बहुमूल्यांकित फलन: Difference between revisions

Revision as of 02:21, 9 July 2023

गणित में, एक बहुमूल्यवान फलन, जिसे बहुआयामी और कई-मूल्यवान फलन भी कहा जाता है, निरंतरता गुणों वाला एक समुच्चय-मूल्यवान फलन है जो इसे स्थानीय रूप से एक सामान्य फलन के रूप में विचार करने की अनुमति देता है।

अंतर्निहित फलन प्रमेय के अनुप्रयोगों में बहुमूल्यवान फलन सामान्यतः उत्पन्न होते हैं, क्योंकि इस प्रमेय को बहुमूल्यवान फलन के अस्तित्व पर जोर देने के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, अवकलनीय फलन मे व्युत्क्रम फलन का एक बहुमूल्यांकित फलन होता है, और एकल-मूल्यवान तभी होता है जब मूल फलन एकदिष्ट फलन होता है। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र लघुगणक बहुमूल्यांकित फलन है, जो घातीय फलन के व्युत्क्रम के रूप में होता है। इसे सामान्य फलन के रूप में नहीं माना जा सकता है, क्योंकि, जब कोई केंद्र पर केंद्रित वृत्त के अनुदिश लघुगणक के मान का अनुसरण करता है $0$ , पूर्ण घुमाव के बाद आरंभिक मान से भिन्न मान प्राप्त होता है। इस घटना को मोनोड्रोमी कहा जाता है।

बहुमूल्यवान फलन को परिभाषित करने का एक अन्य सामान्य विधि विश्लेषणात्मक निरंतरता है, जो सामान्यतः मोनोड्रोमी उत्पन्न करता है: एक बंद वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता एक अंतिम मान उत्पन्न करता है जो प्रारम्भिक मूल्य से भिन्न होती है।

बहुमूल्यवान फलन विभेदक समीकरणों के समाधान के रूप में भी उत्पन्न होते हैं, जहां विभिन्न मान प्रारंभिक स्थितियों द्वारा पैरामीट्रिज्ड होते हैं।

प्रयोजन

बहुमूल्यांकित फलन शब्द की उत्पत्ति सम्मिश्र विश्लेषण में, विश्लेषणात्मक निरंतरता से हुई है। अधिकांशतः ऐसा होता है कि कोई व्यक्ति किसी सम्मिश्र विश्लेषणात्मक फलन का मूल्य जानता है $f(z)$ किसी बिंदु के कुछ निकटतम में $z=a$ यह अंतर्निहित फलन प्रमेय या टेलर श्रृंखला द्वारा परिभाषित फलन की स्थिति होती है $z=a$ ऐसी स्थिति में, कोई एकल-मूल्यवान फलन के कार्यक्षेत्र का विस्तार कर सकता है $f(z)$ से प्रारंभ होने वाले $a$ एक सम्मिश्र समतल वक्रों मे अनुदिश होते है। ऐसा करने पर, किसी को एक बिंदु पर विस्तारित फलन का मान पता चलता है $z=b$ चुने गए वक्र पर निर्भर करता है $a$ को $b$ ; चूँकि कोई भी नया मूल्य दूसरों की तुलना में अधिक स्वाभाविक नहीं होता है, उन सभी को एक बहुमूल्यवान फलन में सम्मलित किया गया है।

उदाहरण के लिए, मान लेते है $f(z)={\sqrt {z}}\,$ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर सामान्य वर्गमूल फलन बनता है। कोई अपने प्रभावक्षेत्र को निकटतम तक बढ़ा सकता है, सम्मिश्र समतल में $z=1$ , और फिर आगे प्रारंभ होने वाले वक्रों के अनुदिश $z=1$ जिससे की किसी दिए गए वक्र के साथ मान लगातार भिन्न होता रहे ${\sqrt {1}}=1$ । ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का विस्तार करने पर, वर्गमूल के लिए दो विपरीत मान प्राप्त होते हैं - उदाहरण के लिए $-1$ के लिए $\pm i$ - यह इस पर निर्भर करता है कि प्रभावक्षेत्र को सम्मिश्र समतल के ऊपरी या निचले आधे भाग के माध्यम से बढ़ाया गया है या नहीं। यह घटना बहुत बार होती है, nवें मूल, लघुगणक और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन के लिए घटित होती है।

एक सम्मिश्र बहुमूल्यवान फलन से एकल-मूल्यवान फलन को परिभाषित करने के लिए, कोई व्यक्ति एकाधिक मानों में से एक को मुख्य मान के रूप में अलग कर सकता है, जिससे पूरे सतह पर एकल-मूल्यवान फलन उत्पन्न होता है, जो सीमा वक्रों के साथ असंतत होता है। वैकल्पिक रूप से, बहुमूल्यवान फलन से कुछ ऐसी चीज़ प्राप्त करने की अनुमति मिलती है जो हर जगह निरंतर होती है, जब कोई बंद पथ (मोनोड्रोमी) का अनुसरण करता है तो संभावित मूल्य परिवर्तन की कीमत पर होता है। इन समस्याओं का समाधान रीमैन सतहों के सिद्धांत में किया गया है: एक बहुमूल्यवान फलन पर विचार करना $f(z)$ किसी भी मान को हटाए बिना सामान्य फलन के रूप में, प्रभावक्षेत्र को कई-स्तरित आवरण समष्टि में गुणा करता है, एक मैनिफोल्ड जो रीमैन सतह से जुड़ा होता है $f(z)$ ।

उदाहरण

शून्य से बड़ी प्रत्येक वास्तविक संख्या के दो वास्तविक वर्गमूल होते हैं, जिससे की वर्गमूल को बहुमूल्यांकित फलन माना जा सके। उदाहरण के लिए, हम लिख सकते हैं ${\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}$ ; चूँकि शून्य का केवल एक ही वर्गमूल होता है, ${\sqrt {0}}=\{0\}$ ,
प्रत्येक शून्येतर सम्मिश्र संख्या में दो वर्गमूल, तीन घनमूल और सामान्यतः nवाँ मूल होता है। 0 का एकमात्र nवाँ मूल 0 है।
सम्मिश्र लघुगणक फलन बहु-मूल्यवान है। द्वारा ग्रहण किए गए मान $\log(a+bi)$ वास्तविक संख्याओं के लिए $a$ और $b$ होता हैं सभी पूर्णांकों के लिए $\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni$ सभी पूर्णांकों के लिए $n$ ,
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन बहु-मूल्यवान होते हैं क्योंकि त्रिकोणमितीय फलन आवधिक होते हैं। अपने पास $\tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(2n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1$
परिणामस्वरूप, आर्कटान(1) स्वतःप्रवर्तित रूप से कई मूल्यों से संबंधित होते है: $π$ /4, 5 $π$ /4, −3 $π$ /4, इत्यादि। हम tan x के प्रभावक्षेत्र को − $π$ /2 < x < $π$ /2 तक सीमित करके आर्कटैन को एकल-मूल्यवान फलन के रूप में मान सकते हैं, एक कार्यक्षेत्र जिस पर tan x एक रूप से बढ़ता है। इस प्रकार, आर्कटान(x) का क्षेत्र − $π$ /2 < y < $π$ /2 हो जाता है। प्रतिबंधित प्रभावक्षेत्र के इन मानों को प्रमुख मान कहा जाता है।
प्रतिअवकलन को एक बहुमूल्यांकित फलन माना जा सकता है। किसी फलन का प्रतिअवकलन उन फलन का समूह है जिसका व्युत्पन्न फलन होता है। एकीकरण का स्थिरांक इस तथ्य से निकलता है कि स्थिर फलन का व्युत्पन्न 0 होता है।
सम्मिश्र कार्यक्षेत्र पर व्युत्क्रम अतिपरवलयिक फलन बहु-मूल्यवान होते हैं क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण फलन अधिकल्पित अक्ष के साथ-साथ आवधिक होते हैं। असल में, आर्कोश और आर्सेक को छोड़कर, वे एकल-मूल्यवान होते हैं।

ये सभी बहुमूल्यवान फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं जो गैर-इंजेक्शन फ़ंक्शंस से आते हैं। चूँकि मूल फलन अपने इनपुट की सभी जानकारी को संरक्षित नहीं करते हैं, इसलिए वे प्रतिवर्ती नहीं होते हैं। अधिकांशतः, बहुमूल्यवान फलन का प्रतिबंध मूल फलन का आंशिक व्युत्क्रम होता है।

विभाजन बिंदु

एक सम्मिश्र चर के बहुमूल्यवान फलन में विभाजन बिंदु होते हैं। उदाहरण के लिए, nवें मूल और लघुगणक फलन के लिए, 0 एक विभाजन बिंदु होता है; आर्कटेंजेंट फलन के लिए, अधिकल्पित इकाइयाँ i और -i विभाजन बिंदु होते हैं। विभाजन बिंदुओं का उपयोग करके, सीमा को सीमित करके, इन फलन को एकल-मूल्य वाले फलन के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है। विभाजन काट के उपयोग के माध्यम से एक उपयुक्त अंतराल पाया जा सकता है, एक प्रकार का वक्र जो विभाजन बिंदुओं के युग्म को जोड़ता है, इस प्रकार फलन की बहुस्तरीय रीमैन सतह को एक परत में कम कर देता है। जैसा कि वास्तविक फलन स्थिति में होता है, प्रतिबंधित सीमा फलन को प्रमुख विभाजन कहा जा सकता है।

अनुप्रयोग

भौतिकी में, बहुमूल्यवान फलन तेजी से महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे पॉल डिराक के चुंबकीय मोनोपोल के लिए गणितीय आधार बनाते हैं, क्रिस्टल में क्रिस्टलोग्राफिक दोषों के सिद्धांत और सामग्रियों की परिणामी प्लास्टिसिटी (भौतिकी), अतितरल और अतिसंवाहक में चक्रवात के लिए, और इन प्रणालियों में प्रावस्था संक्रमण उदाहरण के लिए गलन बिंदु और क्वार्क परिरोधन के लिए वे भौतिकी कीकई विभाजनों में गेज क्षेत्र संरचनाओं की उत्पत्ति करते हैं। हैं।^{[citation needed]}

अग्रिम पठन

H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation, World Scientific (Singapore, 2008) (also available online)
H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I: Superflow and Vortex Lines, 1–742, Vol. II: Stresses and Defects, 743–1456, World Scientific, Singapore, 1989 (also available online: Vol. I and Vol. II)

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 बहुमूल्यांकित फलन शब्द की उत्पत्ति सम्मिश्र  विश्लेषण में, विश्लेषणात्मक निरंतरता से हुई है। अधिकांशतः ऐसा होता है कि कोई व्यक्ति किसी सम्मिश्र  विश्लेषणात्मक फलन का मूल्य जानता है <math>f(z)</math> किसी बिंदु के कुछ निकटतम में <math>z=a</math> यह अंतर्निहित फलन प्रमेय या [[टेलर श्रृंखला]] द्वारा परिभाषित फलन की स्थिति होती है <math>z=a</math> ऐसी स्थिति में, कोई एकल-मूल्यवान फलन के कार्यक्षेत्र का विस्तार कर सकता है <math>f(z)</math> से प्रारंभ होने वाले  <math>a</math> एक सम्मिश्र समतल वक्रों मे अनुदिश होते है।  ऐसा करने पर, किसी को एक बिंदु पर विस्तारित फलन का मान पता चलता है <math>z=b</math> चुने गए वक्र पर निर्भर करता है <math>a</math> को <math>b</math>; चूँकि कोई भी नया मूल्य दूसरों की तुलना में अधिक स्वाभाविक नहीं होता है, उन सभी को एक बहुमूल्यवान फलन में सम्मलित किया गया है।
-उदाहरण के लिए, मान लेते है <math>f(z)=\sqrt{z}\,</math> सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर सामान्य [[वर्गमूल]] फलन बनता है। कोई अपने प्रभावक्षेत्र को निकटतम तक बढ़ा सकता है, सम्मिश्र समतल में <math>z=1</math>, और फिर आगे शुरू होने वाले वक्रों के अनुदिश <math>z=1</math> जिससे की किसी दिए गए वक्र के साथ मान लगातार भिन्न होता रहे  <math>\sqrt{1}=1</math>। ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का विस्तार करने पर, वर्गमूल के लिए दो विपरीत मान प्राप्त होते हैं - उदाहरण के लिए {{math|–1}} के लिए {{math|±''i''}} - यह इस पर निर्भर करता है कि प्रभावक्षेत्र को सम्मिश्र समतल के ऊपरी या निचले आधे भाग के माध्यम से बढ़ाया गया है या नहीं। यह घटना बहुत बार होती है, ''nवें'' मूल, लघुगणक और [[व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन]] के लिए घटित होती है।
+उदाहरण के लिए, मान लेते है <math>f(z)=\sqrt{z}\,</math> सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर सामान्य [[वर्गमूल]] फलन बनता है। कोई अपने प्रभावक्षेत्र को निकटतम तक बढ़ा सकता है, सम्मिश्र समतल में <math>z=1</math>, और फिर आगे प्रारंभ होने वाले वक्रों के अनुदिश <math>z=1</math> जिससे की किसी दिए गए वक्र के साथ मान लगातार भिन्न होता रहे  <math>\sqrt{1}=1</math>। ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का विस्तार करने पर, वर्गमूल के लिए दो विपरीत मान प्राप्त होते हैं - उदाहरण के लिए {{math|–1}} के लिए {{math|±''i''}} - यह इस पर निर्भर करता है कि प्रभावक्षेत्र को सम्मिश्र समतल के ऊपरी या निचले आधे भाग के माध्यम से बढ़ाया गया है या नहीं। यह घटना बहुत बार होती है, ''nवें'' मूल, लघुगणक और [[व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन]] के लिए घटित होती है।
 एक सम्मिश्र बहुमूल्यवान फलन से एकल-मूल्यवान फलन को परिभाषित करने के लिए, कोई व्यक्ति एकाधिक मानों में से एक को मुख्य मान के रूप में अलग कर सकता है, जिससे पूरे सतह पर एकल-मूल्यवान फलन उत्पन्न होता है, जो सीमा वक्रों के साथ असंतत होता है। वैकल्पिक रूप से, बहुमूल्यवान फलन से कुछ ऐसी चीज़ प्राप्त करने की अनुमति मिलती है जो हर जगह निरंतर होती है, जब कोई बंद पथ (मोनोड्रोमी) का अनुसरण करता है तो संभावित मूल्य परिवर्तन की कीमत पर होता है। इन समस्याओं का समाधान [[रीमैन सतह|रीमैन सतहों]] के सिद्धांत में किया गया है: एक बहुमूल्यवान फलन पर विचार करना <math>f(z)</math> किसी भी मान को हटाए बिना सामान्य फलन के रूप में, प्रभावक्षेत्र को कई-स्तरित[[ शाखित आवरण | आवरण समष्टि]] में गुणा करता है, एक[[ कई गुना | मैनिफोल्ड]] जो रीमैन सतह से जुड़ा होता है <math>f(z)</math>।
 ==उदाहरण==
-*शून्य से बड़ी प्रत्येक [[वास्तविक संख्या]] के दो वास्तविक वर्गमूल होते हैं, जिससे की वर्गमूल को बहुमूल्यांकित फलन माना जा सके। उदाहरण के लिए, हम लिख सकते हैं <math>\sqrt{4}=\pm 2=\{2,-2\}</math>; चूँकि शून्य का केवल एक ही वर्गमूल होता है, <math>\sqrt{0} =\{0\}</math>,
+*शून्य से बड़ी प्रत्येक [[वास्तविक संख्या]] के दो वास्तविक वर्गमूल होते हैं, जिससे की वर्गमूल को बहुमूल्यांकित फलन माना जा सके। उदाहरण के लिए, हम लिख सकते हैं <math>\sqrt{4}=\pm 2=\{2,-2\}</math>;  चूँकि शून्य का केवल एक ही वर्गमूल होता है, <math>\sqrt{0} =\{0\}</math>,
 *प्रत्येक शून्येतर सम्मिश्र संख्या में दो वर्गमूल, तीन घनमूल और सामान्यतः ''nवाँ'' मूल होता है। 0 का एकमात्र ''nवाँ'' मूल 0 है।
 *सम्मिश्र लघुगणक फलन बहु-मूल्यवान है। द्वारा ग्रहण किए गए मान <math>\log(a+bi)</math> वास्तविक संख्याओं के लिए <math>a</math> और <math>b</math> होता हैं सभी पूर्णांकों के लिए <math>\log{\sqrt{a^2 + b^2}} + i\arg (a+bi) + 2 \pi n i</math> सभी पूर्णांकों के लिए <math>n</math>,
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 = \tan\left({\tfrac{-3\pi}{4}}\right) = \tan\left({\tfrac{(2n+1)\pi}{4}}\right) = \cdots = 1
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-*परिणामस्वरूप, आर्कटान(1) सहज रूप से कई मूल्यों से संबंधित होते है: {{pi}}/4, 5{{pi}}/4, −3{{pi}}/4, इत्यादि। हम ''tan x'' के प्रभावक्षेत्र को  {{nowrap|−{{pi}}/2 < ''x'' < {{pi}}/2}} तक सीमित करके आर्कटैन को एकल-मूल्यवान फलन के रूप में मान सकते हैं, एक कार्यक्षेत्र जिस पर tan ''x'' एक रूप से बढ़ता है। इस प्रकार, आर्कटान''(x)'' का क्षेत्र  {{nowrap|−{{pi}}/2 < ''y'' < {{pi}}/2}} हो जाता है। प्रतिबंधित प्रभावक्षेत्र के इन मानों को प्रमुख मान कहा जाता है।
+*परिणामस्वरूप, आर्कटान(1) स्वतःप्रवर्तित रूप से कई मूल्यों से संबंधित होते है: {{pi}}/4, 5{{pi}}/4, −3{{pi}}/4, इत्यादि। हम ''tan x'' के प्रभावक्षेत्र को  {{nowrap|−{{pi}}/2 < ''x'' < {{pi}}/2}} तक सीमित करके आर्कटैन को एकल-मूल्यवान फलन के रूप में मान सकते हैं, एक कार्यक्षेत्र जिस पर tan ''x'' एक रूप से बढ़ता है। इस प्रकार, आर्कटान''(x)'' का क्षेत्र  {{nowrap|−{{pi}}/2 < ''y'' < {{pi}}/2}} हो जाता है। प्रतिबंधित प्रभावक्षेत्र के इन मानों को प्रमुख मान कहा जाता है।
-* प्रतिअवकलन को एक बहुमूल्यांकित फलन माना जा सकता है। किसी फलन का प्रतिअवकलन उन फलन का समूह है जिसका व्युत्पन्न वह फलन  है। [[एकीकरण का स्थिरांक]] इस तथ्य से निकलता है कि एक स्थिर फलन का व्युत्पन्न 0 है।
+* प्रतिअवकलन को एक बहुमूल्यांकित फलन माना जा सकता है। किसी फलन का प्रतिअवकलन उन फलन का समूह है जिसका व्युत्पन्न फलन होता है। [[एकीकरण का स्थिरांक]] इस तथ्य से निकलता है कि स्थिर फलन का व्युत्पन्न 0 होता है।
-*सम्मिश्र प्रभावक्षेत्र पर [[व्युत्क्रम अतिपरवलयिक फलन]] बहु-मूल्यवान होते हैं क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण फलन काल्पनिक अक्ष के साथ-साथ आवधिक होते हैं। असल में, आर्कोश और आर्सेक को छोड़कर, वे एकल-मूल्यवान हैं।
+*सम्मिश्र कार्यक्षेत्र पर [[व्युत्क्रम अतिपरवलयिक फलन]] बहु-मूल्यवान होते हैं क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण फलन अधिकल्पित अक्ष के साथ-साथ आवधिक होते हैं। असल में, आर्कोश और आर्सेक को छोड़कर, वे एकल-मूल्यवान होते हैं।
-ये सभी बहुमूल्यवान फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं जो गैर-इंजेक्शन फ़ंक्शंस से आते हैं। चूँकि मूल फलन  अपने इनपुट की सभी जानकारी को संरक्षित नहीं करते हैं, इसलिए वे प्रतिवर्ती नहीं होते हैं। अधिकांशतः , बहुमूल्यवान फलन  का प्रतिबंध मूल फलन  का आंशिक व्युत्क्रम होता है।
+ये सभी बहुमूल्यवान फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं जो गैर-इंजेक्शन फ़ंक्शंस से आते हैं। चूँकि मूल फलन  अपने इनपुट की सभी जानकारी को संरक्षित नहीं करते हैं, इसलिए वे प्रतिवर्ती नहीं होते हैं। अधिकांशतः, बहुमूल्यवान फलन का प्रतिबंध मूल फलन का आंशिक व्युत्क्रम होता है।
-== शाखा बिंदु ==
+== विभाजन बिंदु ==
-{{Main articles|Branch point}}
+{{Main articles| विभाजन बिंदु}}
-एक सम्मिश्र  चर के बहुमूल्यवान फलन  में [[शाखा बिंदु]] होते हैं। उदाहरण के लिए, nवें मूल और लघुगणक फलन  के लिए, 0 एक शाखा बिंदु है; आर्कटेंजेंट फलन  के लिए, काल्पनिक इकाइयाँ i और -i शाखा बिंदु हैं। शाखा बिंदुओं का उपयोग करके, सीमा को सीमित करके, इन फलन  को एकल-मूल्य वाले फलन  के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है। [[ शाखा काटना ]] के उपयोग के माध्यम से एक उपयुक्त अंतराल पाया जा सकता है, एक प्रकार का वक्र जो शाखा बिंदुओं के जोड़े को जोड़ता है, इस प्रकार फलन  की बहुस्तरीय रीमैन सतह को एक परत में कम कर देता है। जैसा कि वास्तविक फलन  के मामले में होता है, प्रतिबंधित सीमा को फलन  की प्रमुख शाखा कहा जा सकता है।
+एक सम्मिश्र चर के बहुमूल्यवान फलन में [[शाखा बिंदु|विभाजन बिंदु]] होते हैं। उदाहरण के लिए, ''nवें'' मूल और लघुगणक फलन के लिए, 0 एक विभाजन बिंदु होता है; आर्कटेंजेंट फलन के लिए, अधिकल्पित इकाइयाँ i और -i विभाजन बिंदु होते हैं। विभाजन बिंदुओं का उपयोग करके, सीमा को सीमित करके, इन फलन को एकल-मूल्य वाले फलन के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है। [[ शाखा काटना |विभाजन काट]] के उपयोग के माध्यम से एक उपयुक्त अंतराल पाया जा सकता है, एक प्रकार का वक्र जो विभाजन बिंदुओं के युग्म को जोड़ता है, इस प्रकार फलन की बहुस्तरीय रीमैन सतह को एक परत में कम कर देता है। जैसा कि वास्तविक फलन स्थिति में होता है, प्रतिबंधित सीमा फलन को प्रमुख विभाजन कहा जा सकता है।
 ==अनुप्रयोग==
-भौतिकी में, बहुमूल्यवान कार्य तेजी से महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे [[पॉल डिराक]] के [[चुंबकीय मोनोपोल]] के लिए गणितीय आधार बनाते हैं, क्रिस्टल में [[क्रिस्टलोग्राफिक दोष]]ों के सिद्धांत और सामग्रियों की परिणामी [[प्लास्टिसिटी (भौतिकी)]], [[अतितरल]] और [[ अतिचालक ]]्स में [[भंवर]] के लिए, और इन प्रणालियों में [[चरण संक्रमण]] के लिए, उदाहरण के लिए पिघलने और [[क्वार्क कारावास]] के लिए . वे भौतिकी की कई शाखाओं में [[गेज क्षेत्र]] संरचनाओं के मूल हैं।{{Citation needed|reason=reliable source needed for the paragraph|date=July 2013}}
+'''भौतिकी में''', बहुमूल्यवान फलन तेजी से महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे [[पॉल डिराक]] के [[चुंबकीय मोनोपोल]] के लिए गणितीय आधार बनाते हैं, क्रिस्टल में [[क्रिस्टलोग्राफिक दोष|क्रिस्टलोग्राफिक दोषों]] के सिद्धांत और सामग्रियों की परिणामी [[प्लास्टिसिटी (भौतिकी)]], [[अतितरल]] और [[ अतिचालक |अतिसंवाहक]] में [[भंवर|चक्रवात]] के लिए, और इन प्रणालियों में  [[चरण संक्रमण|प्रावस्था संक्रमण]] उदाहरण के लिए गलन बिंदु और [[क्वार्क कारावास|क्वार्क परिरोधन]] के लिए वे भौतिकी कीकई विभाजनों में [[गेज क्षेत्र]] संरचनाओं की उत्पत्ति करते हैं।  हैं।{{Citation needed|reason=reliable source needed for the paragraph|date=July 2013}}
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