छेदक रेखा: Difference between revisions

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[https://alpha.indicwiki.in/%E0%A4%9C%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A4%BF ज्यामिति] में, '''छेदक''' एक [https://alpha.indicwiki.in/%E0%A4%B0%E0%A5%87%E0%A4%96%E0%A4%BE_(%E0%A4%9C%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A4%BF) रेखा] होती है जो किसी [https://alpha.indicwiki.in/%E0%A4%B5%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0 वक्र] को कम से कम दो अलग-अलग बिंदुओं  पर काटती है।<ref name="cag">{{citation|title=Calculus with Analytic Geometry|first1=Murray H.|last1=Protter|author1-link=Murray H. Protter|first2=Philip E.|last2=Protter|publisher=Jones & Bartlett Learning|year=1988|isbn=9780867200935|page=62|url=https://books.google.com/books?id=jTmuOwwGDwoC&pg=PA62}}.</ref> ''सेकेंट'' शब्द [https://alpha.indicwiki.in/%E0%A4%B2%E0%A5%88%E0%A4%9F%E0%A4%BF%E0%A4%A8 लैटिन] शब्द ''सेकेयर'' से आया है, जिसका अर्थ है ''काटना''।<ref>{{citation|title=Experimental Mensuration: An Elementary Test-book of Inductive Geometry|first=Herbert Stanley|last=Redgrove|publisher=Van Nostrand|year=1913|page=167|url=https://books.google.com/books?id=Nh0yAQAAMAAJ&pg=PA167}}.</ref> एक वृत्त के मामले में, एक छेदक रेखा वृत्त को बिल्कुल दो बिंदुओं पर काटती है। एक कॉर्ड दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित [https://alpha.indicwiki.in/%E0%A4%B0%E0%A5%87%E0%A4%96%E0%A4%BE_%E0%A4%96%E0%A4%82%E0%A4%A1 रेखाखंड] है, अर्थात, छेदक पर [https://alpha.indicwiki.in/%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%A4%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%B2_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4) विराम] जिसके सिरे दो बिंदु होते हैं।<ref>{{citation|title=Mathematics: From the Birth of Numbers|first=Jan|last=Gullberg|author-link=Jan Gullberg|publisher=W. W. Norton & Company|year=1997|isbn=9780393040029|page=387|url=https://books.google.com/books?id=E09fBi9StpQC&pg=PA387}}.</ref>
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==वृत्त==
==वृत्त==
{{more|Circle#Chord}}
{{more|वृत्त#जीवा}}
[[Image:CIRCLE LINES-en.svg|thumb|एक वृत्त पर सामान्य रेखाएँ और रेखाखंड, जिसमें एक छेदक रेखा भी शामिल है|201x201px]]एक सीधी रेखा किसी वृत्त को शून्य, एक या दो बिंदुओं पर काट सकती है। दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेदन वाली रेखा को छेदक रेखा कहा जाता है, एक बिंदु पर स्पर्श रेखा और बिना किसी बिंदु पर बाह्य रेखा। जीवा वह रेखाखंड है जो वृत्त के दो अलग-अलग बिंदुओं को जोड़ता है। इसलिए एक राग एक अद्वितीय छेदक रेखा में समाहित होता है और प्रत्येक छेदक रेखा एक अद्वितीय राग निर्धारित करती है।
[[Image:CIRCLE LINES-en.svg|thumb|एक वृत्त पर सामान्य रेखाएँ और रेखाखंड, जिसमें एक छेदक रेखा भी सम्मिलित है|201x201px]]एक सीधी रेखा किसी वृत्त को शून्य, एक या दो बिंदुओं पर काट सकती है। दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेदन वाली रेखा को ''छेदक रेखा'' कहा जाता है, एक बिंदु पर ''स्पर्श रेखा'' और बिना किसी बिंदु पर ''बाह्य रेखा'' कहा जाता है। ''जीवा'' वह रेखाखंड है जो वृत्त के दो अलग-अलग बिंदुओं को जोड़ता है। इसलिए एक जीवा एक अद्वितीय छेदक रेखा में समाहित होता है और प्रत्येक छेदक रेखा एक अद्वितीय जीवा निर्धारित करती है।


[[समतल ज्यामिति]] के कठोर आधुनिक उपचारों में, जो परिणाम स्पष्ट प्रतीत होते हैं और [[यूक्लिड]] के तत्वों में यूक्लिड द्वारा (बिना किसी कथन के) मान लिए गए थे, आमतौर पर सिद्ध होते हैं।
[[समतल ज्यामिति]] के कठोर आधुनिक विवेचनों में, जो परिणाम स्पष्ट प्रतीत होते हैं जिन्हें [[यूक्लिड]] के ने अपने विवेचन (बिना किसी कथन के) मान लिया था, जो प्रायः सिद्ध होते हैं।


उदाहरण के लिए, प्रमेय (प्राथमिक परिपत्र निरंतरता):<ref>{{citation|first=Gerard A.|last=Venema|title=Foundations of Geometry|year=2006|publisher=Pearson/Prentice-Hall|page=229|isbn=978-0-13-143700-5}}</ref> अगर <math>\mathcal{C}</math> एक वृत्त है और <math>\ell</math> एक रेखा जिसमें एक बिंदु होता है {{mvar|A}} वह अंदर है <math>\mathcal{C}</math> और एक बिंदु {{mvar|B}} वह बाहर है <math>\mathcal{C}</math> तब <math>\ell</math> के लिए एक सेकेंड लाइन है <math>\mathcal{C}</math>.
उदाहरण के लिए, ''प्रमेय (प्राथमिक सर्कुलर निरंतरता)'':<ref>{{citation|first=Gerard A.|last=Venema|title=Foundations of Geometry|year=2006|publisher=Pearson/Prentice-Hall|page=229|isbn=978-0-13-143700-5}}</ref> यदि <math>\mathcal{C}</math> एक वृत्त है और <math>\ell</math> एक रेखा जिसमें एक बिंदु {{mvar|A}} है जो <math>\mathcal{C}</math> के अंदर है और एक बिंदु {{mvar|B}} है जो <math>\mathcal{C}</math> के बाहर है  तो <math>\ell</math>, <math>\mathcal{C}</math> के लिए एक छेदक रेखा है।


कुछ स्थितियों में परिणामों को जीवाओं के बजाय छेदक रेखाओं के रूप में लिखने से कथनों को एकीकृत करने में मदद मिल सकती है। इसके उदाहरण के रूप में परिणाम पर विचार करें:<ref>{{citation|first=Harold R.|last=Jacobs|title=Geometry|year=1974|publisher=W. H. Freeman & Co.|page=482|isbn=0-7167-0456-0}}</ref>
कुछ स्थितियों में परिणामों को जीवाओं के बजाय छेदक रेखाओं के रूप में लिखने से कथनों को एकीकृत करने में मदद मिल सकती है। इसके उदाहरण के रूप में परिणाम पर विचार करें:<ref>{{citation|first=Harold R.|last=Jacobs|title=Geometry|year=1974|publisher=W. H. Freeman & Co.|page=482|isbn=0-7167-0456-0}}</ref>
:यदि दो छेदक रेखाओं में जीवाएँ हों {{math|{{overline|''AB''}}}} और {{math|{{overline|''CD''}}}} एक वृत्त में और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं {{mvar|P}} जो वृत्त पर नहीं है, तो रेखाखंड की लंबाई संतुष्ट होती है {{math|1=''AP''⋅''PB'' = ''CP''⋅''PD''}}.
:यदि दो छेदक रेखाओं में जीवा {{math|{{overline|''AB''}}}} और {{math|{{overline|''CD''}}}} एक वृत्त में हैं और एक बिंदु {{mvar|P}} पर प्रतिच्छेद करती हैं जो वृत्त पर नहीं है, तो रेखाखंड की लंबाई {{math|1=''AP''⋅''PB'' = ''CP''⋅''PD''}} संतुष्ट करती है।
अगर बात {{mvar|P}} वृत्त के अंदर स्थित है, यह यूक्लिड III.35 है, लेकिन यदि बिंदु वृत्त के बाहर है तो परिणाम तत्वों में शामिल नहीं है। हालाँकि, [[ क्रिस्टोफर की ]] का अनुसरण करते हुए [[रॉबर्ट सिमसन]] ने यूक्लिड पर अपनी टिप्पणियों में इस परिणाम का प्रदर्शन किया, जिसे कभी-कभी [[प्रतिच्छेदी छेदक प्रमेय]] भी कहा जाता है।<ref>{{citation|first=Thomas L.|last=Heath|author-link=Thomas Little Heath|title=The thirteen books of Euclid's Elements (Vol. 2)|year = 1956|publisher=Dover|page=73}}</ref>
अगर बिंदु {{mvar|P}} वृत्त के अंदर स्थित है तो यह यूक्लिड III.35 है, लेकिन यदि बिंदु वृत्त के बाहर है तो परिणाम तत्वों में सम्मिलित नहीं है। हालाँकि,[[ क्रिस्टोफर की | क्रिस्टोफर क्लेवियस]] का अनुसरण करते हुए [[रॉबर्ट सिमसन]] ने यूक्लिड पर अपनी टिप्पणियों में इस परिणाम का प्रदर्शन किया, जिसे कभी-कभी [[प्रतिच्छेदी छेदक प्रमेय]] भी कहा जाता है।<ref>{{citation|first=Thomas L.|last=Heath|author-link=Thomas Little Heath|title=The thirteen books of Euclid's Elements (Vol. 2)|year = 1956|publisher=Dover|page=73}}</ref>




==वक्र==
==वक्र==
सरल वृत्तों की तुलना में अधिक जटिल वक्रों के लिए, यह संभावना उत्पन्न होती है कि एक रेखा जो किसी वक्र को दो से अधिक भिन्न बिंदुओं पर काटती है। कुछ लेखक वक्र के लिए एक छेदक रेखा को एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित करते हैं जो वक्र को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है। यह परिभाषा इस संभावना को खुला छोड़ देती है कि रेखा में वक्र के साथ प्रतिच्छेदन के अन्य बिंदु हो सकते हैं। जब इस तरह से व्यक्त किया जाता है तो वृत्तों और वक्रों के लिए एक छेदक रेखा की परिभाषाएँ समान होती हैं और एक वृत्त के लिए प्रतिच्छेदन के अतिरिक्त बिंदुओं की संभावना उत्पन्न नहीं होती है।
सरल वृत्तों की तुलना में अधिक जटिल वक्रों के लिए, यह संभावना उत्पन्न होती है कि एक रेखा जो किसी वक्र को दो से अधिक भिन्न बिंदुओं पर काटती है। कुछ गणितज्ञ वक्र के लिए एक छेदक रेखा को एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित करते हैं जो वक्र को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है। यह परिभाषा इस संभावना को खुला छोड़ देती है कि रेखा में वक्र के साथ प्रतिच्छेदन के अन्य बिंदु हो सकते हैं। जब इस तरह से व्यक्त किया जाता है तो वृत्तों और वक्रों के लिए एक छेदक रेखा की परिभाषाएँ समान होती हैं और एक वृत्त के लिए प्रतिच्छेदन के अतिरिक्त बिंदुओं की संभावना उत्पन्न नहीं होती है।


===छेदक और [[स्पर्शरेखा]]===
===छेदक और [[स्पर्शरेखा]]===
किसी बिंदु पर किसी वक्र की स्पर्श रेखा को [[सन्निकटन सिद्धांत]] के लिए सेकेंट्स का उपयोग किया जा सकता है {{math|''P''}}, यदि यह मौजूद है। किसी वक्र के छेदक को दो बिंदु (ज्यामिति) द्वारा परिभाषित करें, {{math|''P''}} और {{math|''Q''}}, साथ {{math|''P''}} निश्चित और {{math|''Q''}} चर। जैसा {{math|''Q''}} दृष्टिकोण {{math|''P''}} वक्र के साथ, यदि छेदक का [[ढलान]] एक [[सीमा (गणित)]] तक पहुंचता है, तो वह सीमा स्पर्शरेखा रेखा के ढलान को परिभाषित करती है {{math|''P''}}.<ref name="cag"/>छेदक रेखाएँ {{math|{{overline|''PQ''}}}} स्पर्शरेखा रेखा के सन्निकटन हैं। कैलकुलस में, यह विचार व्युत्पन्न की ज्यामितीय परिभाषा है।
यदि किसी बिंदु {{math|''P''}} पर वक्र मौजूद है, तो उसकी स्पर्श रेखा का अनुमान लगाने के लिए सेकैंट का उपयोग किया जा सकता है। किसी वक्र के छेदक को दो बिंदुओं, {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} द्वारा {{math|''P''}} स्थिर और {{math|''Q''}} चर परिभाषित करें। जैसे ही {{math|''Q''}} वक्र के अनुदिश {{math|''P''}} के पास पहुंचता है, यदि छेदक का [[ढलान]] एक [[सीमा (गणित)|सीमा]] तक पहुंचता है, तो वह सीमा {{math|''P''}} पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान को परिभाषित करती है।<ref name="cag"/>छेदक रेखाएँ {{math|{{overline|''PQ''}}}} स्पर्शरेखा रेखा के सन्निकटन हैं। कैलकुलस में, यह विचार व्युत्पन्न की ज्यामितीय परिभाषा है।
[[File:secanttangent.svg|thumb|बिंदु पर स्पर्श रेखा {{mvar|P}}वक्र की एक छेदक रेखा है]]किसी बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा {{math|''P''}} उस वक्र के लिए एक छेदक रेखा हो सकती है यदि यह वक्र को इसके अलावा कम से कम एक बिंदु पर काटती है {{math|''P''}}. इसे देखने का दूसरा तरीका यह है कि यह महसूस किया जाए कि यह एक बिंदु पर एक स्पर्श रेखा है {{math|''P''}} एक स्थानीय संपत्ति है, जो केवल इसके तत्काल पड़ोस में वक्र पर निर्भर करती है {{math|''P''}}, जबकि एक छेदक रेखा होना एक वैश्विक संपत्ति है क्योंकि वक्र उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के पूरे डोमेन की जांच की जानी चाहिए।
[[File:secanttangent.svg|thumb|बिंदु {{mvar|P}} पर स्पर्श रेखा वक्र की एक छेदक रेखा है]]किसी बिंदु {{math|''P''}} पर वक्र की एक स्पर्शरेखा उस वक्र के लिए एक छेदक रेखा हो सकती है   यदि वह वक्र को {{math|''P''}} के अलावा कम से कम एक बिंदु पर काटती है। इसे देखने का एक अन्य तरीका यह है कि यह महसूस किया जाए कि बिंदु {{math|''P''}} पर एक स्पर्शरेखा रेखा है  एक ''स्थानीय'' संपत्ति है, जो केवल {{math|''P''}} के तत्काल पड़ोस में वक्र पर निर्भर करती है, जबकि एक छेदक रेखा एक ''वैश्विक'' संपत्ति है क्योंकि वक्र उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के पूरे डोमेन की जांच की जानी चाहिए।


==सेट और {{mvar|n}}-सेकेंट्स==
==सेट और {{mvar|n}}-छेदक==
सेकेंट लाइन की अवधारणा को यूक्लिडियन स्पेस की तुलना में अधिक सामान्य सेटिंग में लागू किया जा सकता है। होने देना {{mvar|K}} का एक परिमित समुच्चय हो {{mvar|k}} कुछ ज्यामितीय सेटिंग में अंक। एक लाइन को a कहा जाएगा {{mvar|n}}-सेकेंट का {{mvar|K}} यदि इसमें बिल्कुल शामिल है {{mvar|n}} के अंक {{mvar|K}}.<ref>{{citation|first=J. W. P.|last=Hirschfeld|author-link=James William Peter Hirschfeld|title=Projective Geometries over Finite Fields|year=1979|publisher=Oxford University Press|page=[https://archive.org/details/projectivegeomet0000hirs/page/70 70]|isbn=0-19-853526-0|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000hirs/page/70}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|K}} यूक्लिडियन तल में एक वृत्त पर व्यवस्थित 50 बिंदुओं का एक समूह है, उनमें से दो को जोड़ने वाली रेखा 2-सेकेंट (या द्विसेकेंट) होगी और उनमें से केवल एक से गुजरने वाली रेखा 1-सेकेंट (या यूनिसेकेंट) होगी ). इस उदाहरण में एक एकछंद रेखा को वृत्त की स्पर्शरेखा होने की आवश्यकता नहीं है।
छेदक लाइन की अवधारणा को यूक्लिडियन स्पेस की तुलना में अधिक सामान्य सेटिंग में लागू किया जा सकता है। मान लीजिए कि {{mvar|K}} किसी ज्यामितीय सेटिंग में {{mvar|k}} बिंदुओं का एक सीमित सेट है। एक रेखा को {{mvar|K}} का {{mvar|n}}-छेदक कहा जाएगा यदि इसमें {{mvar|K}} के {{mvar|n}} बिंदु हों।<ref>{{citation|first=J. W. P.|last=Hirschfeld|author-link=James William Peter Hirschfeld|title=Projective Geometries over Finite Fields|year=1979|publisher=Oxford University Press|page=[https://archive.org/details/projectivegeomet0000hirs/page/70 70]|isbn=0-19-853526-0|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000hirs/page/70}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|K}} यूक्लिडियन तल में एक वृत्त पर व्यवस्थित 50 बिंदुओं का एक समूह है, उनमें से दो को जोड़ने वाली रेखा 2-छेदक (या ''द्विछेदक'') होगी और उनमें से केवल एक से गुजरने वाली रेखा 1-छेदक (या ''यूनिसेकेंट'') होगी)। इस उदाहरण में एक एकछंद रेखा को वृत्त की स्पर्शरेखा होने की आवश्यकता नहीं है।


इस शब्दावली का प्रयोग अक्सर आपतन ज्यामिति और [[असतत ज्यामिति]] में किया जाता है। उदाहरण के लिए, आपतन ज्यामिति का सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय बताता है कि यदि {{mvar|n}} यूक्लिडियन ज्यामिति के बिंदु संरेखता नहीं हैं तो उनमें से 2-सेकेंड मौजूद होना चाहिए। और असतत ज्यामिति की मूल बाग-रोपण समस्या बिंदुओं के एक सीमित सेट के 3-सेकेंट की संख्या पर एक सीमा की मांग करती है।
इस शब्दावली का प्रयोग प्रायः आपतन ज्यामिति और [[असतत ज्यामिति]] में किया जाता है। उदाहरण के लिए, आपतन ज्यामिति के सिल्वेस्टर-गैलई प्रमेय में कहा गया है कि यदि यूक्लिडियन ज्यामिति के {{mvar|n}} बिंदु संरेख नहीं हैं, तो उनमें से 2-छेदक मौजूद होने चाहिए। और असतत ज्यामिति की मूल बाग-रोपण समस्या बिंदुओं के एक सीमित सेट के 3-छेदक की संख्या पर एक सीमा की मांग करती है।


इस परिभाषा में बिंदुओं के समुच्चय की परिमितता आवश्यक नहीं है, जब तक कि प्रत्येक रेखा समुच्चय को केवल सीमित अंकों में ही काट सकती है।
इस परिभाषा में बिंदुओं के समुच्चय की परिमितता आवश्यक नहीं है, जब तक कि प्रत्येक रेखा समुच्चय को केवल सीमित अंकों में ही काट सकती है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
*[[अण्डाकार वक्र]], एक वक्र जिसके लिए प्रत्येक छेदक का एक तीसरा प्रतिच्छेदन बिंदु होता है, जिससे अधिकांश समूह कानून को परिभाषित किया जा सकता है
*[[अण्डाकार वक्र]], एक वक्र जिसके लिए प्रत्येक छेदक का एक तीसरा प्रतिच्छेदन बिंदु होता है, जिससे अधिकांश समूह नियम को परिभाषित किया जा सकता है
*[[माध्य मान प्रमेय]], कि एक चिकने फलन के ग्राफ के प्रत्येक छेदक में एक समानांतर स्पर्शरेखा रेखा होती है
*[[माध्य मान प्रमेय]], कि एक चिकने फलन के ग्राफ के प्रत्येक छेदक में एक समानांतर स्पर्शरेखा होती है
*[[चतुर्भुज]], एक रेखा जो वक्र के चार बिंदुओं को काटती है (आमतौर पर एक अंतरिक्ष वक्र)
*[[चतुर्भुज]], एक रेखा जो वक्र के चार बिंदुओं को काटती है (प्रायः एक अंतरिक्ष वक्र)
*[[ छेदक तल ]], एक सेकेंट रेखा का त्रि-आयामी समतुल्य
*[[ छेदक तल ]], एक छेदक रेखा का त्रि-आयामी समतुल्य
*[[सेकेंट किस्म]], किसी दिए गए प्रक्षेप्य किस्म के लिए छेदक रेखाओं और स्पर्शरेखा रेखाओं का मिलन
*[[सेकेंट किस्म|छेदक किस्म]], किसी दिए गए प्रक्षेप्य किस्म के लिए छेदक रेखाओं और स्पर्शरेखा रेखाओं का मिलन


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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Latest revision as of 10:18, 15 July 2023

For छेदक त्रिकोणमितीय फलन, see छेदक (त्रिकोणमिति).

ज्यामिति में, छेदक एक रेखा होती है जो किसी वक्र को कम से कम दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।[1] छेदक शब्द लैटिन शब्द सेकेयर से आया है, जिसका अर्थ है काटना।[2] एक वृत्त के मामले में, एक छेदक रेखा वृत्त को बिल्कुल दो बिंदुओं पर काटती है। एक जीवा दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित रेखाखंड है, अर्थात, छेदक पर विराम जिसके सिरे दो बिंदु होते हैं।[3]


वृत्त

Further information: वृत्त § जीवा
एक वृत्त पर सामान्य रेखाएँ और रेखाखंड, जिसमें एक छेदक रेखा भी सम्मिलित है

एक सीधी रेखा किसी वृत्त को शून्य, एक या दो बिंदुओं पर काट सकती है। दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेदन वाली रेखा को छेदक रेखा कहा जाता है, एक बिंदु पर स्पर्श रेखा और बिना किसी बिंदु पर बाह्य रेखा कहा जाता है। जीवा वह रेखाखंड है जो वृत्त के दो अलग-अलग बिंदुओं को जोड़ता है। इसलिए एक जीवा एक अद्वितीय छेदक रेखा में समाहित होता है और प्रत्येक छेदक रेखा एक अद्वितीय जीवा निर्धारित करती है।

समतल ज्यामिति के कठोर आधुनिक विवेचनों में, जो परिणाम स्पष्ट प्रतीत होते हैं जिन्हें यूक्लिड के ने अपने विवेचन (बिना किसी कथन के) मान लिया था, जो प्रायः सिद्ध होते हैं।

उदाहरण के लिए, प्रमेय (प्राथमिक सर्कुलर निरंतरता):[4] यदि एक वृत्त है और एक रेखा जिसमें एक बिंदु A है जो के अंदर है और एक बिंदु B है जो के बाहर है तो , के लिए एक छेदक रेखा है।

कुछ स्थितियों में परिणामों को जीवाओं के बजाय छेदक रेखाओं के रूप में लिखने से कथनों को एकीकृत करने में मदद मिल सकती है। इसके उदाहरण के रूप में परिणाम पर विचार करें:[5]

यदि दो छेदक रेखाओं में जीवा AB और CD एक वृत्त में हैं और एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं जो वृत्त पर नहीं है, तो रेखाखंड की लंबाई AP⋅PB = CP⋅PD संतुष्ट करती है।

अगर बिंदु P वृत्त के अंदर स्थित है तो यह यूक्लिड III.35 है, लेकिन यदि बिंदु वृत्त के बाहर है तो परिणाम तत्वों में सम्मिलित नहीं है। हालाँकि, क्रिस्टोफर क्लेवियस का अनुसरण करते हुए रॉबर्ट सिमसन ने यूक्लिड पर अपनी टिप्पणियों में इस परिणाम का प्रदर्शन किया, जिसे कभी-कभी प्रतिच्छेदी छेदक प्रमेय भी कहा जाता है।[6]


वक्र

सरल वृत्तों की तुलना में अधिक जटिल वक्रों के लिए, यह संभावना उत्पन्न होती है कि एक रेखा जो किसी वक्र को दो से अधिक भिन्न बिंदुओं पर काटती है। कुछ गणितज्ञ वक्र के लिए एक छेदक रेखा को एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित करते हैं जो वक्र को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है। यह परिभाषा इस संभावना को खुला छोड़ देती है कि रेखा में वक्र के साथ प्रतिच्छेदन के अन्य बिंदु हो सकते हैं। जब इस तरह से व्यक्त किया जाता है तो वृत्तों और वक्रों के लिए एक छेदक रेखा की परिभाषाएँ समान होती हैं और एक वृत्त के लिए प्रतिच्छेदन के अतिरिक्त बिंदुओं की संभावना उत्पन्न नहीं होती है।

छेदक और स्पर्शरेखा

यदि किसी बिंदु P पर वक्र मौजूद है, तो उसकी स्पर्श रेखा का अनुमान लगाने के लिए सेकैंट का उपयोग किया जा सकता है। किसी वक्र के छेदक को दो बिंदुओं, P और Q द्वारा P स्थिर और Q चर परिभाषित करें। जैसे ही Q वक्र के अनुदिश P के पास पहुंचता है, यदि छेदक का ढलान एक सीमा तक पहुंचता है, तो वह सीमा P पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान को परिभाषित करती है।[1]छेदक रेखाएँ PQ स्पर्शरेखा रेखा के सन्निकटन हैं। कैलकुलस में, यह विचार व्युत्पन्न की ज्यामितीय परिभाषा है।

बिंदु P पर स्पर्श रेखा वक्र की एक छेदक रेखा है

किसी बिंदु P पर वक्र की एक स्पर्शरेखा उस वक्र के लिए एक छेदक रेखा हो सकती है यदि वह वक्र को P के अलावा कम से कम एक बिंदु पर काटती है। इसे देखने का एक अन्य तरीका यह है कि यह महसूस किया जाए कि बिंदु P पर एक स्पर्शरेखा रेखा है एक स्थानीय संपत्ति है, जो केवल P के तत्काल पड़ोस में वक्र पर निर्भर करती है, जबकि एक छेदक रेखा एक वैश्विक संपत्ति है क्योंकि वक्र उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के पूरे डोमेन की जांच की जानी चाहिए।

सेट और n-छेदक

छेदक लाइन की अवधारणा को यूक्लिडियन स्पेस की तुलना में अधिक सामान्य सेटिंग में लागू किया जा सकता है। मान लीजिए कि K किसी ज्यामितीय सेटिंग में k बिंदुओं का एक सीमित सेट है। एक रेखा को K का n-छेदक कहा जाएगा यदि इसमें K के n बिंदु हों।[7] उदाहरण के लिए, यदि K यूक्लिडियन तल में एक वृत्त पर व्यवस्थित 50 बिंदुओं का एक समूह है, उनमें से दो को जोड़ने वाली रेखा 2-छेदक (या द्विछेदक) होगी और उनमें से केवल एक से गुजरने वाली रेखा 1-छेदक (या यूनिसेकेंट) होगी)। इस उदाहरण में एक एकछंद रेखा को वृत्त की स्पर्शरेखा होने की आवश्यकता नहीं है।

इस शब्दावली का प्रयोग प्रायः आपतन ज्यामिति और असतत ज्यामिति में किया जाता है। उदाहरण के लिए, आपतन ज्यामिति के सिल्वेस्टर-गैलई प्रमेय में कहा गया है कि यदि यूक्लिडियन ज्यामिति के n बिंदु संरेख नहीं हैं, तो उनमें से 2-छेदक मौजूद होने चाहिए। और असतत ज्यामिति की मूल बाग-रोपण समस्या बिंदुओं के एक सीमित सेट के 3-छेदक की संख्या पर एक सीमा की मांग करती है।

इस परिभाषा में बिंदुओं के समुच्चय की परिमितता आवश्यक नहीं है, जब तक कि प्रत्येक रेखा समुच्चय को केवल सीमित अंकों में ही काट सकती है।

यह भी देखें

  • अण्डाकार वक्र, एक वक्र जिसके लिए प्रत्येक छेदक का एक तीसरा प्रतिच्छेदन बिंदु होता है, जिससे अधिकांश समूह नियम को परिभाषित किया जा सकता है
  • माध्य मान प्रमेय, कि एक चिकने फलन के ग्राफ के प्रत्येक छेदक में एक समानांतर स्पर्शरेखा होती है
  • चतुर्भुज, एक रेखा जो वक्र के चार बिंदुओं को काटती है (प्रायः एक अंतरिक्ष वक्र)
  • छेदक तल , एक छेदक रेखा का त्रि-आयामी समतुल्य
  • छेदक किस्म, किसी दिए गए प्रक्षेप्य किस्म के लिए छेदक रेखाओं और स्पर्शरेखा रेखाओं का मिलन

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Protter, Murray H.; Protter, Philip E. (1988), Calculus with Analytic Geometry, Jones & Bartlett Learning, p. 62, ISBN 9780867200935.
  2. ↑ Redgrove, Herbert Stanley (1913), Experimental Mensuration: An Elementary Test-book of Inductive Geometry, Van Nostrand, p. 167.
  3. ↑ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: From the Birth of Numbers, W. W. Norton & Company, p. 387, ISBN 9780393040029.
  4. ↑ Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Pearson/Prentice-Hall, p. 229, ISBN 978-0-13-143700-5
  5. ↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman & Co., p. 482, ISBN 0-7167-0456-0
  6. ↑ Heath, Thomas L. (1956), The thirteen books of Euclid's Elements (Vol. 2), Dover, p. 73
  7. ↑ Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries over Finite Fields, Oxford University Press, p. 70, ISBN 0-19-853526-0


बाहरी संबंध

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