पुलबैक (अंतर ज्यामिति): Difference between revisions

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{{about|pullback operations in differential geometry, in particular, the pullback of [[differential form]]s and [[tensor (intrinsic definition)|tensor fields]] on [[smooth manifold]]s|other uses of the term in [[mathematics]]|pullback}}
{{about|अवकलन ज्यामिति में पुलबैक ऑपरेशंस विशेष रूप से स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर अवकलन फॉर्म्स और टेंसर क्षेत्र का पुलबैक होता है।|गणित में शब्द के अन्य उपयोग के रूप में होते है|पुलबैक के रूप में होता है।}}


होने देना <math>\phi:M\to N</math> चिकने मैनिफोल्ड के बीच एक [[चिकना नक्शा]] बनें <math>M</math> और <math>N</math>. इसके बाद [[एक रूप]] | 1-फॉर्म के स्थान से जुड़ा एक [[रैखिक नक्शा]] है <math>N</math> (कोटिस्पर्शी बंडल के खंड (फाइबर बंडल) का रेखीय स्थान) 1-रूपों के स्थान पर <math>M</math>. इस रेखीय मानचित्र को पुलबैक के रूप में जाना जाता है (द्वारा <math>\phi</math>), और अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\phi^*</math>. अधिक आम तौर पर, किसी भी सहप्रसरण और सदिश टेंसर क्षेत्र के विपरीत - विशेष रूप से किसी भी अंतर रूप - पर <math>N</math> वापस खींचा जा सकता है <math>M</math> का उपयोग करते हुए <math>\phi</math>.
<math>\phi:M\to N</math> स्मूथ मैनिफोल्ड <math>M</math> और <math>N</math>.के बीच [[चिकना नक्शा|स्मूथ मैप]] के रूप में बनें होते है, इसके बाद 1-फॉर्म के स्थान से संबद्ध एक <math>N</math> [[रैखिक नक्शा|रैखिक मैप के रूप में]] होता है। इस रैखिक मैप को <math>\phi</math> पुलबैक के रूप में जाना जाता है और इसे अधिकांशतः <math>\phi^*</math>.द्वारा निरूपित किया जाता है और इस प्रकार सामान्यतः किसी भी सहसंयोजक टेंसर क्षेत्र विशेष रूप से N पर किसी भी अवकलन रूप को <math>\phi</math>. का उपयोग करके M पर वापस खींचा जा सकता है।


जब नक्शा <math>\phi</math> एक भिन्नता है, तो पुशबैकवर्ड (डिफरेंशियल) के साथ पुलबैक का उपयोग किसी भी टेंसर क्षेत्र को बदलने के लिए किया जा सकता है <math>N</math> को <math>M</math> या विपरीत। विशेष रूप से, अगर <math>\phi</math> के खुले उपसमुच्चय के बीच एक भिन्नता है <math>\R^n</math> और <math>\R^n</math>, निर्देशांक के परिवर्तन के रूप में देखा जाता है (शायद विभिन्न मैनिफोल्ड#चार्ट्स के बीच मैनिफोल्ड पर <math>M</math>), फिर पुलबैक और पुशफॉरवर्ड विषय के अधिक पारंपरिक (समन्वय निर्भर) दृष्टिकोणों में उपयोग किए जाने वाले वैक्टर टेंसरों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं।
जब मैप <math>\phi</math> एक भिन्नता के रूप में है, तो पुलबैक, पुशफॉरवर्ड के साथ किसी भी टेंसर क्षेत्र को N से M या इसके विपरीत बदलने के लिए उपयोग किया जा सकता है और इस प्रकार विशेष रूप से, यदि <math>\phi</math> के विवृत उपसमुच्चय के बीच एक भिन्नता <math>\R^n</math> और <math>\R^n</math> निर्देशांक के परिवर्तन के रूप में देखा जाता है और संभवतः विभिन्न मैनिफोल्ड चार्ट्स के बीच मैनिफोल्ड पर <math>M</math> फिर पुलबैक और पुशफॉरवर्ड विषय के अधिक संकीर्ण समन्वय निर्भर दृष्टिकोणों में उपयोग किए जाने वाले सदिश टेंसरों के कोवैरिएंट और कॉन्ट्रावैरिएंट के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं।


पुलबैक के पीछे का विचार अनिवार्य रूप से पुलबैक की धारणा है # एक फ़ंक्शन का दूसरे के साथ प्रीकंपोज़िशन। हालांकि, इस विचार को कई अलग-अलग संदर्भों में जोड़कर, काफी विस्तृत पुलबैक ऑपरेशंस का निर्माण किया जा सकता है। यह लेख सबसे सरल संक्रियाओं से शुरू होता है, फिर उनका उपयोग अधिक परिष्कृत संक्रियाओं के निर्माण के लिए करता है। मोटे तौर पर, पुलबैक मैकेनिज्म (प्रीकम्पोजिशन का उपयोग करके) [[ अंतर ज्यामिति ]] में कई कंस्ट्रक्शन को [[प्रतिपरिवर्ती संचालिका]] फंक्शनल में बदल देता है।
पुलबैक के पीछे का विचार अनिवार्य रूप से एक फलन के दूसरे प्रफलन के साथ संयोजन की धारणा है। चूंकि इस विचार को कई भिन्न भिन्न संदर्भो में जोड़कर बहुत जटिल पुलबैक ऑपरेशंस का निर्माण किया जा सकता है। इइस लेख की शुरुआत सरल संक्रियाओं से प्रारंभ होता है, फिर उनका उपयोग अधिक जटिल संक्रियाओं के निर्माण के लिए के लिए उपयोग में लाया जाता है और इस प्रकार सामान्यतः पुलबैक मैकेनिज्म प्रीकम्पोजिशन का उपयोग करके[[ अंतर ज्यामिति | अवकलन ज्यामिति]] में कई [[प्रतिपरिवर्ती संचालिका]] कार्यात्मक के रूप में बदल देती है।


== चिकने कार्यों और चिकने नक्शों का पुलबैक ==
== स्मूथ फलन और स्मूथ मैप का पुलबैक ==


होने देना <math>\phi:M\to N</math> (चिकनी) मैनिफोल्ड के बीच एक चिकना नक्शा बनें <math>M</math> और <math>N</math>, और मान लीजिए <math>f:N\to\R</math> एक सुचारू कार्य है <math>N</math>. फिर का पुलबैक <math>f</math> द्वारा <math>\phi</math> चिकना कार्य है <math>\phi^*f</math> पर <math>M</math> द्वारा परिभाषित <math>(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))</math>. इसी प्रकार यदि <math>f</math> एक खुले सेट पर एक सहज कार्य है <math>U</math> में <math>N</math>, तो वही सूत्र खुले सेट पर एक सहज कार्य को परिभाषित करता है <math>f</math> में <math>\phi^{-1}(U)</math>. (शेफ (गणित) की भाषा में, पुलबैक चिकनी कार्यों के शीफ से एक रूपवाद को परिभाषित करता है <math>N</math> [[प्रत्यक्ष छवि शीफ]] द्वारा <math>\phi</math> चिकने कार्यों के पुलिंदे पर <math>M</math>.)
माना कि <math>\phi:M\to N</math> स्मूथ मैनिफोल्ड <math>M</math> और <math>N</math>.के बीच [[चिकना नक्शा|स्मूथ मैप]] के रूप में बनें होते है और मान लीजिए <math>f:N\to\R</math> एक सुचारू फलन के रूप में <math>N</math>.है, फिर <math>\phi</math> द्वारा <math>f</math> का पुलबैक स्मूथ <math>(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))</math> द्वारा परिभाषित <math>M</math> पर स्मूथ फलन <math>\phi^*f</math> .के रूप में है, इसी प्रकार यदि <math>f</math> एक विवृत समुच्चय पर एक सहज फलन <math>U</math> और <math>N</math> के रूप में है तो वही सूत्र <math>\phi^{-1}(U)</math>.में विवृत समुच्चय <math>f</math> पर एक स्मूथ फलन को परिभाषित करता है। (शेफ (गणित) की पुलबैक भाषा में <math>M</math> स्मूथ फलन के शीफ से <math>\phi</math> द्वारा [[प्रत्यक्ष छवि शीफ]] के लिए <math>N</math> पर स्मूथ फलन के शीफ मोर्फिज्म को परिभाषित करता है।


अधिक सामान्यतः, यदि <math>f:N\to A</math> से एक चिकना नक्शा है <math>N</math> किसी भी अन्य कई गुना <math>A</math>, तब <math>(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))</math> से एक चिकना नक्शा है <math>M</math> को <math>A</math>.
अधिक सामान्यतः यदि <math>f:N\to A</math>, <math>N</math> से किसी भी अन्य गुना <math>A</math> के लिए स्मूथ मैप के रूप में है और तब <math>(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))</math> <math>M</math> को <math>A</math> तक एक स्मूथ मैप के रूप में है।


== बंडलों और वर्गों का पुलबैक ==
== बंडलों और सेक्शन का पुलबैक ==


अगर <math>E</math> एक [[वेक्टर बंडल]] (या वास्तव में कोई [[फाइबर बंडल]]) खत्म हो गया है <math>N</math> और <math>\phi:M\to N</math> एक चिकना नक्शा है, फिर [[पुलबैक बंडल]] <math>\phi^*E</math> एक वेक्टर बंडल (या फाइबर बंडल) खत्म हो गया है <math>M</math> जिसका रेशा (गणित) खत्म हो गया <math>x</math> में <math>M</math> द्वारा दिया गया है <math>(\phi^*E)_x=E_{\phi(x)}</math>.
यदि <math>E</math> [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] है अथवा वास्तव में किसी भी [[फाइबर बंडल]] <math>N</math> और <math>\phi:M\to N</math> के ऊपर का एक स्मूथ मैप है तो [[पुलबैक बंडल]] <math>\phi^*E</math> सदिश बंडल अथवा <math>M</math> फाइबर बंडल के रूप में होता है जिसका फाइबर <math>x</math> से अधिक <math>M</math> में <math>(\phi^*E)_x=E_{\phi(x)}</math> के द्वारा दिया गया है


इस स्थिति में, प्रीकंपोज़िशन के अनुभागों पर पुलबैक ऑपरेशन को परिभाषित करता है <math>E</math>: अगर <math>s</math> का एक खंड (फाइबर बंडल) है <math>E</math> ऊपर <math>N</math>, फिर पुलबैक बंडल <math>\phi^*s=s\circ\phi</math> का एक भाग है <math>\phi^*E</math> ऊपर <math>M</math>.
इस स्थिति में, पूर्वसंगठन के अनुभागों पर पुलबैक ऑपरेशन को परिभाषित करता है <math>E</math>: यदि <math>s</math> का एक खंड फाइबर बंडल है तो <math>E</math> के ऊपर <math>N</math>, फिर पुलबैक बंडल <math>\phi^*s=s\circ\phi</math> का एक भाग है और <math>M</math> के ऊपर <math>\phi^*E</math> है।


== बहुरेखीय रूपों का पुलबैक ==
== बहुरेखीय रूपों का पुलबैक ==


होने देना {{nowrap|Φ: ''V'' → ''W''}} वेक्टर रिक्त स्थान वी और डब्ल्यू के बीच एक रैखिक मानचित्र बनें (यानी, Φ का एक तत्व है {{nowrap|''L''(''V'', ''W'')}}, भी निरूपित {{nowrap|Hom(''V'', ''W'')}}), और जाने
माना {{nowrap|Φ: ''V'' → ''W''}} सदिश रिक्त समष्टि वी और डब्ल्यू के बीच रैखिक मैप के रूप में होते है अर्थात , Φ का एक तत्व {{nowrap|''L''(''V'', ''W'')}} है जिसे {{nowrap|Hom(''V'', ''W'')}}),से निरूपित करते है और प्रकार दिखाते है


:<math>F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbf{R}</math>
:<math>F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbf{R}</math>
डब्ल्यू पर एक बहुरेखीय रूप हो (जिसे एक [[ टेन्सर ]] के रूप में भी जाना जाता है - एक टेंसर फ़ील्ड के साथ भ्रमित नहीं होना - रैंक का {{nowrap|(0, ''s'')}}, जहां s उत्पाद में W के कारकों की संख्या है)। फिर पुलबैक Φ<sup>∗</sup>Φ द्वारा F का F, V पर एक बहुरेखीय रूप है, जिसे Φ के साथ F को पूर्वनिर्मित करके परिभाषित किया गया है। अधिक सटीकता से, दिए गए सदिश v<sub>1</sub>, में<sub>2</sub>, ..., में<sub>''s''</sub> वी में, Φ<sup>∗</sup>F सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है
डब्ल्यू एक बहुरेखीय रूप होता है, जिसे [[ टेन्सर |टेन्सर]] के रूप में भी जाना जाता है और इस प्रकार टेंसर क्षेत्र के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए रैंक का {{nowrap|(0, ''s'')}}, जहां s गुणन में W के कारकों की संख्या है। फिर पुलबैक Φ<sup>∗</sup>Φ द्वारा F का F, V पर बहुरेखीय रूप है, जिसे Φ के साथ F को पूर्वनिर्मित करके परिभाषित किया जाता है और इस प्रकार अधिक सटीकता से दिए गए सदिश ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v<sub>s</sub>'' में v में, Φ<sup>∗</sup>F सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है


:<math>(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),</math>
:<math>(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),</math>
जो वी पर एक बहुरेखीय रूप है। इसलिए Φ<sup>∗</sup> एक (रैखिक) संकारक है जो W पर बहुरेखीय रूपों से V पर बहुरेखीय रूपों तक होता है। एक विशेष मामले के रूप में, ध्यान दें कि यदि F, W पर एक रैखिक रूप (या (0,1)-टेंसर) है, ताकि F, W का एक अवयव है<sup>∗</sup>, W का दोहरा स्थान, फिर Φ<sup>∗</sup>F, V का एक अवयव है<sup>∗</sup>, और इसलिए Φ द्वारा पुलबैक दोहरे स्थानों के बीच एक रेखीय मानचित्र को परिभाषित करता है जो रेखीय मानचित्र Φ के विपरीत दिशा में कार्य करता है:
जो v पर एक बहुरेखीय रूप है। इसलिए Φ<sup>∗</sup> एक रैखिक ऑपरेटर है, जो W पर बहुरेखीय से V पर बहुरेखीय रूपों तक होता है और इस प्रकार एक विशेष स्थितियों के रूप में यदि ध्यान दें कि F, W पर एक रैखिक रूप या (0,1) टेंसर के रूप में है, जिससे कि F, W का एक अवयव है, जो W का दोहरा स्थान Φ<sup>∗</sup>F, V का एक अवयव है और इसलिए Φ द्वारा पुलबैक दोहरे स्थानों के बीच एक रेखीय मैप को परिभाषित करता है, जो रेखीय मैप Φ के विपरीत दिशा में फलन के रूप में होता है


:<math>\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.</math>
:<math>\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.</math>
तन्यता के दृष्टिकोण से, मनमाना रैंक के टेंसरों के लिए पुलबैक की धारणा का विस्तार करने की कोशिश करना स्वाभाविक है, अर्थात, W की r प्रतियों के टेन्सर उत्पाद में मान लेने वाले W पर बहुरेखीय नक्शों के लिए, अर्थात, {{nowrap|''W'' ⊗ ''W'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''W''}}. हालांकि, ऐसे टेंसर उत्पाद के तत्व स्वाभाविक रूप से पीछे नहीं हटते हैं: इसके बजाय एक पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन होता है {{nowrap|''V'' ⊗ ''V'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''V''}} को {{nowrap|''W'' ⊗ ''W'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''W''}} द्वारा दिए गए
तन्यता के दृष्टिकोण से यादृच्छिक रैंक के टेंसरों के लिए पुलबैक की धारणा का विस्तार करने की कोशिश करना स्वाभाविक है, अर्थात W की r प्रतियों के टेन्सर गुणन में मान लेने वाले W पर बहुरेखीय मैप के लिए होते है अर्थात, {{nowrap|''W'' ⊗ ''W'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''W''}}. चूंकि, ऐसे टेंसर गुणन के तत्व स्वाभाविक रूप से पीछे नहीं हटते हैं, इसके अतिरिक्त एक पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन होता है जो इस रूप में दिए गए है {{nowrap|''V'' ⊗ ''V'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''V''}} को {{nowrap|''W'' ⊗ ''W'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''W''}}  


:<math>\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).</math>
:<math>\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).</math>
फिर भी, यह इस बात का अनुसरण करता है कि यदि Φ उलटा है, पुलबैक को व्युत्क्रम फ़ंक्शन Φ द्वारा पुशफॉरवर्ड का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है<sup>-1</sup>. इन दो निर्माणों के संयोजन से किसी भी रैंक के टेंसरों के लिए एक उलटा रैखिक मानचित्र के साथ एक पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन प्राप्त होता है {{nowrap|(''r'', ''s'')}}.
फिर भी, यह इस बात का अनुसरण करता है कि यदि Φ उलटा है, पुलबैक को व्युत्क्रम फलन Φ<sup>1</sup> द्वारा पुशफॉरवर्ड का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, तो इन दो निर्माणों के संयोजन से किसी भी रैंक के टेंसरों के लिए उलटा रैखिक मैप के साथ एक पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन {{nowrap|(''r'', ''s'')}}.के रूप में प्राप्त होता है


== कॉटैंजेंट वैक्टर और 1-फॉर्म == का पुलबैक
=== कॉटैंजेंट सदिश और 1-फॉर्म का पुलबैक ===
माना ''φ'' : ''M'' → ''N'' [[चिकनी कई गुना|स्मूथ]] मैनिफोल्ड के बीच स्मूथ मैप होता है । फिर φ का अवकलन जिसे ''φ''<sub>*</sub>, ''dφ'', या ''Dφ के रूप में लिखा जाता है और'' M के [[स्पर्शरेखा बंडल]] TM से पुलबैक बंडल φ*TN तक M पर सदिश बंडल मोरफोलॉजी है<sup>*</sup>टीएन। इसलिए φ* का स्थानान्तरण φ*T*N से T*M तक का बंडल मैप के रूप में है, जो M का कॉटैंजेंट बंडल है।


चलो φ : एम → एन [[चिकनी कई गुना]]ओं के बीच एक चिकनी नक्शा बनें। फिर φ का पुशफॉरवर्ड (अंतर), φ लिखा<sub>*</sub>, dφ, या Dφ, M के [[स्पर्शरेखा बंडल]] TM से पुलबैक बंडल φ तक एक वेक्टर बंडल आकारिकी (M से अधिक) है<sup>*</sup>टीएन। φ की दोहरी जगह<sub>*</sub> इसलिए φ से एक बंडल नक्शा है<sup>*</sup>टी<sup>*</sup>N से T<sup>*</sup>M, M का कोटैंजेंट बंडल।
अब मान लीजिए α T<sup>*</sup>N का एक खंड N पर 1-फॉर्म फाइबर बंडल है और φ*T*N का पुलबैक अनुभाग बंडल प्राप्त करने के लिए α को φ के साथ पूर्वनिर्मित करता है। उपरोक्त बंडल जो मैप को इस खंड में बिंदुवार लागू करने से α का 'पुलबैक' φ द्वारा प्राप्त होता है, जो 1-फॉर्म द्वारा परिभाषित 1-फॉर्म φ*α के रूप में है
:<math> (\varphi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X))</math>
''T<sub>x</sub>M''. में ''M'' और x में ''X'' के रूप में होता है।


अब मान लीजिए α T का एक खंड (फाइबर बंडल) है<sup>*</sup>N (एक डिफरेंशियल फॉर्म|N पर 1-फॉर्म), और φ का पुलबैक बंडल प्राप्त करने के लिए α को φ के साथ प्रीकंपोज़ करें<sup>*</sup>टी<sup>*</sup>एन. उपरोक्त बंडल मानचित्र (बिंदुवार) को इस अनुभाग में लागू करने से α का 'पुलबैक' φ द्वारा प्राप्त होता है, जो 1-रूप φ है<sup>*</sup>α ऑन एम द्वारा परिभाषित
== (कोवेरिएन्ट) टेंसर क्षेत्र का पुलबैक ==
:<math> (\varphi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X))</math>
पिछले खंड का निर्माण किसी भी प्राकृतिक संख्या s के लिए रैंक <math>(0,s)</math> के टेंसर बंडलों को तुरंत सामान्यीकृत करता है और इस प्रकार <math>s</math>, <math>(0,s)</math> [[टेंसर क्षेत्र]] कई गुना <math>N</math> पर टेंसर बंडल का एक भाग होता है, जिसका फाइबर <math>y</math> में <math>N</math> के बहुरेखीय s-फॉर्म में होता है।
एम में एक्स और टी में एक्स के लिए<sub>''x''</sub>एम।


== (सहसंयोजक) टेंसर फ़ील्ड्स का पुलबैक ==
पिछले खंड का निर्माण रैंक के दसियों के लिए तुरंत सामान्यीकृत होता है <math>(0,s)</math> किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए <math>s</math>: ए <math>(0,s)</math> कई गुना पर [[टेंसर क्षेत्र]] <math>N</math> टेंसर बंडल का एक भाग चालू है <math>N</math> जिसका फाइबर पर <math>y</math> में <math>N</math> बहुरेखीय का स्थान है <math>s</math>-रूप
:<math> F: T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.</math>
:<math> F: T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.</math>
ले कर <math>\phi</math> एक चिकने मानचित्र के (बिंदुवार) अंतर के बराबर <math>\phi</math> से <math>M</math> को <math>N</math>, बहुरेखीय रूपों के पुलबैक को पुलबैक उत्पन्न करने के लिए वर्गों के पुलबैक के साथ जोड़ा जा सकता है <math>(0,s)</math> टेंसर फ़ील्ड चालू <math>M</math>. अधिक सटीक अगर <math>S</math> एक है <math>(0,s)</math>-टेंसर फील्ड ऑन <math>N</math>, फिर का पुलबैक <math>S</math> द्वारा <math>\phi</math> है <math>(0,s)</math>-टेंसर क्षेत्र <math>\phi^*S</math> पर <math>M</math> द्वारा परिभाषित
<math>M</math> से <math>N</math> तक स्मूथ मैप Q के बिंदुवार अवकलन के बराबर <math>\phi</math> है और इस प्रकार बहुरेखीय फॉर्म के पुलबैक को <math>M</math> पर पुलबैक (<math>(0,s)</math> टेंसर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए वर्गों के पुलबैक के साथ जोड़ा जा सकता है और यह अधिक सटीक रूप से यदि <math>S</math> एक <math>(0,s)</math> <math>N</math> पर टेंसर क्षेत्र के रूप में है, तो फिर <math>\phi</math> द्वारा <math>S</math> का पुलबैक <math>(0,s)</math>-टेंसर क्षेत्र <math>\phi^*S</math> पर <math>M</math> द्वारा परिभाषित है।
 
:<math> (\varphi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X_1),\ldots, d\varphi_x(X_s))</math>
:<math> (\varphi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X_1),\ldots, d\varphi_x(X_s))</math>
के लिए <math>x</math> में <math>M</math> और <math>X_j</math> में <math>T_xM</math>.
<math>T_xM</math>.में <math>M</math> और <math>x</math> में <math>X_j</math> के रूप में है।


== अंतर रूपों का पुलबैक ==
== अवकलन फॉर्म का पुलबैक ==
सहसंयोजक टेंसर क्षेत्रों के पुलबैक का एक विशेष महत्वपूर्ण मामला अंतर रूपों का पुलबैक है। अगर <math>\alpha</math> एक अंतर है <math>k</math>-फॉर्म, यानी [[बाहरी बंडल]] का एक हिस्सा <math>\Lambda^k(T^*N)</math> (फाइबरवाइज) बारी-बारी से <math>k</math>-फॉर्म चालू है <math>TN</math>, फिर का पुलबैक <math>\alpha</math> अंतर है <math>k</math>-फॉर्म ऑन <math>M</math> पिछले अनुभाग के समान सूत्र द्वारा परिभाषित:
कोवेरिएन्ट टेंसर क्षेत्र के पुलबैक का एक विशेष महत्वपूर्ण स्थिति अवकलन फॉर्म का पुलबैक है। यदि <math>\alpha</math> अवकलन है <math>k</math>-फॉर्म में है अर्थात <math>\Lambda^k(T^*N)</math> फाइबरवाइज वैकल्पिक रूप में <math>k</math>-फॉर्म [[के बाहरी बंडल]] <math>TN</math> का एक खंड है, तो <math>\alpha</math> का पुलबैक <math>M</math> पर अवकलन k-फॉर्म में है जिसे पिछले खंड में फॉर्मूले द्वारा परिभाषित किया गया है।
:<math> (\varphi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X_1),\ldots, d\varphi_x(X_k))</math>
:<math> (\varphi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X_1),\ldots, d\varphi_x(X_k))</math>
के लिए <math>x</math> में <math>M</math> और <math>X_j</math> में <math>T_xM</math>.
<math>T_xM</math>.में <math>M</math> और <math>x</math> में <math>X_j</math> के रूप में है।


डिफरेंशियल फॉर्म के पुलबैक में दो गुण होते हैं जो इसे बेहद उपयोगी बनाते हैं।
अवकलन फॉर्म के पुलबैक में दो गुण होते हैं जो इसे बहुत उपयोगी बनाते हैं।


# यह वेज उत्पाद के साथ इस अर्थ में संगत है कि अंतर रूपों के लिए <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> पर <math>N</math>,
# यह वेज गुणन के साथ इस अर्थ में संगत है कि अवकलन रूपों के लिए <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> पर <math>N</math> के रूप में होते है।
#: <math>\varphi^*(\alpha \wedge \beta)=\varphi^*\alpha \wedge \varphi^*\beta.</math>
#: <math>\varphi^*(\alpha \wedge \beta)=\varphi^*\alpha \wedge \varphi^*\beta.</math>
# यह [[बाहरी व्युत्पन्न]] के साथ संगत है <math>d</math>: अगर <math>\alpha</math> पर अवकलन रूप है <math>N</math> तब
# यह [[बाहरी व्युत्पन्न]] के साथ संगत के रूप में <math>d</math>:है, यदि <math>\alpha</math> पर अवकलन <math>N</math> रूप में हो तब,
#: <math>\varphi^*(d\alpha) = d(\varphi^*\alpha).</math>
#: <math>\varphi^*(d\alpha) = d(\varphi^*\alpha).</math><br />
 
== डिफियोमॉर्फिज्म द्वारा पुलबैक ==
 
जब मैप <math>\phi</math> मैनिफोल्ड्स के बीच एक डिफियोमोर्फिज्म है, अर्थात इसमें एक स्मूथ व्युत्क्रम है, तो फिर पुलबैक को [[वेक्टर क्षेत्र|सदिश]] क्षेत्र के साथ-साथ 1-फॉर्म के लिए परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार रेखीय मैप कई गुना यादृच्छिक मिश्रित टेंसर क्षेत्र के लिए विस्तारीत होता है।
== अलग-अलग रूपों द्वारा पुलबैक ==
जब नक्शा <math>\phi</math> मैनिफोल्ड्स के बीच एक डिफियोमोर्फिज्म है, यानी, इसका एक चिकना व्युत्क्रम है, फिर पुलबैक को [[वेक्टर क्षेत्र]]ों के साथ-साथ 1-रूपों के लिए परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार, विस्तार द्वारा, कई गुना पर एक मनमाना मिश्रित टेंसर क्षेत्र के लिए। रेखीय नक्शा
:<math>\Phi = d\varphi_x \in \operatorname{GL}\left(T_x M, T_{\varphi(x)}N\right)</math>
:<math>\Phi = d\varphi_x \in \operatorname{GL}\left(T_x M, T_{\varphi(x)}N\right)</math>
देने के लिए उलटा किया जा सकता है
प्रतिलोम के रूप में किया जा सकता है।
:<math>\Phi^{-1} = \left({d\varphi_x}\right)^{-1} \in \operatorname{GL}\left(T_{\varphi(x)}N, T_x M\right).</math>
:<math>\Phi^{-1} = \left({d\varphi_x}\right)^{-1} \in \operatorname{GL}\left(T_{\varphi(x)}N, T_x M\right).</math>
एक सामान्य मिश्रित टेंसर फ़ील्ड तब का उपयोग कर रूपांतरित हो जाएगा <math>\phi</math> और <math>\phi^{-1}</math> टेंसर उत्पाद के अनुसार टेंसर बंडल की प्रतियों में अपघटन <math>TN</math> और <math>T^*N</math>. कब <math>M=N</math>, फिर पुलबैक और पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) कई गुना पर टेंसर के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं <math>M</math>. पारंपरिक शब्दों में, पुलबैक टेंसर के सहसंयोजक सूचकांकों के परिवर्तन गुणों का वर्णन करता है; इसके विपरीत, सदिश सूचकांकों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण का परिवर्तन एक पुशफॉरवर्ड (अंतर) द्वारा दिया जाता है।
एक सामान्य मिश्रित टेंसर क्षेत्र तब <math>\phi</math> और <math>\phi^{-1}</math> का उपयोग करके टेंसर गुणन के अनुसार टेंसर बंडल की प्रतियों में अपघटन <math>TN</math> और <math>T^*N</math> के रूप में रूपांतरित हो जाता है, जब <math>M=N</math> पुलबैक और पुशफॉरवर्ड अवकलन कई गुना <math>M</math>.पर टेंसर के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं संकीर्ण शब्दों में पुलबैक टेंसर के सहसंयोजक सूचकांकों के परिवर्तन गुणों का वर्णन करता है; इसके विपरीत सदिश सूचकांकों के कोवेरिएन्ट का परिवर्तन पुशफॉरवर्ड अवकलन द्वारा दिया जाता है।


== ऑटोमोर्फिज्म द्वारा पुलबैक ==
== ऑटोमोर्फिज्म द्वारा पुलबैक ==


पिछले खंड के निर्माण में एक प्रतिनिधित्व-सैद्धांतिक व्याख्या है जब <math>\phi</math> कई गुना से एक भिन्नता है <math>M</math> खुद को। इस मामले में व्युत्पन्न <math>d\phi</math> का एक भाग है <math>\operatorname{GM}(TM,\phi^*TM)</math>. यह [[फ्रेम बंडल]] से जुड़े किसी भी बंडल के अनुभागों पर पुलबैक क्रिया को प्रेरित करता है <math>\operatorname{GM}(m)</math> का <math>M</math> [[सामान्य रैखिक समूह]] के प्रतिनिधित्व द्वारा <math>\operatorname{GM}(m)</math> (कहाँ <math>m=\dim M</math>).
पिछले खंड के निर्माण में एक प्रतिनिधित्व-सैद्धांतिक व्याख्या है जब <math>\phi</math> कई गुना <math>M</math> से स्वयं के लिए एक भिन्नता है। इस स्थितियों में व्युत्पन्न <math>d\phi</math> का एक भाग <math>\operatorname{GM}(TM,\phi^*TM)</math>.के रूप में है, यह [[फ्रेम बंडल]] से जुड़े किसी भी बंडल के अनुभागों पर पुलबैक क्रिया को प्रेरित करता है और इस प्रकार <math>\operatorname{GM}(m)</math> का <math>M</math> [[सामान्य रैखिक समूह]] के प्रतिनिधित्व <math>\operatorname{GM}(m)</math> द्वारा दिया जाता है। जहाँ <math>m=\dim M</math>.है।


== पुलबैक और [[झूठ व्युत्पन्न]] ==
== पुलबैक और [[झूठ व्युत्पन्न|लाई अवकलज]] ==


लाइ डेरिवेटिव देखें। सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित भिन्नता के स्थानीय 1-पैरामीटर समूह में पूर्ववर्ती विचारों को लागू करके <math>M</math>, और पैरामीटर के संबंध में अंतर करते हुए, किसी भी संबद्ध बंडल पर लाई डेरिवेटिव की धारणा प्राप्त की जाती है।
लाइ अवकलज देखें। सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित भिन्नता के स्थानीय 1-पैरामीटर समूह में पूर्ववर्ती विचारों को लागू करके <math>M</math> और पैरामीटर के संबंध में अवकलन करते हुए, किसी भी संबद्ध बंडल पर लाई अवकलज की धारणा प्राप्त की जाती है।


== कनेक्शन का पुलबैक (सहसंयोजक डेरिवेटिव) ==
== कनेक्शन का पुलबैक (कोवेरिएन्ट अवकलज) ==


अगर <math>\nabla</math> एक वेक्टर बंडल पर एक [[कनेक्शन (वेक्टर बंडल)]] (या सहसंयोजक व्युत्पन्न) है <math>E</math> ऊपर <math>N</math> और <math>\phi</math> से एक चिकना नक्शा है <math>M</math> को <math>N</math>, तो एक पुलबैक कनेक्शन है <math>\phi^*\nabla</math> पर <math>\phi^*E</math> ऊपर <math>M</math>, विशिष्ट रूप से इस शर्त द्वारा निर्धारित किया गया है कि
यदि <math>\nabla</math> एक सदिश बंडल पर [[कनेक्शन (वेक्टर बंडल)|संयोजन सदिश बंडल]] या कोवेरिएन्ट अवकलज है <math>E</math> के ऊपर <math>N</math> और <math>\phi</math> के रूप में स्मूथ मैप है और इस प्रकार <math>M</math> से <math>N</math> एक पुलबैक संयोजन है जो <math>\phi^*\nabla</math> पर <math>\phi^*E</math> के ऊपर <math>M</math>, विशिष्ट रूप से इस स्थिति द्वारा निर्धारित कियाजाता है।
:<math>\left(\varphi^*\nabla\right)_X\left(\varphi^*s\right) = \varphi^*\left(\nabla_{d\varphi(X)} s\right).</math>
:<math>\left(\varphi^*\nabla\right)_X\left(\varphi^*s\right) = \varphi^*\left(\nabla_{d\varphi(X)} s\right).</math>




== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* पुशफॉरवर्ड (अंतर)
* पुशफॉरवर्ड (अवकलन )
* पुलबैक बंडल
* पुलबैक बंडल
* [[पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)]]
* [[पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)]]
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Latest revision as of 10:38, 30 May 2023

स्मूथ मैनिफोल्ड और .के बीच स्मूथ मैप के रूप में बनें होते है, इसके बाद 1-फॉर्म के स्थान से संबद्ध एक रैखिक मैप के रूप में होता है। इस रैखिक मैप को पुलबैक के रूप में जाना जाता है और इसे अधिकांशतः .द्वारा निरूपित किया जाता है और इस प्रकार सामान्यतः किसी भी सहसंयोजक टेंसर क्षेत्र विशेष रूप से N पर किसी भी अवकलन रूप को . का उपयोग करके M पर वापस खींचा जा सकता है।

जब मैप एक भिन्नता के रूप में है, तो पुलबैक, पुशफॉरवर्ड के साथ किसी भी टेंसर क्षेत्र को N से M या इसके विपरीत बदलने के लिए उपयोग किया जा सकता है और इस प्रकार विशेष रूप से, यदि के विवृत उपसमुच्चय के बीच एक भिन्नता और निर्देशांक के परिवर्तन के रूप में देखा जाता है और संभवतः विभिन्न मैनिफोल्ड चार्ट्स के बीच मैनिफोल्ड पर फिर पुलबैक और पुशफॉरवर्ड विषय के अधिक संकीर्ण समन्वय निर्भर दृष्टिकोणों में उपयोग किए जाने वाले सदिश टेंसरों के कोवैरिएंट और कॉन्ट्रावैरिएंट के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं।

पुलबैक के पीछे का विचार अनिवार्य रूप से एक फलन के दूसरे प्रफलन के साथ संयोजन की धारणा है। चूंकि इस विचार को कई भिन्न भिन्न संदर्भो में जोड़कर बहुत जटिल पुलबैक ऑपरेशंस का निर्माण किया जा सकता है। इइस लेख की शुरुआत सरल संक्रियाओं से प्रारंभ होता है, फिर उनका उपयोग अधिक जटिल संक्रियाओं के निर्माण के लिए के लिए उपयोग में लाया जाता है और इस प्रकार सामान्यतः पुलबैक मैकेनिज्म प्रीकम्पोजिशन का उपयोग करके अवकलन ज्यामिति में कई प्रतिपरिवर्ती संचालिका कार्यात्मक के रूप में बदल देती है।

स्मूथ फलन और स्मूथ मैप का पुलबैक

माना कि स्मूथ मैनिफोल्ड और .के बीच स्मूथ मैप के रूप में बनें होते है और मान लीजिए एक सुचारू फलन के रूप में .है, फिर द्वारा का पुलबैक स्मूथ द्वारा परिभाषित पर स्मूथ फलन .के रूप में है, इसी प्रकार यदि एक विवृत समुच्चय पर एक सहज फलन और के रूप में है तो वही सूत्र .में विवृत समुच्चय पर एक स्मूथ फलन को परिभाषित करता है। (शेफ (गणित) की पुलबैक भाषा में स्मूथ फलन के शीफ से द्वारा प्रत्यक्ष छवि शीफ के लिए पर स्मूथ फलन के शीफ मोर्फिज्म को परिभाषित करता है।

अधिक सामान्यतः यदि , से किसी भी अन्य गुना के लिए स्मूथ मैप के रूप में है और तब को तक एक स्मूथ मैप के रूप में है।

बंडलों और सेक्शन का पुलबैक

यदि सदिश बंडल है अथवा वास्तव में किसी भी फाइबर बंडल और के ऊपर का एक स्मूथ मैप है तो पुलबैक बंडल सदिश बंडल अथवा फाइबर बंडल के रूप में होता है जिसका फाइबर से अधिक में के द्वारा दिया गया है

इस स्थिति में, पूर्वसंगठन के अनुभागों पर पुलबैक ऑपरेशन को परिभाषित करता है : यदि का एक खंड फाइबर बंडल है तो के ऊपर , फिर पुलबैक बंडल का एक भाग है और के ऊपर है।

बहुरेखीय रूपों का पुलबैक

माना Φ: VW सदिश रिक्त समष्टि वी और डब्ल्यू के बीच रैखिक मैप के रूप में होते है अर्थात , Φ का एक तत्व L(V, W) है जिसे Hom(V, W)),से निरूपित करते है और प्रकार दिखाते है

डब्ल्यू एक बहुरेखीय रूप होता है, जिसे टेन्सर के रूप में भी जाना जाता है और इस प्रकार टेंसर क्षेत्र के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए रैंक का (0, s), जहां s गुणन में W के कारकों की संख्या है। फिर पुलबैक ΦΦ द्वारा F का F, V पर बहुरेखीय रूप है, जिसे Φ के साथ F को पूर्वनिर्मित करके परिभाषित किया जाता है और इस प्रकार अधिक सटीकता से दिए गए सदिश v1, v2, ..., vs में v में, ΦF सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

जो v पर एक बहुरेखीय रूप है। इसलिए Φ एक रैखिक ऑपरेटर है, जो W पर बहुरेखीय से V पर बहुरेखीय रूपों तक होता है और इस प्रकार एक विशेष स्थितियों के रूप में यदि ध्यान दें कि F, W पर एक रैखिक रूप या (0,1) टेंसर के रूप में है, जिससे कि F, W का एक अवयव है, जो W का दोहरा स्थान ΦF, V का एक अवयव है और इसलिए Φ द्वारा पुलबैक दोहरे स्थानों के बीच एक रेखीय मैप को परिभाषित करता है, जो रेखीय मैप Φ के विपरीत दिशा में फलन के रूप में होता है

तन्यता के दृष्टिकोण से यादृच्छिक रैंक के टेंसरों के लिए पुलबैक की धारणा का विस्तार करने की कोशिश करना स्वाभाविक है, अर्थात W की r प्रतियों के टेन्सर गुणन में मान लेने वाले W पर बहुरेखीय मैप के लिए होते है अर्थात, WW ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. चूंकि, ऐसे टेंसर गुणन के तत्व स्वाभाविक रूप से पीछे नहीं हटते हैं, इसके अतिरिक्त एक पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन होता है जो इस रूप में दिए गए है VV ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V को WW ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W

फिर भी, यह इस बात का अनुसरण करता है कि यदि Φ उलटा है, पुलबैक को व्युत्क्रम फलन Φ1 द्वारा पुशफॉरवर्ड का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, तो इन दो निर्माणों के संयोजन से किसी भी रैंक के टेंसरों के लिए उलटा रैखिक मैप के साथ एक पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन (r, s).के रूप में प्राप्त होता है

कॉटैंजेंट सदिश और 1-फॉर्म का पुलबैक

माना φ : MN स्मूथ मैनिफोल्ड के बीच स्मूथ मैप होता है । फिर φ का अवकलन जिसे φ*, , या Dφ के रूप में लिखा जाता है और M के स्पर्शरेखा बंडल TM से पुलबैक बंडल φ*TN तक M पर सदिश बंडल मोरफोलॉजी है*टीएन। इसलिए φ* का स्थानान्तरण φ*T*N से T*M तक का बंडल मैप के रूप में है, जो M का कॉटैंजेंट बंडल है।

अब मान लीजिए α T*N का एक खंड N पर 1-फॉर्म फाइबर बंडल है और φ*T*N का पुलबैक अनुभाग बंडल प्राप्त करने के लिए α को φ के साथ पूर्वनिर्मित करता है। उपरोक्त बंडल जो मैप को इस खंड में बिंदुवार लागू करने से α का 'पुलबैक' φ द्वारा प्राप्त होता है, जो 1-फॉर्म द्वारा परिभाषित 1-फॉर्म φ*α के रूप में है

TxM. में M और x में X के रूप में होता है।

(कोवेरिएन्ट) टेंसर क्षेत्र का पुलबैक

पिछले खंड का निर्माण किसी भी प्राकृतिक संख्या s के लिए रैंक के टेंसर बंडलों को तुरंत सामान्यीकृत करता है और इस प्रकार , टेंसर क्षेत्र कई गुना पर टेंसर बंडल का एक भाग होता है, जिसका फाइबर में के बहुरेखीय s-फॉर्म में होता है।

से तक स्मूथ मैप Q के बिंदुवार अवकलन के बराबर है और इस प्रकार बहुरेखीय फॉर्म के पुलबैक को पर पुलबैक ( टेंसर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए वर्गों के पुलबैक के साथ जोड़ा जा सकता है और यह अधिक सटीक रूप से यदि एक पर टेंसर क्षेत्र के रूप में है, तो फिर द्वारा का पुलबैक -टेंसर क्षेत्र पर द्वारा परिभाषित है।

.में और में के रूप में है।

अवकलन फॉर्म का पुलबैक

कोवेरिएन्ट टेंसर क्षेत्र के पुलबैक का एक विशेष महत्वपूर्ण स्थिति अवकलन फॉर्म का पुलबैक है। यदि अवकलन है -फॉर्म में है अर्थात फाइबरवाइज वैकल्पिक रूप में -फॉर्म के बाहरी बंडल का एक खंड है, तो का पुलबैक पर अवकलन k-फॉर्म में है जिसे पिछले खंड में फॉर्मूले द्वारा परिभाषित किया गया है।

.में और में के रूप में है।

अवकलन फॉर्म के पुलबैक में दो गुण होते हैं जो इसे बहुत उपयोगी बनाते हैं।

  1. यह वेज गुणन के साथ इस अर्थ में संगत है कि अवकलन रूपों के लिए और पर के रूप में होते है।
  2. यह बाहरी व्युत्पन्न के साथ संगत के रूप में :है, यदि पर अवकलन रूप में हो तब,

डिफियोमॉर्फिज्म द्वारा पुलबैक

जब मैप मैनिफोल्ड्स के बीच एक डिफियोमोर्फिज्म है, अर्थात इसमें एक स्मूथ व्युत्क्रम है, तो फिर पुलबैक को सदिश क्षेत्र के साथ-साथ 1-फॉर्म के लिए परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार रेखीय मैप कई गुना यादृच्छिक मिश्रित टेंसर क्षेत्र के लिए विस्तारीत होता है।

प्रतिलोम के रूप में किया जा सकता है।

एक सामान्य मिश्रित टेंसर क्षेत्र तब और का उपयोग करके टेंसर गुणन के अनुसार टेंसर बंडल की प्रतियों में अपघटन और के रूप में रूपांतरित हो जाता है, जब पुलबैक और पुशफॉरवर्ड अवकलन कई गुना .पर टेंसर के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं संकीर्ण शब्दों में पुलबैक टेंसर के सहसंयोजक सूचकांकों के परिवर्तन गुणों का वर्णन करता है; इसके विपरीत सदिश सूचकांकों के कोवेरिएन्ट का परिवर्तन पुशफॉरवर्ड अवकलन द्वारा दिया जाता है।

ऑटोमोर्फिज्म द्वारा पुलबैक

पिछले खंड के निर्माण में एक प्रतिनिधित्व-सैद्धांतिक व्याख्या है जब कई गुना से स्वयं के लिए एक भिन्नता है। इस स्थितियों में व्युत्पन्न का एक भाग .के रूप में है, यह फ्रेम बंडल से जुड़े किसी भी बंडल के अनुभागों पर पुलबैक क्रिया को प्रेरित करता है और इस प्रकार का सामान्य रैखिक समूह के प्रतिनिधित्व द्वारा दिया जाता है। जहाँ .है।

पुलबैक और लाई अवकलज

लाइ अवकलज देखें। सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित भिन्नता के स्थानीय 1-पैरामीटर समूह में पूर्ववर्ती विचारों को लागू करके और पैरामीटर के संबंध में अवकलन करते हुए, किसी भी संबद्ध बंडल पर लाई अवकलज की धारणा प्राप्त की जाती है।

कनेक्शन का पुलबैक (कोवेरिएन्ट अवकलज)

यदि एक सदिश बंडल पर संयोजन सदिश बंडल या कोवेरिएन्ट अवकलज है के ऊपर और के रूप में स्मूथ मैप है और इस प्रकार से एक पुलबैक संयोजन है जो पर के ऊपर , विशिष्ट रूप से इस स्थिति द्वारा निर्धारित कियाजाता है।


यह भी देखें

संदर्भ

  • Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. See sections 1.5 and 1.6.
  • Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. See section 1.7 and 2.3.