निर्माण योग्य संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 19:20, 8 May 2023

समुच्चय सिद्धांत के अर्थ में "संरचनात्मक" संख्याओं के लिए, रचनात्मक समष्टि देखें।

2 का वर्गमूल एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई के बराबर होता है, जिसकी लंबाई 1 होती है और इसलिए यह एक रचनात्मक संख्या है

ज्यामिति और बीजगणित में, एक वास्तविक संख्या r रचनात्मक है यदि और केवल यदि, इकाई लंबाई का एक रेखा खंड दिया जाता है, लंबाई का एक रेखा खंड |r| परिमित संख्या में चरणों में दिक्सूचक और ऋजु कोर के साथ बनाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, r रचनात्मक है यदि और केवल यदि r के लिए केवल पूर्णांक और जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन और वर्गमूल के लिए संचालन का उपयोग करने के लिए एक संवृत रूप अभिव्यक्ति है।

रचनात्मक संख्याओं की ज्यामितीय परिभाषा रचनात्मक बिंदुओं की इसी परिभाषा को प्रेरित करती है, जिसे पुनः या तो ज्यामितीय या बीजगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। एक बिंदु रचनात्मक है यदि इसे एक दिक्सूचक और ऋजु कोर के संरचना के बिंदुओं में से एक के रूप में उत्पादित किया जा सकता है (एक रेखा खंड का अंत बिंदु या दो रेखाओं या वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु), किसी दिए गए इकाई लंबाई खंड से प्रारंभ होता है। वैकल्पिक रूप से और समतुल्य रूप से, दिए गए खंड के दो संवरण बिंदुओं को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अंक (0, 0) और (1, 0) के रूप में लेते हुए, एक बिंदु रचनात्मक होता है यदि और केवल यदि इसके कार्टेशियन निर्देशांक दोनों रचनात्मक संख्याएं हैं।^[1] अन्य प्रक्रियाओं का उपयोग करके रचना की जा सकने वाली संख्याओं और बिंदुओं से उन्हें अलग करने के लिए रचनात्मक संख्याओं और बिंदुओं को मापक और दिक्सूचक संख्या और मापक और दिक्सूचक बिंदु भी कहा जाता है।^[2]

रचनात्मक संख्याओं का समुच्चय एक क्षेत्र (बीजगणित) बनाता है: इस समुच्चय के सदस्यों के लिए चार मौलिक अंकगणितीय परिचालनों में से किसी एक को प्रयुक्त करने से एक और रचनात्मक संख्या उत्पन्न होती है। यह क्षेत्र परिमेय संख्याओं का एक क्षेत्र विस्तार है और बदले में बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र में निहित है।^[3] यह परिमेय संख्याओं का यूक्लिडियन संवरण है, परिमेय संख्याओं का सबसे छोटा क्षेत्र विस्तार जिसमें इसकी सभी धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल सम्मिलित हैं।^[4]

रचनात्मक संख्याओं की बीजगणितीय और ज्यामितीय परिभाषाओं के बीच समानता का प्रमाण प्राचीन ग्रीक गणित से कई प्रसिद्ध समस्याओं सहित, दिक्सूचक और ऋजु कोर के संरचना के बारे में ज्यामितीय प्रश्नों को अमूर्त बीजगणित में बदलने का प्रभाव है। इन प्रश्नों के बीजगणितीय सूत्रीकरण ने प्रमाणों को उत्पन्न दिया कि उनके समाधान रचनात्मक नहीं हैं, उन्हीं समस्याओं के ज्यामितीय सूत्रीकरण के बाद शतवर्ष के आक्षेप को अस्वीकृत कर दिया।

ज्यामितीय परिभाषाएँ

ज्यामितीय रूप से रचनात्मक बिंदु

मान लीजिए $O$ और $A$ समतल (ज्यामिति) में दिए गए दो अलग-अलग बिंदु हों, और S को उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित करें जिन्हें O और A से प्रारंभ होने वाले दिकसूचक और ऋजु कोर के साथ बनाया जा सकता है। फिर S के बिंदुओं को रचनात्मक बिंदु कहा जाता है। O और A परिभाषा के अनुसार, S के तत्व हैं। S के शेष तत्वों का अधिक परिशुद्ध वर्णन करने के लिए, निम्नलिखित दो परिभाषाएँ बनाएं:^[5]

एक रेखा खंड जिसका समापन बिंदु S में है, एक रचना खंड कहलाता है, और
एक वृत्त जिसका केंद्र $S$ में है और जो $S$ के एक बिंदु से होकर गुजरता है (वैकल्पिक रूप से, जिसकी त्रिज्या $S$ के कुछ विशिष्ट बिंदुओं के बीच की दूरी है) एक रचना वृत्त कहलाता है।

फिर, $A$ और $O$ के अतिरिक्त $S$ के बिन्दु हैं:^[5]^[6]

दो गैर-समानांतर रचना खंडों का प्रतिच्छेदन, या रचना खंडों के माध्यम से रेखाएँ,
रचना वृत्त और एक रचना खंड के प्रतिच्छेदन बिंदु, या एक रचना खंड के माध्यम से रेखा, या
दो अलग-अलग रचना वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु।

उदाहरण के रूप मे, रचना खंड का मध्यबिंदु $OA$ एक रचनात्मक बिंदु है। इसके लिए एक रचना $OA$ को त्रिज्या के साथ दो वृत्तों का निर्माण करना है, और इन दो वृत्तों के दो प्रतिच्छेद बिंदुओं के माध्यम से रेखा बनाना है। तब खंड का मध्यबिंदु $OA$ वह बिंदु होता है जहां इस खंड को निर्मित रेखा द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है।^[7]

ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्या

ज्यामितीय सूत्रीकरण के लिए प्रारंभिक जानकारी का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसमें बिंदु $O$ निर्देशांक (0,0) वाले मूल से जुड़ा होता है और जिसमें बिंदु $A$ निर्देशांक (1,0) से जुड़ा होता है। $S$ के बिंदुओं का उपयोग अब ज्यामिति और बीजगणित को जोड़ने के लिए किया जा सकता है, एक रचनात्मक संख्या को एक रचनात्मक बिंदु के निर्देशांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।^[8]

समतुल्य परिभाषाएं हैं कि एक रचनात्मक संख्या एक रचनात्मक बिंदु $(x,0)$ ^[6] रचनात्मक रेखा खंड की लंबाई का x समन्वय है।^[9] इस तुल्यता की एक दिशा में, यदि एक रचनात्मक बिंदु में निर्देशांक $(x,y)$ है, तो बिंदु $(x,0)$ को x-अक्ष पर इसके लंबवत प्रक्षेपण के रूप में बनाया जा सकता है, और मूल से इस बिंदु तक के खंड की लंबाई $x$ है। यदि विपरीत दिशा में $x$ एक रचनात्मक रेखा खंड की लंबाई है, तो $x$ -अक्ष को त्रिज्या $x$ के साथ $O$ पर केन्द्रित एक वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करने पर बिन्दु $(x,0)$ देता है। इस तुल्यता से यह पता चलता है कि प्रत्येक बिंदु जिसका कार्तीय निर्देशांक ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्याएं हैं, स्वयं एक ज्यामितीय रूप से रचनात्मक बिंदु है। जब $x$ और $y$ ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्याएँ हैं, बिंदु $(x,y)$ को निर्देशांक अक्षों के लंबवत $(x,0)$ और $(0,y)$ के माध्यम से रेखाओं के प्रतिच्छेदन के रूप में बनाया जा सकता है।^[10]

बीजगणितीय परिभाषाए

बीजगणितीय रूप से रचनात्मक संख्या

बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याएं वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय होती हैं जिन्हें सूत्रों द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो योग, घटाव, गुणा, गुणात्मक व्युत्क्रम, और धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल के संक्रियक का उपयोग करके पूर्णांक को जोड़ते हैं। इससे भी अधिक सरलता से, इन सूत्रों को लंबा बनाने की कीमत पर, इन सूत्रों में पूर्णांकों को केवल 0 और 1 तक सीमित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 2 का वर्गमूल रचनात्मक है, क्योंकि इसे सूत्र ${\sqrt {2}}$ या ${\sqrt {1+1}}$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

समान रूप से, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं का उपसमुच्चय होती हैं, जिसमें समान प्रकार के सूत्र होते हैं, वर्गमूल के अधिक सामान्य संस्करण का उपयोग करते हुए जो धनात्मक संख्याओं तक सीमित नहीं है, बल्कि इसके तर्क के रूप में अव्यवस्थिततः से सम्मिश्र संख्याओं को ले सकता है, और उत्पादन करता है इसके तर्क की सम्मिश्र संख्या के वर्गमूल का उत्पादन करता है। वैकल्पिक रूप से, सम्मिश्र संख्याओं की समान प्रणाली को उन सम्मिश्र संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों रचनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।^[11] उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या $i$ सूत्र ${\sqrt {-1}}$ या ${\sqrt {0-1}}$ हैं, और इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग क्रमशः 0 और 1 रचनात्मक संख्या हैं।

रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं की ये दो परिभाषाएँ समान हैं।^[12] एक दिशा में, यदि $q=x+iy$ एक सम्मिश्र संख्या है जिसका वास्तविक भाग $x$ काल्पनिक भाग y दोनों रचनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो बड़े सूत्र के अंदर x और y को उनके सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापित करने पर $x+y{\sqrt {-1}}$ एक सम्मिश्र संख्या के रूप में q के लिए एक सूत्र उत्पन्न करता है। दूसरी दिशा में, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्या के लिए किसी भी सूत्र को उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के लिए सूत्रों में परिवर्तित किया जा सकता है, सूत्र में प्रत्येक संक्रियक को पुनरावर्ती रूप से विस्तार का उपयोग करके इसके तर्कों के वास्तविक और काल्पनिक भागों पर संचालन में विस्तारित किया जा सकता है।^[13]

$(a+ib)\pm (c+id)=(a\pm c)+i(b\pm d)$
$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$
${\frac {1}{a+ib}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}$
${\sqrt {a+ib}}={\frac {(a+r){\sqrt {r}}}{s}}+i{\frac {b{\sqrt {r}}}{s}}$ , कहाँ $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}{}_{\!}}}$ और $s={\sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}$ .

बीजगणितीय रूप से बिंदु

बीजगणितीय रूप से रचनात्मक बिंदुओं को उन बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके दो वास्तविक कार्टेशियन निर्देशांक बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। वैकल्पिक रूप से, उन्हें बीजीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं द्वारा दिए गए सम्मिश्र तल में बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। बीजगणितीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं के लिए दो परिभाषाओं के बीच समानता से, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक बिंदुओं की ये दो परिभाषाएं भी समकक्ष हैं।^[12]

बीजगणितीय और ज्यामितीय परिभाषाओं की समानता

यदि $a$ और $b$ ज्यामितीय रूप से रचना खंडों की गैर-शून्य लंबाई हैं तो लंबाई के रचना खंडों को प्राप्त करने के लिए प्राथमिक दिक्सूचक और $a+b$ , $|a-b|$ , $ab$ , और $a/b$ प्रत्यक्ष संरचम का उपयोग किया जा सकता है। बाद के दो को अंतःखंड प्रमेय के आधार पर निर्माण के साथ किया जा सकता है। इन उपकरणों का उपयोग करते हुए अल्प कम प्रारंभिक रचना ज्यामितीय माध्य प्रमेय पर आधारित है और लंबाई $a$ के रचना खंड से लंबाई ${\sqrt {a}}$ के एक खंड का निर्माण करेगा। यह इस प्रकार है कि संख्या के लिए एक सूत्र को संख्या के लिए एक संरचना में स्थानातरण करने के लिए इन तकनीकों का उपयोग करके, प्रत्येक बीजीय रूप से रचनात्मक संख्या ज्यामितीय रूप से रचनात्मक है।^[14]

रचनात्मक संख्याओं के लिए दिक्सूचक और ऋजु कोर रचना

ab

अंतःखंड प्रमेय के आधार पर

{\frac {a}{b}}

अंतःखंड प्रमेय के आधार पर

{\sqrt {p}}

ज्यामितीय माध्य प्रमेय के आधार पर

दूसरी दिशा में, ज्यामितीय वस्तुओं का एक समुच्चय बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है: बिंदुओं के लिए निर्देशांक, रेखाओं के लिए समतल और y -अंतःखंड, और वृत्तों के लिए केंद्र और त्रिज्या पर निर्दिष्ट की जाती है। दिक्सूचक-और ऋजु कोर संरचना के एक चरण में जोड़े जा सकने वाले प्रत्येक अतिरिक्त वस्तु के लिए, केवल अंकगणित और वर्गमूल का उपयोग करके, इन मानो के संदर्भ में सूत्र विकसित करना संभव (लेकिन स्थायी ) है। इन सूत्रों से यह पता चलता है कि प्रत्येक ज्यामितीय रूप से निर्मित संख्या बीजगणितीय रूप से रचनात्मक होती है।^[15]

बीजगणितीय गुण

बीजगणितीय रूप से रचनात्मक संख्याओं की परिभाषा में इनमें से किसी भी संख्या का योग, अंतर, गुणन और गुणात्मक व्युत्क्रम सम्मिलित है, वही संक्रियक जो अमूर्त बीजगणित में एक क्षेत्र (बीजगणित) को परिभाषित करते हैं। इस प्रकार, रचनात्मक संख्याएं (उपर्युक्त किसी भी तरीके से परिभाषित) एक क्षेत्र बनाती हैं। अधिक विशेष रूप से, रचनात्मक वास्तविक संख्या एक यूक्लिडियन क्षेत्र बनाती है, एक क्रमित क्षेत्र जिसमें इसके प्रत्येक धनात्मक तत्व का वर्गमूल होता है।^[16] इस क्षेत्र और इसके उपक्षेत्रों के गुणों की जांच करने से एक संख्या के रचनात्मक होने की आवश्यक शर्तें बनती हैं, जिसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि उत्कृष्ट ज्यामितीय रचना समस्याओं में उत्पन्न होने वाली विशिष्ट संख्याएँ रचनात्मक नहीं हैं।

रचनात्मक संख्याओं के पूरे क्षेत्र के स्थान पर, उपक्षेत्र $\mathbb {Q} (\gamma )$ पर विचार करना सुविधाजनक है, जो किसी भी रचनात्मक संख्या $\gamma$ द्वारा उत्पन्न होता है, और इसे विघटित करने के लिए $\gamma$ के बीजगणितीय निर्माण का उपयोग करना यदि $\gamma$ तो इसे बनाने वाले सूत्र के अंदर होने वाले मानों का उपयोग वास्तविक संख्याओं के परिमित अनुक्रम $\alpha _{1},\dots ,a_{n}=\gamma$ को उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है जैसे कि, प्रत्येक $i$ के लिए $\mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i})$ का $\mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i-1})$ वर्ग 2 का बीजगणितीय विस्तार है।^[17] आंशिक अलग शब्दावली का प्रयोग करते हुए, एक वास्तविक संख्या रचनात्मक होती है यदि और केवल तभी जब वह वास्तविक द्विघात विस्तार के क्षेत्रों के परिमित स्तम्भ के शीर्ष पर एक क्षेत्र में स्थित हो,

\mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n},

परिमेय क्षेत्र से से प्रारंभ करते हुए

\mathbb {Q}

जहाँ

\gamma

में है और

K_{n}

सभी

0<j\leq n

,

[K_{j}:K_{j-1}]=2

के लिए है^[18] यह इस अपघटन से इस प्रकार है कि एक क्षेत्र विस्तार

[\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]

की घात

2^{r}

है, जहाँ

r

द्विघात विस्तार चरणों की संख्या की गणना करता है।^[19]

वास्तविक स्थिति के अनुरूप, एक सम्मिश्र संख्या रचनात्मक होती है यदि और केवल यदि यह सम्मिश्र द्विघात विस्तार के परिमित स्तम्भ के शीर्ष पर एक क्षेत्र में स्थित है।^[20] अकधीक परिशुद्ध रूप से, $\gamma$ रचनात्मक है यदि और केवल यदि वहाँ क्षेत्रों का एक स्तम्भ सम्मिलित है

\mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},

जहाँ

\gamma

में

F_{n}

, और सभी

0<j\leq n

,

[F_{j}:F_{j-1}]=2

के लिए है। इस निरूपण और वास्तविक रचनात्मक संख्याओं के बीच का अंतर केवल इतना है कि इस स्तम्भ के क्षेत्र वास्तविक होने तक ही सीमित नहीं हैं। परिणामस्वरूप, यदि एक सम्मिश्र संख्या

\gamma

रचनात्मक है, तो

[\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]

दो की घात है। हालाँकि, यह आवश्यक शर्त पर्याप्त नहीं है: ऐसे क्षेत्र विस्तार सम्मिलित हैं जिनकी घात दो की घात है जिसे द्विघात विस्तार के अनुक्रम में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है।^[21]

के द्विघात विस्तार के स्तम्भ से इस तरह से उत्पन्न किए जा सकने वाले क्षेत्र $\mathbb {Q}$ के पुनरावर्तित द्विघात विस्तार $\mathbb {Q}$ कहलाते हैं। वास्तविक और सम्मिश्र रचनात्मक संख्याओं के क्षेत्र सभी वास्तविक या सम्मिश्र पुनरावृत्त द्विघात विस्तार के $\mathbb {Q}$ संयोजन है।^[22]

त्रिकोणमितीय संख्या

त्रिकोणमितीय संख्याएँ कोणों की कोसाइन या साइन होती हैं जो कि परिमेय गुणज $\pi$ होती हैं। ये संख्याएं सदैव बीजगणितीय होती हैं, लेकिन ये रचनात्मक नहीं हो सकती हैं। कोसाइन या कोण की ज्या $2\pi /n$ केवल कुछ विशेष संख्याओं के लिए रचनात्मक $n$ है:^[23]

दो की घात
फर्मा अभाज्य, अभाज्य संख्याएँ जो एक से अधिक दो की घात हैं
दो और अलग फर्मा अभाज्य की घातों के गुणन।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, $\cos(\pi /15)$ रचनात्मक है क्योंकि 15 दो फर्मा अभाज्य, 3 और 5 का गुणन है।

असंभव रचना

एक घन और उसका द्विक

एक कोण और उसका त्रिभुज

समान क्षेत्रफल वाले वृत्त और वर्ग

प्राचीन यूनान ने सोचा था कि ऋजुकोर और दिक्सूचक रचना की कुछ समस्याएं जिन्हें वे हल नहीं कर सकते थे, वे केवल अचर थीं, न कि हल करने योग्य थी।^[24] हालांकि, कुछ संख्याओं की अरचनात्मकता यह प्रमाणित करती है कि इन निर्माणों को निष्पादित करना तार्किक रूप से असंभव है।^[25] हालांकि, समस्याएं स्वयं उन तरीकों का उपयोग करके हल करने योग्य हैं जो केवल ऋजुकोर और दिक्सूचक के साथ काम करने की बाध्यता से अधिकतम हैं, और यूनानी जानते थे कि उन्हें इस तरह से कैसे हल किया जाए। ऐसा ही एक उदाहरण है आर्किमिडीज़ नेउसिस कोण त्रिभाजन की समस्या का निर्माण समाधान होता है।^[26]

विशेष रूप से, रचनात्मक संख्याओं के बीजगणितीय सूत्रीकरण से निम्नलिखित निर्माण समस्याओं की असंभवता का प्रमाण मिलता है:

घन का द्विगुणन

इकाई वर्ग को दोगुना करने की समस्या को पहले वाले के विकर्ण पर एक और वर्ग के निर्माण से हल किया जाता है, जिसकी भुजा लंबाई ${\sqrt {2}}$ और क्षेत्रफल $2$ है। समान रूप से, घन को दोगुना करने की समस्या 2 आयतन वाले घन की भुजा की लंबाई ${\sqrt[{3}]{2}}$ के निर्माण के लिए है। यह रचना योग्य नहीं है, क्योंकि इस लंबाई का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत), $x^{3}-2$ , $\mathbb {Q}$ घात 3 पर है।^[27] एक घन बहुपद के रूप में जिसकी एकमात्र वास्तविक वर्गमूल अपरिमेय है, इस बहुपद को अलघुकरणीय होना चाहिए, क्योंकि यदि इसका द्विघात वास्तविक मूल होता तो संयुग्म (वर्गमूल) एक दूसरा वास्तविक मूल प्रदान करता।^[28]
कोण समत्रिभाजन: इस समस्या में, दिए गए कोण $\theta$ से एक कोण $\theta /3$ बनाना चाहिए। बीजगणितीय रूप से, कोणों को उनके त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे कि उनके साइन या कोसाइन, जो प्रारंभिक खंड के साथ दिए गए कोण को बनाने वाले रेखा खंड के अंत बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक देते हैं। इस प्रकार, एक कोण $\theta$ रचनात्मक होता है जब $x=\cos \theta$ एक रचनात्मक संख्या होती है, और कोण को विभाजित करने की समस्या को $\cos({\tfrac {1}{3}}\arccos x)$ तैयार किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज का कोण $\theta =\pi /3=60^{\circ }$ एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण दिक्सूचक और ऋजुकोर द्वारा बनाया जा सकता है जिसमें $x=\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}$ होता है। हालाँकि, इसका समत्रिभाजन $\theta /3=\pi /9=20^{\circ }$ नहीं बनाया जा सकता, क्योंकि $\cos \pi /9$ न्यूनतम बहुपद $8x^{3}-6x-1$ घात 3 पर $\mathbb {Q}$ है। चूंकि समत्रिभाजन समस्या का यह विशिष्ट उदाहरण दिक्सूचक और ऋजु कोर द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, सामान्य समस्या भी हल नहीं की जा सकती है।^[29]
वृत्त का वर्गन: क्षेत्रफल $\pi$ के साथ एक वर्ग, एक इकाई वृत्त के समान क्षेत्रफल, भुजा की लंबाई ${\sqrt {\pi }}$ , एक अबीजीय संख्या होगी। इसलिए, यह वर्ग और इसकी पार्श्व लंबाई रचनात्मक नहीं है, क्योंकि यह $\mathbb {Q}$ पर बीजगणितीय नहीं है।^[30]
समभुजकोणीय बहुभुज: यदि समभुजकोणीय $n$ -गॉनका निर्माण इसके केंद्र के साथ मूल में किया जाता है, तो केंद्र से लेकर निरंतर कोर तक के खंडों के बीच के कोण $2\pi /n$ होते हैं। बहुभुज का निर्माण तभी किया जा सकता है जब इस कोण का कोसाइन एक त्रिकोणमितीय संख्या हो। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक 15-गॉन रचनात्मक है, लेकिन समभुजकोणीय सप्तभुज रचनात्मक नहीं है, क्योंकि 7 अभाज्य है लेकिन फर्मा अभाज्य नहीं है।^[31] इसकी गैर-रचनात्मकता के अधिक प्रत्यक्ष प्रमाण के लिए, बहुपद $x^{7}-1$ की जटिल वर्गों के रूप में एक समभुजकोणीय सप्तभुज के शीर्षों का प्रतिनिधित्व करें। गुणनखंड $x-1$ को हटाकर, $x^{3}$ से विभाजित करके $y=x+1/x$ को प्रतिस्थापित करके सरल बहुपद $y^{3}+y^{2}-2y-1$ , तीन वास्तविक वर्गों के साथ एक अलघुकरणीय घन, प्रत्येक एक सम्मिश्र-संख्या शीर्ष के वास्तविक भाग का दो गुना होता है। वर्गमूल रचनात्मक नहीं हैं, इसलिए सप्तभुज भी रचनात्मक नहीं है।^[32]

अलहज़ेन की समस्या

यदि दो बिंदु और एक वृत्ताकार दर्पण दिया गया हो, तो दिए गए बिंदुओं में से एक वृत्त पर दूसरे बिंदु का प्रतिबिम्ब कहाँ देखता है? ज्यामितीय रूप से, प्रत्येक दिए गए बिंदु से परावर्तन के बिंदु तक की रेखाएँ समान कोणों पर और समान-लंबाई वाली जीवाओं में वृत्त से मिलती हैं। हालांकि, दिकसूचक और ऋजु कोर का उपयोग करके प्रतिबिंब के बिंदु का निर्माण करना असंभव है। विशेष रूप से, दो बिन्दुओं

({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})

और

(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})

के साथ एक इकाई वृत्त के लिए,

x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1

समाधान में एक अलघुकरणीय घात-चार बहुपद के वर्ग बनाने वाले निर्देशांक हैं। हालांकि इसकी घात दो की घात है, इस बहुपद के विखंडन क्षेत्र में तीन से विभाज्य घात है, इसलिए यह पुनरावृत्त द्विघात विस्तार से नहीं आता है और अल्हज़ेन की समस्या का कोई दिक्सूचक और सीधा समाधान नहीं है।^[33]

इतिहास

रचनात्मक संख्याओं की अवधारणा का उत्पादन जटिल रूप से तीन असंभव दिक्सूचक और ऋजु कोर के निर्माण के इतिहास से जुड़ा हुआ है: घन को दोगुना करना, कोण को विभाजित करना और वृत्त का वर्गन करना। प्लूटार्क में एक मार्ग के कारण ज्यामितीय निर्माणों में केवल दिक्सूचक और सीधे किनारे का उपयोग करने का प्रतिबंध प्रायः प्लेटो को श्रेय दिया जाता है। प्लूटार्क के अनुसार, प्लेटो ने यूडोक्सस और आर्किटास और मेनेकमस को घन (डेलियन) समस्या का दोहराव दिया, जिन्होंने यांत्रिक उपकरणों का उपयोग करके समस्या को हल किया, शुद्ध ज्यामिति का उपयोग करके समस्या को हल नहीं करने के लिए प्लेटो से उपेक्षा की।^[34] हालांकि, इस आरोपण को चुनौती दी गई है,^[35] आंशिक रूप से, कहानी के एक अन्य संस्करण के अस्तित्व के कारण (एस्केलॉन के यूटोकियस द्वारा एराटोस्थनीज को अधीन है) जो कहता है कि तीनों ने समाधान पाया लेकिन वे व्यावहारिक मान के लिए बहुत सारगर्भित थे।^[36] रोड्स के यूडेमस का संकेत देते हुए प्रोक्लस ने दो मापक और दिक्सूचक निर्माण के साथ ओनोपिड्स (लगभग 450 ईसा पूर्व) को श्रेय दिया, जिससे कुछ लेखकों ने अनुमान लगाया कि ओनोपाइड्स ने प्रतिबंध का प्रारंभ किया।^[37] उत्कृष्ट निर्माण समस्याओं की असंभवता के लिए दिक्सूचक और ऋजु कोर पर प्रतिबंध आवश्यक है। उदाहरण के लिए, कोण समत्रिभाजन कई तरह से किया जा सकता है, जो प्राचीन यूनानियों के लिए जाना जाता था। एलीस के हिप्पियास के क्वाड्रैट्रिक्स, मेनेकमस के शंकु, या आर्किमिडीज के चिन्हित ऋजुकोर (न्यूसिस) निर्माण सभी का उपयोग किया गया है, जैसा कि पेपर वलन के माध्यम से एक अधिक आधुनिक दृष्टिकोण है।^[38]

यद्यपि क्लासिक तीन निर्माण समस्याओं में से एक नहीं, सीधा किनारा और कम्पास के साथ समभुजकोणीय बहुभुजों के निर्माण की समस्या को अक्सर उनके साथ व्यवहार किया जाता है। यूनानी जानते थे कि $n=2^{h}$ किसी भी पूर्णांक $h\geq 2$ ), 3, 5, या इनमें से किन्हीं दो या तीन के गुणनफल के साथ समभुजकोणीय n-गॉन का निर्माण कैसे किया जाता है। संख्याएं, लेकिन अन्य समभुजकोणीय n-गॉन ने उन्हें नहीं छोड़ा। 1796 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जो उस समय अठारह वर्षीय छात्र थे, ने एक समाचार पत्र में घोषणा की कि उन्होंने ऋजु कोर और दिक्सूचक के साथ एक समभुजकोणीय 17-गॉन का निर्माण किया है^[39] गॉस का समाधान ज्यामितीय के अतिरिक्त बीजगणितीय था; वास्तव में, उन्होंने वास्तव में बहुभुज का निर्माण नहीं किया, बल्कि यह दिखाया कि एक केंद्रीय कोण का कोज्या एक रचनात्मक संख्या थी। इस तर्क को उनकी 1801 की पुस्तक अंकगणितीय शोध में सामान्यीकृत किया गया था, जिसमें एक समभुजकोणीय n-गॉन के निर्माण के लिए पर्याप्त स्थिति दी गई थी। गॉस ने दावा किया, लेकिन यह प्रमाणित नहीं किया कि शर्त भी आवश्यक थी और कई लेखक, विशेष रूप से फेलिक्स क्लेन,^[40] ने प्रमाण के इस भाग का श्रेय उन्हें भी दिया।^[41] अल्हज़ेन की समस्या भी उत्कृष्ट तीन समस्याओं में से एक नहीं है, लेकिन मध्यकालीन इस्लाम में एक गणित, इब्न अल-हेथम (अलहज़ेन) के नाम पर होने के बाद, यह दूसरी शताब्दी से पहले से ही टॉलेमी के प्रकाशिकी (टॉलेमी) में दिखाई देती है।^[19]

पियरे वांजेल (1837) ने बीजगणितीय रूप से सिद्ध किया कि घन को दोगुना करने और कोण को त्रिगुणित करने की समस्याएँ यदि कोई केवल दिक्सूचक और ऋजुकोर का उपयोग करता है तो हल करना असंभव है। उसी पत्र में उन्होंने यह निर्धारित करने की समस्या भी हल की कि कौन से समभुजकोणीय बहुभुज रचनात्मक हैं: एक समभुजकोणीय बहुभुज रचनात्मक होता है यदि और केवल यदि इसके पक्षों की संख्या दो की घात का गुणन है और किसी भी संख्या में अलग-अलग फर्मा अभाज्य (अर्थात, गॉस द्वारा दी गई पर्याप्त शर्तें भी आवश्यक हैं) होती है।^[23]^[42] वृत्तों और अतिपरवलयों का वास्तविक चतुर्भुज (वृत्त और अतिपरवलय का सही वर्गन) में जेम्स ग्रेगोरी द्वारा सर्कल को वर्ग करने की असंभवता का एक प्रयास किया गया प्रमाण दिया गया था। हालांकि उनका प्रमाण दोषपूर्ण था, यह प्रयास करने वाला पहला पत्र था π के बीजगणितीय गुणों का उपयोग करके समस्या को हल करें। 1882 तक फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने चार्ल्स हर्मिट के कार्य का विस्तार करके और यह प्रमाणित करके कि π एक अबीजीय संख्या है, दृढ़ता से इसकी असंभवता को प्रमाणित नहीं किया।^[43] एल्किन (1965) के कार्य तक अल्हज़ेन की समस्या को दिक्सूचक और ऋजुकोर द्वारा हल करना असंभव प्रमाणित नहीं हुआ था।^[44]

रचनात्मक संख्याओं का अध्ययन, प्रति से, रेने डेसकार्टेस द्वारा ला ज्यामिति में प्रारंभ किया गया था, जो 1637 में प्रकाशित उनकी पुस्तक पद्धति पर परिचर्चा का एक परिशिष्ट था। डेसकार्टेस ने संख्याओं को ज्यामितीय रेखा खंडों से जोड़ा ताकि उनकी दार्शनिक पद्धति की क्षमता को हल करके प्रदर्शित किया जा सके। अलेक्जेंड्रिया के पप्पस द्वारा एक प्राचीन ऋजुकोर और दिक्सूचक निर्माण समस्या प्रस्तुत की थी।^[45]

यह भी देखें

↑ Kazarinoff (2003, pp. 10 & 15); Martin (1998), Corollary 2.16, p. 41.
↑ Martin (1998), pp. 31–32.
↑ Courant & Robbins (1996), Section III.2.2, "All constructible numbers are algebraic", pp. 133–134.
↑ Kazarinoff (2003), p. 46.
↑ ^5.0 ^5.1 Kazarinoff (2003), p. 10.
↑ ^6.0 ^6.1 Martin (1998), Definition 2.1, pp. 30–31.
↑ This construction for the midpoint is given in Book I, Proposition 10 of Euclid's Elements.
↑ Kazarinoff (2003), p. 18.
↑ Herstein (1986, p. 237). To use the length-based definition, it is necessary to include the number zero as a constructible number, as a special case.
↑ Moise (1974), p. 227; Martin (1998), Theorem 2.4, p. 33.
↑ Roman (1995), p. 207.
↑ ^12.0 ^12.1 Lawrence & Zorzitto (2021), p. 440.
↑ For the addition and multiplication formula, see Kay (2021), Theorem 8.1.10, p. 187. For the division formula, see Kay (2021), Equations 8.8, p. 188, and 9.2, p. 224. The expansion of the square root can be derived from the half-angle formula of trigonometry; see an equivalent formula at Lawrence & Zorzitto (2021), p. 440.
↑ Herstein (1986, pp. 236–237); Moise (1974, p. 224); Fraleigh (1994, pp. 426–427); Courant & Robbins (1996, Section III.1.1, "Construction of fields and square root extraction", pp. 120–122).
↑ Martin (1998, pp. 38–39); Courant & Robbins (1996, pp. 131–132).
↑ Martin (1998), Theorem 2.7, p. 35.
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↑ Roman (1995), p. 59.
↑ ^19.0 ^19.1 Neumann (1998).
↑ Rotman (2006), p. 361.
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↑ ^23.0 ^23.1 Martin (1998), p. 46.
↑ Stewart (1989), p. 51.
↑ Klein (1897), p. 3.
↑ The description of these alternative solutions makes up much of the content of Knorr (1986).
↑ Klein (1897, p. 13); Fraleigh (1994, pp. 429–430)
↑ Courant & Robbins (1996), Section III.3.1, "Doubling the cube", pp. 134–135.
↑ Fraleigh (1994, pp. 429–430); Courant & Robbins (1996, Section III.3.3, "Trisecting the angle", pp. 137–138)
↑ Fraleigh (1994), pp. 429–430.
↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number#:~:text=a%20Fermat%20prime-,.%5B32%5D,-For%20a%20more
↑ Courant & Robbins (1996), Section III.3.4 "The regular heptagon", pp. 138–139.
↑ Neumann (1998). Elkin (1965) comes to the same conclusion using different points and a different polynomial.
↑ Plutarch, Quaestiones convivales VIII.ii Archived 2019-07-28 at the Wayback Machine, 718ef.
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↑ Knorr (1986), p. 4.
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↑ Klein (1897), p. 16.
↑ Kazarinoff (2003), p. 30.
↑ Wantzel (1837).
↑ Klein (1897), Chapter IV: The transcendence of the number $π$ , pp. 68–77..
↑ Elkin (1965); see also Neumann (1998) for an independent solution with more of the history of the problem.
↑ Boyer (2004), pp. 83–88.

संदर्भ

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बाहरी संबंध

[1] Kazarinoff (2003, pp. 10 & 15); Martin (1998), Corollary 2.16, p. 41.

[FOOTNOTEMartin199831–32-2] Martin (1998), pp. 31–32.

[FOOTNOTECourantRobbins1996Section_III.2.2,_"All_constructible_numbers_are_algebraic",_pp._133–134-3] Courant & Robbins (1996), Section III.2.2, "All constructible numbers are algebraic", pp. 133–134.

[FOOTNOTEKazarinoff200346-4] Kazarinoff (2003), p. 46.

[FOOTNOTEKazarinoff200310-5] 5.0 ^5.1 Kazarinoff (2003), p. 10.

[FOOTNOTEMartin1998Definition_2.1,_pp._30–31-6] 6.0 ^6.1 Martin (1998), Definition 2.1, pp. 30–31.

[7] This construction for the midpoint is given in Book I, Proposition 10 of Euclid's Elements.

[FOOTNOTEKazarinoff200318-8] Kazarinoff (2003), p. 18.

[9] Herstein (1986, p. 237). To use the length-based definition, it is necessary to include the number zero as a constructible number, as a special case.

[10] Moise (1974), p. 227; Martin (1998), Theorem 2.4, p. 33.

[FOOTNOTERoman1995207-11] Roman (1995), p. 207.

[lz440-12] 12.0 ^12.1 Lawrence & Zorzitto (2021), p. 440.

[13] For the addition and multiplication formula, see Kay (2021), Theorem 8.1.10, p. 187. For the division formula, see Kay (2021), Equations 8.8, p. 188, and 9.2, p. 224. The expansion of the square root can be derived from the half-angle formula of trigonometry; see an equivalent formula at Lawrence & Zorzitto (2021), p. 440.

[14] Herstein (1986, pp. 236–237); Moise (1974, p. 224); Fraleigh (1994, pp. 426–427); Courant & Robbins (1996, Section III.1.1, "Construction of fields and square root extraction", pp. 120–122).

[15] Martin (1998, pp. 38–39); Courant & Robbins (1996, pp. 131–132).

[FOOTNOTEMartin1998Theorem_2.7,_p._35-16] Martin (1998), Theorem 2.7, p. 35.

[FOOTNOTEFraleigh1994429-17] Fraleigh (1994), p. 429.

[FOOTNOTERoman199559-18] Roman (1995), p. 59.

[FOOTNOTENeumann1998-19] 19.0 ^19.1 Neumann (1998).

[FOOTNOTERotman2006361-20] Rotman (2006), p. 361.

[FOOTNOTERotman2006362-21] Rotman (2006), p. 362.

[FOOTNOTEMartin1998Theorem_2.10,_p._37-22] Martin (1998), Theorem 2.10, p. 37.

[FOOTNOTEMartin199846-23] 23.0 ^23.1 Martin (1998), p. 46.

[FOOTNOTEStewart198951-24] Stewart (1989), p. 51.

[FOOTNOTEKlein18973-25] Klein (1897), p. 3.

[26] The description of these alternative solutions makes up much of the content of Knorr (1986).

[27] Klein (1897, p. 13); Fraleigh (1994, pp. 429–430)

[FOOTNOTECourantRobbins1996Section_III.3.1,_"Doubling_the_cube",_pp._134–135-28] Courant & Robbins (1996), Section III.3.1, "Doubling the cube", pp. 134–135.

[29] Fraleigh (1994, pp. 429–430); Courant & Robbins (1996, Section III.3.3, "Trisecting the angle", pp. 137–138)

[FOOTNOTEFraleigh1994429–430-30] Fraleigh (1994), pp. 429–430.

[31] ttps://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number#:~:text=a%20Fermat%20prime-,.%5B32%5D,-For%20a%20more

[FOOTNOTECourantRobbins1996Section_III.3.4_"The_regular_heptagon",_pp._138–139-32] Courant & Robbins (1996), Section III.3.4 "The regular heptagon", pp. 138–139.

[33] Neumann (1998). Elkin (1965) comes to the same conclusion using different points and a different polynomial.

[34] Plutarch, Quaestiones convivales VIII.ii Archived 2019-07-28 at the Wayback Machine, 718ef.

[FOOTNOTEKazarinoff200328-35] Kazarinoff (2003), p. 28.

[FOOTNOTEKnorr19864-36] Knorr (1986), p. 4.

[FOOTNOTEKnorr198615–17-37] Knorr (1986), pp. 15–17.

[FOOTNOTEFriedman20181–3-38] Friedman (2018), pp. 1–3.

[FOOTNOTEKazarinoff200329-39] Kazarinoff (2003), p. 29.

[FOOTNOTEKlein189716-40] Klein (1897), p. 16.

[FOOTNOTEKazarinoff200330-41] Kazarinoff (2003), p. 30.

[FOOTNOTEWantzel1837-42] Wantzel (1837).

[FOOTNOTEKlein1897Chapter_IV:_The_transcendence_of_the_number_<span_class="texhtml_mvar"_style="font-style:italic;">π</span>[[Category:_Templates_Vigyan_Ready]],_pp._68–77.-43] Klein (1897), Chapter IV: The transcendence of the number $π$ , pp. 68–77..

[44] Elkin (1965); see also Neumann (1998) for an independent solution with more of the history of the problem.

[FOOTNOTEBoyer200483–88-45] Boyer (2004), pp. 83–88.

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-''समुच्चय सिद्धांत के अर्थ में "संरचनात्मक" संख्याओं के लिए, रचनात्मक समष्टि देखें।''[[File:Square root of 2 triangle.svg|thumb|250px|[[2 का वर्गमूल]] एक समकोण त्रिभुज के [[कर्ण]] की लंबाई के बराबर होता है, जिसकी लंबाई 1 होती है और इसलिए यह एक रचनात्मक संख्या है]]ज्यामिति और बीजगणित में, एक वास्तविक संख्या आर रचनात्मक है यदि और केवल यदि, इकाई लंबाई का एक रेखा खंड दिया जाता है, लंबाई का एक रेखा खंड |r| परिमित संख्या में चरणों में दिक्सूचक और ऋजु कोर के साथ बनाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, r रचनात्मक है यदि और केवल यदि r के लिए केवल पूर्णांक और जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन और वर्गमूल के लिए संचालन का उपयोग करने के लिए एक संवृत रूप अभिव्यक्ति है।
+''समुच्चय सिद्धांत के अर्थ में "संरचनात्मक" संख्याओं के लिए, रचनात्मक समष्टि देखें।''[[File:Square root of 2 triangle.svg|thumb|250px|[[2 का वर्गमूल]] एक समकोण त्रिभुज के [[कर्ण]] की लंबाई के बराबर होता है, जिसकी लंबाई 1 होती है और इसलिए यह एक रचनात्मक संख्या है]]ज्यामिति और बीजगणित में, एक वास्तविक संख्या r '''रचनात्मक''' है यदि और केवल यदि, इकाई लंबाई का एक रेखा खंड दिया जाता है, लंबाई का एक रेखा खंड |r| परिमित संख्या में चरणों में दिक्सूचक और ऋजु कोर के साथ बनाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, r रचनात्मक है यदि और केवल यदि r के लिए केवल पूर्णांक और जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन और वर्गमूल के लिए संचालन का उपयोग करने के लिए एक संवृत रूप अभिव्यक्ति है।
-रचनात्मक संख्याओं की ज्यामितीय परिभाषा रचनात्मक बिंदुओं की इसी परिभाषा को प्रेरित करती है, जिसे पुनः या तो ज्यामितीय या बीजगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। एक बिंदु निर्माण योग्य है यदि इसे एक दिक्सूचक और ऋजु कोर के निर्माण के बिंदुओं में से एक के रूप में उत्पादित किया जा सकता है (एक रेखा खंड का अंत बिंदु या दो रेखाओं या मंडलों का प्रतिच्छेद बिंदु), किसी दिए गए इकाई लंबाई खंड से प्रारंभ होता है। वैकल्पिक रूप से और समतुल्य रूप से, दिए गए खंड के दो संवरण बिंदुओं को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अंक (0, 0) और (1, 0) के रूप में लेते हुए, एक बिंदु रचनात्मक होता है यदि और केवल यदि इसके कार्टेशियन निर्देशांक दोनों रचनात्मक संख्याएं हैं।<ref>{{harvtxt|Kazarinoff|2003|pages=10 & 15}}; {{harvtxt|Martin|1998}}, Corollary 2.16, p. 41.</ref> अन्य प्रक्रियाओं का उपयोग करके निर्मित की जा सकने वाली संख्याओं और बिंदुओं से उन्हें अलग करने के लिए रचनात्मक संख्याओं और बिंदुओं को मापक और दिक्सूचक संख्या और मापक और दिक्सूचक बिंदु भी कहा जाता है।{{sfnp|Martin|1998|pages=31–32}}
+रचनात्मक संख्याओं की ज्यामितीय परिभाषा रचनात्मक बिंदुओं की इसी परिभाषा को प्रेरित करती है, जिसे पुनः या तो ज्यामितीय या बीजगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। एक बिंदु रचनात्मक है यदि इसे एक दिक्सूचक और ऋजु कोर के संरचना के बिंदुओं में से एक के रूप में उत्पादित किया जा सकता है (एक रेखा खंड का अंत बिंदु या दो रेखाओं या वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु), किसी दिए गए इकाई लंबाई खंड से प्रारंभ होता है। वैकल्पिक रूप से और समतुल्य रूप से, दिए गए खंड के दो संवरण बिंदुओं को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अंक (0, 0) और (1, 0) के रूप में लेते हुए, एक बिंदु रचनात्मक होता है यदि और केवल यदि इसके कार्टेशियन निर्देशांक दोनों रचनात्मक संख्याएं हैं।<ref>{{harvtxt|Kazarinoff|2003|pages=10 & 15}}; {{harvtxt|Martin|1998}}, Corollary 2.16, p. 41.</ref> अन्य प्रक्रियाओं का उपयोग करके रचना की जा सकने वाली संख्याओं और बिंदुओं से उन्हें अलग करने के लिए रचनात्मक संख्याओं और बिंदुओं को मापक और दिक्सूचक संख्या और मापक और दिक्सूचक बिंदु भी कहा जाता है।{{sfnp|Martin|1998|pages=31–32}}
 रचनात्मक संख्याओं का समुच्चय एक क्षेत्र (बीजगणित) बनाता है: इस समुच्चय के सदस्यों के लिए चार मौलिक अंकगणितीय परिचालनों में से किसी एक को प्रयुक्त करने से एक और रचनात्मक संख्या उत्पन्न होती है। यह क्षेत्र परिमेय संख्याओं का एक क्षेत्र विस्तार है और बदले में [[बीजगणितीय संख्या]]ओं के क्षेत्र में निहित है।{{sfnp|Courant|Robbins|1996|loc=Section III.2.2, "All constructible numbers are algebraic", pp. 133–134}} यह परिमेय संख्याओं का यूक्लिडियन संवरण है, परिमेय संख्याओं का सबसे छोटा क्षेत्र विस्तार जिसमें इसकी सभी धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल सम्मिलित हैं।{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=46}}
-रचनात्मक संख्याओं की बीजगणितीय और ज्यामितीय परिभाषाओं के बीच समानता का प्रमाण प्राचीन ग्रीक गणित से कई प्रसिद्ध समस्याओं सहित, दिक्सूचक और ऋजु कोर के निर्माण के बारे में ज्यामितीय प्रश्नों को अमूर्त बीजगणित में बदलने का प्रभाव है। इन प्रश्नों के बीजगणितीय सूत्रीकरण ने प्रमाणों को उत्पन्न दिया कि उनके समाधान रचनात्मक नहीं हैं, उन्हीं समस्याओं के ज्यामितीय सूत्रीकरण के बाद सदियों के हमले को खारिज कर दिया।
+रचनात्मक संख्याओं की बीजगणितीय और ज्यामितीय परिभाषाओं के बीच समानता का प्रमाण प्राचीन ग्रीक गणित से कई प्रसिद्ध समस्याओं सहित, दिक्सूचक और ऋजु कोर के संरचना के बारे में ज्यामितीय प्रश्नों को अमूर्त बीजगणित में बदलने का प्रभाव है। इन प्रश्नों के बीजगणितीय सूत्रीकरण ने प्रमाणों को उत्पन्न दिया कि उनके समाधान रचनात्मक नहीं हैं, उन्हीं समस्याओं के ज्यामितीय सूत्रीकरण के बाद शतवर्ष के आक्षेप को अस्वीकृत कर दिया।
 == ज्यामितीय परिभाषाएँ ==
 === ज्यामितीय रूप से रचनात्मक बिंदु ===
-मान लीजिए <math>O</math> और <math>A</math> समतल (ज्यामिति) में दिए गए दो अलग-अलग बिंदु हों, और परिभाषित करें <math>S</math> उन बिंदुओं का समूह होना चाहिए जिन्हें दिक्सूचक और ऋजु कोर से प्रारंभ करके बनाया जा सकता है <math>O</math> और <math>A</math>. फिर के अंक <math>S</math> रचनात्मक बिंदु कहलाते हैं। <math>O</math> और <math>A</math> परिभाषा के अनुसार, के तत्व हैं <math>S</math>. के शेष तत्वों का अधिक परिशुद्ध वर्णन करने के लिए <math>S</math>, निम्नलिखित दो परिभाषाएँ बनाएँ:{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=10}}
+मान लीजिए <math>O</math> और <math>A</math> समतल (ज्यामिति) में दिए गए दो अलग-अलग बिंदु हों, और S को उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित करें जिन्हें O और A से प्रारंभ होने वाले दिकसूचक और ऋजु कोर के साथ बनाया जा सकता है। फिर S के बिंदुओं को रचनात्मक बिंदु कहा जाता है। O और A परिभाषा के अनुसार, S के तत्व हैं। S के शेष तत्वों का अधिक परिशुद्ध वर्णन करने के लिए, निम्नलिखित दो परिभाषाएँ बनाएं:{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=10}}
-* एक रेखा खंड जिसका संवरण बिंदु अंदर है <math>S</math> एक निर्मित खंड कहा जाता है, और
+* एक रेखा खंड जिसका समापन बिंदु S में है, एक रचना खंड कहलाता है, और
-* एक वृत्त जिसका केंद्र में है <math>S</math> और जो एक बिंदु से होकर गुजरता है <math>S</math> (वैकल्पिक रूप से, जिसकी त्रिज्या के विशिष्ट बिंदुओं के कुछ जोड़े के बीच की दूरी है <math>S</math>) एक निर्मित सर्कल कहा जाता है।
+* एक वृत्त जिसका केंद्र <math>S</math> में है और जो <math>S</math> के एक बिंदु से होकर गुजरता है (वैकल्पिक रूप से, जिसकी त्रिज्या <math>S</math> के कुछ विशिष्ट बिंदुओं के बीच की दूरी है) एक रचना वृत्त कहलाता है।
-फिर, के अंक <math>S</math>, अलावा <math>O</math> और <math>A</math> हैं:{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=10}}{{sfnp|Martin|1998|loc=Definition 2.1, pp. 30–31}}
+फिर, <math>A</math> और <math>O</math> के अतिरिक्त <math>S</math> के बिन्दु हैं:{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=10}}{{sfnp|Martin|1998|loc=Definition 2.1, pp. 30–31}}
-* दो गैर-समानांतर निर्मित खंडों का रेखा-रेखा चौराहा, या निर्मित खंडों के माध्यम से रेखाएँ,
+* दो गैर-समानांतर रचना खंडों का प्रतिच्छेदन, या रचना खंडों के माध्यम से रेखाएँ,
-* एक निर्मित वृत्त और एक निर्मित खंड के प्रतिच्छेदन बिंदु, या एक निर्मित खंड के माध्यम से रेखा, या
+* रचना वृत्त और एक रचना खंड के प्रतिच्छेदन बिंदु, या एक रचना खंड के माध्यम से रेखा, या
-* दो अलग-अलग निर्मित वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु।
+* दो अलग-अलग रचना वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु।
-उदाहरण के रूप मे, निर्मित खंड का मध्यबिंदु <math>OA</math> एक निर्माण बिंदु है। इसके लिए एक निर्माण दो मंडलों का निर्माण करना है <math>OA</math> त्रिज्या के रूप में, और इन दो मंडलियों के दो क्रॉसिंग बिंदुओं के माध्यम से रेखा। फिर खंड का मध्यबिंदु <math>OA</math> वह बिंदु है जहां इस खंड को निर्मित रेखा द्वारा पार किया जाता है।<ref>This construction for the midpoint is given in Book I, Proposition 10 of [[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']].</ref>
+उदाहरण के रूप मे, रचना खंड का मध्यबिंदु <math>OA</math> एक रचनात्मक बिंदु है। इसके लिए एक रचना <math>OA</math> को त्रिज्या के साथ दो वृत्तों का निर्माण करना है, और इन दो वृत्तों के दो प्रतिच्छेद बिंदुओं के माध्यम से रेखा बनाना है। तब खंड का मध्यबिंदु <math>OA</math> वह बिंदु होता है जहां इस खंड को निर्मित रेखा द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है।<ref>This construction for the midpoint is given in Book I, Proposition 10 of [[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']].</ref>
 === ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्या ===
-ज्यामितीय फॉर्मूलेशन के लिए प्रारंभिक जानकारी का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसमें बिंदु <math>O</math> निर्देशांक वाले मूल से जुड़ा है <math>(0,0)</math> और किस बिंदु पर <math>A</math> निर्देशांकों से जुड़ा है <math>(1, 0)</math>. के अंक <math>S</math> अब एक रचनात्मक संख्या को एक रचनात्मक बिंदु के समन्वय के रूप में परिभाषित करके ज्यामिति और बीजगणित को जोड़ने के लिए उपयोग किया जा सकता है।{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=18}}
+ज्यामितीय सूत्रीकरण के लिए प्रारंभिक जानकारी का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसमें बिंदु <math>O</math> निर्देशांक (0,0) वाले मूल से जुड़ा होता है और जिसमें बिंदु <math>A</math> निर्देशांक (1,0) से जुड़ा होता है। <math>S</math> के बिंदुओं का उपयोग अब ज्यामिति और बीजगणित को जोड़ने के लिए किया जा सकता है, एक रचनात्मक संख्या को एक रचनात्मक बिंदु के निर्देशांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=18}}
-समतुल्य परिभाषाएं हैं कि एक रचनात्मक संख्या है <math>x</math>-एक रचनात्मक बिंदु का समन्वय <math>(x,0)</math>{{sfnp|Martin|1998|loc=Definition 2.1, pp. 30–31}} या एक रचनात्मक रेखा खंड की लंबाई।<ref>{{harvtxt|Herstein|1986|page=237}}. To use the length-based definition, it is necessary to include the number zero as a constructible number, as a special case.</ref> इस तुल्यता की एक दिशा में, यदि एक रचनात्मक बिंदु के निर्देशांक हैं <math>(x,y)</math>, फिर बिंदु <math>(x,0)</math> पर इसके लंबवत प्रक्षेपण के रूप में निर्मित किया जा सकता है <math>x</math>-अक्ष, और मूल से इस बिंदु तक के खंड की लंबाई है <math>x</math>. यदि विपरीत दिशा में <math>x</math> एक रचनात्मक रेखा खंड की लंबाई है, फिर प्रतिच्छेद करती है <math>x</math>-अक्ष पर केन्द्रित एक वृत्त के साथ <math>O</math> त्रिज्या के साथ <math>x</math> बात देता है <math>(x,0)</math>. इस तुल्यता से यह पता चलता है कि प्रत्येक बिंदु जिसका कार्तीय निर्देशांक ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्याएं हैं, स्वयं एक ज्यामितीय रूप से निर्माण योग्य बिंदु है। कबके लिए <math>x</math> और <math>y</math> ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्याएँ हैं, बिंदु <math>(x,y)</math> के माध्यम से लाइनों के चौराहे के रूप में बनाया जा सकता है <math>(x,0)</math> और <math>(0,y)</math>, समन्वय अक्षों के लंबवत।<ref>{{harvtxt|Moise|1974}}, p. 227; {{harvtxt|Martin|1998}}, Theorem 2.4, p. 33.</ref>
+समतुल्य परिभाषाएं हैं कि एक रचनात्मक संख्या एक रचनात्मक बिंदु <math>(x,0)</math>{{sfnp|Martin|1998|loc=Definition 2.1, pp. 30–31}} रचनात्मक रेखा खंड की लंबाई का x समन्वय है।<ref>{{harvtxt|Herstein|1986|page=237}}. To use the length-based definition, it is necessary to include the number zero as a constructible number, as a special case.</ref> इस तुल्यता की एक दिशा में, यदि एक रचनात्मक बिंदु में निर्देशांक <math>(x,y)</math> है, तो बिंदु <math>(x,0)</math> को x-अक्ष पर इसके लंबवत प्रक्षेपण के रूप में बनाया जा सकता है, और मूल से इस बिंदु तक के खंड की लंबाई <math>x</math> है। यदि विपरीत दिशा में <math>x</math> एक रचनात्मक रेखा खंड की लंबाई है, तो <math>x</math>-अक्ष को त्रिज्या <math>x</math> के साथ <math>O</math> पर केन्द्रित एक वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करने पर बिन्दु <math>(x,0)</math> देता है। इस तुल्यता से यह पता चलता है कि प्रत्येक बिंदु जिसका कार्तीय निर्देशांक ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्याएं हैं, स्वयं एक ज्यामितीय रूप से रचनात्मक बिंदु है। जब <math>x</math> और <math>y</math> ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्याएँ हैं, बिंदु <math>(x,y)</math> को निर्देशांक अक्षों के लंबवत <math>(x,0)</math> और <math>(0,y)</math> के माध्यम से रेखाओं के प्रतिच्छेदन के रूप में बनाया जा सकता है।<ref>{{harvtxt|Moise|1974}}, p. 227; {{harvtxt|Martin|1998}}, Theorem 2.4, p. 33.</ref>
-== बीजगणितीय परिभाषाएँ ==
+== बीजगणितीय परिभाषाए ==
 === बीजगणितीय रूप से रचनात्मक संख्या ===
-बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याएं वास्तविक संख्याओं का सबसेट होती हैं जिन्हें सूत्रों द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो योग, घटाव, गुणा, गुणात्मक उलटा, और धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल के संक्रियक का उपयोग करके पूर्णांक को जोड़ते हैं। और भी सरलता से, इन सूत्रों को लंबा बनाने की कीमत पर, इन सूत्रों में पूर्णांकों को केवल 0 और 1 तक ही सीमित रखा जा सकता है।{{sfnp|Martin|1998|pages=36–37}} उदाहरण के लिए, 2 का वर्गमूल रचनात्मक है, क्योंकि इसे सूत्रों द्वारा वर्णित किया जा सकता है <math>\sqrt2</math> या <math>\sqrt{1+1}</math>.
+बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याएं वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय होती हैं जिन्हें सूत्रों द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो योग, घटाव, गुणा, गुणात्मक व्युत्क्रम, और धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल के संक्रियक का उपयोग करके पूर्णांक को जोड़ते हैं। इससे भी अधिक सरलता से, इन सूत्रों को लंबा बनाने की कीमत पर, इन सूत्रों में पूर्णांकों को केवल 0 और 1 तक सीमित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 2 का वर्गमूल रचनात्मक है, क्योंकि इसे सूत्र <math>\sqrt2</math> या <math>\sqrt{1+1}</math> द्वारा वर्णित किया जा सकता है।
-समान रूप से, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]]एं सम्मिश्र संख्याओं का उपसमुच्चय होती हैं, जिसमें समान प्रकार के सूत्र होते हैं, वर्गमूल के अधिक सामान्य संस्करण का उपयोग करते हुए जो धनात्मक संख्याओं तक सीमित नहीं है, बल्कि इसके तर्क के रूप में मनमाने ढंग से सम्मिश्र संख्याओं को ले सकता है, और उत्पादन करता है इसके तर्क की सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल#मुख्य वर्गमूल। वैकल्पिक रूप से, सम्मिश्र संख्याओं की एक ही प्रणाली को उन सम्मिश्र संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों रचनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।{{sfnp|Roman|1995|page=207}} उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या <math>i</math> सूत्र हैं <math>\sqrt{-1}</math> या <math>\sqrt{0-1}</math>, और इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग क्रमशः 0 और 1 निर्माण संख्या हैं।
+समान रूप से, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं का उपसमुच्चय होती हैं, जिसमें समान प्रकार के सूत्र होते हैं, वर्गमूल के अधिक सामान्य संस्करण का उपयोग करते हुए जो धनात्मक संख्याओं तक सीमित नहीं है, बल्कि इसके तर्क के रूप में अव्यवस्थिततः से सम्मिश्र संख्याओं को ले सकता है, और उत्पादन करता है इसके तर्क की सम्मिश्र संख्या के वर्गमूल का उत्पादन करता है। वैकल्पिक रूप से, सम्मिश्र संख्याओं की समान प्रणाली को उन सम्मिश्र संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों रचनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।{{sfnp|Roman|1995|page=207}} उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या <math>i</math> सूत्र <math>\sqrt{-1}</math> या <math>\sqrt{0-1}</math> हैं, और इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग क्रमशः 0 और 1 रचनात्मक संख्या हैं।
-रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं की ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं।<ref name=lz440>{{harvtxt|Lawrence|Zorzitto|2021}}, [https://books.google.com/books?id=-koyEAAAQBAJ&pg=PA440 p. 440].</ref> एक दिशा में, यदि <math>q=x+iy</math> एक सम्मिश्र संख्या है जिसका वास्तविक भाग है <math>x</math> और काल्पनिक हिस्सा <math>y</math> दोनों रचनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, फिर प्रतिस्थापित कर रहे हैं <math>x</math> और <math>y</math> बड़े फार्मूले के भीतर उनके फार्मूले द्वारा <math>x+y\sqrt{-1}</math> के लिए सूत्र बनाता है <math>q</math> एक सम्मिश्र संख्या के रूप में। दूसरी दिशा में, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्या के लिए किसी भी सूत्र को उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के लिए सूत्रों में परिवर्तित किया जा सकता है, सूत्र में प्रत्येक ऑपरेशन को उसके तर्कों के वास्तविक और काल्पनिक भागों पर पुनरावर्ती रूप से विस्तारित करके, विस्तार का उपयोग करके<ref>For the addition and multiplication formula, see {{harvtxt|Kay|2021}}, Theorem 8.1.10, p. 187. For the division formula, see {{harvtxt|Kay|2021}}, Equations 8.8, p. 188, and 9.2, p. 224. The expansion of the square root can be derived from the [[half-angle formula]] of trigonometry; see an equivalent formula at {{harvtxt|Lawrence|Zorzitto|2021}}, [https://books.google.com/books?id=-koyEAAAQBAJ&pg=PA440 p. 440].</ref>
+रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं की ये दो परिभाषाएँ समान हैं।<ref name=lz440>{{harvtxt|Lawrence|Zorzitto|2021}}, [https://books.google.com/books?id=-koyEAAAQBAJ&pg=PA440 p. 440].</ref> एक दिशा में, यदि <math>q=x+iy</math> एक सम्मिश्र संख्या है जिसका वास्तविक भाग <math>x</math> काल्पनिक भाग y दोनों रचनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो बड़े सूत्र के अंदर x और y को उनके सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापित करने पर <math>x+y\sqrt{-1}</math> एक सम्मिश्र संख्या के रूप में q के लिए एक सूत्र उत्पन्न करता है। दूसरी दिशा में, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्या के लिए किसी भी सूत्र को उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के लिए सूत्रों में परिवर्तित किया जा सकता है, सूत्र में प्रत्येक संक्रियक को पुनरावर्ती रूप से विस्तार का उपयोग करके इसके तर्कों के वास्तविक और काल्पनिक भागों पर संचालन में विस्तारित किया जा सकता है।<ref>For the addition and multiplication formula, see {{harvtxt|Kay|2021}}, Theorem 8.1.10, p. 187. For the division formula, see {{harvtxt|Kay|2021}}, Equations 8.8, p. 188, and 9.2, p. 224. The expansion of the square root can be derived from the [[half-angle formula]] of trigonometry; see an equivalent formula at {{harvtxt|Lawrence|Zorzitto|2021}}, [https://books.google.com/books?id=-koyEAAAQBAJ&pg=PA440 p. 440].</ref>
 *<math>(a+ib)\pm (c+id)=(a \pm c)+i(b \pm d)</math>
 *<math>(a+ib)(c+id)=(ac-bd) + i(ad+bc)</math>
@@ Line 42: / Line 41: @@
 *<math>\sqrt{a+ib} = \frac{(a+r)\sqrt{r}}{s} + i\frac{b\sqrt{r}}{s}</math>, कहाँ <math>r=\sqrt{a^2+b^2{}_{\!}}</math> और <math>s=\sqrt{(a+r)^2+b^2}</math>.
-=== बीजगणितीय रूप से रचनात्मक बिंदु ===
+=== बीजगणितीय रूप से बिंदु ===
-बीजगणितीय रूप से रचनात्मक बिंदुओं को उन बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके दो वास्तविक कार्टेशियन निर्देशांक बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। वैकल्पिक रूप से, उन्हें बीजीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं द्वारा दिए गए [[जटिल विमान|सम्मिश्र विमान]] में बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। बीजगणितीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं के लिए दो परिभाषाओं के बीच समानता से, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक बिंदुओं की ये दो परिभाषाएं भी समकक्ष हैं।<ref name=lz440/>
+बीजगणितीय रूप से रचनात्मक बिंदुओं को उन बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके दो वास्तविक कार्टेशियन निर्देशांक बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। वैकल्पिक रूप से, उन्हें बीजीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं द्वारा दिए गए [[जटिल विमान|सम्मिश्र तल]] में बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। बीजगणितीय रूप से रचनात्मक सम्मिश्र संख्याओं के लिए दो परिभाषाओं के बीच समानता से, बीजगणितीय रूप से रचनात्मक बिंदुओं की ये दो परिभाषाएं भी समकक्ष हैं।<ref name=lz440/>
 == बीजगणितीय और ज्यामितीय परिभाषाओं की समानता ==
-यदि <math>a</math> और <math>b</math> ज्यामितीय रूप से निर्मित खंडों की गैर-शून्य लंबाई हैं तो लंबाई के निर्मित खंडों को प्राप्त करने के लिए प्राथमिक दिक्सूचक और सीधा निर्माण का उपयोग किया जा सकता है <math>a+b</math>, <math>|a-b|</math>, <math>ab</math>, और <math>a/b</math>. बाद वाले दो को [[अवरोधन प्रमेय]] के आधार पर निर्माण के साथ किया जा सकता है। इन उपकरणों का उपयोग करते हुए थोड़ा कम प्रारंभिक निर्माण [[ज्यामितीय माध्य प्रमेय]] पर आधारित है और लंबाई के एक खंड का निर्माण करेगा <math>\sqrt{a}</math> लंबाई के एक निर्मित खंड से <math>a</math>. यह इस प्रकार है कि संख्या के लिए एक सूत्र को संख्या के लिए एक निर्माण में अनुवाद करने के लिए इन तकनीकों का उपयोग करके, प्रत्येक बीजगणितीय रूप से निर्माण योग्य संख्या ज्यामितीय रूप से निर्माण योग्य है।<ref>{{harvtxt|Herstein|1986|pp=236–237}}; {{harvtxt|Moise|1974|p=224}}; {{harvtxt|Fraleigh|1994|pp=426–427}}; {{harvtxt|Courant|Robbins|1996|loc=Section III.1.1, "Construction of fields and square root extraction", pp. 120–122}}.</ref>
+यदि <math>a</math> और <math>b</math> ज्यामितीय रूप से रचना खंडों की गैर-शून्य लंबाई हैं तो लंबाई के रचना खंडों को प्राप्त करने के लिए प्राथमिक दिक्सूचक और <math>a+b</math>, <math>|a-b|</math>, <math>ab</math>, और <math>a/b</math> प्रत्यक्ष संरचम का उपयोग किया जा सकता है। बाद के दो को अंतःखंड प्रमेय के आधार पर निर्माण के साथ किया जा सकता है। इन उपकरणों का उपयोग करते हुए अल्प कम प्रारंभिक रचना ज्यामितीय माध्य प्रमेय पर आधारित है और लंबाई <math>a</math> के रचना खंड से लंबाई <math>\sqrt{a}</math> के एक खंड का निर्माण करेगा। यह इस प्रकार है कि संख्या के लिए एक सूत्र को संख्या के लिए एक संरचना में स्थानातरण करने के लिए इन तकनीकों का उपयोग करके, प्रत्येक बीजीय रूप से रचनात्मक संख्या ज्यामितीय रूप से रचनात्मक है।<ref>{{harvtxt|Herstein|1986|pp=236–237}}; {{harvtxt|Moise|1974|p=224}}; {{harvtxt|Fraleigh|1994|pp=426–427}}; {{harvtxt|Courant|Robbins|1996|loc=Section III.1.1, "Construction of fields and square root extraction", pp. 120–122}}.</ref>
-{{multiple image|total_width=720|align=center|header=Compass and straightedge constructions for constructible numbers
+{{multiple image|total_width=720|align=केंद्र|header=रचनात्मक संख्याओं के लिए  दिक्सूचक और ऋजु कोर रचना
-|image1=Number construction multiplication.svg|caption1=<math>ab</math> based on the intercept theorem
+|image1=Number construction multiplication.svg|caption1=<math>ab</math> अंतःखंड प्रमेय के आधार पर
-|image2=Number construction division.svg|caption2=<math>\frac{a}{b} </math> based on the intercept theorem
+|image2=Number construction division.svg|caption2=<math>\frac{a}{b} </math> अंतःखंड प्रमेय के आधार पर
-|image3=Root_construction_geometric_mean5.svg|caption3=<math>\sqrt{p}</math> based on the geometric mean theorem}}
+|image3=Root_construction_geometric_mean5.svg|caption3=<math>\sqrt{p}</math> ज्यामितीय माध्य प्रमेय के आधार पर}}
-दूसरी दिशा में, ज्यामितीय वस्तुओं का एक समुच्चय बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है: अंक, ढलान और के लिए निर्देशांक <math>y</math>-रेखाओं के लिए अवरोधन, और मंडलियों के लिए केंद्र और त्रिज्या। दिक्सूचक-एंड-स्ट्रेटेज निर्माण के एक चरण में जोड़े जा सकने वाले प्रत्येक अतिरिक्त ऑब्जेक्ट के लिए, केवल अंकगणित और वर्गमूल का उपयोग करके, इन मूल्यों के संदर्भ में सूत्र विकसित करना संभव (लेकिन थकाऊ) है। इन सूत्रों से यह पता चलता है कि प्रत्येक ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्या बीजगणितीय रूप से रचनात्मक होती है।<ref>{{harvtxt|Martin|1998|pp=38–39}}; {{harvtxt|Courant|Robbins|1996|pp=131–132}}.</ref>
+दूसरी दिशा में, ज्यामितीय वस्तुओं का एक समुच्चय बीजगणितीय रूप से रचनात्मक वास्तविक संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है: बिंदुओं के लिए निर्देशांक, रेखाओं के लिए समतल और y -अंतःखंड, और वृत्तों के लिए केंद्र और त्रिज्या पर निर्दिष्ट की जाती है। दिक्सूचक-और ऋजु कोर संरचना के एक चरण में जोड़े जा सकने वाले प्रत्येक अतिरिक्त वस्तु के लिए, केवल अंकगणित और वर्गमूल का उपयोग करके, इन मानो के संदर्भ में सूत्र विकसित करना संभव (लेकिन स्थायी ) है। इन सूत्रों से यह पता चलता है कि प्रत्येक ज्यामितीय रूप से निर्मित संख्या बीजगणितीय रूप से रचनात्मक होती है।<ref>{{harvtxt|Martin|1998|pp=38–39}}; {{harvtxt|Courant|Robbins|1996|pp=131–132}}.</ref>
 == बीजगणितीय गुण ==
-बीजगणितीय रूप से रचनात्मक संख्याओं की परिभाषा में इनमें से किसी भी संख्या का योग, अंतर, उत्पाद और गुणात्मक व्युत्क्रम सम्मिलित है, वही संक्रियक जो सार बीजगणित में एक क्षेत्र (बीजगणित) को परिभाषित करते हैं। इस प्रकार, रचनात्मक संख्याएं (उपर्युक्त किसी भी तरीके से परिभाषित) एक क्षेत्र बनाती हैं। अधिक विशेष रूप से, रचनात्मक वास्तविक संख्या एक [[यूक्लिडियन क्षेत्र]] बनाती है, एक आदेशित क्षेत्र जिसमें इसके प्रत्येक धनात्मक तत्व का वर्ग रूट होता है।{{sfnp|Martin|1998|loc=Theorem 2.7, p. 35}} इस क्षेत्र और इसके उपक्षेत्रों के गुणों की जांच करने से एक संख्या के निर्माण योग्य होने की आवश्यक शर्तें बनती हैं, जिसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि शास्त्रीय ज्यामितीय निर्माण समस्याओं में उत्पन्न होने वाली विशिष्ट संख्याएँ रचनात्मक नहीं हैं।
+बीजगणितीय रूप से रचनात्मक संख्याओं की परिभाषा में इनमें से किसी भी संख्या का योग, अंतर, गुणन और गुणात्मक व्युत्क्रम सम्मिलित है, वही संक्रियक जो अमूर्त बीजगणित में एक क्षेत्र (बीजगणित) को परिभाषित करते हैं। इस प्रकार, रचनात्मक संख्याएं (उपर्युक्त किसी भी तरीके से परिभाषित) एक क्षेत्र बनाती हैं। अधिक विशेष रूप से, रचनात्मक वास्तविक संख्या एक [[यूक्लिडियन क्षेत्र]] बनाती है, एक क्रमित क्षेत्र जिसमें इसके प्रत्येक धनात्मक तत्व का वर्गमूल होता है।{{sfnp|Martin|1998|loc=Theorem 2.7, p. 35}} इस क्षेत्र और इसके उपक्षेत्रों के गुणों की जांच करने से एक संख्या के रचनात्मक होने की आवश्यक शर्तें बनती हैं, जिसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि उत्कृष्ट ज्यामितीय रचना समस्याओं में उत्पन्न होने वाली विशिष्ट संख्याएँ रचनात्मक नहीं हैं।
-रचनात्मक संख्याओं के पूरे क्षेत्र के स्थान पर उपक्षेत्र पर विचार करना सुविधाजनक है <math>\mathbb{Q}(\gamma)</math> किसी भी रचनात्मक संख्या द्वारा उत्पन्न <math>\gamma</math>, और के बीजगणितीय निर्माण का उपयोग करने के लिए <math>\gamma</math> इस क्षेत्र को विघटित करने के लिए। यदि <math>\gamma</math> एक रचनात्मक वास्तविक संख्या है, तो इसे बनाने वाले सूत्र के भीतर होने वाले मान वास्तविक संख्याओं के परिमित अनुक्रम का उत्पादन करने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं <math>\alpha_1,\dots, a_n=\gamma</math> ऐसा है कि, प्रत्येक के लिए <math>i</math>, <math>\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,a_i)</math> का [[बीजगणितीय विस्तार]] है <math>\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,a_{i-1})</math> डिग्री 2 की।{{sfnp|Fraleigh|1994|page=429}} थोड़ी अलग शब्दावली का प्रयोग करते हुए, एक वास्तविक संख्या रचनात्मक होती है यदि और केवल तभी जब वह वास्तविक [[द्विघात विस्तार]] के क्षेत्रों के परिमित टॉवर के शीर्ष पर एक क्षेत्र में स्थित हो,
+रचनात्मक संख्याओं के पूरे क्षेत्र के स्थान पर, उपक्षेत्र <math>\mathbb{Q}(\gamma)</math> पर विचार करना सुविधाजनक है, जो किसी भी रचनात्मक संख्या <math>\gamma</math> द्वारा उत्पन्न होता है, और इसे विघटित करने के लिए <math>\gamma</math> के बीजगणितीय निर्माण का उपयोग करना यदि <math>\gamma</math> तो इसे बनाने वाले सूत्र के अंदर होने वाले मानों का उपयोग वास्तविक संख्याओं के परिमित अनुक्रम <math>\alpha_1,\dots, a_n=\gamma</math> को उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है जैसे कि, प्रत्येक <math>i</math> के लिए <math>\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,a_i)</math> का <math>\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,a_{i-1})</math> वर्ग 2 का [[बीजगणितीय विस्तार]] है।{{sfnp|Fraleigh|1994|page=429}} आंशिक अलग शब्दावली का प्रयोग करते हुए, एक वास्तविक संख्या रचनात्मक होती है यदि और केवल तभी जब वह वास्तविक [[द्विघात विस्तार]] के क्षेत्रों के परिमित स्तम्भ के शीर्ष पर एक क्षेत्र में स्थित हो,
 <math display=block>\mathbb{Q} = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_n,</math>
-तर्कसंगत क्षेत्र से प्रारंभ <math>\mathbb{Q}</math> कहाँ <math>\gamma</math> में है <math>K_n</math> और सभी के लिए <math>0< j\le n</math>, <math>[K_j:K_{j-1}]=2</math>.{{sfnp|Roman|1995|page=59}} यह इस अपघटन से इस प्रकार है कि [[एक क्षेत्र विस्तार की डिग्री]] <math>[\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]</math> है <math>2^r</math>, कहाँ <math>r</math> द्विघात विस्तार चरणों की संख्या की गणना करता है।{{sfnp|Neumann|1998}}
+परिमेय क्षेत्र से से प्रारंभ करते हुए <math>\mathbb{Q}</math> जहाँ <math>\gamma</math> में है और <math>K_n</math> सभी <math>0< j\le n</math>, <math>[K_j:K_{j-1}]=2</math> के लिए है{{sfnp|Roman|1995|page=59}} यह इस अपघटन से इस प्रकार है कि [[एक क्षेत्र विस्तार की डिग्री|एक क्षेत्र विस्तार]] <math>[\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]</math> की घात <math>2^r</math> है, जहाँ <math>r</math> द्विघात विस्तार चरणों की संख्या की गणना करता है।{{sfnp|Neumann|1998}}
-वास्तविक मामले के अनुरूप, एक सम्मिश्र संख्या रचनात्मक होती है यदि और केवल यदि यह सम्मिश्र द्विघात विस्तार के परिमित टॉवर के शीर्ष पर एक क्षेत्र में स्थित है।{{sfnp|Rotman|2006|page=361}} ज्यादा ठीक, <math>\gamma</math> निर्माण योग्य है यदि और केवल यदि वहाँ खेतों का एक टॉवर सम्मिलित है
+वास्तविक स्थिति के अनुरूप, एक सम्मिश्र संख्या रचनात्मक होती है यदि और केवल यदि यह सम्मिश्र द्विघात विस्तार के परिमित स्तम्भ के शीर्ष पर एक क्षेत्र में स्थित है।{{sfnp|Rotman|2006|page=361}} अकधीक परिशुद्ध रूप से, <math>\gamma</math> रचनात्मक है यदि और केवल यदि वहाँ क्षेत्रों का एक स्तम्भ सम्मिलित है
 <math display=block>\mathbb{Q} = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_n,</math>
-कहाँ <math>\gamma</math> में है <math>F_n</math>, और सभी के लिए <math>0<j\le n</math>, <math>[F_j:F_{j-1}]= 2</math>. इस लक्षण वर्णन और वास्तविक रचनात्मक संख्याओं के बीच का अंतर केवल इतना है कि इस टावर के क्षेत्र वास्तविक होने तक ही सीमित नहीं हैं। नतीजतन, यदि एक सम्मिश्र संख्या <math>\gamma</math> रचनात्मक है, तो <math>[\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]</math> दो की शक्ति है। हालाँकि, यह आवश्यक शर्त पर्याप्त नहीं है: ऐसे क्षेत्र विस्तार सम्मिलित हैं जिनकी डिग्री दो की शक्ति है जिसे द्विघात विस्तार के अनुक्रम में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है।{{sfnp|Rotman|2006|page=362}}
+जहाँ <math>\gamma</math> में <math>F_n</math>, और सभी <math>0<j\le n</math>, <math>[F_j:F_{j-1}]= 2</math> के लिए है। इस निरूपण और वास्तविक रचनात्मक संख्याओं के बीच का अंतर केवल इतना है कि इस स्तम्भ के क्षेत्र वास्तविक होने तक ही सीमित नहीं हैं। परिणामस्वरूप, यदि एक सम्मिश्र संख्या <math>\gamma</math> रचनात्मक है, तो <math>[\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]</math> दो की घात है। हालाँकि, यह आवश्यक शर्त पर्याप्त नहीं है: ऐसे क्षेत्र विस्तार सम्मिलित हैं जिनकी घात दो की घात है जिसे द्विघात विस्तार के अनुक्रम में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है।{{sfnp|Rotman|2006|page=362}}
-के द्विघात विस्तार के टावरों से इस तरह से उत्पन्न किए जा सकने वाले क्षेत्र <math>\mathbb{Q}</math> के पुनरावर्तित द्विघात विस्तार कहलाते हैं <math>\mathbb{Q}</math>. वास्तविक और सम्मिश्र रचनात्मक संख्याओं के क्षेत्र सभी वास्तविक या सम्मिश्र पुनरावृत्त द्विघात एक्सटेंशन के संघ हैं <math>\mathbb{Q}</math>.{{sfnp|Martin|1998|loc=Theorem 2.10, p. 37}}
+के द्विघात विस्तार के स्तम्भ से इस तरह से उत्पन्न किए जा सकने वाले क्षेत्र <math>\mathbb{Q}</math> के पुनरावर्तित द्विघात विस्तार <math>\mathbb{Q}</math> कहलाते हैं। वास्तविक और सम्मिश्र रचनात्मक संख्याओं के क्षेत्र सभी वास्तविक या सम्मिश्र पुनरावृत्त द्विघात विस्तार के <math>\mathbb{Q}</math> संयोजन है।{{sfnp|Martin|1998|loc=Theorem 2.10, p. 37}}
 == त्रिकोणमितीय संख्या ==
-{{main|Trigonometric number}}
+{{main|त्रिकोणमितीय संख्या}}
-[[त्रिकोणमितीय संख्या]]एँ कोणों की कोसाइन या साइन होती हैं जो कि परिमेय गुणज होती हैं <math>\pi</math>. ये संख्याएं हमेशा बीजगणितीय होती हैं, लेकिन ये रचनात्मक नहीं हो सकती हैं। कोसाइन या कोण की ज्या <math>2\pi/n</math> केवल कुछ विशेष संख्याओं के लिए रचनात्मक है <math>n</math>:{{sfnp|Martin|1998|p=46}}
+[[त्रिकोणमितीय संख्या]]एँ कोणों की कोसाइन या साइन होती हैं जो कि परिमेय गुणज <math>\pi</math> होती हैं। ये संख्याएं सदैव बीजगणितीय होती हैं, लेकिन ये रचनात्मक नहीं हो सकती हैं। कोसाइन या कोण की ज्या <math>2\pi/n</math> केवल कुछ विशेष संख्याओं के लिए रचनात्मक <math>n</math> है:{{sfnp|Martin|1998|p=46}}
-* [[दो की शक्ति]]
+* [[दो की शक्ति|दो की घात]]
-* [[फर्मेट प्राइम]]्स, अभाज्य संख्याएँ जो एक से अधिक दो की शक्ति हैं
+* फर्मा अभाज्य, अभाज्य संख्याएँ जो एक से अधिक दो की घात हैं
-* दो और अलग फर्मेट प्राइम्स की शक्तियों के उत्पाद।
+* दो और अलग फर्मा अभाज्य की घातों के गुणन।
-इस प्रकार, उदाहरण के लिए, <math>\cos(\pi/15)</math> रचनात्मक है क्योंकि 15 दो फर्मेट प्राइम्स, 3 और 5 का उत्पाद है।
+इस प्रकार, उदाहरण के लिए, <math>\cos(\pi/15)</math> रचनात्मक है क्योंकि 15 दो फर्मा अभाज्य, 3 और 5 का गुणन है।
-== असंभव निर्माण ==
+== असंभव रचना ==
 {{multiple image|total_width=600
-|image1=01-Würfelverdoppelung-Menaichmos-1.svg|caption1=A cube and its double
+|image1=01-Würfelverdoppelung-Menaichmos-1.svg|caption1=एक घन और उसका द्विक
-|image2=01 Dreiteilung-Winkel Einleitungsbild.svg|caption2=An angle and its trisection
+|image2=01 Dreiteilung-Winkel Einleitungsbild.svg|caption2=एक कोण और उसका त्रिभुज
-|image3=SquareCircle.svg|caption3=Circle and square with equal areas}}
+|image3=SquareCircle.svg|caption3=समान क्षेत्रफल वाले वृत्त और वर्ग}}
-प्राचीन यूनान ने सोचा था कि स्ट्रेटेज और दिक्सूचक निर्माण की कुछ समस्याएं जिन्हें वे हल नहीं कर सकते थे, वे केवल अड़ियल थीं, अघुलनशील नहीं।{{sfnp|Stewart|1989|page=51}} हालांकि, कुछ संख्याओं की अरचनात्मकता यह प्रमाणित करती है कि इन निर्माणों को निष्पादित करना तार्किक रूप से असंभव है।{{sfnp|Klein|1897|p=3}} (समस्याएं स्वयं, हालांकि, उन तरीकों का उपयोग करके हल करने योग्य हैं जो केवल सीधा और दिक्सूचक के साथ काम करने की बाधा से परे हैं, और यूनानी जानते थे कि उन्हें इस तरह से कैसे हल किया जाए। ऐसा ही एक उदाहरण है आर्किमिडीज। आर्किमिडीज का [[न्यूसिस निर्माण]] समाधान कोण त्रिभाजन की समस्या।)<ref>The description of these alternative solutions makes up much of the content of {{harvtxt|Knorr|1986}}.</ref>
+प्राचीन यूनान ने सोचा था कि ऋजुकोर और दिक्सूचक रचना की कुछ समस्याएं जिन्हें वे हल नहीं कर सकते थे, वे केवल अचर थीं, न कि हल करने योग्य थी।{{sfnp|Stewart|1989|page=51}} हालांकि, कुछ संख्याओं की अरचनात्मकता यह प्रमाणित करती है कि इन निर्माणों को निष्पादित करना तार्किक रूप से असंभव है।{{sfnp|Klein|1897|p=3}} हालांकि, समस्याएं स्वयं उन तरीकों का उपयोग करके हल करने योग्य हैं जो केवल ऋजुकोर और दिक्सूचक के साथ काम करने की बाध्यता से अधिकतम हैं, और यूनानी जानते थे कि उन्हें इस तरह से कैसे हल किया जाए। ऐसा ही एक उदाहरण है आर्किमिडीज़ नेउसिस कोण त्रिभाजन की समस्या का निर्माण समाधान होता है।<ref>The description of these alternative solutions makes up much of the content of {{harvtxt|Knorr|1986}}.</ref>
 विशेष रूप से, रचनात्मक संख्याओं के बीजगणितीय सूत्रीकरण से निम्नलिखित निर्माण समस्याओं की असंभवता का प्रमाण मिलता है:
-[[घन को दोगुना करना]]
+=== [[घन को दोगुना करना|घन का द्विगुणन]] ===
-: इकाई वर्ग को दोगुना करने की समस्या को पहले वाले के विकर्ण पर भुजा की लंबाई के साथ एक और वर्ग के निर्माण से हल किया जाता है <math>\sqrt2</math> और क्षेत्र <math>2</math>. इसी तरह, घन को दोगुना करने की समस्या लंबाई के निर्माण के लिए पूछती है <math>\sqrt[3]{2}</math> मात्रा के साथ एक घन के किनारे <math>2</math>. यह रचनात्मक नहीं है, क्योंकि इस लंबाई का [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]], <math>x^3-2</math>, डिग्री 3 ओवर है <math>\Q</math>.<ref>{{harvtxt|Klein|1897|p=13}}; {{harvtxt|Fraleigh|1994|pp=429–430}}</ref> एक घन बहुपद के रूप में जिसकी एकमात्र वास्तविक जड़ अपरिमेय है, इस बहुपद को अलघुकरणीय होना चाहिए, क्योंकि यदि इसका द्विघात वास्तविक मूल होता तो [[संयुग्म (वर्गमूल)]] एक दूसरा वास्तविक मूल प्रदान करता।{{sfnp|Courant|Robbins|1996|loc=Section III.3.1, "Doubling the cube", pp. 134–135}}
+: इकाई वर्ग को दोगुना करने की समस्या को पहले वाले के विकर्ण पर एक और वर्ग के निर्माण से हल किया जाता है, जिसकी भुजा लंबाई <math>\sqrt2</math> और क्षेत्रफल <math>2</math> है। समान रूप से, घन को दोगुना करने की समस्या 2 आयतन वाले घन की भुजा की लंबाई <math>\sqrt[3]{2}</math> के निर्माण के लिए है। यह रचना योग्य नहीं है, क्योंकि इस लंबाई का   [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]], <math>x^3-2</math>, <math>\Q</math> घात 3 पर है।<ref>{{harvtxt|Klein|1897|p=13}}; {{harvtxt|Fraleigh|1994|pp=429–430}}</ref> एक घन बहुपद के रूप में जिसकी एकमात्र वास्तविक वर्गमूल अपरिमेय है, इस बहुपद को अलघुकरणीय होना चाहिए, क्योंकि यदि इसका द्विघात वास्तविक मूल होता तो [[संयुग्म (वर्गमूल)]] एक दूसरा वास्तविक मूल प्रदान करता।{{sfnp|Courant|Robbins|1996|loc=Section III.3.1, "Doubling the cube", pp. 134–135}}
-; कोण तिरछा
+; कोण समत्रिभाजन
-: इस समस्या में, एक दिए गए कोण से <math>\theta</math>, एक कोण बनाना चाहिए <math>\theta/3</math>. बीजगणितीय रूप से, कोणों को उनके त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे कि उनके [[ उन लोगों के ]] या [[ कोज्या ]], जो प्रारंभिक खंड के साथ दिए गए कोण को बनाने वाले रेखा खंड के अंत बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक देते हैं। इस प्रकार, एक कोण <math>\theta</math> निर्माण योग्य है जब <math>x=\cos\theta</math> एक रचनात्मक संख्या है, और कोण को त्रिकोणित करने की समस्या को निर्माण के रूप में तैयार किया जा सकता है <math>\cos(\tfrac{1}{3}\arccos x)</math>. उदाहरण के लिए, कोण <math>\theta=\pi/3=60^\circ</math> एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण दिक्सूचक और स्ट्रेटेज द्वारा किया जा सकता है <math>x=\cos\theta=\tfrac12</math>. हालाँकि, इसका तिरछा <math>\theta/3=\pi/9=20^\circ</math> नहीं बनाया जा सकता, क्योंकि <math>\cos\pi/9</math> न्यूनतम बहुपद है <math>8x^3-6x-1</math> डिग्री 3 ओवर <math>\Q</math>. चूंकि ट्राइसेक्शन समस्या का यह विशिष्ट उदाहरण दिक्सूचक और सीधीज द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, सामान्य समस्या भी हल नहीं की जा सकती है।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1994|pages=429–430}}; {{harvtxt|Courant|Robbins|1996|loc=Section III.3.3, "Trisecting the angle", pp. 137–138}}</ref>
+: इस समस्या में, दिए गए कोण <math>\theta</math> से एक कोण <math>\theta/3</math> बनाना चाहिए। बीजगणितीय रूप से, कोणों को उनके त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे कि उनके साइन या कोसाइन, जो प्रारंभिक खंड के साथ दिए गए कोण को बनाने वाले रेखा खंड के अंत बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक देते हैं। इस प्रकार, एक कोण <math>\theta</math> रचनात्मक होता है जब <math>x=\cos\theta</math> एक रचनात्मक संख्या होती है, और कोण को विभाजित करने की समस्या को <math>\cos(\tfrac{1}{3}\arccos x)</math> तैयार किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज का कोण <math>\theta=\pi/3=60^\circ</math> एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण दिक्सूचक और ऋजुकोर द्वारा बनाया जा सकता है जिसमें <math>x=\cos\theta=\tfrac12</math> होता है। हालाँकि, इसका समत्रिभाजन <math>\theta/3=\pi/9=20^\circ</math> नहीं बनाया जा सकता, क्योंकि <math>\cos\pi/9</math> न्यूनतम बहुपद <math>8x^3-6x-1</math> घात 3 पर <math>\Q</math> है। चूंकि समत्रिभाजन समस्या का यह विशिष्ट उदाहरण दिक्सूचक और ऋजु कोर द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, सामान्य समस्या भी हल नहीं की जा सकती है।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1994|pages=429–430}}; {{harvtxt|Courant|Robbins|1996|loc=Section III.3.3, "Trisecting the angle", pp. 137–138}}</ref>
-; सर्कल को स्क्वायर करना
+; वृत्त का वर्गन
-: क्षेत्रफल वाला वर्ग <math>\pi</math>, एक इकाई वृत्त के समान क्षेत्र की पार्श्व लंबाई होगी <math>\sqrt\pi</math>, एक [[पारलौकिक संख्या]]। इसलिए, यह वर्ग और इसकी भुजा की लंबाई रचनात्मक नहीं है, क्योंकि यह बीजगणितीय नहीं है <math>\Q</math>.{{sfnp|Fraleigh|1994|pages=429–430}}
+: क्षेत्रफल <math>\pi</math> के साथ एक वर्ग, एक इकाई वृत्त के समान क्षेत्रफल, भुजा की लंबाई <math>\sqrt\pi</math>, एक अबीजीय संख्या होगी। इसलिए, यह वर्ग और इसकी पार्श्व लंबाई रचनात्मक नहीं है, क्योंकि यह <math>\Q</math> पर बीजगणितीय नहीं है।{{sfnp|Fraleigh|1994|pages=429–430}}
-; रचनात्मक बहुभुज
+; समभुजकोणीय बहुभुज
-: यदि नियमित <math>n</math>-गॉन का निर्माण इसके केंद्र के साथ मूल में किया गया है, केंद्र से लेकर लगातार कोने तक के खंडों के बीच के कोण हैं <math>2\pi/n</math>. बहुभुज का निर्माण तभी किया जा सकता है जब इस कोण का कोसाइन एक त्रिकोणमितीय संख्या हो। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक 15-गॉन रचनात्मक है, लेकिन नियमित [[ सातकोणक ]] रचनात्मक नहीं है, क्योंकि 7 प्राइम है, लेकिन फर्मेट प्राइम नहीं है।{{sfnp|Fraleigh|1994|page=504}} इसकी गैर-रचनात्मकता के अधिक प्रत्यक्ष प्रमाण के लिए, बहुपद की सम्मिश्र जड़ों के रूप में एक नियमित सप्तभुज के शीर्षों का प्रतिनिधित्व करें <math>x^7-1</math>. कारक को हटाना <math>x-1</math>, द्वारा विभाजित <math>x^3</math>, और प्रतिस्थापन <math>y=x+1/x</math> सरल बहुपद देता है <math>y^3+y^2-2y-1</math>, तीन वास्तविक जड़ों के साथ एक अलघुकरणीय घन, प्रत्येक एक सम्मिश्र-संख्या शीर्ष के वास्तविक भाग का दो गुना। इसकी जड़ें रचनात्मक नहीं हैं, इसलिए सप्तभुज भी रचनात्मक नहीं है।{{sfnp|Courant|Robbins|1996|loc=Section III.3.4 "The regular heptagon", pp. 138–139}}
+: यदि समभुजकोणीय <math>n</math>-गॉनका निर्माण इसके केंद्र के साथ मूल में किया जाता है, तो केंद्र से लेकर निरंतर कोर तक के खंडों के बीच के कोण <math>2\pi/n</math> होते हैं। बहुभुज का निर्माण तभी किया जा सकता है जब इस कोण का कोसाइन एक त्रिकोणमितीय संख्या हो। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक 15-गॉन रचनात्मक है, लेकिन समभुजकोणीय सप्तभुज रचनात्मक नहीं है, क्योंकि 7 अभाज्य है लेकिन फर्मा अभाज्य नहीं है।<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number#:~:text=a%20Fermat%20prime-,.%5B32%5D,-For%20a%20more</ref> इसकी गैर-रचनात्मकता के अधिक प्रत्यक्ष प्रमाण के लिए, बहुपद <math>x^7-1</math> की जटिल वर्गों के रूप में एक समभुजकोणीय सप्तभुज के शीर्षों का प्रतिनिधित्व करें। गुणनखंड   <math>x-1</math> को हटाकर, <math>x^3</math> से विभाजित करके <math>y=x+1/x</math> को प्रतिस्थापित करके सरल बहुपद <math>y^3+y^2-2y-1</math>, तीन वास्तविक वर्गों के साथ एक अलघुकरणीय घन, प्रत्येक एक सम्मिश्र-संख्या शीर्ष के वास्तविक भाग का दो गुना होता है। वर्गमूल रचनात्मक नहीं हैं, इसलिए सप्तभुज भी रचनात्मक नहीं है।{{sfnp|Courant|Robbins|1996|loc=Section III.3.4 "The regular heptagon", pp. 138–139}}
-अलहज़ेन की समस्या
-: यदि दो बिंदु और एक वृत्ताकार दर्पण दिया गया हो, तो वृत्त पर दिए गए बिंदुओं में से एक बिंदु दूसरे का परावर्तित प्रतिबिम्ब कहाँ देखता है? ज्यामितीय रूप से, प्रत्येक दिए गए बिंदु से परावर्तन के बिंदु तक की रेखाएँ समान कोणों पर और समान-लंबाई वाली जीवाओं में वृत्त से मिलती हैं। हालांकि, दिक्सूचक और ऋजु कोर का उपयोग करके प्रतिबिंब के बिंदु का निर्माण करना असंभव है। विशेष रूप से, दो बिंदुओं के साथ एक इकाई वृत्त के लिए <math>(\tfrac16,\tfrac16)</math> और <math>(-\tfrac12,\tfrac12)</math> इसके अंदर, समाधान में एक अलघुकरणीय डिग्री-चार बहुपद की जड़ें बनाने वाले निर्देशांक हैं <math>x^4-2x^3+4x^2+2x-1</math>. हालांकि इसकी डिग्री दो की शक्ति है, इस बहुपद के विखंडन क्षेत्र में तीन से विभाज्य डिग्री है, इसलिए यह पुनरावृत्त द्विघात विस्तार से नहीं आता है और अल्हज़ेन की समस्या का कोई दिक्सूचक और सीधा समाधान नहीं है।<ref>{{harvtxt|Neumann|1998}}. {{harvtxt|Elkin|1965}} comes to the same conclusion using different points and a different polynomial.</ref>
+===== अलहज़ेन की समस्या =====
+: यदि दो बिंदु और एक वृत्ताकार दर्पण दिया गया हो, तो दिए गए बिंदुओं में से एक वृत्त पर दूसरे बिंदु का प्रतिबिम्ब कहाँ देखता है? ज्यामितीय रूप से, प्रत्येक दिए गए बिंदु से परावर्तन के बिंदु तक की रेखाएँ समान कोणों पर और समान-लंबाई वाली जीवाओं में वृत्त से मिलती हैं। हालांकि, दिकसूचक और ऋजु कोर का उपयोग करके प्रतिबिंब के बिंदु का निर्माण करना असंभव है। विशेष रूप से, दो बिन्दुओं <math>(\tfrac16,\tfrac16)</math> और <math>(-\tfrac12,\tfrac12)</math> के साथ एक इकाई वृत्त के लिए, <math>x^4-2x^3+4x^2+2x-1</math> समाधान में एक अलघुकरणीय घात-चार बहुपद के वर्ग बनाने वाले निर्देशांक हैं। हालांकि इसकी घात दो की घात है, इस बहुपद के विखंडन क्षेत्र में तीन से विभाज्य घात है, इसलिए यह पुनरावृत्त द्विघात विस्तार से नहीं आता है और अल्हज़ेन की समस्या का कोई दिक्सूचक और सीधा समाधान नहीं है।<ref>{{harvtxt|Neumann|1998}}. {{harvtxt|Elkin|1965}} comes to the same conclusion using different points and a different polynomial.</ref>
 == इतिहास ==
-रचनात्मक संख्याओं की अवधारणा का जन्म सम्मिश्र रूप से तीन असंभव दिक्सूचक और ऋजु कोर के निर्माण के इतिहास से जुड़ा हुआ है: घन को दोगुना करना, कोण को विभाजित करना, और सर्कल को स्क्वायर करना। [[प्लूटार्क]] में एक मार्ग के कारण ज्यामितीय निर्माणों में केवल दिक्सूचक और ऋजु कोर का उपयोग करने का प्रतिबंध अक्सर [[प्लेटो]] को श्रेय दिया जाता है। प्लूटार्क के अनुसार, प्लेटो ने क्यूब (डेलियन) समस्या का डुप्लिकेशन कनिडस के यूडोक्सस और [[आर्किटास]] और मेनाएकमस को दिया, जिन्होंने यांत्रिक साधनों का उपयोग करके समस्या को हल किया, [[शुद्ध ज्यामिति]] का उपयोग करके समस्या को हल नहीं करने के लिए प्लेटो से फटकार लगाई।<ref>Plutarch, ''Quaestiones convivales'' [http://ebooks.adelaide.edu.au/p/plutarch/symposiacs/chapter8.html#section80 VIII.ii] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190728214640/http://ebooks.adelaide.edu.au/p/plutarch/symposiacs/chapter8.html#section80 |date=2019-07-28 }}, 718ef.</ref> हालांकि, इस एट्रिब्यूशन को चुनौती दी गई है,{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=28}} भाग में, कहानी के एक अन्य संस्करण के अस्तित्व के कारण (एस्केलॉन के यूटोकियस द्वारा एराटोस्थनीज को जिम्मेदार ठहराया गया) जो कहता है कि तीनों ने समाधान पाया लेकिन वे व्यावहारिक मूल्य के लिए बहुत सारगर्भित थे।{{sfnp|Knorr|1986|page=4}} [[ बंद किया हुआ ]], [[रोड्स के यूडेमस]] का हवाला देते हुए, [[ओनोपाइड्स]] (लगभग 450 ईसा पूर्व) को दो मापक और दिक्सूचक निर्माण के साथ श्रेय दिया, जिससे कुछ लेखकों ने अनुमान लगाया कि ओनोपाइड्स ने प्रतिबंध की शुरुआत की।{{sfnp|Knorr|1986|pp=15–17}} क्लासिक निर्माण समस्याओं की असंभवता के लिए दिक्सूचक और स्ट्रेटेज पर प्रतिबंध आवश्यक है। उदाहरण के लिए, कोण तिर्छा कई तरह से किया जा सकता है, जो प्राचीन यूनानियों के लिए जाना जाता था। एलीस के हिप्पियास के हिप्पियास के क्वाड्रैट्रिक्स, मेनाएकमस के [[शंकु खंड]], या [[आर्किमिडीज]] के चिन्हित सीधा (न्यूसिस निर्माण) का निर्माण सभी का उपयोग किया गया है, जैसा कि पेपर फोल्डिंग के गणित के माध्यम से एक और आधुनिक दृष्टिकोण है।{{sfnp|Friedman|2018|pp=1–3}}
+रचनात्मक संख्याओं की अवधारणा का उत्पादन जटिल रूप से तीन असंभव दिक्सूचक और ऋजु कोर के निर्माण के इतिहास से जुड़ा हुआ है: घन को दोगुना करना, कोण को विभाजित करना और वृत्त का वर्गन करना। प्लूटार्क में एक मार्ग के कारण ज्यामितीय निर्माणों में केवल दिक्सूचक और सीधे किनारे का उपयोग करने का प्रतिबंध प्रायः प्लेटो को श्रेय दिया जाता है। प्लूटार्क के अनुसार, प्लेटो ने यूडोक्सस और आर्किटास और मेनेकमस को घन (डेलियन) समस्या का दोहराव दिया, जिन्होंने यांत्रिक उपकरणों का उपयोग करके समस्या को हल किया, शुद्ध ज्यामिति का उपयोग करके समस्या को हल नहीं करने के लिए प्लेटो से उपेक्षा की।<ref>Plutarch, ''Quaestiones convivales'' [http://ebooks.adelaide.edu.au/p/plutarch/symposiacs/chapter8.html#section80 VIII.ii] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190728214640/http://ebooks.adelaide.edu.au/p/plutarch/symposiacs/chapter8.html#section80 |date=2019-07-28 }}, 718ef.</ref> हालांकि, इस आरोपण को चुनौती दी गई है,{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=28}} आंशिक रूप से, कहानी के एक अन्य संस्करण के अस्तित्व के कारण (एस्केलॉन के यूटोकियस द्वारा एराटोस्थनीज को अधीन है) जो कहता है कि तीनों ने समाधान पाया लेकिन वे व्यावहारिक मान के लिए बहुत सारगर्भित थे।{{sfnp|Knorr|1986|page=4}} रोड्स के यूडेमस का संकेत देते हुए प्रोक्लस ने दो मापक और दिक्सूचक निर्माण के साथ ओनोपिड्स (लगभग 450 ईसा पूर्व) को श्रेय दिया, जिससे कुछ लेखकों ने अनुमान लगाया कि ओनोपाइड्स ने प्रतिबंध का प्रारंभ किया।{{sfnp|Knorr|1986|pp=15–17}} उत्कृष्ट निर्माण समस्याओं की असंभवता के लिए दिक्सूचक और ऋजु कोर पर प्रतिबंध आवश्यक है। उदाहरण के लिए, कोण समत्रिभाजन कई तरह से किया जा सकता है, जो प्राचीन यूनानियों के लिए जाना जाता था। एलीस के हिप्पियास के क्वाड्रैट्रिक्स, मेनेकमस के शंकु, या आर्किमिडीज के चिन्हित ऋजुकोर (न्यूसिस) निर्माण सभी का उपयोग किया गया है, जैसा कि पेपर वलन के माध्यम से एक अधिक आधुनिक दृष्टिकोण है।{{sfnp|Friedman|2018|pp=1–3}}
-यद्यपि क्लासिक तीन निर्माण समस्याओं में से एक नहीं, सीधा किनारा और दिक्सूचक के साथ नियमित बहुभुजों के निर्माण की समस्या को अक्सर उनके साथ व्यवहार किया जाता है। यूनानियों को पता था कि नियमित निर्माण कैसे किया जाता है {{nowrap|<math>n</math>-gons}} साथ <math>n=2^h</math> (किसी भी पूर्णांक के लिए <math>h\ge 2</math>), 3, 5, या इनमें से किन्हीं दो या तीन संख्याओं का गुणनफल, लेकिन अन्य नियमित {{nowrap|<math>n</math>-gons}} ने उन्हें चकमा दिया। 1796 में [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]], जो उस समय अठारह वर्षीय छात्र थे, ने एक समाचार पत्र में घोषणा की कि उन्होंने एक [[हेप्टाडेकागन]]|नियमित 17-गॉन का निर्माण किया है जो ऋजु कोर और दिक्सूचक के साथ है।{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=29}} गॉस का उपचार ज्यामितीय के बजाय बीजगणितीय था; वास्तव में, उन्होंने वास्तव में बहुभुज का निर्माण नहीं किया, बल्कि यह दिखाया कि एक केंद्रीय कोण का कोज्या एक रचनात्मक संख्या थी। इस तर्क को उनकी 1801 की पुस्तक [[अंकगणितीय शोध]] में सामान्यीकृत किया गया था, जिसमें एक नियमित के निर्माण के लिए पर्याप्त स्थिति दी गई थी। {{nowrap|<math>n</math>-gon.}} गॉस ने दावा किया, लेकिन यह प्रमाणित नहीं किया कि शर्त भी आवश्यक थी और कई लेखक, विशेष रूप से [[फेलिक्स क्लेन]],{{sfnp|Klein|1897|page=16}} ने प्रमाण के इस हिस्से का श्रेय उन्हें भी दिया।{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=30}} अल्हज़ेन की समस्या भी क्लासिक तीन समस्याओं में से एक नहीं है, लेकिन मध्यकालीन इस्लाम में एक गणित, [[इब्न अल-हेथम]] (अलहज़ेन) के नाम पर होने के बावजूद, यह दूसरी शताब्दी से पहले से ही [[टॉलेमी]] के ऑप्टिक्स (टॉलेमी) में दिखाई देती है।{{sfnp|Neumann|1998}}
+यद्यपि क्लासिक तीन निर्माण समस्याओं में से एक नहीं, सीधा किनारा और कम्पास के साथ समभुजकोणीय बहुभुजों के निर्माण की समस्या को अक्सर उनके साथ व्यवहार किया जाता है। यूनानी जानते थे कि <math>n=2^h</math> किसी भी पूर्णांक <math>h\ge 2</math>), 3, 5, या इनमें से किन्हीं दो या तीन के गुणनफल के साथ समभुजकोणीय n-गॉन का निर्माण कैसे किया जाता है। संख्याएं, लेकिन अन्य समभुजकोणीय n-गॉन ने उन्हें नहीं छोड़ा। 1796 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जो उस समय अठारह वर्षीय छात्र थे, ने एक समाचार पत्र में घोषणा की कि उन्होंने ऋजु कोर और दिक्सूचक के साथ एक समभुजकोणीय 17-गॉन का निर्माण किया है{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=29}} गॉस का समाधान ज्यामितीय के अतिरिक्त बीजगणितीय था; वास्तव में, उन्होंने वास्तव में बहुभुज का निर्माण नहीं किया, बल्कि यह दिखाया कि एक केंद्रीय कोण का कोज्या एक रचनात्मक संख्या थी। इस तर्क को उनकी 1801 की पुस्तक [[अंकगणितीय शोध]] में सामान्यीकृत किया गया था, जिसमें एक समभुजकोणीय n-गॉन के निर्माण के लिए पर्याप्त स्थिति दी गई थी। गॉस ने दावा किया, लेकिन यह प्रमाणित नहीं किया कि शर्त भी आवश्यक थी और कई लेखक, विशेष रूप से [[फेलिक्स क्लेन]],{{sfnp|Klein|1897|page=16}} ने प्रमाण के इस भाग का श्रेय उन्हें भी दिया।{{sfnp|Kazarinoff|2003|page=30}} अल्हज़ेन की समस्या भी उत्कृष्ट तीन समस्याओं में से एक नहीं है, लेकिन मध्यकालीन इस्लाम में एक गणित, [[इब्न अल-हेथम]] (अलहज़ेन) के नाम पर होने के बाद, यह दूसरी शताब्दी से पहले से ही [[टॉलेमी]] के प्रकाशिकी (टॉलेमी) में दिखाई देती है।{{sfnp|Neumann|1998}}
-{{harvs|first=Pierre|last=Wantzel|authorlink=Pierre Wantzel|year=1837|txt}} ने बीजगणितीय रूप से सिद्ध किया कि घन को दोगुना करने और कोण को त्रिगुणित करने की समस्याएँ
+{{harvs|first=पियरे|last=वांजेल|authorlink=पियरे वांजेल|year=1837|txt}} ने बीजगणितीय रूप से सिद्ध किया कि घन को दोगुना करने और कोण को त्रिगुणित करने की समस्याएँ यदि कोई केवल दिक्सूचक और ऋजुकोर का उपयोग करता है तो हल करना असंभव है। उसी पत्र में उन्होंने यह निर्धारित करने की समस्या भी हल की कि कौन से समभुजकोणीय बहुभुज रचनात्मक हैं: एक समभुजकोणीय बहुभुज रचनात्मक होता है यदि और केवल यदि इसके पक्षों की संख्या दो की घात का गुणन है और किसी भी संख्या में अलग-अलग फर्मा अभाज्य (अर्थात, गॉस द्वारा दी गई पर्याप्त शर्तें भी आवश्यक हैं) होती है।{{sfnp|Martin|1998|p=46}}{{sfnp|Wantzel|1837}} वृत्तों और अतिपरवलयों का वास्तविक चतुर्भुज (वृत्त और अतिपरवलय का सही वर्गन) में जेम्स ग्रेगोरी द्वारा सर्कल को वर्ग करने की असंभवता का एक प्रयास किया गया प्रमाण दिया गया था। हालांकि उनका प्रमाण दोषपूर्ण था, यह प्रयास करने वाला पहला पत्र था π के बीजगणितीय गुणों का उपयोग करके समस्या को हल करें। 1882 तक फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने चार्ल्स हर्मिट के कार्य का विस्तार करके और यह प्रमाणित करके कि π एक अबीजीय संख्या है, दृढ़ता से इसकी असंभवता को प्रमाणित नहीं किया।{{sfnp|Klein|1897|loc=Chapter IV: The transcendence of the number {{pi}}, pp. 68–77.}} एल्किन (1965) के कार्य तक अल्हज़ेन की समस्या को दिक्सूचक और ऋजुकोर द्वारा हल करना असंभव प्रमाणित नहीं हुआ था।<ref>{{harvtxt|Elkin|1965}}; see also {{harvtxt|Neumann|1998}} for an independent solution with more of the history of the problem.</ref>
-यदि कोई केवल दिक्सूचक और सीधी धार का उपयोग करता है तो हल करना असंभव है। उसी पेपर में उन्होंने यह निर्धारित करने की समस्या भी हल की कि कौन से नियमित बहुभुज रचनात्मक हैं:
-एक नियमित बहुभुज रचनात्मक होता है यदि और केवल यदि इसके पक्षों की संख्या दो की शक्ति का उत्पाद है और किसी भी संख्या में अलग-अलग फ़र्मेट प्राइम्स (यानी, गॉस द्वारा दी गई पर्याप्त शर्तें भी आवश्यक हैं)।{{sfnp|Martin|1998|p=46}}{{sfnp|Wantzel|1837}} [[जेम्स ग्रेगरी (खगोलविद और गणितज्ञ)]] द्वारा 1667 में Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (द ट्रू स्क्वेरिंग ऑफ़ द सर्कल एंड द हाइपरबोला) में सर्कल को स्क्वायर करने की असंभवता का एक प्रयास किया गया प्रमाण दिया गया था। हालांकि उनका प्रमाण दोषपूर्ण था, यह था के बीजगणितीय गुणों का उपयोग करके समस्या को हल करने का प्रयास करने वाला पहला पेपर {{pi}}. यह 1882 तक नहीं था कि [[फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन]] ने [[चार्ल्स हर्मिट]] के काम को विस्तारित करके और यह प्रमाणित करके सख्ती से अपनी असंभवता प्रमाणित कर दी थी {{pi}} एक पारलौकिक संख्या है।{{sfnp|Martin|1998|p=44}}{{sfnp|Klein|1897|loc=Chapter IV: The transcendence of the number {{pi}}, pp. 68–77.}} अल्हज़ेन की समस्या को दिक्सूचक और स्ट्रेटेज के काम तक हल करना असंभव प्रमाणित नहीं हुआ था {{harvtxt|Elkin|1965}}.<ref>{{harvtxt|Elkin|1965}}; see also {{harvtxt|Neumann|1998}} for an independent solution with more of the history of the problem.</ref>
+रचनात्मक संख्याओं का अध्ययन, प्रति से, रेने डेसकार्टेस द्वारा ला ज्यामिति में प्रारंभ किया गया था, जो 1637 में प्रकाशित उनकी पुस्तक [[पद्धति पर परिचर्चा]] का एक परिशिष्ट था। डेसकार्टेस ने संख्याओं को ज्यामितीय रेखा खंडों से जोड़ा ताकि उनकी दार्शनिक पद्धति की क्षमता को हल करके प्रदर्शित किया जा सके। [[अलेक्जेंड्रिया के पप्पस]] द्वारा एक प्राचीन ऋजुकोर और दिक्सूचक निर्माण समस्या प्रस्तुत की थी।{{sfnp|Boyer|2004|pages=83–88}}
-रचनात्मक संख्याओं का अध्ययन, प्रति से, रेने डेसकार्टेस द्वारा ला जियोमेट्री में प्रारंभ किया गया था, जो 1637 में प्रकाशित उनकी पुस्तक [[पद्धति पर परिचर्चा]] का एक परिशिष्ट था। डेसकार्टेस ने संख्याओं को ज्यामितीय रेखा खंडों से जोड़ा ताकि उनकी दार्शनिक पद्धति की शक्ति को हल करके प्रदर्शित किया जा सके। [[अलेक्जेंड्रिया के पप्पस]] द्वारा प्रस्तुत एक प्राचीन सीधा किनारा और दिक्सूचक निर्माण समस्या।{{sfnp|Boyer|2004|pages=83–88}}
 == यह भी देखें ==
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 {{Algebraic numbers}}
 {{Number systems}}
-[[Category: यूक्लिडियन समतल ज्यामिति]] [[Category: बीजगणितीय संख्याएँ]]
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+[[Category:बीजगणितीय संख्याएँ]]
+[[Category:यूक्लिडियन समतल ज्यामिति]]

v t e संख्या प्रणाली
गणना योग्य सेट	प्राकृतिक संख्या ( $\mathbb {N}$ ) पूर्णांक ( $\mathbb {Z}$ ) तर्कसंगत संख्या ( $\mathbb {Q}$ ) निर्माण योग्य संख्या बीजगणितीय संख्या ( $\mathbb {A}$ ) अवधि कम्प्यूटेबल नंबर अंकगणितीय संख्या सेट-सिद्धांत रूप से निश्चित संख्या गाऊसी पूर्णांक
रचना बीजगणित	विभाजन बीजगणित: वास्तविक संख्या ( $\mathbb {R}$ ) जटिल संख्या ( $\mathbb {C}$ ) चतुर्भुज ( $\mathbb {H}$ ) ऑक्टोनियन ( $\mathbb {O}$ )
विभाजित करना प्रकार	ऊपर $\mathbb {R}$ : स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर स्प्लिट-क्वैटरन स्प्लिट-फैक्टियन ऊपर $\mathbb {C}$ : $\mathbb {C}$ : BICOMPLEX नंबर Biquaternion Bioctonion
अन्य हाइपरकम्प्लेक्स	दोहरी संख्या दोहरी चतुर्भुज दोहरी-कॉम्प्लेक्स नंबर हाइपरबोलिक चतुर्भुज सेडेनियन ( $\mathbb {S}$ ) स्प्लिट-ब्यूकटरन मल्टीकोम्प्लेक्स नंबर ज्यामितीय बीजगणित/क्लिफोर्ड बीजगणित भौतिक अंतरिक्ष का बीजगणित स्पेसटाइम बीजगणित
अन्य प्रकार	बुनियादी संख्या विस्तारित प्राकृतिक संख्या अपरिमेय संख्या फजी नंबर हाइपरियल नंबर लेवी-सिविटा फील्ड असली संख्या ट्रांसेंडेंटल नंबर क्रमसूचक संख्या [[पी-एडिक नंबर \|p-adicसंख्या]]p-adicसोलेनोइड्स]] अलौकिक संख्या सुपररेल नंबर सामान्य संख्या बंद-फॉर्म नंबर
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ज्यामितीय परिभाषाएँ

ज्यामितीय रूप से रचनात्मक बिंदु

ज्यामितीय रूप से रचनात्मक संख्या

बीजगणितीय परिभाषाए

बीजगणितीय रूप से रचनात्मक संख्या

बीजगणितीय रूप से बिंदु

बीजगणितीय और ज्यामितीय परिभाषाओं की समानता

बीजगणितीय गुण

त्रिकोणमितीय संख्या

असंभव रचना

घन का द्विगुणन

अलहज़ेन की समस्या

इतिहास

यह भी देखें

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बीजगणितीय परिभाषाए

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बीजगणितीय और ज्यामितीय परिभाषाओं की समानता

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