परिमित वलय: Difference between revisions

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गणित में, विशेष रूप से [[अमूर्त बीजगणित]] में, परिमित वलय ऐसा वलय (गणित) होता है जिसमें तत्वों की सीमित संख्या होती है। प्रत्येक [[परिमित क्षेत्र]] परिमित वलय का उदाहरण है, और प्रत्येक परिमित वलय का योगात्मक भाग [[एबेलियन समूह]] [[परिमित समूह]] का उदाहरण है, किंतु स्वयं में परिमित वलय की अवधारणा का इतिहास है।
गणित में, विशेष रूप से [[अमूर्त बीजगणित]] में, '''परिमित वलय''' ऐसा वलय (गणित) होता है जिसमें तत्वों की सीमित संख्या होती है। प्रत्येक [[परिमित क्षेत्र]] परिमित वलय का उदाहरण है, और प्रत्येक परिमित वलय का योगात्मक भाग [[एबेलियन समूह]] [[परिमित समूह]] का उदाहरण है, किंतु स्वयं में परिमित वलय की अवधारणा का इतिहास है।


चूँकि वलय में समूहों की तुलना में अधिक संरचना होती है, परिमित वलय का सिद्धांत परिमित समूहों की तुलना में सरल है। उदाहरण के लिए, [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] 20वीं दशक के गणित की प्रमुख सफलताओं में से था, इसका प्रमाण हजारों जर्नल पृष्ठों में विस्तारित है। दूसरी ओर, यह 1907 से ज्ञात है कि कोई भी परिमित सरल वलय के समरूपी होता है क्रम q के सीमित क्षेत्र पर n-by-n आव्यूहों का <math>M_n(\mathbb{F}_q)</math> (वेडरबर्न के प्रमेयों के परिणामस्वरूप, नीचे वर्णित है)।
चूँकि वलय में समूहों की तुलना में अधिक संरचना होती है, परिमित वलय का सिद्धांत परिमित समूहों की तुलना में सरल है। उदाहरण के लिए, [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] 20वीं दशक के गणित की प्रमुख सफलताओं में से था, इसका प्रमाण हजारों जर्नल पृष्ठों में विस्तारित है। दूसरी ओर, यह 1907 से ज्ञात है कि कोई भी परिमित सरल वलय के समरूपी होता है क्रम q के सीमित क्षेत्र पर n-by-n आव्यूहों का <math>M_n(\mathbb{F}_q)</math> (वेडरबर्न के प्रमेयों के परिणामस्वरूप, नीचे वर्णित है) है।


m तत्वों के साथ वलयों की संख्या, m के लिए प्राकृतिक संख्या, पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में {{OEIS2C|A027623}} के अंतर्गत सूचीबद्ध है।
m तत्वों के साथ वलयों की संख्या, m के लिए प्राकृतिक संख्या, पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में {{OEIS2C|A027623}} के अंतर्गत सूचीबद्ध है।


==परिमित क्षेत्र==
==परिमित क्षेत्र==
{{Main|Finite field|Finite field arithmetic}}
{{Main|परिमित क्षेत्र|परिमित क्षेत्र अंकगणित}}
[[बीजगणितीय ज्यामिति]], गैलोज़ सिद्धांत और [[संख्या सिद्धांत]] के साथ घनिष्ठ संबंधों के कारण [[परिमित क्षेत्र|परिमित क्षेत्रों]] का सिद्धांत संभवतः परिमित वलय सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण विषय है। सिद्धांत का  महत्वपूर्ण, किंतु अधिक प्राचीन विषय परिमित क्षेत्रों का वर्गीकरण है:<ref>{{Harv|Jacobson|1985|p=287}}</ref>
[[बीजगणितीय ज्यामिति]], गैलोज़ सिद्धांत और [[संख्या सिद्धांत]] के साथ घनिष्ठ संबंधों के कारण [[परिमित क्षेत्र|परिमित क्षेत्रों]] का सिद्धांत संभवतः परिमित वलय सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण विषय है। सिद्धांत का  महत्वपूर्ण, किंतु अधिक प्राचीन विषय परिमित क्षेत्रों का वर्गीकरण है:<ref>{{Harv|Jacobson|1985|p=287}}</ref>
* किसी परिमित क्षेत्र के तत्वों का क्रम या संख्या p<sup>n</sup> के विषयसमान होती है, जहां p [[अभाज्य संख्या]] है जिसे क्षेत्र की [[विशेषता (बीजगणित)]] कहा जाता है, और n  धनात्मक पूर्णांक है।
* किसी परिमित क्षेत्र के तत्वों का क्रम या संख्या p<sup>n</sup> के विषय समान होती है, जहां p [[अभाज्य संख्या]] है जिसे क्षेत्र की [[विशेषता (बीजगणित)]] कहा जाता है, और n  धनात्मक पूर्णांक है।
* प्रत्येक अभाज्य संख्या p और धनात्मक पूर्णांक n के लिए, p<sup>n</sup> तत्व के साथ परिमित क्षेत्र उपस्थित होता है।
* प्रत्येक अभाज्य संख्या p और धनात्मक पूर्णांक n के लिए, p<sup>n</sup> तत्व के साथ परिमित क्षेत्र उपस्थित होता है।
* समान क्रम वाले कोई भी दो परिमित क्षेत्र [[समरूपी]] होते हैं।
* समान क्रम वाले कोई भी दो परिमित क्षेत्र [[समरूपी]] होते हैं।
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वर्गीकरण के अतिरिक्त, परिमित क्षेत्र अभी भी अनुसंधान का सक्रिय क्षेत्र है, जिसमें काकेया अनुमान पर वर्तमान के परिणाम और सबसे छोटे सर्वप्रथम रूट मोडुलो एनएस (संख्या सिद्धांत में) के आकार के संबंध में संवृत समस्याएं सम्मिलित हैं।
वर्गीकरण के अतिरिक्त, परिमित क्षेत्र अभी भी अनुसंधान का सक्रिय क्षेत्र है, जिसमें काकेया अनुमान पर वर्तमान के परिणाम और सबसे छोटे सर्वप्रथम रूट मोडुलो एनएस (संख्या सिद्धांत में) के आकार के संबंध में संवृत समस्याएं सम्मिलित हैं।


परिमित क्षेत्र F का उपयोग F के ऊपर n-आयामों का सदिश समिष्ट बनाने के लिए किया जा सकता है। F के तत्वों के साथ n × n आव्यूह के [[मैट्रिक्स रिंग|आव्यूह वलय]] A का उपयोग [[गैलोइस ज्यामिति]] में किया जाता है, जिसमें [[प्रक्षेप्य रैखिक समूह]] A के [[गुणक समूह]] के रूप में कार्य करता है। .
परिमित क्षेत्र F का उपयोग F के ऊपर n-आयामों का सदिश समिष्ट बनाने के लिए किया जा सकता है। F के तत्वों के साथ n × n [[मैट्रिक्स रिंग|आव्यूह]] के [[मैट्रिक्स रिंग|वलय]] A का उपयोग [[गैलोइस ज्यामिति]] में किया जाता है, जिसमें [[प्रक्षेप्य रैखिक समूह]] A के [[गुणक समूह]] के रूप में कार्य करता है। .


==वेडरबर्न के प्रमेय==
==वेडरबर्न के प्रमेय==
{{Main|Wedderburn's little theorem|Artin–Wedderburn theorem}}
{{Main|वेडरबर्न की छोटी प्रमेय|आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय}}
वेडरबर्न की छोटी प्रमेय का आशय है कि कोई भी परिमित विभाजन वलय आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय है:
वेडरबर्न की छोटी प्रमेय का आशय है कि कोई भी परिमित विभाजन वलय आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय है:


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==गणना==
==गणना==
(चेतावनी: इस खंड की गणना में वे वलय सम्मिलित हैं जिनकी आवश्यक रूप से गुणात्मक पहचान नहीं होती है, जिन्हें कभी-कभी [[आरएनजी (बीजगणित)]] एस कहा जाता है।) 1964 में [[डेविड सिंगमास्टर]] ने [[अमेरिकी गणितीय मासिक]] में निम्नलिखित समस्या का प्रस्ताव रखा: "(1) सबसे छोटे गैर का क्रम क्या है पहचान वाली सबसे छोटी गैर-तुच्छ वलय जो क्षेत्र नहीं है? इस न्यूनतम क्रम के साथ ऐसे दो वलय का परीक्षण किया जाता है। क्या और भी हैं? (2) क्रम चार के कितने वलय हैं? इसका समाधान डी.एम. से प्राप्तहो सकता है। ब्लूम ने दो पेज के प्रमाण में<ref>{{citation |first1=David |last1=Singmaster |first2=D. M. |last2=Bloom |title=E1648 |journal=American Mathematical Monthly |volume=71 |issue=8 |pages=918–920 |date=October 1964 |jstor=2312421 |doi=10.2307/2312421}}</ref> बताया कि क्रम 4 के ग्यारह वलय हैं, जिनमें से चार की गुणात्मक पहचान है। वास्तव में, चार-तत्व के वलय विषय की समिष्टता का परिचय देते हैं। [[चक्रीय समूह]] C<sub>4</sub> के ऊपर तीन वलय और क्लेन चार-समूह के ऊपर आठ वलय हैं। ग्रेगरी ड्रेसडेन के व्याख्यान नोट्स में भेदभावपूर्ण उपकरणों ([[निलपोटेंट]], शून्य-विभाजक, इडेम्पोटेंट (वलय सिद्धांत), और बाएं- और दाएं-पहचान) का लोकप्रिय प्रदर्शन है।<ref>{{citation |first=Gregory |last=Dresden |title=Rings with four elements |year=2005 |url=http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/handnotes.html |access-date=2009-07-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100802050414/http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/handnotes.html |archive-date=2010-08-02 |url-status=dead }}</ref>परिमित वलयों में गैर-क्रमविनिमेयता की घटना का वर्णन {{harv|एल्ड्रिज|1968}} में दो प्रमेयों में किया गया था: यदि 1 के साथ परिमित वलय के क्रम m में घन-मुक्त गुणनखंडन है, तो यह [[क्रमविनिमेय वलय]] है। और यदि 1 के साथ [[गैर क्रमविनिमेय वलय|गैर क्रमविनिमेय परिमित वलय]] में अभाज्य घन का क्रम है, तो वलय प्राइम के गैलोइस क्षेत्र पर ऊपरी त्रिकोणीय 2 × 2 आव्यूह वलय के समरूपी है।अभाज्य के घन के क्रम के वलय का अध्ययन {{harv|राघवेंद्रन|1969}} और {{harv|गिल्मर|मॉट|1973}} में और विकसित किया गया था। नेक्स्ट फ्लोर और वेसेनबाउर (1975) ने घन-ए- के अभाज्य स्तिथि में सुधार किया। समरूपता वर्गों पर निश्चित कार्य {{harv|एंटीपकिन|एलिज़ारोव|1982}} के साथ आया, जिससे यह सिद्ध हुआ कि p > 2 के लिए, वर्गों की संख्या 3p + 50 है।
(चेतावनी: इस खंड की गणना में वे वलय सम्मिलित हैं जिनकी आवश्यक रूप से गुणात्मक पहचान नहीं होती है, जिन्हें कभी-कभी [[आरएनजी (बीजगणित)]] एस कहा जाता है।) 1964 में [[डेविड सिंगमास्टर]] ने [[अमेरिकी गणितीय मासिक]] में निम्नलिखित समस्या का प्रस्ताव रखा: "(1) सबसे छोटे गैर का क्रम क्या है पहचान वाली सबसे छोटी गैर-तुच्छ वलय जो क्षेत्र नहीं है? इस न्यूनतम क्रम के साथ ऐसे दो वलय का परीक्षण किया जाता है। क्या और भी हैं? (2) क्रम चार के कितने वलय हैं? इसका समाधान डी.एम. से प्राप्त हो सकता है। ब्लूम ने दो पेज के प्रमाण में<ref>{{citation |first1=David |last1=Singmaster |first2=D. M. |last2=Bloom |title=E1648 |journal=American Mathematical Monthly |volume=71 |issue=8 |pages=918–920 |date=October 1964 |jstor=2312421 |doi=10.2307/2312421}}</ref> बताया कि क्रम 4 के ग्यारह वलय हैं, जिनमें से चार की गुणात्मक पहचान है। वास्तव में, चार-तत्व के वलय विषय की समिष्टता का परिचय देते हैं। [[चक्रीय समूह]] C<sub>4</sub> के ऊपर तीन वलय और क्लेन चार-समूह के ऊपर आठ वलय हैं। ग्रेगरी ड्रेसडेन के व्याख्यान नोट्स में भेदभावपूर्ण उपकरणों ([[निलपोटेंट]], शून्य-विभाजक, इडेम्पोटेंट (वलय सिद्धांत), और बाएं- और दाएं-पहचान) का लोकप्रिय प्रदर्शन है।<ref>{{citation |first=Gregory |last=Dresden |title=Rings with four elements |year=2005 |url=http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/handnotes.html |access-date=2009-07-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100802050414/http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/handnotes.html |archive-date=2010-08-02 |url-status=dead }}</ref>परिमित वलयों में गैर-क्रमविनिमेयता की घटना का वर्णन {{harv|एल्ड्रिज|1968}} में दो प्रमेयों में किया गया था: यदि 1 के साथ परिमित वलय के क्रम m में घन-मुक्त गुणनखंडन है, तो यह [[क्रमविनिमेय वलय]] है। और यदि 1 के साथ [[गैर क्रमविनिमेय वलय|गैर क्रमविनिमेय परिमित वलय]] में अभाज्य घन का क्रम है, तो वलय अभाज्य के गैलोइस क्षेत्र पर ऊपरी त्रिकोणीय 2 × 2 आव्यूह वलय के समरूपी है।अभाज्य के घन के क्रम के वलय का अध्ययन {{harv|राघवेंद्रन|1969}} और {{harv|गिल्मर|मॉट|1973}} में और विकसित किया गया था। नेक्स्ट फ्लोर और वेसेनबाउर (1975) ने घन-ए- के अभाज्य स्तिथि में सुधार किया। समरूपता वर्गों पर निश्चित कार्य {{harv|एंटीपकिन|एलिज़ारोव|1982}} के साथ आया, जिससे यह सिद्ध हुआ कि p > 2 के लिए, वर्गों की संख्या 3p + 50 है।


परिमित वलयों के विषय में पहले भी संदर्भ उपस्थित हैं, जैसे रॉबर्ट बैलियू<ref>{{citation |first=Robert |last=Ballieu |title=Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif |journal=Ann. Soc. Sci. Bruxelles |series=Série I |volume=61 |pages=222–7 |year=1947 |mr=0022841 |zbl=0031.10802}}</ref> और स्कोर्ज़ा है।<ref>{{harvnb|Scorza|1935}}, see review of Ballieu by [[Irving Kaplansky]] in [[Mathematical Reviews]]</ref>
परिमित वलयों के विषय में पहले भी संदर्भ उपस्थित हैं, जैसे रॉबर्ट बैलियू<ref>{{citation |first=Robert |last=Ballieu |title=Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif |journal=Ann. Soc. Sci. Bruxelles |series=Série I |volume=61 |pages=222–7 |year=1947 |mr=0022841 |zbl=0031.10802}}</ref> और स्कोर्ज़ा है।<ref>{{harvnb|Scorza|1935}}, see review of Ballieu by [[Irving Kaplansky]] in [[Mathematical Reviews]]</ref>
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== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध ==
*[https://mathoverflow.net/q/7133 Classification of finite commutative rings]
*[https://mathoverflow.net/q/7133 Classification of finite commutative rings]
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Latest revision as of 14:11, 2 August 2023

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित में, परिमित वलय ऐसा वलय (गणित) होता है जिसमें तत्वों की सीमित संख्या होती है। प्रत्येक परिमित क्षेत्र परिमित वलय का उदाहरण है, और प्रत्येक परिमित वलय का योगात्मक भाग एबेलियन समूह परिमित समूह का उदाहरण है, किंतु स्वयं में परिमित वलय की अवधारणा का इतिहास है।

चूँकि वलय में समूहों की तुलना में अधिक संरचना होती है, परिमित वलय का सिद्धांत परिमित समूहों की तुलना में सरल है। उदाहरण के लिए, परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण 20वीं दशक के गणित की प्रमुख सफलताओं में से था, इसका प्रमाण हजारों जर्नल पृष्ठों में विस्तारित है। दूसरी ओर, यह 1907 से ज्ञात है कि कोई भी परिमित सरल वलय के समरूपी होता है क्रम q के सीमित क्षेत्र पर n-by-n आव्यूहों का (वेडरबर्न के प्रमेयों के परिणामस्वरूप, नीचे वर्णित है) है।

m तत्वों के साथ वलयों की संख्या, m के लिए प्राकृतिक संख्या, पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में OEIS: A027623 के अंतर्गत सूचीबद्ध है।

परिमित क्षेत्र

Main articles: परिमित क्षेत्र and परिमित क्षेत्र अंकगणित

बीजगणितीय ज्यामिति, गैलोज़ सिद्धांत और संख्या सिद्धांत के साथ घनिष्ठ संबंधों के कारण परिमित क्षेत्रों का सिद्धांत संभवतः परिमित वलय सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण विषय है। सिद्धांत का महत्वपूर्ण, किंतु अधिक प्राचीन विषय परिमित क्षेत्रों का वर्गीकरण है:[1]

  • किसी परिमित क्षेत्र के तत्वों का क्रम या संख्या pn के विषय समान होती है, जहां p अभाज्य संख्या है जिसे क्षेत्र की विशेषता (बीजगणित) कहा जाता है, और n धनात्मक पूर्णांक है।
  • प्रत्येक अभाज्य संख्या p और धनात्मक पूर्णांक n के लिए, pn तत्व के साथ परिमित क्षेत्र उपस्थित होता है।
  • समान क्रम वाले कोई भी दो परिमित क्षेत्र समरूपी होते हैं।

वर्गीकरण के अतिरिक्त, परिमित क्षेत्र अभी भी अनुसंधान का सक्रिय क्षेत्र है, जिसमें काकेया अनुमान पर वर्तमान के परिणाम और सबसे छोटे सर्वप्रथम रूट मोडुलो एनएस (संख्या सिद्धांत में) के आकार के संबंध में संवृत समस्याएं सम्मिलित हैं।

परिमित क्षेत्र F का उपयोग F के ऊपर n-आयामों का सदिश समिष्ट बनाने के लिए किया जा सकता है। F के तत्वों के साथ n × n आव्यूह के वलय A का उपयोग गैलोइस ज्यामिति में किया जाता है, जिसमें प्रक्षेप्य रैखिक समूह A के गुणक समूह के रूप में कार्य करता है। .

वेडरबर्न के प्रमेय

Main articles: वेडरबर्न की छोटी प्रमेय and आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय

वेडरबर्न की छोटी प्रमेय का आशय है कि कोई भी परिमित विभाजन वलय आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय है:

यदि परिमित वलय R के प्रत्येक अशून्य तत्व r में गुणात्मक व्युत्क्रम है, तो R क्रमविनिमेय है (और इसलिए परिमित क्षेत्र है)।

नाथन जैकबसन ने पश्चात् में नियम का परीक्षण किया जो वलय की क्रमविनिमेयता का आश्वासन देता है: यदि R के प्रत्येक तत्व r के लिए पूर्णांक n > 1 उपस्थित है जैसे कि r n = r, तो R क्रमविनिमेय है।[2] अधिक सामान्य स्थितियाँ जो किसी वलय की क्रमपरिवर्तनशीलता का आश्वासन देती हैं।[3]

वेडरबर्न का प्रमेय, इसके परिणाम के रूप में, यह प्रदर्शित करता है कि परिमित सरल वलय का सिद्धांत प्रकृति में अपेक्षाकृत सरल है। अधिक विशेष रूप से, कोई भी परिमित सरल वलय के समरूपी होता है का n बटा n आव्यूह क्रम q के परिमित क्षेत्र पर यह 1905 और 1907 में स्थापित जोसेफ वेडरबर्न के दो प्रमेयों (जिनमें से वेडरबर्न का छोटा प्रमेय है) से अनुसरण करता है।

गणना

(चेतावनी: इस खंड की गणना में वे वलय सम्मिलित हैं जिनकी आवश्यक रूप से गुणात्मक पहचान नहीं होती है, जिन्हें कभी-कभी आरएनजी (बीजगणित) एस कहा जाता है।) 1964 में डेविड सिंगमास्टर ने अमेरिकी गणितीय मासिक में निम्नलिखित समस्या का प्रस्ताव रखा: "(1) सबसे छोटे गैर का क्रम क्या है पहचान वाली सबसे छोटी गैर-तुच्छ वलय जो क्षेत्र नहीं है? इस न्यूनतम क्रम के साथ ऐसे दो वलय का परीक्षण किया जाता है। क्या और भी हैं? (2) क्रम चार के कितने वलय हैं? इसका समाधान डी.एम. से प्राप्त हो सकता है। ब्लूम ने दो पेज के प्रमाण में[4] बताया कि क्रम 4 के ग्यारह वलय हैं, जिनमें से चार की गुणात्मक पहचान है। वास्तव में, चार-तत्व के वलय विषय की समिष्टता का परिचय देते हैं। चक्रीय समूह C4 के ऊपर तीन वलय और क्लेन चार-समूह के ऊपर आठ वलय हैं। ग्रेगरी ड्रेसडेन के व्याख्यान नोट्स में भेदभावपूर्ण उपकरणों (निलपोटेंट, शून्य-विभाजक, इडेम्पोटेंट (वलय सिद्धांत), और बाएं- और दाएं-पहचान) का लोकप्रिय प्रदर्शन है।[5]परिमित वलयों में गैर-क्रमविनिमेयता की घटना का वर्णन (एल्ड्रिज 1968) में दो प्रमेयों में किया गया था: यदि 1 के साथ परिमित वलय के क्रम m में घन-मुक्त गुणनखंडन है, तो यह क्रमविनिमेय वलय है। और यदि 1 के साथ गैर क्रमविनिमेय परिमित वलय में अभाज्य घन का क्रम है, तो वलय अभाज्य के गैलोइस क्षेत्र पर ऊपरी त्रिकोणीय 2 × 2 आव्यूह वलय के समरूपी है।अभाज्य के घन के क्रम के वलय का अध्ययन (राघवेंद्रन 1969) और (गिल्मर & मॉट 1973) में और विकसित किया गया था। नेक्स्ट फ्लोर और वेसेनबाउर (1975) ने घन-ए- के अभाज्य स्तिथि में सुधार किया। समरूपता वर्गों पर निश्चित कार्य (एंटीपकिन & एलिज़ारोव 1982) के साथ आया, जिससे यह सिद्ध हुआ कि p > 2 के लिए, वर्गों की संख्या 3p + 50 है।

परिमित वलयों के विषय में पहले भी संदर्भ उपस्थित हैं, जैसे रॉबर्ट बैलियू[6] और स्कोर्ज़ा है।[7]

ये कुछ तथ्य हैं जो किसी दिए गए क्रम के परिमित वलयों की संख्या (आवश्यक नहीं कि एकता के साथ) के बारे में ज्ञात हों (मान लीजिए कि p और q भिन्न-भिन्न अभाज्य संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं):

  • p क्रम के दो परिमित वलय हैं।
  • pq क्रम के चार परिमित वलय हैं।
  • p2 क्रम के ग्यारह परिमित वलय हैं।.
  • p2q क्रम के बाईस परिमित वलय हैं।.
  • आठवें क्रम के बावन परिमित वलय हैं।
  • क्रम p3, p > 2 के 3p + 50 परिमित वलय हैं।

n तत्वों वाले वलयों की संख्या a(0) = 1 हैं।

1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, >18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11, 22, ... (sequence A027623 in the OEIS)

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ (Jacobson 1985, p. 287)
  2. ↑ Jacobson 1945
  3. ↑ Pinter-Lucke, J. (May 2007), "Commutativity conditions for rings: 1950–2005", Expositiones Mathematicae, 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001
  4. ↑ Singmaster, David; Bloom, D. M. (October 1964), "E1648", American Mathematical Monthly, 71 (8): 918–920, doi:10.2307/2312421, JSTOR 2312421
  5. ↑ Dresden, Gregory (2005), Rings with four elements, archived from the original on 2010-08-02, retrieved 2009-07-28
  6. ↑ Ballieu, Robert (1947), "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif", Ann. Soc. Sci. Bruxelles, Série I, 61: 222–7, MR 0022841, Zbl 0031.10802
  7. ↑ Scorza 1935, see review of Ballieu by Irving Kaplansky in Mathematical Reviews

संदर्भ


बाहरी संबंध

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