हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या

Not to be confused with सरकॉम्प्लेक्स संख्या.

"हाइपरनंबर" redirects here. For गैर-मानक विश्लेषण में प्रयुक्त वास्तविक संख्याओं का विस्ता, see हाइपररियल नंबर.

गणित में, हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या वास्तविक संख्या के क्षेत्र में परिमित-आयामी इकाई बीजगणित केतत्व (गणित) के लिए पारंपरिक शब्द है। 19वीं दशक के अंत में हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं का अध्ययन आधुनिक समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत का आधार बनता है।

इतिहास

उन्नीसवीं दशक में [[कटेर्नियंस]], टेसरीन, कोकटेर्नियन, बाइक्वाटरनियंस और ऑक्टोनियन नामक संख्या प्रणालियां गणितीय साहित्य में स्थापित अवधारणाएं बन गईं, जिन्हें वास्तविक और जटिल संख्याओं में जोड़ा गया। हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या की अवधारणा ने उन सभी को सम्मिलित किया, जिसने समझाने और वर्गीकृत करने के लिए अनुशासन का अनुरोध किया।

कैटलॉगिंग परियोजना 1872 में प्रारंभ हुई जब बेंजामिन पीयर्स ने प्रथम बार अपने रैखिक साहचर्य बीजगणित को प्रकाशित किया, और उनके बेटे चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा आगे बढ़ाया गया। सबसे महत्वपूर्ण रूप से, उन्होंने वर्गीकरण के लिए उपयोगी हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या के रूप में निलपोटेंट और इडेमपोटेंट तत्वों (रिंग थ्योरी) की पहचान की। केली-डिक्सन निर्माण ने वास्तविक संख्या प्रणाली से जटिल संख्या, चतुष्कोण और ऑक्टोनियन उत्पन्न करने के लिए इनवोल्यूशन (गणित) का उपयोग किया। हर्विट्ज़ और फ्रोबेनियस ने उन प्रमेयों को सिद्ध किया जो हाइपरकॉम्प्लेक्सिटी पर सीमाएं लगाते हैं | हर्विट्ज़ का प्रमेय कहता है कि परिमित-आयामी रचना बीजगणित वास्तविक हैं $\mathbb {R}$, परिसरों $\mathbb {C}$, चतुष्कोण $\mathbb {H}$, और ऑक्टोनियंस $\mathbb {O}$, और फ्रोबेनियस प्रमेय (वास्तविक विभाजन बीजगणित) कहता है कि केवल वास्तविक $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, और $\mathbb {H}$ साहचर्य विभाजन बीजगणित हैं | 1958 में जे. फ्रैंक एडम्स ने एच-स्पेस पर हॉफ इनवेरिएंट्स के संदर्भ में सामान्यीकरण प्रकाशित किया जो अभी भी आयाम को 1, 2, 4, या 8 तक सीमित करता है।

यह मैट्रिक्स (गणित) बीजगणित था जिसने हाइपरकॉम्प्लेक्स प्रणाली का उपयोग किया। सबसे प्रथम में, मैट्रिक्स ने 2 × 2 वास्तविक मैट्रिक्स (स्प्लिट-चतुर्भुज देखें) जैसे नए हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबरों का योगदान दिया। शीघ्र ही मैट्रिक्स प्रतिमान ने दूसरों की व्याख्या करना प्रारंभ कर दिया क्योंकि वे मैट्रिसेस और उनके संचालन द्वारा प्रस्तुत किए गए। 1907 में जोसेफ वेडरबर्न ने दिखाया कि साहचर्य हाइपरकॉम्प्लेक्स प्रणाली को स्क्वायर मैट्रिसेस के बीजगणित के प्रत्यक्ष उत्पाद द्वारा दर्शाया जा सकता है। उस तिथि से हाइपरकॉम्प्लेक्स प्रणाली के लिए प्रिय शब्द साहचर्य बीजगणित बन गया जैसा कि एडिनबर्ग विश्वविद्यालय में वेडरबर्न की थीसिस के शीर्षक में देखा गया है। चूँकि, ध्यान दें कि गैर-सहयोगी प्रणालियाँ जैसे ऑक्टोनियन और अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण अन्य प्रकार की हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं।

हॉकिन्स के रूप में बताते हैं, हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर लाई समूहों और समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बारे में सीखने के लिए चरण बढ़ा रहे हैं। उदाहरण के लिए, 1929 में एमी नोथेर ने हाइपरकॉम्प्लेक्स मात्रा और प्रतिनिधित्व सिद्धांत पर लिखा था। 1973 में कंटोर और सोलोडोवनिकोव ने हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबरों पर पाठ्यपुस्तक प्रकाशित की जिसका 1989 में अनुवाद किया गया था।

करेन पार्शल ने हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबरों के उत्कर्ष का विस्तृत विवरण लिखा है, जिसमें थियोडोर मोलियन और एडवर्ड स्टडी सहित गणितज्ञों की भूमिका सम्मिलित है। आधुनिक बीजगणित में परिवर्तन के लिए, बार्टेल वैन डेर वेर्डन ने अपने इतिहास के बीजगणित में हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं के लिए तीस पृष्ठ समर्पित किए हैं।

परिभाषा

कंटोर & सोलोडोवनिकोव (1989) द्वारा हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या की परिभाषा यूनिटल के तत्व के रूप में दी गई है, किंतु आवश्यक नहीं कि वास्तविक संख्याओं पर सहयोगी या कम्यूटेटिव, परिमित-आयामी बीजगणित हो। तत्व वास्तविक संख्या गुणांक के साथ $(a_{0},\dots ,a_{n})$ आधार के लिए $\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$ उत्पन्न होते हैं, जहां संभव हो, यह आधार चयन करने के लिए परंपरागत है जिससे $i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$ हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं के लिए प्रौद्योगिकी दृष्टिकोण पूर्वआयाम दो की ओर ध्यान आकर्षित करता है।

द्वि-आयामी वास्तविक बीजगणित

प्रमेय: समरूपता तक, वास्तव में तीन 2-आयामी एकात्मक बीजगणित होते हैं: साधारण सम्मिश्र संख्याएँ, विभक्त-जटिल संख्याएँ, और दोहरी संख्याएँ है। विशेष रूप से, वास्तविक से अधिक प्रत्येक 2-आयामी इकाई बीजगणित साहचर्य और क्रमविनिमेय है।

उपपत्ति: चूँकि बीजगणित द्वि-आयामी है, हम आधार {1, u} का चयन कर सकते है। चूंकि बीजगणित वर्ग के अंतर्गत बंद है, गैर-वास्तविक आधार तत्व u वर्गों को 1 और u के रैखिक संयोजन के लिए:

$u^{2}=a_{0}+a_{1}u$

कुछ वास्तविक संख्याओं a₀ और a₁ के लिए:

a₁u को घटाकर और द्विघात पूरक a₂ को जोड़कर वर्ग को पूर्ण करने की सामान्य विधि का उपयोग करने से 1/4 दोनों पक्षों को उपज देता है:

$u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.$

इस प्रकार ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ जहाँ ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

तीन स्थितियां इस वास्तविक मूल्य पर निर्भर करती हैं:

• यदि 4a₀ = −a₁², उपरोक्त सूत्र से ũ² = 0 प्राप्त होता है। इसलिए, ũ को सरलता से निलपोटेंट तत्व से पहचाना जा सकता है $\epsilon$ आधार का $\{1,~\epsilon \}$ दोहरी संख्या है।
• यदि 4a₀ > −a₁², उपरोक्त सूत्र से ũ² > 0 प्राप्त होता है। यह विभाजन-जटिल संख्याओं की ओर जाता है जिनका सामान्यीकृत आधार होता है $\{1,~j\}$ के साथ $j^{2}=+1$. ũ से j प्राप्त करने के लिए, उत्तरार्द्ध को सकारात्मक वास्तविक संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ जिसमें ũ के समान वर्ग है।
• यदि 4a₀ < −a₁², उपरोक्त सूत्र से ũ² < 0 प्राप्त होता है। इससे जटिल संख्याएँ प्राप्त होती हैं जिनका आधार सामान्यीकृत होता है, $\{1,~i\}$ के साथ $i^{2}=-1$. ũ से i प्राप्त करने के लिए, पश्चात में सकारात्मक वास्तविक संख्या से विभाजित करना होगा ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$ जो ũ^{2 के ऋणात्मक का वर्ग है।}

जटिल संख्याएं केवल 2-आयामी हाइपरकॉम्प्लेक्स बीजगणित हैं जो क्षेत्र (गणित) है।

बीजगणित जैसे विभाजन-जटिल संख्याएँ जिनमें 1 की गैर-वास्तविक जड़ें सम्मिलित हैं, जो कि निष्क्रिय तत्व होते हैं ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ और शून्य भाजक $(1+j)(1-j)=0$, इसलिए ऐसे बीजगणित विभाजन बीजगणित नहीं हो सकते। चूँकि, ये गुण अति सार्थक हो सकते हैं, उदाहरण के लिए विशेष सापेक्षता के लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का वर्णन करने में किया जाता है।

गणित पत्रिका के 2004 के संस्करण में 2-आयामी वास्तविक बीजगणित को सामान्यीकृत जटिल संख्या की शैली दी गई है। चार जटिल संख्याओं के क्रॉस-अनुपात के विचार को 2-आयामी वास्तविक बीजगणित तक बढ़ाया जा सकता है।

उच्च-आयामी उदाहरण (एक से अधिक गैर-वास्तविक अक्ष)

क्लिफर्ड बीजगणित

क्लिफोर्ड बीजगणित द्विघात रूप से सुसज्जित अंतर्निहित सदिश स्थान पर उत्पन्न एकात्मक साहचर्य बीजगणित है। वास्तविक संख्याओं पर यह सममित स्केलर उत्पाद को परिभाषित करने में सक्षम होने के समान है, u ⋅ v = 1/2(uv + vu) जिसका उपयोग आधार देने के लिए द्विघात रूप को ऑर्थोगोनलाइज़ेशन करने के लिए किया जा सकता है जिससे आधार {e₁, ..., e_k} दिया जा सके:

$${\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}$$

गुणन के अंतर्गत बंद होने से 2^k तत्वों, {1, e₁, e₂, e₃, ..., e₁e₂, ..., e₁e₂e₃, ...} के आधार पर फैला हुआ बहुवेक्टर स्थान उत्पन्न होता है। इनकी व्याख्या हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या प्रणाली के आधार के रूप में की जा सकती है। आधार {e₁, ..., e_k}, के विपरीत शेष आधार तत्वों को दो कारकों का परिवर्तन करने के लिए कितने सरल आदान-प्रदान किए जाने चाहिए, इसके आधार पर एंटी-कम्यूट की आवश्यकता नहीं है। इसलिए e₁e₂ = −e₂e₁, किंतु e₁(e₂e₃) = +(e₂e₃)e₁. है।

उन आधारों को भिन्न रखना जिनमें तत्व e होता है जैसे कि e_i² = 0 (अर्थात् मूल स्थान में दिशाएँ द्विघात रूप पतित रूप था), शेष क्लिफर्ड बीजगणित को लेबल Cl_p,q(R), द्वारा पहचाना जा सकता है यह दर्शाता है कि बीजगणित का निर्माण p सरल आधार तत्वों से किया गया है जिसमें e_i² = +1, q के साथ e_i² = −1, और जहां R प्रदर्शित करता है कि यह वास्तविक से अधिक क्लिफोर्ड बीजगणित होना है- अर्थात् बीजगणित के तत्वों के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं।

जिन्हें ज्यामितीय बीजगणित कहा जाता है, व्यवस्थित सेट बनाते हैं, जो भौतिकी की समस्याओं में अति उपयोगी सिद्ध होते हैं, जिसमें घूर्णन, चरण (तरंगें) या स्पिन (भौतिकी) सम्मिलित हैं, विशेष रूप से शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी, विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत और सापेक्षता का सिद्धांत सम्मिलित हैं।

उदाहरणों में सम्मिलित हैं: सम्मिश्र संख्या Cl_0,1(R), स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर Cl^[0]_1,0(R), चतुर्भुज Cl_0,2(R), विभाजन-द्विभाजित Cl_0,3(R), विभाजित-चतुर्भुज Cl_1,1(R) ≈ Cl_2,0(R) (द्वि-आयामी अंतरिक्ष का प्राकृतिक बीजगणित और पॉल मैट्रिसेस का बीजगणित); Cl_3,0(R) हैं।

बीजगणित के तत्व Cl_p,q(R) समान सबलजेब्रा बनाता है Cl^[0]
_q+1,p(R) बीजगणित Cl_q+1,p(R), जिसका उपयोग बड़े बीजगणित में घूर्णन को पैरामीट्रिज करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार द्वि-आयामी अंतरिक्ष में जटिल संख्याओं और घूर्णन के मध्य घनिष्ठ संबंध है; त्रि-आयामी अंतरिक्ष में चतुष्कोणों और घूर्णन के मध्य; 1+1-आयामी अंतरिक्ष में विभाजित-जटिल संख्याओं और (अतिशयोक्तिपूर्ण) घूर्णन (लोरेंट्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन) के मध्य, इसी केसमान संबंध है।

जबकि केली-डिक्सन और स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स निर्माण आठ या अधिक आयामों के साथ गुणन के संबंध में साहचर्य नहीं हैं, क्लिफोर्ड बीजगणित किसी भी संख्या में आयामों पर साहचर्य बनाए रखते हैं।

1995 में इयान आर. पोर्टियस ने क्लिफर्ड अलजेब्रा पर अपनी किताब में "द रिकग्निशन ऑफ सबलजेब्रस" पर लिखा। उनका प्रस्ताव 11.4 हाइपरकॉम्प्लेक्स स्थितियों को सारांशित करता है:

मान लीजिए A वास्तविक साहचर्य बीजगणित है जिसका इकाई अवयव 1 है। तब:

• 1 'R' (वास्तविक संख्या) उत्पन्न करता है।
• A के तत्व e₀ द्वारा उत्पन्न कोई भी द्वि-आयामी सबलजेब्रा ऐसा है कि e₀² = −1 C (जटिल संख्या) के लिए समरूप है,
• A के तत्व e₀ द्वारा उत्पन्न कोई भी द्वि-आयामी सबलजेब्रा ऐसा है कि e₀² = 1 R² के लिए आइसोमोर्फिक है (घटक-वार उत्पाद के साथ वास्तविक संख्याओं के जोड़े, विभाजित-जटिल संख्याओं के बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है।
• A के पारस्परिक रूप से विरोधी आने वाले तत्वों के सेट {e₀, e₁}, द्वारा उत्पन्न कोई भी चार-आयामी सबलजेब्रा जैसे कि $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ H समरूपी है
• किसी सेट {e द्वारा उत्पन्न कोई भी चार-आयामी सबलजेब्रा₀, और₁ए के पारस्परिक रूप से विरोधी-विरोधी तत्वों का } ऐसा है कि $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ एम के लिए आइसोमोर्फिक है₂(आर) (2 × 2 वास्तविक मेट्रिसेस, कोक्वेटर्नियन),
• किसी सेट {e द्वारा उत्पन्न कोई भी आठ-आयामी सबलजेब्रा₀, और₁, और₂ए के पारस्परिक रूप से विरोधी-विरोधी तत्वों का } ऐसा है कि $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ के लिए आइसोमॉर्फिक है ²H (विभाजित-द्विभाजित),
• किसी सेट {e द्वारा उत्पन्न कोई भी आठ-आयामी सबलजेब्रा₀, और₁, और₂ए के पारस्परिक रूप से विरोधी-विरोधी तत्वों का } ऐसा है कि $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ एम के लिए आइसोमोर्फिक है₂(सी) (2 × 2 कॉम्प्लेक्स मैट्रिसेस, बायक्वाटरनियंस, पाउली बीजगणित )।

For शास्त्रीय बीजगणित से परे विस्तार, see क्लिफोर्ड बीजगणित का वर्गीकरण.

केली-डिक्सन निर्माण

Further information: केली-डिक्सन निर्माण

केली Q8 i (लाल), j (हरा) और k (नीला) के गुणन के चक्रों को दर्शाने वाले चतुर्धातुक गुणन का ग्राफ। में एसवीजी फ़ाइल, पर होवर करें या इसे हाइलाइट करने के लिए पथ पर क्लिक करें।

सभी क्लिफोर्ड बीजगणित Cl_p,q(आर) वास्तविक संख्याओं के अलावा, जटिल संख्याएं और चतुष्कोणों में गैर-वास्तविक तत्व होते हैं जो वर्ग से +1 तक होते हैं; और इसलिए विभाजन बीजगणित नहीं हो सकता। केली-डिक्सन निर्माण द्वारा जटिल संख्याओं को विस्तारित करने के लिए अलग दृष्टिकोण लिया जाता है। यह आयाम 2 की संख्या प्रणाली उत्पन्न करता हैⁿ, n = 2, 3, 4, ..., आधारों के साथ $\left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$, जहां सभी गैर-वास्तविक आधार तत्व एंटी-कम्यूट और संतुष्ट हैं $i_{m}^{2}=-1$. 8 या अधिक आयामों में (n ≥ 3) ये बीजगणित असहयोगी हैं। 16 या अधिक आयामों में (n ≥ 4) इन बीजगणितों में शून्य-भाजक भी होते हैं।

इस क्रम में पहले बीजगणित चार-आयामी चतुष्कोण, आठ-आयामी ऑक्टोनियन और 16-आयामी sedenion हैं। आयाम में प्रत्येक वृद्धि के साथ बीजगणितीय समरूपता खो जाती है: चतुष्कोणीय गुणन विनिमेय नहीं है, ऑक्टोनियन गुणन गैर-सहयोगी है, और सेडेनियन का मानदंड (गणित) गुणक नहीं है।

केली-डिक्सन निर्माण को कुछ चरणों में अतिरिक्त चिन्ह लगाकर संशोधित किया जा सकता है। यह तब विभाजन बीजगणित के बजाय रचना बीजगणित के संग्रह में विभाजित बीजगणित उत्पन्न करता है:

विभाजित-जटिल संख्या आधार के साथ $\{1,\,i_{1}\}$ संतुष्टि देने वाला $\ i_{1}^{2}=+1$,

विभाजन-चतुर्भुज आधार के साथ $\{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}$ संतुष्टि देने वाला $\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1$, और

आधार के साथ विभाजन-ऑक्शन $\{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}$ संतुष्टि देने वाला $\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1$, $\ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.$

जटिल संख्याओं के विपरीत, विभाजन-जटिल संख्याएं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं हैं, और इसमें गैर-तुच्छ शून्य विभाजक और गैर-तुच्छ idempotent सम्मिलितहैं। चतुष्कोणों की तरह, विभाजित-चतुर्भुज क्रमविनिमेय नहीं होते हैं, किंतु आगे नीलपोटेंट होते हैं; वे आयाम दो के वर्ग मैट्रिसेस के लिए आइसोमोर्फिक हैं। स्प्लिट-ऑक्टोनियन गैर-सहयोगी होते हैं और इसमें निलपोटेंट होते हैं।

टेंसर उत्पाद

किन्हीं दो बीजगणितों का टेन्सर गुणनफल और बीजगणित है, जिसका उपयोग हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर प्रणालीके कई और उदाहरण तैयार करने के लिए किया जा सकता है।

विशेष रूप से जटिल संख्याओं के साथ टेन्सर उत्पादों को लेना (वास्तविक के ऊपर बीजगणित के रूप में माना जाता है) चार-आयामी टेसरीन की ओर जाता है $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$, आठ आयामी द्विअर्थी $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}$, और 16-आयामी ऑक्टोनियन $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O}$.

अन्य उदाहरण

• द्विजटिल संख्या एँ: वास्तविक के ऊपर 4-आयामी सदिश स्थान, जटिल संख्याओं के ऊपर 2-आयामी, टेसरीन के लिए समरूपी।
• बहुविकल्पी संख्या : 2ⁿवास्तविक से अधिक आयामी सदिश स्थान, 2ⁿ⁻¹-संमिश्र संख्याओं पर आयामी
• रचना बीजगणित: बीजगणित द्विघात रूप के साथ जो उत्पाद के साथ बनता है

यह भी देखें

• सेडेनियन्स
• थॉमस किर्कमैन
• जॉर्ज शेफ़र्स
• रिचर्ड ब्राउर
• हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण

आगे की पढाई

• Alfsmann, Daniel (2006), "On families of 2^N dimensional hypercomplex algebras suitable for digital signal processing" (PDF), 14th European Signal Processing Conference, Florence, Italy, pp. 1–4
• Artin, Emil (1965) [1928], "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen; Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen", in Lang, Serge; Tate, John T. (eds.), The Collected Papers of Emil Artin, Addison-Wesley, pp. 301–345
• Baez, John (2002), "The Octonions", Bulletin of the American Mathematical Society, 39 (2): 145–205, arXiv:math/0105155, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, ISSN 0002-9904, S2CID 586512
• Cartan, Élie (1908), "Les systèmes de nombres complex et les groupes de transformations", Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, vol. I 1. and Ouvres Completes T.2 pt. 1, pp 107–246.
• Herzberger, Max (1923), "Ueber Systeme hyperkomplexer Grössen", Doctoral Dissertation, Friedrich Wilhelm University
• La Duke, Jeanne (1983), "The study of linear associative algebras in the United States, 1870–1927", in Srinivasan, B.; Sally, J. (eds.), Emmy Noether in Bryn Mawr: Proceedings of a Symposium Sponsored by the Association for Women in Mathematics in Honor of Emmy Noether's 100th Birthday, Springer, pp. 147–159, ISBN 978-0-387-90838-0
• Olariu, Silviu (2002), Complex Numbers in N Dimensions, North-Holland Mathematics Studies, vol. 190, Elsevier, ISBN 0-444-51123-7
• Sabadini, Irene; Shapiro, Michael; Sommen, Frank, eds. (2009), Hypercomplex Analysis and Applications, Birkhauser, ISBN 978-3-7643-9892-7
• Taber, Henry (1904), "On Hypercomplex Number Systems", Transactions of the American Mathematical Society, 5 (4): 509–548, doi:10.2307/1986280, JSTOR 1986280
• MacLagan Wedderburn, J.H. (1908), "On Hypercomplex Numbers", Proceedings of the London Mathematical Society, s2-6 (1): 77–118, doi:10.1112/plms/s2-6.1.77

बाहरी कड़ियाँ

• "Hypercomplex number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Hypercomplex number". MathWorld.
• Study, E., On systems of complex numbers and their application to the theory of transformation groups (PDF) (English translation)
• Frobenius, G., Theory of hypercomplex quantities (PDF) (English translation)