हॉज सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 18:29, 16 July 2023

गणित में, हॉज सिद्धांत, विलियम वालेंस डगलस हॉज के नाम पर डब्ल्यू वी. डी. हॉज, आंशिक अंतर समीकरणों का उपयोग करके M के सह-समरूपता समूह का अध्ययन करने की विधि है। प्रमुख अवलोकन यह है कि, M पर रिमेंनियन मीट्रिक दिए जाने पर, प्रत्येक सह-समरूपता वर्ग का प्रतिनिधि (गणित) होता है, अंतर रूप जो मेट्रिक के लाप्लासियन ऑपरेटर के अंतर्गत लुप्त हो जाता है। ऐसे रूपों को हार्मोनिक कहा जाता है।

1930 के दशक में बीजगणितीय ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए सिद्धांत को हॉज द्वारा विकसित किया गया था, और यह डी राम कोहोमोलॉजी पर जॉर्जेस डी राम के कार्य पर बनाया गया था। इसके दो सेटिंग्स में प्रमुख अनुप्रयोग हैं: रीमैनियन मैनिफोल्ड्स और काहलर मैनिफोल्ड्स हॉज की प्राथमिक प्रेरणा, जटिल प्रक्षेपी विविधता का अध्ययन, पश्चात की स्थितियों में सम्मिलित है। हॉज सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण उपकरण बन गया है, विशेष रूप से बीजगणितीय चक्र के अध्ययन के संबंध में है।

जबकि हॉज सिद्धांत वास्तविक और जटिल संख्याओं पर आंतरिक रूप से निर्भर है, इसे संख्या सिद्धांत में प्रश्नों पर प्रयुक्त किया जा सकता है। अंकगणितीय स्थितियों में, p-एडिक हॉज सिद्धांत के उपकरणों ने शास्त्रीय हॉज सिद्धांत के वैकल्पिक प्रमाण, या अनुरूप परिणाम दिए हैं।

इतिहास

1920 के दशक में बीजगणितीय टोपोलॉजी का क्षेत्र अभी भी नवजात था। इसने अभी तक सह-समरूपता की धारणा विकसित नहीं की थी, और विभेदक रूपों और टोपोलॉजी के मध्य के सम्बन्ध को व्यर्थ विधियों द्वारा अध्ययन किया गया था। 1928 में, एली कार्टन ने सुर लेस नॉम्ब्रेस डी बेट्टी डेस एस्पेसेस डी ग्रुप्स क्लोस शीर्षक से नोट प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने विचार दिया, किंतु यह सिद्ध नहीं किया कि अंतर रूपों और टोपोलॉजी को जोड़ा जाना चाहिए। इसे पढ़ने के पश्चात, उस समय छात्र, जॉर्जेस डी राम प्रेरणा से प्रभावित हुए। 1931 की अपनी थीसिस में, उन्होंने शोभनीय परिणाम सिद्ध किये जिसे अब डी राम की प्रमेय कहा जाता है। स्टोक्स के प्रमेय के अनुसार, किसी भी कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड M, बिलिनियर पेयरिंग के लिए, एकवचन समरूपता श्रृंखलाओं के साथ विभेदक रूपों का एकीकरण है:

H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .

जैसा कि मूल रूप से कहा गया है, डी राम के प्रमेय का आशय है कि यह आदर्श युग्मन है, और इसलिए बाईं ओर प्रत्येक शब्द एक दूसरे के सदिश क्षेत्र दोहरे हैं। समकालीन भाषा में, डी राम के प्रमेय को अधिकांशतः कथन के रूप में अभिव्यक्त किया जाता है कि वास्तविक गुणांक के साथ एकवचन सह-समरूपता डी राम सह-समरूपता के लिए आइसोमॉर्फिक है:

H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).

डी राम का मूल कथन पोंकारे द्वंद्व का परिणाम है।^[1]

भिन्न से, सोलोमन लेफशेट्ज़ के 1927 के पेपर ने बर्नहार्ड रीमैन के प्रमेयों को त्रुटिपूर्ण सिद्ध करने के लिए सामयिक विधियों का प्रयोग किया।^[2] आधुनिक भाषा में, यदि ω₁ और ω₂ बीजगणितीय वक्र C पर होलोमोर्फिक अंतर हैं, तो उनका वेज उत्पाद आवश्यक रूप से शून्य है क्योंकि C का केवल जटिल आयाम है; परिणामस्वरूप, उनके सह-समरूपता वर्गों का कप उत्पाद शून्य है, और जब इसे स्पष्ट किया गया, तो इसने लेफशेट्ज़ को रीमैन संबंध का नया प्रमाण दिया। इसके अतिरिक्त, यदि ω अशून्य होलोमॉर्फिक अंतर है, तब ${\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}$ धनात्मक आयतन रूप है, जिससे लेफ्शेट्ज़ रीमैन की असमानताओं को फिर से प्राप्त करने में सक्षम था। 1929 में, डब्ल्यू वी डी. हॉज ने लेफशेट्ज़ के पेपर के बारे में सीखा। उन्होंने देखा कि इसी प्रकार के सिद्धांत बीजगणितीय सतहों पर प्रयुक्त होते हैं। अधिक त्रुटिहीन रूप से, यदि ω बीजगणितीय सतह पर अशून्य होलोमोर्फिक रूप है, तो ${\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}$ सकारात्मक है, इसलिए कप उत्पाद $\omega$ और ${\bar {\omega }}$ अशून्य होना चाहिए। यह इस प्रकार है कि ω स्वयं को अशून्य सह-समरूपता वर्ग का प्रतिनिधित्व करना चाहिए, इसलिए इसकी अवधि शून्य नहीं हो सकती। इससे सेवरी के प्रश्न का समाधान हो गया।^[3]

हॉज ने अनुभव किया कि ये तकनीकें उच्च आयामों पर भी प्रयुक्त होनी चाहिए। उनके सहयोगी पीटर फ्रेजर ने उन्हें डी राम की थीसिस का अनुरोध किया। डी राम की थीसिस को पढ़ने में, हॉज ने अनुभव किया कि रीमैन सतह पर होलोमोर्फिक 1-रूप के वास्तविक और काल्पनिक भाग कुछ अर्थों में एक दूसरे के लिए दोहरे थे। उन्हें संदेह था कि उच्च आयामों में समान द्वैत होना चाहिए; इस द्वंद्व को अब हॉज स्टार ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। उन्होंने आगे अनुमान लगाया कि प्रत्येक सह-समरूपता वर्ग के पास गुण के साथ विशिष्ट प्रतिनिधि होना चाहिए जिसमें यह गुण हो कि वह और उसका दोहरा दोनों बाहरी व्युत्पन्न ऑपरेटर के अंतर्गत लुप्त हो जाएं; इन्हें अब हार्मोनिक रूप कहा जाता है। हॉज ने 1930 के अधिकांश समय को इस समस्या के लिए समर्पित किया। प्रमाण पर उनका सबसे प्रथम प्रकाशित प्रयास 1933 में सामने आया, किंतु उन्होंने इसे शीर्ष पर अपरिष्कृत माना। युग के सबसे शोभनीय गणितज्ञों में से हरमन वेइल ने स्वयं को यह निर्धारित करने में असमर्थ पाया कि हॉज का प्रमाण सही था या नहीं। 1936 में, हॉज ने नया प्रमाण प्रकाशित किया। जबकि हॉज ने नए प्रमाण को अधिक उत्तम माना, बोहेनब्लस्ट द्वारा सरल दोष का परिक्षण किया गया। स्वतंत्र रूप से, हरमन वेइल और कुनिहिको कोडैरा ने त्रुटि को सुधारने के लिए हॉज के प्रमाण को संशोधित किया। इसने हार्मोनिक रूपों और सह-समरूपता वर्गों के मध्य हॉज की आवश्यकता वाली समरूपता की स्थापना की।

पूर्व-निरीक्षण में यह स्पष्ट है कि अस्तित्व प्रमेय में तकनीकी कठिनाइयों के लिए वास्तव में किसी महत्वपूर्ण नए विचार की आवश्यकता नहीं थी, अन्यथा शास्त्रीय विधियों का सावधानीपूर्वक विस्तार था। वास्तविक नवीनता, जो हॉज का प्रमुख योगदान था, हार्मोनिक इंटीग्रल की अवधारणा और बीजगणितीय ज्यामिति के लिए उनकी प्रासंगिकता थी। तकनीक पर अवधारणा की यह विजय हॉज के महान पूर्ववर्ती बर्नहार्ड रीमैन के कार्य में समान प्रकरण का स्मरण करती है।

एम. एफ अतियाह, विलियम वैलेंस डगलस हॉज, 17 जून 1903 - 7 जुलाई 1975, रॉयल सोसाइटी के फेलो के जीवनी संबंधी संस्मरण, वॉल्यूम 22, 1976, पीपी 169-192 है।

वास्तविक मैनिफोल्ड के लिए हॉज सिद्धांत

डी राम सह-समरूपता

हॉज सिद्धांत डी राम सह-समरूपता का संदर्भ देता है। माना M सहज मैनिफोल्ड है। गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए, मान लीजिए कि Ω^k(M) M पर डिग्री k के सहज अंतर रूपों का वास्तविक संख्या सदिश स्थान है। डी राम कॉम्प्लेक्स अंतर ऑपरेटरों का अनुक्रम है:

0\to \Omega ^{0}(M)\xrightarrow {d_{0}} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {d_{1}} \cdots \xrightarrow {d_{n-1}} \Omega ^{n}(M)\xrightarrow {d_{n}} 0,

जहां d_{k ,} Ω^k(M) पर बाह्य अवकलज को दर्शाता है यह इस अर्थ में कोचेन कॉम्प्लेक्स है कि d_k+1 ∘ d_k = 0 (d² = 0 लिखा भी है)। डी राम के प्रमेय का कहना है कि वास्तविक गुणांक वाले M के एकवचन सह-समरूपता की गणना डी राम परिसर द्वारा की जाती है:

H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatorname {im} d_{k-1}}}.

हॉज सिद्धांत में ऑपरेटर

M पर रिमेंनियन मीट्रिक g चयन करें और स्मरण रखें कि:

\Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge \nolimits ^{k}T^{*}(M)\right).

मीट्रिक प्रत्येक फाइबर पर आंतरिक उत्पाद $\bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))$ उत्पन्न करता है प्रत्येक कोटैंजेंट फाइबर से g द्वारा प्रेरित आंतरिक उत्पाद को विस्तारित करके (ग्रामियन मैट्रिक्स देखें) $T_{p}^{*}(M)$ को h $k^{th}$ बाहरी उत्पाद: $\bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))$ . $\Omega ^{k}(M)$ आंतरिक उत्पाद को वॉल्यूम रूप के संबंध में M के ऊपर दिए गए k- रूपों के जोड़े के बिंदुवार आंतरिक उत्पाद के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। $\sigma$ , g से जुड़ा हुआ है। स्पष्ट रूप से, कुछ दिए गए $\omega ,\tau \in \Omega ^{k}(M)$ हमारे पास है:

(\omega ,\tau )\mapsto \langle \omega ,\tau \rangle :=\int _{M}\langle \omega (p),\tau (p)\rangle _{p}\sigma .

स्वाभाविक रूप से उपरोक्त आंतरिक उत्पाद आदर्श को प्रेरित करता है, जब वह पैरामीटर कुछ निश्चित k-रूप पर परिमित होता है:

\langle \omega ,\omega \rangle =\|\omega \|^{2}<\infty ,

तब समाकलन M पर वास्तविक मूल्यवान, वर्ग समाकलनीय फलन है, जिसका मूल्यांकन किसी दिए गए बिंदु पर उसके बिंदु-वार पैरामीटरों के माध्यम से किया जाता है,

\|\omega (p)\|_{p}:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M).

इन आंतरिक उत्पादों के संबंध में d के सहायक संचालिका पर विचार करें:

\delta :\Omega ^{k+1}(M)\to \Omega ^{k}(M).

फिर रूपों पर लाप्लासियन द्वारा परिभाषित किया गया है:

\Delta =d\delta +\delta d.

यह दूसरे क्रम का रेखीय अंतर संचालिका है, जो Rⁿ पर कार्यों के लिए लाप्लासियन का सामान्यीकरण करता है। परिभाषा के अनुसार, M पर रूप 'हार्मोनिक' है यदि इसका लाप्लासियन शून्य है:

{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

लाप्लासियन गणितीय भौतिकी में सबसे पहले प्रकट हुए। विशेष रूप से, विभेदक रूप भौतिक विज्ञान में अनुप्रयोग मैक्सवेल के समीकरण कहते हैं कि निर्वात में विद्युत चुम्बकीय क्षमता 1-रूप a है जिसका बाहरी व्युत्पन्न dA = F है, जहां F विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने वाला 2-रूप है जैसे कि स्पेसटाइम पर ΔA = 0 अंतरिक्ष-समय पर, आयाम 4 के मिन्कोवस्की अंतरिक्ष के रूप में देखा गया।

संवृत रीमैनियन मैनिफोल्ड पर प्रत्येक हार्मोनिक रूप α संवृत और त्रुटिहीन अंतर रूप है, जिसका अर्थ dα = 0 है। परिणामस्वरूप, कैनोनिकल मानचित्र $\varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M,\mathbf {R} )$ है, हॉज प्रमेय कहता है कि $\varphi$ वेक्टर रिक्त स्थान का समरूपता है।^[4] दूसरे शब्दों में, M पर प्रत्येक वास्तविक सह-समरूपता वर्ग में अद्वितीय हार्मोनिक प्रतिनिधि होता है। ठोस रूप से, हार्मोनिक प्रतिनिधि न्यूनतम L² का अद्वितीय संवृत रूप है पैरामीटर जो किसी दिए गए सह-समरूपता वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। हॉज प्रमेय को अण्डाकार ऑपरेटर आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, हॉज के प्रारंभिक तर्कों को 1940 के दशक में कुनिहिको कोडायरा और अन्य लोगों द्वारा पूर्ण किया गया था।

उदाहरण के लिए, हॉज प्रमेय का अर्थ है कि संवृत मैनिफोल्ड के वास्तविक गुणांक वाले सह-समरूपता समूह परिमित-आयामी हैं। (प्रमाणित है, इसे सिद्ध करने के अन्य विधियों हैं।) वास्तव में, ऑपरेटर Δ अंडाकार होते हैं, और संवृत मैनिफोल्ड अंडाकार ऑपरेटर के कर्नेल (बीजगणित) सदैव परिमित-आयामी वेक्टर स्थान होता है। हॉज प्रमेय का अन्य परिणाम यह है कि संवृत मैनिफोल्ड M पर रिमेंनियन मीट्रिक M मॉड्यूलो टोरसन उपसमूह के अभिन्न सह-समरूपता पर वास्तविक मूल्यवान आंतरिक उत्पाद निर्धारित करता है। यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, सामान्य रैखिक समूह में M के आइसोमेट्री समूह की छवि GL(H^∗(M, Z)) परिमित है (क्योंकि जाली (समूह) के आइसोमेट्री का समूह परिमित है)।

हॉज प्रमेय का प्रकार हॉज अपघटन है। यह कहता है कि रूप में तीन भागों के योग के रूप में संवृत रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर किसी भी विभेदक रूप ω का अद्वितीय अपघटन है:

\omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma ,

जिसमें γ हार्मोनिक है: Δγ = 0 विभेदक रूपों पर^[5]L² के संदर्भ मे विभेदक रूपों पर मीट्रिक, यह ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग अपघटन देता है:

\Omega ^{k}(M)\cong \operatorname {im} d_{k-1}\oplus \operatorname {im} \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M).

हॉज अपघटन डी राम कॉम्प्लेक्स के लिए हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन का सामान्यीकरण है।

अण्डाकार संकुलों का हॉज सिद्धांत

माइकल अतियाह और राउल बॉटल ने अण्डाकार परिसरों को डी राम कॉम्प्लेक्स के सामान्यीकरण के रूप में परिभाषित किया। हॉज प्रमेय इस समुच्चयिंग तक विस्तारित है, निम्नानुसार है:

मान लीजिये $E_{0},E_{1},\ldots ,E_{N}$ वॉल्यूम रूप dV के साथ संवृत स्मूथ मैनिफोल्ड M पर मेट्रिक्स से लैस वेक्टर बंडल बनें। लगता है कि:

L_{i}:\Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})

इन वेक्टर बंडलों के C^∞ अनुभागों और प्रेरित अनुक्रम पर कार्य करने वाले रैखिक अंतर ऑपरेटर हैं:

0\to \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \cdots \to \Gamma (E_{N})\to 0

अण्डाकार सम्मिश्र है, प्रत्यक्ष योगों का परिचय दें:

{\begin{aligned}{\mathcal {E}}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _{i}\Gamma (E_{i})\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^{\bullet }\end{aligned}}

और L^∗ L का जोड़ है। अण्डाकार संकारक Δ = LL^∗ + L^∗L को परिभाषित करें। जैसा कि डी राम स्तिथि में, इससे हार्मोनिक अनुभागों का सदिश स्थान प्राप्त होता है:

{\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.

माना $H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}$ ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन हो, और G को Δ के लिए ग्रीन का ऑपरेटर होने दें। हॉज प्रमेय निम्नलिखित पर बल देता है:^[6]

H और G उत्तम प्रकार से परिभाषित हैं।
Id = H + ΔG = H + GΔ
LG = GL, L^∗G = GL^∗
कॉम्प्लेक्स की सह-समरूपता हार्मोनिक वर्गों के स्थान के लिए विहित रूप से समरूपी है, $H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})$ , इस अर्थ में कि प्रत्येक कोहोमोलॉजी वर्ग में अद्वितीय हार्मोनिक प्रतिनिधि होता है।

इस स्थिति में हॉज अपघटन भी है, जो डी राम कॉम्प्लेक्स के लिए उपरोक्त कथन को सामान्य बनाता है।

जटिल प्रक्षेप्य के लिए हॉज सिद्धांत

माना X सुचारु जटिल प्रक्षेप्य मैनिफोल्ड है, जिसका अर्थ है कि चाउ के प्रमेय के अनुसार, जटिल प्रक्षेप्य मैनिफ़ोल्ड स्वचालित रूप से बीजगणितीय होते हैं: उन्हें 'CP^N' पर सजातीय बहुपद समीकरणों के लुप्त होने से परिभाषित किया जाता है। 'CP^N' पर मानक रीमैनियन मीट्रिक X पर रीमैनियन मीट्रिक प्रेरित करता है जिसमें जटिल संरचना के साथ स्थिर संगतता होती है, जिससे X काहलर मैनिफोल्ड बन जाता है।

जटिल मैनिफोल्ड x और प्राकृतिक संख्या r के लिए, सभी सुचारू फलन C^∞ r--रूप x पर (जटिल गुणांकों के साथ) विशिष्ट रूप से जटिल अंतर रूप के योग के रूप में लिखा जा सकता है। type (p, q) साथ p + q = r, जिसका अर्थ है कि स्थानीय रूप से शब्दों के परिमित योग के रूप में लिखा जा सकता है, प्रत्येक शब्द के रूप में इस प्रकार है:

f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}

f a C^∞ के साथ फलन और z_s और w_s होलोमॉर्फिक फलन काहलर मैनिफोल्ड पर, (p, q) हार्मोनिक रूप के घटक फिर से हार्मोनिक होते हैं। इसलिए, किसी भी कॉम्पैक्ट स्थान केहलर मैनिफोल्ड x के लिए, हॉज प्रमेय जटिल वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग के रूप में जटिल गुणांक वाले X के सह-समरूपता का अपघटन देता है:^[7]

H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).

यह अपघटन वास्तव में काहलर मीट्रिक की रूचि से स्वतंत्र है (किंतु सामान्य कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के लिए कोई समान अपघटन नहीं है)। दूसरी ओर, हॉज अपघटन वास्तव में X की संरचना पर जटिल मैनिफोल्ड के रूप में निर्भर करता है, जबकि समूह H^r(X, C) केवल X के अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस पर निर्भर करता है।

इन हार्मोनिक प्रतिनिधियों के वेज उत्पादों को लेना कोहोमोलॉजी में कप उत्पाद से युग्मित होता है, इसलिए जटिल गुणांक वाला कप उत्पाद हॉज अपघटन के साथ संगत है:

\smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).

भाग H^p^,q(X) हॉज अपघटन को सुसंगत शीफ सह-समरूपता समूह के साथ पहचाना जा सकता है, जो केवल X पर जटिल मैनिफोल्ड के रूप में निर्भर करता है (कहलेर मीट्रिक की रूचि पर नहीं):^[8]

H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),

जहां Ω^p, X पर होलोमॉर्फिक p-रूप के शीफ (गणित) को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, H^p,0(X) सभी X पर होलोमोर्फिक p-रूपों का स्थान है। (यदि X प्रक्षेपी है, तो जीन पियरे सेरे के गागा प्रमेय का तात्पर्य है कि सभी X पर होलोमोर्फिक p-रूप वास्तव में बीजगणितीय है।)

दूसरी ओर, इंटीग्रल को Z के होमोलॉजी वर्ग के कैप उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है और सह-समरूपता वर्ग द्वारा दर्शाया गया है $\alpha$ . पोनकारे द्वैत द्वारा, Z का समरूपता वर्ग सह-समरूपता वर्ग के लिए दोहरा है जिसे हम [Z] कहेंगे, और कैप उत्पाद की गणना [Z] और α के कप उत्पाद को लेकर और X के मौलिक वर्ग के साथ कैपिंग करके की जा सकती है।

क्योंकि [Z] सह-समरूपता वर्ग है, इसमें हॉज अपघटन है। उपरोक्त गणना के अनुसार, यदि हम इस वर्ग को किसी भी प्रकार के वर्ग के साथ जोड़ते हैं $(p,q)\neq (k,k)$ , तो हमें शून्य मिलता है। क्योंकि $H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)$ , से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि [Z] को $H^{n-k,n-k}(X)$ के अंदर होना चाहिए।

हॉज नंबर h^p^,q(X) का अर्थ जटिल वेक्टर स्पेस H का आयाम है ये सुचारु जटिल प्रक्षेप्य के महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय हैं; जब X की जटिल संरचना निरंतर परिवर्तित होती रहती है तो वे नहीं परिवर्तित होते हैं, और फिर भी वे सामान्य रूप से टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट नहीं होते हैं। हॉज संख्या के गुणों में 'हॉज समरूपता' हैं h^p^,q = h^q^,p (क्योंकि H^p^,q(X) H का सम्मिश्र संयुग्म H^q^,p(X)) और h^p,q = h^n−p,n−q (सेरे द्वैत द्वारा) है।

सुचारु जटिल प्रक्षेपी विविधता (या कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड) की हॉज संख्या को होमोलॉजिकल मिरर समरूपता हॉज डायमंड में (जटिल आयाम 2 के स्थितियों में दिखाया गया) सूचीबद्ध किया जा सकता है:

		h^2,2
	h^2,1		h^1,2
h^2,0		h^1,1		h^0,2
	h^1,0		h^0,1
		h^0,0

उदाहरण के लिए, जीनस (गणित) g के प्रत्येक सुचारु प्रक्षेपी बीजगणितीय वक्र में हॉज डायमंड होता है:

	1
g		g
	1

दूसरे उदाहरण के लिए, प्रत्येक K3 सतह में हॉज डायमंड होता है:

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

X की बेट्टी संख्याएँ दी गई पंक्ति में हॉज संख्याओं का योग हैं। हॉज सिद्धांत का मूलभूत अनुप्रयोग तो यह है कि विषम बेट्टी संख्या b_2a+1 हॉज समरूपता द्वारा सुचारु जटिल प्रोजेक्टिव विविधता (या कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड) भी हैं। यह सामान्य रूप से कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स के लिए सही नहीं है, जैसा कि हॉफ सतह के उदाहरण द्वारा दिखाया गया है, जो कि भिन्न-भिन्न है S¹ × S³ और इसलिए b₁ = 1 है।

काहलर पैकेज हॉज सिद्धांत पर निर्मित, सुचारु जटिल प्रोजेक्टिव (या कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स) के सह-समरूपता पर प्रतिबंधों का शक्तिशाली समुच्चय है। परिणामों में लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय, जटिल लेफ़्सचेट्ज़ प्रमेय और हॉज-रीमैन द्विरेखीय संबंध सम्मिलित हैं।^[9] इनमें से कई परिणाम मौलिक तकनीकी उपकरणों से आते हैं, जो हॉज सिद्धांत का उपयोग करके कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड के लिए सिद्ध हो सकते हैं, जिसमें काहलर पहचान और डडबार $\partial {\bar {\partial }}$ लेम्मा सम्मिलित हैं।

हॉज सिद्धांत और गैर-एबेलियन हॉज सिद्धांत जैसे विस्तार भी कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स के संभावित मौलिक समूहों पर स्थिर प्रतिबंध देते हैं।

बीजगणितीय चक्र और हॉज अनुमान

मान लीजिए कि X सहज जटिल प्रक्षेप्य है। कोडिमेंशन p के x में जटिल उप-विविधता y कोहोमोलॉजी समूह के एलिमेंट्स को परिभाषित करते है $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )$ इसके अतिरिक्त, परिणामी वर्ग के विशेष गुण है: जटिल सह-समरूपता में इसकी छवि $H^{2p}(X,\mathbb {C} )$ हॉज अपघटन के मध्य भाग में स्थित है, $H^{p,p}(X)$ हॉज अनुमान सम्बन्ध की भविष्यवाणी करता है: प्रत्येक एलिमेंट्स $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )$ जिसकी छवि जटिल कोहोमोलॉजी में उप-स्थान में निहित है $H^{p,p}(X)$ में सकारात्मक अभिन्न गुणक होना चाहिए जो कि a है $\mathbb {Z}$ X की जटिल वर्गों का रैखिक संयोजन है। (इस प्रकार के रैखिक संयोजन को X पर 'बीजगणितीय चक्र' कहा जाता है।)

महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि हॉज अपघटन जटिल गुणांक वाले सह-समरूपता का अपघटन है जो सामान्यतः अभिन्न (या तर्कसंगत) गुणांक वाले सह-समरूपता के अपघटन से नहीं आता है। परिणामस्वरूप,

(H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )

पूर्ण समूह की तुलना में अधिक छोटा हो सकता है $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/$ टोशन, भले ही हॉज नंबर $h^{p,p}$ बड़ा है। संक्षेप में, हॉज अनुमान भविष्यवाणी करता है कि X का जटिल आकार (जैसा कि सह-समरूपता द्वारा वर्णित है) X के 'हॉज स्ट्रक्चर' (जटिल सह-समरूपता के हॉज अपघटन के साथ अभिन्न सह-समरूपता का संयोजन) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

लेफ़शेट्ज़ (1,1)-प्रमेय कहता है कि हॉज अनुमान p = 1 के लिए सत्य है (यहां तक कि अभिन्न रूप से, अर्थात कथन में सकारात्मक अभिन्न एकाधिक की आवश्यकता के बिना)।

बीजीय फलन विशेष रूप से, बीजगणितीय फलन के निश्चित अभिन्न अंग, जिन्हें अवधि के रूप में जाना जाता है, पारलौकिक संख्या हो सकते हैं। हॉज अनुमान की कठिनाई सामान्य रूप से ऐसे अभिन्नों के अल्पता को दर्शाती है।

उदाहरण: जटिल प्रक्षेपी K3 सतह X के लिए, समूह H²(X, Z) Z²² के लिए आइसोमोर्फिक है, और H^1,1 (X) C²⁰ के लिए समरूपी है उनके प्रतिच्छेदन का रैंक 1 और 20 के मध्य कहीं भी हो सकती है; इस रैंक को X की पिकार्ड संख्या कहा जाता है। सभी प्रक्षेप्य K3 सतहों के मोडुली स्पेस में घटकों का अनंत समुच्चय होता है, प्रत्येक जटिल आयाम 19 का होता है। पिकार्ड नंबर a के साथ K3 सतहों के उप-स्थान का आयाम 20−a होता है।^[10] (इस प्रकार, अधिकांश प्रक्षेपी K3 सतहों के लिए, प्रतिच्छेदन H²(X, Z) H के साथ 1,1(X) 'Z' के लिए समरूपी है, किंतु विशेष K3 सतहों के लिए प्रतिच्छेदन बड़ा हो सकता है।)

यह उदाहरण जटिल बीजगणितीय ज्यामिति में हॉज सिद्धांत द्वारा निभाई गई कई भिन्न-भिन्न भूमिकाओं का विचार देता है। सबसे पहले, हॉज सिद्धांत उन प्रतिबंधों को देता है जिन पर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान सुचारू जटिल प्रोजेक्टिव की संरचना हो सकती हैं। दूसरा, हॉज सिद्धांत दिए गए टोपोलॉजिकल प्रकार के साथ सुचारू जटिल प्रोजेक्टिव के मोडुली स्पेस के बारे में जानकारी देता है। सबसे उत्तम स्थितियाँ तब होती है जब टोरेली प्रमेय धारण करता है, जिसका अर्थ है कि इसकी हॉज संरचना द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक की विविधता निर्धारित की जाती है। अंत में, हॉज सिद्धांत किसी दी गई विविधता पर बीजगणितीय चक्रों के चाउ समूह के बारे में जानकारी देता है। हॉज अनुमान चाउ समूह की छवि के बारे में है चाउ समूहों से सामान्य सह-समरूपता के लिए चक्र मानचित्र, किंतु हॉज सिद्धांत चक्र मानचित्र के कर्नेल के बारे में भी जानकारी देता है, उदाहरण के लिए मध्यवर्ती जैकबियन का उपयोग करके जो हॉज संरचना से निर्मित होते हैं।

सामान्यीकरण

मिश्रित हॉज सिद्धांत, पियरे डेलिग्ने द्वारा विकसित, हॉज सिद्धांत को सभी जटिल बीजगणितीय तक विस्तारित है, आवश्यक नहीं कि सुचारू या कॉम्पैक्ट हो। अर्थात्, किसी भी जटिल बीजगणितीय विविधता के सह-समरूपता में अधिक सामान्य प्रकार का अपघटन, मिश्रित हॉज संरचना है।

इंटरसेक्शन समरूपता द्वारा एकवचन के लिए हॉज सिद्धांत का भिन्न सामान्यीकरण प्रदान किया जाता है। अर्थात्, मोरीहिको सैटो ने दिखाया कि किसी भी जटिल प्रक्षेप्य विविधता (आवश्यक रूप से चिकनी नहीं) के प्रतिच्छेदन होमोलॉजी में शुद्ध हॉज संरचना है, जैसे कि सहज स्थितियों में, पूर्ण काहलर पैकेज इंटरसेक्शन होमोलॉजी तक विस्तारित है।

जटिल ज्यामिति का मूलभूत विषय यह है कि गैर-आइसोमॉर्फिक कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स का निरंतर सदस्य हैं (जो वास्तविक मैनिफोल्ड्स के रूप में सभी भिन्न-भिन्न हैं) फिलिप ग्रिफिथ्स की हॉज संरचना की भिन्नता की धारणा बताती है कि कैसे सुचारू जटिल प्रक्षेपी विविधता 'X' की हॉज संरचना परिवर्तित करती है जब 'X' भिन्न होता है। ज्यामितीय शब्दों में, यह सदस्य से संबंधित अवधि मानचित्रण का अध्ययन करने के समान है। सैटो का हॉज मॉड्यूल का सिद्धांत सामान्यीकरण है।

यह भी देखें

संभावित सिद्धांत
सरल द्वैत
हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन
स्थानीय अपरिवर्तनीय चक्र प्रमेय
अरकेलोव सिद्धांत
हॉज-अराकेलोव सिद्धांत
डीडीबार लेम्मा, कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स के लिए हॉज सिद्धांत का प्रमुख परिणाम।

↑ Chatterji, Srishti; Ojanguren, Manuel (2010), A glimpse of the de Rham era (PDF), working paper, EPFL
↑ Lefschetz, Solomon, "Correspondences Between Algebraic Curves", Ann. of Math. (2), Vol. 28, No. 1, 1927, pp. 342–354.
↑ Michael Atiyah, William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975, Biogr. Mem. Fellows R. Soc., 1976, vol. 22, pp. 169–192.
↑ Warner (1983), Theorem 6.11.
↑ Warner (1983), Theorem 6.8.
↑ Wells (2008), Theorem IV.5.2.
↑ Huybrechts (2005), Corollary 3.2.12.
↑ Huybrechts (2005), Corollary 2.6.21.
↑ Huybrechts (2005), sections 3.3 and 5.2; Griffiths & Harris (1994), sections 0.7 and 1.2; Voisin (2007), v. 1, ch. 6, and v. 2, ch. 1.
↑ Griffiths & Harris (1994), p. 594.

संदर्भ

Arapura, Donu, Computing Some Hodge Numbers (PDF)
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994) [1978]. Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. ISBN 0-471-05059-8. MR 0507725.
Hodge, W. V. D. (1941), The Theory and Applications of Harmonic Integrals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35881-1, MR 0003947
Huybrechts, Daniel (2005), Complex Geometry: An Introduction, Springer, ISBN 3-540-21290-6, MR 2093043
Voisin, Claire (2007) [2002], Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry (2 vols.), Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511615344, ISBN 978-0-521-71801-1, MR 1967689
Warner, Frank (1983) [1971], Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, ISBN 0-387-90894-3, MR 0722297
Wells Jr., Raymond O. (2008) [1973], Differential Analysis on Complex Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 65 (3rd ed.), Springer, doi:10.1007/978-0-387-73892-5, hdl:10338.dmlcz/141778, ISBN 978-0-387-73891-8, MR 2359489

[glimpse-1] Chatterji, Srishti; Ojanguren, Manuel (2010), A glimpse of the de Rham era (PDF), working paper, EPFL

[2] Lefschetz, Solomon, "Correspondences Between Algebraic Curves", Ann. of Math. (2), Vol. 28, No. 1, 1927, pp. 342–354.

[3] Michael Atiyah, William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975, Biogr. Mem. Fellows R. Soc., 1976, vol. 22, pp. 169–192.

[4] Warner (1983), Theorem 6.11.

[5] Warner (1983), Theorem 6.8.

[6] Wells (2008), Theorem IV.5.2.

[7] Huybrechts (2005), Corollary 3.2.12.

[8] Huybrechts (2005), Corollary 2.6.21.

[9] Huybrechts (2005), sections 3.3 and 5.2; Griffiths & Harris (1994), sections 0.7 and 1.2; Voisin (2007), v. 1, ch. 6, and v. 2, ch. 1.

[10] Griffiths & Harris (1994), p. 594.

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Contents

इतिहास

वास्तविक मैनिफोल्ड के लिए हॉज सिद्धांत

डी राम सह-समरूपता

अण्डाकार संकुलों का हॉज सिद्धांत

जटिल प्रक्षेप्य के लिए हॉज सिद्धांत

बीजगणितीय चक्र और हॉज अनुमान

सामान्यीकरण

यह भी देखें

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संदर्भ

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 {{Short description|Mathematical manifold theory}}
-गणित में, हॉज सिद्धांत, विलियम वालेंस डगलस हॉज के नाम पर | डब्ल्यू। वी. डी. हॉज, आंशिक अंतर समीकरणों का उपयोग करके चिकनी कई गुना M के [[कोहोलॉजी समूह]] का अध्ययन करने की विधि है। प्रमुख अवलोकन यह है कि, M पर [[रिमेंनियन मीट्रिक]] दिए जाने पर, प्रत्येक कोहोलॉजी वर्ग का [[प्रतिनिधि (गणित)]] होता है, अंतर रूप जो मेट्रिक के [[लाप्लासियन]] ऑपरेटर के अंतर्गत गायब हो जाता है। ऐसे रूपों को हार्मोनिक कहा जाता है।
+गणित में, '''हॉज सिद्धांत''', विलियम वालेंस डगलस हॉज के नाम पर डब्ल्यू वी. डी. हॉज, आंशिक अंतर समीकरणों का उपयोग करके M के [[कोहोलॉजी समूह|सह-समरूपता समूह]] का अध्ययन करने की विधि है। प्रमुख अवलोकन यह है कि, M पर [[रिमेंनियन मीट्रिक]] दिए जाने पर, प्रत्येक सह-समरूपता वर्ग का [[प्रतिनिधि (गणित)]] होता है, अंतर रूप जो मेट्रिक के [[लाप्लासियन]] ऑपरेटर के अंतर्गत लुप्त हो जाता है। ऐसे रूपों को हार्मोनिक कहा जाता है।
-के दशक में [[बीजगणितीय ज्यामिति]] का अध्ययन करने के लिए सिद्धांत को हॉज द्वारा विकसित किया गया था, और यह [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] पर [[गेर्गेस डी रहम|गेर्गेस डी राम]] के काम पर बनाया गया था। इसके दो सेटिंग्स में प्रमुख अनुप्रयोग हैं: [[ रीमैनियन कई गुना ]] और काहलर मैनिफोल्ड्स हॉज की प्राथमिक प्रेरणा, जटिल प्रक्षेपी विविधता का अध्ययन, बाद के स्थितियों में सम्मिलित है। हॉज सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण उपकरण बन गया है, विशेष रूप से [[बीजगणितीय चक्र]] के अध्ययन के संबंध में।
+के दशक में [[बीजगणितीय ज्यामिति]] का अध्ययन करने के लिए सिद्धांत को हॉज द्वारा विकसित किया गया था, और यह [[डॉ कहलमज गर्भाशय|डी राम कोहोमोलॉजी]] पर [[गेर्गेस डी रहम|जॉर्जेस डी राम]] के कार्य पर बनाया गया था। इसके दो सेटिंग्स में प्रमुख अनुप्रयोग हैं: [[ रीमैनियन कई गुना |रीमैनियन मैनिफोल्ड्स]] और काहलर मैनिफोल्ड्स हॉज की प्राथमिक प्रेरणा, जटिल प्रक्षेपी विविधता का अध्ययन, पश्चात की स्थितियों में सम्मिलित है। हॉज सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण उपकरण बन गया है, विशेष रूप से [[बीजगणितीय चक्र]] के अध्ययन के संबंध में है।
 जबकि हॉज सिद्धांत वास्तविक और जटिल संख्याओं पर आंतरिक रूप से निर्भर है, इसे [[संख्या सिद्धांत]] में प्रश्नों पर प्रयुक्त किया जा सकता है। अंकगणितीय स्थितियों में, ''p''-एडिक हॉज सिद्धांत के उपकरणों ने शास्त्रीय हॉज सिद्धांत के वैकल्पिक प्रमाण, या अनुरूप परिणाम दिए हैं।
 == इतिहास ==
-के दशक में [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] का क्षेत्र अभी भी नवजात था। इसने अभी तक [[सह-समरूपता]] की धारणा विकसित नहीं की थी, और विभेदक रूपों और टोपोलॉजी के बीच की बातचीत को खराब विधियों से समझा गया था। 1928 में, एली कार्टन ने सुर लेस नोम्ब्रेस डे बेट्टी डेस एस्पेस डे ग्रुप्स क्लोस नामक नोट प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने सुझाव दिया, लेकिन यह सिद्ध नहीं किया कि अंतर रूपों और टोपोलॉजी को जोड़ा जाना चाहिए। इसे पढ़ने के बाद, उस समय छात्र, जॉर्जेस डी राम प्रेरणा से तुरंत प्रभावित हुए। 1931 की अपनी थीसिस में, उन्होंने शानदार परिणाम सिद्ध किया जिसे अब डी राम की प्रमेय कहा जाता है। स्टोक्स के प्रमेय के अनुसार, किसी भी कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड M, बिलिनियर पेयरिंग के लिए, [[एकवचन समरूपता]] श्रृंखलाओं के साथ विभेदक रूपों का एकीकरण
+के दशक में [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] का क्षेत्र अभी भी नवजात था। इसने अभी तक [[सह-समरूपता]] की धारणा विकसित नहीं की थी, और विभेदक रूपों और टोपोलॉजी के मध्य के सम्बन्ध को व्यर्थ विधियों द्वारा अध्ययन किया गया था। 1928 में, एली कार्टन ने सुर लेस नॉम्ब्रेस डी बेट्टी डेस एस्पेसेस डी ग्रुप्स क्लोस शीर्षक से नोट प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने विचार दिया, किंतु यह सिद्ध नहीं किया कि अंतर रूपों और टोपोलॉजी को जोड़ा जाना चाहिए। इसे पढ़ने के पश्चात, उस समय छात्र, जॉर्जेस डी राम प्रेरणा से प्रभावित हुए। 1931 की अपनी थीसिस में, उन्होंने शोभनीय परिणाम सिद्ध किये जिसे अब डी राम की प्रमेय कहा जाता है। स्टोक्स के प्रमेय के अनुसार, किसी भी कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड M, बिलिनियर पेयरिंग के लिए, [[एकवचन समरूपता]] श्रृंखलाओं के साथ विभेदक रूपों का एकीकरण है:
 :<math>H_k(M; \mathbf{R}) \times H^k_{\text{dR}}(M; \mathbf{R}) \to \mathbf{R}.</math>
-जैसा कि मूल रूप से कहा गया है, डी राम के प्रमेय का दावा है कि यह आदर्श जोड़ी है, और इसलिए बाईं ओर प्रत्येक शब्द एक दूसरे के सदिश अंतरिक्ष दोहरे हैं। समकालीन भाषा में, डी राम के प्रमेय को अधिकांशतः बयान के रूप में अभिव्यक्त किया जाता है कि वास्तविक गुणांक के साथ एकवचन कोहोलॉजी डी राम कोहोलॉजी के लिए आइसोमॉर्फिक है:
+जैसा कि मूल रूप से कहा गया है, डी राम के प्रमेय का आशय है कि यह आदर्श युग्मन है, और इसलिए बाईं ओर प्रत्येक शब्द एक दूसरे के सदिश क्षेत्र दोहरे हैं। समकालीन भाषा में, डी राम के प्रमेय को अधिकांशतः कथन के रूप में अभिव्यक्त किया जाता है कि वास्तविक गुणांक के साथ एकवचन सह-समरूपता डी राम सह-समरूपता के लिए आइसोमॉर्फिक है:
 :<math>H^k_{\text{sing}}(M; \mathbf{R}) \cong H^k_{\text{dR}}(M; \mathbf{R}).</math>
-डी राम का मूल कथन तब पोंकारे द्वैत का परिणाम है।<ref name=glimpse>{{Citation | first = Srishti | last = Chatterji | last2 =Ojanguren | first2 = Manuel | title = A glimpse of the de Rham era | url = http://sma.epfl.ch/~ojangure/Glimpse.pdf | series = working paper, [[École Polytechnique Fédérale de Lausanne|EPFL]] | year = 2010  }}</ref>
+डी राम का मूल कथन पोंकारे द्वंद्व का परिणाम है।<ref name=glimpse>{{Citation | first = Srishti | last = Chatterji | last2 =Ojanguren | first2 = Manuel | title = A glimpse of the de Rham era | url = http://sma.epfl.ch/~ojangure/Glimpse.pdf | series = working paper, [[École Polytechnique Fédérale de Lausanne|EPFL]] | year = 2010  }}</ref>
-अलग से, [[सोलोमन लेफशेट्ज़]] के 1927 के पेपर ने [[बर्नहार्ड रीमैन]] के प्रमेयों को गलत सिद्ध करने के लिए सामयिक विधियों का प्रयोग किया।<ref>Lefschetz, Solomon, "Correspondences Between Algebraic Curves", Ann. of Math. (2), Vol. 28, No. 1, 1927, pp. 342–354.</ref> आधुनिक भाषा में, यदि ω<sub>1</sub> और ω<sub>2</sub> बीजगणितीय वक्र C पर होलोमोर्फिक अंतर हैं, तो उनका वेज उत्पाद आवश्यक रूप से शून्य है क्योंकि C का केवल जटिल आयाम है; परिणामस्वरूप, उनके कोहोलॉजी वर्गों का [[कप उत्पाद]] शून्य है, और जब इसे स्पष्ट किया गया, तो इसने लेफशेट्ज़ को [[रीमैन संबंध]] का नया प्रमाण दिया। इसके अतिरिक्त, यदि ω गैर-शून्य होलोमॉर्फिक अंतर है, तब <math>\sqrt{-1}\,\omega \wedge \bar\omega</math> धनात्मक आयतन रूप है, जिससे लेफ्शेट्ज़ रीमैन की असमानताओं को फिर से प्राप्त करने में सक्षम था। 1929 में, डब्ल्यू वी डी. हॉज ने लेफशेट्ज़ के पेपर के बारे में सीखा। उन्होंने तुरंत देखा कि इसी तरह के सिद्धांत बीजगणितीय सतहों पर प्रयुक्त होते हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि ω बीजगणितीय सतह पर गैर-शून्य होलोमोर्फिक रूप है, तो <math>\sqrt{-1}\,\omega \wedge \bar\omega</math> सकारात्मक है, इसलिए का कप उत्पाद <math>\omega</math> और <math>\bar\omega</math> गैर-शून्य होना चाहिए। यह इस प्रकार है कि ω स्वयं को गैर-शून्य कोहोलॉजी वर्ग का प्रतिनिधित्व करना चाहिए, इसलिए इसकी अवधि शून्य नहीं हो सकती। इससे सेवरी का प्रश्न हल हो गया।<ref>[[Michael Atiyah]], ''William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975'', Biogr. Mem. Fellows R. Soc., 1976, vol. 22, pp. 169–192.</ref>
+भिन्न से, [[सोलोमन लेफशेट्ज़]] के 1927 के पेपर ने [[बर्नहार्ड रीमैन]] के प्रमेयों को त्रुटिपूर्ण सिद्ध करने के लिए सामयिक विधियों का प्रयोग किया।<ref>Lefschetz, Solomon, "Correspondences Between Algebraic Curves", Ann. of Math. (2), Vol. 28, No. 1, 1927, pp. 342–354.</ref> आधुनिक भाषा में, यदि ω<sub>1</sub> और ω<sub>2</sub> बीजगणितीय वक्र C पर होलोमोर्फिक अंतर हैं, तो उनका वेज उत्पाद आवश्यक रूप से शून्य है क्योंकि C का केवल जटिल आयाम है; परिणामस्वरूप, उनके सह-समरूपता वर्गों का [[कप उत्पाद]] शून्य है, और जब इसे स्पष्ट किया गया, तो इसने लेफशेट्ज़ को [[रीमैन संबंध]] का नया प्रमाण दिया। इसके अतिरिक्त, यदि ω अशून्य होलोमॉर्फिक अंतर है, तब <math>\sqrt{-1}\,\omega \wedge \bar\omega</math> धनात्मक आयतन रूप है, जिससे लेफ्शेट्ज़ रीमैन की असमानताओं को फिर से प्राप्त करने में सक्षम था। 1929 में, डब्ल्यू वी डी. हॉज ने लेफशेट्ज़ के पेपर के बारे में सीखा। उन्होंने देखा कि इसी प्रकार के सिद्धांत बीजगणितीय सतहों पर प्रयुक्त होते हैं। अधिक त्रुटिहीन रूप से, यदि ω बीजगणितीय सतह पर अशून्य होलोमोर्फिक रूप है, तो <math>\sqrt{-1}\,\omega \wedge \bar\omega</math> सकारात्मक है, इसलिए कप उत्पाद <math>\omega</math> और <math>\bar\omega</math> अशून्य होना चाहिए। यह इस प्रकार है कि ω स्वयं को अशून्य सह-समरूपता वर्ग का प्रतिनिधित्व करना चाहिए, इसलिए इसकी अवधि शून्य नहीं हो सकती। इससे सेवरी के प्रश्न का समाधान हो गया।<ref>[[Michael Atiyah]], ''William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975'', Biogr. Mem. Fellows R. Soc., 1976, vol. 22, pp. 169–192.</ref>
-हॉज ने अनुभव किया कि ये तकनीकें उच्च आयामी किस्मों पर भी प्रयुक्त होनी चाहिए। उनके सहयोगी पीटर फ्रेजर ने उन्हें डी राम की थीसिस की सिफारिश की। डी राम की थीसिस को पढ़ने में, हॉज ने अनुभव किया कि रीमैन सतह पर होलोमोर्फिक 1-रूप के वास्तविक और काल्पनिक भाग कुछ अर्थों में एक दूसरे के लिए दोहरे थे। उन्हें संदेह था कि उच्च आयामों में समान द्वैत होना चाहिए; इस द्वंद्व को अब [[हॉज स्टार ऑपरेटर]] के रूप में जाना जाता है। उन्होंने आगे अनुमान लगाया कि प्रत्येक कोहोलॉजी वर्ग के पास संपत्ति के साथ विशिष्ट प्रतिनिधि होना चाहिए कि बाहरी डेरिवेटिव ऑपरेटर के अंतर्गत यह और इसकी दोहरी गायब हो जाती है; इन्हें अब हार्मोनिक रूप कहा जाता है। हॉज ने 1930 के अधिकांश समय को इस समस्या के लिए समर्पित किया। प्रमाण पर उनका सबसे पहला प्रकाशित प्रयास 1933 में सामने आया, लेकिन उन्होंने इसे चरम पर अपरिष्कृत माना। युग के सबसे शानदार गणितज्ञों में से [[हरमन वेइल]] ने खुद को यह निर्धारित करने में असमर्थ पाया कि हॉज का प्रमाण सही था या नहीं। 1936 में, हॉज ने नया प्रमाण प्रकाशित किया। जबकि हॉज ने नए प्रमाण को बहुत अच्छा माना, बोहेनब्लस्ट द्वारा गंभीर दोष की खोज की गई। स्वतंत्र रूप से, हरमन वेइल और [[कुनिहिको कोडैरा]] ने त्रुटि को सुधारने के लिए हॉज के प्रमाण को संशोधित किया। इसने हार्मोनिक रूपों और कोहोलॉजी वर्गों के बीच हॉज की मांग वाली समरूपता की स्थापना की।
+हॉज ने अनुभव किया कि ये तकनीकें उच्च आयामों पर भी प्रयुक्त होनी चाहिए। उनके सहयोगी पीटर फ्रेजर ने उन्हें डी राम की थीसिस का अनुरोध किया। डी राम की थीसिस को पढ़ने में, हॉज ने अनुभव किया कि रीमैन सतह पर होलोमोर्फिक 1-रूप के वास्तविक और काल्पनिक भाग कुछ अर्थों में एक दूसरे के लिए दोहरे थे। उन्हें संदेह था कि उच्च आयामों में समान द्वैत होना चाहिए; इस द्वंद्व को अब [[हॉज स्टार ऑपरेटर]] के रूप में जाना जाता है। उन्होंने आगे अनुमान लगाया कि प्रत्येक सह-समरूपता वर्ग के पास गुण के साथ विशिष्ट प्रतिनिधि होना चाहिए जिसमें यह गुण हो कि वह और उसका दोहरा दोनों बाहरी व्युत्पन्न ऑपरेटर के अंतर्गत लुप्त हो जाएं; इन्हें अब हार्मोनिक रूप कहा जाता है। हॉज ने 1930 के अधिकांश समय को इस समस्या के लिए समर्पित किया। प्रमाण पर उनका सबसे प्रथम प्रकाशित प्रयास 1933 में सामने आया, किंतु उन्होंने इसे शीर्ष पर अपरिष्कृत माना। युग के सबसे शोभनीय गणितज्ञों में से [[हरमन वेइल]] ने स्वयं को यह निर्धारित करने में असमर्थ पाया कि हॉज का प्रमाण सही था या नहीं। 1936 में, हॉज ने नया प्रमाण प्रकाशित किया। जबकि हॉज ने नए प्रमाण को अधिक उत्तम माना, बोहेनब्लस्ट द्वारा सरल दोष का परिक्षण किया गया। स्वतंत्र रूप से, हरमन वेइल और [[कुनिहिको कोडैरा]] ने त्रुटि को सुधारने के लिए हॉज के प्रमाण को संशोधित किया। इसने हार्मोनिक रूपों और सह-समरूपता वर्गों के मध्य हॉज की आवश्यकता वाली समरूपता की स्थापना की।
+पूर्व-निरीक्षण में यह स्पष्ट है कि अस्तित्व प्रमेय में तकनीकी कठिनाइयों के लिए वास्तव में किसी महत्वपूर्ण नए विचार की आवश्यकता नहीं थी, अन्यथा शास्त्रीय विधियों का सावधानीपूर्वक विस्तार था। वास्तविक नवीनता, जो हॉज का प्रमुख योगदान था, हार्मोनिक इंटीग्रल की अवधारणा और बीजगणितीय ज्यामिति के लिए उनकी प्रासंगिकता थी। तकनीक पर अवधारणा की यह विजय हॉज के महान पूर्ववर्ती बर्नहार्ड रीमैन के कार्य में समान प्रकरण का स्मरण करती है।
-पूर्व-निरीक्षण में यह स्पष्ट है कि अस्तित्व प्रमेय में तकनीकी कठिनाइयों के लिए वास्तव में किसी महत्वपूर्ण नए विचार की आवश्यकता नहीं थी, बल्कि शास्त्रीय विधियों का सावधानीपूर्वक विस्तार था। वास्तविक नवीनता, जो हॉज का प्रमुख योगदान था, हार्मोनिक इंटीग्रल की अवधारणा और बीजगणितीय ज्यामिति के लिए उनकी प्रासंगिकता थी। तकनीक पर अवधारणा की यह विजय हॉज के महान पूर्ववर्ती बर्नहार्ड रीमैन के काम में इसी तरह के एपिसोड की याद दिलाती है।
+एम. एफ अतियाह, विलियम वैलेंस डगलस हॉज, 17 जून 1903 - 7 जुलाई 1975, रॉयल सोसाइटी के फेलो के जीवनी संबंधी संस्मरण, वॉल्यूम 22, 1976, पीपी 169-192 है।
-एम. एफ अतियाह, विलियम वैलेंस डगलस हॉज, 17 जून 1903 - 7 जुलाई 1975, रॉयल सोसाइटी के फेलो के जीवनी संबंधी संस्मरण, वॉल्यूम। 22, 1976, पीपी। 169-192।
+== वास्तविक मैनिफोल्ड के लिए हॉज सिद्धांत ==
-== वास्तविक कई गुना के लिए हॉज सिद्धांत ==
+=== डी राम सह-समरूपता ===
+हॉज सिद्धांत डी राम सह-समरूपता का संदर्भ देता है। माना M सहज मैनिफोल्ड है। गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए, मान लीजिए कि Ω<sup>k</sup>(M) M पर डिग्री k के सहज अंतर रूपों का [[वास्तविक संख्या]] सदिश स्थान है। डी राम कॉम्प्लेक्स [[ अंतर ऑपरेटर |अंतर ऑपरेटरों]] का अनुक्रम है:
-=== डी राम कोहोलॉजी ===
-हॉज थ्योरी डी राम कोहोलॉजी का संदर्भ देता है। माना M चिकनी कई गुना हो। गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए, मान लीजिए Ω<sup>k</sup>(M) M पर डिग्री k के चिकने डिफरेंशियल फॉर्म का [[वास्तविक संख्या]] सदिश स्थान हो। डी राम कॉम्प्लेक्स [[ अंतर ऑपरेटर ]]्का  अनुक्रम है
 :<math>0\to \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0,</math>
-जहां  ''d<sub>k</sub>'' पर [[बाहरी व्युत्पन्न]] को दर्शाता है Ω<sup>''k''</sup>(''M'') यह इस मायने में [[कोचेन कॉम्प्लेक्स]] है {{nowrap|1=''d''{{sub|''k''+1}} ∘ ''d''{{sub|''k''}} = 0}} (लिखा भी है {{nowrap|1=''d''{{i sup|2}} = 0}}). डी राम के प्रमेय का कहना है कि वास्तविक गुणांक वाले M के [[एकवचन कोहोलॉजी]] की गणना डी राम परिसर द्वारा की जाती है:
+जहां ''d<sub>k ,</sub> Ω<sup>k</sup>(M)'' पर [[बाहरी व्युत्पन्न|बाह्य अवकलज]] को दर्शाता है यह इस अर्थ में [[कोचेन कॉम्प्लेक्स]] है कि {{nowrap|1=''d''{{sub|''k''+1}} ∘ ''d''{{sub|''k''}} = 0}} ({{nowrap|1=''d''{{i sup|2}} = 0}} लिखा भी है)। डी राम के प्रमेय का कहना है कि वास्तविक गुणांक वाले M के [[एकवचन कोहोलॉजी|एकवचन सह-समरूपता]] की गणना डी राम परिसर द्वारा की जाती है:
 :<math>H^k(M,\mathbf{R})\cong \frac{\ker d_k}{\operatorname{im} d_{k-1}}.</math>
+'''हॉज सिद्धांत में ऑपरेटर'''
-=== हॉज थ्योरी में ऑपरेटर ===
+M पर रिमेंनियन मीट्रिक g चयन करें और स्मरण रखें कि:
-M पर रिमेंनियन मीट्रिक g चुनें और याद रखें कि:
 :<math>\Omega^k(M) = \Gamma \left (\bigwedge\nolimits^k T^*(M) \right ).</math>
-मीट्रिक प्रत्येक फाइबर पर आंतरिक उत्पाद उत्पन्न करता है <math>\bigwedge\nolimits^k(T_p^*(M))</math> विस्तार से ([[ग्रामियन मैट्रिक्स]] देखें) प्रत्येक कोटेजेंट फाइबर से जी द्वारा प्रेरित आंतरिक उत्पाद <math>T_p^*(M)</math> इसके लिए <math>k^{th}</math> [[बाहरी उत्पाद]]: <math>\bigwedge\nolimits^k(T_p^*(M))</math>. <math>\Omega^k(M)</math> h> आंतरिक उत्पाद को वॉल्यूम फॉर्म के संबंध में M के ऊपर दिए गए k- रूपों की जोड़ी के बिंदुवार आंतरिक उत्पाद के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। <math>\sigma</math> जी से जुड़ा हुआ है। स्पष्ट रूप से, कुछ दिया <math>\omega,\tau \in \Omega^k(M)</math> अपने पास
+मीट्रिक प्रत्येक फाइबर पर आंतरिक उत्पाद <math>\bigwedge\nolimits^k(T_p^*(M))</math> उत्पन्न करता है प्रत्येक कोटैंजेंट फाइबर से g द्वारा प्रेरित आंतरिक उत्पाद को विस्तारित करके ([[ग्रामियन मैट्रिक्स]] देखें) <math>T_p^*(M)</math>को h<math>k^{th}</math> [[बाहरी उत्पाद]]: <math>\bigwedge\nolimits^k(T_p^*(M))</math>. <math>\Omega^k(M)</math> आंतरिक उत्पाद को वॉल्यूम रूप के संबंध में M के ऊपर दिए गए k- रूपों के जोड़े के बिंदुवार आंतरिक उत्पाद के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। <math>\sigma</math>, g से जुड़ा हुआ है। स्पष्ट रूप से, कुछ दिए गए <math>\omega,\tau \in \Omega^k(M)</math> हमारे पास है:
 :<math> (\omega,\tau) \mapsto \langle\omega,\tau\rangle := \int_M \langle \omega(p),\tau(p)\rangle_p \sigma.</math>
-स्वाभाविक रूप से उपरोक्त आंतरिक उत्पाद आदर्श को प्रेरित करता है, जब वह मानदंड कुछ निश्चित k-फॉर्म पर परिमित होता है:
+स्वाभाविक रूप से उपरोक्त आंतरिक उत्पाद आदर्श को प्रेरित करता है, जब वह पैरामीटर कुछ निश्चित k-रूप पर परिमित होता है:
 :<math>\langle\omega,\omega\rangle = \| \omega\|^2 < \infty,</math>
-तब समाकलन M पर वास्तविक मूल्यवान, वर्ग समाकलनीय कार्य है, जिसका बिंदु-वार मानदंडों के माध्यम से दिए गए बिंदु पर मूल्यांकन किया जाता है,
+तब समाकलन M पर वास्तविक मूल्यवान, वर्ग समाकलनीय फलन है, जिसका मूल्यांकन किसी दिए गए बिंदु पर उसके बिंदु-वार पैरामीटरों के माध्यम से किया जाता है,
 :<math> \|\omega(p)\|_p:M \to \mathbf{R}\in L^2(M).</math>
-इन आंतरिक उत्पादों के संबंध में d के संलग्न संकारक पर विचार करें:
+इन आंतरिक उत्पादों के संबंध में d के सहायक संचालिका पर विचार करें:
 :<math>\delta : \Omega^{k+1}(M) \to \Omega^k(M).</math>
-तब रूपों पर लाप्लासियन द्वारा परिभाषित किया गया है
+फिर रूपों पर लाप्लासियन द्वारा परिभाषित किया गया है:
 :<math>\Delta = d\delta + \delta d.</math>
-यह एक दूसरे क्रम का रेखीय अंतर संचालिका है, जो  '''R'''<sup>''n''</sup> पर कार्यों के लिए लाप्लासियन का सामान्यीकरण करता है '''<sup>एन</sup>.''' परिभाषा के अनुसार, M पर रूप 'हार्मोनिक' है यदि इसका लाप्लासियन शून्य है:
+यह दूसरे क्रम का रेखीय अंतर संचालिका है, जो '''R'''<sup>''n''</sup> पर कार्यों के लिए लाप्लासियन का सामान्यीकरण करता है। परिभाषा के अनुसार, M पर रूप 'हार्मोनिक' है यदि इसका लाप्लासियन शून्य है:
 :<math>\mathcal{H}_\Delta^k(M) = \{\alpha\in\Omega^k(M)\mid\Delta\alpha=0\}.</math>
-लाप्लासियन पहले [[गणितीय भौतिकी]] में दिखाई दिया। विशेष रूप से, विभेदक रूप भौतिक विज्ञान में अनुप्रयोग मैक्सवेल के समीकरण कहते हैं कि निर्वात में विद्युत चुम्बकीय क्षमता 1-रूप a है जिसका बाहरी व्युत्पन्न है {{nowrap|1=''dA'' = '' F''}}, जहां F 2-रूप है जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है {{nowrap|1=Δ''A'' = 0}} अंतरिक्ष-समय पर, आयाम 4 के [[मिन्कोवस्की अंतरिक्ष]] के रूप में देखा गया।
+लाप्लासियन [[गणितीय भौतिकी]] में सबसे पहले प्रकट हुए। विशेष रूप से, विभेदक रूप भौतिक विज्ञान में अनुप्रयोग मैक्सवेल के समीकरण कहते हैं कि निर्वात में विद्युत चुम्बकीय क्षमता 1-रूप a है जिसका बाहरी व्युत्पन्न {{nowrap|1=''dA'' = '' F''}} है, जहां F विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने वाला 2-रूप है जैसे कि स्पेसटाइम पर {{nowrap|1=Δ''A'' = 0}} अंतरिक्ष-समय पर, आयाम 4 के [[मिन्कोवस्की अंतरिक्ष]] के रूप में देखा गया।
-[[बंद कई गुना]] रीमैनियन कई गुना पर हर हार्मोनिक रूप α [[बंद और सटीक अंतर रूप]] है, जिसका अर्थ है {{nowrap|1=''dα'' = 0}}. परिणामस्वरूप, कैनोनिकल मैपिंग है <math>\varphi:\mathcal{H}_\Delta^k(M)\to H^k(M,\mathbf{R})</math>. हॉज प्रमेय कहता है कि <math>\varphi</math> वेक्टर रिक्त स्थान का समरूपता है।<ref>Warner (1983), Theorem 6.11.</ref> दूसरे शब्दों में, M पर प्रत्येक वास्तविक कोहोलॉजी वर्ग में अद्वितीय हार्मोनिक प्रतिनिधि होता है। ठोस रूप से, हार्मोनिक प्रतिनिधि न्यूनतम ''L''<sup>2</sup> का अद्वितीय बंद रूप है मानदंड जो किसी दिए गए कोहोलॉजी वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। हॉज प्रमेय को [[अण्डाकार ऑपरेटर]] आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, हॉज के प्रारंभिक तर्कों को 1940 के दशक में कुनिहिको कोडायरा और अन्य लोगों द्वारा पूरा किया गया था।
+[[बंद कई गुना|संवृत]] रीमैनियन मैनिफोल्ड पर प्रत्येक हार्मोनिक रूप α [[बंद और सटीक अंतर रूप|संवृत और त्रुटिहीन अंतर रूप]] है, जिसका अर्थ {{nowrap|1=''dα'' = 0}} है। परिणामस्वरूप, कैनोनिकल मानचित्र <math>\varphi:\mathcal{H}_\Delta^k(M)\to H^k(M,\mathbf{R})</math> है,  हॉज प्रमेय कहता है कि <math>\varphi</math> वेक्टर रिक्त स्थान का समरूपता है।<ref>Warner (1983), Theorem 6.11.</ref> दूसरे शब्दों में, M पर प्रत्येक वास्तविक सह-समरूपता वर्ग में अद्वितीय हार्मोनिक प्रतिनिधि होता है। ठोस रूप से, हार्मोनिक प्रतिनिधि न्यूनतम ''L''<sup>2</sup> का अद्वितीय संवृत रूप है पैरामीटर जो किसी दिए गए सह-समरूपता वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। हॉज प्रमेय को [[अण्डाकार ऑपरेटर]] आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध किया गया था, हॉज के प्रारंभिक तर्कों को 1940 के दशक में कुनिहिको कोडायरा और अन्य लोगों द्वारा पूर्ण किया गया था।
-उदाहरण के लिए, हॉज प्रमेय का अर्थ है कि एक बंद कई गुना के वास्तविक गुणांक वाले कोहोलॉजी समूह परिमित-आयामी हैं। (प्रमाणित है, इसे सिद्ध करने के अन्य विधियों हैं।) वास्तव में, ऑपरेटर Δ अंडाकार होते हैं, और बंद कई गुना पर अंडाकार ऑपरेटर के कर्नेल (बीजगणित) हमेशा परिमित-आयामी वेक्टर स्थान होता है। हॉज प्रमेय का अन्य परिणाम यह है कि बंद मैनिफोल्ड M पर रिमेंनियन मीट्रिक M मॉड्यूलो टोरसन उपसमूह के अभिन्न कोहोलॉजी पर वास्तविक मूल्यवान आंतरिक उत्पाद निर्धारित करता है। यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, [[सामान्य रैखिक समूह]] में M के [[आइसोमेट्री समूह]] की छवि {{nowrap|GL(''H''{{sup|∗}}(''M'', '''Z'''))}} परिमित है (क्योंकि [[जाली (समूह)]] के आइसोमेट्री का समूह परिमित है)।
+उदाहरण के लिए, हॉज प्रमेय का अर्थ है कि संवृत मैनिफोल्ड के वास्तविक गुणांक वाले सह-समरूपता समूह परिमित-आयामी हैं। (प्रमाणित है, इसे सिद्ध करने के अन्य विधियों हैं।) वास्तव में, ऑपरेटर Δ अंडाकार होते हैं, और संवृत मैनिफोल्ड अंडाकार ऑपरेटर के कर्नेल (बीजगणित) सदैव परिमित-आयामी वेक्टर स्थान होता है। हॉज प्रमेय का अन्य परिणाम यह है कि संवृत मैनिफोल्ड M पर रिमेंनियन मीट्रिक M मॉड्यूलो टोरसन उपसमूह के अभिन्न सह-समरूपता पर वास्तविक मूल्यवान आंतरिक उत्पाद निर्धारित करता है। यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, [[सामान्य रैखिक समूह]] में M के [[आइसोमेट्री समूह]] की छवि {{nowrap|GL(''H''{{sup|∗}}(''M'', '''Z'''))}} परिमित है (क्योंकि [[जाली (समूह)]] के आइसोमेट्री का समूह परिमित है)।
-हॉज प्रमेय का प्रकार हॉज अपघटन है। यह कहता है कि फॉर्म में तीन भागों के योग के रूप में बंद रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर किसी भी विभेदक रूप ''ω'' का अनूठा अपघटन है
+हॉज प्रमेय का प्रकार हॉज अपघटन है। यह कहता है कि रूप में तीन भागों के योग के रूप में संवृत रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर किसी भी विभेदक रूप ''ω'' का अद्वितीय अपघटन है:
 :<math>\omega = d \alpha +\delta \beta + \gamma,</math>
-जिसमें γ हार्मोनिक है: {{nowrap|1=Δ''γ'' = 0}}.<ref>Warner (1983), Theorem 6.8.</ref> एल के संदर्भ में<sup>2</sup> विभेदक रूपों पर मीट्रिक, यह ऑर्थोगोनल [[प्रत्यक्ष योग]] अपघटन देता है:
+जिसमें γ हार्मोनिक है: {{nowrap|1=Δ''γ'' = 0}} विभेदक रूपों पर<ref>Warner (1983), Theorem 6.8.</ref>''L''<sup>2</sup> के संदर्भ मे विभेदक रूपों पर मीट्रिक, यह ऑर्थोगोनल [[प्रत्यक्ष योग]] अपघटन देता है:
 :<math> \Omega^k(M) \cong \operatorname{im} d_{k-1} \oplus \operatorname{im} \delta_{k+1} \oplus \mathcal H_\Delta^k(M).</math>
 हॉज अपघटन डी राम कॉम्प्लेक्स के लिए [[हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन]] का सामान्यीकरण है।
-=== [[अण्डाकार परिसर]]ों का हॉज सिद्धांत ===
+=== [[अण्डाकार परिसर|अण्डाकार संकुलों]] का हॉज सिद्धांत ===
-[[माइकल अतियाह]] और [[राउल बॉटल]] ने अण्डाकार परिसरों को डी राम परिसर के सामान्यीकरण के रूप में परिभाषित किया। हॉज प्रमेय इस सेटिंग तक विस्तारित है, निम्नानुसार है। माना <math>E_0,E_1,\ldots,E_N</math> वॉल्यूम फॉर्म dV के साथ एक बंद चिकने मैनिफोल्ड M पर मेट्रिक्स से लैस [[वेक्टर बंडल]] बनें। लगता है कि
+[[माइकल अतियाह]] और [[राउल बॉटल]] ने अण्डाकार परिसरों को डी राम कॉम्प्लेक्स के सामान्यीकरण के रूप में परिभाषित किया। हॉज प्रमेय इस समुच्चयिंग तक विस्तारित है, निम्नानुसार है:
+मान लीजिये <math>E_0,E_1,\ldots,E_N</math> वॉल्यूम रूप dV के साथ संवृत स्मूथ मैनिफोल्ड M पर मेट्रिक्स से लैस [[वेक्टर बंडल]] बनें। लगता है कि:
 :<math>L_i:\Gamma(E_i)\to\Gamma(E_{i+1})</math>
-चिकनेपन पर काम करने वाले रेखीय अवकल संचालिकाएँ हैं | C<sup>∞</sup> इन सदिश बंडलों के खंड, और वह प्रेरित अनुक्रम
+इन वेक्टर बंडलों के C<sup>∞</sup> अनुभागों और प्रेरित अनुक्रम पर कार्य करने वाले रैखिक अंतर ऑपरेटर हैं:
 :<math> 0\to\Gamma(E_0)\to \Gamma(E_1) \to \cdots \to \Gamma(E_N) \to 0</math>
-अण्डाकार परिसर है। प्रत्यक्ष रकम का परिचय दें:
+अण्डाकार सम्मिश्र है, प्रत्यक्ष योगों का परिचय दें:
 : <math>\begin{align}
@@ Line 82: / Line 83: @@
 L &= \bigoplus\nolimits_i L_i:\mathcal E^\bullet\to\mathcal E^\bullet
 \end{align}</math>
-और ''L''<sup>∗</sup>  L का आसन्न हो। अण्डाकार संकारक को परिभाषित करें {{nowrap|1=Δ = ''LL''{{sup|∗}} + ''L''{{sup|∗}}''L''}}. जैसा कि डी राम स्थितियों में, यह हार्मोनिक वर्गों के सदिश स्थान को उत्पन्न करता है
+और ''L''<sup>∗</sup> L का जोड़ है। अण्डाकार संकारक {{nowrap|1=Δ = ''LL''{{sup|∗}} + ''L''{{sup|∗}}''L''}} को परिभाषित करें। जैसा कि डी राम स्तिथि में, इससे हार्मोनिक अनुभागों का सदिश स्थान प्राप्त होता है:
 :<math>\mathcal H=\{e\in\mathcal E^\bullet\mid\Delta e=0\}.</math>
-माना <math>H:\mathcal E^\bullet\to\mathcal H</math> ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन हो, और G को ग्रीन का कार्य होने दें | Δ के लिए ग्रीन का ऑपरेटर। 'हॉज प्रमेय' तब निम्नलिखित पर जोर देता है:<ref>Wells (2008), Theorem IV.5.2.</ref>
+माना <math>H:\mathcal E^\bullet\to\mathcal H</math> ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन हो, और G को Δ के लिए ग्रीन का ऑपरेटर होने दें। हॉज प्रमेय निम्नलिखित पर बल देता है:<ref>Wells (2008), Theorem IV.5.2.</ref>
-#H और G अच्छी तरह से परिभाषित हैं।
+#H और G उत्तम प्रकार से परिभाषित हैं।
 #Id = ''H'' + Δ''G'' = ''H'' + ''G''Δ
 # ''LG'' = ''GL'', ''L''<sup>∗</sup>''G'' = ''GL''<sup>∗</sup>
-# कॉम्प्लेक्स का कोहोलॉजी हार्मोनिक सेक्शन के स्थान के लिए कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक है, <math>H(E_j)\cong\mathcal H(E_j)</math>, इस अर्थ में कि प्रत्येक कोहोलॉजी वर्ग का अद्वितीय हार्मोनिक प्रतिनिधि है।
+# कॉम्प्लेक्स की सह-समरूपता हार्मोनिक वर्गों के स्थान के लिए विहित रूप से समरूपी है, <math>H(E_j)\cong\mathcal H(E_j)</math>, इस अर्थ में कि प्रत्येक कोहोमोलॉजी वर्ग में अद्वितीय हार्मोनिक प्रतिनिधि होता है।
-इस स्थिति में हॉज अपघटन भी है, डी राम कॉम्प्लेक्स के लिए ऊपर दिए गए बयान को सामान्य बनाना।
+इस स्थिति में हॉज अपघटन भी है, जो डी राम कॉम्प्लेक्स के लिए उपरोक्त कथन को सामान्य बनाता है।
-== जटिल प्रोजेक्टिव किस्मों के लिए हॉज सिद्धांत ==
+== जटिल प्रक्षेप्य के लिए हॉज सिद्धांत ==
 {{main|हॉज संरचना}}
-माना X को [[चिकनी योजना]] जटिल प्रोजेक्टिव मैनिफोल्ड होने दें, जिसका अर्थ है कि एक्स कुछ [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान]] ''''CP'''<sup>''N''</sup>' का बंद [[ जटिल कई गुना ]] है बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति द्वारा चाउ की प्रमेय, जटिल प्रक्षेपी कई गुना स्वचालित रूप से बीजगणितीय होते हैं: वे '<nowiki/>'''CP'''<sup>''N''</sup>' पर [[सजातीय बहुपद]] समीकरणों के गायब होने से परिभाषित होते हैं ''''CP'''<sup>''N''</sup>' पर फुबिनी-अध्ययन मीट्रिक <sup>N</sup> X पर रीमैनियन मेट्रिक को प्रेरित करता है जिसकी जटिल संरचना के साथ मजबूत संगतता है, जिससे X काहलर कई गुना हो जाता है।
+माना X सुचारु [[चिकनी योजना|जटिल प्रक्षेप्य]] मैनिफोल्ड है, जिसका अर्थ है कि चाउ के प्रमेय के अनुसार, [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|जटिल प्रक्षेप्य]] मैनिफ़ोल्ड स्वचालित रूप से बीजगणितीय होते हैं: उन्हें ''''CP'''<sup>''N''</sup>' पर सजातीय बहुपद समीकरणों के लुप्त होने से परिभाषित किया जाता है। ''''CP'''<sup>''N''</sup>' पर मानक रीमैनियन मीट्रिक X पर रीमैनियन मीट्रिक प्रेरित करता है जिसमें [[ जटिल कई गुना |जटिल]] संरचना के साथ स्थिर संगतता होती है, जिससे X काहलर मैनिफोल्ड बन जाता है।
-जटिल कई गुना x और प्राकृतिक संख्या r के लिए, हर सुचारू कार्य C<sup>∞</sup> ''r''--फॉर्म x पर (जटिल गुणांकों के साथ) विशिष्ट रूप से जटिल अंतर फॉर्म के योग के रूप में लिखा जा सकता है। {{nowrap|type (''p'', ''q'')}} साथ {{nowrap|1=''p'' + ''q'' = ''r''}}, जिसका अर्थ है कि स्थानीय रूप से शब्दों के परिमित योग के रूप में लिखा जा सकता है, प्रत्येक शब्द के रूप में
+जटिल मैनिफोल्ड x और प्राकृतिक संख्या r के लिए, सभी सुचारू फलन C<sup>∞</sup> ''r''--रूप x पर (जटिल गुणांकों के साथ) विशिष्ट रूप से जटिल अंतर रूप के योग के रूप में लिखा जा सकता है। {{nowrap|type (''p'', ''q'')}} साथ {{nowrap|1=''p'' + ''q'' = ''r''}}, जिसका अर्थ है कि स्थानीय रूप से शब्दों के परिमित योग के रूप में लिखा जा सकता है, प्रत्येक शब्द के रूप में इस प्रकार है:
 :<math>f\, dz_1\wedge\cdots\wedge dz_p\wedge d\overline{w_1}
 \wedge\cdots\wedge d\overline{w_q}</math>
-f a C<sup>∞</sup> के साथ <sup>∞</sup> फलन और z<sub>s</sub> और ''w''<sub>s</sub> होलोमॉर्फिक कार्य काहलर मैनिफोल्ड पर, {{nowrap|(''p'', ''q'')}} हार्मोनिक रूप के घटक फिर से हार्मोनिक होते हैं। इसलिए, किसी भी [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] केहलर मैनिफोल्ड x के लिए, हॉज प्रमेय जटिल वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग के रूप में जटिल गुणांक वाले X के कोहोलॉजी का अपघटन देता है:<ref>Huybrechts (2005), Corollary 3.2.12.</ref>
+f a C<sup>∞</sup> के साथ फलन और z<sub>s</sub> और ''w''<sub>s</sub> होलोमॉर्फिक फलन काहलर मैनिफोल्ड पर, {{nowrap|(''p'', ''q'')}} हार्मोनिक रूप के घटक फिर से हार्मोनिक होते हैं। इसलिए, किसी भी [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट स्थान]] केहलर मैनिफोल्ड x के लिए, हॉज प्रमेय जटिल वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग के रूप में जटिल गुणांक वाले X के सह-समरूपता का अपघटन देता है:<ref>Huybrechts (2005), Corollary 3.2.12.</ref>
 :<math>H^r(X,\mathbf{C})=\bigoplus_{p+q=r} H^{p,q}(X).</math>
-यह अपघटन वास्तव में काहलर मीट्रिक की पसंद से स्वतंत्र है (लेकिन सामान्य कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के लिए कोई समान अपघटन नहीं है)। दूसरी ओर, हॉज अपघटन वास्तव में एक्स की संरचना पर जटिल मैनिफोल्ड के रूप में निर्भर करता है, जबकि समूह {{nowrap|''H''<sup>''r''</sup>(''X'', '''C''')}} केवल X के अंतर्निहित [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] पर निर्भर करता है।
+यह अपघटन वास्तव में काहलर मीट्रिक की रूचि से स्वतंत्र है (किंतु सामान्य कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के लिए कोई समान अपघटन नहीं है)। दूसरी ओर, हॉज अपघटन वास्तव में X की संरचना पर जटिल मैनिफोल्ड के रूप में निर्भर करता है, जबकि समूह {{nowrap|''H''<sup>''r''</sup>(''X'', '''C''')}} केवल X के अंतर्निहित [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] पर निर्भर करता है।
-इन हार्मोनिक प्रतिनिधियों के वेज उत्पाद लेना कप उत्पाद कप उत्पाद और विभिन्न रूपों से मेल खाता है, इसलिए जटिल गुणांक वाले कप उत्पाद हॉज अपघटन के साथ संगत है:
+इन हार्मोनिक प्रतिनिधियों के वेज उत्पादों को लेना कोहोमोलॉजी में कप उत्पाद से युग्मित होता है, इसलिए जटिल गुणांक वाला कप उत्पाद हॉज अपघटन के साथ संगत है:
 :<math>\smile \colon H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).</math>
-टुकड़ा ''H<sup>p</sup>''<sup>,''q''</sup>(''X'') हॉज अपघटन के '''<sup>p,q</sup>(X)''' को [[सुसंगत शीफ कोहोलॉजी]] समूह के साथ पहचाना जा सकता है, जो केवल X पर जटिल मैनिफोल्ड के रूप में निर्भर करता है (कहलेर मीट्रिक की पसंद पर नहीं):<ref>Huybrechts (2005), Corollary 2.6.21.</ref>
+भाग ''H<sup>p</sup>''<sup>,''q''</sup>(''X'') हॉज अपघटन को [[सुसंगत शीफ कोहोलॉजी|सुसंगत शीफ सह-समरूपता]] समूह के साथ पहचाना जा सकता है, जो केवल X पर जटिल मैनिफोल्ड के रूप में निर्भर करता है (कहलेर मीट्रिक की रूचि पर नहीं):<ref>Huybrechts (2005), Corollary 2.6.21.</ref>
 :<math>H^{p,q}(X)\cong H^q(X,\Omega^p),</math>
-जहां Ω<sup>p</sup> X पर होलोमॉर्फिक p-फॉर्म के [[शीफ (गणित)]] को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, H<sup>p,0</sup>(X) X पर होलोमोर्फिक p-रूपों का स्थान है। (यदि X प्रक्षेपी है, तो [[ जीन पियरे सेरे ]] के [[GAGA|गागा]] प्रमेय का तात्पर्य है कि सभी X पर होलोमोर्फिक p-रूप वास्तव में बीजगणितीय है।)
+जहां Ω<sup>p</sup>, X पर होलोमॉर्फिक p-रूप के [[शीफ (गणित)]] को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, H<sup>p,0</sup>(X) सभी X पर होलोमोर्फिक p-रूपों का स्थान है। (यदि X प्रक्षेपी है, तो [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] के [[GAGA|गागा]] प्रमेय का तात्पर्य है कि सभी X पर होलोमोर्फिक p-रूप वास्तव में बीजगणितीय है।)
-दूसरी ओर, इंटीग्रल को ''Z'' के होमोलॉजी वर्ग के कैप उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है और कोहोलॉजी वर्ग द्वारा दर्शाया गया है <math>\alpha</math>. पोनकारे द्वैत द्वारा, Z का समरूपता वर्ग कोहोलॉजी वर्ग के लिए दोहरी है जिसे हम [Z] कहेंगे, और कैप उत्पाद की गणना [Z] और α के कप उत्पाद को लेकर और X के मौलिक वर्ग के साथ कैपिंग करके की जा सकती है।
+दूसरी ओर, इंटीग्रल को ''Z'' के होमोलॉजी वर्ग के कैप उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है और सह-समरूपता वर्ग द्वारा दर्शाया गया है <math>\alpha</math>. पोनकारे द्वैत द्वारा, Z का समरूपता वर्ग सह-समरूपता वर्ग के लिए दोहरा है जिसे हम [Z] कहेंगे, और कैप उत्पाद की गणना [Z] और α के कप उत्पाद को लेकर और X के मौलिक वर्ग के साथ कैपिंग करके की जा सकती है।
-क्योंकि [Z] कोहोलॉजी वर्ग है, इसमें हॉज अपघटन है। गणना के द्वारा हमने ऊपर किया, अगर हम इस वर्ग को किसी भी प्रकार के वर्ग के साथ मिलाते हैं <math>(p,q) \ne (k,k)</math>, तो हमें शून्य मिलता है। क्योंकि <math>H^{2n}(X, \Complex) = H^{n,n}(X)</math>, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि [Z] को अंदर होना चाहिए <math>H^{n-k,n-k}(X)</math>.
+क्योंकि [Z] सह-समरूपता वर्ग है, इसमें हॉज अपघटन है। उपरोक्त गणना के अनुसार, यदि हम इस वर्ग को किसी भी प्रकार के वर्ग के साथ जोड़ते हैं <math>(p,q) \ne (k,k)</math>, तो हमें शून्य मिलता है। क्योंकि <math>H^{2n}(X, \Complex) = H^{n,n}(X)</math>, से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि [Z] को <math>H^{n-k,n-k}(X)</math> के अंदर होना चाहिए।
-हॉज नंबर ''h<sup>p</sup>''<sup>,''q''</sup>(''X'') का अर्थ जटिल वेक्टर स्पेस H का आयाम है ये चिकने जटिल प्रक्षेपी किस्म के महत्वपूर्ण आक्रमणकारी हैं; जब X की जटिल संरचना लगातार बदलती रहती है तो वे नहीं बदलते हैं, और फिर भी वे सामान्य रूप से टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट नहीं होते हैं। हॉज संख्या के गुणों में 'हॉज समरूपता' हैं ''h<sup>p</sup>''<sup>,''q''</sup> = ''h<sup>q</sup>''<sup>,''p''</sup> (क्योंकि''H<sup>p</sup>''<sup>,''q''</sup>(''X'') H का सम्मिश्र संयुग्म है  ''H<sup>q</sup>''<sup>,''p''</sup>(''X''))  और {{nowrap|1=''h''<sup>''p'',''q''</sup> = ''h''<sup>''n''−''p'',''n''−''q''</sup>}} (सेरे द्वैत द्वारा)।
+हॉज नंबर ''h<sup>p</sup>''<sup>,''q''</sup>(''X'') का अर्थ जटिल वेक्टर स्पेस H का आयाम है ये सुचारु जटिल प्रक्षेप्य के महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय हैं; जब X की जटिल संरचना निरंतर परिवर्तित होती रहती है तो वे नहीं परिवर्तित होते हैं, और फिर भी वे सामान्य रूप से टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट नहीं होते हैं। हॉज संख्या के गुणों में 'हॉज समरूपता' हैं ''h<sup>p</sup>''<sup>,''q''</sup> = ''h<sup>q</sup>''<sup>,''p''</sup> (क्योंकि ''H<sup>p</sup>''<sup>,''q''</sup>(''X'') H का सम्मिश्र संयुग्म ''H<sup>q</sup>''<sup>,''p''</sup>(''X'')) और {{nowrap|1=''h''<sup>''p'',''q''</sup> = ''h''<sup>''n''−''p'',''n''−''q''</sup>}} (सेरे द्वैत द्वारा) है।
-चिकनी जटिल प्रक्षेपी विविधता (या कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड) की हॉज संख्या को होमोलॉजिकल मिरर समरूपता # हॉज हीरा (जटिल आयाम 2 के स्थितियों में दिखाया गया) में सूचीबद्ध किया जा सकता है:
+सुचारु जटिल प्रक्षेपी विविधता (या कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड) की हॉज संख्या को होमोलॉजिकल मिरर समरूपता हॉज डायमंड में (जटिल आयाम 2 के स्थितियों में दिखाया गया) सूचीबद्ध किया जा सकता है:
 {{Hodge diamond
 |''h''<sup>2,2</sup>
@@ Line 126: / Line 127: @@
 |''h''<sup>0,0</sup>
 }}
-उदाहरण के लिए, [[जीनस (गणित)]] g के प्रत्येक चिकने प्रक्षेपी [[बीजगणितीय वक्र]] में हॉज डायमंड होता है
+उदाहरण के लिए, [[जीनस (गणित)]] g के प्रत्येक सुचारु प्रक्षेपी [[बीजगणितीय वक्र]] में हॉज डायमंड होता है:
 {{Hodge diamond
 |1
@@ Line 133: / Line 134: @@
 }}
-दूसरे उदाहरण के लिए, प्रत्येक [[K3 सतह]] में हॉज हीरा होता है
+दूसरे उदाहरण के लिए, प्रत्येक [[K3 सतह]] में हॉज डायमंड होता है:
- {{Hodge diamond
+{{Hodge diamond
 |1
 |0|0
@@ Line 142: / Line 143: @@
 }}
-X की बेट्टी संख्याएँ दी गई पंक्ति में हॉज संख्याओं का योग हैं। हॉज सिद्धांत का मूलभूत अनुप्रयोग तो यह है कि विषम बेट्टी संख्या  ''b''<sub>2''a''+1</sub> हॉज समरूपता द्वारा चिकनी जटिल प्रोजेक्टिव विविधता (या कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड) भी हैं। यह सामान्य रूप से कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स के लिए सही नहीं है, जैसा कि [[हॉफ सतह]] के उदाहरण द्वारा दिखाया गया है, जो कि अलग-अलग है {{nowrap|''S''<sup>1</sup> × ''S''<sup>3</sup>}} और इसलिए है {{nowrap|1=''b''<sub>1</sub> = 1}}.
+X की बेट्टी संख्याएँ दी गई पंक्ति में हॉज संख्याओं का योग हैं। हॉज सिद्धांत का मूलभूत अनुप्रयोग तो यह है कि विषम बेट्टी संख्या ''b''<sub>2''a''+1</sub> हॉज समरूपता द्वारा सुचारु जटिल प्रोजेक्टिव विविधता (या कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड) भी हैं। यह सामान्य रूप से कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स के लिए सही नहीं है, जैसा कि [[हॉफ सतह]] के उदाहरण द्वारा दिखाया गया है, जो कि भिन्न-भिन्न है {{nowrap|''S''<sup>1</sup> × ''S''<sup>3</sup>}} और इसलिए {{nowrap|1=''b''<sub>1</sub> = 1}} है।
-काहलर पैकेज हॉज सिद्धांत पर निर्माण, चिकनी जटिल प्रोजेक्टिव किस्मों (या कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स) के कोहोलॉजी पर प्रतिबंधों का शक्तिशाली सेट है। परिणामों में [[लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय]], कठिन लेफ़्सचेट्ज़ प्रमेय और [[हॉज-रीमैन द्विरेखीय संबंध]] सम्मिलित हैं।<ref>Huybrechts (2005), sections 3.3 and 5.2; Griffiths & Harris (1994), sections 0.7 and 1.2; Voisin (2007), v. 1, ch. 6, and v. 2, ch. 1.</ref> इनमें से कई परिणाम मौलिक तकनीकी उपकरणों से आते हैं, जो हॉज सिद्धांत का उपयोग करके कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड के लिए सिद्ध हो सकते हैं, जिसमें काहलर पहचान और डडबार लेम्मा सम्मिलित हैं। <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा।
+काहलर पैकेज हॉज सिद्धांत पर निर्मित, सुचारु जटिल प्रोजेक्टिव (या कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स) के सह-समरूपता पर प्रतिबंधों का शक्तिशाली समुच्चय है। परिणामों में [[लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय]], जटिल लेफ़्सचेट्ज़ प्रमेय और [[हॉज-रीमैन द्विरेखीय संबंध]] सम्मिलित हैं।<ref>Huybrechts (2005), sections 3.3 and 5.2; Griffiths & Harris (1994), sections 0.7 and 1.2; Voisin (2007), v. 1, ch. 6, and v. 2, ch. 1.</ref> इनमें से कई परिणाम मौलिक तकनीकी उपकरणों से आते हैं, जो हॉज सिद्धांत का उपयोग करके कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड के लिए सिद्ध हो सकते हैं, जिसमें काहलर पहचान और डडबार <math>\partial \bar \partial</math> लेम्मा सम्मिलित हैं।
-हॉज सिद्धांत और विस्तार जैसे [[सिम्पसन पत्राचार]] | गैर-अबेलियन हॉज सिद्धांत भी कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स के संभावित [[मौलिक समूह]] पर मजबूत प्रतिबंध देते हैं।
+हॉज सिद्धांत और गैर-एबेलियन हॉज सिद्धांत जैसे विस्तार भी कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स के संभावित [[मौलिक समूह|मौलिक समूहों]] पर स्थिर प्रतिबंध देते हैं।
 == बीजगणितीय चक्र और हॉज अनुमान ==
 {{main|हॉज अनुमान}}
-बता दें कि X चिकनी जटिल प्रक्षेपी किस्म है। [[ codimension | कोडिमेंशन]] p के x में जटिल उप-किस्म y कोहोलॉजी समूह के तत्व को परिभाषित करता है <math>H^{2p}(X,\Z)</math>. इसके अतिरिक्त, परिणामी वर्ग की विशेष संपत्ति है: जटिल कोहोलॉजी में इसकी छवि <math>H^{2p}(X,\Complex)</math> हॉज अपघटन के मध्य भाग में स्थित है, <math>H^{p,p}(X)</math>. हॉज अनुमान बातचीत की भविष्यवाणी करता है: का हर तत्व <math>H^{2p}(X,\Z)</math> जिसकी जटिल कोहोलॉजी में छवि उप-स्थान में निहित है <math>H^{p,p}(X)</math> सकारात्मक अभिन्न गुणक होना चाहिए जो कि a है <math>\Z</math> X की जटिल उप-किस्मों के वर्गों का रैखिक संयोजन। (इस तरह के रैखिक संयोजन को X पर 'बीजगणितीय चक्र' कहा जाता है।)
+मान लीजिए कि X सहज जटिल प्रक्षेप्य है। [[ codimension |कोडिमेंशन]] p के x में जटिल उप-विविधता y कोहोमोलॉजी समूह के एलिमेंट्स को परिभाषित करते है <math>H^{2p}(X,\Z)</math> इसके अतिरिक्त, परिणामी वर्ग के  विशेष गुण है: जटिल सह-समरूपता में इसकी छवि <math>H^{2p}(X,\Complex)</math> हॉज अपघटन के मध्य भाग में स्थित है, <math>H^{p,p}(X)</math> हॉज अनुमान सम्बन्ध की भविष्यवाणी करता है: प्रत्येक एलिमेंट्स <math>H^{2p}(X,\Z)</math> जिसकी छवि जटिल कोहोमोलॉजी में उप-स्थान में निहित है <math>H^{p,p}(X)</math> में सकारात्मक अभिन्न गुणक होना चाहिए जो कि a है <math>\Z</math> X की जटिल वर्गों का रैखिक संयोजन है। (इस प्रकार के रैखिक संयोजन को X पर 'बीजगणितीय चक्र' कहा जाता है।)
-महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि हॉज अपघटन जटिल गुणांक वाले कोहोलॉजी का अपघटन है जो आम तौर पर अभिन्न (या तर्कसंगत) गुणांक वाले कोहोलॉजी के अपघटन से नहीं आता है। परिणामस्वरूप, चौराहा
+महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि हॉज अपघटन जटिल गुणांक वाले सह-समरूपता का अपघटन है जो सामान्यतः अभिन्न (या तर्कसंगत) गुणांक वाले सह-समरूपता के अपघटन से नहीं आता है। परिणामस्वरूप,
 :<math>(H^{2p}(X,\Z)/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\Complex)</math>
-पूरे समूह की तुलना में बहुत छोटा हो सकता है <math>H^{2p}(X,\Z)/</math>मरोड़, भले ही हॉज नंबर <math>h^{p,p}</math> बड़ा है। संक्षेप में, हॉज अनुमान भविष्यवाणी करता है कि X की जटिल उप-किस्मों के संभावित आकार (जैसा कि कोहोलॉजी द्वारा वर्णित है) X के 'हॉज स्ट्रक्चर' (जटिल कोहोलॉजी के हॉज अपघटन के साथ अभिन्न कोहोलॉजी का संयोजन) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
+पूर्ण समूह की तुलना में अधिक छोटा हो सकता है <math>H^{2p}(X,\Z)/</math>टोशन, भले ही हॉज नंबर <math>h^{p,p}</math> बड़ा है। संक्षेप में, हॉज अनुमान भविष्यवाणी करता है कि X का जटिल आकार (जैसा कि सह-समरूपता द्वारा वर्णित है) X के 'हॉज स्ट्रक्चर' (जटिल सह-समरूपता के हॉज अपघटन के साथ अभिन्न सह-समरूपता का संयोजन) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
-(1,1)-वर्गों पर लेफ़शेट्ज़ प्रमेय | लेफ़्सचेट्ज़ (1,1)-प्रमेय कहता है कि हॉज अनुमान किसके लिए सत्य है {{nowrap|1=''p'' = 1}} (यहां तक कि अभिन्न रूप से, यानी बयान में सकारात्मक अभिन्न गुणक की आवश्यकता के बिना)।
+लेफ़शेट्ज़ (1,1)-प्रमेय कहता है कि हॉज अनुमान {{nowrap|1=''p'' = 1}} के लिए सत्य है (यहां तक कि अभिन्न रूप से, अर्थात कथन में सकारात्मक अभिन्न एकाधिक की आवश्यकता के बिना)।
-किस्म X की हॉज संरचना, X पर बीजगणितीय अंतर रूपों के इंटीग्रल का वर्णन करती है, X में एकवचन समरूपता कक्षाओं पर। इस अर्थ में, हॉज सिद्धांत कलन में मूलभूत मुद्दे से संबंधित है: बीजगणितीय के अभिन्न अंग के लिए सामान्य रूप से कोई सूत्र नहीं है फलन। विशेष रूप से, [[बीजगणितीय कार्य]]ों के निश्चित अभिन्न अंग, जिन्हें अवधियों के वलय के रूप में जाना जाता है, [[पारलौकिक संख्या]]एँ हो सकती हैं। हॉज अनुमान की कठिनाई सामान्य रूप से ऐसे अभिन्नों की समझ की कमी को दर्शाती है।
+बीजीय फलन विशेष रूप से, [[बीजगणितीय कार्य|बीजगणितीय फलन]] के निश्चित अभिन्न अंग, जिन्हें अवधि के रूप में जाना जाता है, [[पारलौकिक संख्या]] हो सकते हैं। हॉज अनुमान की कठिनाई सामान्य रूप से ऐसे अभिन्नों के अल्पता को दर्शाती है।
-उदाहरण: चिकने जटिल प्रक्षेपी K3 सतह X के लिए, समूह {{nowrap|''H''<sup>2</sup>(''X'', '''Z''')}} Z के लिए आइसोमोर्फिक है Z<sup>22</sup>, और ''H''<sup>1,1</sup> (X) 'C' के लिए तुल्याकारी है उनके प्रतिच्छेदन की रैंक 1 और 20 के बीच कहीं भी हो सकती है; इस रैंक को X की पिकार्ड संख्या कहा जाता है। सभी प्रक्षेप्य K3 सतहों के मोडुली स्पेस में घटकों का अनंत अनंत सेट होता है, प्रत्येक जटिल आयाम 19 का होता है। पिकार्ड नंबर a के साथ K3 सतहों के उप-स्थान का आयाम 20−a होता है।<ref>Griffiths & Harris (1994), p. 594.</ref> (इस प्रकार, अधिकांश प्रक्षेपी K3 सतहों के लिए, प्रतिच्छेदन {{nowrap|''H''<sup>2</sup>(''X'', '''Z''')}} H के साथ1,1(X) 'Z' के लिए समरूपी है, लेकिन विशेष K3 सतहों के लिए प्रतिच्छेदन बड़ा हो सकता है।)
+उदाहरण: जटिल प्रक्षेपी K3 सतह X के लिए, समूह {{nowrap|''H''<sup>2</sup>(''X'', '''Z''')}} Z<sup>22</sup> के लिए आइसोमोर्फिक है, और ''H''<sup>1,1</sup> (X) '''C'''<sup>20</sup> के लिए समरूपी है उनके प्रतिच्छेदन का रैंक 1 और 20 के मध्य कहीं भी हो सकती है; इस रैंक को X की पिकार्ड संख्या कहा जाता है। सभी प्रक्षेप्य K3 सतहों के मोडुली स्पेस में घटकों का अनंत समुच्चय होता है, प्रत्येक जटिल आयाम 19 का होता है। पिकार्ड नंबर a के साथ K3 सतहों के उप-स्थान का आयाम 20−a होता है।<ref>Griffiths & Harris (1994), p. 594.</ref> (इस प्रकार, अधिकांश प्रक्षेपी K3 सतहों के लिए, प्रतिच्छेदन {{nowrap|''H''<sup>2</sup>(''X'', '''Z''')}} H के साथ 1,1(X) 'Z' के लिए समरूपी है, किंतु विशेष K3 सतहों के लिए प्रतिच्छेदन बड़ा हो सकता है।)
-यह उदाहरण जटिल बीजगणितीय ज्यामिति में हॉज सिद्धांत द्वारा निभाई गई कई अलग-अलग भूमिकाओं का सुझाव देता है। सबसे पहले, हॉज सिद्धांत उन प्रतिबंधों को देता है जिन पर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान चिकनी जटिल प्रोजेक्टिव किस्म की संरचना हो सकते हैं। दूसरा, हॉज सिद्धांत दिए गए टोपोलॉजिकल प्रकार के साथ चिकनी जटिल प्रोजेक्टिव किस्मों के मोडुली स्पेस के बारे में जानकारी देता है। सबसे अच्छा स्थितियों तब होता है जब टोरेली प्रमेय धारण करता है, जिसका अर्थ है कि इसकी हॉज संरचना द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक की विविधता निर्धारित की जाती है। अंत में, हॉज सिद्धांत किसी दी गई विविधता पर बीजगणितीय चक्रों के [[चाउ समूह]] के बारे में जानकारी देता है। हॉज अनुमान चाउ समूह की छवि के बारे में है चाउ समूहों से सामान्य कोहोलॉजी के लिए चक्र मानचित्र, लेकिन हॉज सिद्धांत चक्र मानचित्र के कर्नेल के बारे में भी जानकारी देता है, उदाहरण के लिए मध्यवर्ती जैकबियन का उपयोग करके जो हॉज संरचना से निर्मित होते हैं।
+यह उदाहरण जटिल बीजगणितीय ज्यामिति में हॉज सिद्धांत द्वारा निभाई गई कई भिन्न-भिन्न भूमिकाओं का विचार देता है। सबसे पहले, हॉज सिद्धांत उन प्रतिबंधों को देता है जिन पर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान सुचारू जटिल प्रोजेक्टिव की संरचना हो सकती हैं। दूसरा, हॉज सिद्धांत दिए गए टोपोलॉजिकल प्रकार के साथ सुचारू जटिल प्रोजेक्टिव के मोडुली स्पेस के बारे में जानकारी देता है। सबसे उत्तम स्थितियाँ तब होती है जब टोरेली प्रमेय धारण करता है, जिसका अर्थ है कि इसकी हॉज संरचना द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक की विविधता निर्धारित की जाती है। अंत में, हॉज सिद्धांत किसी दी गई विविधता पर बीजगणितीय चक्रों के [[चाउ समूह]] के बारे में जानकारी देता है। हॉज अनुमान चाउ समूह की छवि के बारे में है चाउ समूहों से सामान्य सह-समरूपता के लिए चक्र मानचित्र, किंतु हॉज सिद्धांत चक्र मानचित्र के कर्नेल के बारे में भी जानकारी देता है, उदाहरण के लिए मध्यवर्ती जैकबियन का उपयोग करके जो हॉज संरचना से निर्मित होते हैं।
 == सामान्यीकरण ==
-मिश्रित हॉज सिद्धांत, पियरे डेलिग्ने द्वारा विकसित, हॉज सिद्धांत को सभी जटिल बीजगणितीय किस्मों तक फैलाता है, जरूरी नहीं कि चिकनी या कॉम्पैक्ट हो। अर्थात्, किसी भी जटिल बीजगणितीय विविधता के कोहोलॉजी में अधिक सामान्य प्रकार का अपघटन, [[मिश्रित हॉज संरचना]] है।
+मिश्रित हॉज सिद्धांत, पियरे डेलिग्ने द्वारा विकसित, हॉज सिद्धांत को सभी जटिल बीजगणितीय तक विस्तारित है, आवश्यक नहीं कि सुचारू या कॉम्पैक्ट हो। अर्थात्, किसी भी जटिल बीजगणितीय विविधता के सह-समरूपता में अधिक सामान्य प्रकार का अपघटन, [[मिश्रित हॉज संरचना]] है।
-[[ चौराहा समरूपता | इंटरसेक्शन समरूपता]] द्वारा एकवचन किस्मों के लिए हॉज सिद्धांत का अलग सामान्यीकरण प्रदान किया जाता है। अर्थात्, मोरीहिको सैटो ने दिखाया कि किसी भी जटिल प्रक्षेप्य विविधता (आवश्यक रूप से चिकनी नहीं) के प्रतिच्छेदन होमोलॉजी में शुद्ध हॉज संरचना है, जैसे कि चिकने स्थितियों में। वास्तव में, पूरा काहलर पैकेज इंटरसेक्शन होमोलॉजी तक फैला हुआ है।
+[[ चौराहा समरूपता | इंटरसेक्शन समरूपता]] द्वारा एकवचन के लिए हॉज सिद्धांत का भिन्न सामान्यीकरण प्रदान किया जाता है। अर्थात्, मोरीहिको सैटो ने दिखाया कि किसी भी जटिल प्रक्षेप्य विविधता (आवश्यक रूप से चिकनी नहीं) के प्रतिच्छेदन होमोलॉजी में शुद्ध हॉज संरचना है, जैसे कि सहज स्थितियों में, पूर्ण काहलर पैकेज इंटरसेक्शन होमोलॉजी तक विस्तारित है।
-जटिल ज्यामिति का मूलभूत पहलू यह है कि गैर-आइसोमॉर्फिक कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स के निरंतर परिवार हैं (जो वास्तविक मैनिफोल्ड्स के रूप में सभी अलग-अलग हैं)। [[फिलिप ग्रिफिथ्स]] की [[हॉज संरचना की भिन्नता]] की धारणा बताती है कि कैसे चिकनी जटिल प्रक्षेपी विविधता 'एक्स' की हॉज संरचना बदलती है जब 'एक्स' भिन्न होती है। ज्यामितीय शब्दों में, यह किस्मों के परिवार से संबंधित [[अवधि मानचित्रण]] का अध्ययन करने के बराबर है। सैटो का [[हॉज मॉड्यूल]] का सिद्धांत सामान्यीकरण है। मोटे तौर पर, ''X'' किस्म पर मिश्रित हॉज मॉड्यूल ''X'' के ऊपर मिश्रित हॉज संरचनाओं का समूह है, जैसा कि उन किस्मों के परिवार से उत्पन्न होगा, जिन्हें चिकनी या कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है।
+जटिल ज्यामिति का मूलभूत विषय यह है कि गैर-आइसोमॉर्फिक कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स का निरंतर सदस्य हैं (जो वास्तविक मैनिफोल्ड्स के रूप में सभी भिन्न-भिन्न हैं) [[फिलिप ग्रिफिथ्स]] की [[हॉज संरचना की भिन्नता]] की धारणा बताती है कि कैसे सुचारू जटिल प्रक्षेपी विविधता '<nowiki/>''X''<nowiki/>' की हॉज संरचना परिवर्तित करती है जब '''X''<nowiki/>' भिन्न होता है। ज्यामितीय शब्दों में, यह सदस्य से संबंधित [[अवधि मानचित्रण]] का अध्ययन करने के समान है। सैटो का [[हॉज मॉड्यूल]] का सिद्धांत सामान्यीकरण है।
 == यह भी देखें ==
 * [[संभावित सिद्धांत]]
-* गंभीर द्वैत
+* सरल द्वैत
 * हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन
 * [[स्थानीय अपरिवर्तनीय चक्र प्रमेय]]
 * अरकेलोव सिद्धांत
 * [[हॉज-अराकेलोव सिद्धांत]]
-* डीडीबार लेम्मा, कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स के लिए हॉज सिद्धांत का एक प्रमुख परिणाम।
+* डीडीबार लेम्मा, कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स के लिए हॉज सिद्धांत का प्रमुख परिणाम।
 ==टिप्पणियाँ==
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 *{{Citation | author1-first=Raymond O. | author1-last=Wells Jr. | author1-link=Raymond O. Wells Jr. | title=Differential Analysis on Complex Manifolds | volume=65 | edition=3rd | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | year=2008 | orig-year=1973 | mr=2359489 | isbn=978-0-387-73891-8 | doi=10.1007/978-0-387-73892-5| series=Graduate Texts in Mathematics | hdl=10338.dmlcz/141778 | hdl-access=free }}
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हॉज सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 18:29, 16 July 2023

इतिहास

वास्तविक मैनिफोल्ड के लिए हॉज सिद्धांत

डी राम सह-समरूपता

अण्डाकार संकुलों का हॉज सिद्धांत

जटिल प्रक्षेप्य के लिए हॉज सिद्धांत

बीजगणितीय चक्र और हॉज अनुमान

सामान्यीकरण

यह भी देखें

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