परमाणु सूत्र

This article is about गणितीय तर्क में एक अवधारणा. For रसायन विज्ञान से अवधारणा, see रासायनिक सूत्र.

गणितीय तर्क में, एक परमाणु सूत्र (जिसे एक परमाणु या एक प्रमुख सूत्र के रूप में भी जाना जाता है) एक ऐसा सूत्र है जिसमें कोई गहरी प्रस्ताविक संरचना नहीं होती है, अर्थात एक ऐसा सूत्र जिसमें कोई तार्किक संयोजक या समकक्ष सूत्र नहीं होता है जिसमें कोई सख्त उपसूत्र नहीं होता है। परमाणु इस प्रकार तर्क के सबसे सरल सुनिर्मित सूत्र हैं। तार्किक संयोजकों का उपयोग करते हुए परमाणु सूत्रों को मिलाकर यौगिक सूत्र बनाए जाते हैं।

परमाणु सूत्रों का सटीक रूप विचाराधीन तर्क पर निर्भर करता है; प्रस्तावपरक तर्क के लिए, उदाहरण के लिए, एक प्रस्तावपरक चर को अधिकांशतः अधिक संक्षेप में "परमाणु सूत्र" के रूप में संदर्भित किया जाता है, परंतु, अधिक सटीक रूप से, एक प्रस्तावक चर एक परमाणु सूत्र नहीं है, अपेक्षाकृत एक औपचारिक अभिव्यक्ति है जो एक परमाणु सूत्र को दर्शाता है। विधेय तर्क के लिए, परमाणु अपने तर्कों के साथ विधेय प्रतीक हैं, प्रत्येक तर्क एक शब्द है। प्रतिरूप सिद्धांत में, परमाणु सूत्र केवल दिए गए हस्ताक्षर (तर्क) वाले प्रतीकों के तार हैं, जो किसी दिए गए प्रतिरूप के संबंध में संतुष्ट हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं।

पहले क्रम के तर्क में परमाणु सूत्र

सामान्य प्रथम-क्रम तर्क के अच्छी तरह से गठित नियम और प्रस्ताव निम्नलिखितवाक्य - विन्यास हैं:

शब्द बीजगणित:

• $t\equiv c\mid x\mid f(t_{1},\dotsc ,t_{n})$,

अर्थात्, एक शब्द को पुनरावर्ती से एक स्थिर c (प्रवचन के कार्यक्षेत्र से एक नामित वस्तु), या एक चर x (प्रवचन के कार्यक्षेत्र वस्तुओं पर), या एक n-ary फ़ंक्शन f के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके तर्क हैं। कार्य वस्तु के टुपल्स को वस्तुओं का मानचित्र है।

प्रस्ताव:

• $A,B,...\equiv P(t_{1},\dotsc ,t_{n})\mid A\wedge B\mid \top \mid A\vee B\mid \bot \mid A\supset B\mid \forall x.\ A\mid \exists x.\ A$,

अर्थात्, एक प्रस्ताव को पुनरावर्ती रूप से एक n-आरी विधेय P के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके तर्क शब्द tk हैं, या तार्किक संयोजकों, या परिमाणकों से बना एक अभिव्यक्ति है जो अन्य प्रस्तावों के साथ प्रयोग किया जाता है।

एक परमाणु सूत्र या परमाणु शब्दों के एक समूह के लिए उचित एक विधेय है; अर्थात्, एक परमाणु सूत्र P एक विधेय और tn पदों के लिए P (t1,…, tn) के रूप का एक सूत्र है।

तार्किक संयोजकों और परिमाणकों के साथ परमाणुओं की रचना करके अन्य सभी सुनिर्मित सूत्र प्राप्त किए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, सूत्र ∀x। पी (एक्स) ∧ ∃y। क्यू (वाई, एफ (एक्स)) ∨ ∃z। आर (जेड) में परमाणु होते हैं

• $P(x)$
• $Q(y,f(x))$
• $R(z)$.

चूँकि परमाणु सूत्र में कोई परिमाणक प्रकट नहीं होते हैं, परमाणु सूत्र में चर प्रतीकों की सभी आवृत्तियाँ स्पष्ट होती हैं।

यह भी देखें

• मॉडल सिद्धांत में, संरचना (गणितीय तर्क) परमाणु सूत्रों की व्याख्या प्रदान करती है।
• सबूत सिद्धांत में, परमाणु सूत्रों के लिए पोलारिटी (प्रूफ थ्योरी) असाइनमेंट ध्यान केंद्रित करना (सबूत सिद्धांत) का एक अनिवार्य घटक है।
• परमाणु वाक्य

अग्रिम पठन

• Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.