थियोडोरस का सर्पिल

${\sqrt {17}}$ के कर्ण के साथ त्रिभुज तक थियोडोरस की सर्पिल-रेखा

ज्यामिति में, थियोडोरस की सर्पिल-रेखा (जिसे वर्गमूल सर्पिल-रेखा, आइंस्टीन सर्पिल-रेखा, पाइथागोरियन सर्पिल-रेखा, या पाइथागोरस का स्नैल (घोंघा) भी कहा जाता है) समकोण त्रिभुजों से बनी एक सर्पिल-रेखा है, जो कोर से कोर तक रखा गया है। इसका नाम साइरेन के थियोडोरस के नाम पर रखा गया था।

निर्माण

सर्पिल-रेखा एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से प्रारंभ होती है, जिसमें प्रत्येक चरण की इकाई लंबाई होती है। एक अन्य समकोण त्रिभुज बनता है, एक ऑटोमेडियन त्रिभुज जिसका एक चरण पिछले त्रिकोण का कर्ण होता है (लंबाई 2 के वर्गमूल के साथ) और दूसरे चरण की लंबाई 1 होती है; इस दूसरे त्रिभुज के कर्ण की लंबाई 3 का वर्गमूल है।प्रक्रिया फिर क्रम में n वें त्रिकोण को पुनरावृत करती है यह एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई ${\sqrt {n}}$ और 1 या कर्ण के साथ ${\sqrt {n+1}}$ है। उदाहरण के लिए, 16वें त्रिभुज की भुजाएँ $4={\sqrt {16}}$, 1 और कर्ण ${\sqrt {17}}$ मापती हैं।

इतिहास और उपयोग

यद्यपि थियोडोरस का सारा काम नष्ट हो गया है, प्लेटो ने थियोडोरस को अपने विचार थेएटेटस में रखा, जो उनके काम के बारे में बताता है। यह माना जाता है कि थियोडोरस ने थिओडोरस के सर्पिल-रेखा के माध्यम से यह प्रमाणित कर दिया था कि 3 से 17 तक के गैर-वर्ग पूर्णांकों के सभी वर्गमूल अपरिमेय संख्या हैं।

प्लेटो 2 के वर्गमूल की अपरिमेयता का श्रेय थिओडोरस को नहीं देता, क्योंकि यह उससे पहले अच्छी तरह से जाना जाता था। थियोडोरस और थेएटेटस ने परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं को विभिन्न श्रेणियों में विभाजित किया।

कर्ण

प्रत्येक त्रिभुज $h_{n}$ का कर्ण $h_{1}={\sqrt {2}}$ के साथ संबंधित प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल देता है।

थियोडोरस द्वारा पढ़ाए गए प्लेटो ने सवाल किया कि थियोडोरस ${\sqrt {17}}$ पर क्यों रुक गया। सामान्य रूप से इसका कारण यह माना जाता है कि ${\sqrt {17}}$ कर्ण अंतिम त्रिकोण से संबंधित है जो आकृति को अधिव्यापन नहीं करता है।

अधिव्यापन

1958 में, कालेब विलियम्स ने प्रमाणित किया कि कोई भी दो कर्ण कभी भी समतुल्य नहीं होंगे, तथापि सर्पिल-रेखा कितनी दूर तक जारी रहे। साथ ही, यदि इकाई लंबाई की भुजाओं को एक रेखा (ज्यामिति) में विस्तारित किया जाता है, तो वे कभी भी समग्र आकृति के किसी अन्य शीर्ष से होकर नहीं गुजरेंगी।

विस्तार

110 त्रिकोणों के साथ थियोडोरस का रंगीन विस्तारित सर्पिल-रेखा

थिओडोरस ने अपने सर्पिल-रेखा को त्रिकोण में एक कर्ण ${\sqrt {17}}$ के साथ रोक दिया। यदि सर्पिल-रेखा को अनंत रूप से कई त्रिभुजों तक जारी रखा जाए, तो कई और रोचक विशेषताएँ पाई जाती हैं।

विकास दर

कोण

यदि $\varphi _{n}$ का $n$वें त्रिभुज (या सर्पिल-रेखा खंड) का कोण है, तब:

$$\tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.$$

इसलिए, अगले त्रिभुज $\varphi _{n}$ के कोण $n$ की वृद्धि है:

$$\varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).$$

प्रथम $k$ त्रिभुज के कोणों के योग को के लिए $k$वें त्रिभुज का कुल कोण $\varphi (k)$ कहा जाता है। यह $k$ के वर्गमूल के समानुपातिक रूप से बढ़ता है, परिबद्ध फलन संशोधन पद $c_{2}$ के साथ:

$$\varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)$$

जहाँ

$$\lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots$$

(OEIS: A105459).

त्रिकोण या सर्पिल-रेखा का खंड

त्रिज्या

निश्चित त्रिभुज $n$ पर सर्पिल-रेखा की त्रिज्या का विकास है

$$\Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.$$

आर्किमिडीयन सर्पिल-रेखा

थिओडोरस की सर्पिल-रेखा आर्किमिडीयन सर्पिल-रेखा का अनुमान लगाती है। जैसे आर्किमिडीयन सर्पिल-रेखा की दो वक्र के बीच की दूरी गणितीय स्थिरांक $\pi$ के बराबर होती है, जैसे ही थियोडोरस के सर्पिल-रेखा के वक्र की संख्या अनंत तक पहुंचती है, दो क्रमागत वक्र के बीच की दूरी $\pi$ तीव्रता से निकट आती है।

निम्नलिखित एक तालिका है जो पाई के पास आने वाले सर्पिल-रेखा के दो वक्र को दिखाती है:

वक्र संख्या	परिकलित औसत वक्र-दूरी	π की तुलना में औसत वक्र-दूरी की शुद्धता
2	3.1592037	99.44255%
3	3.1443455	99.91245%
4	3.14428	99.91453%
5	3.142395	99.97447%
$\to \infty$	$\to \pi$	$\to 100\%$

जैसा कि दिखाया गया है, केवल पाँचवीं कुंडली के बाद, दूरी 99.97% परिशुद्ध सन्निकटन $\pi$ है।

सतत वक्र

थियोडोरस के सर्पिल-रेखा की डेविस की विश्लेषणात्मक निरंतरता, मूल बिन्दु से विपरीत दिशा में विस्तार (ऋणात्मक नोड्स संख्या) सहित।

निष्कोण वक्र द्वारा थियोडोरस के सर्पिल-रेखा के असतत बिंदुओं को प्रक्षेपित करने का प्रश्न प्रस्तावित किया गया था और इसका उत्तर दिया गया था (डेविस 2001, पीपी 37–38) गामा फलन के लिए यूलर के सूत्र के साथ फैक्टोरियल (क्रमगुणित) फलन के लिए एक अंतर्वेश्य के रूप में दिया गया था। डेविस ने फलन पाया

$$T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )$$

जिसका आगे अध्ययन उनके छात्र जेफ़री जे. लीडर ने किया और एरीह इसरल्स द्वारा (परिशिष्ट में (डेविस 2001) ) इस फलन का स्वयंसिद्ध विशेषता (ग्रोनॉ 2004) में दिया गया है, जो कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करने वाले अद्वितीय फलन के रूप में है

$$f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),$$

प्रारंभिक स्थिति $f(0)=1,$ और तर्क (जटिल विश्लेषण) और निरपेक्ष मान दोनों में एकदिष्‍टता फलन; इसमें वैकल्पिक स्थितियों और दुर्बलता का भी अध्ययन किया गया है। में एक वैकल्पिक व्युत्पत्ति (हेउवर्स, मोआक और बोरसॉ 2000) दी गई है।

डेविस के थिओडोरस के सर्पिल-रेखा के निरंतर रूप की एक विश्लेषणात्मक निरंतरता जो मूल से विपरीत दिशा में विस्तृत हुई है, (वाल्डवोगेल 2009) में दी गई है।

चित्र में मूल (असतत) थियोडोरस सर्पिल-रेखा के नोड्स को छोटे हरे वृत्त के रूप में दिखाया गया है। और वे नीले हैं, जो सर्पिल-रेखा के विपरीत दिशा में जोड़े गए हैं। केवल नोड्स $n$ ध्रुवीय त्रिज्या के पूर्णांक मान के साथ $r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}$ चित्र में क्रमांकित हैं। निर्देशांक मूल में निर्देशांक वृत्त $O$ पर वक्रता का वृत्त $O$ है।

यह भी देखें

• फर्मेट की सर्पिल-रेखा
• सर्पिल-रेखाों की सूची

अग्रिम पठन

• Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press
• Gronau, Detlef (March 2004), "The Spiral of Theodorus", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 111 (3): 230–237, doi:10.2307/4145130, JSTOR 4145130
• Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), "The functional equation of the square root spiral", in T. M. Rassias (ed.), Functional Equations and Inequalities, pp. 111–117
• Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral (PDF)