क्रम (समूह सिद्धांत): Difference between revisions

Revision as of 21:00, 1 May 2023

गणित में, एक परिमित समूह का क्रम उसके तत्वों की संख्या है। यदि कोई समूह (गणित) परिमित नहीं है, तो कोई कहता है कि इसका क्रम 'अनंत' है। एक समूह के एक तत्व का आदेश (जिसे अवधि की लंबाई या अवधि भी कहा जाता है) तत्व द्वारा उत्पन्न उपसमूह का क्रम है। यदि समूह संचालन को गुणक समूह के रूप में दर्शाया जाता है, तो तत्व का क्रम $a$ समूह का, इस प्रकार सबसे छोटा सकारात्मक पूर्णांक है $m$ ऐसा है कि $a m = e$ , कहाँ $e$ समूह के पहचान तत्व को दर्शाता है, और $a m$ के उत्पाद को दर्शाता है $m$ की प्रतियां $a$ . यदि ऐसा नहीं है $m$ उपस्थित है, का क्रम $a$ अनंत है।

एक समूह का क्रम $G$ द्वारा दर्शाया जाता है $ord(G)$ या $| G |$ , और एक तत्व का क्रम $a$ द्वारा दर्शाया जाता है $ord(a)$ या $| a |$ , के अतिरिक्त $\operatorname {ord} (\langle a\rangle ),$ जहाँ कोष्ठक उत्पन्न समूह को दर्शाते हैं।

लैग्रेंज का प्रमेय (समूह सिद्धांत)| लैग्रेंज का प्रमेय कहता है कि किसी भी उपसमूह के लिए $H$ एक परिमित समूह का $G$ , उपसमूह का क्रम समूह के क्रम को विभाजित करता है; वह है, $| H |$ का भाजक है $| G |$ . विशेष रूप से, आदेश $| a |$ किसी भी तत्व का भाजक है $| G |$ .

उदाहरण

सममित समूह एस₃ निम्नलिखित केली तालिका है।

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

इस समूह में छह तत्व हैं, इसलिए $ord(S 3) = 6$ . परिभाषा के अनुसार, पहचान का क्रम, $e$ , एक है, चूंकि $e 1 = e$ . की प्रत्येक $s$ , $t$ , और $w$ वर्ग से $e$ , इसलिए इन समूह तत्वों का क्रम दो है: $| s | = | t | = | w | = 2$ . आखिरकार, $u$ और $v$ के बाद से आदेश 3 है $u 3 = vu = e$ , और $v 3 = uv = e$ .

क्रम और संरचना

समूह G का क्रम और उसके तत्वों का क्रम समूह की संरचना के बारे में अधिक जानकारी देता है। मोटे तौर पर कहा जाए तो, |G| का गुणनखंड जितना जटिल होता है, G की संरचना उतनी ही जटिल होती है।

के लिए |जी| = 1, समूह तुच्छ समूह है। किसी भी समूह में, केवल पहचान तत्व a = e में ord(a) = 1 है। यदि G में प्रत्येक गैर-पहचान तत्व इसके व्युत्क्रम के बराबर है (जिससे कि a² = ई), तो ord(a) = 2; इसका मतलब है कि जी एबेलियन समूह ग्रुप थ्योरी # एब का व्युत्क्रम है $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$ . इसका उलट सत्य नहीं है; उदाहरण के लिए, (योगात्मक) चक्रीय समूह Z₆ पूर्णांकों का मॉड्यूलर अंकगणित 6 एबेलियन है, लेकिन संख्या 2 का क्रम 3 है:

2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}

.

आदेश की दो अवधारणाओं के बीच संबंध इस प्रकार है: यदि हम लिखते हैं

\langle a\rangle =\{a^{k}\colon k\in \mathbb {Z} \}

उपसमूह के लिए ए द्वारा समूह का जनरेटिंग सेट, तब

\operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).

किसी पूर्णांक k के लिए, हमारे पास है

ए^k = e यदि और केवल यदि ord(a) भाजक k.

सामान्यता , G के किसी भी उपसमूह का क्रम G के क्रम को विभाजित करता है। अधिक यथार्थ रूप से: यदि H, G का एक उपसमूह है, तो

ord(G) / ord(H) = [G : H], जहां [G : H] को G में H के एक उपसमूह का सूचकांक कहा जाता है, एक पूर्णांक। यह लैग्रेंज का प्रमेय (समूह सिद्धांत) है | लैग्रेंज का प्रमेय। (हालांकि, यह केवल तभी सत्य है जब G का परिमित क्रम हो। यदि ord(G) = ∞, भागफल ord(G) / ord(H) का कोई अर्थ नहीं है।)

उपरोक्त के तत्काल परिणाम के रूप में, हम देखते हैं कि समूह के प्रत्येक तत्व का क्रम समूह के क्रम को विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिखाए गए सममित समूह में, जहाँ ord(S₃) = 6, तत्वों के संभावित क्रम 1, 2, 3 या 6 हैं।

निम्नलिखित आंशिक विलोम परिमित समूहों के लिए सत्य है: यदि d समूह G के क्रम को विभाजित करता है और d एक अभाज्य संख्या है, तो G में क्रम d का एक तत्व उपस्थित होता है (इसे कभी-कभी कॉची का प्रमेय (समूह सिद्धांत) कहा जाता है| कॉची का प्रमेय) ). बयान संयुक्त संख्या के आदेश के लिए नहीं है, उदा। क्लेन चार-समूह में क्रम चार का कोई तत्व नहीं है)। इसे आगमनात्मक प्रमाण द्वारा दिखाया जा सकता है।^[1] प्रमेय के परिणामों में सम्मिलित हैं: समूह जी का क्रम एक प्रमुख पी की शक्ति है यदि और केवल यदि जी में हर एक के लिए पी की कुछ शक्ति है।^[2] यदि a का क्रम अनंत है, तो a की सभी अशून्य घातों का भी अनंत क्रम है। यदि a की परिमित कोटि है, तो a की घातों के क्रम के लिए हमारे पास निम्न सूत्र है:

ऑर्ड (अ^k) = ord(a) / महत्तम समापवर्तक (ord(a), k)^[3]

प्रत्येक पूर्णांक k के लिए। विशेष रूप से, ए और इसके व्युत्क्रम ए^-1 का क्रम समान है।

किसी भी समूह में,

\operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)

ए और बी के ऑर्डर के लिए उत्पाद एबी के ऑर्डर से संबंधित कोई सामान्य सूत्र नहीं है। वास्तव में, यह संभव है कि a और b दोनों की सीमित कोटि हो जबकि ab की अनंत कोटि हो, या कि a और b दोनों की अनंत कोटि हो जबकि ab की परिमित कोटि हो। पूर्व का एक उदाहरण a(x) = 2−x, b(x) = 1−x है जिसमें ab(x) = x−1 समूह में है $Sym(\mathbb {Z} )$ . बाद वाले का एक उदाहरण है a(x) = x+1, b(x) = x−1 जिसमें ab(x) = x है। यदि ab = ba, तो हम कम से कम यह कह सकते हैं कि ord(ab) लघुत्तम समापवर्त्य (ord(a), ord(b)) को विभाजित करता है। परिणामस्वरूप, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि एक परिमित एबेलियन समूह में, यदि m समूह के तत्वों के सभी आदेशों के अधिकतम को दर्शाता है, तो प्रत्येक तत्व का क्रम m को विभाजित करता है।

तत्वों के क्रम से गिनती

मान लीजिए G, कोटि n का परिमित समूह है, और d, n का एक भाजक है। G में ऑर्डर d तत्वों की संख्या φ(d) (संभवत: शून्य) का गुणक है, जहां φ यूलर का कुल फलन है, जो धनात्मक पूर्णांकों की संख्या को d और इसके सहअभाज्य से बड़ा नहीं देता है। उदाहरण के लिए, एस के स्थितियों े में₃, φ(3) = 2, और हमारे पास क्रम 3 के बिल्कुल दो तत्व हैं। प्रमेय क्रम 2 के तत्वों के बारे में कोई उपयोगी जानकारी प्रदान नहीं करता है, क्योंकि φ(2) = 1, और समग्र d जैसे d के लिए केवल सीमित उपयोगिता है = 6, चूंकि φ(6) = 2, और एस में क्रम 6 के शून्य तत्व हैं₃.

समरूपता के संबंध में

समूह समरूपता तत्वों के क्रम को कम करती है: यदि f: G → H एक समरूपता है, और a परिमित क्रम के G का एक तत्व है, तो ord(f(a)) ord(a) को विभाजित करता है। यदि एफ इंजेक्शन है, तो ord(f(a)) = ord(a). यह अधिकांशतः यह सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जा सकता है कि दो स्पष्ट रूप से दिए गए समूहों के बीच कोई समरूपता या कोई इंजेक्शन समरूपता नहीं है। (उदाहरण के लिए, कोई गैर-तुच्छ समरूपता h: S नहीं हो सकती है₃→ जेड₅, क्योंकि Z में शून्य को छोड़कर हर संख्या₅ ऑर्डर 5 है, जो एस में तत्वों के ऑर्डर 1, 2 और 3 को विभाजित नहीं करता है₃।) एक और परिणाम यह है कि संयुग्मन वर्ग का एक ही क्रम है।

वर्ग समीकरण

वर्ग समीकरण के बारे में एक महत्वपूर्ण परिणाम वर्ग समीकरण है; यह एक परिमित समूह G के क्रम को उसके समूह Z(G) के केंद्र के क्रम और उसके गैर-तुच्छ संयुग्मन वर्गों के आकार से संबंधित करता है:

|G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;

जहां डी_iगैर-तुच्छ संयुग्मी वर्गों के आकार हैं; ये |G| के उचित विभाजक हैं एक से बड़ा है, और वे गैर-तुच्छ संयुग्मन वर्गों के प्रतिनिधियों के जी में केंद्रीयकर्ताओं के सूचकांकों के बराबर भी हैं। उदाहरण के लिए, एस का केंद्र₃ एकल तत्व ई के साथ केवल तुच्छ समूह है, और समीकरण पढ़ता है |एस₃| = 1+2+3.

यह भी देखें

मरोड़ उपसमूह

↑ Conrad, Keith. "कॉची प्रमेय का प्रमाण" (PDF). Retrieved May 14, 2011. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
↑ Conrad, Keith. "कॉची प्रमेय के परिणाम" (PDF). Retrieved May 14, 2011. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
↑ Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, ISBN 978-0471433347, pp. 57

संदर्भ

Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, ISBN 978-0471433347, pp. 20, 54–59, 90
Artin, Michael. Algebra, ISBN 0-13-004763-5, pp. 46–47

[1] Conrad, Keith. "कॉची प्रमेय का प्रमाण" (PDF). Retrieved May 14, 2011. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[2] Conrad, Keith. "कॉची प्रमेय के परिणाम" (PDF). Retrieved May 14, 2011. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[3] Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, ISBN 978-0471433347, pp. 57

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-गणित में, एक [[परिमित समूह]] का क्रम उसके तत्वों की संख्या है। यदि कोई [[समूह (गणित)]] परिमित नहीं है, तो कोई कहता है कि इसका क्रम 'अनंत' है। एक समूह के एक तत्व का ''आदेश'' (जिसे अवधि की लंबाई या अवधि भी कहा जाता है) तत्व द्वारा उत्पन्न उपसमूह का क्रम है। यदि समूह संचालन को [[गुणक समूह]] के रूप में दर्शाया जाता है, तो तत्व का क्रम {{mvar|a}} समूह का, इस प्रकार सबसे छोटा [[सकारात्मक पूर्णांक]] है {{math|''m''}} ऐसा है कि {{math|1=''a''<sup>''m''</sup> = ''e''}}, कहाँ {{math|''e''}} समूह के [[पहचान तत्व]] को दर्शाता है, और {{math|''a''<sup>''m''</sup>}} के उत्पाद को दर्शाता है {{math|''m''}} की प्रतियां {{math|''a''}}. यदि ऐसा नहीं है {{math|''m''}} मौजूद है, का क्रम {{math|''a''}} अनंत है।
+गणित में, एक [[परिमित समूह]] का क्रम उसके तत्वों की संख्या है। यदि कोई [[समूह (गणित)]] परिमित नहीं है, तो कोई कहता है कि इसका क्रम 'अनंत' है। एक समूह के एक तत्व का ''आदेश'' (जिसे अवधि की लंबाई या अवधि भी कहा जाता है) तत्व द्वारा उत्पन्न उपसमूह का क्रम है। यदि समूह संचालन को [[गुणक समूह]] के रूप में दर्शाया जाता है, तो तत्व का क्रम {{mvar|a}} समूह का, इस प्रकार सबसे छोटा [[सकारात्मक पूर्णांक]] है {{math|''m''}} ऐसा है कि {{math|1=''a''<sup>''m''</sup> = ''e''}}, कहाँ {{math|''e''}} समूह के [[पहचान तत्व]] को दर्शाता है, और {{math|''a''<sup>''m''</sup>}} के उत्पाद को दर्शाता है {{math|''m''}} की प्रतियां {{math|''a''}}. यदि ऐसा नहीं है {{math|''m''}} उपस्थित  है, का क्रम {{math|''a''}} अनंत है।
-एक समूह का क्रम {{mvar|G}} द्वारा दर्शाया जाता है {{math|ord(''G'')}} या {{math|{{abs|''G''}}}}, और एक तत्व का क्रम {{math|''a''}} द्वारा दर्शाया जाता है {{math|ord(''a'')}} या {{math|{{abs|''a''}}}}, के बजाय <math>\operatorname{ord}(\langle a\rangle),</math> जहाँ कोष्ठक उत्पन्न समूह को दर्शाते हैं।
+एक समूह का क्रम {{mvar|G}} द्वारा दर्शाया जाता है {{math|ord(''G'')}} या {{math|{{abs|''G''}}}}, और एक तत्व का क्रम {{math|''a''}} द्वारा दर्शाया जाता है {{math|ord(''a'')}} या {{math|{{abs|''a''}}}}, के अतिरिक्त  <math>\operatorname{ord}(\langle a\rangle),</math> जहाँ कोष्ठक उत्पन्न समूह को दर्शाते हैं।
 लैग्रेंज का प्रमेय (समूह सिद्धांत)| लैग्रेंज का प्रमेय कहता है कि किसी भी उपसमूह के लिए {{math|''H''}} एक परिमित समूह का {{math|''G''}}, उपसमूह का क्रम समूह के क्रम को विभाजित करता है; वह है, {{math|{{abs|''H''}}}} का [[भाजक]] है {{math|{{abs|''G''}}}}. विशेष रूप से, आदेश {{math|{{abs|''a''}}}} किसी भी तत्व का भाजक है {{math|{{abs|''G''|}}}}.
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 समूह G का क्रम और उसके तत्वों का क्रम समूह की संरचना के बारे में अधिक जानकारी देता है। मोटे तौर पर कहा जाए तो, |G| का [[गुणन]]खंड जितना जटिल होता है, G की संरचना उतनी ही जटिल होती है।
-के लिए |जी| = 1, समूह [[तुच्छ समूह]] है। किसी भी समूह में, केवल पहचान तत्व a = e में ord(a) = 1 है। यदि G में प्रत्येक गैर-पहचान तत्व इसके व्युत्क्रम के बराबर है (ताकि a<sup>2</sup> = ई), तो ord(a) = 2; इसका मतलब है कि जी [[ एबेलियन समूह ]] ग्रुप थ्योरी # एब का व्युत्क्रम है <math>ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba</math>. इसका उलट सत्य नहीं है; उदाहरण के लिए, (योगात्मक) [[चक्रीय समूह]] Z<sub>6</sub> पूर्णांकों का [[मॉड्यूलर अंकगणित]] 6 एबेलियन है, लेकिन संख्या 2 का क्रम 3 है:
+के लिए |जी| = 1, समूह [[तुच्छ समूह]] है। किसी भी समूह में, केवल पहचान तत्व a = e में ord(a) = 1 है। यदि G में प्रत्येक गैर-पहचान तत्व इसके व्युत्क्रम के बराबर है (जिससे कि  a<sup>2</sup> = ई), तो ord(a) = 2; इसका मतलब है कि जी [[ एबेलियन समूह ]] ग्रुप थ्योरी # एब का व्युत्क्रम है <math>ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba</math>. इसका उलट सत्य नहीं है; उदाहरण के लिए, (योगात्मक) [[चक्रीय समूह]] Z<sub>6</sub> पूर्णांकों का [[मॉड्यूलर अंकगणित]] 6 एबेलियन है, लेकिन संख्या 2 का क्रम 3 है:
 :<math>2+2+2=6 \equiv 0 \pmod {6}</math>.
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 :<math>\operatorname{ord} (a) = \operatorname{ord}(\langle a \rangle).</math>
 किसी पूर्णांक k के लिए, हमारे पास है
-:ए<sup>k</sup> = e   अगर और केवल अगर   ord(a) भाजक k.
+:ए<sup>k</sup> = e   यदि और केवल यदि   ord(a) भाजक k.
-सामान्य तौर पर, G के किसी भी उपसमूह का क्रम G के क्रम को विभाजित करता है। अधिक सटीक रूप से: यदि H, G का एक उपसमूह है, तो
+सामान्यता , G के किसी भी उपसमूह का क्रम G के क्रम को विभाजित करता है। अधिक यथार्थ  रूप से: यदि H, G का एक उपसमूह है, तो
 :ord(G) / ord(H) = [G : H], जहां [G : H] को G में H के [[एक उपसमूह का सूचकांक]] कहा जाता है, एक पूर्णांक। यह लैग्रेंज का प्रमेय (समूह सिद्धांत) है | लैग्रेंज का प्रमेय। (हालांकि, यह केवल तभी सत्य है जब G का परिमित क्रम हो। यदि ord(G) = ∞, भागफल ord(G) / ord(H) का कोई अर्थ नहीं है।)
 उपरोक्त के तत्काल परिणाम के रूप में, हम देखते हैं कि समूह के प्रत्येक तत्व का क्रम समूह के क्रम को विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिखाए गए सममित समूह में, जहाँ ord(S<sub>3</sub>) = 6, तत्वों के संभावित क्रम 1, 2, 3 या 6 हैं।
-निम्नलिखित आंशिक विलोम परिमित समूहों के लिए सत्य है: यदि d समूह G के क्रम को विभाजित करता है और d एक [[अभाज्य संख्या]] है, तो G में क्रम d का एक तत्व मौजूद होता है (इसे कभी-कभी कॉची का प्रमेय (समूह सिद्धांत) कहा जाता है| कॉची का प्रमेय) ). बयान संयुक्त संख्या के आदेश के लिए नहीं है, उदा। [[क्लेन चार-समूह]] में क्रम चार का कोई तत्व नहीं है)। इसे [[आगमनात्मक प्रमाण]] द्वारा दिखाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|title=कॉची प्रमेय का प्रमाण|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/cauchypf.pdf|first=Keith|last=Conrad|format=PDF|access-date=May 14, 2011}}</ref> प्रमेय के परिणामों में शामिल हैं: समूह जी का क्रम एक प्रमुख पी की शक्ति है अगर और केवल अगर जी में हर एक के लिए पी की कुछ शक्ति है।<ref>{{Cite journal|title=कॉची प्रमेय के परिणाम|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/cauchyapp.pdf|first=Keith|last=Conrad|format=PDF|access-date=May 14, 2011}}</ref>
+निम्नलिखित आंशिक विलोम परिमित समूहों के लिए सत्य है: यदि d समूह G के क्रम को विभाजित करता है और d एक [[अभाज्य संख्या]] है, तो G में क्रम d का एक तत्व उपस्थित  होता है (इसे कभी-कभी कॉची का प्रमेय (समूह सिद्धांत) कहा जाता है| कॉची का प्रमेय) ). बयान संयुक्त संख्या के आदेश के लिए नहीं है, उदा। [[क्लेन चार-समूह]] में क्रम चार का कोई तत्व नहीं है)। इसे [[आगमनात्मक प्रमाण]] द्वारा दिखाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|title=कॉची प्रमेय का प्रमाण|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/cauchypf.pdf|first=Keith|last=Conrad|format=PDF|access-date=May 14, 2011}}</ref> प्रमेय के परिणामों में सम्मिलित  हैं: समूह जी का क्रम एक प्रमुख पी की शक्ति है यदि और केवल यदि जी में हर एक के लिए पी की कुछ शक्ति है।<ref>{{Cite journal|title=कॉची प्रमेय के परिणाम|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/cauchyapp.pdf|first=Keith|last=Conrad|format=PDF|access-date=May 14, 2011}}</ref>
 यदि a का क्रम अनंत है, तो a की सभी अशून्य घातों का भी अनंत क्रम है। यदि a की परिमित कोटि है, तो a की घातों के क्रम के लिए हमारे पास निम्न सूत्र है:
 :ऑर्ड (अ<sup>k</sup>) = ord(a) / महत्तम समापवर्तक (ord(a), k)<ref>Dummit, David; Foote, Richard. ''Abstract Algebra'', {{isbn|978-0471433347}}, pp. 57</ref>
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 किसी भी समूह में,
 :<math> \operatorname{ord}(ab) = \operatorname{ord}(ba)</math>
-ए और बी के ऑर्डर के लिए उत्पाद एबी के ऑर्डर से संबंधित कोई सामान्य सूत्र नहीं है। वास्तव में, यह संभव है कि a और b दोनों की सीमित कोटि हो जबकि ab की अनंत कोटि हो, या कि a और b दोनों की अनंत कोटि हो जबकि ab की परिमित कोटि हो। पूर्व का एक उदाहरण a(x) = 2−x, b(x) = 1−x है जिसमें ab(x) = x−1 समूह में है <math>Sym(\mathbb{Z})</math>. बाद वाले का एक उदाहरण है a(x) = x+1, b(x) = x−1 जिसमें ab(x) = x है। यदि ab = ba, तो हम कम से कम यह कह सकते हैं कि ord(ab) लघुत्तम समापवर्त्य (ord(a), ord(b)) को विभाजित करता है। परिणामस्वरूप, कोई यह साबित कर सकता है कि एक परिमित एबेलियन समूह में, यदि m समूह के तत्वों के सभी आदेशों के अधिकतम को दर्शाता है, तो प्रत्येक तत्व का क्रम m को विभाजित करता है।
+ए और बी के ऑर्डर के लिए उत्पाद एबी के ऑर्डर से संबंधित कोई सामान्य सूत्र नहीं है। वास्तव में, यह संभव है कि a और b दोनों की सीमित कोटि हो जबकि ab की अनंत कोटि हो, या कि a और b दोनों की अनंत कोटि हो जबकि ab की परिमित कोटि हो। पूर्व का एक उदाहरण a(x) = 2−x, b(x) = 1−x है जिसमें ab(x) = x−1 समूह में है <math>Sym(\mathbb{Z})</math>. बाद वाले का एक उदाहरण है a(x) = x+1, b(x) = x−1 जिसमें ab(x) = x है। यदि ab = ba, तो हम कम से कम यह कह सकते हैं कि ord(ab) लघुत्तम समापवर्त्य (ord(a), ord(b)) को विभाजित करता है। परिणामस्वरूप, कोई यह सिद्ध  कर सकता है कि एक परिमित एबेलियन समूह में, यदि m समूह के तत्वों के सभी आदेशों के अधिकतम को दर्शाता है, तो प्रत्येक तत्व का क्रम m को विभाजित करता है।
 == तत्वों के क्रम से गिनती ==
-मान लीजिए G, कोटि n का परिमित समूह है, और d, n का एक भाजक है। G में ऑर्डर d तत्वों की संख्या φ(d) (संभवत: शून्य) का गुणक है, जहां φ यूलर का कुल फलन है, जो धनात्मक पूर्णांकों की संख्या को d और इसके सहअभाज्य से बड़ा नहीं देता है। उदाहरण के लिए, एस के मामले में<sub>3</sub>, φ(3) = 2, और हमारे पास क्रम 3 के बिल्कुल दो तत्व हैं। प्रमेय क्रम 2 के तत्वों के बारे में कोई उपयोगी जानकारी प्रदान नहीं करता है, क्योंकि φ(2) = 1, और समग्र d जैसे d के लिए केवल सीमित उपयोगिता है = 6, चूंकि φ(6) = 2, और एस में क्रम 6 के शून्य तत्व हैं<sub>3</sub>.
+मान लीजिए G, कोटि n का परिमित समूह है, और d, n का एक भाजक है। G में ऑर्डर d तत्वों की संख्या φ(d) (संभवत: शून्य) का गुणक है, जहां φ यूलर का कुल फलन है, जो धनात्मक पूर्णांकों की संख्या को d और इसके सहअभाज्य से बड़ा नहीं देता है। उदाहरण के लिए, एस के स्थितियों े में<sub>3</sub>, φ(3) = 2, और हमारे पास क्रम 3 के बिल्कुल दो तत्व हैं। प्रमेय क्रम 2 के तत्वों के बारे में कोई उपयोगी जानकारी प्रदान नहीं करता है, क्योंकि φ(2) = 1, और समग्र d जैसे d के लिए केवल सीमित उपयोगिता है = 6, चूंकि φ(6) = 2, और एस में क्रम 6 के शून्य तत्व हैं<sub>3</sub>.
 == समरूपता के संबंध में ==
-[[समूह समरूपता]] तत्वों के क्रम को कम करती है: यदि f: G → H एक समरूपता है, और a परिमित क्रम के G का एक तत्व है, तो ord(f(a)) ord(a) को विभाजित करता है। अगर एफ [[इंजेक्शन]] है, तो ord(f(a)) = ord(a). यह अक्सर यह साबित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि दो स्पष्ट रूप से दिए गए समूहों के बीच कोई समरूपता या कोई इंजेक्शन समरूपता नहीं है। (उदाहरण के लिए, कोई गैर-तुच्छ समरूपता h: S नहीं हो सकती है<sub>3</sub>→ जेड<sub>5</sub>, क्योंकि Z में शून्य को छोड़कर हर संख्या<sub>5</sub> ऑर्डर 5 है, जो एस में तत्वों के ऑर्डर 1, 2 और 3 को विभाजित नहीं करता है<sub>3</sub>।) एक और परिणाम यह है कि [[संयुग्मन वर्ग]] का एक ही क्रम है।
+[[समूह समरूपता]] तत्वों के क्रम को कम करती है: यदि f: G → H एक समरूपता है, और a परिमित क्रम के G का एक तत्व है, तो ord(f(a)) ord(a) को विभाजित करता है। यदि एफ [[इंजेक्शन]] है, तो ord(f(a)) = ord(a). यह अधिकांशतः  यह सिद्ध  करने के लिए उपयोग किया जा सकता है कि दो स्पष्ट रूप से दिए गए समूहों के बीच कोई समरूपता या कोई इंजेक्शन समरूपता नहीं है। (उदाहरण के लिए, कोई गैर-तुच्छ समरूपता h: S नहीं हो सकती है<sub>3</sub>→ जेड<sub>5</sub>, क्योंकि Z में शून्य को छोड़कर हर संख्या<sub>5</sub> ऑर्डर 5 है, जो एस में तत्वों के ऑर्डर 1, 2 और 3 को विभाजित नहीं करता है<sub>3</sub>।) एक और परिणाम यह है कि [[संयुग्मन वर्ग]] का एक ही क्रम है।
 == वर्ग समीकरण<!--linked from 'Vertical bar'-->==

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