परमाणु सूत्र: Difference between revisions

Latest revision as of 11:49, 18 May 2023

गणितीय तर्क में, नाभिकीय सूत्र एक ऐसा सूत्र है जिसमें कोई प्रस्ताविक संरचना नहीं होती है, अर्थात एक ऐसा सूत्र जिसमें कोई तार्किक संयोजक या समकक्ष सूत्र नहीं होता है जिसमें कोई सख्त उपसूत्र नहीं होता है। नाभिकीय सूत्र इस प्रकार तर्क के सबसे सरल सुनिर्मित सूत्र हैं। तार्किक संयोजकों का उपयोग करते हुए नाभिकीय सूत्रों को मिलाकर यौगिक सूत्र बनाए जाते हैं।

नाभिकीय सूत्रों का सटीक रूप विचाराधीन तर्क पर निर्भर करता है; प्रस्तावपरक तर्क के लिए, एक प्रस्तावपरक चर को अधिकांशतः अधिक संक्षेप में " नाभिकीय सूत्र" के रूप में संदर्भित किया जाता है, परंतु, अधिक सटीक रूप से, एक प्रस्तावक चर एक नाभिकीय सूत्र नहीं है, अपेक्षाकृत एक औपचारिक अभिव्यक्ति है जो एक नाभिकीय सूत्र को दर्शाता है। विधेय तर्क के लिए, नाभिकीय अपने तर्कों के साथ विधेय प्रतीक हैं, प्रत्येक तर्क एक शब्द है। प्रतिरूप सिद्धांत में, नाभिकीय सूत्र केवल दिए गए हस्ताक्षर (तर्क) वाले प्रतीकों की तंत्रिका हैं, जो किसी दिए गए प्रतिरूप के संबंध में तृप्त हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं।^[1]

पहले क्रम के तर्क में परमाणु सूत्र

सामान्य प्रथम-क्रम तर्क के अच्छी तरह से गठित नियम और प्रस्ताव निम्नलिखित रचनाक्रम हैं:

वाक्य बीजगणित:

$t\equiv c\mid x\mid f(t_{1},\dotsc ,t_{n})$ ,

एक शब्द को पुनरावर्ती से एक स्थिर c, या एक चर x, या एक n-ary फ़ंक्शन f के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके तर्क हैं। फ़ंक्शंस विषय ट्यूपल्स विषय को मानचित्र करता है।

तर्कवाक्य:

$A,B,...\equiv P(t_{1},\dotsc ,t_{n})\mid A\wedge B\mid \top \mid A\vee B\mid \bot \mid A\supset B\mid \forall x.\ A\mid \exists x.\ A$ ,

एक तर्कवाक्य को पुनरावर्ती रूप से एक n- सव निर्धारक P के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसका तर्क शब्द tk हैं, या तार्किक संयोजकों, या परिमाणकों से बना एक अभिव्यक्ति है जो अन्य तर्कवाक्यों के साथ प्रयोग किया जाता है।

एक नाभिकीय सूत्र या नाभिकीय शब्दों के एक समूह के लिए उचित एक विशेषण है; अर्थात्, एक नाभिकीय सूत्र P एक विशेषण और tn पदों के लिए P (t1,…, tn) के रूप का एक सूत्र है।

तार्किक संयोजकों और परिमाणकों के साथ अणुओं की रचना करके अन्य सभी सुनिर्मित सूत्र प्राप्त किए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, सूत्र ∀x। P (x) ∧ ∃y। Q (y, f (x)) ∨ ∃z। R (z) में नाभिकीय होते हैं

$P(x)$
$Q(y,f(x))$
$R(z)$ .

चूँकि नाभिकीय सूत्र में कोई परिमाणक प्रकट नहीं होते हैं, नाभिकीय सूत्र में चर प्रतीकों की सभी आवृत्तियाँ स्पष्ट होती हैं।^[2]

यह भी देखें

मॉडल सिद्धांत में, संरचना (गणितीय तर्क) नाभिकीय सूत्रों की व्याख्या प्रदान करती है।
सबूत सिद्धांत में, नाभिकीय सूत्रों के लिए पोलारिटी (प्रूफ थ्योरी) असाइनमेंट ध्यान केंद्रित करना (सबूत सिद्धांत) का एक अनिवार्य घटक है।
परमाणु वाक्य

संदर्भ

↑ Hodges, Wilfrid (1997). एक छोटा मॉडल सिद्धांत. Cambridge University Press. pp. 11–14. ISBN 0-521-58713-1.
↑ W. V. O. Quine, Mathematical Logic (1981), p.161. Harvard University Press, 0-674-55451-5

अग्रिम पठन

Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.

[1] Hodges, Wilfrid (1997). एक छोटा मॉडल सिद्धांत. Cambridge University Press. pp. 11–14. ISBN 0-521-58713-1.

[2] W. V. O. Quine, Mathematical Logic (1981), p.161. Harvard University Press, 0-674-55451-5

[1]

[2]

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-{{about|a concept in mathematical logic|the concept from chemistry|chemical formula}}
+{{about|गणितीय तर्क में एक अवधारणा|रसायन विज्ञान से अवधारणा|रासायनिक सूत्र}}
 {{Short description|Mathematical logic concept}}
-[[गणितीय तर्क]] में, एक परमाणु सूत्र (जिसे एक परमाणु या एक प्रमुख सूत्र के रूप में भी जाना जाता है) एक [[सूत्र (गणितीय तर्क)]] है जिसमें कोई गहन तर्कवाक्य संरचना नहीं होती है, अर्थात, एक सूत्र जिसमें कोई तार्किक संबंध नहीं होता है या समान रूप से एक सूत्र होता है जिसमें कोई सख्त [[उपसूत्र]] नहीं होता है। . परमाणु इस प्रकार तर्क के सबसे सरल सुनिर्मित सूत्र हैं। [[तार्किक संयोजक]]ों का उपयोग करते हुए परमाणु सूत्रों को मिलाकर यौगिक सूत्र बनाए जाते हैं।
+[[Index.php?title=गणितीय विषय|गणितीय तर्क]] में, नाभिकीय [[Index.php?title=सूत्र|सूत्र]] एक ऐसा सूत्र है जिसमें कोई प्रस्ताविक संरचना नहीं होती है, अर्थात एक ऐसा सूत्र जिसमें कोई तार्किक संयोजक या समकक्ष सूत्र नहीं होता है जिसमें कोई सख्त [[उपसूत्र]] नहीं होता है। नाभिकीय सूत्र इस प्रकार तर्क के सबसे सरल सुनिर्मित सूत्र हैं। [[Index.php?title=तार्किक संयोजकों|तार्किक संयोजकों]] का उपयोग करते हुए नाभिकीय सूत्रों को मिलाकर यौगिक सूत्र बनाए जाते हैं।
-परमाणु सूत्रों का सटीक रूप विचाराधीन तर्क पर निर्भर करता है; [[प्रस्ताव]]परक तर्क के लिए, उदाहरण के लिए, एक प्रस्तावपरक चर को अक्सर अधिक संक्षेप में एक परमाणु सूत्र के रूप में संदर्भित किया जाता है, लेकिन, अधिक सटीक रूप से, एक [[प्रस्तावक चर]] एक परमाणु सूत्र नहीं है, बल्कि एक औपचारिक अभिव्यक्ति है जो एक परमाणु सूत्र को दर्शाता है। [[विधेय तर्क]] के लिए, परमाणु अपने तर्कों के साथ विधेय प्रतीक हैं, प्रत्येक तर्क एक प्रथम-क्रम तर्क # गठन नियम है। [[मॉडल सिद्धांत]] में, परमाणु सूत्र केवल दिए गए [[हस्ताक्षर (तर्क)]] वाले प्रतीकों के [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] हैं, जो किसी दिए गए मॉडल के संबंध में संतुष्ट हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं।<ref>{{cite book |last=Hodges |first=Wilfrid |year=1997 |title=एक छोटा मॉडल सिद्धांत|publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-58713-1 |pages=11–14}}</ref>
+नाभिकीय सूत्रों का सटीक रूप विचाराधीन तर्क पर निर्भर करता है; [[Index.php?title=प्रस्तावपरक|प्रस्तावपरक]] तर्क के लिए, एक प्रस्तावपरक चर को अधिकांशतः अधिक संक्षेप में " नाभिकीय सूत्र" के रूप में संदर्भित किया जाता है, परंतु, अधिक सटीक रूप से, एक [[प्रस्तावक चर]] एक  नाभिकीय सूत्र नहीं है, अपेक्षाकृत एक औपचारिक अभिव्यक्ति है जो एक नाभिकीय सूत्र को दर्शाता है। [[विधेय तर्क]] के लिए, नाभिकीय अपने तर्कों के साथ विधेय प्रतीक हैं, प्रत्येक तर्क एक शब्द है। [[Index.php?title= प्रतिरूप सिद्धांत|प्रतिरूप सिद्धांत]] में,  नाभिकीय सूत्र केवल दिए गए [[हस्ताक्षर (तर्क)]] वाले प्रतीकों की [[Index.php?title=Index.php?title= तंत्रिका|तंत्रिका]] हैं, जो किसी दिए गए प्रतिरूप के संबंध में तृप्त हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं।<ref>{{cite book |last=Hodges |first=Wilfrid |year=1997 |title=एक छोटा मॉडल सिद्धांत|publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-58713-1 |pages=11–14}}</ref>
 == पहले क्रम के तर्क में परमाणु सूत्र ==
-सामान्य प्रथम-क्रम तर्क के अच्छी तरह से गठित नियम और प्रस्ताव निम्नलिखित [[ वाक्य - विन्यास ]] हैं:
+सामान्य प्रथम-क्रम तर्क के अच्छी तरह से गठित नियम और प्रस्ताव निम्नलिखित [[Index.php?title=रचनाक्रम|रचनाक्रम]] हैं:
-[[शब्द बीजगणित]]:
+[[Index.php?title=वाक्य बीजगणित|वाक्य बीजगणित]]:
 *  <math>t \equiv c \mid x \mid f (t_{1},\dotsc, t_{n})</math>,
-अर्थात्, एक शब्द एक [[पुनरावर्ती परिभाषा]] है जो एक स्थिर c (प्रवचन के डोमेन से एक नामित वस्तु), या एक चर x (प्रवचन के डोमेन में वस्तुओं पर लेकर), या एक n-ary फ़ंक्शन f जिसका तर्क है शर्तें टी<sub>''k''</sub>. फ़ंक्शंस ऑब्जेक्ट के टुपल्स को ऑब्जेक्ट्स में मैप करता है।
+एक शब्द को [[Index.php?title=पुनरावर्ती|पुनरावर्ती]] से एक स्थिर c, या एक चर x, या एक n-ary फ़ंक्शन f के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके तर्क हैं। फ़ंक्शंस विषय ट्यूपल्स विषय को मानचित्र करता है।
-प्रस्ताव:
+तर्कवाक्य:
 * <math>A, B, ... \equiv P (t_{1},\dotsc, t_{n}) \mid A \wedge B \mid \top \mid A \vee B \mid \bot \mid A \supset B \mid \forall x.\ A \mid \exists x.\ A </math>,
-अर्थात्, एक प्रस्ताव को पुनरावर्ती रूप से एक एन-एरी [[विधेय (गणित)]] पी के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका तर्क शब्द टी है<sub>''k''</sub>, या अन्य तर्कवाक्यों के साथ प्रयुक्त तार्किक संयोजकों (और, या) और [[परिमाणक (तर्क)]]तर्क) (सभी के लिए, वहाँ-अस्तित्व) से बना एक व्यंजक।
+एक तर्कवाक्य को पुनरावर्ती रूप से एक n- सव [[Index.php?title=Index.php?title= निर्धारक|निर्धारक]] P के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसका तर्क शब्द tk हैं, या तार्किक संयोजकों, या [[Index.php?title= परिमाणकों|परिमाणकों]] से बना एक अभिव्यक्ति है जो अन्य तर्कवाक्यों के साथ प्रयोग किया जाता है।
-एक परमाणु सूत्र या परमाणु केवल शब्दों के एक समूह के लिए लागू एक विधेय है; अर्थात्, एक परमाणु सूत्र ''P'' (''t'') के रूप का एक सूत्र है<sub>1</sub> ,…, टी<sub>''n''</sub>) P के लिए एक विधेय, और t<sub>''n''</sub> शर्तें।
+एक नाभिकीय सूत्र या नाभिकीय शब्दों के एक समूह के लिए उचित एक विशेषण है; अर्थात्, एक नाभिकीय सूत्र P एक विशेषण और tn पदों के लिए P (t1,…, tn) के रूप का एक सूत्र है।
-तार्किक संयोजकों और परिमाणकों के साथ परमाणुओं की रचना करके अन्य सभी सुनिर्मित सूत्र प्राप्त किए जाते हैं।
+तार्किक संयोजकों और परिमाणकों के साथ अणुओं की रचना करके अन्य सभी सुनिर्मित सूत्र प्राप्त किए जाते हैं।
-उदाहरण के लिए, सूत्र ∀x। पी (एक्स) ∧ ∃y। क्यू (वाई, एफ (एक्स)) ∨ ∃z। आर (जेड) में परमाणु होते हैं
+उदाहरण के लिए, सूत्र ∀''x। P'' (''x'') ∧ ∃''y। Q'' (''y'', ''f'' (''x'')) ∨ ∃''z। R'' (''z'') में नाभिकीय होते हैं
 * <math> P (x) </math>
 * <math>Q (y, f (x))</math>
 * <math>R (z)</math>.
-चूंकि परमाणु सूत्र में कोई परिमाणक प्रकट नहीं होते हैं, परमाणु सूत्र में चर प्रतीकों की सभी घटनाएं मुक्त होती हैं।<ref>W. V. O. Quine, ''Mathematical Logic'' (1981), p.161. Harvard University Press, 0-674-55451-5</ref>
+चूँकि नाभिकीय सूत्र में कोई परिमाणक प्रकट नहीं होते हैं, नाभिकीय सूत्र में चर प्रतीकों की सभी आवृत्तियाँ स्पष्ट होती हैं।<ref>W. V. O. Quine, ''Mathematical Logic'' (1981), p.161. Harvard University Press, 0-674-55451-5</ref>
 == यह भी देखें ==
-* मॉडल सिद्धांत में, [[संरचना (गणितीय तर्क)]] परमाणु सूत्रों की व्याख्या प्रदान करती है।
+* मॉडल सिद्धांत में, [[संरचना (गणितीय तर्क)]] नाभिकीय सूत्रों की व्याख्या प्रदान करती है।
-* [[ सबूत सिद्धांत ]] में, परमाणु सूत्रों के लिए पोलारिटी (प्रूफ थ्योरी) असाइनमेंट [[ ध्यान केंद्रित करना (सबूत सिद्धांत) ]] का एक अनिवार्य घटक है।
+* [[ सबूत सिद्धांत ]] में, नाभिकीय सूत्रों के लिए पोलारिटी (प्रूफ थ्योरी) असाइनमेंट [[ ध्यान केंद्रित करना (सबूत सिद्धांत) ]] का एक अनिवार्य घटक है।
 * [[परमाणु वाक्य]]
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 {{Mathematical logic}}
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