काल्पनिक संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 11:41, 3 May 2023

i की सभी शक्तियाँ मान ग्रहण करती हैं नीले क्षेत्र से
$i -3 = i$
$i -2 = -1$
$i -1 = - i$
$i 0 = 1$
$i 1 = i$
$i 2 = -1$
$i 3 = - i$
$i 4 = 1$
$i 5 = i$
$i 6 = -1$
$i$ एकता की चौथी जड़ है

एक काल्पनिक संख्या एकवास्तविक संख्या है जिसे काल्पनिक इकाई i से गुणा किया जाता है, [नोट 1] जो इसकी संपत्ति i² = −1 द्वारा परिभाषित किया गया है। ^[1]^[2] एक काल्पनिक संख्या कावर्ग (बीजगणित) $bi$ है $- b 2$ ।उदाहरण के लिए, $5 i$ एक काल्पनिक संख्या है, और इसका वर्ग है $-25$ ।परिभाषा के अनुसार,0 को वास्तविक और काल्पनिक दोनों माना जाता है।^[3]

मूल रूप से 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा गढ़ा गया था^[4] एक अपमानजनक शब्द के रूप में और काल्पनिक या बेकार माना जाता है, अवधारणा ने लियोनहार्ड यूलर (18 वीं शताब्दी में) और ऑगस्टिन-लुइस कॉची और कार्ल फ्रेडरिक गॉस (19 वीं शताब्दी की शुरुआत में) के काम के बाद व्यापक स्वीकृति प्राप्त की।

एक काल्पनिक संख्या $bi$ एक वास्तविक संख्या में जोड़ा जा सकता है $a$ फॉर्म की एक जटिल संख्या बनाने के लिए $a + bi$ , जहां असली संख्याएँ $a$ और $b$ क्रमशः, वास्तविक भाग और जटिल संख्या का काल्पनिक हिस्सा कहा जाता है।^[5]

इतिहास

जटिल विमान का एक चित्रण।काल्पनिक संख्याएं ऊर्ध्वाधर समन्वय अक्ष पर हैं।

यद्यपि ग्रीक गणितज्ञ अलेक्जेंड्रिया का नायक इंजीनियर हीरो को एक ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल को शामिल करने वाली गणना प्रस्तुत करने वाले पहले व्यक्ति के रूप में जाना जाता है,^[6]^[7] वह राफेल बॉम्बेली थे, जिन्होंने पहली बार 1572 में जटिल संख्याओं के गुणन के लिए नियम निर्धारित किए थे। अवधारणा पहले प्रिंट में दिखाई दी थी, जैसे किगेरोलमो कार्डानो द्वारा काम में। उस समय, काल्पनिक संख्या और नकारात्मक संख्या को खराब तरीके से समझा गया था और कुछ लोगों द्वारा काल्पनिक या बेकार माना जाता था, जितना कि एक बार शून्य था।कई अन्य गणितज्ञ, रेने डेसकार्टेस सहित काल्पनिक नंबरों के उपयोग को अपनाने के लिए धीमा थे, जिन्होंने अपने ला गोमेरी में उनके बारे में लिखा था जिसमें उन्होंने काल्पनिक शब्द गढ़ा और इसका मतलब अपमानजनक था।^[8]^[9] लियोनहार्ड यूलर (1707–1783) और कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) के काम तक काल्पनिक संख्याओं के उपयोग को व्यापक रूप से स्वीकार नहीं किया गया था। एक विमान में बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं के ज्यामितीय महत्व को पहलेकैस्पर वेसल (1745-1818) द्वारा वर्णित किया गया था।^[10]

1843 में,विलियम रोवन हैमिल्टन ने विमान में काल्पनिक संख्याओं की एक धुरी के विचार को क्वाटरनियन परिभाषा के चार-आयामी स्थान पर बढ़ाया, जिसमें तीन आयाम जटिल क्षेत्र में काल्पनिक संख्याओं के अनुरूप हैं।

ज्यामितीय व्याख्या

जटिल विमान में 90 डिग्री घुमाव

ज्यामितीय रूप से, काल्पनिक संख्याएँ जटिल संख्या समतल के ऊर्ध्वाधर अक्ष पर पाई जाती हैं, जो उन्हें वास्तविक अक्ष के लंबवत प्रस्तुत करने की अनुमति देती हैं। काल्पनिक संख्याओं को देखने का एक तरीका एक मानक संख्या रेखा पर विचार करना है जो परिमाण में दाईं ओर सकारात्मक रूप से बढ़ रही है और बाईं ओर परिमाण में नकारात्मक रूप से बढ़ रही है। x-अक्ष पर 0 पर, एक y-अक्ष को "सकारात्मक" दिशा के साथ ऊपर की ओर खींचा जा सकता है; "सकारात्मक" काल्पनिक संख्याएँ तब ऊपर की ओर परिमाण में वृद्धि करती हैं, और "ऋणात्मक" काल्पनिक संख्याएँ परिमाण में नीचे की ओर बढ़ती हैं। इस ऊर्ध्वाधर अक्ष को अक्सर "काल्पनिक अक्ष" कहा जाता है^[11] और इसे $i\mathbb {R} ,$ $\mathbb {I} ,$ या $ℑ$ के रूप में दर्शाया जाता है।^[12]

इस निरूपण में, -1 से गुणा मूल बिंदु के बारे में 180 डिग्री के घूर्णन के अनुरूप है, जो एक आधा वृत्त है। गुणा मैं मूल के बारे में 90 डिग्री के रोटेशन से मेल खाती है जो एक वृत्त का एक चौथाई है। ये दोनों संख्याएँ $1$ के मूल हैं: $(-1)^{2}=1$ , $i^{4}=1$ । जटिल संख्याओं के क्षेत्र में, हर के लिए $n\in \mathbb {N}$ , $1$ है $n$ वें जड़ें $\varphi _{n}$ , अर्थ $\varphi _{n}^{n}=1$ ,एकता की जड़ कहा जाता है। पहले से गुणा करना $n$ एकता की जड़ एक रोटेशन का कारण बनती है ${\frac {360}{n}}$ डिग्री का रोटेशन होता है।

एक जटिल संख्या से गुणा करना जटिल संख्या केतर्क (जटिल विश्लेषण) द्वारा मूल के चारों ओर घूमने के समान है, इसके बाद इसके परिमाण द्वारा एक स्केलिंग है।^[13]

नकारात्मक संख्याओं की वर्ग जड़ें

काल्पनिक संख्याओं के साथ काम करते समय देखभाल का उपयोग किया जाना चाहिए जो नकारात्मक संख्याओं की वर्ग जड़ों के प्रमुख मूल्यों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं:^[14]

6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.

यह कभी -कभी लिखा जाता है:

-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.

गणितीय पतन समानता के रूप में होता है ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ जब चर उपयुक्त नहीं होते हैं तो विफल रहता है।उस स्थिति में, समानता को पकड़ने में विफल रहता है क्योंकि संख्या दोनों नकारात्मक हैं, जिसका प्रदर्शन किया जा सकता है:

{\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},

दोनों कहाँ $x$ और $y$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं।

यह भी देखें

अक्टूबर
-

Number systems

Complex

:\;\mathbb {C}

Real

:\;\mathbb {R}

Rational

:\;\mathbb {Q}

Integer

:\;\mathbb {Z}

Natural

:\;\mathbb {N}

Zero: 0

One: 1

Finite decimal
Dyadic (finite binary)
Repeating decimal

संदर्भ

↑ Uno Ingard, K. (1988). "Chapter 2". Fundamentals of Waves and Oscillations. Cambridge University Press. p. 38. ISBN 0-521-33957-X.
↑ Weisstein, Eric W. "काल्पनिक संख्या". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-10.
↑ Sinha, K.C. (2008). गणित कक्षा XI की एक पाठ्य पुस्तक (Second ed.). Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
↑ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). गणितीय विश्लेषण: सन्निकटन और असतत प्रक्रियाएं (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121
↑ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). कॉलेज बीजगणित: बढ़ाया संस्करण (6th ed.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0.
↑ Hargittai, István (1992). पाँच गुना समरूपता (2 ed.). World Scientific. p. 153. ISBN 981-02-0600-3.
↑ Roy, Stephen Campbell (2007). जटिल संख्या: जाली सिमुलेशन और ज़ेटा फ़ंक्शन अनुप्रयोग. Horwood. p. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.
↑ Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)
↑ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.
↑ Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). "Chapter 10". गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का एक इतिहास: एक ज्यामितीय स्थान की अवधारणा का विकास. Springer. p. 382. ISBN 0-387-96458-4.
↑ von Meier, Alexandra (2006). इलेक्ट्रिक पावर सिस्टम - एक वैचारिक परिचय. John Wiley & Sons. pp. 61–62. ISBN 0-471-17859-4. Retrieved 2022-01-13.
↑ Webb, Stephen (2018). "5. Meaningless marks on paper". प्रतीकों का क्लैश - ग्लिफ़ के धन के माध्यम से एक सवारी. Springer Science+Business Media. pp. 204–205. doi:10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2.
↑ Kuipers, J. B. (1999). चतुर्भुज और रोटेशन अनुक्रम: कक्षाओं, एयरोस्पेस और आभासी वास्तविकता के लिए अनुप्रयोगों के साथ एक प्राइमर. Princeton University Press. pp. 10–11. ISBN 0-691-10298-8. Retrieved 2022-01-13.
↑ Nahin, Paul J. (2010). एक काल्पनिक कहानी: "मैं" की कहानी [माइनस एक का वर्गमूल]. Princeton University Press. p. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12

ग्रन्थसूची

Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1., explains many applications of imaginary expressions.

इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची

काल्पनिक एकक
सीधा
ऋणात्मक संख्या
वर्गमूल
प्रधान मूल्य
अष्टक

बाहरी कड़ियाँ

How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
Why Use Imaginary Numbers? Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers

जटिल संख्या

[1] Uno Ingard, K. (1988). "Chapter 2". Fundamentals of Waves and Oscillations. Cambridge University Press. p. 38. ISBN 0-521-33957-X.

[2] Weisstein, Eric W. "काल्पनिक संख्या". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-10.

[3] Sinha, K.C. (2008). गणित कक्षा XI की एक पाठ्य पुस्तक (Second ed.). Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.

[4] Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). गणितीय विश्लेषण: सन्निकटन और असतत प्रक्रियाएं (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121

[5] Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). कॉलेज बीजगणित: बढ़ाया संस्करण (6th ed.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0.

[6] Hargittai, István (1992). पाँच गुना समरूपता (2 ed.). World Scientific. p. 153. ISBN 981-02-0600-3.

[7] Roy, Stephen Campbell (2007). जटिल संख्या: जाली सिमुलेशन और ज़ेटा फ़ंक्शन अनुप्रयोग. Horwood. p. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.

[8] Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)

[Martinez-9] Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.

[10] Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). "Chapter 10". गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का एक इतिहास: एक ज्यामितीय स्थान की अवधारणा का विकास. Springer. p. 382. ISBN 0-387-96458-4.

[Meier-11] von Meier, Alexandra (2006). इलेक्ट्रिक पावर सिस्टम - एक वैचारिक परिचय. John Wiley & Sons. pp. 61–62. ISBN 0-471-17859-4. Retrieved 2022-01-13.

[12] Webb, Stephen (2018). "5. Meaningless marks on paper". प्रतीकों का क्लैश - ग्लिफ़ के धन के माध्यम से एक सवारी. Springer Science+Business Media. pp. 204–205. doi:10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2.

[13] Kuipers, J. B. (1999). चतुर्भुज और रोटेशन अनुक्रम: कक्षाओं, एयरोस्पेस और आभासी वास्तविकता के लिए अनुप्रयोगों के साथ एक प्राइमर. Princeton University Press. pp. 10–11. ISBN 0-691-10298-8. Retrieved 2022-01-13.

[14] Nahin, Paul J. (2010). एक काल्पनिक कहानी: "मैं" की कहानी [माइनस एक का वर्गमूल]. Princeton University Press. p. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12

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-{{Short description|Real number multiplied by the square root of -1}}
-{{Redirect|Imaginary Numbers|the 2013 EP by The Maine|Imaginary Numbers (EP)}}
-{{pp-pc1}}
 {| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;"
 |-
-|All powers of {{math|''i''}} assume values<br />from blue area
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 |{{math|1=''i''<sup>6</sup> = −1}}
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-एक काल्पनिक संख्या एक [[ वास्तविक संख्या ]] है जो काल्पनिक इकाई द्वारा गुणा की गई है {{mvar|i}},<ref group=note>{{mvar|j}} is usually used in engineering contexts where {{mvar|i}} has other meanings (such as electrical current)</ref> जिसे इसकी संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.<ref>
+एक काल्पनिक संख्या एक[[ वास्तविक संख्या ]]है जिसे काल्पनिक इकाई i से गुणा किया जाता है, [नोट 1] जो इसकी संपत्ति ''i''<sup>2</sup> = −1 द्वारा परिभाषित किया गया है। <ref>
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@@ Line 40: / Line 38: @@
 |chapter=Chapter 2
 }}
-</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=काल्पनिक संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/ImaginaryNumber.html|access-date=2020-08-10|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> एक काल्पनिक संख्या का [[ वर्ग (बीजगणित) ]] {{mvar|bi}} है {{math|−''b''<sup>2</sup>}}।उदाहरण के लिए, {{math|5''i''}} एक काल्पनिक संख्या है, और इसका वर्ग है {{math|−25}}।परिभाषा के अनुसार, [[ 0 ]] को वास्तविक और काल्पनिक दोनों माना जाता है।<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&pg=SA11-PA2|title=गणित कक्षा XI की एक पाठ्य पुस्तक|last=Sinha|first=K.C.|publisher=Rastogi Publications|year=2008|isbn=978-81-7133-912-9|edition=Second|page=11.2}}</ref>
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-मूल रूप से 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा गढ़ा गया था<ref>{{cite book |title=गणितीय विश्लेषण: सन्निकटन और असतत प्रक्रियाएं|edition=illustrated |first1=Mariano |last1=Giaquinta |first2=Giuseppe |last2=Modica |publisher=Springer Science & Business Media |year=2004 |isbn=978-0-8176-4337-9 |page=121 |url=https://books.google.com/books?id=Z6q4EDRMC2UC}} [https://books.google.com/books?id=Z6q4EDRMC2UC&pg=PA121 Extract of page 121]</ref> एक अपमानजनक शब्द के रूप में और काल्पनिक या बेकार माना जाता है, अवधारणा ने [[ लियोनहार्ड यूलर ]] (18 वीं शताब्दी में) और [[ ऑगस्टिन-लुइस कॉची ]] और [[ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ]] (19 वीं शताब्दी की शुरुआत में) के काम के बाद व्यापक स्वीकृति प्राप्त की।
-एक काल्पनिक संख्या {{math|''bi''}} एक वास्तविक संख्या में जोड़ा जा सकता है {{mvar|a}} फॉर्म की एक [[ जटिल संख्या ]] बनाने के लिए {{math|''a'' + ''bi''}}, जहां असली संख्याएँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} क्रमशः, वास्तविक भाग और जटिल संख्या का काल्पनिक हिस्सा कहा जाता है।<ref>{{cite book |title= कॉलेज बीजगणित: बढ़ाया संस्करण|edition= 6th |first1= Richard |last1= Aufmann |first2= Vernon C. |last2= Barker |first3= Richard |last3= Nation |publisher= Cengage Learning |year= 2009 |isbn= 978-1-4390-4379-0 |page= 66 |url= https://books.google.com/books?id=fjRa8Koq-RgC&pg=PA66}}</ref>
+मूल रूप से 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा गढ़ा गया था<ref>{{cite book |title=गणितीय विश्लेषण: सन्निकटन और असतत प्रक्रियाएं|edition=illustrated |first1=Mariano |last1=Giaquinta |first2=Giuseppe |last2=Modica |publisher=Springer Science & Business Media |year=2004 |isbn=978-0-8176-4337-9 |page=121 |url=https://books.google.com/books?id=Z6q4EDRMC2UC}} [https://books.google.com/books?id=Z6q4EDRMC2UC&pg=PA121 Extract of page 121]</ref> एक अपमानजनक शब्द के रूप में और काल्पनिक या बेकार माना जाता है, अवधारणा ने [[ लियोनहार्ड यूलर |लियोनहार्ड यूलर]] (18 वीं शताब्दी में) और [[ ऑगस्टिन-लुइस कॉची |ऑगस्टिन-लुइस कॉची]] और[[ कार्ल फ्रेडरिक गॉस | कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] (19 वीं शताब्दी की शुरुआत में) के काम के बाद व्यापक स्वीकृति प्राप्त की।
+एक काल्पनिक संख्या {{math|''bi''}} एक वास्तविक संख्या में जोड़ा जा सकता है {{mvar|a}} फॉर्म की एक [[ जटिल संख्या |जटिल संख्या]] बनाने के लिए {{math|''a'' + ''bi''}}, जहां असली संख्याएँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} क्रमशः, वास्तविक भाग और जटिल संख्या का काल्पनिक हिस्सा कहा जाता है।<ref>{{cite book |title= कॉलेज बीजगणित: बढ़ाया संस्करण|edition= 6th |first1= Richard |last1= Aufmann |first2= Vernon C. |last2= Barker |first3= Richard |last3= Nation |publisher= Cengage Learning |year= 2009 |isbn= 978-1-4390-4379-0 |page= 66 |url= https://books.google.com/books?id=fjRa8Koq-RgC&pg=PA66}}</ref>
 == इतिहास ==
-{{Main|History of complex numbers}}
+[[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|जटिल विमान का एक चित्रण।काल्पनिक संख्याएं ऊर्ध्वाधर समन्वय अक्ष पर हैं।]]यद्यपि ग्रीक [[ गणितज्ञ |गणितज्ञ]] [[ अलेक्जेंड्रिया का नायक |अलेक्जेंड्रिया का नायक]] [[ इंजीनियर |इंजीनियर]] हीरो को एक ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल को शामिल करने वाली गणना प्रस्तुत करने वाले पहले व्यक्ति के रूप में जाना जाता है,<ref>{{cite book |title= पाँच गुना समरूपता|edition= 2 |first= István |last= Hargittai |publisher= World Scientific |year= 1992 |isbn= 981-02-0600-3 |page= 153 |url= https://books.google.com/books?id=-Tt37ajV5ZgC&pg=PA153}}</ref><ref>{{cite book |title= जटिल संख्या: जाली सिमुलेशन और ज़ेटा फ़ंक्शन अनुप्रयोग|first= Stephen Campbell |last= Roy |publisher= Horwood |year= 2007 |isbn= 978-1-904275-25-1 |page= 1 |url= https://books.google.com/books?id=J-2BRbFa5IkC}}</ref> वह [[ राफेल बॉम्बेली |राफेल बॉम्बेली]] थे, जिन्होंने पहली बार 1572 में जटिल संख्याओं के गुणन के लिए नियम निर्धारित किए थे। अवधारणा पहले प्रिंट में दिखाई दी थी, जैसे कि[[ गेरोलमो कार्डानो ]]द्वारा काम में। उस समय, काल्पनिक संख्या और नकारात्मक संख्या को खराब तरीके से समझा गया था और कुछ लोगों द्वारा काल्पनिक या बेकार माना जाता था, जितना कि एक बार शून्य था।कई अन्य गणितज्ञ, रेने डेसकार्टेस सहित काल्पनिक नंबरों के उपयोग को अपनाने के लिए धीमा थे, जिन्होंने अपने ला गोमेरी में उनके बारे में लिखा था जिसमें उन्होंने काल्पनिक शब्द गढ़ा और इसका मतलब अपमानजनक था।<ref>[[René Descartes|Descartes, René]], ''Discours de la méthode'' (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: ''La Géométrie'', book three, p. 380. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f464.item.zoom From page 380:] ''"Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x<sup>3</sup> – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires."'' (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x<sup>3</sup> – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)</ref><ref name="Martinez">{{Citation |first= Albert A. |last= Martinez |title= Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent |location= Princeton |publisher= Princeton University Press |year= 2006 |isbn= 0-691-12309-8}}, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.</ref> लियोनहार्ड यूलर (1707–1783) और कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) के काम तक काल्पनिक संख्याओं के उपयोग को व्यापक रूप से स्वीकार नहीं किया गया था। एक विमान में बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं के ज्यामितीय महत्व को पहले[[ कैस्पर वेसल ]](1745-1818) द्वारा वर्णित किया गया था।<ref>{{cite book
-[[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|जटिल विमान का एक चित्रण।काल्पनिक संख्याएं ऊर्ध्वाधर समन्वय अक्ष पर हैं।]]यद्यपि ग्रीक [[ गणितज्ञ ]] [[ अलेक्जेंड्रिया का नायक ]] [[ इंजीनियर ]] हीरो को एक नकारात्मक संख्या के वर्गमूल को शामिल करते हुए एक गणना प्रस्तुत करने के लिए सबसे पहले नोट किया गया है,<ref>{{cite book |title= पाँच गुना समरूपता|edition= 2 |first= István |last= Hargittai |publisher= World Scientific |year= 1992 |isbn= 981-02-0600-3 |page= 153 |url= https://books.google.com/books?id=-Tt37ajV5ZgC&pg=PA153}}</ref><ref>{{cite book |title= जटिल संख्या: जाली सिमुलेशन और ज़ेटा फ़ंक्शन अनुप्रयोग|first= Stephen Campbell |last= Roy |publisher= Horwood |year= 2007 |isbn= 978-1-904275-25-1 |page= 1 |url= https://books.google.com/books?id=J-2BRbFa5IkC}}</ref> यह [[ राफेल बॉम्बेली ]] थी, जिन्होंने पहली बार 1572 में जटिल संख्याओं के गुणन के लिए नियम निर्धारित किए थे। अवधारणा पहले प्रिंट में दिखाई दी थी, जैसे कि [[ गेरोलमो कार्डानो ]] द्वारा काम में।उस समय, काल्पनिक संख्या और नकारात्मक संख्या को खराब तरीके से समझा गया था और कुछ लोगों द्वारा काल्पनिक या बेकार माना जाता था, जितना कि एक बार शून्य था।कई अन्य गणितज्ञ, रेने डेसकार्टेस सहित काल्पनिक नंबरों के उपयोग को अपनाने के लिए धीमा थे, जिन्होंने अपने ला गोमेरी में उनके बारे में लिखा था जिसमें उन्होंने काल्पनिक शब्द गढ़ा और इसका मतलब अपमानजनक था।<ref>[[René Descartes|Descartes, René]], ''Discours de la méthode'' (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: ''La Géométrie'', book three, p. 380. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f464.item.zoom From page 380:] ''"Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x<sup>3</sup> – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires."'' (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x<sup>3</sup> – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)</ref><ref name="Martinez">{{Citation |first= Albert A. |last= Martinez |title= Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent |location= Princeton |publisher= Princeton University Press |year= 2006 |isbn= 0-691-12309-8}}, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.</ref> लियोनहार्ड यूलर (1707–1783) और कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) के काम तक काल्पनिक संख्याओं के उपयोग को व्यापक रूप से स्वीकार नहीं किया गया था।एक विमान में बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं के ज्यामितीय महत्व को पहले [[ कैस्पर वेसल ]] (1745-1818) द्वारा वर्णित किया गया था।<ref>{{cite book
   |title= गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का एक इतिहास: एक ज्यामितीय स्थान की अवधारणा का विकास|first= Boris Abramovich
   |last= Rozenfeld
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   |chapter-url= https://books.google.com/books?id=DRLpAFZM7uwC&pg=PA382}}
 </ref>
-में, [[ विलियम रोवन हैमिल्टन ]] ने विमान में काल्पनिक संख्याओं की एक धुरी के विचार को क्वाटरनियन#परिभाषा के चार-आयामी स्थान पर बढ़ाया, जिसमें तीन आयाम जटिल क्षेत्र में काल्पनिक संख्याओं के अनुरूप हैं।
+में,[[ विलियम रोवन हैमिल्टन ]]ने विमान में काल्पनिक संख्याओं की एक धुरी के विचार को क्वाटरनियन परिभाषा के चार-आयामी स्थान पर बढ़ाया, जिसमें तीन आयाम जटिल क्षेत्र में काल्पनिक संख्याओं के अनुरूप हैं।
 == ज्यामितीय व्याख्या ==
-[[File:Rotations on the complex plane.svg|thumb|[[ जटिल विमान ]] में 90 डिग्री घुमाव]]ज्यामितीय रूप से, काल्पनिक संख्याएं जटिल विमान के ऊर्ध्वाधर अक्ष पर पाई जाती हैं, जो उन्हें वास्तविक अक्ष के लिए लंबवत प्रस्तुत करने की अनुमति देती है।काल्पनिक संख्याओं को देखने का एक तरीका यह है कि एक मानक [[ संख्या रेखा ]] पर विचार किया जाए, जो दाईं ओर परिमाण में सकारात्मक रूप से बढ़ती है और बाईं ओर परिमाण में नकारात्मक रूप से बढ़ती है।0 पर {{mvar|x}}-एक्सिस, ए {{mvar|y}}-एक्सिस को सकारात्मक दिशा के साथ खींचा जा सकता है;सकारात्मक काल्पनिक संख्याएं तब परिमाण में बढ़ जाती हैं, और नकारात्मक काल्पनिक संख्याएं नीचे की ओर परिमाण में बढ़ जाती हैं।इस ऊर्ध्वाधर अक्ष को अक्सर काल्पनिक अक्ष कहा जाता है<ref name=Meier>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=bWAi22IB3lkC|title=इलेक्ट्रिक पावर सिस्टम - एक वैचारिक परिचय|last=von Meier|first=Alexandra|publisher=[[John Wiley & Sons]]|date=2006|access-date=2022-01-13|pages=61–62|isbn=0-471-17859-4}}</ref> और निरूपित किया गया है <math>i \mathbb{R},</math> <math>\mathbb{I},</math> या {{math|ℑ}}.<ref>{{cite book|chapter=5. Meaningless marks on paper|title=प्रतीकों का क्लैश - ग्लिफ़ के धन के माध्यम से एक सवारी|last1=Webb|first1=Stephen|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|date=2018|pages=204–205|doi=10.1007/978-3-319-71350-2_5|isbn=978-3-319-71350-2}}</ref>
+[[File:Rotations on the complex plane.svg|thumb|[[ जटिल विमान ]] में 90 डिग्री घुमाव]]ज्यामितीय रूप से, काल्पनिक संख्याएँ जटिल संख्या समतल के ऊर्ध्वाधर अक्ष पर पाई जाती हैं, जो उन्हें वास्तविक अक्ष के लंबवत प्रस्तुत करने की अनुमति देती हैं। काल्पनिक संख्याओं को देखने का एक तरीका एक मानक संख्या रेखा पर विचार करना है जो परिमाण में दाईं ओर सकारात्मक रूप से बढ़ रही है और बाईं ओर परिमाण में नकारात्मक रूप से बढ़ रही है। x-अक्ष पर 0 पर, एक y-अक्ष को "सकारात्मक" दिशा के साथ ऊपर की ओर खींचा जा सकता है; "सकारात्मक" काल्पनिक संख्याएँ तब ऊपर की ओर परिमाण में वृद्धि करती हैं, और "ऋणात्मक" काल्पनिक संख्याएँ परिमाण में नीचे की ओर बढ़ती हैं। इस ऊर्ध्वाधर अक्ष को अक्सर "काल्पनिक अक्ष" कहा जाता है<ref name=Meier>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=bWAi22IB3lkC|title=इलेक्ट्रिक पावर सिस्टम - एक वैचारिक परिचय|last=von Meier|first=Alexandra|publisher=[[John Wiley & Sons]]|date=2006|access-date=2022-01-13|pages=61–62|isbn=0-471-17859-4}}</ref> और इसे <math>i \mathbb{R},</math> <math>\mathbb{I},</math> या {{math|ℑ}} के रूप में दर्शाया जाता है।<ref>{{cite book|chapter=5. Meaningless marks on paper|title=प्रतीकों का क्लैश - ग्लिफ़ के धन के माध्यम से एक सवारी|last1=Webb|first1=Stephen|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|date=2018|pages=204–205|doi=10.1007/978-3-319-71350-2_5|isbn=978-3-319-71350-2}}</ref>
-इस प्रतिनिधित्व में, & nbsp द्वारा गुणा;{{math|–1}} मूल के बारे में 180 डिग्री के [[ रोटेशन ]] से मेल खाती है, जो एक आधा सर्कल है।& Nbsp द्वारा गुणा;{{math|i}} मूल के बारे में 90 डिग्री के रोटेशन के अनुरूप है जो एक सर्कल का एक चौथाई है।ये दोनों नंबरों की जड़ें हैं <math>1</math>: <math>(-1)^2=1</math>, <math>i^4=1</math>।जटिल संख्याओं के क्षेत्र में, हर के लिए <math> n \in \mathbb{N} </math>, <math>1</math> है <math> n</math> वें जड़ें <math> \varphi_n</math>, अर्थ <math> \varphi_n^n =1 </math>, [[ एकता की जड़ ]] कहा जाता है।पहले से गुणा करना <math> n</math>एकता की जड़ एक रोटेशन का कारण बनती है <math> \frac{360}{n}</math> मूल के बारे में डिग्री।
+इस निरूपण में, -1 से गुणा मूल बिंदु के बारे में 180 डिग्री के घूर्णन के अनुरूप है, जो एक आधा वृत्त है। गुणा मैं मूल के बारे में 90 डिग्री के रोटेशन से मेल खाती है जो एक वृत्त का एक चौथाई है। ये दोनों संख्याएँ <math>1</math> के मूल हैं: <math>(-1)^2=1</math>, <math>i^4=1</math>। जटिल संख्याओं के क्षेत्र में, हर के लिए <math> n \in \mathbb{N} </math>, <math>1</math> है <math> n</math> वें जड़ें <math> \varphi_n</math>, अर्थ <math> \varphi_n^n =1 </math>,[[ एकता की जड़ ]]कहा जाता है। पहले से गुणा करना <math> n</math> एकता की जड़ एक रोटेशन का कारण बनती है <math> \frac{360}{n}</math> डिग्री का रोटेशन होता है।
-एक जटिल संख्या से गुणा करना जटिल संख्या के [[ तर्क (जटिल विश्लेषण) ]] द्वारा मूल के चारों ओर घूमने के समान है, इसके बाद इसके परिमाण द्वारा एक स्केलिंग है।<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=_2sS4mC0p-EC&pg=PA10|title=चतुर्भुज और रोटेशन अनुक्रम: कक्षाओं, एयरोस्पेस और आभासी वास्तविकता के लिए अनुप्रयोगों के साथ एक प्राइमर|last=Kuipers|first=J. B.|publisher=[[Princeton University Press]]|date=1999|access-date=2022-01-13|pages=10–11|isbn=0-691-10298-8}}</ref>
+एक जटिल संख्या से गुणा करना जटिल संख्या के[[ तर्क (जटिल विश्लेषण) ]]द्वारा मूल के चारों ओर घूमने के समान है, इसके बाद इसके परिमाण द्वारा एक स्केलिंग है।<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=_2sS4mC0p-EC&pg=PA10|title=चतुर्भुज और रोटेशन अनुक्रम: कक्षाओं, एयरोस्पेस और आभासी वास्तविकता के लिए अनुप्रयोगों के साथ एक प्राइमर|last=Kuipers|first=J. B.|publisher=[[Princeton University Press]]|date=1999|access-date=2022-01-13|pages=10–11|isbn=0-691-10298-8}}</ref>
 == नकारात्मक संख्याओं की वर्ग जड़ें ==
 काल्पनिक संख्याओं के साथ काम करते समय देखभाल का उपयोग किया जाना चाहिए जो नकारात्मक संख्याओं की वर्ग जड़ों के प्रमुख मूल्यों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं:<ref>{{cite book |title=एक काल्पनिक कहानी: "मैं" की कहानी [माइनस एक का वर्गमूल]|first1=Paul J. |last1=Nahin |publisher=Princeton University Press |year=2010 |isbn=978-1-4008-3029-9 |page=12 |url=https://books.google.com/books?id=PflwJdPhBlEC}} [https://books.google.com/books?id=PflwJdPhBlEC&pg=PA12 Extract of page 12]</ref>
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 {{DEFAULTSORT:Imaginary Number}}[[श्रेणी: जटिल संख्या | जटिल संख्या ]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Collapse templates|Imaginary Number]]
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+[[Category:Machine Translated Page|Imaginary Number]]
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+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Imaginary Number]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Imaginary Number]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates|Imaginary Number]]

v t e संख्या प्रणाली
गणना योग्य सेट	प्राकृतिक संख्या ( $\mathbb {N}$ ) पूर्णांक ( $\mathbb {Z}$ ) तर्कसंगत संख्या ( $\mathbb {Q}$ ) निर्माण योग्य संख्या बीजगणितीय संख्या ( $\mathbb {A}$ ) अवधि कम्प्यूटेबल नंबर अंकगणितीय संख्या सेट-सिद्धांत रूप से निश्चित संख्या गाऊसी पूर्णांक
रचना बीजगणित	विभाजन बीजगणित: वास्तविक संख्या ( $\mathbb {R}$ ) जटिल संख्या ( $\mathbb {C}$ ) चतुर्भुज ( $\mathbb {H}$ ) ऑक्टोनियन ( $\mathbb {O}$ )
विभाजित करना प्रकार	ऊपर $\mathbb {R}$ : स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर स्प्लिट-क्वैटरन स्प्लिट-फैक्टियन ऊपर $\mathbb {C}$ : $\mathbb {C}$ : BICOMPLEX नंबर Biquaternion Bioctonion
अन्य हाइपरकम्प्लेक्स	दोहरी संख्या दोहरी चतुर्भुज दोहरी-कॉम्प्लेक्स नंबर हाइपरबोलिक चतुर्भुज सेडेनियन ( $\mathbb {S}$ ) स्प्लिट-ब्यूकटरन मल्टीकोम्प्लेक्स नंबर ज्यामितीय बीजगणित/क्लिफोर्ड बीजगणित भौतिक अंतरिक्ष का बीजगणित स्पेसटाइम बीजगणित
अन्य प्रकार	बुनियादी संख्या विस्तारित प्राकृतिक संख्या अपरिमेय संख्या फजी नंबर हाइपरियल नंबर लेवी-सिविटा फील्ड असली संख्या ट्रांसेंडेंटल नंबर क्रमसूचक संख्या [[पी-एडिक नंबर \|p-adicसंख्या]]p-adicसोलेनोइड्स]] अलौकिक संख्या सुपररेल नंबर सामान्य संख्या बंद-फॉर्म नंबर
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ज्यामितीय व्याख्या

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यह भी देखें

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