढ़ सकता है और फिर भी वही कोण दे सकता है, जो धनात्मक वास्तविक अक्ष की किरणों द्वारा और मूल से {{mvar|z}} के माध्यम से अंतरित रूप में देखा जाता है। इसलिए आर्ग फलन को कभी-कभी बहु-मान माना जाता है। सम्मिश्र संख्या 0 के लिए ध्रुवीय कोण अनिश्चित है, लेकिन ध्रुवीय कोण 0 का एकपक्षीय विकल्प सामान्य है।
-का मूल्य {{mvar|φ}} [[atan2]] के परिणाम के बराबर है:
+φ का मान atan2 के परिणाम के बराबर है:
 <math display=block>\varphi = \operatorname{atan2}\left(\operatorname{Im}(z),\operatorname{Re}(z) \right).</math>
-साथ में, {{mvar|r}} और {{mvar|φ}} जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका, ध्रुवीय रूप दें, क्योंकि मॉड्यूलस और तर्क का संयोजन पूरी तरह से विमान पर एक बिंदु की स्थिति निर्दिष्ट करता है। मूल आयताकार निर्देशांक को ध्रुवीय रूप से पुनर्प्राप्त करना त्रिकोणमितीय रूप नामक सूत्र द्वारा किया जाता है
+साथ में, {{mvar|r}} और {{mvar|φ}} सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका दें, ध्रुवीय रूप, मापांक और तर्क के संयोजन के रूप में तल पर एक बिंदु की स्थिति को पूरी तरह से निर्दिष्ट करें। मूल आयताकार निर्देशांक को ध्रुवीय रूप से पुनर्प्राप्त करना त्रिकोणमितीय रूप नामक सूत्र द्वारा किया जाता है
 <math display=block> z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).</math>
-यूलर के सूत्र का उपयोग करके इसे इस रूप में लिखा जा सकता है
+यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए इसे लिखा जा सकता है
 <math display=block>z = r e^{i \varphi} \text{ or } z = r \exp i \varphi.</math>
-का उपयोग {{math|[[Cis (mathematics)|cis]]}} कार्य, इसे कभी-कभी संक्षिप्त किया जाता है
+{{math|[[Cis (mathematics)|cis]]}} फलन का उपयोग करते हुए, यह कभी -कभी संक्षिप्त किया जाता है
 <math display=block> z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi. </math>
-कोण संकेतन में, आयाम के साथ फेजर (साइन तरंगों) का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्सर [[इलेक्ट्रानिक्स]] में उपयोग किया जाता है {{mvar|r}} और चरण {{mvar|φ}}, के रूप में लिखा जाता है<ref>
+कोण संकेतन में, प्रायः [[ इलेक्ट्रानिक्स |इलेक्ट्रानिक्स]] में {{mvar|r}} और चरण {{mvar|φ}} एक चरण (साइन तरंगों) का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसे इस रूप में लिखा है<ref>
 {{cite book
   |first1=James William |last1=Nilsson
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-=== जटिल रेखांकन ===
+=== सम्मिश्र रेखांकन ===
-{{main|Domain coloring}}
+{{main|प्रक्षेत्र रंग}}
-[[File:Complex-plot.png|right|thumb|अभिव्यक्ति का एक रंग पहिया ग्राफ
+[[File:Complex-plot.png|right|thumb|पद का रंग-चक्र ग्राफ{{math|{{sfrac|(''z''<sup>2</sup> − 1)(''z'' − 2 − ''i'')<sup>2</sup>|''z''<sup>2</sup> + 2 + 2''i''}}}}]][[ जटिल विश्लेषण | सम्मिश्र विश्लेषण]] की कल्पना करते समय, सम्मिश्र इनपुट और आउटपुट दोनों की आवश्यकता होती है। क्योंकि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को दो आयामों में दर्शाया जाता है, दृष्टिगत रूप से सम्मिश्र फलन को रेखांकन करने के लिए [[ चार आयामी स्थान |चार आयामी समष्टि]] की धारणा की आवश्यकता होगी, जो केवल अनुमानों में संभव है। इस कारण से, सम्मिश्र फलनों को देखने के अन्य तरीकों को डिजाइन किया गया है।
-{{math|{{sfrac|(''z''<sup>2</sup> − 1)(''z'' − 2 − ''i'')<sup>2</sup>|''z''<sup>2</sup> + 2 + 2''i''}}}}]][[जटिल विश्लेषण]] की कल्पना करते समय, एक जटिल इनपुट और आउटपुट दोनों की आवश्यकता होती है। क्योंकि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को दो आयामों में दर्शाया जाता है, एक जटिल कार्य को नेत्रहीन रेखांकन करने के लिए [[चार आयामी स्थान]] की धारणा की आवश्यकता होती है, जो केवल अनुमानों में संभव है। इस वजह से, जटिल कार्यों को देखने के अन्य तरीके डिजाइन किए गए हैं।
-[[डोमेन रंग]] में आउटपुट आयाम क्रमशः रंग और चमक द्वारा दर्शाए जाते हैं। डोमेन के रूप में जटिल विमान में प्रत्येक बिंदु अलंकृत है, आमतौर पर जटिल संख्या के तर्क का प्रतिनिधित्व करने वाले रंग के साथ, और परिमाण का प्रतिनिधित्व करने वाली चमक। डार्क स्पॉट मोडुली को शून्य के करीब चिह्नित करते हैं, चमकीले धब्बे मूल से दूर होते हैं, ग्रेडेशन बंद हो सकता है, लेकिन इसे नीरस माना जाता है। रंग अक्सर चरणों में भिन्न होते हैं {{sfrac|{{pi}}|3}} के लिए {{math|0}} को {{math|2{{pi}}}} लाल, पीला, हरा, सियान, नीला, मैजेंटा से। इन भूखंडों को डोमेन कलरिंग कहा जाता है। यह जानकारी खोए बिना कार्यों की कल्पना करने का एक आसान तरीका प्रदान करता है। चित्र के लिए शून्य दिखाता है {{math|±1, (2 + ''i'')}} और डंडे पर <math>\pm \sqrt{{-2-2i}}.</math>
+[[ डोमेन रंग | प्रक्षेत्र रंग]] में आउटपुट आयामों को क्रमशः रंग और चमक द्वारा दर्शाया जाता है। प्रक्षेत्र के रूप में सम्मिश्र समतल में प्रत्येक बिंदु सामान्य रूप से सम्मिश्र संख्या के तर्क का प्रतिनिधित्व करने वाले रंग और परिमाण का प्रतिनिधित्व करने वाली चमक के साथ अलंकृत होता है। अदीप्‍त बिन्दु मोडुली को शून्य के समीप चिह्नित करते हैं, चमकीले बिन्दु मूल से दूर होते हैं, अतः कोटि निर्धारण असंतत हो सकता है, लेकिन इसे एकल माना जाता है। लाल, पीले, हरे, सियान, नीले, मैजेंटा से {{sfrac|{{pi}}|3}} के लिए {{math|0}} को {{math|2{{pi}}}} के चरणों में भिन्न होते हैं।इन क्षेत्रो को प्रक्षेत्र रंग कहा जाता है। यह जानकारी नष्ट किए बिना फलनों की कल्पना करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है। चित्र में {{math|±1, (2 + ''i'')}} के लिए शून्य और <math>\pm \sqrt{{-2-2i}}</math> पर ध्रुवों को दिखाया गया है।
 == इतिहास ==
-{{See also|Negative number#History}}
+{{See also|ऋणात्मक संख्या § इतिहास}}
-एक सामान्य [[घन समीकरण]] के nवें मूल ([[त्रिकोणमितीय कार्य]]ों के बिना) में समाधान, जब इसकी तीनों जड़ें वास्तविक संख्याएँ होती हैं, तो ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल होते हैं, ऐसी स्थिति जिसे परिमेय मूल परीक्षण द्वारा सहायता प्राप्त गुणनखण्ड द्वारा ठीक नहीं किया जा सकता है, यदि घन [[अलघुकरणीय बहुपद]] है; यह तथाकथित [[एक अपरिवर्तनीय मौका]] (इर्रेड्यूसिबिल केस) है। इस पहेली ने इतालवी गणितज्ञ [[जेरोम कार्डानो]] को 1545 के आसपास अपनी एर्स मैग्ना में जटिल संख्याओं की कल्पना करने के लिए प्रेरित किया।<ref>{{cite book|first=Morris |last= Kline|title=गणितीय विचार का इतिहास, खंड 1|page=253}}</ref> हालाँकि उनकी समझ अल्पविकसित थी; इसके अलावा उन्होंने बाद में सम्मिश्र संख्याओं को सूक्ष्म कहकर खारिज कर दिया क्योंकि वे अनुपयोगी हैं।<ref>{{Cite book|last=Jurij.|first=Kovič|url=http://worldcat.org/oclc/1080410598|title=ट्रिस्टन नीधम, विज़ुअल कॉम्प्लेक्स एनालिसिस, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस इंक।, न्यूयॉर्क, 1998, 592 स्ट्रानी|oclc=1080410598}}</ref> कार्डानो ने काल्पनिक संख्याओं का उपयोग किया, लेकिन उन्हें "मानसिक यातना" के रूप में वर्णित किया। <ref>O’Connor and Robertson (2016), “Girolamo Cardano.”</ref> यह ग्राफिकल कॉम्प्लेक्स प्लेन के उपयोग से पहले था। कार्डानो और अन्य इतालवी गणितज्ञों, विशेष रूप से [[स्किपियो डेल फेरो]] ने 1500 के दशक में क्यूबिक समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म बनाया, जिसमें आम तौर पर एक वास्तविक समाधान और एक काल्पनिक संख्या वाले दो समाधान होते थे। चूँकि उन्होंने काल्पनिक संख्याओं वाले उत्तरों को नज़रअंदाज़ कर दिया, इसलिए कार्डानो ने उन्हें बेकार पाया।<ref>Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √-1. Princeton: Princeton University Press, 1998.</ref>
-सामान्य बहुपदों की समस्या पर काम अंततः बीजगणित के मौलिक प्रमेय का नेतृत्व करता है, जो दर्शाता है कि जटिल संख्याओं के साथ, एक या उच्चतर डिग्री के प्रत्येक बहुपद समीकरण के लिए एक समाधान मौजूद है। सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र बनाती हैं, जहाँ किसी भी बहुपद समीकरण में एक फलन का मूल होता है।
-कई गणितज्ञों ने जटिल संख्याओं के विकास में योगदान दिया। जटिल संख्याओं के जोड़, घटाव, गुणा और मूल निकालने के नियम इतालवी गणितज्ञ [[राफेल बॉम्बेली]] द्वारा विकसित किए गए थे।<ref>{{cite book |last1=Katz |first1=Victor J. |title=गणित का इतिहास, संक्षिप्त संस्करण|section= 9.1.4 |publisher=[[Addison-Wesley]] |isbn=978-0-321-16193-2 |year=2004}}</ref> आयरिश गणितज्ञ [[विलियम रोवन हैमिल्टन]] द्वारा जटिल संख्याओं के लिए एक अधिक अमूर्त औपचारिकता को और विकसित किया गया, जिन्होंने इस अमूर्तता को चतुष्कोणों के सिद्धांत तक बढ़ाया।<ref>{{cite journal |last1=Hamilton |first1=Wm. |title=चतुष्कोणों के सिद्धांत से जुड़ी काल्पनिक मात्राओं की एक नई प्रजाति पर|journal=Proceedings of the Royal Irish Academy |date=1844 |volume=2 |pages=424–434 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=njp.32101040410779&view=1up&seq=454}}</ref>
+सामान्य घन समीकरण के मूलांक (त्रिकोणमितीय फलनों के बिना) में समाधान, जब इसकी तीनों मूल वास्तविक संख्याएँ होती हैं, तो ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल होते हैं, ऐसी स्थिति जिसे तर्कसंगत मूल परीक्षण द्वारा सहायता प्राप्त कारक द्वारा सही नहीं किया जा सकता है, यदि घन अलघुकरणीय है; यह तथाकथित अनुबंधित अलघुकरणीय (" अलघुकरणीय स्थिति") है। इस पहेली ने इतालवी गणितज्ञ गेरोलामो कार्डानो को 1545 के आसपास अपनी एर्स मैग्ना में सम्मिश्र संख्याओं की कल्पना करने के लिए प्रेरित किया,<ref>{{cite book|first=Morris |last= Kline|title=गणितीय विचार का इतिहास, खंड 1|page=253}}</ref> हालांकि उनकी समझ अल्पविकसित थी; इसके अतिरिक्त उन्होंने बाद में सम्मिश्र संख्याओं को स्थिर रूप से अस्वीकार कर दिया क्योंकि वे अनुपयोगी हैं।<ref>{{Cite book|last=Jurij.|first=Kovič|url=http://worldcat.org/oclc/1080410598|title=ट्रिस्टन नीडम, विजुअल कॉम्प्लेक्स एनालिसिस, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस इंक।, न्यूयॉर्क, 1998, 592 स्ट्रानी|oclc=1080410598}}</ref> कार्डानो ने काल्पनिक संख्याओं का उपयोग किया, लेकिन उन्हें "मानसिक यंत्रणा" के रूप में उपयोग किया गया। <ref>O’Connor and Robertson (2016), “Girolamo Cardano.”</ref> यह आलेखी सम्मिश्र समतल के उपयोग से पहले था। कार्डानो और अन्य इतालवी गणितज्ञ, विशेष रूप से [[ स्किपिओन डेल फेरो |स्किपिओन डेल फेरो]], 1500 के दशक में, घन समीकरणों को संशोधित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म बनाया गया था जिसमें सामान्य रूप से वास्तविक समाधान और दो समाधान थे जिसमें एक काल्पनिक संख्या थी। चूंकि उन्होंने काल्पनिक संख्याओं के साथ उत्तरों को उपेक्षित कर दिया था, कार्डानो ने उन्हें अनुपयुक्त पाया।<ref>Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √-1. Princeton: Princeton University Press, 1998.</ref>
-[[ऋणात्मक संख्या]]ओं के [[वर्गमूल]]ों का सबसे पहला क्षणभंगुर संदर्भ शायद पहली शताब्दी ईस्वी में [[हेलेनिस्टिक गणित]] [[अलेक्जेंड्रिया के हीरो]] के काम में पाया जा सकता है, जहाँ उन्होंने अपने हीरो ऑफ़ अलेक्जेंड्रिया#ग्रंथ सूची में, स्पष्ट रूप से गलती से, मात्रा पर विचार किया शब्द पर पहुंचने के लिए [[पिरामिड]] का एक असंभव छिन्नक <math>\sqrt{81 - 144}</math> उनकी गणना में, जो आज सरल होगा  <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math>. हेलेनिस्टिक गणित में नकारात्मक मात्रा की कल्पना नहीं की गई थी और हीरो ने इसे केवल इसके सकारात्मक द्वारा बदल दिया था <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.</math><ref>{{cite book |title=एक काल्पनिक कहानी: √-1 की कहानी|last=Nahin |first=Paul J. |year=2007 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-0-691-12798-9 |url=http://mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=149&threadID=383188&messageID=1181284 |access-date=20 April 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121012090553/http://mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=149&threadID=383188&messageID=1181284 |archive-date=12 October 2012 |url-status=live }}</ref>
-अपने आप में एक विषय के रूप में जटिल संख्याओं का अध्ययन करने की प्रेरणा पहली बार 16 वीं शताब्दी में उठी जब क्यूबिक समीकरण और क्वार्टिक समीकरण बहुपदों की जड़ों के लिए [[बीजगणितीय समाधान]] इतालवी गणितज्ञों द्वारा खोजे गए (देखें निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया, गेरोलामो कार्डानो)। यह जल्द ही महसूस किया गया (लेकिन बहुत बाद में साबित हुआ)<ref name=Casus/>कि ये सूत्र, भले ही कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता हो, कभी-कभी ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों में हेरफेर की आवश्यकता होती है। एक उदाहरण के रूप में, फार्म के घन समीकरण के लिए टार्टाग्लिया का सूत्र {{math|''x''{{sup|3}} {{=}} ''px'' + ''q''}}{{efn|In modern notation, Tartaglia's solution is based on expanding the cube of the sum of two cube roots: <math>\left(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}\right)^3 = 3 \sqrt[3]{uv} \left(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}\right) + u + v</math> With <math>x = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}</math>, <math>p = 3 \sqrt[3]{uv}</math>, <math>q = u + v</math>, {{mvar|u}} and {{mvar|v}} can be expressed in terms of {{mvar|p}} and {{mvar|q}} as <math>u = q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}</math> and <math>v = q/2 - \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}</math>, respectively. Therefore, <math>x = \sqrt[3]{q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}} + \sqrt[3]{q/2 - \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}}</math>. कब <math>(q/2)^2-(p/3)^3</math> नकारात्मक है (कैसस इरेड्यूसिबिलिस), दूसरे घनमूल को पहले वाले के जटिल संयुग्म के रूप में माना जाना चाहिए।}} समीकरण का समाधान देता है {{math|1=''x''<sup>3</sup> = ''x''}} जैसा
-<math display=block>\tfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\left(\sqrt{-1}\right)^{1/3}+\left(\sqrt{-1}\right)^{-1/3}\right).</math>
+सामान्य बहुपदों की समस्या पर कार्य अंततः बीजगणित के मौलिक प्रमेय का नेतृत्व किया, जो दर्शाता है कि सम्मिश्र संख्याओं के साथ, एक या उच्चतर सीमा के प्रत्येक बहुपद समीकरण के लिए सम्मिलित है। सम्मिश्र संख्या इस प्रकार एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र का निर्माण करती है, जहाँ किसी भी बहुपद समीकरण का एक मूल होता है।
-पहली नज़र में यह बकवास लग रहा है। हालाँकि, जटिल संख्याओं के साथ औपचारिक गणना दर्शाती है कि समीकरण {{math|1=''z''<sup>3</sup> = ''i''}} तीन समाधान हैं: <math>-i, \frac{\sqrt{3} + i}{2}, \frac{-\sqrt{3}+i}{2}.</math> बदले में इन्हें प्रतिस्थापित करना <math>\sqrt{-1}^{1/3}</math> टारटाग्लिया के घन सूत्र और सरलीकरण में, 0, 1 और -1 के समाधान के रूप में प्राप्त होता है {{math|1=''x''<sup>3</sup> &minus; ''x'' = 0}}. बेशक इस विशेष समीकरण को देखते ही हल किया जा सकता है, लेकिन यह स्पष्ट करता है कि जब वास्तविक जड़ों वाले घन समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य सूत्रों का उपयोग किया जाता है, जैसा कि बाद के गणितज्ञों ने सख्ती से दिखाया,{{efn|It has been proved that imaginary numbers have necessarily to appear in the cubic formula when the equation has three real, different roots by Pierre Laurent Wantzel in 1843, Vincenzo Mollame in 1890, Otto Hölder in 1891 and Adolf Kneser in 1892. Paolo Ruffini also provided an incomplete proof in 1799. — S. Confalonieri (2015)<ref name=Casus>{{cite book |title=The Unattainable Attempt to Avoid the Casus Irreducibilis for Cubic Equations: Gerolamo Cardano's De Regula Aliza |first=Sara |last=Confalonieri |publisher=Springer |year=2015 |pages=15–16 (note 26) |isbn=978-3658092757 }}</ref>}} जटिल संख्याओं का उपयोग कैसस इरेड्यूसीबिलिस। राफेल बॉम्बेली क्यूबिक समीकरणों के इन प्रतीत होने वाले विरोधाभासी समाधानों को स्पष्ट रूप से संबोधित करने वाले पहले व्यक्ति थे और इन मुद्दों को हल करने की कोशिश कर रहे जटिल अंकगणितीय के लिए नियम विकसित किए।
-इन राशियों के लिए काल्पनिक शब्द 1637 में रेने डेसकार्टेस द्वारा गढ़ा गया था, जो अपनी अवास्तविक प्रकृति पर जोर देने के लिए दर्द में थे।<ref>{{cite book |title=ला ज्योमेट्री {{पाइप}} पहले संस्करण की प्रतिकृति के साथ रेने डेसकार्टेस की ज्यामिति|last=Descartes |first=René |author-link=René Descartes |year=1954 |orig-year=1637 |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=978-0-486-60068-0 |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend |access-date=20 April 2011 }}</ref>
+कई गणितज्ञों ने सम्मिश्र संख्याओं के विकास में योगदान दिया। इतालवी गणितज्ञ [[ राफेल बॉम्बेली |राफेल बॉम्बेली]] द्वारा सम्मिश्र संख्याओं के जोड़, व्यवकलन, गुणन और रूट निष्कर्षण के नियमों को विकसित किया गया था।<ref>{{cite book |last1=Katz |first1=Victor J. |title=गणित का इतिहास, संक्षिप्त संस्करण|section= 9.1.4 |publisher=[[Addison-Wesley]] |isbn=978-0-321-16193-2 |year=2004}}</ref> सम्मिश्र संख्याओं के लिए एक अधिक अमूर्त औपचारिकता को आयरिश गणितज्ञ [[ विलियम रोवन हैमिल्टन |विलियम रोवन हैमिल्टन]] द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने इस अमूर्तता को चतुर्भुज के सिद्धांत तक बढ़ाया।<ref>{{cite journal |last1=Hamilton |first1=Wm. |title=काल्पनिक मात्रा की एक नई प्रजाति पर चतुर्भुज के सिद्धांत के साथ जुड़ा हुआ है|journal=Proceedings of the Royal Irish Academy |date=1844 |volume=2 |pages=424–434 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=njp.32101040410779&view=1up&seq=454}}</ref>
-{{blockquote|...&nbsp;sometimes only imaginary, that is one can imagine as many as I said in each equation, but sometimes there exists no quantity that matches that which we imagine.<br/>
-[''...&nbsp;quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.'']}}
-भ्रम का एक और स्रोत समीकरण था <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> बीजगणितीय पहचान के साथ विचित्र रूप से असंगत लग रहा था <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math>, जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है {{mvar|a}} और {{mvar|b}}, और जिसका उपयोग जटिल संख्या गणनाओं में से एक के साथ भी किया गया था {{mvar|a}}, {{mvar|b}} सकारात्मक और दूसरा नकारात्मक। इस पहचान का गलत उपयोग (और संबंधित पहचान <math display=inline>\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>) मामले में जब दोनों {{mvar|a}} और {{mvar|b}} शैतानी शैतान [[लियोनहार्ड यूलर]] तक नकारात्मक हैं। इस कठिनाई ने अंततः विशेष प्रतीक का उपयोग करने के सम्मेलन को जन्म दिया {{math|''i''}} की जगह में <math>\sqrt{-1}</math> इस गलती से बचाव के लिए।{{Citation needed|date=April 2011}} फिर भी, यूलर ने छात्रों को आज की तुलना में बहुत पहले जटिल संख्याओं से परिचित कराना स्वाभाविक समझा। अपनी प्रारंभिक बीजगणित पाठ्य पुस्तक, [[बीजगणित के तत्व]] में, वह इन नंबरों को लगभग एक बार में पेश करता है और फिर उन्हें प्राकृतिक तरीके से उपयोग करता है।
-वीं शताब्दी में जटिल संख्याओं का व्यापक उपयोग हुआ, क्योंकि यह देखा गया कि त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़ी गणनाओं को सरल बनाने के लिए जटिल अभिव्यक्तियों के औपचारिक हेरफेर का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1730 में [[अब्राहम डी मोइवरे]] ने नोट किया कि कोण के एक पूर्णांक बहु के त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित पहचान उस कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों को निम्नलिखित डी मोइवर के सूत्र द्वारा फिर से व्यक्त की जा सकती है:
+ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों का सबसे पहला अस्थायी संदर्भ संभव्यता पहली शताब्दी ईस्वी में अलेक्जेंड्रिया के [[ हेलेनिस्टिक गणित |हेलेनिस्टिक गणित]] के काम में होने के लिए कहा जा सकता है, जहां उन्होंने अपनी त्रिविम-मेट्रीका में, सामान्य रूप से गलती से, एक असंभव छिन्नक के आयतन पर विचार किया। अपनी गणना में पद <math>\sqrt{81 - 144}</math> तक पहुंचने के लिए एक पिरामिड, जो वर्तमान <math>\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}</math> के लिए सरल होगा। ऋणात्मक मात्रा में हेलेनिस्टिक गणित में कल्पना नहीं की गई थी और हीरो मेरेली ने इसे केवल इसके धनात्मक <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}</math><ref>{{cite book |title=एक काल्पनिक कथा: द स्टोरी ऑफ़ -1|last=Nahin |first=Paul J. |year=2007 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-0-691-12798-9 |url=http://mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=149&threadID=383188&messageID=1181284 |access-date=20 April 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121012090553/http://mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=149&threadID=383188&messageID=1181284 |archive-date=12 October 2012 |url-status=live }}</ref> द्वारा प्रतिस्थापित किया था।
-<math display=block>(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math>
+अपने आप में एक विषय के रूप में सम्मिश्र संख्याओं का अध्ययन करने के लिए प्रेरणा पहली बार 16 वीं शताब्दी में उत्पन्न हुई जब घन समीकरण और [[ चतुर्थक समीकरण |चतुर्थक समीकरण]] बहुपद की रूट के लिए बीजगणितीय समाधान इतालवी गणितज्ञों द्वारा पता लगाए गए (निकोलो फोंटाना टार्टग्लिया, गेरोलमो कार्डो देखें)। यह शीघ्र ही अनुभव हुआ (लेकिन बहुत बाद में प्रमाणित हुआ)<ref name="Casus" /> कि ये सूत्र, तथापि कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता हो, कभी-कभी ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों में कुशलता पूर्वक उपयोग की आवश्यकता होती है। एक उदाहरण के रूप में {{math|''x''{{sup|3}} {{=}} ''px'' + ''q''}}{{efn|In modern notation, Tartaglia's solution is based on expanding the cube of the sum of two cube roots: <math>\left(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}\right)^3 = 3 \sqrt[3]{uv} \left(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}\right) + u + v</math> With <math>x = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}</math>, <math>p = 3 \sqrt[3]{uv}</math>, <math>q = u + v</math>, {{mvar|u}} and {{mvar|v}} can be expressed in terms of {{mvar|p}} and {{mvar|q}} as <math>u = q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}</math> and <math>v = q/2 - \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}</math>, respectively. Therefore, <math>x = \sqrt[3]{q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}} + \ sqrt [3] {q/2 - \ sqrt {(q/2)^2- (p/3)^3}} </math>।कब <math>(q/2)^2-(p/3)^3</math> नकारात्मक है (कैसस irreducibilis), दूसरे क्यूब रूट को पहले एक के जटिल संयुग्म के रूप में माना जाना चाहिए।}} के घन समीकरण के लिए टारटाग्लिया का सूत्र समीकरण {{math|1=''x''<sup>3</sup> = ''x''}} का संशोधित देता है।
-में, यूलर ने और आगे जाकर जटिल विश्लेषण के लिए यूलर का सूत्र प्राप्त किया:<ref>{{cite book |last1=Euler |first1=Leonard |title=इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण का एक परिचय|trans-title=Introduction to the Analysis of the Infinite |date=1748 |publisher=Marc Michel Bosquet & Co. |location=Lucerne, Switzerland |volume=1 |page=104 |url=https://books.google.com/books?id=jQ1bAAAAQAAJ&pg=PA104 |language=la}}</ref>
+<math display="block">\tfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\left(\sqrt{-1}\right)^{1/3}+\left(\sqrt{-1}\right)^{-1/3}\right).</math>
+पहली दृष्टि में यह अनुपयुक्त जैसा दिखता है। हालांकि, सम्मिश्र संख्याओं के साथ औपचारिक गणना दर्शाती है कि समीकरण {{math|1=''z''<sup>3</sup> = ''i''}} तीन समाधान : <math>-i, \frac{\sqrt{3} + i}{2}, \frac{-\sqrt{3}+i}{2}</math> हैं। टार्टाग्लिया के घन सूत्र में <math>\sqrt{-1}^{1/3}</math> के बदले में इन्हें प्रतिस्थापित करने और सरल बनाने पर {{math|1=''x''<sup>3</sup> &minus; ''x'' = 0}} के समाधान के रूप में 0, 1 और और −1 प्राप्त होता है। स्वभावतः इस विशेष समीकरण को देखते ही संशोधित किया जा सकता है लेकिन यह स्पष्ट करता है कि जब सामान्य सूत्रों का उपयोग वास्तविक मूल के साथ घन समीकरणों को संशोधित करने के लिए किया जाता है, जैसा कि बाद के गणितज्ञों ने दृढ़ता से दिखाया,{{efn|It has been proved that imaginary numbers have necessarily to appear in the cubic formula when the equation has three real, different roots by Pierre Laurent Wantzel in 1843, Vincenzo Mollame in 1890, Otto Hölder in 1891 and Adolf Kneser in 1892. Paolo Ruffini also provided an incomplete proof in 1799. — S. Confalonieri (2015)<ref name=Casus>{{cite book |title=The Unattainable Attempt to Avoid the Casus Irreducibilis for Cubic Equations: Gerolamo Cardano's De Regula Aliza |first=Sara |last=Confalonieri |publisher=Springer |year=2015 |pages=15–16 (note 26) |isbn=978-3658092757 }}</ref>}} सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग अपरिहार्य है। राफेल बॉम्बेली घनीय समीकरणों के इन प्रतीत होने वाले विरोधाभासी समाधानों को स्पष्ट रूप से संबोधित करने वाले पहले व्यक्ति थे और इन समस्याओ को संशोधित करने का प्रयास कर रहे सम्मिश्र अंकगणितीय के लिए नियम विकसित किए।
+इन मात्राओं के लिए काल्पनिक शब्द 1637 में रेने डेसकार्टेस द्वारा दिया गया था, जो उनके अवास्तविक प्रकृति पर जोर देने के लिए व्यथा में था<ref>{{cite book |title=ला गोमेट्री {{पाइप}} पहले संस्करण के एक चेहरे के साथ रेने डेसकार्टेस की ज्यामिति|last=Descartes |first=René |author-link=René Descartes |year=1954 |orig-year=1637 |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=978-0-486-60068-0 |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend |access-date=20 April 2011 }}</ref>
+.. कभी-कभी केवल काल्पनिक, अर्थात प्रत्येक समीकरण में जितना मैंने कहा था, उतनी कल्पना कर सकता है, लेकिन कभी-कभी ऐसी कोई मात्रा सम्मिलित नहीं होती है जो उससे अनुरूप हो जिसकी हम कल्पना करते हैं।
+[... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.]
+भ्रम का एक और स्रोत यह था कि समीकरण <math>\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math> बीजगणितीय सर्वसमिका <math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math> के साथ असंगत रूप से असंगत लग रहा था। जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं {{mvar|a}} और {{mvar|b}} के लिए मान्य है और जिसका उपयोग {{mvar|a}}, {{mvar|b}} धनात्मक और अन्य ऋणात्मक में से एक के साथ सम्मिश्र संख्या गणना की जाती है। इस सर्वसमिका का गलत उपयोग (और संबंधित सर्वसमिका <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}</math>) स्थिति में जब दोनों {{mvar|a}} और {{mvar|b}} ऋणात्मक भी बेडविल्ड [[ लियोनहार्ड यूलर |लियोनहार्ड यूलर]] हैं। इस कठिनाई ने अंततः इस गलती से बचने के लिए {{math|''i''}} के स्थान पर विशेष प्रतीक <math>\sqrt{-1}</math> का उपयोग करने की विधि को उत्पन्न किया।{{Citation needed|date=April 2011}} फिर भी, यूलर ने आज की तुलना में छात्रों को सम्मिश्र संख्याओं से परिचित कराना स्वाभाविक माना। अपनी प्राथमिक बीजगणित पाठ्य पुस्तक <nowiki>''एलिमेंट्स ऑफ अलजेब्रा में''</nowiki>, वह इन संख्याओ का परिचय लगभग एक बार में प्रस्तुत करता है और फिर उन्हें प्राकृतिक तरीके से उपयोग करता है।
+वीं शताब्दी में सम्मिश्र संख्याओं में व्यापक उपयोग प्राप्त हुआ, क्योंकि यह देखा गया था कि त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े गणनाओं को सरल बनाने के लिए सम्मिश्र पदों के औपचारिक प्रकलन का उपयोग किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, 1730 में [[ अब्राहम डे मोइवर |अब्राहम डे मोइवर]] ने उल्लेख किया कि उस कोण के त्रिकोणमितीय फलनों की घातो के लिए एक कोण के त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित सर्वसमिका को निम्नलिखित डी मोइवर के सूत्र द्वारा फिर से व्यक्त किया जा सकता है:
+<math display="block">(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. </math>
+में, यूलर ने आगे बढ़कर यूलर के सम्मिश्र विश्लेषण का सूत्र प्राप्त किया:<ref>{{cite book |last1=Euler |first1=Leonard |title=विश्लेषण का परिचय|trans-title=Introduction to the Analysis of the Infinite |date=1748 |publisher=Marc Michel Bosquet & Co. |location=Lucerne, Switzerland |volume=1 |page=104 |url=https://books.google.com/books?id=jQ1bAAAAQAAJ&pg=PA104 |language=la}}</ref>
 <math display=block>\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta } </math>
-औपचारिक रूप से जटिल शक्ति श्रृंखला में हेरफेर करके और देखा कि इस सूत्र का उपयोग किसी भी त्रिकोणमितीय पहचान को बहुत सरल घातीय पहचान में कम करने के लिए किया जा सकता है।
+औपचारिक रूप से सम्मिश्र घात श्रेणी में प्रकलन करके और देखा गया कि इस सूत्र का उपयोग किसी भी त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को कम करने के लिए बहुत सरल घातीय सर्वसमिका को कम करने के लिए किया जा सकता है।
+सम्मिश्र समतल (ऊपर) में एक बिंदु के रूप में सम्मिश्र संख्या का विचार पहली बार [[ डेनमार्क |डेनमार्क]] [[ नॉर्वे |नॉर्वे]] [[ गणितज्ञ |गणितज्ञ]] [[ कैस्पर वेसल |कैस्पर वेसल]] द्वारा 1799 में वर्णित किया गया था,<ref>{{cite journal |last1=Wessel |first1=Caspar |title=दिशा के विश्लेषणात्मक पदनाम के बारे में, एक वर्तमान, विमान और गोलाकार बहुभुज के उद्घाटन के लिए समझदार है|journal=Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [New Collection of the Writings of the Royal Danish Science Society] |date=1799 |volume=5 |pages=469–518 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ien.35556000979690&view=1up&seq=527 |trans-title=On the analytic representation of direction, an effort applied in particular to the determination of plane and spherical polygons |language=da}}</ref> हालांकि वालिस के बीजगणित के एक ग्रंथ में 1685 के प्रारंभ में अनुमानित था।<ref>{{cite book |last=Wallis |first=John |date=1685 |title=बीजगणित का एक ग्रंथ, ऐतिहासिक और व्यावहारिक दोनों ...|url=https://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/library/H3GRV5AU/pageimg&start=291&mode=imagepath&pn=291|location=London, England |publisher=printed by John Playford, for Richard Davis |pages=264–273 }}</ref>
+वेसेल का संस्मरण [[ कोपेनहेगन एकेडमी |कोपेनहेगन एकेडमी]] की कार्य प्रणाली में दिखाई दिया, लेकिन अधिकतम सीमा तक किसी का ध्यान नहीं गया। 1806 में जीन-रॉबर्ट आर्गंड ने स्वतंत्र रूप से सम्मिश्र संख्याओं पर एक पुस्तिका जारी की और बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक कठिन प्रमाण प्रदान किया।<ref>{{cite book |last1=Argand |title=ज्यामितीय निर्माणों में काल्पनिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के तरीके पर निबंध|trans-title=Essay on a way to represent complex quantities by geometric constructions |date=1806 |publisher=Madame Veuve Blanc |location=Paris, France |url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/geometrie/essai-sur-une-maniere-de-representer-des-quantites-imaginaires-dans-les-cons |language=fr}}</ref> [[ कार्ल फ्रेडरिक गॉस |कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] ने पहले 1797 में प्रमेय का एक अनिवार्य रूप से [[ टोपोलॉजी |सांस्थिति]] प्रमाण प्रकाशित किया था, लेकिन उस समय अपने संदेह को व्यक्त किया था, जो कि "-1 के वर्गमूल के सत्य तत्वमीमांसा के बारे में है।<ref>Gauss, Carl Friedrich (1799) [https://books.google.com/books?id=g3VaAAAAcAAJ&pg=PP1#v=onepage&q&f=fals ''"Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse."''] [New proof of the theorem that any rational integral algebraic function of a single variable can be resolved into real factors of the first or second degree.] Ph.D. thesis, University of Helmstedt, (Germany). (in Latin)</ref> यह 1831 तक नहीं था कि उन्होंने इन संदेहों को नियंत्रण कर लिया और तल में बिंदुओं के रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर अपने ग्रंथ को प्रकाशित किया,<ref name="Ewald">{{cite book |last=Ewald |first=William B. |date=1996 |title=कांत से हिल्बर्ट: गणित की नींव में एक स्रोत पुस्तक|volume=1 |page=313 |publisher=Oxford University Press |isbn=9780198505358|url=https://books.google.com/books?id=rykSDAAAQBAJ&pg=PA313 |access-date=18 March 2020}}</ref> बड़े पैमाने पर आधुनिक संकेतन और शब्दावली की स्थापना की:{{sfn|Gauss|1831|p=638}}
+यदि किसी ने पहले इस विषय पर असत्य दृष्टिकोण से विचार किया था और इसलिए एक अस्पष्ट अज्ञानता पायी, तो यह बड़े पैमाने पर स्थूल शब्दावली के लिए अधीन है। यदि किसी ने +1, -1, <math>\sqrt -1</math> धनात्मक, ऋणात्मक, या काल्पनिक (या असंभव भी) इकाइयां नहीं कहा होता, बल्कि सीधे व्युत्क्रम या पार्श्व इकाइयां कहा होता तो संभव्यता ही इस तरह के अज्ञानता की बात होती।
+वीं शताब्दी के प्रारंभ में, अन्य गणितज्ञों ने स्वतंत्र रूप से सम्मिश्र संख्याओं की बुई,<ref>{{cite web| url = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Buee/| title = एड्रियन क्वेंटिन फॉग (1745-1845): मैक्ट्यूएटर}} </fr><nowiki><ref></nowiki>{{cite journal |last1=Buée |title=काल्पनिक मात्रा पर स्मृति|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London |date=1806 |volume=96 |pages=23–88 |doi=10.1098/rstl.1806.0003 |s2cid=110394048 |url=https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rstl.1806.0003 |trans-title=Memoir on imaginary quantities |language=fr}}</ref> मौरे,<ref>{{cite book |last1=Mourey |first1=C.V. |title=नकारात्मक मात्रा और कथित काल्पनिक मात्रा का सच्चा सिद्धांत|trans-title=The true theory of negative quantities and of alleged imaginary quantities |date=1861 |publisher=Mallet-Bachelier |location=Paris, France |url=https://archive.org/details/bub_gb_8YxKAAAAYAAJ |language=fr}}  1861 reprint of 1828 original.</ref> [[ जॉन वॉरेन (गणितज्ञ) |जॉन वॉरेन (गणितज्ञ)]],<ref>{{cite book |last1=Warren |first1=John |title=नकारात्मक मात्रा के वर्ग जड़ों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व पर एक ग्रंथ|date=1828 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, England |url=https://archive.org/details/treatiseongeomet00warrrich}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Warren |first1=John |title=नकारात्मक मात्रा की वर्ग जड़ों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के खिलाफ उठाए गए आपत्तियों पर विचार|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London |date=1829 |volume=119 |pages=241–254 |s2cid=186211638 |doi=10.1098/rstl.1829.0022 |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Warren |first1=John |title=मात्रा की शक्तियों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व पर, जिनके सूचकांक में नकारात्मक संख्याओं की वर्ग जड़ें शामिल हैं|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London |date=1829 |volume=119 |pages=339–359 |s2cid=125699726 |doi=10.1098/rstl.1829.0031 |doi-access=free }}</ref> फ्रेंच और उनके भाई, [[ राइट बेल्वाइटिस |राइट बेल्वाइटिस]] ने ज्यामितीय प्रतिनिधित्व की खोज की।<ref>{{cite journal |last1=Français |first1=J.F. |title=स्थिति ज्यामिति के नए सिद्धांत, और काल्पनिक प्रतीकों की ज्यामितीय व्याख्या|journal=Annales des mathématiques pures et appliquées |date=1813 |volume=4 |pages=61–71 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126478&view=1up&seq=69 |trans-title=New principles of the geometry of position, and geometric interpretation of complex [number] symbols |language=fr}}</ref><ref>{{cite book |title=दो संस्कृतियाँ|editor= Kim Williams |last1=Caparrini |first1=Sandro |chapter=On the Common Origin of Some of the Works on the Geometrical Interpretation of Complex Numbers |year=2000 |publisher=Birkhäuser |isbn=978-3-7643-7186-9 |page=139 |url=https://books.google.com/books?id=voFsJ1EhCnYC |chapter-url=https://books.google.com/books?id=voFsJ1EhCnYC&pg=PA139}}</ref>
-जटिल तल (#जटिल समतल) में एक बिंदु के रूप में एक सम्मिश्र संख्या का विचार पहली बार 1799 में [[डेनमार्क]]-[[नॉर्वे]] [[गणितज्ञ]] [[कैस्पर वेसल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{cite journal |last1=Wessel |first1=Caspar |title=दिशा के विश्लेषणात्मक संकेतन पर, एक प्रयोग, समतल और गोलाकार बहुभुजों के समाधान के लिए स्पष्ट रूप से लागू किया गया|journal=Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [New Collection of the Writings of the Royal Danish Science Society] |date=1799 |volume=5 |pages=469–518 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ien.35556000979690&view=1up&seq=527 |trans-title=On the analytic representation of direction, an effort applied in particular to the determination of plane and spherical polygons |language=da}}</ref> हालांकि जॉन वालिस|वालिस के बीजगणित के ग्रंथ में 1685 में ही इसका अनुमान लगा लिया गया था।<ref>{{cite book |last=Wallis |first=John |date=1685 |title=बीजगणित का एक ग्रंथ, दोनों ऐतिहासिक और व्यावहारिक ...|url=https://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/library/H3GRV5AU/pageimg&start=291&mode=imagepath&pn=291|location=London, England |publisher=printed by John Playford, for Richard Davis |pages=264–273 }}</ref>
+अंग्रेजी गणितज्ञ जी.एच.हार्डी ने टिप्पणी की कि गॉस 'वास्तव में आत्मविश्वास और वैज्ञानिक तरीके' में सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करने वाले पहले गणितज्ञ थे, हालांकि नॉर्वेजियन नील्स हेनरिक एबेल और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी जैसे गणितज्ञ आवश्यक रूप से गॉस के 1831 के ग्रंथ को प्रकाशित करने से पहले समभुजकोणीय रूप से उनका उपयोग कर रहे थे।<ref>{{cite book |title=संख्याओं के सिद्धांत का परिचय|last1=Hardy |first1=G.H. |last2=Wright |first2=E.M. |year=2000 |orig-year=1938 |publisher=[[Oxford University Press|OUP Oxford]] |isbn= 978-0-19-921986-5 |page=189 (fourth edition)}}</ref>
-वेसेल का संस्मरण [[कोपेनहेगन अकादमी]] की कार्यवाही में दिखाई दिया, लेकिन काफी हद तक किसी का ध्यान नहीं गया। 1806 में जीन-रॉबर्ट अरगंड ने स्वतंत्र रूप से जटिल संख्याओं पर एक पैम्फलेट जारी किया और बीजगणित # इतिहास के मौलिक प्रमेय का एक कठोर प्रमाण प्रदान किया।<ref>{{cite book |last1=Argand |title=ज्यामितीय निर्माणों में काल्पनिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के तरीके पर निबंध|trans-title=Essay on a way to represent complex quantities by geometric constructions |date=1806 |publisher=Madame Veuve Blanc |location=Paris, France |url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/geometrie/essai-sur-une-maniere-de-representer-des-quantites-imaginaires-dans-les-cons |language=fr}}</ref> [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] ने पहले 1797 में प्रमेय का एक अनिवार्य रूप से [[टोपोलॉजी]] प्रमाण प्रकाशित किया था, लेकिन उस समय -1 के वर्गमूल के वास्तविक तत्वमीमांसा के बारे में अपने संदेह व्यक्त किए थे।<ref>Gauss, Carl Friedrich (1799) [https://books.google.com/books?id=g3VaAAAAcAAJ&pg=PP1#v=onepage&q&f=fals ''"Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse."''] [New proof of the theorem that any rational integral algebraic function of a single variable can be resolved into real factors of the first or second degree.] Ph.D. thesis, University of Helmstedt, (Germany). (in Latin)</ref> यह 1831 तक नहीं था कि उन्होंने इन संदेहों पर काबू पाया और विमान में बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं पर अपना ग्रंथ प्रकाशित किया।<ref name=Ewald>{{cite book |last=Ewald |first=William B. |date=1996 |title=कांट से हिल्बर्ट: गणित की नींव में एक स्रोत पुस्तक|volume=1 |page=313 |publisher=Oxford University Press |isbn=9780198505358|url=https://books.google.com/books?id=rykSDAAAQBAJ&pg=PA313 |access-date=18 March 2020}}</ref> बड़े पैमाने पर आधुनिक संकेतन और शब्दावली की स्थापना:{{sfn|Gauss|1831|p=638}}
-<blockquote>यदि किसी ने पूर्व में इस विषय पर झूठे दृष्टिकोण से विचार किया था और इसलिए एक रहस्यमय अंधकार पाया, तो यह बड़े पैमाने पर अनाड़ी शब्दावली के लिए जिम्मेदार है। अगर किसी ने +1, -1 नहीं कहा होता, <math>\sqrt{-1}</math> सकारात्मक, नकारात्मक, या काल्पनिक (या असंभव भी) इकाइयाँ, लेकिन इसके बजाय, प्रत्यक्ष, उलटा, या पार्श्व इकाइयाँ कहें, तो ऐसे अंधेरे की बात शायद ही हो सकती थी।</blockquote>
-वीं शताब्दी की शुरुआत में, अन्य गणितज्ञों ने स्वतंत्र रूप से जटिल संख्याओं के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व की खोज की: बुई,<ref>{{cite web| url = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Buee/| title = एड्रियन क्वेंटिन ब्यू (1745-1845): मैकट्यूटर}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Buée |title=काल्पनिक मात्रा पर मेमोरी|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London |date=1806 |volume=96 |pages=23–88 |doi=10.1098/rstl.1806.0003 |s2cid=110394048 |url=https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rstl.1806.0003 |trans-title=Memoir on imaginary quantities |language=fr}}</ref> सीवी मौरे,<ref>{{cite book |last1=Mourey |first1=C.V. |title=ऋणात्मक मात्राओं का सच्चा सिद्धांत और कथित रूप से काल्पनिक मात्राएँ|trans-title=The true theory of negative quantities and of alleged imaginary quantities |date=1861 |publisher=Mallet-Bachelier |location=Paris, France |url=https://archive.org/details/bub_gb_8YxKAAAAYAAJ |language=fr}}  1861 reprint of 1828 original.</ref> [[जॉन वॉरेन (गणितज्ञ)]],<ref>{{cite book |last1=Warren |first1=John |title=नकारात्मक मात्राओं के वर्गमूलों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व पर एक ग्रंथ|date=1828 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, England |url=https://archive.org/details/treatiseongeomet00warrrich}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Warren |first1=John |title=ऋणात्मक राशियों के वर्गमूलों के ज्यामितीय निरूपण के विरुद्ध उठाई गई आपत्तियों पर विचार|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London |date=1829 |volume=119 |pages=241–254 |s2cid=186211638 |doi=10.1098/rstl.1829.0022 |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Warren |first1=John |title=मात्राओं की शक्तियों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व पर, जिनके सूचकांकों में ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल शामिल होते हैं|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London |date=1829 |volume=119 |pages=339–359 |s2cid=125699726 |doi=10.1098/rstl.1829.0031 |doi-access=free }}</ref> जैक्स फ़्रेडरिक फ़्रैंकैस | फ़्रैंकैस और उनके भाई, [[दायां बेलावाइटिस]]<ref>{{cite journal |last1=Français |first1=J.F. |title=स्थितीय ज्यामिति के नए सिद्धांत, और काल्पनिक प्रतीकों की ज्यामितीय व्याख्या|journal=Annales des mathématiques pures et appliquées |date=1813 |volume=4 |pages=61–71 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126478&view=1up&seq=69 |trans-title=New principles of the geometry of position, and geometric interpretation of complex [number] symbols |language=fr}}</ref><ref>{{cite book |title=दो संस्कृतियाँ|editor= Kim Williams |last1=Caparrini |first1=Sandro |chapter=On the Common Origin of Some of the Works on the Geometrical Interpretation of Complex Numbers |year=2000 |publisher=Birkhäuser |isbn=978-3-7643-7186-9 |page=139 |url=https://books.google.com/books?id=voFsJ1EhCnYC |chapter-url=https://books.google.com/books?id=voFsJ1EhCnYC&pg=PA139}}</ref>
+ऑगस्टिन-लुई कॉची और बर्नहार्ड रीमैन ने कॉची के स्थिति में 1825 के आसपास प्रारंभ करते हुए सम्मिश्र विश्लेषण के मौलिक विचारों को पूर्णता की उच्च स्थिति में लाया।
-अंग्रेजी गणितज्ञ जी.एच. हार्डी ने टिप्पणी की कि गॉस 'वास्तव में आत्मविश्वास और वैज्ञानिक तरीके' से जटिल संख्याओं का उपयोग करने वाले पहले गणितज्ञ थे, हालांकि नॉर्वे [[नील्स हेनरिक एबेल]] और [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] जैसे गणितज्ञ आवश्यक रूप से गॉस के 1831 के ग्रंथ को प्रकाशित करने से पहले नियमित रूप से उनका उपयोग कर रहे थे।<ref>{{cite book |title=संख्या के सिद्धांत का परिचय|last1=Hardy |first1=G.H. |last2=Wright |first2=E.M. |year=2000 |orig-year=1938 |publisher=[[Oxford University Press|OUP Oxford]] |isbn= 978-0-19-921986-5 |page=189 (fourth edition)}}</ref>
-[[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] और [[बर्नहार्ड रीमैन]] ने मिलकर कॉची के मामले में 1825 के आसपास शुरू करते हुए #जटिल विश्लेषण के मौलिक विचारों को पूर्णता की उच्च स्थिति में ला दिया।
-सिद्धांत में प्रयुक्त सामान्य शब्द मुख्य रूप से संस्थापकों के कारण हैं। अरगंड ने फोन किया {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} दिशा कारक, और <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> मापांक;{{efn| {{harvnb|Argand|1814|p=204}} defines the modulus of a complex number but he doesn't name it:<br/>''"Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placés, seront employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu'ils affectent; ainsi, si <math>a = m + n\sqrt{-1}</math>, <math>m</math> et <math>n</math> étant réels, on devra entendre que <math>a_'</math> ou <math>a' = \sqrt{m^2 + n^2}</math>."''<br/>[In what follows, accent marks, wherever they're placed, will be used to indicate the absolute size of the quantities to which they're assigned; thus if <math>a = m + n\sqrt{-1}</math>, <math>m</math> and <math>n</math> being real, one should understand that <math>a_'</math> or <math>a' = \sqrt{m^2 + n^2}</math>.]<br/>
+सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सामान्य शब्द मुख्य रूप से संस्थापकों के कारण हैं। अरगंड ने {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} को दिशा कारक कहा, और <math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> मापांक;{{efn|1={{harvnb|Argand|1814|p=204}} defines the modulus of a complex number but he doesn't name it:<br/>''"Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placés, seront employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu'ils affectent; ainsi, si <math>a = m + n\sqrt{-1}</math>, <math>m</math> et <math>n</math> étant réels, on devra entendre que <math>a_'</math> ou <math>a' = \sqrt{m^2 + n^2}</math>."''<br/>[In what follows, accent marks, wherever they're placed, will be used to indicate the absolute size of the quantities to which they're assigned; thus if <math>a = m + n\sqrt{-1}</math>, <math>m</math> and <math>n</math> being real, one should understand that <math>a_'</math> or <math>a' = \sqrt{m^2 + n^2}</math>.]<br/>
-{{harvnb|Argand|1814|p=208}} defines and names the ''module'' and the ''direction factor'' of a complex number:  ''"...&nbsp;<math>a = \sqrt{m^2 + n^2}</math> pourrait être appelé le ''module'' de <math>a + b  \sqrt{-1}</math>, et représenterait la ''grandeur absolue'' de la ligne <math>a + b  \sqrt{-1}</math>, tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représenterait la direction."''<br/>[...&nbsp;<math>a = \sqrt{m^2 + n^2}</math> could be called the ''module'' of <math>a + b  \sqrt{-1}</math> and would represent the ''absolute size'' of the line <math>a + b  \sqrt{-1}\,,</math> (Note that Argand represented complex numbers as vectors.) whereas the other factor [namely, <math>\tfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \tfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sqrt{-1} </math>], जिसका मॉड्यूल यूनिटी [1] है, इसकी दिशा को दर्शाएगा।]}}<ref>{{cite web |author=Jeff Miller |date=Sep 21, 1999 |title=मापांक|url=http://members.aol.com/jeff570/m.html|archive-url=https://web.archive.org/web/19991003034827/http://members.aol.com/jeff570/m.html |work=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (M) |archive-date=1999-10-03 |url-status=usurped}}</ref> कॉची (1821) ने बुलाया {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} घटा हुआ रूप<ref>{{cite book |last=Cauchy |first=Augustin-Louis |date=1821 |title=रॉयल पॉलिटेक्निक स्कूल में विश्लेषण पाठ्यक्रम|url=https://archive.org/details/coursdanalysede00caucgoog/page/n209/mode/2up |location=Paris, France |publisher=L'Imprimerie Royale |volume=1 |page=183 |language=fr }}</ref> और स्पष्ट रूप से तर्क शब्द का परिचय दिया; गॉस ने प्रयोग किया {{math|''i''}} के लिए <math>\sqrt{-1}</math>,{{efn| Gauss writes:<ref>{{harvnb|Gauss|1831|p=96}}</ref>''"Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando campus arithmeticae ad quantitates ''imaginarias'' extenditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae ''a + bi'', denotantibus ''i'', pro more quantitatem imaginariam <math>\sqrt{-1}</math>, atque ''a, b'' indefinite omnes numeros reales integros inter -<math>\infty</math> et +<math>\infty</math>."'' [Of course just as the higher arithmetic has been investigated so far in problems only among real integer numbers, so theorems regarding biquadratic residues then shine in greatest simplicity and genuine beauty, when the field of arithmetic is extended to ''imaginary'' quantities, so that, without restrictions on it, numbers of the form ''a + bi'' — ''i'' denoting by convention the imaginary quantity <math>\sqrt{-1}</math>, and the variables ''a, b'' [denoting] all real integer numbers between <math>-\infty</math> and <math>+\infty</math> — constitute an object.]}} के लिए जटिल संख्या शब्द की शुरुआत की {{math|''a'' + ''bi''}},{{efn|Gauss:<ref>{{harvnb|Gauss|1831|p=96}}</ref>''"Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur."'' [We will call such numbers [namely, numbers of the form ''a + bi'' ] "complex integer numbers", so that real [numbers] are regarded not as the opposite of complex [numbers] but [as] a type [of number that] is, so to speak, contained within them.]}} और बुलाया {{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}} नियम।{{efn|Gauss:<ref>{{harvnb|Gauss|1831|p=98}}</ref> ''"Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque ''normam'' vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est."'' [We call a "norm" the product of a complex number [e.g,. ''a + ib'' ] with its conjugate [''a - ib'' ].  Therefore the square of a real number should be regarded as its norm.]}} अभिव्यक्ति दिशा गुणांक, अक्सर के लिए प्रयोग किया जाता है {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}}हैंकेल (1867) के कारण है,<ref>{{cite book |last=Hankel |first=Hermann |date=1867 |title=जटिल संख्याओं और उनके कार्यों पर व्याख्यान|trans-title=Lectures About the Complex Numbers and Their Functions |url=https://books.google.com/books?id=754KAAAAYAAJ&pg=PA71 |location=Leipzig, [Germany] |publisher=Leopold Voss |volume=1 |page=71 |language=de }}  From p. 71:  ''"Wir werden den Factor (''cos'' φ + i ''sin'' φ) haüfig den ''Richtungscoefficienten'' nennen."'' (We will often call the factor (cos φ + i sin φ) the "coefficient of direction".)</ref> और मापांक के लिए निरपेक्ष मान, वीयरस्ट्रैस के कारण होता है।
+{{harvnb|Argand|1814|p=208}} defines and names the ''module'' and the ''direction factor'' of a complex number:  ''"...&nbsp;<math>a = \sqrt{m^2 + n^2}</math> pourrait être appelé le ''module'' de <math>a + b  \sqrt{-1}</math>, et représenterait la ''grandeur absolue'' de la ligne <math>a + b  \sqrt{-1}</math>, tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représenterait la direction."''<br/>[...&nbsp;<math>a = \sqrt{m^2 + n^2}</math> could be called the ''module'' of <math>a + b  \sqrt{-1}</math> and would represent the ''absolute size'' of the line <math>a + b  \sqrt{-1}\,,</math> (Note that Argand represented complex numbers as vectors.) whereas the other factor [namely, <math>\tfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \ tfrac {b} {\ sqrt {a^2 + b^2}} \ sqrt {-1} </math>], जिसका मॉड्यूल एकता है [1], इसकी दिशा का प्रतिनिधित्व करेगा।]}}<ref>{{cite web |author=Jeff Miller |date=Sep 21, 1999 |title=मापांक|url=http://members.aol.com/jeff570/m.html|archive-url=https://web.archive.org/web/19991003034827/http://members.aol.com/jeff570/m.html |work=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (M) |archive-date=1999-10-03 |url-status=usurped}}</ref> कॉची (1821) कहा जाता है और {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} घटा हुआ रूप (लघु पद)<ref>{{cite book |last=Cauchy |first=Augustin-Louis |date=1821 |title=रॉयल पॉलिटेक्निक स्कूल का विश्लेषण पाठ्यक्रम|url=https://archive.org/details/coursdanalysede00caucgoog/page/n209/mode/2up |location=Paris, France |publisher=L'Imprimerie Royale |volume=1 |page=183 |language=fr }}</ref> और स्पष्ट रूप से तर्क शब्द का परिचय दिया; गॉस ने <math>\sqrt{-1}</math> के लिए {{math|''i''}} का उपयोग किया {{efn| Gauss writes:<ref>{{harvnb|Gauss|1831|p=96}}</ref>''"Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando campus arithmeticae ad quantitates ''imaginarias'' extenditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae ''a + bi'', denotantibus ''i'', pro more quantitatem imaginariam <math>\sqrt{-1}</math>, atque ''a, b'' indefinite omnes numeros reales integros inter -<math>\infty</math> et +<math>\infty</math>."'' [Of course just as the higher arithmetic has been investigated so far in problems only among real integer numbers, so theorems regarding biquadratic residues then shine in greatest simplicity and genuine beauty, when the field of arithmetic is extended to ''imaginary'' quantities, so that, without restrictions on it, numbers of the form ''a + bi'' — ''i'' denoting by convention the imaginary quantity <math>\sqrt{-1}</math>, and the variables ''a, b'' [denoting] all real integer numbers between <math>-\infty</math> and <math>+\infty</math> — constitute an object.]}} ने {{math|''a'' + ''bi''}} के लिए सम्मिश्र संख्या पद का परिचय दिया,{{efn|Gauss:<ref>{{harvnb|Gauss|1831|p=96}}</ref>''"Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur."'' [We will call such numbers [namely, numbers of the form ''a + bi'' ] "complex integer numbers", so that real [numbers] are regarded not as the opposite of complex [numbers] but [as] a type [of number that] is, so to speak, contained within them.]}} और {{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}} नियम को मानक माना।{{efn|Gauss:<ref>{{harvnb|Gauss|1831|p=98}}</ref> ''"Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque ''normam'' vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est."'' [We call a "norm" the product of a complex number [e.g,. ''a + ib'' ] with its conjugate [''a - ib'' ].  Therefore the square of a real number should be regarded as its norm.]}} पद दिशा गुणांक, प्रायः {{math|cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''}} हैनकेल (1867) के कारण के लिए उपयोग किया जाताहै,<ref>{{cite book |last=Hankel |first=Hermann |date=1867 |title=जटिल संख्याओं और उनके कार्यों के बारे में व्याख्यान|trans-title=Lectures About the Complex Numbers and Their Functions |url=https://books.google.com/books?id=754KAAAAYAAJ&pg=PA71 |location=Leipzig, [Germany] |publisher=Leopold Voss |volume=1 |page=71 |language=de }}  From p. 71:  ''"Wir werden den Factor (''cos'' φ + i ''sin'' φ) haüfig den ''Richtungscoefficienten'' nennen."'' (We will often call the factor (cos φ + i sin φ) the "coefficient of direction".)</ref> और निरपेक्ष मूल्य, मापांक के लिए, वीरस्ट्रास के कारण है।
-सामान्य सिद्धांत पर बाद के शास्त्रीय लेखकों में [[रिचर्ड डेडेकिंड]], ओटो होल्डर, [[फेलिक्स क्लेन]], हेनरी पॉइनकेयर, [[हरमन ब्लैक]], [[कार्ल वीयरस्ट्रास]] और कई अन्य शामिल हैं। 20वीं सदी की शुरुआत में जटिल बहुभिन्नरूपी कलन में महत्वपूर्ण कार्य (व्यवस्थितीकरण सहित) शुरू किया गया है। 1927 में [[विलियम विर्टिंगर]] द्वारा महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए गए हैं।
+बाद में सामान्य सिद्धांत पर शास्त्रीय लेखकों में [[ रिचर्ड डेडेकिंड |रिचर्ड डेडेकिंड]], ओटो होल्डर, [[ फेलिक्स क्लेन |फेलिक्स क्लेन]], हेनरी पोइंकेरे, [[ हरमन श्वार्ज़ |हरमन श्वार्ज़]], [[ कार्ल वीमर स्ट्रैस |कार्ल वीमर स्ट्रैस]] और कई अन्य सम्मिलित हैं। 20 वीं शताब्दी के प्रारंभ में सम्मिश्र बहुभिन्नरूपी कलन में महत्वपूर्ण फलन (व्यवस्थितीकरण सहित) प्रारंभ किया गया है। 1927 में [[ विल्हेम वर्टिंगर |विल्हेम वर्टिंगर]] द्वारा महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए गए हैं।
-== संबंध और संचालन ==
+== संबंध और संक्रिया ==
 === समानता ===
-सम्मिश्र संख्याओं की समानता की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के समान होती है; दो जटिल संख्याएँ {{math|''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>''i''}} और {{math|''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>''i''}} समान हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग समान हैं, अर्थात यदि {{math|1=''a''<sub>1</sub> = ''a''<sub>2</sub>}} और {{math|1=''b''<sub>1</sub> = ''b''<sub>2</sub>}}. [[ध्रुवीय रूप]] में लिखी गई अशून्य जटिल संख्याएँ समान होती हैं यदि और केवल यदि उनका परिमाण समान होता है और उनके तर्क एक पूर्णांक गुणक से भिन्न होते हैं {{math|2''π''}}.
+सम्मिश्र संख्याओं में वास्तविक संख्याओं की समानता की एक समान परिभाषा है; दो सम्मिश्र संख्याएँ {{math|''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>''i''}} और {{math|''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>''i''}} समान हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग समान हैं, तब, अर्थात् यदि {{math|1=''a''<sub>1</sub> = ''a''<sub>2</sub>}} और {{math|1=''b''<sub>1</sub> = ''b''<sub>2</sub>}} हैं।ध्रुवीय रूप में लिखे गए शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ समान होती हैं यदि और केवल यदि उनका परिमाण समान होता है और उनके तर्क {{math|2''π''}} के पूर्णांक गुणक से भिन्न होते हैं।
-=== आदेश देना ===
+=== अनुक्रम ===
-वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं का कोई प्राकृतिक क्रम नहीं होता है। विशेष रूप से, जटिल संख्याओं पर कोई रेखीय क्रम नहीं है जो जोड़ और गुणा के साथ संगत हो। इसलिए, सम्मिश्र संख्याओं में एक आदेशित फ़ील्ड की संरचना नहीं होती है। इसके लिए एक स्पष्टीकरण यह है कि एक आदेशित क्षेत्र में वर्गों का प्रत्येक गैर-तुच्छ योग#nontrivialSquareSum अशून्य है, और {{math|1=''i''<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> = 0}} वर्गों का एक गैर-तुच्छ योग है। इस प्रकार, जटिल संख्याओं को स्वाभाविक रूप से द्वि-आयामी विमान पर मौजूद माना जाता है।
+वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं का कोई प्राकृतिक क्रम नहीं होता है। विशेष रूप से, सम्मिश्र संख्याओं पर कोई रेखीय क्रम नहीं है जो योग और गुणन के साथ संगत हो। इसलिए, सम्मिश्र संख्याओं में एक क्रमित क्षेत्र की संरचना नहीं होती है। इसके लिए एक स्पष्टीकरण यह है कि एक क्रमित क्षेत्र में वर्गों का प्रत्येक गैर-सामान्य योग अशून्य है, और {{math|1=''i''<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> = 0}} वर्गों का गैर-सामान्य योग है। इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं को स्वाभाविक रूप से एक द्वि-आयामी तल पर विद्यमान माना जाता है।
 === संयुग्म ===
-{{See also|Complex conjugate}}
+{{See also|सम्मिश्र संयुग्म}}
-[[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व {{mvar|z}} और इसके संयुग्मी {{mvar|{{overline|z}}}} जटिल विमान में]]सम्मिश्र संख्या का सम्मिश्र संयुग्म {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} द्वारा दिया गया है {{math|''x'' − ''yi''}}. यह या तो द्वारा दर्शाया गया है {{mvar|{{overline|z}}}} या {{math|''z''*}}.<ref>For the former notation, see {{harvnb|Apostol|1981|pp=15–16}}</ref> सम्मिश्र संख्याओं पर यह एकात्मक संक्रिया केवल उनकी मूल संक्रियाओं जोड़, घटाव, गुणा और भाग को लागू करके व्यक्त नहीं की जा सकती।
+[[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ज्यामितीय प्रतिनिधित्व {{mvar|z}} और इसके संयुग्म {{mvar|{{overline|z}}}} सम्मिश्र समतल में]]सम्मिश्र संख्या {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} का सम्मिश्र संयुग्म {{math|''x'' − ''yi''}} द्वारा दिया गया है। इसे या तो {{mvar|{{overline|z}}}} या {{math|''z''*}} द्वारा दर्शाया जाता है।<ref>For the former notation, see {{harvnb|Apostol|1981|pp=15–16}}</ref> सम्मिश्र संख्याओं पर यह एकात्मक संक्रिया केवल उनकी मूल संक्रियाओं जोड़, व्यवकलन, गुणा और भाग को प्रयुक्त करके व्यक्त नहीं की जा सकती।
-ज्यामितीय रूप से, {{mvar|{{overline|z}}}} प्रतिबिंब समरूपता है | का प्रतिबिंब {{mvar|z}} वास्तविक अक्ष के बारे में दो बार संयुग्मन करने से मूल सम्मिश्र संख्या प्राप्त होती है
+ज्यामितीय रूप से, {{mvar|{{overline|z}}}} वास्तविक अक्ष के बारे में {{mvar|z}} का "प्रतिबिंब" है। दो बार संयुग्मन करने से मूल सम्मिश्र संख्या प्राप्त होती है
 <math display=block>\overline{\overline{z}}=z,</math>
-जो इस संक्रिया को एक अंतर्वलन (गणित) बनाता है। प्रतिबिंब वास्तविक भाग और परिमाण दोनों को छोड़ देता है {{mvar|z}} अपरिवर्तित, अर्थात्
+जो इस संक्रिया को एक घातकरण (गणित) बनाता है। प्रतिबिंब वास्तविक भाग और {{mvar|z}} के परिमाण दोनों को अपरिवर्तित छोड़ देता है, अर्थात
 <math display=block>\operatorname{Re}(\overline{z}) = \operatorname{Re}(z)\quad</math> और <math>\quad |\overline{z}| = |z|.</math>
-काल्पनिक भाग और एक सम्मिश्र संख्या का तर्क {{mvar|z}} संयुग्मन के तहत अपना चिन्ह बदलें
+सम्मिश्र संख्या z का काल्पनिक भाग और तर्कांक संयुग्मन के अंतर्गत अपना चिन्ह बदलते हैं
 <math display=block>\operatorname{Im}(\overline{z}) = -\operatorname{Im}(z)\quad \text{ and } \quad \operatorname{arg} \overline{z} \equiv -\operatorname{arg} z \pmod {2\pi}.</math>
-तर्क और परिमाण पर विवरण के लिए, #ध्रुवीय रूप पर अनुभाग देखें।
+तर्क और परिमाण पर विवरण के लिए, ध्रुवीय रूप पर अनुभाग देखें।
-एक जटिल संख्या का उत्पाद {{math|''z'' {{=}} ''x'' + ''yi''}} और इसके संयुग्म को [[पूर्ण वर्ग]] के रूप में जाना जाता है। यह हमेशा एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है और प्रत्येक के परिमाण के वर्ग के बराबर होती है:
+सम्मिश्र संख्या का गुणनफल {{math|''z'' {{=}} ''x'' + ''yi''}} और इसके संयुग्म को [[ निरपेक्ष वर्ग |निरपेक्ष वर्ग]] के रूप में जाना जाता है। यह सदैव गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है और प्रत्येक के परिमाण के वर्ग के बराबर होती है:
 <math display=block>z\cdot \overline{z} = x^2 + y^2 = |z|^2 = |\overline{z}|^2.</math>
-दिए गए भाजक के संयुग्म द्वारा भिन्न के अंश और हर दोनों का विस्तार करके इस गुण का उपयोग जटिल भाजक वाले भिन्न को वास्तविक भाजक वाले समतुल्य भिन्न में बदलने के लिए किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को कभी-कभी भाजक का [[युक्तिकरण (गणित)]] कहा जाता है (हालांकि अंतिम अभिव्यक्ति में भाजक एक अपरिमेय वास्तविक संख्या हो सकती है), क्योंकि यह एक भाजक में सरल भावों से जड़ों को हटाने की विधि जैसा दिखता है।
+दिए गए भाजक के संयुग्म द्वारा भिन्न के अंश और हर दोनों का विस्तार करके इस गुण का उपयोग सम्मिश्र भाजक वाले भिन्न को वास्तविक भाजक वाले समतुल्य भिन्न में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को कभी-कभी भाजक का "युक्तिकरण" कहा जाता है (हालांकि अंतिम पद में भाजक एक अपरिमेय वास्तविक संख्या हो सकती है), क्योंकि यह एक भाजक में सरल पदों से रूट को हटाने की विधि जैसा दिखता है।
-एक सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग {{mvar|z}} संयुग्मन का उपयोग करके निकाला जा सकता है:
+सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भागों {{mvar|z}} संयुग्मन का उपयोग करके निकाला जा सकता है:
 <math display=block>\operatorname{Re}(z) = \dfrac{z+\overline{z}}{2},\quad \text{ and } \quad \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z-\overline{z}}{2i}.</math>
-इसके अलावा, एक सम्मिश्र संख्या वास्तविक होती है यदि और केवल यदि यह अपने स्वयं के संयुग्म के बराबर होती है।
+इसके अतिरिक्त, सम्मिश्र संख्या वास्तविक है यदि और केवल यदि यह अपने स्वयं के संयुग्म के बराबर है।
-संयुग्मन बुनियादी जटिल अंकगणितीय कार्यों पर वितरित करता है:
+संयुग्मन मूल सम्मिश्र अंकगणितीय संक्रिया पर वितरित करता है:
 <math display=block>\begin{align}
      \overline{z\pm w} &= \overline{z} \pm \overline{w}, \\
@@ Line 185: / Line 197: @@
         \overline{z/w} &= \overline{z}/\overline{w}.
 \end{align}</math>
-संयुग्मन को [[उलटा ज्यामिति]] में भी नियोजित किया जाता है, ज्यामिति की एक शाखा एक रेखा के बारे में एक से अधिक सामान्य प्रतिबिंबों का अध्ययन करती है। [[नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट)]] में, जटिल संयुग्म का उपयोग समतुल्य प्रतिबाधा खोजने में किया जाता है जब [[अधिकतम शक्ति हस्तांतरण प्रमेय]] की तलाश की जाती है।
+संयुग्मन भी व्युत्क्रम ज्यामिति में नियोजित किया जाता है, ज्यामिति की एक शाखा रेखा के बारे में अधिक सामान्य प्रतिबिंबों का अध्ययन करती है।विद्युत परिपथों के नेटवर्क विश्लेषण में, समतुल्य प्रतिबाधा ज्ञात करने के लिए सम्मिश्र संयुग्म का उपयोग किया जाता है जब अधिकतम शक्ति अंतरण प्रमेय की खोज की जाती है
-=== जोड़ और घटाव ===
+=== जोड़ना और घटाना ===
-[[File:Vector Addition.svg|right|thumb|समांतर चतुर्भुज की रचना करके दो सम्मिश्र संख्याओं का योग ज्यामितीय रूप से किया जा सकता है।]]दो सम्मिश्र संख्याएँ <math>a =x+yi</math> और <math>b =u+vi</math> उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़कर सबसे आसानी से जोड़ा जाता है। यानी:
+[[File:Vector Addition.svg|right|thumb|समांतर चतुर्भुज की रचना करके दो सम्मिश्र संख्याओं का योग ज्यामितीय रूप से किया जा सकता है।]]दो सम्मिश्र संख्याएँ <math>a =x+yi</math> और <math>b =u+vi</math> को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़कर सबसे आसानी से जोड़ दिया जाता है। अर्थात:
 <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math>
-इसी प्रकार, [[घटाव]] के रूप में किया जा सकता है
+इसी तरह, [[ घटाव |व्यवकलन]] किया जा सकता है
 <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math>
-एक जटिल संख्या का गुणन <math>a =x+yi</math> और एक वास्तविक संख्या {{mvar|r}} अलग-अलग गुणा करके इसी प्रकार किया जा सकता है {{mvar|r}} और के वास्तविक और काल्पनिक भाग {{mvar|a}}:
+सम्मिश्र संख्या का गुणन <math>a =x+yi</math> और एक वास्तविक संख्या r को अलग-अलग r और a के वास्तविक और काल्पनिक भागों को गुणा करके समान रूप से किया जा सकता है:
 <math display=block>ra=r(x+yi) = rx + ryi.</math>
-विशेष रूप से, [[वापस लेने]] को नकार कर घटाव किया जा सकता है (जो इसे गुणा कर रहा है {{math|–1}}) और परिणाम को [[minuend]] में जोड़ना:
+विशेष रूप से, व्यवकलन को [[ वियोजक |वियोजक]] को अस्वीकार किया जा सकता है (जो इसे {{math|–1}} गुणा कर रहा है) और परिणाम को न्यूनतम में जोड़ रहा है:
 <math display=block>a - b =a + (-1)\,b.</math>
-जटिल विमान में जटिल संख्याओं के विज़ुअलाइज़ेशन का उपयोग करते हुए, जोड़ की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है: दो जटिल संख्याओं का योग {{mvar|a}} और {{mvar|b}}, जटिल तल में बिंदुओं के रूप में व्याख्या की गई, वह बिंदु है जो तीन शीर्षों से समांतर चतुर्भुज बनाकर प्राप्त किया जाता है {{mvar|O}}, और लेबल किए गए तीरों के बिंदु {{mvar|a}} और {{mvar|b}} (बशर्ते कि वे एक लाइन पर न हों)। समान रूप से, इन बिंदुओं को कॉल करना {{mvar|A}}, {{mvar|B}}, क्रमशः और समांतर चतुर्भुज का चौथा बिंदु {{mvar|X}} [[त्रिकोण]] {{mvar|OAB}} और {{mvar|XBA}} [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] हैं।
+सम्मिश्र समतल में सम्मिश्र संख्याओं के आभासीकरण का उपयोग करते हुए, जोड़ की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है: सम्मिश्र समतल में बिंदुओं के रूप में व्याख्या की गई दो सम्मिश्र संख्याओं a और b का योग, तीन शीर्ष O से एक समानांतर चतुर्भुज बनाकर प्राप्त किया गया बिंदु है, और a और b स्तर वाले तीरों के बिंदु (तथापि कि वे एक रेखा पर न हों)। समान रूप से, इन बिंदुओं को क्रमशः A, B, और समांतर चतुर्भुज X के चौथे बिंदु को मानकर त्रिकोण OAB और XBA सर्वांगसम हैं।
-=== गुणन और वर्ग{{anchor|Multiplication|Square}}===
+=== गुणा और वर्ग===
-वितरण संपत्ति के नियम, क्रमविनिमेय संपत्ति (जोड़ और गुणा की), और परिभाषित संपत्ति {{math|1=''i''{{sup|2}} = −1}} जटिल संख्याओं पर लागू करें। यह इस प्रकार है कि
+वितरणात्मक गुण के नियम, [[ क्रमचयी गुणधर्म |क्रमविनिमेय गुण]] (जोड़ और गुणा के), और परिभाषित गुण {{math|1=''i''{{sup|2}} = −1}} सम्मिश्र संख्याओं पर प्रयुक्त होते हैं। यह इस प्रकार है
- <math display=block>(x+yi)\, (u+vi)= (xu - yv) + (xv + yu)i.</math>
+<math display=block>(x+yi)\, (u+vi)= (xu - yv) + (xv + yu)i.</math>
 विशेष रूप से,
 <math display=block>(x+yi)^2=x^2-y^2 + 2xyi.</math>
-=== व्युत्क्रम और विभाजन ===
+=== पारस्परिक और विभाजन ===
-संयुग्मन का उपयोग करना, एक अशून्य सम्मिश्र संख्या का गुणक व्युत्क्रम {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} कभी भी तोड़ा जा सकता है
+संयुग्मन का उपयोग करते हुए, गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या का गुणक {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} के व्युत्क्रम को सदैव विभाजित किया जा सकता है
 <math display=block>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z \overline{z}} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}=\frac{\overline{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i,</math>
-चूंकि गैर-शून्य का तात्पर्य है {{math|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}} शून्य से बड़ा है।
+चूंकि गैर-शून्य का अर्थ है कि {{math|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}} शून्य से अधिक है।
-इसका उपयोग मनमाना जटिल संख्या के विभाजन को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है {{math|''w'' {{=}} ''u'' + ''vi''}} एक गैर-शून्य जटिल संख्या द्वारा {{mvar|z}} जैसा
+इसका उपयोग एक एकपक्षीय सम्मिश्र संख्या {{math|''w'' {{=}} ''u'' + ''vi''}} के गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} द्वारा विभाजन को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है
 <math display=block>\frac {w}{z}= w\cdot \frac {1}{z}= (u+vi)\cdot \left(\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i\right)= \frac{(ux+vy)+(vx-uy)i} {x^2+y^2}.</math>
-=== ध्रुवीय रूप में गुणा और भाग ===
+=== गुणा और ध्रुवीय रूप में विभाजन ===
-[[File:Complex multi.svg|right|thumb|का गुणन {{math|2 + ''i''}} (नीला त्रिकोण) और {{math|3 + ''i''}} (लाल त्रिकोण)। लाल त्रिकोण को नीले त्रिकोण के शीर्ष से मिलाने के लिए घुमाया जाता है (दोनों कोणों को φ के संदर्भ में जोड़कर)<sub>1</sub>+ च<sub>2</sub> समीकरण में) और नीले त्रिकोण के [[कर्ण]] की लंबाई (दोनों त्रिज्याओं का गुणन, शब्द r के अनुसार) द्वारा बढ़ाया गया<sub>1</sub>r<sub>2</sub> समीकरण में)।]]गुणन, विभाजन और घातांक के सूत्र कार्तीय निर्देशांकों में संबंधित सूत्रों की तुलना में ध्रुवीय रूप में सरल होते हैं। दो सम्मिश्र संख्याएँ दी हैं {{math|1=''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos ''φ''<sub>1</sub> + ''i'' sin ''φ''<sub>1</sub>)}} और {{math|1=''z''<sub>2</sub> = ''r''<sub>2</sub>(cos ''φ''<sub>2</sub> + ''i'' sin ''φ''<sub>2</sub>)}}, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के कारण
+[[File:Complex multi.svg|right|thumb|2 + i (नीला त्रिभुज) और 3 + i (लाल त्रिभुज) का गुणन। लाल त्रिकोण को नीले त्रिकोण के शीर्ष से मिलाने के लिए घुमाया जाता है (समीकरण में φ1+φ2 के संदर्भ में दोनों कोणों को जोड़कर) और नीले त्रिकोण के कर्ण की लंबाई तक बढ़ाया जाता है(समीकरण में r1r2 पद के अनुसार दोनों त्रिज्याओं का गुणन)।]]गुणन, विभाजन और घातांक के सूत्र कार्तीय निर्देशांकों में संबंधित सूत्रों की तुलना में ध्रुवीय रूप में सरल होते हैं। त्रिकोणमितीय पहचान के कारण दो सम्मिश्र संख्याएँ {{math|1=''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos ''φ''<sub>1</sub> + ''i'' sin ''φ''<sub>1</sub>)}} और {{math|1=''z''<sub>2</sub> = ''r''<sub>2</sub>(cos ''φ''<sub>2</sub> + ''i'' sin ''φ''<sub>2</sub>)}} दी गई हैं
 <math display=block>\begin{alignat}{4}
    \cos a \cos b & - \sin a \sin b & {}={} & \cos(a + b) \\
@@ Line 224: / Line 236: @@
 <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).</math>
-दूसरे शब्दों में, निरपेक्ष मूल्यों को गुणा किया जाता है और उत्पाद के ध्रुवीय रूप को प्राप्त करने के लिए तर्क जोड़े जाते हैं। उदाहरण के लिए, से गुणा करना {{math|''i''}} एक चौथाई मोड़ (ज्यामिति) वामावर्त से मेल खाता है, जो वापस देता है {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}. दाईं ओर की तस्वीर के गुणन को दर्शाती है
+दूसरे शब्दों में, निरपेक्ष मूल्यों को गुणा किया जाता है और गुणनफल के ध्रुवीय रूप को प्राप्त करने के लिए तर्क जोड़े जाते हैं। उदाहरण के लिए {{math|''i''}} से गुणा करना एक चौथाई मोड़ (ज्यामिति) वामावर्त से अनुरूप है, जो प्रतिवर्त {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}देता है। दाईं ओर की रेखाचित्र के गुणन को दर्शाती है
 <math display=block>(2+i)(3+i)=5+5i. </math>
-के वास्तविक और काल्पनिक भाग के बाद से {{math|5 + 5''i''}} बराबर हैं, उस संख्या का तर्क 45 डिग्री है, या {{math|''π''/4}} (रेडियन में)। दूसरी ओर, यह लाल और नीले त्रिभुजों के मूल में कोणों का योग भी है जो क्रमशः [[artan]] (1/3) और आर्कटान (1/2) हैं। इस प्रकार, सूत्र
+चूंकि {{math|5 + 5''i''}} वास्तविक और काल्पनिक भागसमान हैं, उस संख्या का तर्क 45 कोटि या {{math|''π''/4}} (रेडियन में) है। दूसरी ओर, यह लाल और नीले त्रिभुजों के मूल में कोणों का योग भी है जो क्रमशः [[ आर्कटान |आर्कटान]] (1/3) और आर्कटान (1/2) हैं। इस प्रकार, सूत्र
 <math display=block>\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) </math>
-रखती है। चूंकि आर्कटान फ़ंक्शन को अत्यधिक कुशलता से अनुमानित किया जा सकता है, इस तरह के सूत्र - मशीन-जैसे सूत्रों के रूप में जाने जाते हैं - पीआई के उच्च-परिशुद्धता सन्निकटन के लिए उपयोग किए जाते हैं।{{pi}}.
+धारण करता है। जैसा कि आर्कटैन फलन को अत्यधिक कुशलता से अनुमानित किया जा सकता है, इस तरह के सूत्रों को माचिन-जैसे सूत्रों के रूप में जाना जाता है जो {{pi}} के उच्च-परिशुद्धता सन्निकटन के लिए उपयोग किए जाते हैं।
-इसी प्रकार, विभाजन द्वारा दिया जाता है
+इसी तरह, विभाजन द्वारा दिया जाता है
 <math display=block>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).</math>
-===वर्गमूल===
+=== वर्गमूल ===
-{{see also|Square root#Square roots of negative and complex numbers|l1=Square roots of negative and complex numbers}}
+{{see also|ऋणात्मक और सम्मिश्र संख्याओं के वर्गमूल|l1=ऋणात्मक और सम्मिश्र संख्याओं के वर्गमूल}}
-का वर्गमूल {{math|''a'' + ''bi''}} (साथ {{math|''b'' ≠ 0}}) हैं <math> \pm (\gamma + \delta i)</math>, कहां
+{{math|''a'' + ''bi''}} ( {{math|''b'' ≠ 0}} के साथ) के वर्गमूल <math> \pm (\gamma + \delta i)</math> हैं, जहाँ
 <math display=block>\gamma = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}</math>
@@ Line 242: / Line 255: @@
 <math display=block>\delta = (\sgn b)\sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}},</math>
-कहां {{math|sgn}} [[साइन समारोह]] फंक्शन है। इसे वर्ग करके देखा जा सकता है <math> \pm (\gamma + \delta i)</math> प्राप्त करने के लिए {{math|''a'' + ''bi''}}.<ref>{{cite book
+जहाँ {{math|sgn}} [[ हस्ताक्षर समारोह |साइनम]] फलन है। यह वर्ग <math> \pm (\gamma + \delta i)</math> प्राप्त करने के लिए {{math|''a'' + ''bi''}} द्वारा देखा जा सकता है।<ref>{{cite book
-|title=सूत्र, रेखांकन और गणितीय तालिकाओं के साथ गणितीय कार्यों की पुस्तिका|first1=Milton
+|title=सूत्र, रेखांकन और गणितीय तालिकाओं के साथ गणितीय कार्यों की हैंडबुक|first1=Milton
 |last1=Abramowitz
 |first2=Irene A.
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 |archive-date=24 April 2016
 |url-status=live
-}}, [https://books.google.com/books?id=lUcTsYopfhkC&pg=PA59 Extract: page 59] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160423183239/https://books.google.com/books?id=lUcTsYopfhkC&pg=PA59 |date=23 April 2016 }}</ref> यहां <math>\sqrt{a^2 + b^2}</math> का निरपेक्ष मान कहलाता है {{math|''a'' + ''bi''}}, और वर्गमूल चिह्न गैर-ऋणात्मक वास्तविक भाग वाले वर्गमूल को इंगित करता है, जिसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है; भी <math>\sqrt{a^2 + b^2}= \sqrt{z\overline{z}},</math> कहां {{math|''z'' {{=}} ''a'' + ''bi''}}.{{sfn|Ahlfors|1979|p=3}}
+}}, [https://books.google.com/books?id=lUcTsYopfhkC&pg=PA59 Extract: page 59] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160423183239/https://books.google.com/books?id=lUcTsYopfhkC&pg=PA59 |date=23 April 2016 }}</ref> यहां <math>\sqrt{a^2 + b^2}</math> का {{math|''a'' + ''bi''}} निरपेक्ष मूल्य कहा जाता है और वर्गमूल रूट चिन्ह गैर-ऋणात्मक वास्तविक भाग के साथ वर्गमूल को इंगित करता है, जिसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है; साथ ही <math>\sqrt{a^2 + b^2}= \sqrt{z\overline{z}},</math> जहाँ {{math|''z'' {{=}} ''a'' + ''bi''}}.{{sfn|Ahlfors|1979|p=3}}
-=== घातीय समारोह ===
+=== घातीय फलन ===
-घातीय कार्य <math>\exp \colon \Complex \to \Complex ; z \mapsto \exp z </math> प्रत्येक जटिल संख्या के लिए परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|z}} शक्ति श्रृंखला द्वारा
+घातीय फलन <math>\exp \colon \Complex \to \Complex ; z \mapsto \exp z </math> को घात श्रृंखला द्वारा प्रत्येक सम्मिश्र संख्या {{mvar|z}} के लिए परिभाषित किया जा सकता है
 <math display=block>\exp z= \sum_{n=0}^\infty \frac {z^n}{n!},</math>
-जिसमें अभिसरण की अनंत त्रिज्या है।
+जिसमें अभिसरण का एक अनंत त्रिज्या है।
-पर मूल्य {{math|1}} चरघातांकी फलन का यूलर संख्या है
+घातीय फलन के 1 का मान यूलर की संख्या है
 <math display=block>e = \exp 1 = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}\approx 2.71828.</math>
-यदि {{mvar|z}} वास्तविक है, एक के पास है
+यदि {{mvar|z}} वास्तविक है, तो एक के पास है
   <math>\exp z=e^z.</math>
-[[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] इस समानता को प्रत्येक जटिल मूल्य के लिए विस्तारित करने की अनुमति देती है {{mvar|z}}, और इस प्रकार आधार के साथ जटिल घातांक को परिभाषित करना {{mvar|e}} जैसा
+[[ विश्लेषणात्मक निरंतरता | विश्लेषणात्मक निरंतरता]] इस समानता {{mvar|z}},के प्रत्येक सम्मिश्र मूल्य के लिए बढ़ाने की स्वीकृति देती है और इस प्रकार आधार {{mvar|e}} के साथ सम्मिश्र घातांक को परिभाषित करती है
 <math display=block>e^z=\exp z.</math>
-==== [[कार्यात्मक समीकरण]] ====
+==== [[ कार्यात्मक समीकरण ]] ====
-चरघातांकी फलन फलन समीकरण को संतुष्ट करता है <math>e^{z+t}=e^ze^t.</math>
+घातीय फलन कार्यात्मक समीकरण <math>e^{z+t}=e^ze^t</math> को संतुष्ट करता है यह या तो दोनों इकाइयों के घात श्रेणी विस्तार की तुलना करके या समीकरण के प्रतिबंध से वास्तविक तर्कों के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता को प्रयुक्त करके प्रमाणित किया जा सकता है।
-यह या तो दोनों सदस्यों के शक्ति श्रृंखला विस्तार की तुलना करके या समीकरण के प्रतिबंध से लेकर वास्तविक तर्कों तक विश्लेषणात्मक निरंतरता को लागू करके साबित किया जा सकता है।
 ==== यूलर का सूत्र ====
-यूलर का सूत्र बताता है कि, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|y}},
+यूलर के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या {{mvar|y}} के लिए
 <math display=block>e^{iy} = \cos y + i\sin y .</math>
-कार्यात्मक समीकरण का तात्पर्य इस प्रकार है कि, यदि {{mvar|x}} और {{mvar|y}} असली हैं, एक के पास है
+कार्यात्मक समीकरण का अर्थ है कि, यदि {{mvar|x}} और {{mvar|y}} वास्तविक हैं, तब
 <math display=block>e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y) = e^x \cos y + i e^x \sin y ,</math>
-जो घातीय फलन का उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों में अपघटन है।
+जो अपने वास्तविक और काल्पनिक भागों में घातीय फलन का अपघटन है।
-=== जटिल लघुगणक ===
+=== सम्मिश्र लघुगणक ===
-वास्तविक स्थिति में, [[प्राकृतिक]] लघुगणक को व्युत्क्रम फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
+वास्तविक स्थिति में, [[ प्राकृतिक |प्राकृतिक]] लघुगणक को व्युत्क्रम फलन के रूप में घातीय फलन को <math>\ln \colon \R^+ \to \R ; x \mapsto \ln x </math> परिभाषित किया जा सकता है। इसे सम्मिश्र प्रक्षेत्र में विस्तारित करने के लिए, कोई भी यूलर के सूत्र से प्रारंभ कर सकता है। इसका तात्पर्य है कि, यदि सम्मिश्र संख्या <math>z\in \Complex^\times</math> ध्रुवीय रूप में लिखा गया है
- <math>\ln \colon \R^+ \to \R ; x \mapsto \ln x </math> घातीय समारोह का। इसे जटिल डोमेन तक विस्तारित करने के लिए, यूलर के सूत्र से शुरू किया जा सकता है। इसका तात्पर्य है कि, यदि एक सम्मिश्र संख्या <math>z\in \Complex^\times</math> ध्रुवीय रूप में लिखा गया है
 <math display=block> z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )</math>
-साथ <math>r, \varphi \in \R ,</math> फिर साथ
+साथ <math>r, \varphi \in \R ,</math> फिर से
 <math display=block> \ln z = \ln r + i \varphi </math>
-[[जटिल लघुगणक]] के रूप में एक उचित व्युत्क्रम होता है:
+के रूप में [[ जटिल लघुगणक |सम्मिश्र लघुगणक]] एक उपयुक्त व्युत्क्रम है:
 <math display=block> \exp \ln z = \exp(\ln r + i \varphi ) = r \exp i \varphi = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) = z .</math>
-हालाँकि, क्योंकि कोसाइन और साइन आवधिक कार्य हैं, एक पूर्णांक गुणक का जोड़ {{math|2''π''}} को {{mvar|φ}} नहीं बदलता {{mvar|z}}. उदाहरण के लिए, {{math|1=''e''{{sup|''iπ''}} = ''e''{{sup|3''iπ''}} = −1}} , तो दोनों {{mvar|iπ}} और {{math|3''iπ''}} के प्राकृतिक लघुगणक के संभावित मान हैं {{math|−1}}.
+हालाँकि, क्योंकि कोसाइन और साइन आवधिक फलन हैं, और 2π से φ के पूर्णांक गुणक का जोड़ z नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, ''e<sup>iπ</sup>'' = ''e''<sup>3''iπ''</sup> = −1 इसलिए iπ और 3iπ दोनों -1 के प्राकृतिक लघुगणक के लिए संभव मान हैं।
-इसलिए, यदि जटिल लघुगणक को बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित नहीं किया जाना है
+इसलिए, यदि सम्मिश्र लघुगणक को बहु-मान फलन के रूप में परिभाषित नहीं किया जाना है<math display=block> \ln z = \left\{ \ln r + i (\varphi + 2\pi k) \mid k \in \Z \right\},</math>
-<math display=block> \ln z = \left\{ \ln r + i (\varphi + 2\pi k) \mid k \in \Z \right\},</math>
+किसी को शाखा परिच्छेद का उपयोग करना होगा और [[ संहितात्मक |सह-प्रक्षेत्र]] को प्रतिबंधित करना होगा, जिसके परिणामस्वरूप द्विध्रुवीय फलन होता है
-किसी को [[शाखा काटी]] का उपयोग करना पड़ता है और [[कोडोमेन]] को प्रतिबंधित करना पड़ता है, जिसके परिणामस्वरूप विशेषण कार्य होता है
 <math display=block>\ln \colon \; \Complex^\times \; \to \; \; \; \R^+ + \; i \, \left(-\pi, \pi\right] .</math>
-यदि <math>z \in \Complex \setminus \left( -\R_{\ge 0} \right)</math> एक गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्या (एक सकारात्मक या एक गैर-वास्तविक संख्या) नहीं है, जिसके परिणामस्वरूप जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य प्राप्त होता है {{math|−''π'' < ''φ'' < ''π''}}. यह ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के बाहर एक विश्लेषणात्मक फलन है, लेकिन इसे किसी ऐसे फलन में विस्तारित नहीं किया जा सकता है जो किसी भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या पर निरंतर हो <math>z \in -\R^+ </math>, जहां मुख्य मूल्य है {{math|1=ln ''z'' = ln(−''z'') + ''iπ''}}.{{efn|However for another inverse function of the complex exponential function (and not the above defined principal value), the branch cut could be taken at any other [[Line (geometry)#Ray|ray]] thru the origin.}}
+यदि <math>z \in \Complex \setminus \left( -\R_{\ge 0} \right)</math> गैर-धनात्मक वास्तविक संख्या (एक धनात्मक या गैर-वास्तविक संख्या) नहीं है, सम्मिश्र लघुगणक का परिणामी प्रमुख मूल्य {{math|−''π'' < ''φ'' < ''π''}} के साथ प्राप्त होता है। यह ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के बाहर एक [[ विश्लेषणात्मक कार्य |विश्लेषणात्मक फलन]] है, लेकिन इसे किसी ऐसे फलन में विस्तारित नहीं किया जा सकता है जो किसी भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या <math>z \in -\R^+ </math> पर निरंतर हो, जहां प्रमुख मूल्य {{math|1=ln ''z'' = ln(−''z'') + ''iπ''}} है।{{efn|However for another inverse function of the complex exponential function (and not the above defined principal value), the branch cut could be taken at any other [[Line (geometry)#Ray|ray]] thru the origin.}}
 === घातांक ===
-यदि {{math|''x'' > 0}} वास्तविक है और {{mvar|z}} जटिल, घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है
+यदि x > 0 वास्तविक और z सम्मिश्र है, तो घातांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है<math display=block>x^z=e^{z\ln x},</math>
- <math display=block>x^z=e^{z\ln x},</math>
-कहां {{math|ln}} प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है।
-के जटिल मानों के लिए इस सूत्र का विस्तार करना स्वाभाविक प्रतीत होता है {{mvar|x}}, लेकिन इस तथ्य से उत्पन्न कुछ कठिनाइयाँ हैं कि जटिल लघुगणक वास्तव में एक फ़ंक्शन नहीं है, बल्कि एक बहुविकल्पीय फ़ंक्शन है।
-इससे पता चलता है कि अगर {{mvar|z}} ऊपर के रूप में है, और यदि {{mvar|t}} एक और सम्मिश्र संख्या है, तो घातांक बहु-मूल्यवान फलन है
+जहाँ {{math|ln}} प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है।
+इस सूत्र को {{mvar|x}} सम्मिश्र मानो तक विस्तारित करना स्वाभाविक लगता है, लेकिन इस तथ्य से उत्पन्न कुछ कठिनाइयाँ हैं कि सम्मिश्र लघुगणक वास्तव में एक फलन नहीं है, बल्कि एक बहुस्तरीय फलन है।
+यह इस प्रकार है कि यदि {{mvar|z}} ऊपर है, और यदि {{mvar|t}} एक और सम्मिश्र संख्या है, तो घातांक बहुवर्धित फलन है
 <math display=block>z^t=\left\{e^{t\ln r}\,(\cos(\varphi t+ 2 \pi kt)+i\sin(\varphi t+ 2 \pi kt))\}\mid k\in \mathbb Z\right\}</math>
-==== पूर्णांक और भिन्नात्मक घातांक ====
+==== पूर्णांक और आंशिक घातांक ====
 {{Visualisation complex number roots|1=upright=1.35}}
-यदि, पूर्ववर्ती सूत्र में, {{mvar|t}} एक पूर्णांक है, तो ज्या और कोज्या से स्वतंत्र हैं {{mvar|k}}. इस प्रकार, यदि प्रतिपादक {{mvar|n}} एक पूर्णांक है, तो {{math|''z''{{sup|''n''}}}} अच्छी तरह से परिभाषित है, और घातांक सूत्र डी मोइवर के सूत्र को सरल करता है:
+यदि, पूर्ववर्ती सूत्र में, t एक पूर्णांक है, तो ज्या और कोसाइन k से स्वतंत्र हैं। इस प्रकार, यदि घातांक n एक पूर्णांक है, तो zn अच्छी तरह से परिभाषित है, और घातांक सूत्र डी मोइवर के सूत्र को सरल करता है:{{math|''z''{{sup|''n''}}}{
 <math display=block> z^{n}=(r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math>
-  {{mvar|n}} }} nवीं जड़|{{mvar|n}}एक सम्मिश्र संख्या की वें जड़ें {{mvar|z}} द्वारा दिए गए हैं
+  {{mvar|n}} }}{{mvar}} सम्मिश्र संख्या z के n और n वें मूल द्वारा दिए गए हैं
 <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math>
-के लिए {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. (यहां <math>\sqrt[n]r</math> सामान्य है (सकारात्मक) {{mvar|n}}धनात्मक वास्तविक संख्या का वां मूल {{mvar|r}}।) क्योंकि साइन और कोसाइन आवधिक हैं, के अन्य पूर्णांक मान {{mvar|k}} अन्य मूल्य न दें।
+{{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}} के लिए (यहां <math>\sqrt[n]r</math> धनात्मक वास्तविक संख्या r का सामान्य (धनात्मक) nवां मूल है।) क्योंकि साइन और कोसाइन आवधिक हैं, अन्य पूर्णांक मान {{mvar|k}} अन्य मान नहीं देते हैं।
-जबकि {{mvar|n}}एक सकारात्मक वास्तविक संख्या की जड़ {{mvar|r}} धनात्मक वास्तविक संख्या के रूप में चुना जाता है {{mvar|c}} संतुष्टि देने वाला {{math|1=''c''<sup>''n''</sup> = ''r''}}, एक विशेष परिसर को अलग करने का कोई स्वाभाविक तरीका नहीं है {{mvar|n}}एक सम्मिश्र संख्या का वें मूल। इसलिए {{mvar|n}}रूट एक मल्टीवैल्यूड फंक्शन है |{{mvar|n}}- का मूल्यवान कार्य {{mvar|z}}. इसका तात्पर्य यह है कि, सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के मामले के विपरीत, किसी के पास है
+जबकि धनात्मक वास्तविक संख्या r का nवाँ मूल धनात्मक वास्तविक संख्या c के रूप में चयन किया जाता है जो ''c<sup>n</sup>'' = ''r'', को संतुष्ट करता है, एक सम्मिश्र संख्या के एक विशेष सम्मिश्र nवें मूल को अलग करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है। इसलिए, nवाँ मूल z का n-मान फलन है। इसका तात्पर्य यह है कि, धनात्मक वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत, एक के पास है
-  <math display=block>(z^n)^{1/n} \ne z,</math>
+<math display=block>(z^n)^{1/n} \ne z,</math>
-चूंकि बाएं हाथ के हिस्से में शामिल हैं {{mvar|n}} मान, और दाईं ओर एक एकल मान है।
+चूँकि बायीं ओर n मान होते हैं, और दायीं ओर एकल मान होता है।
 == गुण ==
 === क्षेत्र संरचना ===
-सेट <math>\Complex</math> जटिल संख्याओं का एक क्षेत्र (गणित) है।{{sfn|Apostol|1981|pp=15–16}} संक्षेप में, इसका मतलब यह है कि निम्नलिखित तथ्य मान्य हैं: सबसे पहले, किन्हीं भी दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है ताकि एक और सम्मिश्र संख्या प्राप्त हो सके। दूसरा, किसी सम्मिश्र संख्या के लिए {{mvar|z}}, इसका योगात्मक व्युत्क्रम {{math|–''z''}} एक सम्मिश्र संख्या भी है; और तीसरा, प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या में एक गुणक व्युत्क्रम सम्मिश्र संख्या होती है। इसके अलावा, ये ऑपरेशन कई कानूनों को संतुष्ट करते हैं, उदाहरण के लिए किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए योग और गुणन की [[क्रमविनिमेयता]] का नियम {{math|''z''<sub>1</sub>}} और {{math|''z''<sub>2</sub>}}:
+समुच्चय <math>\Complex</math> सम्मिश्र संख्याओं में से एक क्षेत्र (गणित) है।{{sfn|Apostol|1981|pp=15–16}} संक्षेप में, इसका तात्पर्य है कि निम्नलिखित तथ्य हैं: सबसे पहले, किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ा जा सकता है और एक और सम्मिश्र संख्या प्राप्त करने के लिए गुणा किया जा सकता है। दूसरा, किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए {{mvar|z}}, इसके योज्य व्युत्क्रम {{math|–''z''}} सम्मिश्र संख्या भी है; और तीसरा, प्रत्येक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या में एक गुणक व्युत्क्रम सम्मिश्र संख्या होती है। इसके अतिरिक्त, ये संक्रिया कई नियमो को संतुष्ट करते हैं, उदाहरण के लिए किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए जोड़ और गुणन की [[ संबद्धता |संबद्धता]] का नियम {{math|''z''<sub>1</sub>}} और {{math|''z''<sub>2</sub>}}:
 <math display=block>\begin{align}
 z_1 + z_2 & = z_2 + z_1 ,\\
 z_1 z_2 & = z_2 z_1 .
 \end{align}</math>
-इन दो कानूनों और एक क्षेत्र पर अन्य आवश्यकताओं को ऊपर दिए गए सूत्रों द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि वास्तविक संख्याएं स्वयं एक क्षेत्र बनाती हैं।
+इन दो नियमो और एक क्षेत्र पर अन्य आवश्यकताओं को ऊपर दिए गए सूत्रों द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि वास्तविक संख्या स्वयं एक क्षेत्र का निर्माण करती है।
-असली के विपरीत, <math>\Complex</math> एक [[आदेशित क्षेत्र]] नहीं है, अर्थात किसी संबंध को परिभाषित करना संभव नहीं है {{math|''z''<sub>1</sub> < ''z''<sub>2</sub>}} जो जोड़ और गुणा के साथ संगत है। वास्तव में, किसी भी आदेशित क्षेत्र में, किसी भी तत्व का वर्ग आवश्यक रूप से सकारात्मक होता है, इसलिए {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}} [[कुल आदेश]] के अस्तित्व को रोकता है <math>\Complex.</math>{{sfn|Apostol|1981|p=25}}
+वास्तविक के विपरीत, <math>\Complex</math> एक [[ आदेशित क्षेत्र |क्रमित क्षेत्र]] नहीं है, यह कहना है, किसी संबंध {{math|''z''<sub>1</sub> < ''z''<sub>2</sub>}} को परिभाषित करना संभव नहीं हैज ो योग और गुणन के साथ संगत है। वास्तव में, किसी भी क्रमित क्षेत्र में, किसी भी तत्व का वर्ग आवश्यक रूप से धनात्मक है, इसलिए {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}} [[ कुल आदेश |संपूर्ण अनुक्रम]] <math>\Complex</math> के स्थिति को रोकता है {{sfn|Apostol|1981|p=25}} जब गणितीय विषय या निर्माण के लिए अंतर्निहित क्षेत्र सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो विषय का नाम सामान्य रूप से उस तथ्य को प्रतिबिंबित करने के लिए संशोधित किया जाता है। उदाहरण के लिए: सम्मिश्र विश्लेषण, सम्मिश्र [[ मैट्रिक्स (गणित) |आव्यूह (गणित)]], सम्मिश्र बहुपद और सम्मिश्र [[ झूठ बीजगणित |असत्य बीजगणित]] है।
-जब गणितीय विषय या निर्माण के लिए अंतर्निहित क्षेत्र जटिल संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो उस तथ्य को दर्शाने के लिए विषय का नाम आमतौर पर संशोधित किया जाता है। उदाहरण के लिए: जटिल विश्लेषण, जटिल [[मैट्रिक्स (गणित)]], जटिल बहुपद, और जटिल [[झूठ बीजगणित]]।
-=== बहुपद समीकरणों के समाधान ===
+=== बहुपद समीकरणों का समाधान ===
-किसी भी जटिल संख्या को देखते हुए (गुणांक कहा जाता है) {{math|''a''<sub>0</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>}}, समीकरण
+किसी सम्मिश्र संख्या (गुणांक कहा जाता है) ''a''<sub>0</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>'', समीकरण दिया गया है
 <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math>
-कम से कम एक जटिल समाधान z है, बशर्ते कि कम से कम एक उच्च गुणांक हो {{math|''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>}} शून्य नहीं है।<ref name= Bourbaki 1998 loc=§VIII.1 /> यह कार्ल फ्रेडरिक गॉस और जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट के बीजगणित के मौलिक प्रमेय का कथन है। इस तथ्य के कारण, <math>\Complex</math> बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र कहा जाता है। यह गुण परिमेय संख्या पर लागू नहीं होता <math>\Q</math> (बहुपद {{math|''x''<sup>2</sup> − 2}} परिमेय मूल नहीं है, क्योंकि 2|√2 का वर्गमूल परिमेय संख्या नहीं है) और न ही वास्तविक संख्याएँ <math>\R</math> (बहुपद {{math|''x''<sup>2</sup> + ''a''}} के लिए कोई वास्तविक जड़ नहीं है {{math|''a'' > 0}}, के वर्ग के बाद से {{mvar|x}} किसी भी वास्तविक संख्या के लिए सकारात्मक है {{mvar|x}}).
+कम से कम सम्मिश्र समाधान z है, परंतु कि कम से कम उच्च गुणांक में से एक {{math|''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>}} गैर-शून्य है।https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#cite_note-Bourbaki_1998_loc=%C2%A7VIII.1-7 यह कार्ल फ्रेडरिक गॉस और जीन ले रोंड डी एलेबर्ट के बीजगणित के मौलिक प्रमेय का कथन है। इस तथ्य के कारण, <math>\Complex</math> को बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र कहा जाता है। यह गुण परिमेय संख्याओं <math>\Q</math> (बहुपद {{math|''x''<sup>2</sup> − 2}} का कोई परिमेय मूल नहीं है, क्योंकि √2 एक परिमेय संख्या नहीं है) और न ही वास्तविक संख्या <math>\R</math> ( {{math|''x''<sup>2</sup> + ''a''}} का {{math|''a'' > 0}} (बहुपद) के क्षेत्र के लिए मान्य नहीं है। क्योंकि x का वर्ग किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए धनात्मक होता है)।
-इस प्रमेय के विभिन्न प्रमाण हैं, या तो विश्लेषणात्मक तरीकों जैसे कि लिउविल के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) | लिउविल के प्रमेय, या टोपोलॉजी वाले जैसे कि [[घुमावदार संख्या]], या गैलोइस सिद्धांत के संयोजन के प्रमाण और तथ्य यह है कि विषम डिग्री के किसी भी वास्तविक बहुपद में कम से कम एक वास्तविक जड़।
+इस प्रमेय के विभिन्न प्रमाण हैं, या तो लिउविले के प्रमेय जैसे विश्लेषणात्मक तरीकों से, या सांंस्थितिक वाले जैसे वाइंडिंग संख्या, या गैलोइस सिद्धांत के संयोजन के प्रमाण और तथ्य यह है कि विषम घात के किसी भी वास्तविक बहुपद में कम से कम एक वास्तविक मूल है।
-इस तथ्य के कारण, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए धारण करने वाले प्रमेय लागू होते हैं <math>\Complex.</math> उदाहरण के लिए, किसी भी गैर-खाली जटिल [[स्क्वायर मैट्रिक्स]] में कम से कम एक (जटिल) [[eigenvalue]] होता है।
+इस तथ्य के कारण, किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र <math>\Complex</math> के लिए धारण करने वाले प्रमेय प्रयुक्त होते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी गैर-रिक्त सम्मिश्र [[ वर्ग मैट्रिक्स |वर्ग आव्यूह]] में कम से कम एक (सम्मिश्र) [[ eigenvalue |इगन मूल्य]] होता है।
-=== बीजगणितीय लक्षण वर्णन ===
+=== बीजगणितीय विशेषता ===
-फील्ड <math>\Complex</math> निम्नलिखित तीन गुण हैं:
+क्षेत्र <math>\Complex</math> निम्नलिखित तीन गुण हैं:
-* सबसे पहले, इसकी [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 है। इसका मतलब यह है कि {{math|1=1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0}} योग की किसी भी संख्या के लिए (जिनमें से सभी एक के बराबर हैं)।
+* सबसे पहले, इसकी विशेषता [[ (बीजगणित) |(बीजगणित)]] 0. है। इसका तात्पर्य है कि {{math|1=1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0}} योग की किसी भी संख्या के लिए (जिनमें से सभी एक के बराबर हैं)।
-* दूसरा, इसकी [[श्रेष्ठता की डिग्री]] खत्म <math>\Q</math>, का प्रमुख क्षेत्र <math>\Complex,</math> [[सातत्य की प्रमुखता]] है।
+* दूसरा, <math>\Q</math> के प्रमुख क्षेत्र पर इसकी अबीजीयता की मात्रा <math>\Complex,</math> सातत्य की प्रमुखता है।
-* तीसरा, यह [[बीजगणितीय रूप से बंद]] है (ऊपर देखें)।
+* तीसरा, यह बीजगणितीय रूप से संवृत है (ऊपर देखें)।
-यह दिखाया जा सकता है कि इन गुणों वाला कोई भी क्षेत्र [[समरूपी]] (एक क्षेत्र के रूप में) है <math>\Complex.</math> उदाहरण के लिए, क्षेत्र का [[बीजगणितीय समापन]] <math>\Q_p</math> पी-एडिक नंबर का|{{mvar|p}}-आदिक संख्या भी इन तीन गुणों को संतुष्ट करती है, इसलिए ये दो फ़ील्ड आइसोमॉर्फिक हैं (फ़ील्ड के रूप में, लेकिन टोपोलॉजिकल फ़ील्ड के रूप में नहीं)।<ref>{{cite book
+यह दिखाया जा सकता है कि इन गुणों वाले किसी भी क्षेत्र <math>\Complex</math> में [[ आइसोमॉर्फिक |सममितीय]] (एक क्षेत्र के रूप में) है उदाहरण के लिए, {{mvar|p}}-अंकीय संख्या क्षेत्र <math>\Q_p</math> का बीजगणितीय संवृत भी इन तीन गुणों को संतुष्ट करती है, इसलिए ये दो क्षेत्र सममितीय हैं (क्षेत्र के रूप में, लेकिन संस्थानिक क्षेत्र के रूप में नहीं)।<ref>{{cite book
   | last = Marker | first = David
   | editor1-last = Marker | editor1-first = D.
@@ Line 375: / Line 385: @@
   | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin
   | series = Lecture Notes in Logic
-  | title = खेतों का मॉडल सिद्धांत| volume = 5
+  | title = फ़ील्ड का मॉडल सिद्धांत| volume = 5
-  | year = 1996}}</ref> भी, <math>\Complex</math> जटिल [[प्यूसेक्स श्रृंखला]] के क्षेत्र के लिए आइसोमोर्फिक है। हालांकि, एक समरूपता को निर्दिष्ट करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है। इस बीजगणितीय लक्षण वर्णन का एक और परिणाम यह है कि <math>\Complex</math> कई उचित उप-क्षेत्र शामिल हैं जो आइसोमोर्फिक हैं <math>\Complex</math>.
+  | year = 1996}}</ref> इसके अतिरिक्त, <math>\Complex</math> सम्मिश्र [[ पुइज़क्स श्रृंखला |पुइज़क्स श्रृंखला]] के क्षेत्र के लिए समरूपीय है। हालांकि, समरूपता को निर्दिष्ट करने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है। इस बीजगणितीय विशेषता का एक और परिणाम यह है कि <math>\Complex</math> कई उपयुक्त उपक्षेत्र सम्मिलित हैं जो <math>\Complex</math> के लिए समरूपीय हैं।
+=== संस्थानिक क्षेत्र के रूप में विशेषता ===
+<math>\Complex</math> के पूर्ववर्ती विशेषता के केवल बीजगणितीय <math>\Complex</math> स्वरूपों का वर्णन करता है इसका तात्पर्य यह है कि[[ पड़ोस (टोपोलॉजी) | प्रतिवेश (सांस्थिति)]] और [[ निरंतरता (टोपोलॉजी) |सातत्य (सांस्थिति)]] के गुण, जो [[ गणितीय विश्लेषण |गणितीय विश्लेषण]] और सांस्थिति जैसे क्षेत्रों में विषय-वस्तु हैं, इसे निर्धारित नहीं जाता है। <math>\Complex</math> का निम्नलिखित विवरण [[ सामयिक अंगूठी |सामयिक वलय]] के रूप में (अर्थात, एक क्षेत्र जो एक [[ सामयिक स्थान |सामयिक समष्टि]] से कम है, जो अभिसरण की धारणा की स्वीकृति देता है) संस्थानिक गुणों को ध्यान में रखता है। <math>\Complex</math> में निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करने वाले अशून्य तत्वों का एक उपसमुच्चय P (अर्थात् धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) होता है:
+* {{math|''P''}} योग, गुणन और व्युत्क्रम लेने के अंतर्गत संवृत है।
+* यदि x और y P के विशिष्ट अवयव हैं, तो या तो x − y या y − x P में है।
+* यदि S, P का कोई अरिक्त उपसमुच्चय है, तो <math>{C}</math> में कुछ x के लिए S + P = x + P है।
+इसके अतिरिक्त, <math>\Complex</math> में एक गैर-सामान्य समावेशी स्वाकारिकता {{math|''x'' ↦ ''x''*}} (अर्थात् सम्मिश्र संयुग्मन), जैसे कि {{math|''x x''*}} में <math>\Complex</math> किसी भी गैर-शून्य {{mvar|x}} के लिए {{math|''P''}} में है।
+इन गुणों वाले किसी भी क्षेत्र {{mvar|F}} समुच्चयों को {{math|1= ''B''(''x'', ''p'') = { ''y'' {{!}} ''p'' − (''y'' − ''x'')(''y'' − ''x'')* ∈ ''P'' } }} ले जाकर सांस्थिति के साथ संपन्न किया जा सकता है। एक [[ आधार (टोपोलॉजी) |आधार (सांस्थिति)]] के रूप में, जहां x की सीमा क्षेत्र के ऊपर है और p की सीमा P के ऊपर है। इस सांस्थिति के साथ F, <math>\Complex</math> के लिए एक सामयिक क्षेत्र के रूप में समरूप है।
+केवल स्थानीय रूप से सुसंहत संस्थानिक क्षेत्र <math>\R</math> और <math>\Complex</math> है। संस्थानिक क्षेत्र के रूप में <math>\Complex</math>, की अन्य विशेषता देता है, चूंकि <math>\Complex</math> को <math>\R</math> से अलग किया जा सकता है क्योंकि गैर-शून्य सम्मिश्र संख्याएं जुड़ी हुई हैं, जबकि गैर-शून्य वास्तविक संख्याएं नहीं हैं।{{sfn|Bourbaki|1998|loc=§VIII.4}}
-=== एक सामयिक क्षेत्र के रूप में लक्षण वर्णन ===
-के पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन <math>\Complex</math> के केवल बीजगणितीय पहलुओं का वर्णन करता है <math>\Complex.</math> कहने का मतलब यह है कि [[पड़ोस (टोपोलॉजी)]] और [[निरंतरता (टोपोलॉजी)]] के गुण, जो [[गणितीय विश्लेषण]] और टोपोलॉजी जैसे क्षेत्रों में मायने रखते हैं, से निपटा नहीं जाता है। निम्नलिखित विवरण <math>\Complex</math> [[टोपोलॉजिकल रिंग]] के रूप में (अर्थात, एक ऐसा क्षेत्र जो एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] से लैस है, जो अभिसरण की धारणा की अनुमति देता है) टोपोलॉजिकल गुणों को ध्यान में रखता है। <math>\Complex</math> एक उपसमुच्चय शामिल है {{math|''P''}} (अर्थात् धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) अशून्य तत्वों का निम्नलिखित तीन स्थितियों को संतुष्ट करता है:
-* {{math|''P''}} जोड़, गुणा और व्युत्क्रम लेने के तहत बंद है।
-* यदि {{mvar|x}} और {{mvar|y}} के विशिष्ट तत्व हैं {{math|''P''}}, तो कोई {{math|''x'' − ''y''}} या {{math|''y'' − ''x''}} में है {{math|''P''}}.
-* यदि {{mvar|S}} का कोई गैररिक्त उपसमुच्चय है {{math|''P''}}, तब {{math|1=''S'' + ''P'' = ''x'' + ''P''}} कुछ के लिए {{mvar|x}} में <math>\Complex.</math>
-इसके अतिरिक्त, <math>\Complex</math> एक गैर-तुच्छ समावेशन (गणित) [[automorphism]] है {{math|''x'' ↦ ''x''*}} (अर्थात् जटिल संयुग्मन), जैसे कि {{math|''x x''*}} में है {{math|''P''}} किसी भी शून्य के लिए {{mvar|x}} में <math>\Complex.</math>
-किसी भी क्षेत्र {{mvar|F}} इन गुणों के साथ सेट लेकर एक टोपोलॉजी से संपन्न किया जा सकता है {{math|1= ''B''(''x'', ''p'') = { ''y'' {{!}} ''p'' − (''y'' − ''x'')(''y'' − ''x'')* ∈ ''P'' } }} [[आधार (टोपोलॉजी)]] के रूप में, जहाँ {{mvar|x}} क्षेत्र भर में पर्वतमाला और {{mvar|p}} से अधिक है {{math|''P''}}. इस टोपोलॉजी के साथ {{mvar|F}} एक सामयिक क्षेत्र के रूप में आइसोमोर्फिक है <math>\Complex.</math>
-[[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] टोपोलॉजिकल रिंग से जुड़ा एकमात्र स्थान है <math>\R</math> और <math>\Complex.</math> यह का एक और लक्षण वर्णन देता है <math>\Complex</math> एक सामयिक क्षेत्र के रूप में, चूंकि <math>\Complex</math> से अलग किया जा सकता है <math>\R</math> क्योंकि अशून्य जटिल संख्याएँ जुड़ी हुई जगह हैं, जबकि अशून्य वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं।{{sfn|Bourbaki|1998|loc=§VIII.4}}
 == औपचारिक निर्माण ==
-=== ऑर्डर किए गए जोड़े के रूप में निर्माण ===
+=== क्रमित युग्मों के अनुसार निर्माण ===
-विलियम रोवन हैमिल्टन ने सेट को परिभाषित करने के लिए दृष्टिकोण पेश किया <math>\Complex</math> जटिल संख्याओं का<ref>{{cite book|title=संख्याओं का संक्षिप्त इतिहास|first=Leo |last=Corry|publisher=Oxford University Press|year=2015|pages=215–16}}</ref> सेट के रूप में <math>\mathbb{R}^2</math> का {{nowrap|[[ordered pair]]s {{math|(''a'', ''b'')}}}} वास्तविक संख्याओं का, जिसमें योग और गुणन के निम्नलिखित नियम लागू होते हैं:{{sfn|Apostol|1981|pp=15–16}}
+विलियम रोवन हैमिल्टन ने सम्मिश्र संख्याओं के <math>\Complex</math> समुच्चय <ref>{{cite book|title=संख्याओं का एक संक्षिप्त इतिहास|first=Leo |last=Corry|publisher=Oxford University Press|year=2015|pages=215–16}}</ref> को वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्मों (a, b) के समुच्चय <math>\mathbb{R}^2</math> के रूप में परिभाषित करने के लिए दृष्टिकोण प्रस्तुत किया, जिसमें योग और गुणन के लिए निम्नलिखित नियम प्रयुक्त किए गए हैंː{{sfn|Apostol|1981|pp=15–16}}
 <math display=block>\begin{align}
@@ Line 397: / Line 410: @@
 (a, b) \cdot (c, d) &= (ac - bd, bc + ad).
 \end{align}</math>
-यह तब व्यक्त करने के लिए केवल संकेतन की बात है {{math|(''a'', ''b'')}} जैसा {{math|''a'' + ''bi''}}.
+तब यह (a, b) को a + bi के रूप में व्यक्त करने के लिए केवल अंकन का विषय है।
 === भागफल क्षेत्र के रूप में निर्माण ===
-हालांकि यह निम्न-स्तरीय निर्माण जटिल संख्याओं की संरचना का सही-सही वर्णन करता है, निम्नलिखित समतुल्य परिभाषा से बीजगणितीय प्रकृति का पता चलता है <math>\Complex</math> अधिक तुरंत। यह लक्षण वर्णन क्षेत्रों और बहुपदों की धारणा पर निर्भर करता है। एक फ़ील्ड जोड़, घटाव, गुणा और भाग संक्रियाओं से संपन्न एक ऐसा समुच्चय है जो परिमेय संख्याओं से परिचित व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, वितरण कानून
+यद्यपि यह निम्न-स्तरीय निर्माण सम्मिश्र संख्याओं की संरचना का सही वर्णन करता है, निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा से <math>\Complex</math> की बीजगणितीय प्रकृति का अधिक तुरंत पता चलता है। यह विशेषता क्षेत्रों और बहुपदों की धारणा पर निर्भर करता है। क्षेत्र जोड़, घटाव, गुणा और भाग संक्रियाओं से संपन्न एक ऐसा समुच्चय है जो परिमेय संख्याओं से परिचित व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, वितरण नियम
 <math display=block>(x+y) z = xz + yz</math>
-किसी भी तीन तत्वों के लिए धारण करना चाहिए {{mvar|x}}, {{mvar|y}} और {{mvar|z}} एक मैदान का। सेट <math>\R</math> वास्तविक संख्याओं का एक क्षेत्र बनता है। एक बहुपद {{math|''p''(''X'')}} वास्तविक गुणांक के साथ रूप की अभिव्यक्ति है
+किसी भी तीन तत्वों {{mvar|x}}, {{mvar|y}} और {{mvar|z}} के लिए धारण करना चाहिए। वास्तविक संख्याओं का समुच्चय <math>\R</math> क्षेत्र बनाता है। वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद {{math|''p''(''X'')}} रूप का एक व्यंजक है
 <math display=block>a_nX^n+\dotsb+a_1X+a_0,</math>
-जहां {{math|''a''<sub>0</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>}} वास्तविक संख्याएँ हैं। बहुपदों का सामान्य जोड़ और गुणा सेट को संपन्न करता है <math>\R[X]</math> एक वलय (गणित) संरचना वाले ऐसे सभी बहुपदों का। इस वलय को वास्तविक संख्याओं पर बहुपद वलय कहा जाता है।
+जहां {{math|''a''<sub>0</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>}} वास्तविक संख्याएं हैं। बहुपदों का सामान्य जोड़ और गुणा ऐसे सभी बहुपदों के समुच्चय <math>\R[X]</math> को [[ अंगूठी (गणित) |वलय (गणित)]] संरचना से संपन्न करता है। इस वलय को वास्तविक संख्याओं पर बहुपद वलय कहा जाता है।
-सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है <math>\R[X]/(X^2+1).</math><ref name= Bourbaki 1998 loc=§VIII.1 /> इस विस्तार क्षेत्र में दो वर्गमूल हैं {{math|−1}}, अर्थात् ([[सह समुच्चय]]) {{math|''X''}} और {{math|−''X''}}, क्रमश। (कोसेट) {{math|1}} और {{math|''X''}} का आधार बनता है <math>\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)</math> एक वास्तविक सदिश स्थान के रूप में, जिसका अर्थ है कि विस्तार क्षेत्र के प्रत्येक तत्व को इन दो तत्वों में एक [[रैखिक संयोजन]] के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है। समतुल्य रूप से, विस्तार क्षेत्र के तत्वों को क्रमबद्ध जोड़े के रूप में लिखा जा सकता है {{math|(''a'', ''b'')}} वास्तविक संख्याओं का। भागफल वलय एक क्षेत्र है, क्योंकि {{math|''X''<sup>2</sup> + 1}} इरेड्यूसिबल बहुपद खत्म है <math>\R,</math> इसलिए यह जो आदर्श उत्पन्न करता है वह [[अधिकतम आदर्श]] है।
+सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को भागफल वलय <math>\R[X]/(X^2+1)</math> के रूप में परिभाषित किया गया है। https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#cite_note-Bourbaki_1998_loc=%C2%A7VIII.1-7<nowiki/>इस विस्तार क्षेत्र में, अर्थात् {{math|''X''}} और {{math|−''X''}}, क्रमशः {{math|1}}(सहसमुच्चय) {{math|−1}} (सहसमुच्चय) दो वर्गमूल हैं। और {{math|''X''}} वास्तविक [[ सदिश स्थल |वेक्टर समष्टि]] के रूप में <math>\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)</math>का आधार बनाते हैं, जिसका अर्थ है कि विस्तार-क्षेत्र के प्रत्येक तत्व को इन दो तत्वों में एक [[ रैखिक संयोजन |रैखिक संयोजन]] के रूप में लिखा जा सकता है। समतुल्य रूप से, विस्तार क्षेत्र के तत्वों को वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म {{math|(''a'', ''b'')}} के रूप में लिखा जा सकता है। भागफल वलय एक क्षेत्र है, क्योंकि {{math|''X''<sup>2</sup> + 1}} पर अप्रासंगिक है, इसलिए यह जो मानक <math>\R</math> उत्पन्न करता है वह [[ अधिकतम आदर्श |अधिकतम मानक]] है।
-रिंग में जोड़ने और गुणा करने के सूत्र <math>\R[X],</math> सापेक्ष संबंध {{math|''X''<sup>2</sup> {{=}} −1}}, क्रमित जोड़े के रूप में परिभाषित जटिल संख्याओं के योग और गुणन के सूत्रों के अनुरूप हैं। तो क्षेत्र की दो परिभाषाएँ <math>\Complex</math> समरूपता (फ़ील्ड के रूप में) हैं।
+वलय में जोड़ और गुणन के लिए सूत्र <math>\R[X],</math> संबंध {{math|''X''<sup>2</sup> {{=}} −1}}, के अनुरूप हैं, क्रमित जोड़े के रूप में परिभाषित सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ और गुणन के लिए सूत्रों के अनुरूप है। तो क्षेत्र की दो परिभाषाएँ <math>\Complex</math> [[ समाकृतिकता |समाकृतिकता]] (क्षेत्र के रूप में) हैं।
-इसे स्वीकार करना <math>\Complex</math> बीजगणितीय रूप से बंद है, क्योंकि यह का [[बीजगणितीय विस्तार]] है <math>\mathbb{R}</math> इस दृष्टिकोण में, <math>\Complex</math> इसलिए का बीजगणितीय समापन है <math>\R.</math>
+यह स्वीकार करते हुए कि <math>\Complex</math> बीजगणितीय रूप से संवृत है, क्योंकि यह इस दृष्टिकोण में <math>\mathbb{R}</math> का एक बीजगणितीय विस्तार है इसलिए <math>\Complex</math>, <math>\R</math> का बीजगणितीय समापन है।
-=== जटिल संख्याओं का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ===<!-- .This section is linked from [[Cauchy-Riemann equations]] -->
+=== आव्यूह सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व ===
-जटिल आंकड़े {{math|''a'' + ''bi''}} द्वारा भी दर्शाया जा सकता है {{math|2 × 2}} मैट्रिक्स (गणित) जिसका रूप है:
+सम्मिश्र संख्याएँ a + bi को 2 × 2 आव्यूहों द्वारा भी दर्शाया जा सकता है जिनका रूप है:
-<!--
-This definition with the minus sign in the upper right corner matches the article [[Rotation matrix]]. Please do not change it.
--->
 <math display=block>
 \begin{pmatrix}
@@ Line 424: / Line 434: @@
 \end{pmatrix}
 </math>
-यहाँ प्रविष्टियाँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} वास्तविक संख्याएँ हैं। चूँकि दो ऐसे आव्यूहों का योग और गुणनफल फिर से इस रूप का होता है, ये आव्यूह वलय का उपवलय बनाते हैं {{math|2 × 2}} मैट्रिक्स।
-एक साधारण गणना से पता चलता है कि नक्शा:
-<math display=block>a+ib\mapsto \begin{pmatrix}
+यहाँ प्रविष्टियाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं। चूंकि दो ऐसे आव्यूह का योग और गुणनफल फिर से इस रूप का होता है, ये आव्यूह वलय 2 × 2 आव्यूह का एक उप-वलय बनाते हैं।
+साधारण संगणना से पता चलता है कि प्रतिचित्र:<math display="block">a+ib\mapsto \begin{pmatrix}
    a &   -b  \\
    b & \;\; a
 \end{pmatrix}</math>
-जटिल संख्याओं के क्षेत्र से इन मेट्रिसेस के वलय तक एक वलय समरूपता है। यह समरूपता एक जटिल संख्या के पूर्ण मूल्य के वर्ग को संबंधित मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ जोड़ती है, और एक जटिल संख्या के संयुग्म को मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के साथ जोड़ती है।
-जटिल संख्याओं के गुणन का ज्यामितीय विवरण [[रोटेशन मैट्रिक्स]] के संदर्भ में जटिल संख्याओं और ऐसे मैट्रिक्स के बीच इस पत्राचार का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है। वेक्टर पर मैट्रिक्स की क्रिया {{math|(''x'', ''y'')}} के गुणन से मेल खाता है {{math|''x'' + ''iy''}} द्वारा {{math|''a'' + ''ib''}}. विशेष रूप से, यदि निर्धारक है {{math|1}}, एक वास्तविक संख्या है {{mvar|t}} ऐसा है कि मैट्रिक्स का रूप है:
-<math display=block>\begin{pmatrix}
+सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र से लेकर इन आव्यूह के वलय तक एक वलय समरूपता है। यह समरूपता एक सम्मिश्र संख्या के पूर्ण मूल्य के वर्ग को संबंधित आव्यूह के निर्धारक के साथ जोड़ती है, और एक सम्मिश्र संख्या के संयुग्म को आव्यूह के स्थानान्तरण के साथ जोड़ती है।
+सम्मिश्र संख्याओं के गुणन का ज्यामितीय विवरण सम्मिश्र संख्याओं और ऐसे आव्यूह के बीच इस पत्राचार का उपयोग करके [[ रोटेशन मैट्रिक्स |घूर्णन आव्यूह]] के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है। वेक्टर {{math|(''x'', ''y'')}} पर आव्यूह की संक्रिया {{math|''x'' + ''iy''}} द्वारा {{math|''a'' + ''ib''}} के गुणन से अनुरूप है। विशेष रूप से, यदि निर्धारक {{math|1}} है, तब वास्तविक संख्या {{mvar|t}} है जैसे कि आव्यूह का रूप है:
+<math display="block">\begin{pmatrix}
    \cos t & - \sin t   \\
    \sin t & \;\; \cos t
 \end{pmatrix}</math>
-इस मामले में, वैक्टर पर मैट्रिक्स की कार्रवाई और जटिल संख्या से गुणा <math>\cos t+i\sin t</math> कोण के घूर्णन (गणित) दोनों हैं {{mvar|t}}.
+इस स्थिति में, वैक्टर पर आव्यूह की संक्रिया <math>\cos t+i\sin t</math> और सम्मिश्र संख्या से गुणा {{mvar|t}} दोनों कोण के [[ रोटेशन (गणित) |घूर्णन (गणित)]] दोनों हैं।
-== जटिल विश्लेषण ==
-[[File:Sin1z-cplot.svg|thumb|डोमेन का रंग {{math|sin(1/''z'')}}. अंदर के काले भाग बड़े निरपेक्ष मान वाले नंबरों को संदर्भित करते हैं।]]
-{{main|Complex analysis}}
-<!--
-[[File:Color complex plot.jpg|upright=0.8|right|thumb|[[Domain coloring]] plot of the function
-<br /><math>f(x) = \tfrac{(x^2 - 1)(x - 2 - i)^2}{x^2 + 2 + 2 i}</math><br />
-The hue represents the function argument, while the saturation and [[Lightness (color)|value]] represent the magnitude.]]
-The absolute value has three important properties:
-<math display=block> | z | \geq 0, \,</math> where <math> | z | = 0 \,</math> [[if and only if]] <math> z = 0</math>
-<math display=block> | z + w | \leq | z | + | w | \,</math> ([[triangle inequality]])
-<math display=block> | z \cdot w | = | z | \cdot | w | </math>
+== सम्मिश्र विश्लेषण ==
+[[File:Sin1z-cplot.svg|thumb|प्रक्षेत्र रंग चक्र ग्राफ {{math|sin(1/''z'')}} अंदर के काले भागों में बड़े निरपेक्ष मान वाले संख्याओं को संदर्भित किया जाता है।]]
+{{main|सम्मिश्र विश्लेषण}}
-for all complex numbers {{mvar|z}} and {{mvar|w}}. These imply that {{math|1={{!}}1{{!}} = 1}} and {{math|1={{!}}''z''/''w''{{!}} = {{!}}''z''{{!}}/{{!}}''w''{{!}}}}. By defining the '''distance''' function {{math|1=''d''(''z'', ''w'') = {{!}}''z'' − ''w''{{!}}}}, we turn the set of complex numbers into a [[metric space]] and we can therefore talk about [[limit (mathematics)|limits]] and [[continuous function|continuity]].
+सम्मिश्र चर के फलनों के अध्ययन को सम्मिश्र विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और प्रयुक्त गणित के साथ -साथ गणित की अन्य शाखाओं में भी इसका व्यावहारिक उपयोग बहुत अधिक होता है। प्रायः, वास्तविक विश्लेषण या सम संख्या सिद्धांत में कथनों के लिए सबसे प्राकृतिक प्रमाण सम्मिश्र विश्लेषण से तकनीकों को नियोजित करते हैं (एक उदाहरण के लिए [[ प्रधान संख्या प्रमेय |अभाज्य संख्या प्रमेय]] देखें)। वास्तविक फलनों के विपरीत, जिन्हें आमतौर पर द्वि-आयामी ग्राफ के रूप में दर्शाया जाता है, सम्मिश्र फलनों में चार-आयामी ग्राफ होते हैं और चार आयामों का सुझाव देने के लिए या सम्मिश्र समतल के सम्मिश्र फलन के गतिशील परिवर्तन को अनुप्राणित करने के लिए त्रि-आयामी ग्राफ को रंग-कोडिंग द्वारा उपयोगी रूप से चित्रित किया जा सकता है।
-In general, distances between complex numbers are given by the distance function {{math|1=''d''(''z'', ''w'') = {{!}}''z'' − ''w''{{!}}}}, which turns the complex numbers into a [[metric space]] and introduces the ideas of [[limit (mathematics)|limits]] and [[continuous function|continuity]]. All of the standard properties of two dimensional space therefore hold for the complex numbers, including important properties of the modulus such as non-negativity, and the [[triangle inequality]] (<math>| z + w | \leq | z | + | w |</math> for all {{mvar|z}} and {{mvar|w}}).
+=== सम्मिश्र घातीय और संबंधित फलन ===
+(वास्तविक) विश्लेषण में [[ अभिसरण श्रृंखला |अभिसरण श्रृंखला]] और निरंतर फलनों की धारणाओं में सम्मिश्र विश्लेषण में प्राकृतिक एनालॉग्स हैं। क्रम सम्मिश्र संख्याओं के रूप में [[ अभिसरण अनुक्रम |अभिसरण अनुक्रम]] कहा जाता है यदि और केवल यदि इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग करते हैं। यह सीमाओं के (ε, Δ) -परिभाषा के बराबर है, जहां वास्तविक संख्याओं के निरपेक्ष मान को सम्मिश्र संख्याओं में से एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अधिक अमूर्त दृष्टिकोण से, <math>\mathbb{C}</math>, मीट्रिक (गणित) के साथ संपन्न
--->
-एक जटिल चर के कार्यों के अध्ययन को जटिल विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और [[व्यावहारिक गणित]] के साथ-साथ गणित की अन्य शाखाओं में इसका बहुत व्यावहारिक उपयोग होता है। अक्सर, [[वास्तविक विश्लेषण]] या सम [[संख्या सिद्धांत]] में बयानों के लिए सबसे प्राकृतिक सबूत जटिल विश्लेषण से तकनीकों को नियोजित करते हैं (उदाहरण के लिए अभाज्य संख्या प्रमेय देखें)। वास्तविक कार्यों के विपरीत, जिन्हें आमतौर पर द्वि-आयामी ग्राफ के रूप में दर्शाया जाता है, जटिल कार्यों में चार-आयामी ग्राफ होते हैं और उपयोगी रूप से दो चर के फ़ंक्शन के ग्राफ को रंग-कोडिंग द्वारा चित्रित किया जा सकता है। चार आयामों का सुझाव देने के लिए त्रि-आयामी ग्राफ, या द्वारा जटिल विमान के जटिल कार्य के गतिशील परिवर्तन को एनिमेट करना।
-=== जटिल चरघातांकी और संबंधित फलन ===
-[[अभिसरण श्रृंखला]] और (वास्तविक) विश्लेषण में [[निरंतर कार्य]]ों की धारणा जटिल विश्लेषण में प्राकृतिक अनुरूप हैं। एक क्रम <!--(''a''<sub>''n''</sub>)<sub>''n'' ≥ 0</sub>--> सम्मिश्र संख्याओं की संख्या को [[अभिसरण अनुक्रम]] कहा जाता है यदि और केवल यदि इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग करते हैं। यह (ε, δ)-सीमा की परिभाषा के समतुल्य है, जहां वास्तविक संख्याओं के निरपेक्ष मान को सम्मिश्र संख्याओं में से एक से बदल दिया जाता है। अधिक अमूर्त दृष्टिकोण से, <math>\mathbb{C}</math>, [[मीट्रिक (गणित)]] के साथ संपन्न
 <math display=block>\operatorname{d}(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|</math>
-एक पूर्ण [[मीट्रिक स्थान]] है, जिसमें विशेष रूप से त्रिभुज असमानता शामिल है
+पूर्ण [[ मीट्रिक स्थान |मीट्रिक समष्टि]] है, जिसमें विशेष रूप से त्रिभुज असमानता सम्मिलित है
 <math display=block>|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|</math>
-किन्हीं दो जटिल संख्याओं के लिए {{math|''z''<sub>1</sub>}} और {{math|''z''<sub>2</sub>}}.
+किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं {{math|''z''<sub>1</sub>}} और {{math|''z''<sub>2</sub>}} के लिए है।
-वास्तविक विश्लेषण की तरह, अभिसरण की इस धारणा का उपयोग कई प्राथमिक कार्यों के निर्माण के लिए किया जाता है: घातीय कार्य {{math|exp ''z''}}, लिखा भी है {{math|''e''<sup>''z''</sup>}}, को [[अनंत श्रृंखला]] के रूप में परिभाषित किया गया है
+वास्तविक विश्लेषण की तरह, अभिसरण की इस धारणा का उपयोग कई [[ प्राथमिक कार्य |प्राथमिक]] फलनो के निर्माण के लिए किया जाता है: घातीय फलन {{math|exp ''z''}}, जिसे {{math|''e''<sup>''z''</sup>}} भी लिखा है, [[ अनंत श्रृंखला |और अनंत श्रृंखला]] के रूप में परिभाषित किया गया है
 <math display=block>\exp z:= 1+z+\frac{z^2}{2\cdot 1}+\frac{z^3}{3\cdot 2\cdot 1}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}. </math>
-वास्तविक त्रिकोणमितीय कार्यों साइन और [[कोज्या]] को परिभाषित करने वाली श्रृंखला, साथ ही [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों sinh और cosh को भी बिना किसी बदलाव के जटिल तर्कों पर ले जाया जाता है। अन्य त्रिकोणमितीय और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के लिए, जैसे [[स्पर्शरेखा (फ़ंक्शन)]], चीजें थोड़ी अधिक जटिल होती हैं, क्योंकि परिभाषित श्रृंखला सभी जटिल मूल्यों के लिए अभिसरण नहीं करती है। इसलिए, उन्हें या तो साइन, कोसाइन और एक्सपोनेंशियल के रूप में परिभाषित करना चाहिए, या, समकक्ष रूप से, विश्लेषणात्मक निरंतरता की विधि का उपयोग करके।
+वास्तविक त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित करने वाली श्रृंखला [[ ज्या |ज्या]] और [[ कोज्या |कोज्या]], साथ ही साथ [[ अतिशयोक्ति कार्य |अतिशयोक्ति फलन]] sinh और cosh भी बिना परिवर्तन के सम्मिश्र तर्कों पर ले जाती है। अन्य त्रिकोणमितीय और अतिपरवयलिक फलनों के लिए, जैसे कि स्पर्शरेखा (फलन), वस्तुए अधिक सम्मिश्र हैं, क्योंकि परिभाषित श्रृंखला सभी सम्मिश्र मानो के लिए अभिसरण नहीं करती है। इसलिए, किसी को उन्हें साइन, कोसाइन और घातांक के संदर्भ में परिभाषित करना होगा, या, विश्लेषणात्मक निरंतरता की विधि का उपयोग करके समतुल्य होना चाहिए।
-यूलर का सूत्र कहता है:
+यूलर के सूत्र में कहा गया है:
 <math display=block>\exp(i\varphi) = \cos \varphi + i\sin \varphi </math>
 किसी भी वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|φ}}, विशेष रूप से
-<math display=block>\exp(i \pi) = -1 </math>, जो यूलर की पहचान है।
+<math display=block>\exp(i \pi) = -1 </math>जो यूलर की सर्वसमिका है।
-वास्तविक संख्याओं की स्थिति के विपरीत, जटिल समाधानों का एक [[अनंत सेट]] होता है {{mvar|z}} समीकरण का
+वास्तविक संख्याओं की स्थिति के विपरीत, सम्मिश्र समाधानों {{mvar|z}} का [[ अनंत सेट |अनंत-समुच्चय]] होती है
 <math display=block>\exp z = w </math>
-किसी भी जटिल संख्या के लिए {{math|''w'' ≠ 0}}. यह दिखाया जा सकता है कि ऐसा कोई समाधान {{mvar|z}} - का जटिल लघुगणक कहा जाता है {{mvar|w}} - संतुष्ट करता है
+किसी भी सम्मिश्र संख्या w ≠ 0 के लिए। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसा कोई भी संशोधित z - जिसे w का सम्मिश्र लघुगणक कहा जाता है - संतुष्ट करता है
 <math display=block>\log w = \ln|w| + i\arg w, </math>
-जहाँ arg [[आर्ग (गणित)]] परिभाषित #ध्रुवीय रूप है, और ln (वास्तविक) प्राकृतिक लघुगणक है। जैसा कि तर्क एक बहुविकल्पीय कार्य है, केवल एक से अधिक तक अद्वितीय है {{math|2''π''}}, लॉग भी बहुविकल्पीय है। लॉग का मुख्य मूल्य अक्सर काल्पनिक भाग को [[अंतराल (गणित)]] तक सीमित करके लिया जाता है {{open-closed|−''π'', ''π''}}.
+जहाँ arg ऊपर परिभाषित तर्क है, और ln (वास्तविक) प्राकृतिक लघुगणक है। चूँकि arg एक बहुविकल्पीय फलन है, केवल 2π के गुणक तक अद्वितीय, log भी बहुविकल्पीय है। लॉग का मुख्य मूल्य प्रायः काल्पनिक भाग को अंतराल (−π, π] तक सीमित करके लिया जाता है।
-जटिल [[घातांक]] {{math|''z''<sup>''ω''</sup>}} की तरह परिभाषित किया गया है
+सम्मिश्र घातांक {{math|''z''<sup>''ω''</sup>}} को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 <math display=block>z^\omega = \exp(\omega \log z), </math>
-और बहु-मूल्यवान है, सिवाय इसके कि कब {{mvar|ω}} एक पूर्णांक है। के लिए {{math|1=''ω'' = 1 / ''n''}}, कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए {{mvar|n}}, यह की गैर-विशिष्टता को पुनः प्राप्त करता है {{mvar|n}}ऊपर वर्णित वें जड़ें।
+और बहु-मान है, अतिरिक्त कब {{mvar|ω}} एक पूर्णांक है। {{math|1=''ω'' = 1 / ''n''}} के लिए, कुछ प्राकृतिक संख्या {{mvar|n}} के लिए, यह ऊपर उल्लिखित {{mvar|n}}वें मूलों की गैर-विशिष्टता को पुनः प्राप्त करता है।
-जटिल संख्याएं, वास्तविक संख्याओं के विपरीत, आम तौर पर असंशोधित शक्ति और लघुगणक पहचान को संतुष्ट नहीं करती हैं, खासकर जब भोलेपन से एकल-मूल्यवान कार्यों के रूप में व्यवहार किया जाता है; घातांक#शक्ति की विफलता और लघुगणक सर्वसमिका देखें। उदाहरण के लिए, वे संतुष्ट नहीं हैं
+सम्मिश्र संख्या, वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सामान्य रूप से अपरिवर्तित घात और लॉगरिदम सर्वसमिका को संतुष्ट नहीं करती है, विशेष कर जब सरलता से एकल-मूल्य वाले फलनों के रूप में माना जाता है; घात और लघुगणक सर्वसमिका की विफलता देखें। उदाहरण के लिए, वे संतुष्ट नहीं करते हैं
 <math display=block>a^{bc} = \left(a^b\right)^c.</math>
-समीकरण के दोनों पक्षों को यहां दी गई जटिल घातांक की परिभाषा द्वारा बहु-मूल्यवान किया गया है, और बाईं ओर के मान दाईं ओर के सबसेट हैं।
+समीकरण के दोनों पक्षों को यहां दी गई सम्मिश्र घातांक की परिभाषा द्वारा बहु-मान किया गया है, और बाईं ओर के मान दाईं ओर के उप-समुच्चय हैं।
-=== होलोमोर्फिक फ़ंक्शन ===
+=== होलोमोर्फिक फलन ===
-एक समारोह च: <math>\mathbb{C}</math> → <math>\mathbb{C}</math> [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] कहा जाता है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, कोई रैखिक रूपांतरण#परिभाषा और प्रथम परिणाम|<math>\mathbb{R}</math>-रैखिक नक्शा <math>\mathbb{C}</math> → <math>\mathbb{C}</math> रूप में लिखा जा सकता है
+फलन F: <math>\mathbb{C}</math> → <math>\mathbb{C}</math> को होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, कोई <math>\mathbb{R}</math>-रेखीय मानचित्र <math>\mathbb{C}</math> → <math>\mathbb{C}</math> के रूप में लिखा जा सकता है
 <math display=block>f(z)=az+b\overline{z}</math>
-जटिल गुणांक के साथ {{mvar|a}} और {{mvar|b}}. यह नक्शा होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर {{math|1=''b'' = 0}}. दूसरा योग <math>b \overline z</math> वास्तविक-विभेदक है, लेकिन कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।
+सम्मिश्र गुणांक {{mvar|a}} और {{mvar|b}} के साथ यह मानचित्र होलोमोर्फिक है यदि और केवल यदि {{math|1=''b'' = 0}} है। दूसरा योग <math>b \overline z</math> वास्तविक-विभेदक है, लेकिन कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।
-जटिल विश्लेषण कुछ विशेषताओं को वास्तविक विश्लेषण में स्पष्ट नहीं दिखाता है। उदाहरण के लिए, कोई भी दो होलोमॉर्फिक कार्य {{mvar|f}} और {{mvar|g}} के एक मनमाने ढंग से छोटे खुले उपसमुच्चय पर सहमत हैं <math>\mathbb{C}</math> अनिवार्य रूप से हर जगह सहमत हैं। [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन]], फ़ंक्शंस जिन्हें स्थानीय रूप से लिखा जा सकता है {{math|''f''(''z'')/(''z'' − ''z''<sub>0</sub>)<sup>''n''</sup>}} एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के साथ {{mvar|f}}, अभी भी होलोमोर्फिक कार्यों की कुछ विशेषताओं को साझा करते हैं। अन्य कार्यों में [[आवश्यक विलक्षणता]] होती है, जैसे {{math|sin(1/''z'')}} पर {{math|1=''z'' = 0}}.
+सम्मिश्र विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक विश्लेषण में कुछ विशेषताएं स्पष्ट नहीं हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी दो होलोमोर्फिक फलन {{mvar|f}} और {{mvar|g}} जो <math>\mathbb{C}</math> के एकपक्षीय रूप से छोटे विवृत उप-समुच्चय पर सहमत है अनिवार्य रूप से प्रत्येक स्थान पर सहमत होते हैं। [[ मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन |मेरोमॉर्फिक फलन]], फलन जो स्थानीय रूप से {{math|''f''(''z'')/(''z'' − ''z''<sub>0</sub>)<sup>''n''</sup>}} के रूप में होलोमोर्फिक फलन f के साथ लिखा जा सकता है, अभी भी होलोमोर्फिक फलन की कुछ विशेषताओं को साझा करते हैं। अन्य फलनों में आवश्यक विलक्षणताएँ हैं, जैसे {{math|sin(1/''z'')}} पर {{math|1=''z'' = 0}} है।
 == अनुप्रयोग ==
-[[संकेत प्रसंस्करण]], [[नियंत्रण सिद्धांत]], इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म, [[द्रव गतिविज्ञान]], [[क्वांटम यांत्रिकी]], [[नक्शानवीसी]] और वाइब्रेशन # वाइब्रेशन एनालिसिस सहित कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में जटिल संख्याओं के अनुप्रयोग हैं। इनमें से कुछ अनुप्रयोगों का वर्णन नीचे किया गया है।
+सम्मिश्र संख्याओं में कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें [[ संकेत प्रसंस्करण |संकेत प्रसंस्करण]], [[ नियंत्रण सिद्धांत |नियंत्रण सिद्धांत]], विद्युत-चुम्बकत्व, [[ द्रव गतिविज्ञान |द्रव गतिविज्ञान]], [[ क्वांटम यांत्रिकी |क्वांटम यांत्रिकी]], [[ नक्शानवीसी |स्पंदन]] विश्लेषण सम्मिलित हैं। इनमें से कुछ अनुप्रयोग नीचे वर्णित हैं।
 === ज्यामिति ===
 ==== आकार ====
-तीन संरेखता | असंरेख बिंदु <math>u, v, w</math> समतल में त्रिभुज की आकृति#समानता वर्ग निर्धारित करें <math>\{u, v, w\}</math>. जटिल तल में बिंदुओं का पता लगाने के लिए, त्रिकोण के इस आकार को जटिल अंकगणित द्वारा व्यक्त किया जा सकता है
+तीन गैर संरेख बिंदु <math>u, v, w</math> समतल में त्रिभुज <math>\{u, v, w\}</math> का आकार निर्धारित करें।। सम्मिश्र समतल में बिंदुओं का पता लगाने के लिए, त्रिकोण के इस आकार को सम्मिश्र अंकगणित द्वारा व्यक्त किया जा सकता है
 <math display=block>S(u, v, w) = \frac {u - w}{u - v}. </math>
-आकार <math>S</math> एक त्रिकोण का समान रहेगा, जब जटिल विमान अनुवाद या फैलाव (एक [[affine परिवर्तन]] द्वारा) द्वारा रूपांतरित किया जाता है, जो आकार की सहज धारणा के अनुरूप होता है, और समानता (ज्यामिति) का वर्णन करता है। इस प्रकार प्रत्येक त्रिकोण <math>\{u, v, w\}</math> एक आकार में है# समान आकार वाले त्रिभुजों की समरूपता वर्ग।<ref>{{cite journal |last=Lester |first=J.A. |title=त्रिभुज I: आकृतियाँ|journal=[[Aequationes Mathematicae]] |volume=52 |pages=30–54 |year=1994 |doi=10.1007/BF01818325 |s2cid=121095307}}</ref>
+आकार <math>S</math> एक त्रिभुज एक ही रहेगा, जब सम्मिश्र समतल अनुवाद या विस्तार (परिशोधित परिवर्तन द्वारा) द्वारा रूपांतरित किया जाता है, आकार की सामान्य धारणा के अनुरूप, और समानता (ज्यामिति) का वर्णन करता है। इस प्रकार प्रत्येक त्रिकोण <math>\{u, v, w\}</math> समान आकार वाले त्रिभुजों के समानता वर्ग में है।<ref>{{cite journal |last=Lester |first=J.A. |title=त्रिकोण I: आकार|journal=[[Aequationes Mathematicae]] |volume=52 |pages=30–54 |year=1994 |doi=10.1007/BF01818325 |s2cid=121095307}}</ref>
-==== भग्न ज्यामिति ====
+==== फ्रैक्टल ज्यामिति ====
-[[File:Mandelset hires.png|right|thumb|मंडेलब्रॉट लेबल वाले वास्तविक और काल्पनिक अक्षों के साथ सेट।]][[मैंडेलब्रॉट सेट]] जटिल तल पर बनने वाले फ्रैक्टल का एक लोकप्रिय उदाहरण है। यह हर स्थान की साजिश करके परिभाषित किया गया है <math>c</math> जहां क्रम की पुनरावृत्ति हो रही है <math>f_c(z)=z^2+c</math> अपसरण (स्थिरता सिद्धांत) नहीं करता है जब पुनरावृत्ति असीम रूप से होती है। इसी तरह, [[जूलिया सेट]] के समान नियम हैं, सिवाय इसके कि कहाँ <math>c</math> स्थिर रहता है।
+[[File:Mandelset hires.png|right|thumb|लेबल किए गए वास्तविक और काल्पनिक अक्षों के साथ मंडेलब्रॉट संस्थापित किया गया।]][[ मंडेलब्रॉट सेट | मंडेलब्रॉट समुच्चय]] सम्मिश्र समतल पर निर्मित एक फ्रैक्टल का एक लोकप्रिय उदाहरण है। यह हर समष्टि <math>c</math> को रचना करके परिभाषित किया गया है जहां अनुक्रम <math>f_c(z)=z^2+c</math> को पुनरावृति करते हुए जब पुनरावृति अधिकतम रूप से (स्थिरता सिद्धांत) नहीं होती है। इसी तरह, [[ जूलिया सेट |जूलिया समुच्चय]] के समान नियम हैं, जहां इसके अतिरिक्त <math>c</math> स्थिर रहता है।
 ==== त्रिकोण ====
-प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय [[स्टाइनर [[अंडाकार]]]] होता है - त्रिभुज के अंदर एक दीर्घवृत्त और त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा। मार्डन के प्रमेय के अनुसार त्रिभुज के स्टेनर इनलिप्स का [[फोकस (ज्यामिति)]] निम्नानुसार पाया जा सकता है:<ref>{{cite journal |last1=Kalman|first1=Dan|title=मार्डन की प्रमेय का एक प्राथमिक प्रमाण|url=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3338&pf=1 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=115 |issue=4 |pages=330–38 |year=2008a |doi=10.1080/00029890.2008.11920532 |s2cid=13222698 |issn=0002-9890 |access-date=1 January 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120308104622/http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3338&pf=1 |archive-date=8 March 2012|url-status=live}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Kalman |first1=Dan |title=गणित में सबसे अद्भुत प्रमेय|url=http://mathdl.maa.org/mathDL/4/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1663 |journal=[[Journal of Online Mathematics and Its Applications]] |year=2008b |access-date=1 January 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20120208014954/http://mathdl.maa.org/mathDL/4/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1663 |archive-date=8 February 2012 |url-status=live}}</ref> जटिल तल में त्रिभुज के शीर्षों को निरूपित करें {{math|1=''a'' = ''x''<sub>''A''</sub> + ''y''<sub>''A''</sub>''i''}}, {{math|1=''b'' = ''x''<sub>''B''</sub> + ''y''<sub>''B''</sub>''i''}}, और {{math|1=''c'' = ''x''<sub>''C''</sub> + ''y''<sub>''C''</sub>''i''}}. घन समीकरण लिखिए <math>(x-a)(x-b)(x-c)=0</math>, इसका व्युत्पन्न लें, और (द्विघात) व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें। मार्डेन के प्रमेय का कहना है कि इस समीकरण के समाधान स्टीनर इनलिप्स के दो फॉसी के स्थानों को दर्शाते हुए जटिल संख्याएं हैं।
+प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय स्टीनर [[ अंडाकार |अर्धवृत्ताकार]] है - त्रिभुज के अंदर एक दीर्घवृत्त और त्रिभुज के तीन पक्षों के मध्य बिंदुओं के लिए स्पर्शरेखा है। त्रिभुज के [[ स्टेनर इनलिप्स |स्टेनर]] [[ अंडाकार |अर्धवृत्ताकार]] का [[ फोकस (ज्यामिति) |केंद्र बिन्दु (ज्यामिति)]] मार्डन के प्रमेय के अनुसार, निम्नानुसार पाया जा सकता है:<ref>{{cite journal |last1=Kalman|first1=Dan|title=मार्डन के प्रमेय का एक प्राथमिक प्रमाण|url=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3338&pf=1 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=115 |issue=4 |pages=330–38 |year=2008a |doi=10.1080/00029890.2008.11920532 |s2cid=13222698 |issn=0002-9890 |access-date=1 January 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120308104622/http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3338&pf=1 |archive-date=8 March 2012|url-status=live}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Kalman |first1=Dan |title=गणित में सबसे अद्भुत प्रमेय|url=http://mathdl.maa.org/mathDL/4/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1663 |journal=[[Journal of Online Mathematics and Its Applications]] |year=2008b |access-date=1 January 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20120208014954/http://mathdl.maa.org/mathDL/4/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1663 |archive-date=8 February 2012 |url-status=live}}</ref> सम्मिश्र समतल में त्रिकोण के शीर्षों को {{math|1=''a'' = ''x''<sub>''A''</sub> + ''y''<sub>''A''</sub>''i''}}, {{math|1=''b'' = ''x''<sub>''B''</sub> + ''y''<sub>''B''</sub>''i''}}, और {{math|1=''c'' = ''x''<sub>''C''</sub> + ''y''<sub>''C''</sub>''i''}} के रूप मे निरूपित करें। घन समीकरण <math>(x-a)(x-b)(x-c)=0</math> लिखें, इसके अवलकज को लें, और (द्विघात) अवकलज को शून्य के बराबर करें। मार्डेन के प्रमेय का कहना है कि इस समीकरण के समाधान स्टीनर इनलिप्स के दो केन्द्र के स्थानों को सम्मिश्र संख्याएं दर्शाती हैं।
-===बीजगणितीय संख्या सिद्धांत===
+=== बीजगणितीय संख्या सिद्धांत ===
-[[File:Pentagon construct.gif|right|thumb|एक नियमित पेंटागन [[कम्पास और सीधा निर्माण]] का निर्माण।]]जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी गैर-स्थिर बहुपद समीकरण (जटिल गुणांकों में) में एक समाधान है <math>\mathbb{C}</math>. हालाँकि, यदि समीकरण में परिमेय गुणांक हैं, तो वही सत्य है। ऐसे समीकरणों के मूल [[बीजगणितीय संख्या]] कहलाते हैं - वे [[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] में अध्ययन की एक प्रमुख वस्तु हैं। की तुलना में <math>\overline{\mathbb{Q}}</math>, का बीजगणितीय समापन <math>\mathbb{Q}</math>, जिसमें सभी बीजगणितीय संख्याएँ भी शामिल हैं, <math>\mathbb{C}</math> ज्यामितीय शर्तों में आसानी से समझने योग्य होने का लाभ है। इस तरह, ज्यामितीय प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए बीजगणितीय विधियों का उपयोग किया जा सकता है और इसके विपरीत। बीजगणितीय विधियों के साथ, विशेष रूप से [[क्षेत्र सिद्धांत (गणित)]] की मशीनरी को [[एकता की जड़]] वाले [[संख्या क्षेत्र]] में लागू करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि एक नियमित [[नॉनगोन]] कम्पास और सीधा निर्माण - एक विशुद्ध रूप से ज्यामितीय समस्या का निर्माण करना संभव नहीं है।
+[[File:Pentagon construct.gif|right|thumb|समभुजकोणीय पंचभुज [[ कम्पास और सीधे निर्माण |दिक्सूचक और ऋजु कोर]] का निर्माण।]]जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी गैर-स्थिर बहुपद समीकरण (सम्मिश्र गुणांकों में) का संशोधित <math>\mathbb{C}</math> में होता है। तर्क युक्ति, यदि समीकरण में तर्कसंगत गुणांक हैं तो वही सत्य है। इस तरह के समीकरणों की मूलों को बीजगणितीय संख्या कहा जाता है - वे बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अध्ययन का एक प्रमुख उद्देश्य हैं। <math>\overline{\mathbb{Q}}</math> की तुलना में, बीजगणितीय संवृत <math>\mathbb{Q}</math>, जिसमें सभी बीजगणितीय संख्या भी सम्मिलित हैं, <math>\mathbb{C}</math> ज्यामितीय पदों में आसानी से समझने योग्य होने का लाभ है। इस तरह, बीजगणितीय तरीकों का उपयोग ज्यामितीय प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। और इसके विपरीत बीजगणितीय तरीकों के साथ, अधिक विशेष रूप से [[ क्षेत्र सिद्धांत (गणित) |क्षेत्र सिद्धांत (गणित)]] की रचना को [[ एकता की जड़ |एकात्मकता की मूल]] वाले [[ संख्या क्षेत्र |संख्या क्षेत्र]] में प्रयुक्त करने के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि एक समभुजकोणीय नवभुज दिक्सूचक और ऋजु कोर निर्माण - एक विशुद्ध रूप से ज्यामितीय समस्या का निर्माण करना संभव नहीं है।
-एक अन्य उदाहरण [[गॉसियन पूर्णांक]] है; वह है, फॉर्म की संख्या {{math|''x'' + ''iy''}}, कहां {{mvar|x}} और {{mvar|y}} पूर्णांक हैं, जिनका उपयोग फ़र्मेट के प्रमेय को दो वर्गों के योग पर वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।
+अन्य उदाहरण गॉसियन पूर्णांक है; अर्थात् {{math|''x'' + ''iy''}} के रूप की संख्याएँ, जहाँ {{mvar|x}} और {{mvar|y}} पूर्णांक हैं, जिनका उपयोग वर्गों के योगों को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।
 === विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत ===
-{{main|Analytic number theory}}
+{{main|विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत}}
-विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत अध्ययन संख्या, अक्सर पूर्णांक या परिमेय, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि उन्हें जटिल संख्या के रूप में माना जा सकता है, जिसमें विश्लेषणात्मक विधियों का उपयोग किया जा सकता है। यह जटिल-मूल्यवान कार्यों में संख्या-सैद्धांतिक जानकारी को एन्कोडिंग द्वारा किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] {{math|ζ(''s'')}} [[अभाज्य संख्या]]ओं के वितरण से संबंधित है।
-=== अनुचित इंटीग्रल ===
+विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत अध्ययन संख्या, प्रायः पूर्णांक या तर्कसंगत, इस तथ्य का लाभ प्राप्त करके कि उन्हें सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जा सकता है, जिसमें विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग किया जा सकता है। यह सम्मिश्र-मान फलनों में संख्या-सिद्धांत संबंधी जानकारी को एन्कोडिंग करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, रीमैन ज़ेटा फलन {{math|ζ(''s'')}} [[ अभाज्य संख्या |अभाज्य संख्या]] के वितरण से संबंधित है।
-लागू क्षेत्रों में, जटिल-मूल्यवान कार्यों के माध्यम से, जटिल संख्याओं का उपयोग अक्सर कुछ वास्तविक-मूल्यवान अनुचित इंटीग्रल की गणना करने के लिए किया जाता है। ऐसा करने के लिए कई तरीके मौजूद हैं; [[समोच्च एकीकरण के तरीके]] देखें।
+=== अनुपयुक्त समाकलन ===
+प्रयुक्त क्षेत्रों में, सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग प्रायः सम्मिश्र-मान फलनों के माध्यम से कुछ वास्तविक-मान अनुचित अभिन्नताओं की गणना करने के लिए किया जाता है। ऐसा करने के लिए कई तरीके सम्मिलित हैं;[[ समोच्च एकीकरण के तरीके | समोच्च समाकलन के तरीके]] देखें।
 === गतिशील समीकरण ===
-अवकल समीकरणों में, पहले सभी सम्मिश्र मूलों को ज्ञात करना सामान्य है {{mvar|r}} रेखीय अवकल समीकरण#सजातीय समीकरण एक रेखीय अवकल समीकरण या समीकरण प्रणाली के निरंतर गुणांक के साथ और फिर फॉर्म के आधार कार्यों के संदर्भ में प्रणाली को हल करने का प्रयास करते हैं {{math|1=''f''(''t'') = ''e''<sup>''rt''</sup>}}. इसी तरह, [[अंतर समीकरण]]ों में, जटिल जड़ें {{mvar|r}} फार्म के आधार कार्यों के संदर्भ में प्रणाली को हल करने का प्रयास करने के लिए अंतर समीकरण प्रणाली के चारित्रिक समीकरण का उपयोग किया जाता है {{math|1=''f''(''t'') = ''r''<sup>''t''</sup>}}.
+अवकल समीकरणों में, सर्वप्रथम एक रेखीय अवकल समीकरण या समीकरण प्रणाली के अभिलक्षणिक समीकरण के सभी सम्मिश्र मूल r को खोजना और फिर ''f''(''t'') = ''e<sup>rt</sup>'' के मूल फलनों के संदर्भ में प्रणाली को संशोधित करने का प्रयास करना सामान्य संक्रिया है। इसी तरह, अवकल समीकरणों में, अवकल समीकरण प्रणाली के विशिष्ट समीकरण की सम्मिश्र मूल r का उपयोग ''f''(''t'') = ''r<sup>t</sup>'' के आधार फलनों के संदर्भ में प्रणाली को संशोधित करने का प्रयास करने के लिए किया जाता है।
-=== रेखीय बीजगणित ===
+=== रैखिक बीजगणित ===
-मैट्रिक्स का Eigedecomposition मैट्रिक्स शक्तियों और मैट्रिक्स घातांकों की गणना के लिए एक उपयोगी उपकरण है। हालाँकि, इसे अक्सर जटिल संख्याओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, भले ही मैट्रिक्स वास्तविक हो (उदाहरण के लिए, एक रोटेशन मैट्रिक्स)।
+आइगेनडीकंपोजीशन आव्यूह घातो और [[ मैट्रिक्स घातीय |आव्यूह घातांकों]] की गणना के लिए एक उपयोगी उपकरण है। हालांकि, इसे प्रायः सम्मिश्र संख्याओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, तथापि आव्यूह वास्तविक हो (उदाहरण के लिए, एक घूर्णन आव्यूह)।
-सम्मिश्र संख्याएँ अक्सर उन अवधारणाओं को सामान्यीकृत करती हैं जो मूल रूप से वास्तविक संख्याओं में कल्पना की गई थीं। उदाहरण के लिए, संयुग्म स्थानान्तरण, स्थानांतरण को सामान्य करता है, [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] [[सममित मैट्रिक्स]] को सामान्य करता है, और [[एकात्मक मैट्रिक्स]] [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स]] को सामान्य करता है।
+सम्मिश्र संख्याएँ अक्सर उन अवधारणाओं को सामान्यीकृत करती हैं जो मूल रूप से वास्तविक संख्याओं में कल्पना की गई थीं उदाहरण के लिए, संयुग्म स्थानान्तरण स्थानांतरण को सामान्य करता है [[ हरमिटियन मैट्रिक्स |हरमिटियन आव्यूह]] [[ सममित मैट्रिक्स |सममित आव्यूह]] को सामान्य करता है, और [[ एकात्मक मैट्रिक्स |एकात्मक आव्यूह,]] [[ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स |ऑर्थोगोनल आव्यूह]] को सामान्य करता है।
-=== लागू गणित में ===
+=== प्रयुक्त गणित में ===
 ==== नियंत्रण सिद्धांत ====
-{{see also|Complex plane#Use in control theory}}
+{{see also|सम्मिश्र  समतल § नियंत्रण सिद्धांत में प्रयोग }}
-नियंत्रण सिद्धांत में, सिस्टम अक्सर [[लाप्लास रूपांतरण]] का उपयोग करके समय डोमेन से जटिल [[आवृत्ति डोमेन]] में परिवर्तित हो जाते हैं। सिस्टम के [[शून्य और ध्रुव]]ों का जटिल विमान में विश्लेषण किया जाता है। [[रूट लोकस]], [[न्यक्विस्ट प्लॉट]], और [[निकोलस प्लॉट]] तकनीक सभी जटिल विमान का उपयोग करते हैं।
+नियंत्रण सिद्धांत में, प्रणाली को प्रायः समय प्रक्षेत्र से [[ लाप्लास रूपांतरण |लाप्लास रूपांतरण]] का उपयोग करके सम्मिश्र [[ आवृत्ति डोमेन |आवृत्ति प्रक्षेत्र]] में बदल दिया जाता है। प्रणाली के शून्य और ध्रुवों का विश्लेषण तब सम्मिश्र समतल में किया जाता है। रूट अवस्थिति, [[ न्यक्विस्ट प्लॉट |नाइक्विस्ट आरेख]], और [[ निकोल्स प्लॉट |निकोल्स]] [[ न्यक्विस्ट प्लॉट |आरेख]] तकनीक सभी सम्मिश्र समतल का उपयोग करते हैं।
-रूट लोकस विधि में, यह महत्वपूर्ण है कि क्या शून्य और ध्रुव बाएँ या दाएँ आधे विमानों में हैं, अर्थात वास्तविक भाग शून्य से अधिक या उससे कम है। यदि एक रेखीय, समय-अपरिवर्तनीय (LTI) प्रणाली में ध्रुव हैं जो हैं
+[[ रूट लोकस | रूट]] अवस्थिति विधि में, यह महत्वपूर्ण है कि [[ शून्य और ध्रुव |शून्य और ध्रुव]] बाएं या दाएं अर्ध समतलों में हैं, अर्थात, शून्य से अधिक या उससे कम वास्तविक भाग है। यदि एक रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली में ध्रुव होते हैं
-* दाहिने आधे तल में, यह [[अस्थिर]] होगा,
+* दाहिने आधे तल में, यह अस्थिर होगा,
-* सभी बाएँ आधे तल में, यह BIBO स्थिरता होगी,
+* सभी बाएँ आधे तल में, यह स्थिर रहेगा,
-* काल्पनिक अक्ष पर, इसमें [[सीमांत स्थिरता]] होगी।
+* काल्पनिक अक्ष पर, इसमें सीमान्त स्थिरता होगी।
-यदि सिस्टम के दाहिने आधे विमान में शून्य है, तो यह एक गैर-न्यूनतम चरण प्रणाली है।
+यदि किसी प्रणाली में दाहिने आधे तल में शून्य है, तो यह एक गैर-न्यूनतम चरण प्रणाली है।
-==== सिग्नल विश्लेषण ====
+==== संकेत विश्लेषण ====
-समय-समय पर अलग-अलग संकेतों के सुविधाजनक विवरण के लिए सिग्नल विश्लेषण और अन्य क्षेत्रों में जटिल संख्याओं का उपयोग किया जाता है। वास्तविक भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने वाले दिए गए वास्तविक कार्यों के लिए, अक्सर ज्या और कोसाइन के संदर्भ में, संबंधित जटिल कार्यों पर विचार किया जाता है, जिनमें से वास्तविक भाग मूल मात्राएं हैं। किसी दी गई [[आवृत्ति]] की [[साइन लहर]] के लिए, निरपेक्ष मान {{math|{{!}}''z''{{!}}}} तदनुरूपी {{mvar|z}} [[आयाम]] और तर्क है (जटिल विश्लेषण) {{math|arg ''z''}} चरण (तरंगें) है।
+समय -समय पर अलग -अलग संकेतों के लिए सुविधाजनक विवरण के लिए संकेत विश्लेषण और अन्य क्षेत्रों में सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग किया जाता है। वास्तविक भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने वाले वास्तविक फलनों के लिए, प्रायः साइन और कोसाइन के संदर्भ में, इसी सम्मिश्र फलनों को माना जाता है जिनके बारे में वास्तविक भाग मूल मात्रा हैं। किसी दिए गए [[ आवृत्ति |आवृत्ति]] की [[ साइन लहर |साइन प्रवाह]] के लिए, निरपेक्ष मूल्य {{math|{{!}}''z''{{!}}}} इसी के {{mvar|z}} [[ आयाम |आयाम]] और तर्क (सम्मिश्र विश्लेषण) है {{math|arg ''z''}} [[ चरण (तरंगें) |चरण (तरंगें)]] है।
-यदि [[फूरियर विश्लेषण]] को किसी दिए गए वास्तविक-मूल्यवान संकेत को आवधिक कार्यों के योग के रूप में लिखने के लिए नियोजित किया जाता है, तो इन आवधिक कार्यों को अक्सर प्रपत्र के जटिल-मूल्यवान कार्यों के रूप में लिखा जाता है।
+यदि [[ फूरियर विश्लेषण |फूरियर विश्लेषण]] किसी दिए गए वास्तविक-मूल्य वाले संकेत को आवधिक फलनों के योग के रूप में लिखने के लिए नियोजित किया जाता है, तो इन आवधिक फलनों को प्रायः सम्मिश्र-मान फलनों के रूप में लिखा जाता है
 <math display=block>x(t) = \operatorname{Re} \{X( t ) \} </math>
@@ Line 559: / Line 557: @@
 <math display=block>X( t ) = A e^{i\omega t} = a e^{ i \phi } e^{i\omega t} = a e^{i (\omega t + \phi) } </math>
-जहां ω [[कोणीय आवृत्ति]] का प्रतिनिधित्व करता है और जटिल संख्या A चरण और आयाम को एन्कोड करता है जैसा कि ऊपर बताया गया है।
+जहां ω कोणीय आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है और सम्मिश्र संख्या A चरण और आयाम को एन्कोड करता है जैसा कि ऊपर बताया गया है।
-यह उपयोग [[अंकीय संकेत प्रक्रिया]] और [[डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग]] में भी विस्तारित है, जो फूरियर विश्लेषण (और तरंगिका विश्लेषण) के डिजिटल संस्करणों का उपयोग संचारित करने, डेटा संपीड़न, पुनर्स्थापित करने और अन्यथा डिजिटल डेटा ध्वनि संकेतों, स्थिर छवियों और [[वीडियो]] संकेतों को संसाधित करने के लिए करता है।
-एएम रेडियो के आयाम मॉडुलन के दो पार्श्व बैंडों के लिए प्रासंगिक एक और उदाहरण है:
+यह उपयोग डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग और डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग में भी विस्तारित है, जो फूरियर विश्लेषण (और तरंगिका विश्लेषण) के डिजिटल संस्करणों का उपयोग डिजिटल ऑडियो सिग्नल, स्थिर छवि और वीडियो सिग्नल को प्रसारित करने, संपीड़ित करने, पुनर्स्थापित करने और अन्यथा संसाधित करने के लिए करता है।
-<math display=block>\begin{align}
+एएम रेडियो के आयाम मॉडुलन के दो पार्श्व बैंडों के लिए प्रासंगिक एक अन्य उदाहरण है:<math display=block>\begin{align}
    \cos((\omega + \alpha)t) + \cos\left((\omega - \alpha)t\right)
      & = \operatorname{Re}\left(e^{i(\omega + \alpha)t} + e^{i(\omega - \alpha)t}\right) \\
@@ Line 574: / Line 570: @@
 \end{align}</math>
+=== भौतिकी में ===
-=== भौतिकी में ===
+==== विद्युत चुंबकत्व और विद्युत अभियांत्रिकी ====
+{{Main|प्रत्यावर्ती धारा}}
-==== विद्युत चुंबकत्व और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग ====
+विद्युत अभियांत्रिकी में, फूरियर रूपांतरण का उपयोग अलग-अलग विद्युत-दाब और धाराओं का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। प्रतिरोधों, संधारित्र और प्रेरित्र के उपचार को बाद के दो के लिए काल्पनिक, आवृत्ति-निर्भर प्रतिरोधों को प्रस्तुत करके एकीकृत किया जा सकता है और तीनों को समान सम्मिश्र संख्या में प्रतिबाधा कहा जाता है। इस दृष्टिकोण को फेजर गणना कहा जाता है।
-{{Main|Alternating current}}
-इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, [[फूरियर रूपांतरण]] का उपयोग अलग-अलग [[वोल्टेज]] और इलेक्ट्रिक करंट का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। बाद के दो के लिए काल्पनिक, आवृत्ति-निर्भर प्रतिरोधों को पेश करके और [[विद्युत प्रतिबाधा]] नामक एक जटिल संख्या में तीनों को जोड़कर प्रतिरोधों, [[संधारित्र]] और [[प्रारंभ करनेवाला]]्स के उपचार को एकीकृत किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण को फेजर कैलकुलस कहा जाता है।
-इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, काल्पनिक इकाई द्वारा निरूपित किया जाता है {{mvar|j}}, भ्रम से बचने के लिए {{mvar|I}}, जो आम तौर पर विद्युत प्रवाह को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है, या अधिक विशेष रूप से, {{mvar|i}}, जो आम तौर पर तात्कालिक विद्युत प्रवाह को दर्शाने के लिए उपयोग में होता है।
+विद्युत अभियांत्रिकी में, I के साथ भ्रम से बचने के लिए, काल्पनिक इकाई को j द्वारा दर्शाया जाता है, जो सामान्य रूप से विद्युत प्रवाह को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है, या, विशेष रूप से, i, जो सामान्य रूप से तात्कालिक विद्युत प्रवाह को दर्शाने के लिए उपयोग में होता है।
-चूंकि एक एसी [[विद्युत परिपथ]] में वोल्टेज दोलन कर रहा है, इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है
+चूंकि एक प्रत्यावर्ती धारा [[ विद्युत परिपथ |विद्युत परिपथ]] में विद्युत-दाब दोलन कर रहा है, इसलिए इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है
 <math display=block> V(t) = V_0 e^{j \omega t} = V_0 \left (\cos\omega t + j \sin\omega t \right ),</math>
@@ Line 589: / Line 585: @@
 <math display=block> v(t) = \operatorname{Re}(V) = \operatorname{Re}\left [ V_0 e^{j \omega t} \right ] = V_0 \cos \omega t.</math>
-जटिल-मूल्यवान संकेत {{math|''V''(''t'')}} वास्तविक-मूल्यवान, मापने योग्य संकेत का [[विश्लेषणात्मक संकेत]] प्रतिनिधित्व कहा जाता है {{math|''v''(''t'')}}.
+सम्मिश्र-मान संकेत {{math|''V''(''t'')}} वास्तविक-मान, मापने योग्य संकेत {{math|''v''(''t'')}} का विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व कहा जाता है।<ref>{{cite book |last1=Grant |first1=I.S. |title=विद्युत चुंबकत्व|year=2008|edition=2 |publisher=Manchester Physics Series |isbn=978-0-471-92712-9 |last2=Phillips |first2=W.R.}}</ref>
-<ref>{{cite book |last1=Grant |first1=I.S. |title=विद्युत चुंबकत्व|year=2008|edition=2 |publisher=Manchester Physics Series |isbn=978-0-471-92712-9 |last2=Phillips |first2=W.R.}}</ref>
-==== द्रव गतिकी ====
+==== द्रव की गतिशीलता ====
-द्रव गतिकी में, [[दो आयामों में संभावित प्रवाह]] का वर्णन करने के लिए जटिल कार्यों का उपयोग किया जाता है।
+द्रव की गतिशीलता में, [[ दो आयामों में संभावित प्रवाह |दो आयामों में संभावित प्रवाह]] का वर्णन करने के लिए सम्मिश्र फलनों का उपयोग किया जाता है।
 ==== क्वांटम यांत्रिकी ====
-जटिल संख्या क्षेत्र [[क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय योग]]ों के लिए आंतरिक है, जहां जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान ऐसे एक सूत्रीकरण के लिए संदर्भ प्रदान करते हैं जो सुविधाजनक और शायद सबसे मानक है। क्वांटम यांत्रिकी के मूल आधार सूत्र - श्रोडिंगर समीकरण और हाइजेनबर्ग के [[मैट्रिक्स यांत्रिकी]] - जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।
+सम्मिश्र संख्या क्षेत्र [[ क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय योग |क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय योग]] के लिए आंतरिक है, जहां सम्मिश्र [[ हिल्बर्ट स्पेस |हिल्बर्ट समष्टि]] एक ऐसे सूत्रीकरण के लिए संदर्भ प्रदान करते हैं जो सुविधाजनक और संभव्यता सबसे मानक है। क्वांटम यांत्रिकी के मूल नींव सूत्र - श्रोडिंगर समीकरण और हाइजेनबर्ग के [[ मैट्रिक्स यांत्रिकी |आव्यूह यांत्रिकी]] - सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हैं।
 ==== सापेक्षता ====
-[[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, [[अंतरिक्ष समय]] पर मीट्रिक के लिए कुछ सूत्र सरल हो जाते हैं यदि कोई स्पेसटाइम सातत्य के समय घटक को काल्पनिक मानता है। (यह दृष्टिकोण शास्त्रीय सापेक्षता में अब मानक नहीं है, लेकिन [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में [[बाती का घूमना]] है।) जटिल संख्याएँ स्पिनरों के लिए आवश्यक हैं, जो सापेक्षता में प्रयुक्त [[टेन्सर]]ों का एक सामान्यीकरण हैं।
+[[ विशेष सापेक्षता | विशेष सापेक्षता]] और [[ सामान्य सापेक्षता |सामान्य सापेक्षता]] में, [[ अंतरिक्ष समय |अंतरिक्ष समय]] पर मीट्रिक के लिए कुछ सूत्र सरल हो जाते हैं यदि कोई समष्टि समय सातत्य के समय घटक को काल्पनिक मानता है। (यह दृष्टिकोण उत्कृष्ट सापेक्षता में अब मानक नहीं है, लेकिन [[ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत |क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में एक आवश्यक तरीके से उपयोग किया जाता है।) सम्मिश्र संख्या [[ स्पिनर |स्पिनर]] के लिए आवश्यक हैं, जो सापेक्षता में उपयोग किए जाने वाले [[ टेन्सर |टेन्सर]] का एक सामान्यीकरण हैं।
+== सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएँ ==
+[[File:Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg|thumb|upright=1.05| केली Q8 चतुष्कोणीय ग्राफ i, j और k द्वारा गुणन के चक्रों को दर्शाता है]]क्षेत्र को विस्तारित करने की प्रक्रिया <math>\mathbb R</math> के लिए <math>\mathbb C</math> केली-डिक्सन निर्माण के रूप में जानी जाती है। इसे और अधिक आयामों तक ले जाया जा सकता है, चतुर्भुजों की प्राप्त <math>\mathbb H</math> और ऑक्टोनियन <math>\mathbb{O}</math> जो (वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष के रूप में) क्रमशः आयाम 4 और 8 के हैं। इस संदर्भ में सम्मिश्र संख्याओं को बिनरियन कहा गया है।<ref>{{cite book |first=Kevin |last=McCrimmon |year=2004 |title=जॉर्डन बीजगणित का स्वाद|page=64 |series=Universitext |publisher=Springer |isbn=0-387-95447-3}} {{mr|id=2014924}}</ref>
-== सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएं ==
+जिस तरह निर्माण को वास्तविकता में प्रयुक्त करने से क्रमित करने के गुण समाप्त हो जाती है, वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं से परिचित गुण प्रत्येक विस्तार के साथ नष्ट हो जाते हैं। चतुष्कोण क्रम-विनिमेयता नष्ट कर देते हैं, अर्थात, x·y ≠ y·x कुछ चतुष्कोणों x, y के लिए, और अष्टक का गुणन, इसके अतिरिक्त क्रमविनिमेय नहीं होने के कारण, : (x·y)·z ≠ x·( y·z) कुछ अष्टक x, y, z के लिए साहचर्य होने में विफल रहता है।
-[[File:Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg|thumb|upright=1.05|लिंक ={{filepath:Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg}}|केली Q8 चतुष्कोणीय ग्राफ गुणन के चक्रों को दिखा रहा है {{red|'''i'''}}, {{green|'''j'''}} और {{blue|'''k'''}}]]क्षेत्र के विस्तार की प्रक्रिया <math>\mathbb R</math> वास्तविक के लिए <math>\mathbb C</math> केली-डिक्सन निर्माण के रूप में जाना जाता है। इसे चतुष्कोणों की उपज, उच्च आयामों तक ले जाया जा सकता है <math>\mathbb H</math> और [[ऑक्टोनियन]] <math>\mathbb{O}</math> जो (वास्तविक सदिश स्थान के रूप में) क्रमशः आयाम 4 और 8 के हैं।
-इस संदर्भ में सम्मिश्र संख्याओं को बायनेरियंस कहा गया है।<ref>{{cite book |first=Kevin |last=McCrimmon |year=2004 |title=जॉर्डन अल्जेब्रस का स्वाद|page=64 |series=Universitext |publisher=Springer |isbn=0-387-95447-3}} {{mr|id=2014924}}</ref>
-जिस तरह वास्तविक पर निर्माण लागू करने से आदेशित क्षेत्र की संपत्ति खो जाती है, वास्तविक और जटिल संख्याओं से परिचित गुण प्रत्येक विस्तार के साथ गायब हो जाते हैं। चतुष्कोण कम्यूटेटिविटी खो देते हैं, अर्थात, {{math|''x''·''y'' ≠ ''y''·''x''}} कुछ चतुष्कोणों के लिए {{math|''x'', ''y''}}, और अष्टक का गुणन, इसके अतिरिक्त क्रमविनिमेय नहीं होने के कारण, साहचर्य होने में विफल रहता है: {{math|(''x''·''y'')·''z'' ≠ ''x''·(''y''·''z'')}} कुछ ऑक्टोनियंस के लिए {{math|''x'', ''y'', ''z''}}.
-वास्तविक, सम्मिश्र संख्याएँ, चतुर्धातुक और अष्टक सभी मानक विभाजन बीजगणित हैं <math>\mathbb R</math>. हर्विट्ज़ के प्रमेय (सामान्य विभाजन बीजगणित) द्वारा | हर्विट्ज़ के प्रमेय वे ही हैं; [[sedenion]]्स, केली-डिक्सन निर्माण में अगला चरण, इस संरचना को बनाने में विफल रहा।
+<math>\mathbb R</math> पर वास्तविक, सम्मिश्र संख्याएं, चतुष्कोण और अष्टक सभी मानक विभाजन बीजगणित हैं। हर्विट्ज़ प्रमेय के अनुसार केवल वे ही हैं जो सेडेनियन्स, केली-डिक्सन निर्माण में पूर्व चरण, इस संरचना को बनाने में विफल रहा।
-केली-डिक्सन निर्माण के [[नियमित प्रतिनिधित्व]] से निकटता से संबंधित है <math>\mathbb C,</math> एक के रूप में सोचा <math>\mathbb R</math>-अलजेब्रा (रिंग थ्योरी) (ए <math>\mathbb{R}</math>-वेक्टर स्पेस गुणा के साथ), आधार के संबंध में {{math|(1, ''i'')}}. इसका मतलब निम्नलिखित है: <math>\mathbb R</math>-रैखिक नक्शा
+केली-डिक्सन का निर्माण <math>\mathbb C</math> [[ नियमित प्रतिनिधित्व |समभुजकोणीय प्रतिनिधित्व]] से निकटता से संबंधित है जिसे एक गणित <math>\mathbb R</math>-बीजगणित (वलय सिद्धांत) <math>\mathbb{R}</math> वेक्टर समष्टि गुणा के साथ), गुणन के साथ समष्टि {{math|(1, ''i'')}} के रूप में माना जाता है। इसका तात्पर्य है निम्नलिखित: <math>\mathbb R</math>-रैखिक मानचित्र
 <math display=block>\begin{align}
     \mathbb{C} &\rightarrow \mathbb{C} \\
     z &\mapsto wz
   \end{align}</math>
-कुछ निश्चित जटिल संख्या के लिए {{mvar|w}} ए द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है {{math|2 × 2}} मैट्रिक्स (एक बार एक आधार चुना गया है)। आधार के संबंध में {{math|(1, ''i'')}}, यह मैट्रिक्स है
+कुछ निश्चित सम्मिश्र संख्या के लिए {{mvar|w}} को {{math|2 × 2}} आव्यूह (एक बार एक आधार चयन किया गया है) द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। आधार के संबंध में {{math|(1, ''i'')}}, यह आव्यूह है
 <math display=block>\begin{pmatrix}
    \operatorname{Re}(w) & -\operatorname{Im}(w) \\
    \operatorname{Im}(w) &  \operatorname{Re}(w)
   \end{pmatrix},</math>
-यही है, ऊपर जटिल संख्याओं के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पर अनुभाग में वर्णित एक है। जबकि यह एक [[रैखिक प्रतिनिधित्व]] है <math>\mathbb C</math> 2 × 2 वास्तविक मैट्रिक्स में, यह केवल एक ही नहीं है। कोई मैट्रिक्स
+अर्थात, ऊपर सम्मिश्र संख्याओं के आव्यूह प्रतिनिधित्व पर अनुभाग में उल्लेख किया गया है। जबकि यह एक [[ रैखिक प्रतिनिधित्व |रैखिक प्रतिनिधित्व]] है जबकि यह <math>\mathbb C</math> वास्तविक आव्यूहों में 2 × 2 का एक रैखिक निरूपण है, यह केवल एक ही नहीं है। कोई आव्यूह
 <math display=block>J = \begin{pmatrix}p & q \\ r & -p \end{pmatrix}, \quad p^2 + qr + 1 = 0</math>
-संपत्ति है कि इसका वर्ग पहचान मैट्रिक्स का ऋणात्मक है: {{math|1=''J''<sup>2</sup> = −''I''}}. फिर
+गुण है कि इसका वर्ग वर्ग सर्वसमिका आव्यूह {{math|1=''J''<sup>2</sup> = −''I''}} का ऋणात्मक है। तब
 <math display=block>\{ z = a I + b J : a,b \in \mathbb{R} \}</math>
-क्षेत्र के लिए भी आइसोमोर्फिक है <math>\mathbb C,</math> और एक वैकल्पिक जटिल संरचना देता है <math>\mathbb R^2.</math> यह एक रेखीय जटिल संरचना की धारणा से सामान्यीकृत है।
+क्षेत्र <math>\mathbb C</math> के लिए भी समरूपीय है और <math>\mathbb R^2</math> वैकल्पिक सम्मिश्र संरचना देता है। यह एक [[ रैखिक जटिल संरचना |रैखिक सम्मिश्र संरचना]] की धारणा से सामान्यीकृत है।
-[[हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या]] भी सामान्यीकरण करते हैं <math>\mathbb R,</math> <math>\mathbb C,</math> <math>\mathbb H,</math> और <math>\mathbb{O}.</math> उदाहरण के लिए, इस धारणा में [[विभाजित-जटिल संख्या]]एँ हैं, जो वलय के तत्व हैं <math>\mathbb R[x]/(x^2-1)</math> (विरोध के रूप में <math>\mathbb R[x]/(x^2+1)</math> जटिल संख्या के लिए)। इस वलय में, समीकरण {{math|1=''a''<sup>2</sup> = 1}} चार उपाय हैं।
+[[ हाइपरकम्प्लेक्स संख्या |अतिमिश्र संख्या]] <math>\mathbb R,</math> <math>\mathbb C,</math> <math>\mathbb H,</math> और <math>\mathbb{O}</math> को भी सामान्यीकरण करती है। उदाहरण के लिए, इस धारणा में [[ विभाजित-संकलन संख्या |विभाजित-संकलन संख्या]] सम्मिलित हैं, जो वलय के तत्व <math>\mathbb R[x]/(x^2-1)</math> (विरोध के रूप में <math>\mathbb R[x]/(x^2+1)</math> सम्मिश्र संख्याओं के लिए) हैं। इस वलय में, समीकरण {{math|1=''a''<sup>2</sup> = 1}} चार समाधान हैं।
-फील्ड <math>\mathbb R</math> का समापन है <math>\mathbb Q,</math> सामान्य निरपेक्ष मान मीट्रिक (गणित) के संबंध में परिमेय संख्याओं का क्षेत्र। मीट्रिक (गणित) के अन्य विकल्पों पर <math>\mathbb Q</math> खेतों की ओर ले जाता है <math>\mathbb Q_p</math> पी-एडिक संख्या का|{{mvar|p}}-एडिक नंबर (किसी भी अभाज्य संख्या के लिए {{mvar|p}}), जो इसके अनुरूप हैं <math>\mathbb{R}</math>. पूरा करने का कोई अन्य गैर-तुच्छ तरीका नहीं है <math>\mathbb Q</math> से <math>\mathbb R</math> और <math>\mathbb Q_p,</math> ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय द्वारा। बीजीय बंद हो जाता है <math>\overline {\mathbb{Q}_p}</math> का <math>\mathbb Q_p</math> अभी भी एक मानदंड है, लेकिन (विपरीत <math>\mathbb C</math>) इसके संबंध में पूर्ण नहीं हैं। पूर्ण <math>\mathbb{C}_p</math> का <math>\overline {\mathbb{Q}_p}</math> बीजगणितीय रूप से बंद हो जाता है। सादृश्य से, क्षेत्र कहा जाता है {{mvar|p}}-adic जटिल संख्या।
+क्षेत्र <math>\mathbb R</math> समापन <math>\mathbb Q</math> है, सामान्य निरपेक्ष मूल्य मीट्रिक (गणित) के संबंध में तर्कसंगत संख्याओं <math>\mathbb Q</math> क्षेत्रों के लिए <math>\mathbb Q_p</math> निरूपित करते है और {{mvar|p}}-संख्या (किसी भी प्रमुख संख्या के लिए) {{mvar|p}}), जो इस प्रकार <math>\mathbb{R}</math> से अनुरूप हैं। <math>\mathbb Q</math> को पूर्ण करने के कोई अन्य <math>\mathbb R</math> और <math>\mathbb Q_p,</math> ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय द्वारा बीजगणितीय संवृत हो जाता है और <math>\overline {\mathbb{Q}_p}</math> का <math>\mathbb Q_p</math> अभी भी एक मानक ले जाता है, लेकिन (इसके विपरीत) <math>\mathbb C</math>) इसके संबंध में पूरा नहीं है। पूर्ण <math>\mathbb{C}_p</math> का <math>\overline {\mathbb{Q}_p}</math> बीजगणित रूप से संवृत हो जाता है। सादृश्य द्वारा, क्षेत्र को {{mvar|p}}-सम्मिश्र संख्या कहा जाता है।
-खेत <math>\mathbb R,</math> <math>\mathbb Q_p,</math> और उनके परिमित क्षेत्र विस्तार, सहित <math>\mathbb C,</math> [[स्थानीय क्षेत्र]] कहलाते हैं।
+क्षेत्र <math>\mathbb R,</math> <math>\mathbb Q_p,</math> और उनके परिमित क्षेत्र विस्तार, सहित <math>\mathbb C,</math> [[ स्थानीय क्षेत्र |स्थानीय क्षेत्र]] कहा जाता है।
 == यह भी देखें ==
 {{Commons category|Complex numbers}}
-* [[बीजगणितीय सतह]]
+* बीजगणितीय सतह
-* वर्तुल गति#जटिल संख्याओं का उपयोग करना
+* सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए वृत्ताकार गति
-* [[जटिल-आधार प्रणाली]]
+* [[ जटिल आधार प्रणाली | सम्मिश्र आधार प्रणाली]]
-* [[जटिल ज्यामिति]]
+* [[ जटिल ज्यामिति | सम्मिश्र ज्यामिति]]
-* [[दोहरी जटिल संख्या]]
+* दोहरी-सम्मिश्र संख्या
-* [[आइज़ेंस्टीन पूर्णांक]]
+* आइज़ेंस्टीन पूर्णांक
-* यूलर की पहचान
+* यूलर की सर्वसमिका
-* ज्यामितीय बीजगणित#यूनिट स्यूडोस्केलर्स (जिसमें 2-आयामी स्पिनर के रूप में जटिल विमान शामिल है#दो आयाम उप-स्थान <math>\mathcal{G}_2^+</math>)
+* ज्यामितीय बीजगणित जिसमें 2-आयामी संदिश उप-समष्टि <math>\mathcal{G}_2^+</math> के रूप में सम्मिश्र समतल सम्मिलित है
-* [[इकाई जटिल संख्या]]
+* [[ एकक जटिल संख्या | एकक सम्मिश्र संख्या]]
 {{Classification of numbers}}
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-=== उद्धृत कार्य ===
+=== वर्क्स का हवाला दिया गया ===
 {{refbegin}}
 * {{cite book |last=Ahlfors |first=Lars |author-link=Lars Ahlfors |year=1979 |title=जटिल विश्लेषण|edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |url=https://archive.org/details/lars-ahlfors-complex-analysis-third-edition-mcgraw-hill-science_engineering_math-1979/page/n1/mode/2up |url-access=registration |isbn=978-0-07-000657-7}}
 * {{cite book |last=Apostol |first=Tom |author-link=Tom Apostol |year=1981 |title=गणितीय विश्लेषण|publisher=Addison-Wesley}}
-* {{cite journal |last=Argand |date=1814 |title=कल्पनाओं के नए सिद्धांत पर विचार, विश्लेषण के प्रमेय के प्रमाण के लिए एक आवेदन के बाद|journal=Annales de mathématiques pures et appliquées |volume=5 |pages=197–209 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126479&view=1up&seq=209 |trans-title=Reflections on the new theory of complex numbers, followed by an application to the proof of a theorem of analysis |language=fr}}
+* {{cite journal |last=Argand |date=1814 |title=कल्पना के नए सिद्धांत पर विचार, गुदा के एक प्रमेय के प्रदर्शन के लिए एक आवेदन के बाद|journal=Annales de mathématiques pures et appliquées |volume=5 |pages=197–209 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126479&view=1up&seq=209 |trans-title=Reflections on the new theory of complex numbers, followed by an application to the proof of a theorem of analysis |language=fr}}
-* {{cite journal |last=Gauss |first=C. F. |date= 1831 |title=द्विघात अवशेषों का सिद्धांत। एक दूसरी टिप्पणी।|trans-title=Theory of biquadratic residues. Second memoir. |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015073697180&view=1up&seq=292 |journal=Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores |volume=7 |pages=89–148 |language=la |author-link= Carl Friedrich Gauss}}
+* {{cite journal |last=Gauss |first=C. F. |date= 1831 |title=Bikadraticorum के अवशेषों का सिद्धांत।दूसरी टिप्पणी।|trans-title=Theory of biquadratic residues. Second memoir. |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015073697180&view=1up&seq=292 |journal=Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores |volume=7 |pages=89–148 |language=la |author-link= Carl Friedrich Gauss}}
 * {{springer |id=c/c024140 |title=Complex number |year=2001|first=E.D. |last=Solomentsev}}
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 * {{cite book |ref=none |last=Ahlfors |first=Lars |author-link=Lars Ahlfors |title=जटिल विश्लेषण|publisher=McGraw-Hill |year=1979 |edition=3rd |isbn=978-0-07-000657-7}}
-* {{cite book |ref=none |last=Conway |first=John B. |title=एक जटिल चर I के कार्य|year=1986 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-90328-6}}
+* {{cite book |ref=none |last=Conway |first=John B. |title=एक जटिल चर के कार्य|year=1986 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-90328-6}}
 * {{cite book |ref=none |last1=Joshi |first1=Kapil D. |title=असतत गणित की नींव|publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-470-21152-6 |year=1989}}
 * {{cite book |ref=none |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=ज्यामिति: एक व्यापक पाठ्यक्रम|publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}
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-===ऐतिहासिक ===
+=== ऐतिहासिक ===
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 * {{cite book |ref=none |last=Bourbaki |first=Nicolas |author-link=Nicolas Bourbaki |title= गणित के इतिहास के तत्व|chapter= Foundations of mathematics § logic: set theory |publisher= Springer |year= 1998}}
 * {{cite book |ref=none |last1=Burton |first1=David M. |title=गणित का इतिहास|publisher=[[McGraw-Hill]] |location=New York |edition= 3rd |isbn=978-0-07-009465-9 |year=1995}}
 * {{cite book |ref=none |last1=Katz |first1=Victor J. |title=गणित का इतिहास, संक्षिप्त संस्करण|publisher=[[Addison-Wesley]] |isbn=978-0-321-16193-2 |year=2004}}
-* {{cite book |ref=none |title=एक काल्पनिक कहानी: <गणित>\scriptstyle\sqrt{-1}</math> की कहानी|first=Paul J. |last=Nahin |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-02795-1 |year=1998}} - जटिल संख्याओं के इतिहास और जटिल विश्लेषण की शुरुआत का एक सौम्य परिचय।
+* {{cite book |ref=none |title=एक काल्पनिक कहानी: <गणित की कहानी \ scriptstyle \ sqrt {-1} </math>|first=Paul J. |last=Nahin |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-02795-1 |year=1998}} - जटिल संख्याओं के इतिहास और जटिल विश्लेषण की शुरुआत के लिए एक सौम्य परिचय।
 * {{cite book |ref=none |first1=H. D. |last1= Ebbinghaus |first2=H. |last2= Hermes |first3=F. |last3=Hirzebruch |first4=M. |last4=Koecher |first5=K. |last5= Mainzer |first6=J. |last6= Neukirch |first7=A. |last7=Prestel |first8=R. |last8=Remmert |title=नंबर|publisher=Springer |isbn=978-0-387-97497-2 |edition=hardcover |year=1991}} - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।
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-श्रेणी:संरचना बीजगणित
-श्रेणी:जटिल संख्याएँ
+श्रेणी: रचना बीजगणित
+श्रेणी: सम्मिश्र संख्याएँ
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-[[Category:Created On 17/12/2022]]
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जटिल संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 10:55, 24 March 2023

परिभाषा

संकेतन

आभासीकरण

कार्तीय सम्मिश्र समतल

ध्रुवीय सम्मिश्र समतल

मापांक और तर्क

सम्मिश्र रेखांकन

इतिहास

संबंध और संक्रिया

समानता

अनुक्रम

संयुग्म

जोड़ना और घटाना

गुणा और वर्ग

पारस्परिक और विभाजन

गुणा और ध्रुवीय रूप में विभाजन

वर्गमूल

घातीय फलन

कार्यात्मक समीकरण

यूलर का सूत्र

सम्मिश्र लघुगणक

घातांक

पूर्णांक और आंशिक घातांक

गुण

क्षेत्र संरचना

बहुपद समीकरणों का समाधान

बीजगणितीय विशेषता

संस्थानिक क्षेत्र के रूप में विशेषता

औपचारिक निर्माण

क्रमित युग्मों के अनुसार निर्माण

भागफल क्षेत्र के रूप में निर्माण

आव्यूह सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व

सम्मिश्र विश्लेषण

सम्मिश्र घातीय और संबंधित फलन

होलोमोर्फिक फलन

अनुप्रयोग

ज्यामिति

आकार

फ्रैक्टल ज्यामिति

त्रिकोण

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत

अनुपयुक्त समाकलन

गतिशील समीकरण

रैखिक बीजगणित

प्रयुक्त गणित में

नियंत्रण सिद्धांत

संकेत विश्लेषण

भौतिकी में

विद्युत चुंबकत्व और विद्युत अभियांत्रिकी

द्रव की गतिशीलता

क्वांटम यांत्रिकी

सापेक्षता

सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएँ

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

वर्क्स का हवाला दिया गया

आगे की पढाई

गणितीय

ऐतिहासिक

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