हाइपरफैक्टोरियल: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
No edit summary
Line 1: Line 1:
{{Short description|Number computed as a product of powers}}
{{Short description|Number computed as a product of powers}}
गणित में, और विशेष रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में, सकारात्मक [[पूर्णांक]] का हाइपरफैक्टोरियल <math>n</math> प्रपत्र की संख्याओं का गुणनफल है <math>x^x</math> से <math>1^1</math> को <math>n^n</math>.
 
 
गणित में, और विशेष रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में, एक धनात्मक [[पूर्णांक]] n का हाइपरफैक्टोरियल <math>n</math> <math>x^x</math> से <math>1^1</math> लेकर <math>n^n</math> तक के रूप की संख्याओं का गुणनफल होता है।


==परिभाषा==
==परिभाषा==
एक धनात्मक पूर्णांक का हाइपरफैक्टोरियल <math>n</math> संख्याओं का गुणनफल है <math>1^1, 2^2, \dots, n^n</math>. वह है,{{r|oeis|summability}}
एक धनात्मक पूर्णांक <math>n</math> का हाइपरफैक्टोरियल संख्याओं का गुणनफल होता है। वह <math>1^1, 2^2, \dots, n^n</math> है,{{r|oeis|summability}}
<math display=block>
 
<math display="block">
H(n) = 1^1\cdot 2^2\cdot \cdots n^n = \prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1).</math>
H(n) = 1^1\cdot 2^2\cdot \cdots n^n = \prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1).</math>
[[खाली उत्पाद]] के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का हाइपरफैक्टोरियल 1 है। हाइपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम, से शुरू होता है <math>H(0)=1</math>, है:{{r|oeis}}
[[खाली उत्पाद|उत्पाद]] के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का हाइपरफैक्टोरियल 1 है। हाइपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम <math>H(0)=1</math>, से प्रारंभ होता है :{{r|oeis}}
 
{{bi|left=1.6|1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... {{OEIS|A002109}}}}
{{bi|left=1.6|1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... {{OEIS|A002109}}}}


==प्रक्षेप और सन्निकटन==
==प्रक्षेप और सन्निकटन==
हाइपरफैक्टोरियल का अध्ययन 19वीं सदी की शुरुआत में [[हरमन किंकेलिन]] द्वारा किया गया था{{r|kinkelin|wilson}} और [[जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर]]।{{r|glaisher|wilson}} जैसा कि किंकेलिन ने दिखाया, जिस तरह [[ कारख़ाने का ]] को [[गामा फ़ंक्शन]] द्वारा लगातार इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह हाइपरफैक्टोरियल को [[K-फ़ंक्शन]] द्वारा लगातार इंटरपोल किया जा सकता है।{{r|kinkelin}}
हाइपरफैक्टोरियल का अध्ययन 19वीं सदी की प्रारंभ में [[हरमन किंकेलिन]] द्वारा किया गया था {{r|kinkelin|wilson}} और [[जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर]] {{r|glaisher|wilson}} जैसा कि किंकेलिन ने दिखाया, जिस तरह [[ कारख़ाने का | भाज्य]] को [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह हाइपरफैक्टोरियल को [[K-फ़ंक्शन|K-फलन]] द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है।{{r|kinkelin}}


ग्लैशर ने हाइपरफैक्टोरियल के लिए एसिम्प्टोटिक विश्लेषण फॉर्मूला प्रदान किया, जो फैक्टरियल के लिए स्टर्लिंग के फॉर्मूले के अनुरूप है:
ग्लैशर ने हाइपरफैक्टोरियल के लिए एसिम्प्टोटिक विश्लेषण सूत्र प्रदान किया, जो फैक्टरियल के लिए स्टर्लिंग के सूत्र के अनुरूप है:
<math display=block>H(n) = An^{(6n^2+6n+1)/12}e^{-n^2/4}\left(1+\frac{1}{720n^2}-\frac{1433}{7257600n^4}+\cdots\right)\!,</math>
<math display=block>H(n) = An^{(6n^2+6n+1)/12}e^{-n^2/4}\left(1+\frac{1}{720n^2}-\frac{1433}{7257600n^4}+\cdots\right)\!,</math>
कहाँ <math>A\approx 1.28243</math> ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक है।{{r|summability|glaisher}}
जहाँ <math>A\approx 1.28243</math> ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक है।{{r|summability|glaisher}}


==अन्य गुण==
==अन्य गुण                                                                                                                                                                                                                                         ==
फैक्टोरियल [[मॉड्यूलर अंकगणित]] [[अभाज्य संख्या]] संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एनालॉग के अनुसार, जब <math>p</math> [[समता (गणित)]] अभाज्य संख्या है
फैक्टोरियल [[मॉड्यूलर अंकगणित]] [[अभाज्य संख्या]] संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एनालॉग के अनुसार, जब <math>p</math> [[समता (गणित)]] अभाज्य संख्या है
<math display=block>H(p-1)\equiv(-1)^{(p-1)/2}(p-1)!!\pmod{p},</math>
<math display=block>H(p-1)\equiv(-1)^{(p-1)/2}(p-1)!!\pmod{p},</math>
कहाँ <math>!!</math> [[ दोहरा भाज्य ]] के लिए संकेतन है।{{r|wilson}}
जहाँ <math>!!</math> [[ दोहरा भाज्य ]] के लिए संकेतन है।{{r|wilson}}


हाइपरफैक्टोरियल्स उनके संभाव्य सूत्रीकरण में हर्माइट बहुपद के [[विभेदक]]ों का अनुक्रम देते हैं।{{r|oeis}}
हाइपरफैक्टोरियल्स उनके संभाव्य सूत्रीकरण में हर्माइट बहुपद के [[विभेदक]] का अनुक्रम देते हैं।{{r|oeis}}


==संदर्भ==
==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                         ==
{{reflist|refs=
{{reflist|refs=


Line 77: Line 81:




==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध                                                                                                                                                                                                             ==
*{{MathWorld|id=Hyperfactorial|title=Hyperfactorial|mode=cs2}}
*{{MathWorld|id=Hyperfactorial|title=Hyperfactorial|mode=cs2}}
[[Category: पूर्णांक क्रम]] [[Category: भाज्य और द्विपद विषय]]  
[[Category: पूर्णांक क्रम]] [[Category: भाज्य और द्विपद विषय]]  

Revision as of 10:55, 8 July 2023


गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, एक धनात्मक पूर्णांक n का हाइपरफैक्टोरियल से लेकर तक के रूप की संख्याओं का गुणनफल होता है।

परिभाषा

एक धनात्मक पूर्णांक का हाइपरफैक्टोरियल संख्याओं का गुणनफल होता है। वह है,[1][2]

उत्पाद के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का हाइपरफैक्टोरियल 1 है। हाइपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम , से प्रारंभ होता है :[1]

1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (sequence A002109 in the OEIS)

प्रक्षेप और सन्निकटन

हाइपरफैक्टोरियल का अध्ययन 19वीं सदी की प्रारंभ में हरमन किंकेलिन द्वारा किया गया था [3][4] और जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर [5][4] जैसा कि किंकेलिन ने दिखाया, जिस तरह भाज्य को गामा फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह हाइपरफैक्टोरियल को K-फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है।[3]

ग्लैशर ने हाइपरफैक्टोरियल के लिए एसिम्प्टोटिक विश्लेषण सूत्र प्रदान किया, जो फैक्टरियल के लिए स्टर्लिंग के सूत्र के अनुरूप है:

जहाँ ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक है।[2][5]

अन्य गुण

फैक्टोरियल मॉड्यूलर अंकगणित अभाज्य संख्या संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एनालॉग के अनुसार, जब समता (गणित) अभाज्य संख्या है

जहाँ दोहरा भाज्य के लिए संकेतन है।[4]

हाइपरफैक्टोरियल्स उनके संभाव्य सूत्रीकरण में हर्माइट बहुपद के विभेदक का अनुक्रम देते हैं।[1]

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A002109 (Hyperfactorials: Product_{k = 1..n} k^k)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation
  2. ↑ 2.0 2.1 Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018), Summability Calculus: A Comprehensive Theory of Fractional Finite Sums, Cham: Springer, pp. 5–6, doi:10.1007/978-3-319-74648-7, ISBN 978-3-319-74647-0, MR 3752675, S2CID 119580816
  3. ↑ 3.0 3.1 Kinkelin, H. (1860), "Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechung" [On a transcendental variation of the gamma function and its application to the integral calculus], Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch), 1860 (57): 122–138, doi:10.1515/crll.1860.57.122, S2CID 120627417
  4. ↑ 4.0 4.1 4.2 Aebi, Christian; Cairns, Grant (2015), "Generalizations of Wilson's theorem for double-, hyper-, sub- and superfactorials", The American Mathematical Monthly, 122 (5): 433–443, doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, MR 3352802, S2CID 207521192
  5. ↑ 5.0 5.1 Glaisher, J. W. L. (1877), "On the product 11.22.33... nn[[Category: Templates Vigyan Ready]]", Messenger of Mathematics, 7: 43–47 {{citation}}: URL–wikilink conflict (help)


बाहरी संबंध

Retrieved from ‘https://www.vigyanwiki.in/index.php?title=हाइपरफैक्टोरियल&oldid=211016’