प्वासों बिंदु प्रक्रिया: Difference between revisions

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प्वासों बिंदु प्रक्रिया की एक दृश्यानुकरणिका, जिसमें 0 से शुरू होते हुए वृद्धि λ दर पर सतत और स्वतंत्र रूप से होती हैं।

प्रायिकता, सांख्यिकी और संबंधित क्षेत्रों में, प्वासों बिंदु प्रक्रिया एक प्रकार का यादृच्छिक गणितीय प्रयोजन है जो गणितीय समष्टि पर यादृच्छिक रूप से स्थानांतरित होने वाले बिन्दुओं से मिलकर बनता है, जहां महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि ये बिन्दु एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से होते हैं।^[1] प्वासों बिंदु प्रक्रिया को सामान्यतः प्वासों प्रक्रिया कहा जाता है, लेकिन इसे प्वासों यादृच्छिक माप, प्वासों यादृच्छिक बिन्दु फ़ील्ड या प्वासों बिंदु फ़ील्ड भी कहा जाता है। यह बिंदु प्रक्रिया उचित गणितीय गुणों के साथ होती है,^[2] जिसके कारण इसे यूक्लिडीयन समष्टि में प्रायः परिभाषित किया जाता है और यह खगोल शास्त्र,^[3] जीव-विज्ञान,^[4] पारिस्थितिकी,^[5] भूविज्ञान,^[6] भूकंप विज्ञान,^[7] भौतिक विज्ञान,^[8] अर्थशास्त्र,^[9] छवि प्रसंस्करण,^[10]^[11] और दूरसंचार जैसे विभिन्न शास्त्रों में आपूर्ति-मांग मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है।^[12]^[13]

यह प्रक्रिया फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस प्वासों के नाम पर रखी गई है, हालांकि प्वासों ने कभी इस प्रक्रिया का अध्ययन नहीं किया। इसका नाम इस तथ्य से जुड़ा है कि यदि किसी स्थान में यादृच्छिक बिन्दुओं का संग्रह प्वासों प्रक्रिया बनाता है, तो एक परिमित आकार क्षेत्र में बिन्दुओं की संख्या यादृच्छिक प्रायस्थानिकी संगणना के साथ प्वासों बंटन होती है। इस प्रक्रिया की खोज अलग-अलग सेटिंग्स पर स्वतंत्र रूप से और अनेक बार की गई, जिसमें रेडियोधर्मी क्षय, टेलीफोन कॉल आगमन और इनश्योरेंस गणित पर प्रयोग सम्मिलित हैं।^[14]^[15]

प्वासों बिंदु प्रक्रिया सामान्यतः वास्तविक रेखा पर परिभाषित की जाती है, जहां इसे प्रसंभाव्य प्रक्रम (स्टोकेस्टिक प्रोसेस) के रूप में माना जा सकता है। इस सेटिंग में, यह उदाहरण के लिए, कतारबद्ध सिद्धांत में उपयोग होती है^[16] जहां यादृच्छिक घटनाओं का मॉडलिंग किया जाता है, जैसे कि किसी संग्रहागार में ग्राहकों के आगमन, प्रतिदान में फोन कॉल, या भूकंप की घटना, जो समय के आधार पर वितरित होती हैं। समतल में, बिन्दु प्रक्रिया, जिसे स्थानिक प्वासों प्रक्रिया भी कहा जाता है,^[17] प्रकीर्णित वायरलेस नेटवर्क में प्रेषकों के स्थानों,^[12]^[18]^[19]^[20] संवेदक में टकराने वाले कणों के, या जंगल में पेड़ों के आवास के स्थानों का प्रतिनिधित्व कर सकती है।^[21] इस संदर्भ में, प्रक्रिया प्रायः गणितीय मॉडलों में और स्थानिक बिन्दु प्रक्रियाओं,^[22] प्रसंभाव्य ज्यामिति,^[1] स्थानिक सांख्यिकी^[22]^[23] और नियतांत्रण प्रक्षेपण सिद्धांत^[24] के संबंधित क्षेत्रों में उपयोग होती है। प्वासों बिंदु प्रक्रिया को अधिक एब्स्ट्रैक्ट समष्टि पर परिभाषित किया जा सकता है। अनुप्रयोगों से परे, प्वासों बिंदु प्रक्रिया स्वयं में गणितीय अध्ययन का विषय है।^[2] सभी सेटिंग में, प्वासों बिंदु प्रक्रिया का एक मुख्य गुण यह है कि प्रत्येक बिंदु प्रक्रिया में सभी अन्य बिंदुओं के प्रति यादृच्छिक रूप से अव्यवस्थित होता है, इसलिए कभी-कभी इसे पूरी रूप से या पूर्णतः यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है।^[25] किसी प्रणाली को प्वासों प्रक्रिया के रूप मॉडलिंग करना पर्याप्त नहीं होता है जब बिंदु से बिंदु के संवेदनशील संबंध अत्यधिक प्रबल होते हैं (अर्थात बिंदु प्रसंभाव्य रूप से स्वतंत्र नहीं हैं)। ऐसी प्रणाली को भिन्न बिंदु प्रक्रिया के साथ अपेक्षाकृत अधिक श्रेष्ठता से मॉडलिंग किया जा सकता है।^[26]

बिंदु प्रक्रिया एकल गणितीय प्रयोजन पर निर्भर करती है, जो परिस्थिति के आधार पर किसी स्थिरांक, स्थानिक समाकलित फलन या अधिक सामान्य संदर्भ में रेडॉन माप हो सकती है।^[27] प्राथमिक स्थिति में, जिसे दर या तीव्रता (इंटेंसिटी) कहा जाता है, समष्टि के किसी क्षेत्र में प्वासों प्रक्रिया के बिंदुओं की औसत घनत्व होती है। इस परिणामक बिंदु प्रक्रिया को समघातीय या स्थिर प्वासों बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है।^[28] द्वितीय स्थिति में, बिंदु प्रक्रिया को असमघातीय या असमघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है, और बिंदु प्रक्रिया की मूलभूत स्थान के स्थान पर बिंदुओं की औसत घनत्व पर निर्भर करती है।^[29] शब्द "बिंदु" प्रायः छोड़ दिया जाता है,^[2] लेकिन वस्तुओं की अन्य प्वासों प्रक्रियाएं भी होती हैं, जिनमें बिंदुओं की बजाय रेखाएं और बहुभुज जैसी जटिल गणितीय प्रयोजन सम्मिलित होते हैं, और ऐसी प्रक्रियाएं प्वासों बिंदु प्रक्रिया पर आधारित हो सकती हैं।^[30] समघाती और असमघाती प्वासों बिंदु प्रक्रियाएँ विशेषित मुद्रण प्रक्रिया की विशेष स्थिति हैं।

परिभाषाओं का अवलोकन

सेटिंग के आधार पर, इस प्रक्रिया के कई समकक्ष परिभाषाएं^[31] हो सकती हैं, साथ ही इसके कई अनुप्रयोगों और विशेषताओं के कारण विभिन्न व्यापकता की परिभाषाएं भी हो सकती हैं।^[32] प्वासों बिंदु प्रक्रिया को एक विमा में परिभाषित, अध्ययन और उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर, जहां इसे गणना प्रक्रिया या कतारबद्ध मॉडल के भाग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है;^[33]^[34] उच्च विमाओं में जैसे कि समतल जहां इसकी प्रसंभाव्य ज्यामिति^[1] और स्थानिक सांख्यिकी^[35] में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; या और अधिक सामान्य गणितीय समष्टि पर।^[36] इसलिए, प्वासों बिंदु प्रक्रिया और बिंदु प्रक्रियाओं की परिभाषा और अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली नोटेशन, शब्दावली और गणितीय सावधानी का स्तर आधार के अनुसार भिन्न होते हैं।^[37]

इसके अतिरिक्त, प्वासों बिंदु प्रक्रिया में दो प्रमुख गुण हैं- प्वासों गुणधर्म और स्वतंत्रता गुणधर्म- जो सभी सेटिंग्स में एक आवश्यक भूमिका निभाती है जहां प्वासों बिंदु प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है।^[27]^[38] दो गुणधर्म तार्किक रूप से स्वतंत्र नहीं होते हैं; वास्तव में, स्वतंत्रता का तात्पर्य बिंदु गणना के प्वासों बंटन से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।^{[lower-alpha 1]}

बिंदु संख्या का प्वासों बंटन

प्वासों बिंदु प्रक्रिया को प्वासों बंटन के माध्यम से अभिलक्षित किया जाता है। प्वासों बंटन यादृच्छिक चर ${\textstyle N}$ का (प्वासों यादृच्छिक चर के नाम से जाना जाता है) प्रायिकता बंटन होता है, जिसमें $\textstyle N$ बराबर $\textstyle n$ होने की प्रायिकता निम्नलिखित प्राप्त होती है:

\Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }

जहाँ ${\textstyle n!}$ गुणांक को क्रमगुणितअ (फैक्टोरियल) को दर्शाने के लिए है और पैरामीटर ${\textstyle \Lambda }$ बंटन के आकार को निर्धारित करता है। (वास्तव में, ${\textstyle \Lambda }$ को ${\textstyle N}$ की प्रत्याशित मान के बराबर होने वाले मान के रूप में लिया जाता है।)

परिभाषा के अनुसार, प्वासों बिंदु प्रक्रिया का एक गुण है कि प्रक्रिया के अन्तर्निहित समष्टि के सीमित क्षेत्र में बिंदुओं की संख्या प्वासों बंटन का यादृच्छिक चर होती है।^[38]

पूर्ण स्वतंत्रता

अंतर्निहित समष्टि के असंयुक्त और परिबद्ध उपक्षेत्रों के संग्रह पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक परिबद्ध उपक्षेत्र में प्वासों बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या सभी अन्य से पूर्णतः स्वतंत्र होगी।

इस गुणधर्म को कई नामों से जाना जाता है जैसे पूर्ण यादृच्छिकता, पूर्ण स्वतंत्रता,^[39] या स्वतंत्र प्रकीर्णन^[40]^[41] और यह सभी प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं में सामान्य होता है। दूसरे शब्दों में, विभिन्न क्षेत्रों और बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया की कमी होती है,^[42] जिसके कारण प्वासों प्रक्रिया को कभी-कभी पूर्णतः या पूर्ण रूप से यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है।^[39]

समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया

यदि किसी प्वासों बिंदु प्रक्रिया का पैरामीटर ${\textstyle \Lambda =\nu \lambda }$ के रूप में होता है, जहां ${\textstyle \nu }$ लेबेस्ग माप होती है (अर्थात, यह समुच्चय के लिए लम्बाई, क्षेत्रफल या आयतन निर्दिष्ट करता है) और ${\textstyle \lambda }$ एक स्थिरांक होता है, तो बिंदु प्रक्रिया को समघाती या स्थायी प्वासों बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। इस पैरामीटर को दर या तीव्रता कहा जाता है और यह किसी सीमित क्षेत्र में विद्यमान प्वासों बिंदुओं की अपेक्षित (या औसत) संख्या से संबंधित होता है,^[43]^[44] जहां दर उस अंतर्निहित समष्टि के लिए उपयोग होती है जिसके एक विमा होती है।^[43] पैरामीटर ${\textstyle \lambda }$ को मानचित्रित किया जा सकता है जैसे कि लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन या समय के कुछ इकाई पर प्रति औसत बिंदुओं की औसत संख्या, यहां तक कि इसे माध्य घनत्व या माध्य दर भी कहा जाता है;^[45] टर्मिनोलॉजी देखें।

गणना प्रक्रिया के रूप में व्याख्या

धनात्मक अर्ध-रेखा पर विचारित होने पर, समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया को गणना प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो एक प्रकार की प्रसंभाव्य प्रक्रिया होती है, जिसे ${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।^[31]^[34] गणना प्रक्रिया समय ${\textstyle t}$ तक हुए घटनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। यदि गणना प्रक्रिया में निम्नलिखित तीन गुण हों, तो वह समघाती प्वासों गणना प्रक्रिया दर ${\textstyle \lambda >0}$ के साथ होती है, तीन गुण निम्नलिखित है:^[31]^[34]

${\textstyle N(0)=0;}$
स्वतंत्र वृद्धि होती है; और
लंबाई ${\textstyle t}$ के किसी भी अंतराल में घटनाओं (या अंक) की संख्या पैरामीटर (या माध्य) ${\textstyle \lambda t}$ के साथ प्वासों यादृच्छिक चर है।

अंतिम गुणधर्म का अर्थ है:

\operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.

दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर ${\textstyle N(t)}$ के ${\textstyle n}$ के बराबर होने की प्रायिकता निम्नलिखित प्रकार दी गई है:

\Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.

प्वासों गणना प्रक्रिया को यह कहते हुए भी परिभाषित किया जा सकता है कि गणना प्रक्रिया की घटनाओं के बीच समय का अंतर माध्य ${\textstyle 1/\lambda }$ के साथ घातांकी चर होता हैं।^[46] घटनाओं या आमंद के बीच समय के अंतर को अंतर आमंद^[47] या अंतःक्रिया समय के रूप में जाना जाता है।^[46]

वास्तविक रेखा पर एक बिंदु प्रक्रिया के रूप में व्याख्या

प्वासों बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया जा सकता है इस प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या को ${\textstyle (a,b]}$ के अंतराल में विचार करके, बिंदु प्रक्रिया के रूप में व्याख्या किया जाता है। वास्तविक रेखा पर सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया के पैरामीटर ${\textstyle \lambda >0}$ के साथ, इस यादृच्छिक संख्या के बिंदुओं की संख्या, जिसे यहां ${\textstyle N(a,b]}$ के रूप में लिखा गया है, किसी गणना संख्या ${\textstyle n}$ के बराबर होने की प्रायिकता निम्नलिखित रूप में दी गई है:^[48]

\Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (b-a)},

कुछ धनात्मक पूर्णांक 11 के लिए, समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन होता है:^[48]

\Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},

जहाँ वास्तविक संख्याएँ ${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$ हैं।

दूसरे शब्दों में, ${\textstyle N(a,b]}$ माध्य ${\textstyle \lambda (b-a)}$ के साथ प्वासों यादृच्छिक चर होता है, जहां ${\textstyle a\leq b}$ है। इसके अतिरिक्त, किन्हीं दो असंयुक्त अंतरालों में बिंदुओं की संख्या, मान लीजिए, ${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$ और ${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$ , एक-दूसरे के स्वतंत्र हैं, और यह असंयुक्त अंतरालों की किसी भी परिमित संख्या तक विस्तारित होता है।^[48] कतारबद्ध सिद्धांत के संदर्भ में, एक बिंदु अस्तित्व (एक अंतराल में) होने को किसी घटना के रूप में विचार किया जा सकता है, लेकिन यह प्रायिकता सिद्धांत के अर्थ में घटना शब्द से भिन्न होता है।^{[lower-alpha 2]} यह इस प्रकार है कि ${\textstyle \lambda }$ एराइवल की अपेक्षित संख्या है जो प्रति इकाई समय में होती है।^[34]

प्रमुख गुण

पूर्व परिभाषा के अनुसार सामान्यतः प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के समग्र में दो महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं जो निम्नलिखित है:^[48]^[27]

प्रत्येक परिमित अंतराल में होने वाले एराइवल की संख्या में प्वासों बंटन होता है।
असयुंक्त अंतरालों में होने वाले एराइवल की संख्या एक-दूसरे के निर्पेक्ष यादृच्छिक चर होते हैं।

इसके अतिरिक्त, इसमें केवल समान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया से संबंधित तृतीय विशेषता निम्नलिखित है:^[49]

प्रत्येक अंतराल ${\textstyle (a+t,b+t]}$ में एराइवल की संख्या का प्वासों बंटन केवल अंतराल की लंबाई ${\textstyle b-a}$ पर निर्भर करता है।

दूसरे शब्दों में, किसी भी परिमित ${\textstyle t>0}$ के लिए, यादृच्छिक चर ${\textstyle N(a+t,b+t]}$ और ${\textstyle t}$ स्वयं में स्वतंत्र होते हैं, अतः इसे स्थायी प्वासों प्रक्रिया भी कहा जाता है।^[48]

बड़ी संख्याओं का नियम

मात्रा ${\textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})}$ की व्याख्या अंतराल ${\textstyle (a_{i},b_{i}]}$ में होने वाली अपेक्षित या औसत बिंदुओं की संख्या के रूप में की जा सकती है, अर्थात्:

\operatorname {E} [N(a_{i},b_{i}]]=\lambda (b_{i}-a_{i}),

जहाँ $\operatorname {E}$ अपेक्षाओं के ऑपरेटर को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, प्वासों प्रक्रिया के पैरामीटर ${\textstyle \lambda }$ बिंदुओं की घनत्व के सामान होता है। इसके अतिरिक्त, समान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया (प्रबल) बड़े आंकड़ों के नियम का अनुपालन करती है।^[50] अधिक विशेष रूप से, एक प्रायिकता के साथ:

\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {N(t)}{t}}=\lambda ,

जहां ${\textstyle \lim }$ एक फलन की सीमा को दर्शाता है, और $\lambda$ समय की प्रति यूनिट एराइवल अपेक्षित संख्या है।

मेमोरीलेस गुणधर्म

वास्तविक रेखा पर बिंदु प्रक्रिया के दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी घातांकी यादृच्छिक चर होगा जिसका पैरामीटर ${\textstyle \lambda }$ होता है (अथवा समानांतर, औसत ${\textstyle 1/\lambda }$ होता है)। इसका तात्पर्य है कि बिंदुओं का मेमोरीलेस गुणधर्म होता है: किसी परिमित अंतराल में किसी बिंदु का अस्तित्व, अन्य बिंदुओं के अस्तित्व की प्रायिकता (बंटन) प्रासंगिकता को प्रभावित नहीं करता है,^[51]^[52] लेकिन जब प्वासों प्रक्रिया को उच्चतम विमाओं वाले समष्टि पर परिभाषित किया जाता है, अतः इस गुणधर्म का कोई प्राकृतिक समरूपता नहीं होती है।^[53]

क्रमबद्धता और साधारणता

स्थैतिक वृद्धियों वाली एक बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी क्रमित^[54] या नियमित^[55] कहा जाता है, यदि:

\Pr\{N(t,t+\delta ]>1\}=o(\delta ),

यहां छोटे-o संकेतन का उपयोग किया जा रहा है। जब किसी बिंदु प्रक्रिया में दो बिंदुओं का अंतर्निहित समष्टि पर एक ही स्थिति में संयोग की प्रायिकता शून्य होती है, अतः उसे एक साधारण बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। वास्तविक रेखा पर सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, क्रमबद्धता की गुणवत्ता यह सिद्ध करती है कि प्रक्रिया साधारण होती है,^[56] जो समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए सत्य होता है।^[57]

मार्टिंगेल विशेषण

वास्तविक रेखा पर, समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया का मार्टिंगेल सिद्धांत के साथ एक संबंध होता है निम्नलिखित विशेषण के माध्यम से: बिंदु प्रक्रिया समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया होती है यदि और केवल यदि

N(-\infty ,t]-\lambda t,

मार्टिंगेल है।^[58]^[59]

अन्य प्रक्रियाओं से संबंध

वास्तविक रेखा पर, प्वासों प्रक्रिया एक प्रकार की सतत-समय मार्कोव प्रक्रिया है जिसे जन्म प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है, जन्म-मृत्यु प्रक्रिया के एक विशेष प्रकार (केवल जन्म और शून्य मृत्यु के साथ)।^[60]^[61] मार्कोव गुणधर्म के साथ अधिक जटिल प्रक्रियाएँ, जैसे मार्कोव एराइवल प्रक्रियाएँ, परिभाषित की गई हैं जहां प्वासों प्रक्रिया एक विशेष स्थिति हैं।^[46]

अर्ध-रेखा पर प्रतिबंध

यदि समघाती प्वासों प्रक्रिया केवल अर्ध-रेखा पर ${\textstyle [0,\infty )}$ के रूप में विचार की जाती है, जब ${\textstyle t}$ समय को दर्शाता है,^[31] अतः परिणामस्वरूप प्रक्रिया स्थानांतरण के अंतर्गत वास्तव में स्थानांतरण के प्रति समान नहीं होती है।^[53] उस स्थिति में, कुछ स्थानिकता की परिभाषाओं के अनुसार प्वासों प्रक्रिया स्थायी नहीं रहती है।^[62]

अनुप्रयोग

समघाती प्वासों प्रक्रिया का वास्तविक रेखा पर कई अनुप्रयोग हुए हैं जो प्रतीत होने वाले यादृच्छिक और स्वतंत्र घटनाओं के मॉडलिंग का प्रयास करते हैं। यह कतारबद्ध सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाता है, जो कुछ घटनाओं के यादृच्छिक एराइवल और अपक्रम को प्रतिष्ठानुसार प्रतिष्ठापित करने के लिए उपयुक्त प्रसंभाव्य मॉडल विकसित करने का प्रायिकता क्षेत्र है।^[16]^[46] उदाहरण के लिए, कतारबद्ध सिद्धांत के तकनीकों का उपयोग करके ग्राहकों के आगमन और सेवा प्राप्ति या फोन कॉल के आगमन का अध्ययन किया जा सकता है जो फोन विनियम में होते हैं।

सामान्यीकरण

वास्तविक रेखा पर, समघाती प्वासों प्रक्रिया को यादृच्छिक बिंदुओं की संख्या की गणना के लिए साधारणतम प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं में से एक माना जाता है।^[63]^[64] इस प्रक्रिया को कई विधियों से सामान्यीकृत किया जा सकता है। संभावित सामान्यीकरण है कि अंतर-आगमन समय के बंटन को घातांकी बंटन से अन्य बंटनों तक विस्तारित किया जाए, जो पुनर्नवीनीकरण प्रक्रिया के रूप में जानी जाती है। एक अन्य सामान्यीकरण यह है कि प्वासों बिंदु प्रक्रिया को समतल जैसे उच्च विमीय समष्टियों पर परिभाषित किया जाए।^[65]

स्थानिक प्वासों बिंदु प्रक्रिया

स्थानिक प्वासों प्रक्रिया समतल $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ में परिभाषित प्वासों बिंदु प्रक्रिया है।^[58]^[66] इसकी गणितीय परिभाषा के लिए, सबसे पहले समतल के परिबद्ध, विवृत या संवृत (या अधिक यथार्थ रूप से, बोरेल मापनीय) क्षेत्र ${\textstyle B}$ पर विचार किया जाता है। इस क्षेत्र $\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}$ में विद्यमान बिंदु प्रक्रिया $\textstyle N$ के बिंदुओं की संख्या एक यादृच्छिक चर है, जिसे $\textstyle N(B)$ द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि अंक $\textstyle \lambda >0$ के पैरामीटर के साथ एक समघाती प्वासों प्रक्रिया से संबंधित हैं, तो $\textstyle B$ में विद्यमान $\textstyle n$ बिंदुओं की प्रायिकता निम्न द्वारा दी गई है:

\Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}

जहाँ $\textstyle |B|$ के क्षेत्र को दर्शाता है $\textstyle B$ .

कुछ परिमित पूर्णांक $\textstyle k\geq 1$ के लिए, हम पहले असम्बद्ध, परिबद्ध बोरेल (मापने योग्य) सेट $\textstyle B_{1},\dots ,B_{k}$ के संग्रह पर विचार करके समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन प्रदान कर सकते हैं। बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या $\textstyle N$ $\textstyle B_{i}$ में विद्यमान $\textstyle N(B_{i})$ के रूप में लिखी जा सकती है। अतः पैरामीटर $\textstyle \lambda >0$ के साथ समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन है:^[67]

\Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.

अनुप्रयोग

सांख्यिकीय अध्ययन के अनुसार, ऑस्ट्रेलियाई शहर सिडनी में सेल्युलर या मोबाइल फोन बेस स्टेशनों की स्थितियां, ऊपर चित्रित की गई हैं, समानियोजित प्वासों बिंदु प्रक्रिया के एक प्राप्ति की तरह हैं, जबकि दुनिया भर के कई अन्य शहरों में ऐसा नहीं होता है और अन्य बिंदु प्रक्रियाएँ आवश्यक होती हैं।^[68]

स्थानिक प्वासों बिंदु प्रक्रिया स्थानिक सांख्यिकी में प्रमुखता से दिखाई देती है,^[22]^[23] प्रसंभाव्य ज्यामिति, और सातत्य सिद्धांत।^[24] इस बिंदु प्रक्रिया को विभिन्न भौतिक विज्ञानों में लागू किया जाता है जैसे अल्फा कणों का पता लगाने के लिए विकसित एक मॉडल होता है। हाल के वर्षों में, यह प्रायः कुछ वायरलेस संचार नेटवर्कों के प्रतीत होने वाले अव्यवस्थित स्थानिक विन्यासों के मॉडल के लिए उपयोग किया गया है।^[18]^[19]^[20] उदाहरण के लिए, सेलुलर या मोबाइल फोन नेटवर्क के मॉडल विकसित किए गए हैं जहां यह माना जाता है कि फोन नेटवर्क ट्रांसमीटर, जिन्हें बेस स्टेशन के रूप में जाना जाता है, समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया के अनुसार स्थित हैं।

उच्च विमाओं में परिभाषित

पूर्व समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया को क्षेत्र की धारणा को (उच्च विमीय) आयतन के साथ बदलकर उच्च विमाओं में विस्तारित किया जाता है। यदि यूक्लिडियन समष्टि $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ , के किसी परिबद्ध क्षेत्र $\textstyle B$ के बिंदु एक समघाती प्वासों प्रक्रिया बनाते हैं जिसका पैरामीटर $\textstyle \lambda >0$ होता है, अतः $\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}$ में विद्यमान $\textstyle n$ बिंदुओं की प्रायिकता निम्नलिखित होती है:

\Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}

जहां $\textstyle |B|$ अब $\textstyle B$ के $\textstyle d$ -विमीय आयतन को दर्शाता है। इसके अतिरिक्त, असंयुक्त, परिबद्ध बोरेल समुच्चय $\textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}$ के संग्रह के लिए, $\textstyle N(B_{i})$ को $\textstyle B_{i}$ में विद्यमान $\textstyle N$ के बिंदुओं की संख्या को दर्शाता है। फिर पैरामीटर $\textstyle \lambda >0$ के साथ संबंधित समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन होता है:^[69]

\Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.

समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रियाएँ स्वयं के पैरामीटर $\textstyle \lambda$ के माध्यम से अंतर्निहित समष्टि की स्थिति पर निर्भर नहीं होती हैं, जिससे यह स्पष्ट होता है कि यह एक स्थिर प्रक्रिया (स्थानांतरण के लिए अपरिवर्तनीय) और आइसोट्रोपिक (घूर्णन के लिए अपरिवर्तनीय) प्रसंभाव्य प्रक्रिया है।^[62] एकल-विमीय स्थिति की तरह, समघाती बिंदु प्रक्रिया को कुछ परिबद्ध उपसमुच्चय ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ के लिए प्रतिबंधित किया जाता है, अतः स्थिरता की कुछ परिभाषाओं के अनुसार, प्रक्रिया अब स्थायी नहीं रहती है।^[62]^[53]

बिंदुओं का समान रूप से बंटन

यदि समघाती बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा पर किसी प्रयोजन की घटनाओं के लिए गणितीय मॉडल के रूप में परिभाषित किया जाता है, अतः इसकी विशेषताऐं इस प्रकार है कि वास्तविक रेखा पर इन घटनाओं की स्थितियों का बंटन समानतापूर्व होता है (जिसे प्रायः समय के रूप में व्याख्या किया जाता है)। विशेष रूप से, यदि किसी घटना (इस प्रक्रिया के अनुसार) किसी अंतराल $\textstyle (a,b]$ में होती है जहां $\textstyle a\leq b$ है, तो उसकी स्थानांतरिता उस अंतराल पर परिभाषित एक समान यादृच्छिक चर होगा।^[70] इसके अतिरिक्त, समघाती बिंदु प्रक्रिया को एकसमान प्वासों बिंदु प्रक्रिया भी कहा जाता है (टर्मिनोलॉजी देखें)। यह समानता गुण कार्तीय निर्देशांक में उच्च विमाओं तक विस्तारित होता है, लेकिन उदाहरण के लिए ध्रुवीय निर्देशांक में नहीं होता है।^[71]^[72]

असमघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया

वास्तविक रेखा पर एक विषम प्वासों बिंदु प्रक्रिया का ग्राफ। घटनाओं को काले क्रॉस, समय-निर्भर दर के साथ चिह्नित किया गया है

\lambda (t)

लाल रंग से चिह्नित फलन द्वारा दिया जाता है।

असमघाती या असमघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया (शब्दावली देखें) एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया है जिसमें प्वासों पैरामीटर अंतर्निहित स्थान में कुछ स्थान-निर्भर फलन के रूप में सेट किया गया है, जिस पर प्वासों प्रक्रिया परिभाषित है। यूक्लिडियन समष्टि $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ के लिए, यह स्थानीय रूप से पूर्णांक धनात्मक फलन $\lambda \colon \mathbb {R} ^{d}\to [0,\infty )$ को शुरू करके प्राप्त किया जाता है, जैसे कि प्रत्येक परिबद्ध क्षेत्र $\textstyle B$ के लिए ( $\textstyle d$ -विमीय) आयतन $\textstyle \lambda (x)$ से अधिक क्षेत्र $\textstyle B$ का समाकल भाग है। दूसरे शब्दों में, यदि यह समाकल, $\textstyle \Lambda (B)$ द्वारा निरूपित किया जाता है, अतः यह निम्न प्रकार है:^[44]

\Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,

जहां $\textstyle {\mathrm {d} x}$ , ( $\textstyle d$ -विमीय) आयतन अंश है,^{[lower-alpha 3]} फिर असंयुक्त परिबद्ध बोरेल मापने योग्य समुच्चयों $\textstyle B_{1},\dots ,B_{k}$ के प्रत्येक संग्रह के लिए, (तीव्रता) फलन $\textstyle \lambda (x)$ के साथ असमघातीय प्वासों प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन है:^[69]

\Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\Lambda (B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.

इसके अतिरिक्त, $\textstyle \Lambda (B)$ की व्याख्या परिबद्ध क्षेत्र $\textstyle B$ में स्थित प्वासों प्रक्रिया के बिंदुओं की अपेक्षित संख्या होने की है, अर्थात्

\Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].

वास्तविक रेखा पर परिभाषित

वास्तविक रेखा पर, गैर-समघातीय या असमघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया का औसत माप एकल विमीय समाकल योग के द्वारा दी जाती है। दो वास्तविक संख्याओं $\textstyle a$ और $\textstyle b$ के लिए, जहां $\textstyle a\leq b$ , $\textstyle (a,b]$ में होने वाले असमघातीय प्वासों प्रक्रिया के संख्या बिंदु को $\textstyle N(a,b]$ द्वारा चिह्नित किया जाता है, जिसमें तीव्रता फलन $\textstyle \lambda (t)$ सम्मिलित होता है।उपरोक्त अंतराल $\textstyle (a,b]$ में विद्यमान $\textstyle n$ बिंदुओं की प्रायिकता निम्न द्वारा दिया गया है:

\Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.

जहां माध्य या तीव्रता माप है:

\Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,

जिसका अर्थ है कि यादृच्छिक चर $\textstyle N(a,b]$ माध्य $\textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)$ के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है।

एक-विमा सेटिंग की एक विशेषता यह है कि किसी असमघातीय प्वासों प्रक्रिया को एकदिष्ट (मोनोटोन) परिवर्तन या मानचित्रण द्वारा सजातीय में रूपांतरित किया जा सकता है, जिसे $\textstyle \Lambda$ के प्रतिलोम के साथ प्राप्त किया जाता है।^[73]^[74]

गणना प्रक्रिया की व्याख्या

जब धनात्मक अर्ध-रेखा पर विचार किया जाता है, अतः असमघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया को कई बार गणना प्रक्रिया के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। इस व्याख्यान के साथ, प्रक्रिया, जिसे कभी-कभी $\textstyle \{N(t),t\geq 0\}$ के रूप में लिखा जाता है, $\textstyle t$ समय तक हुई प्रत्येक घटनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है। गणना प्रक्रिया को असमघातीय प्वासों गणना प्रक्रिया कहा जाता है यदि इसके चार गुण होते हैं:^[34]^[75]

$\textstyle N(0)=0;$
स्वतंत्र वृद्धि होती है;
$\textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h);$ और
$\textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),$

यहां $\textstyle o(h)$ , $\textstyle h\rightarrow 0$ के लिए $\textstyle o(h)/h\rightarrow 0$ के अनन्तस्पर्शी या छोटे-o नोटेशन है। अपवर्तकता के साथ बिंदु प्रक्रियाओं की स्थिति में (जैसे कि न्यूरल स्पाइक ट्रेन), प्रगुण 4 का एक अन्य प्रबल संस्करण लागू होता है:^[76] $\Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h^{2})$ .

उपरोक्त गुणों का अर्थ है कि $\textstyle N(t+h)-N(t)$ पैरामीटर (या माध्य) के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है।

\operatorname {E} [N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\lambda (s)\,ds,

जो ये दर्शाता हे

\operatorname {E} [N(h)]=\int _{0}^{h}\lambda (s)\,ds.

स्थानिक प्वासों प्रक्रिया

समतल $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ में परिभाषित असमघातीय प्वासों प्रक्रिया को स्थानिक प्वासों प्रक्रिया कहा जाता है^[77] इसे तीव्रता फलन के साथ परिभाषित किया जाता है और इसकी तीव्रता की माप कुछ क्षेत्र में इसकी तीव्रता फलन का सतह समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।^[21]^[78] उदाहरण के लिए, इसका तीव्रता फलन (कार्तीय निर्देशांक ${\textstyle x}$ और $\textstyle y$ के एक फलन के रूप में) हो सकता है

\lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},

इसलिए संगत तीव्रता माप सतह समाकल द्वारा निम्नलिखित रूप दिया जाता है

\Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,

जहाँ ${\textstyle B}$ समतल ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ में कुछ घिरा क्षेत्र है।

उच्च विमाओं में

समतल में, ${\textstyle \Lambda (B)}$ सतह समाकलन के सामान प्रतीत होता है जबकि ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ में ( ${\textstyle d}$ -विमीय) आयतन समाकलन में परिवर्तित हो जाता है।

अनुप्रयोग

जब वास्तविक रेखा को समय के रूप में व्याख्या किया जाता है, अतः असमान्य प्रक्रिया को गणना प्रक्रियाओं और कतारबद्ध सिद्धांत के क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।^[75]^[79] असमान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया द्वारा प्रतिष्ठित या अपेक्षित होने वाली घटनाओं के उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित होते हैं:

फ़ुटबॉल के खेल में किए जा रहे गोल।^[80]
सर्किट बोर्ड में दोष^[81]

समतल में, प्रसंभाव्य ज्यामिति^[1]^[35] और स्थानिक आंकड़ों^[22]^[23] के संबंधित शाखाओं में महत्वपूर्ण होती है। इस बिंदु प्रक्रिया की तीव्रता माप अंतर्निहित समष्टि के स्थान पर निर्भर करती है, जिसका तात्पर्य है कि इसका उपयोग किसी क्षेत्र में भिन्नता वाली घटनाओं के मॉडलिंग के लिए किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, ये घटनाएं ऐसे बिंदुओं के रूप में प्रतिष्ठित की जा सकती हैं जिनका स्थान-निर्भर घनत्व है।^[21] यह प्रक्रियाएँ विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग की जाती हैं और उनमें महासागरों में सैल्मन और समुद्री जीवाणुओं का अध्ययन,^[82] वानिकी,^[5] और खोज समस्याओं^[83] का अध्ययन सम्मिलित होता है।

तीव्रता फलन की व्याख्या

प्वासों तीव्रता फलन ${\textstyle \lambda (x)}$ की व्याख्या, जो सहज रूप में मानी जाती है,^[21] अत्यल्पिक रूप में आयतन घटक ${\textstyle \mathrm {d} x}$ के साथ संबंधित होती है: ${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$ प्वासों बिंदु प्रक्रिया के किसी बिंदु की अत्यल्पिक प्रायिकता है जो समष्टि के किसी क्षेत्र में विद्यमान होता है और जिसका आयतन ${\textstyle \mathrm {d} x}$ पर नियत होता है। यह क्षेत्र ${\textstyle x}$ पर नियत होता है।^[21] इस व्याख्या से प्वासों प्रक्रिया में बिंदुओं का अस्तित्व और बंटन का ज्ञान प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर किसी सजातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया को देखते हुए, चौड़ाई ${\textstyle \delta }$ के एक छोटे अंतराल में प्रक्रिया के एक बिंदु को प्राप्त करने की प्रायिकता लगभग ${\textstyle \lambda \delta }$ है। वास्तव में, इस तरह के अंतर्ज्ञान से प्वासों बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी प्रस्तुत किया जाता है और इसका बंटन प्राप्त होता है।^[84]^[42]^[85]

साधारण बिंदु प्रक्रिया

यदि किसी प्वासों बिंदु प्रक्रिया में तीव्रता माप स्थानिक रूप से परिमित और असंगठित (या गैर-परमाणु) होती है, अतः वह एक साधारण बिंदु प्रक्रिया होती है। साधारण बिंदु प्रक्रिया के लिए, अंतर्निहित (स्थिति) समष्टि में एकल बिंदु या स्थान पर बिंदु के अस्तित्व की प्रायिकता शून्य या एक होती है। इसका अर्थ है कि प्वासों बिंदु प्रक्रिया के दो (या अधिक) बिंदु अंतर्निहित समष्टि में स्थान के सामान होता हैं।^[86]^[19]^[87]

अनुकरण

कंप्यूटर पर प्वासों बिंदु प्रक्रिया का अनुकरण करना सामान्यतः किसी परिमित स्थानिक क्षेत्र में, जिसे अनुकरण विंडो के रूप में जाना जाता है, किया जाता है और इसके लिए दो चरणों की आवश्यक होती हैं: उचित रूप से किसी यादृच्छिक संख्या के बिंदुओं को बनाना और फिर उन बिंदुओं को एक यादृच्छिक विधि से उचित रूप से स्थानित करना। दोनों इन दो चरणों का प्रयोग किए जाने वाली अनुकरण प्रक्रिया पर निर्भर करते हैं जो वर्तमान में अनुकरणित की जा रही है।^[88]^[89]

चरण 1: बिंदुओं की संख्या

विंडो में बिंदुओं की संख्या ${\textstyle N}$ , जिसे यहां ${\textstyle W}$ से चिह्नित किया गया है, को अनुकरणित करने की आवश्यकता है, जो एक (छद्म)-यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने वाले फलन का उपयोग करके किया जाता है जो प्वासों यादृच्छिक चर का अनुकरण करने में सक्षम है।

समघाती स्थिति

समघातीय स्थिति के लिए नियतांक ${\textstyle \lambda }$ के साथ, प्वासों यादृच्छिक परिमाण ${\textstyle N}$ का औसत ${\textstyle \lambda |W|}$ पर सेट किया जाता है जहां ${\textstyle |W|}$ लंबाई, क्षेत्रफल या ( ${\textstyle d}$ -विमीय) आयतन ${\textstyle W}$ है।

असमान स्थिति

विषम स्थितियों के लिए, ${\textstyle \lambda |W|}$ के साथ प्रतिस्थापित किया गया है ( ${\textstyle d}$ -विमीय) आयतन समाकल

\Lambda (W)=\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x

चरण 2: बिंदुओं की स्थिति

दूसरे चरण में, विंडो $\textstyle W$ में $\textstyle N$ बिंदुओं को यादृच्छिक रूप से स्थानित करना आवश्यक होता है।

समघाती स्थिति

एकल विमा में समघातीय स्थिति के लिए, सभी बिंदुओं को विंडो या अंतराल $\textstyle W$ में एकसमान और स्वतंत्र रूप से स्थानित किया जाता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में अधिकतर विमाओं के लिए, प्रत्येक निर्देशांक को एकसमान और स्वतंत्र रूप से विंडो $\textstyle W$ में स्थानित किया जाता है। तथापि, यदि विंडो कार्तीय समष्टि का उपअंश नहीं है (उदाहरण के लिए, किसी इकाई स्फीयर के अंदर या किसी इकाई स्फीयर की सतह पर), अतः बिंदुओं को $\textstyle W$ में एकसमान रूप से नहीं रखा जाएगा, और ऐसे स्थितियों में कार्तीय से उचित निर्देशांकों की आवश्यकता होती है।^[88]

असमान स्थिति

असमघातीय स्थानिकता वाली स्थितियों में, तीव्रता फलन की प्रकृति पर निर्भर करते हुए कुछ अलग-अलग विधियाँ उपयोग की जा सकती हैं जो तीव्रता फलन $\textstyle \lambda (x)$ की प्रकृति पर निर्भर करती हैं।^[88] यदि तीव्रता फलन पर्याप्त रूप से साधारण हो, तो बिना एक-दूसरे के स्वतंत्र और यादृच्छिक असमान (कार्तीय या अन्य) निर्देशांकों को उत्पन्न किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वृत्ताकार विंडो पर प्वासों बिंदु प्रक्रिया का अनुकरण एक ऐसी आइसोटोपिक तीव्रता फलन (ध्रुवीय निर्देशांकों $\textstyle r$ और $\textstyle \theta$ में) के लिए किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यह घूर्णी रूप से भिन्न या $\textstyle \theta$ से स्वतंत्र है, लेकिन $\textstyle r$ पर निर्भर होती है, $\textstyle r$ में चर के परिवर्तन के द्वारा यदि तीव्रता फलन पर्याप्त रूप से साधारण होता है।^[88]

अधिक जटिल तीव्रता फलनों के लिए, स्वीकृति-अस्वीकृति पद्धति का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें अनुपात के आधार पर केवल कुछ यादृच्छिक बिंदुओं का उपयोग (या 'स्वीकार') करना और अन्य बिंदुओं का उपयोग नहीं करना (या 'अस्वीकार करना') सम्मिलित है:^[90]

{\frac {\lambda (x_{i})}{\Lambda (W)}}={\frac {\lambda (x_{i})}{\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x.}}

जहाँ $\textstyle x_{i}$ स्वीकृति या अस्वीकृति के लिए विचाराधीन बिंदु है।

सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया

रेडॉन माप $\textstyle \Lambda$ का उपयोग करके प्वासों बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया^[21]^[91] या सामान्य प्वासों प्रक्रिया^[78] के रूप में जाना जाता है, जो कि स्थानीय-परिमित माप है। सामान्य तौर पर, यह रेडॉन माप $\textstyle \Lambda$ परमाणु हो सकता है, जिसका अर्थ है कि पॉसों बिंदु प्रक्रिया के कई बिंदु अंतर्निहित समष्टि के एक ही स्थान पर विद्यमान हो सकते हैं। इस स्थिति में, $\textstyle x$ पर बिंदुओं की संख्या $\textstyle \Lambda ({x})$ माध्य के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर होता है।^[91] लेकिन कभी-कभी विपरीत मान लिया जाता है, इसलिए रेडॉन माप $\textstyle \Lambda$ विसरित या गैर-परमाणु है।^[21]

बिंदु प्रक्रिया $\textstyle {N}$ , तीव्रता $\textstyle \Lambda$ के साथ सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया है, यदि इसमें निम्नलिखित दो गुण हैं:^[21]

परिबद्ध बोरेल समुच्चय $\textstyle B$ में अंकों की संख्या माध्य $\textstyle \Lambda (B)$ के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है। दूसरे शब्दों में, $\textstyle {N}(B)$ द्वारा $\textstyle B$ में स्थित अंकों की कुल संख्या को निरूपित करें, फिर यादृच्छिक चर $\textstyle {N}(B)$ के $\textstyle n$ के बराबर होने की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

\Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (B)}

$\textstyle n$ असंयुक्त बोरेल समुच्चय में बिंदुओं की संख्या $\textstyle n$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर बनाती है।

राडोन माप $\textstyle \Lambda$ परिबद्ध क्षेत्र $\textstyle B$ में स्थित $\textstyle {N}$ के बिंदुओं की अपेक्षित संख्या होने की अपनी पूर्व व्याख्या को बनाए रखता है, अर्थात्

\Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].

इसके अतिरिक्त, यदि $\textstyle \Lambda$ पूरी तरह से सतत होता है जैसे कि लेबेस्गु माप के संबंध में इसका घनत्व (जो रेडॉन-निकोडीम घनत्व या व्युत्पन्न है) है, तो सभी बोरेल समुच्चय $\textstyle B$ के लिए इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x,

जहां घनत्व $\textstyle \lambda (x)$ को अन्य पदों के साथ-साथ तीव्रता फलन के रूप में जाना जाता है।

इतिहास

प्वासों बंटन

इसके नाम के अतिरिक्त, प्वासों बिंदु प्रक्रिया की न तो खोज की गई और न ही फ्रांसीसी गणितज्ञ सिमोन डेनिस प्वासों द्वारा इसका अध्ययन किया गया; स्टिग्लर के नियम के उदाहरण के रूप में नाम का उल्लेख किया गया है।^[14]^[15] यह नाम प्वासों बंटन के साथ इसके अंतर्निहित संबंध से प्राप्त हुआ, जो प्वासों द्वारा द्विपद बंटन के किसी परिमित स्थिति के रूप में प्राप्त किया गया है।^[92] यह प्रायिकता $\textstyle p$ के साथ $\textstyle n$ बर्नौली परीक्षणों के योग की प्रायिकता का वर्णन करता है, जिसकी तुलना प्रायः हेड (या टेल) की संख्या के साथ की जाती है, जो एक सिक्के के $\textstyle n$ पक्षपाती फ़्लिप के बाद हेड (या टेल) की प्रायिकता $\textstyle p$ होती है। कुछ धनात्मक नियतांक $\textstyle \Lambda >0$ के लिए, जैसे-जैसे $\textstyle n$ अनंत की ओर बढ़ता है और $\textstyle p$ शून्य की ओर घटता जाता है जैसे कि उत्पाद $\textstyle np=\Lambda$ नियत हो जाता है, प्वासों बंटन द्विपद के अधिक निकट आ जाता है।^[93]

प्वासों ने $\textstyle p$ (शून्य से) और $\textstyle n$ (अनंत तक) की सीमा में द्विपद बंटन की जांच करके, 1841 में प्रकाशित, प्वासों बंटन को व्युत्पन्न किया। प्वासों के सभी फलनों में यह केवल एक बार प्रकट होता है,^[94] और उनके समय में परिणाम अच्छी तरह से ज्ञात नहीं था। बाद के वर्षों में फिलिप लुडविग वॉन सेडेल और अर्नेस्ट अब्बे सहित कई लोगों ने प्वासों का हवाला दिए बिना बंटन का उपयोग किया।^[95]^[14] उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में, लैडिसलॉस बोर्टकिविक्ज़ बंटन का फिर से अलग सेटिंग में अध्ययन करेगा (प्वासों का उल्लेखन करते हुए), वास्तविक डेटा के साथ बंटन का उपयोग करके प्रशिया सेना में हॉर्स किक से होने वाली मौतों की संख्या का अध्ययन करने के लिए।^[92]^[96]

खोज

प्वासों बिंदु प्रक्रिया के पहले उपयोग या खोज के लिए कई दावे हैं।^[14]^[15] उदाहरण के लिए, 1767 में प्वासों के जन्म से दस साल पहले, जॉन मिशेल ने एक सितारे के एक निश्चित क्षेत्र में दूसरे सितारे की प्रायिकता की रुपरेखा के बारे में रुचि दिखाई, असुमंगल या "केवल संयोग के द्वारा बिखेरे गए" सितारों की अनुमानित संख्या का अध्ययन किया और प्लेयडीज़ में छह सबसे चमकदार सितारों, प्वासों बंटन प्राप्त किए बिना। इस काम ने साइमन न्यूकॉम्ब को प्रभावित किया और उन्हें समस्या का अध्ययन करने और 1860 में द्विपद बंटन के लिए वर्गीकरण के रूप में प्वासों बंटन की गणना करने के लिए प्रेरित किया।^[15]

20वीं शताब्दी की शुरुआत में पोइसन प्रक्रिया (एक आयाम में) विभिन्न स्थितियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होगी।^[14]^[15] स्वीडन 1903 में, फिलिप लुंडबर्ग ने एक थीसिस प्रकाशित की जिसमें कार्य शामिल था, जिसे अब मौलिक और अग्रणी माना जाता है, जहां उन्होंने एक सजातीय प्वासों प्रक्रिया के साथ बीमा दावों को मॉडल करने का प्रस्ताव दिया।^[97]^[98]

1909 में डेनमार्क में एक अन्य खोज हुई जब ए.के. अर्लांग ने सीमित समय अंतराल में आने वाले फोन कॉलों की संख्या के लिए एक गणितीय मॉडल विकसित करते समय प्वासों बंटन की खोज की। उस समय अर्लांग को प्वासों के पहले के काम की जानकारी नहीं थी और उन्होंने माना कि प्रत्येक समय अंतराल में आने वाले फोन कॉलों की संख्या एक दूसरे के अन्यान्य हैं। फिर उन्होंने सीमित स्थिति को खोजा, जो प्रभावी रूप से प्वासों बंटन को द्विपद बंटन की सीमा के रूप में पुनर्स्थापित कर रही है।^[14]

1910 में अर्नेस्ट रदरफोर्ड और हंस गीजर ने अल्फा कणों की गणना पर प्रयोगात्मक परिणाम प्रकाशित किए। उनके प्रायोगिक कार्य में हैरी बेटमैन से गणितीय योगदान था, जिन्होंने अंतर समीकरणों के परिवार के समाधान के रूप में प्वासों प्रायिकताओं को व्युत्पन्न किया था, हालांकि समाधान पहले प्राप्त किया गया था, जिसके परिणामस्वरूप प्वासों प्रक्रिया की स्वतंत्र खोज हुई।^[14] इस समय के बाद प्वासों प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, लेकिन इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे जीवविज्ञानियों, पारिस्थितिकीविदों, इंजीनियरों और विभिन्न भौतिक वैज्ञानिकों द्वारा कई क्षेत्रों में प्रक्रिया के विभिन्न अनुप्रयोगों द्वारा समझाया गया है।^[14]

प्रारंभिक अनुप्रयोग

1909 के बाद के वर्षों में प्वासों बिंदु प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, हालांकि, इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे बायोलॉजिस्ट, पारिस्थितिकीविद, अभियंता और अन्य भौतिक विज्ञान में काम करने वाले लोगों ने इस प्रक्रिया के कई क्षेत्रों में अनेक अनुप्रयोगों के द्वारा समझाया है। प्रारंभिक परिणामों को विभिन्न भाषाओं और विभिन्न संस्करणों में प्रकाशित किया गया, जहां कोई मानक शब्दावली और नोटेशन का उपयोग नहीं हुआ।^[14] उदाहरण के लिए, 1922 में स्वीडिश रसायनविद और नोबेल पुरस्कार प्राप्तकर्ता थिओडोर स्वेडबर्ग ने एक मॉडल प्रस्तावित किया, जिसमें एक स्थानिक प्वासों बिंदु प्रक्रिया पौधों को अध्ययन करने के लिए उपयोगी है जो वनस्पति समुदायों में वितरित होते हैं।^[99] कई गणितज्ञों ने 1930 के दशक में प्रक्रिया का अध्ययन शुरू किया और इसमें एंड्री कोलमोगोरोव, विलियम फेलर और अलेक्सांद्र खींचीं,^[14] सहित अन्यों ने महत्वपूर्ण योगदान दिया।^[100] टेलीट्रैफिक अभियतंत्रिकी के क्षेत्र में, गणितज्ञों और सांख्यिकीयज्ञों ने प्वासों और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया और उन्हें उपयोग किया।^[101]

शब्दावली का इतिहास

1943 में स्वीडिश विद्वान कोनी पाम ने अपने विधानिका में एक विमीय स्थानिकता में प्वासों और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया, जहां उन्होंने समय के संबंध में बिंदु के बीच आपसी सांख्यिक या प्रसंभाव्य आधिपत्य की परीक्षा की।।^[102]^[101] उनके कार्य में पहली ज्ञात रूप से टर्म बिंदु प्रक्रियाओं का प्रयोग हुआ, जैसे कि जर्मन में पंकटप्रोज़ेस के रूप में शब्द बिंदु प्रक्रियाओं का पहला ज्ञात रिकॉर्ड विद्यमान है।^[102]^[15]

यह माना जाता है^[14] कि 1940 में विलियम फेलर ने इसे प्वासों प्रक्रिया के रूप में प्रिंट में पहली बार संदर्भित किया था। हालांकि, स्वीडिश विद्वान ओवे लुंडबर्ग ने अपने 1940 के डॉक्टरेट पेपर में भी इस शब्द का प्रयोग किया था,^[15] जिसमें फेलर को प्रभावित करने के रूप में स्वीकार किया गया था,^[103] लेकिन कहा गया है कि फेलर ने 1940 से पहले ही इस शब्द की सृजनशीलता की थी।^[93] यह बात बताई गई है कि फेलर और लुंडबर्ग दोनों ने इस शब्द का उपयोग ऐसे किया, जैसे यह पहले से प्रसिद्ध हो, इससे इसका अर्थ है कि यह तब से पहले ही बोली जाने वाली थी।^[15] फेलर 1936 से 1939 तक स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में हराल्ड क्रामर के साथ काम कर रहे थे, जहां लुंडबर्ग क्रामर के निर्देशन में एक डॉक्टरेट छात्र थे, जिन्होंने इस शब्द का उपयोग नहीं किया था, जिसकी पुस्तक को वे 1936 में पूरा कर चुके थे, लेकिन इसके बाद की संस्करणों में किया, जिससे यह संकेत मिला है कि प्वासों प्रक्रिया शब्द का निर्माण स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में 1936 से 1939 के बीच किया गया था।^[15]

शब्दावली

बिंदु प्रक्रिया सिद्धांत की शब्दावली सामान्य रूप से बहुत असमघातीय मानी जाती है।^[15] बिंदु शब्द को छोड़ दिया जाना एक साधारण बात है,^[65]^[2] समान प्वासों (बिंदु) प्रक्रिया को समघातीय प्वासों (बिंदु) प्रक्रिया के रूप में भी कहा जाता है,^[48] साथ ही यह स्थायी प्वासों (बिंदु) प्रक्रिया भी कहलाती है।^[43] असमघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया, असमघातीय के रूप के साथ ही,^[48] स्थायी प्वासों प्रक्रिया के रूप में भी उल्लेख की जाती है।^[75]^[104]

शब्द बिंदु प्रक्रिया की आलोचना की गई है, क्योंकि शब्द प्रक्रिया समय और स्थान के साथ सुझाव दे सकती है, इसलिए यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र,^[105] जिसके परिणामस्वरूप पोइसन यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र या प्वासों बिंदु क्षेत्र का भी उपयोग किया जाता है।^[106] एक बिंदु प्रक्रिया को माना जाता है, और कभी-कभी इसे एक यादृच्छिक गिनती माप कहा जाता है,^[107] इसलिए पॉसॉन बिंदु प्रक्रिया को एक प्वासों यादृच्छिक माप के रूप में भी जाना जाता है,^[108] लेवी प्रक्रियाओं के अध्ययन में प्रयुक्त शब्द,^[108]^[109] लेकिन कुछ लोग दो अलग-अलग अंतर्निहित स्थानों पर परिभाषित प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के लिए दो शब्दों का उपयोग करना चुनते हैं।^[110]

प्वासों बिंदु प्रक्रिया की आधारभूत गणितीय स्थान को "कैरियर समष्टि",^[111]^[112] या "स्थिति समष्टि" कहा जाता है, हालांकि इस्पात संदर्भ में दूसरा शब्द अलग अर्थ रखता है। बिंदु प्रक्रियाओं के संदर्भ में, "स्थिति समष्टि" शब्द का उपयोग बिंदु प्रक्रिया के परिभाषित स्थान को दर्शाने के लिए किया जा सकता है, जैसे वास्तविक रेखा,^[113]^[114] जो प्रसंभाव्य प्रक्रिया की शब्दावली में अनुक्रमणिका समुच्चय^[115]या पैरामीटर समुच्चय^[116] के समर्थन स्थान के तौर पर प्रतिष्ठित होती है।

माप $\textstyle \Lambda$ को तीव्रता माप कहा जाता है,^[117] औसत माप,^[38] या पैरामीटर माप,^[69] क्योंकि इसमें कोई मानक शब्द नहीं हैं।^[38] यदि $\textstyle \Lambda$ का व्युत्पन्न या घनत्व है, जिसे $\textstyle \lambda (x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है, तो प्वासों बिंदु प्रक्रिया का तीव्रता फलन कहा जाता है।^[21] समघातीय पोइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए, तीव्रता माप का व्युत्पन्न केवल स्थिर $\textstyle \lambda >0$ है, जिसे दर के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, आमतौर पर जब अंतर्निहित समष्टि वास्तविक रेखा या तीव्रता होती है।^[43] इसे औसत दर या औसत घनत्व^[118] या दर भी कहा जाता है।^[34] $\textstyle \lambda =1$ के लिए, संबंधित प्रक्रिया को कभी-कभी मानक प्वासों (बिंदु) प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।^[44]^[58]^[119]

प्वासों बिंदु प्रक्रिया की सीमा को कभी-कभी एक्सपोजर कहा जाता है।^[120]^[121]

अंकन (नोटेशन)

प्वासों बिंदु प्रक्रिया की नोटेशन इसकी स्थापना और उस क्षेत्र पर निर्भर करती है जिसमें इसका उपयोग हो रहा है। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर, प्वासों प्रक्रिया, समरूपी या असमरूपी दोनों, कभी-कभी एक गिनती प्रक्रिया के रूप में व्याख्या की जाती है, और नोटेशन $\textstyle \{N(t),t\geq 0\}$ का प्रयोग प्वासों प्रक्रिया को प्रतिष्ठान करने के लिए किया जाता है।^[31]^[34]

विभिन्न नोटेशन के लिए एक अन्य कारण बिंदु प्रक्रिया के सिद्धांत का हो सकता है, जिसके कुछ गणितीय व्याख्यान होते हैं। उदाहरण के लिए, साधारण प्वासों बिंदु प्रक्रिया को किसी यादृच्छिक समुच्चय के रूप में विचार किया जा सकता है, जिससे संकेतन $\textstyle x\in N$ दर्शाते है, जो प्रस्तावित करता है कि $\textstyle x$ प्वासों बिंदु प्रक्रिया $\textstyle N$ का एक यादृच्छिक बिंदु होता है या इसका तत्व होता है। एक अन्य अधिक सामान्य, व्याख्या यह है कि प्वासों या किसी अन्य बिंदु प्रक्रिया को किसी यादृच्छिक गणना माप के रूप में विचार किया जा सकता है, ताकि हम किसी (बोरेल माप्य) क्षेत्र $\textstyle B$ में पाए जाने वाले बिंदुओं की संख्या $\textstyle {N}$ को $\textstyle N(B)$ के रूप में लिख सकें, जो एक यादृच्छिक परिवर्तन है। इन विभिन्न व्याख्याओं के परिणामस्वरूप गणितीय क्षेत्रों जैसे माप सिद्धांत और सेट सिद्धांत से संकेतन का उपयोग किया जाता है।^[122]

सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, कभी-कभी बिंदु प्रतीक पर सबस्क्रिप्ट, उदाहरण के लिए $\textstyle x$ , सम्मिलित होता है अतः किसी व्यष्टि बिंदु को इसे छोड़कर (समुच्चय अंकन के साथ) $\textstyle x_{i}\in N$ के स्थान पर $\textstyle x\in N$ के रूप में लिखा जाता है, और ऐसे समाकल व्यंजकों में परिमित चर के लिए $\textstyle x$ का प्रयोग किया जा सकता है, जैसे कैम्पबेल के सिद्धांत में, जो यादृच्छिक बिंदुओं का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।^[19] कभी-कभी बड़ा अक्षर बिंदु प्रक्रिया को दर्शाता है, जबकि छोटा अक्षर प्रक्रिया से एक बिंदु को दर्शाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, बिंदु $\textstyle x$ या $\textstyle x_{i}$ बिंदु प्रक्रिया $\textstyle X$ का भाग होता है या उसका बिंदु होता है, और समुच्चय अंकन के साथ $\textstyle x\in X$ या $\textstyle x_{i}\in X$ के रूप में लिखा जा सकता है।^[114]

इसके अतिरिक्त, समुच्चय सिद्धांत और समाकल या माप सिद्धांत अंकन का परस्पर उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्टेट स्पेस $\textstyle {\mathbb {R} ^{d}}$ पर परिभाषित बिंदु प्रक्रिया $\textstyle N$ और $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ पर (मापने योग्य) फलन $\textstyle f$ के लिए, व्यंजक

\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\,\mathrm {d} N(x)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}),

दो विभिन्न विधियों को दिखाता है बिंदु प्रक्रिया पर एक योग को लिखने के लिए (कैम्पबेल की प्रमेय भी देखें (प्रायिकता))। अधिक विशेष रूप से, बाएं हाथ की ओर समाकल अंकन बिंदु प्रक्रिया को यादृच्छिक गणना माप के रूप में व्याख्या कर रहा है जबकि दाएं हाथ की ओर सम किसी यादृच्छिक समुच्चय व्याख्या प्रस्तावित करता है।^[122]

प्रकार्य और मोमेंट माप

प्रायिकता सिद्धांत में, विभिन्न उद्देश्यों के लिए यादृच्छिक संख्याओं पर संचालित किए जाते हैं। कभी-कभी ये संक्रियाएँ नियमित आपेक्षिक होती हैं जो किसी यादृच्छिक संख्या के औसत या प्रसारण का निर्माण करते हैं। अन्य, यादृच्छिक संख्या की विशेषता-कारक (या लाप्लास रूपांतरण) के रूप में उपयोग किए जा सकते हैं, जो यादृच्छिक संख्याओं की अद्वितीय पहचान करने या वर्गमूल सीमा सिद्धांत जैसे परिणामों को सिद्ध करने में सहायता प्रदान करते हैं।^[123] बिंदु प्रक्रिया के सिद्धांत में, इसी तरह के गणितीय साधन होते हैं जो सामान्यतः किसी माप और कार्यात्मक के रूप में होते हैं और किसी भी प्रकार के मोमेंट और फलन के के स्थान पर विद्यमान होते हैं।^[124]^[125]

लाप्लास प्रकार्य

किसी स्थान $X$ पर तीव्रता माप $\textstyle \Lambda$ के साथ किसी प्वासों बिंदु प्रक्रिया $\textstyle N$ के लिए, लाप्लास प्रकार्य निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:^[19]

L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},

कैंपबेल के प्रमेय के एक संस्करण में प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लाप्लास प्रकार्य सम्मिलित है।

प्रायिकता जनित्र फलन

गैर-ऋणात्मक पूर्णांक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का प्रायिकता जनित्र फलन किसी भी गैर-ऋणात्मक परिबद्ध फलन $\textstyle v$ पर $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ जैसे कि $\textstyle 0\leq v(x)\leq 1$ के संबंध में समान रूप से परिभाषित प्रायिकता जनित्र फलन की ओर जाता है। किसी बिंदु प्रक्रिया के लिए $\textstyle {N}$ प्रायिकता जनित्र फलन को परिभाषित किया गया है :^[126]

G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]

जहां गुणनफल ${\textstyle N}$ में सभी बिंदुओं के लिए किया जाता है। यदि $\textstyle {N}$ की तीव्रता माप $\textstyle \Lambda$ स्थानीय रूप से परिमित है, अतः ${\textstyle G}$ , $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ पर किसी भी मापनीय फलन $\textstyle u$ के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। तीव्रता माप $\textstyle \Lambda$ के साथ किसी प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए जनित्र फलन द्वारा दिया गया है:

G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},

जो समघाती स्थितियों में कम हो जाता है

G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.

मोमेंट माप

तीव्रता माप $\textstyle \Lambda$ के साथ एक सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए प्रथम मोमेंट माप इसकी तीव्रता माप है:^[19]^[20]

M^{1}(B)=\Lambda (B),

जो सतत तीव्रता $\textstyle \lambda$ के साथ समघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए है:

M^{1}(B)=\lambda |B|,

जहां $\textstyle |B|$ , $\textstyle B$ की लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन (या अधिक सामान्यतः, लेबेस्ग माप) है।

मेके समीकरण

मेके समीकरण प्वासों बिंदु प्रक्रिया की विशेषता बताता है। $\mathbb {N} _{\sigma }$ को कुछ सामान्य स्थान ${\mathcal {Q}}$ पर सभी $\sigma$ -परिमित उपायों का स्थान दें। ${\mathcal {Q}}$ पर तीव्रता $\lambda$ के साथ बिंदु प्रक्रिया $\eta$ प्वासों बिंदु प्रक्रिया है यदि और केवल यदि सभी मापनीय फलनों के लिए $f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}$ निम्नलिखित धारण करता है

\Pr \left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int \Pr \left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)

अधिक जानकारी के लिए देखें।^[127]

क्रमगुणित मोमेंट माप

तीव्रता माप $\textstyle \Lambda$ के साथ सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए $\textstyle n$ -वाँ तथ्यात्मक मोमेंट माप व्यंजक द्वारा दिया जाता है:^[128]

M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],

जहां $\textstyle \Lambda$ तीव्रता माप या $\textstyle {N}$ का प्रथम मोमेंट माप है, जो कि कुछ बोरेल समुच्चय $\textstyle B$ के द्वारा दिया जाता है

\Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].

किसी समघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए $\textstyle n$ -वां क्रमगुणित मोमेंट मात्र है:^[19]^[20]

M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,

जहां $\textstyle |B_{i}|$ , $\textstyle B_{i}$ की लंबाई, क्षेत्रफल, या आयतन (या अधिक सामान्य रूप से, लेबेस्ग माप) है। इसके अतिरिक्त, $\textstyle n$ -वां क्रमगुणित मोमेंट घनत्व है:^[128]

\mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.

परिवर्जन फलन

परिवर्जन फलन ^[72]या वोयड प्रायिकता ^[122] $\textstyle v$ बिंदु प्रक्रिया का $\textstyle {N}$ कुछ सेट के संबंध में परिभाषित किया गया है $\textstyle B$ , जो अंतर्निहित स्थान का सबसेट है $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ , बिना अंक की प्रायिकता के रूप में $\textstyle {N}$ में विद्यमान है $\textstyle B$ . ज्यादा ठीक,^[129] एक परीक्षण सेट के लिए $\textstyle B$ परिवर्जन फलन द्वारा दिया जाता है:

v(B)=\Pr\{N(B)=0\}.

तीव्रता माप $\textstyle \Lambda$ के साथ सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया $\textstyle {N}$ के लिए, इसका परिवर्जन फलन निम्न द्वारा दिया जाता है:

v(B)=e^{-\Lambda (B)}

रेनी की प्रमेय

साधारण बिंदु प्रक्रियाएं अपनी शून्यता प्रायिकताओं द्वारा पूर्ण रूप से वर्णीय होती हैं।^[130] अन्य शब्दों में, साधारण बिंदु प्रक्रिया की पूर्ण जानकारी शून्यता प्रायिकताओं में पूरी तरह से प्रतिष्ठित होती है, और यदि और केवल यदि दो साधारण बिंदु प्रक्रियाएं एक ही बिंदु प्रक्रियाएं हैं तो वे एक ही शून्यता प्रायिकताएं रखती हैं। प्वासों प्रक्रिया के लिए स्थिति को कभी-कभी रेनी के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो अल्फ्रेड रेनी द्वारा एक-विमा में समान प्रकार की किसी समानांतर बिंदु प्रक्रिया के स्थिति के लिए परिणाम की खोज करने के बाद नामित किया गया है।^[131]

एक रूप में,^[131] रेनी के सिद्धांत के अनुसार किसी विस्तरित (या गैर-अणुगत) रेडोन माप $\textstyle \Lambda$ पर $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ और एक समुच्चय $\textstyle A$ है जो वर्गों के परिमित संघ है (इसलिए बोरेल^{[lower-alpha 4]} नहीं है) तब यदि $\textstyle N$ ऐसा एक गणनीय उपसमुच्चय है जो $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ का एक संख्यात्मक उपसमुच्चय होता है, जिसकी शर्तें हैं:

\Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}

तो $\textstyle {N}$ तीव्रता माप $\textstyle \Lambda$ के साथ प्वासों बिंदु प्रक्रिया है।

बिंदु प्रक्रिया संक्रियाएँ

नई बिंदु प्रक्रियाओं को प्राप्त करने और कुछ वस्तुओं के स्थानों के लिए नए गणितीय मॉडल विकसित करने के लिए गणितीय संक्रिया बिंदु प्रक्रियाओं पर किया जा सकता है। ऑपरेशन के एक उदाहरण को थिनिंग के रूप में जाना जाता है, जिसमें एक नियम के अनुसार कुछ बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को हटाना सम्मिलित है, शेष बिंदुओं के साथ नई प्रक्रिया का निर्माण करना (हटाए गए बिंदु भी एक बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं)।^[133]

विरलन

प्वासों प्रक्रिया के लिए, स्वतंत्र $\textstyle p(x)$ -विरलन संक्रिया के परिणामस्वरूप एक और प्वासों बिंदु प्रक्रिया होती है। अधिक विशेष रूप से, तीव्रता माप $\textstyle \Lambda$ के साथ एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया पर लागू एक $\textstyle p(x)$ -विरलन संक्रिया हटाए गए बिंदुओं की एक बिंदु प्रक्रिया देता है जो प्वासों बिंदु प्रक्रिया $\textstyle {N}_{p}$ की तीव्रता माप $\textstyle \Lambda _{p}$ के साथ भी है, जो परिबद्ध बोरेल समुच्चय $\textstyle B$ के लिए दिया गया है:

\Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)

यह प्वासों बिंदु प्रक्रिया के विरलन का परिणाम कभी-कभी प्रेकोपा के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।^[134] इसके अतिरिक्त, प्वासों बिंदु प्रक्रिया को यादृच्छिक रूप से विरलन के बाद, शेष बिंदुओं भी प्वासों बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं, जिसका तीव्रता माप है

\Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).

हटाए गए और रखे गए बिंदुओं से क्रमशः बनने वाली दो अलग-अलग प्वासों बिंदु प्रक्रियाएं एक दूसरे से प्रसंभाव्य रूप से स्वतंत्र हैं।^[133] दूसरे शब्दों में, यदि किसी क्षेत्र को $\textstyle n$ रखे हुए बिंदुओं (मूल प्वासों बिंदु प्रक्रिया से) के लिए जाना जाता है, तो उसी क्षेत्र में हटाए गए बिंदुओं की यादृच्छिक संख्या पर इसका कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। यादृच्छिक रूप से एक से दो स्वतंत्र प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं को बनाने की इस क्षमता को कभी-कभी विभाजन^[135]^[136] प्वासों बिंदु प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।

अध्यारोपण

यदि बिंदु प्रक्रियाओं $\textstyle N_{1},N_{2},\dots$ का गणनीय संग्रह है, तो उनका अध्यारोपण, या, समुच्चय सिद्धांत लैंग्वेज में, उनका संघ, जो निम्नलिखित है^[137]

N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},

बिंदु प्रक्रिया भी बनाता है। दूसरे शब्दों में, किसी भी बिंदु प्रक्रिया $\textstyle N_{1},N_{2}\dots$ में स्थित कोई भी बिंदु इन बिंदु प्रक्रियाओं $\textstyle {N}$ के अध्यारोपण में स्थित होगा।

अध्यारोपण प्रमेय

प्वासों बिंदु प्रक्रिया के अध्यारोपण प्रमेय का कहना है कि औसत माप $\textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots$ के साथ स्वतंत्र प्वासों बिंदु प्रक्रिया $\textstyle N_{1},N_{2}\dots$ का अध्यारोपण भी औसत माप के साथ एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया होगी^[138]^[93]

\Lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.

दूसरे शब्दों में, दो (या गणनीय रूप से अधिक) प्वासों प्रक्रियाओं का यूनियन अन्य प्वासों प्रक्रिया है। यदि बिंदु ${\textstyle x}$ को प्वासों प्रक्रियाओं के गणनीय ${\textstyle n}$ यूनियन से सैंपल लिया जाता है, अतः प्रायिकता है कि बिंदु $\textstyle x$ , ${\textstyle j}$ यूनियन प्रक्रिया ${\textstyle N_{j}}$ के अंतर्गत आता है:

\Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\Lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\Lambda _{i}}}.

तीव्रता ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2}\dots }$ के साथ दो समघातीय प्वासों प्रक्रियाओं के लिए, पूर्व दो व्यंजक निम्नलिखित परिवर्तित हो जाते है

\lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i},

और

\Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}.

क्लस्टरिंग

जब किसी बिंदु प्रक्रिया $\textstyle {N}$ के प्रत्येक बिंदु $\textstyle x$ को दूसरे (संभवतः अलग) बिंदु प्रक्रिया से प्रतिस्थापित किया जाता है, तब ऑपरेशन क्लस्टरिंग का उपयोग किया जाता है। यदि मूल प्रक्रिया $\textstyle {N}$ प्वासों बिंदु प्रक्रिया है, तो परिणामस्वरूपी प्रक्रिया $\textstyle {N}_{c}$ को प्वासों क्लस्टर बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है।

यादृच्छिक विस्थापन

गणितीय मॉडल को कभी-कभी यादृच्छिक रूप से गतिमान बिंदुओं की आवश्यकता होती है ताकि उन्हें मूल गणितीय समष्टि पर अन्य स्थानों पर ले जाया जा सके, जिससे बिंदु प्रक्रिया संक्रिया का उत्पन्न होता है जिसे 'स्थानांतरण'^[139] या 'स्थानांकन'^[140] के नाम से जाना जाता है। प्वासों बिंदु प्रक्रिया का उपयोग करके, उदाहरण के लिए, पौधों के पीढ़ियों के बीच चलने का मॉडल बनाने के लिए उपयोग किया गया है, जो 'स्थानांतरण सिद्धांत'^[139] के कारण है, जिसका ठीक-ठीक अर्थ होता है कि प्वासों बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं का यादृच्छिक स्वतंत्र स्थानांतरण (एक ही मूल समष्टि पर) दूसरी प्वासों बिंदु प्रक्रिया बनाता है।

विस्थापन प्रमेय

किसी संस्करण में, स्थानांतरण सिद्धांत^[139] में प्वासों बिंदु प्रक्रिया $\textstyle {N}$ को $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ पर तीव्रता फलन $\textstyle \lambda (x)$ के साथ निर्धारित किया जाता है। इसके बाद माना जाता है कि $\textstyle {N}$ के बिंदुओं को यादृच्छिक रूप से $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ में कहीं और स्थानांतरित किया जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का स्थानांतरण स्वतंत्र होता है और एक का विस्थापन पूर्व में $\textstyle x$ पर बिंदु प्रायिकता घनत्व $\textstyle \rho (x,\cdot )$ के साथ यादृच्छिक सदिश होता है।^{[lower-alpha 5]} इसके बाद स्थानांतरण से प्राप्त होने वाली नई बिंदु प्रक्रिया, जिसे $\textstyle N_{D}$ के रूप में चिह्नित किया जाता है, भी प्वासों बिंदु प्रक्रिया होती है जिसका तीव्रता फलन

\lambda _{D}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\lambda (x)\rho (x,y)\,\mathrm {d} x.

यदि प्वासों प्रक्रिया $\textstyle \lambda (x)=\lambda >0$ के साथ समघातीय है और यदि $\rho (x,y)$ , $y-x$ का फलन है, अतः

\lambda _{D}(y)=\lambda .

दूसरे शब्दों में, बिंदुओं के प्रत्येक यादृच्छिक और स्वतंत्र विस्थापन के बाद, मूल प्वासों बिंदु प्रक्रिया अभी भी विद्यमान है।

विस्थापन प्रमेय को विस्थापित किया जा सकता है ताकि प्वासों बिंदुओं को यूक्लिडियन समष्टि $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ से यूक्लिडियन समष्टि $\textstyle \mathbb {R} ^{d'}$ में यादृच्छिक रूप से विस्थापित किया जाए, जहां $\textstyle d'\geq 1$ , $\textstyle d$ के बराबर नहीं होता है।^[19]

मैपिंग

अन्य गुणधर्म जिसे उपयोगी माना जाता है वह अंतर्निहित समष्टि से दूसरे स्थान पर प्वासों बिंदु प्रक्रिया को मैप करने की क्षमता है।^[141]

मैपिंग प्रमेय

यदि मैपिंग (या परिवर्तन) कुछ शर्तों का पालन करता है, तो परिणामस्वरूप मैप किए गए (या परिवर्तित) बिंदुओं का संग्रह भी प्वासों बिंदु प्रक्रिया बनाता है, और इस परिणाम को कभी-कभी मैपिंग सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[141]^[142] यह सिद्धांत किसी मूलभूत स्थान पर कुछ प्वासों बिंदु प्रक्रिया के साथ संबंधित होता है जिसमें माध्यम माप $\textstyle \Lambda$ होती है। यदि बिंदुओं की स्थानों को किसी फलन के अनुसार (अर्थात बिंदु प्रक्रिया परिवर्तित की जाती है) किसी अन्य मूलभूत स्थान में मैप किया जाता है, तो परिणामस्वरूप बिंदु प्रक्रिया भी एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया होती है, लेकिन एक अलग माध्यम माप $\textstyle \Lambda '$ के साथ।

अधिक विशेष रूप से, (बोरेल मापने योग्य) फलन $\textstyle f$ पर विचार किया जा सकता है जो बिंदु प्रक्रिया $\textstyle {N}$ को तीव्रता माप $\textstyle \Lambda$ के साथ किसी स्थान $\textstyle S$ से दूसरे स्थान $\textstyle T$ तक इस तरह से मैप करता है ताकि नई बिंदु प्रक्रिया $\textstyle {N}'$ में तीव्रता का माप हो:

\Lambda (B)'=\Lambda (f^{-1}(B))

जहां $\textstyle B$ बोरेल समुच्चय है और $\textstyle f^{-1}$ फलन $\textstyle f$ का व्युत्क्रम होता है, जहाँ कोई अणु नहीं होते हैं। यदि $\textstyle {N}$ प्वासों बिंदु प्रक्रिया है, तो नवीन प्रक्रिया $\textstyle {N}'$ भी प्वासों बिंदु प्रक्रिया है जिसमें घनत्व माप $\textstyle \Lambda '$ होती है।

प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के साथ सन्निकटन

प्वासों प्रक्रिया की अनुकरणीयता का अर्थ है कि कभी-कभी गैर-प्वासों बिंदु प्रक्रिया को प्वासों प्रक्रिया से अनुमानित करना सुविधाजनक होता है। समग्र उद्देश्य है किसी बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या और प्रत्येक बिंदु के स्थान को प्वासों बिंदु प्रक्रिया से अनुमानित करना।^[143] ऐसे कई तरीके हैं जो प्रायोगिक या कठोर रूप से उचित पोइसन बिंदु प्रक्रियाओं के साथ यादृच्छिक घटनाओं या घटनाओं की घटना का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। अधिक कठोर रूप से प्वासों और गैर-प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के बीच प्रायोगिक मेट्रिक्स के बारे में ऊपरी सीमाओं को प्राप्त करने में संलग्न होते हैं, जबकि अन्य विधियों को कम औपचारिक अनुमानों द्वारा तार्किकतापूर्वक विवर्णित किया जा सकता है।^[144]

क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक

प्वासों प्रक्रियाओं के साथ यादृच्छिक घटनाओं या परिघटनाओं का पूर्वानुमान के लिए एक विधि को क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक कहा जाता है।^[145] सामान्य हेयुरिस्टिक या सिद्धांत में प्वासों बिंदु प्रक्रिया (या प्वासों बंटन) का उपयोग अनुमानित घटनाओं के लिए करना सम्मिलित है, जिन्हें कुछ प्रसंभाव प्रक्रिया के दुर्लभ या असंभावित माना जाता है। कुछ स्थितियों में ये दुर्लभ घटनाएं स्वतंत्र होने के निकट हैं, इसलिए प्वासों बिंदु प्रक्रिया का उपयोग किया जा सकता है। जब घटनाएँ स्वतंत्र नहीं होती हैं, लेकिन क्लंपस या क्लस्टर में घटित होती हैं, तो यदि इन क्लस्टर को उपयुक्त रूप से इस तरह परिभाषित किया जाता है कि वे लगभग दूसरे से स्वतंत्र हैं, अतः घटित होने वाले क्लस्टर की संख्या प्वासों यादृच्छिक चर के निकट होगी^[144] और क्लस्टर का स्थान प्वासों प्रक्रिया के समीप होगा।^[145]

स्टीन की विधि

स्टीन की विधि एक गणितीय तकनीक है जिसे मूल रूप से गॉसियन और प्वासों चर जैसे यादृच्छिक चर के अनुमान के लिए विकसित किया गया था, जिसे बिंदु प्रक्रियाओं पर भी लागू किया गया है। स्टीन की विधि का उपयोग प्रायिकता आव्यूह पर ऊपरी परिबंध को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जो यह निर्धारित करने की विधि प्रदान करता है कि दो भिन्न-भिन्न यादृच्छिक गणितीय वस्तुएं प्रसंभाव्य रूप से कैसे परिवर्तित हैं।^[146]^[147] प्रायिकता आव्यूह पर ऊपरी परिबंध जैसे कि कुल भिन्नता और वासेरस्टीन दूरी को व्युत्पन्न किया गया है।^[143]

शोधकर्ताओं ने स्टीन की विधि को कई तरीकों से प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं पर लागू किया है,^[143] जैसे कि पाम कैलकुलस का उपयोग करना।^[112] स्टीन की विधि पर आधारित तकनीकों को ऊपरी परिबंध में विरलन और अध्यारोपण जैसे कुछ बिंदु प्रक्रिया संक्रिया के प्रभावों को प्रभावित करने के लिए विकसित किया गया है।^[148]^[149] स्टीन की विधि का उपयोग प्वासों के आव्यूह और कॉक्स बिंदु प्रक्रिया जैसी अन्य प्रक्रियाओं पर ऊपरी परिबंध को प्राप्त करने के लिए भी किया गया है, जो यादृच्छिक तीव्रता माप के साथ प्वासों प्रक्रिया है।^[143]

प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए कन्वर्जेन्स

सामान्यतः, जब किसी साधारण बिंदु प्रक्रिया पर कोई आपरेशन लागू किया जाता है, तो परिणामस्वरूप प्रक्रिया आमतौर पर एक प्वासों पॉइंट प्रक्रिया नहीं होती है। उदाहरण के लिए, यदि किसी बिंदु प्रक्रिया को, प्वासों के अतिरिक्त, इसके बिंदुओं को यादृच्छिक और स्वतंत्र रूप से विस्थापित किया जाता है, तो प्रक्रिया आवश्यकतापूर्वक एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया नहीं होगी। हालांकि, मूल बिंदु प्रक्रिया और यादृच्छिक विस्थापन के लिए निश्चित गणितीय शर्तों के तहत, सीमा सिद्धांतों के माध्यम से दिखाया गया है कि यदि एक बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को यादृच्छिक और स्वतंत्र रूप से बार-बार विस्थापित किया जाए, तो बिंदु प्रक्रिया की सीमित बंटन (दुर्बल रूप से) प्वासों बिंदु प्रक्रिया के बराबर होगी।^[150]

विरलन और अध्यारोपण संक्रियाओं के लिए भी ऐसे संघटकता परिणाम विकसित किए गए हैं^[150] जो दिखाते हैं कि ऐसी पुनरावृत्त संक्रियाओं को बिंदु प्रक्रियाओं पर अनुमानित करने पर यदि उचित तीव्रता माप का संगठन किया जाए (अन्यथा परिणामस्वरूप बिंदु प्रक्रियाओं के तीव्रता माप के मान शून्य या अनंत की ओर पहुंचेंगे), तो प्रक्रिया प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के संगत बराबर हो सकती है। ऐसी संघटना कार्य सीधे उन परिणामों से संबंधित होती है जिन्हें पाम-खिंचिन^{[lower-alpha 6]} समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसकी उत्पत्ति कॉनी पाम और अलेक्सांदर खिंचिन के कार्य में हुई है,^[151] और यह समझने में मदद करती है कि प्वासों प्रक्रिया अकस्मात घटित होने वाले विभिन्न यादृच्छिक प्रभावों के गणितीय मॉडल के रूप में प्रायः उपयोग की जा सकती है।^[150]

प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं का सामान्यीकरण

प्वासों बिंदु प्रक्रिया को विस्तारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, तीव्रता माप को परिवर्तित करके या अधिक सामान्य गणितीय स्थानों पर परिभाषित करके। इन सामान्यीकरणों का गणितीय अध्ययन किया जा सकता है साथ ही इनका उपयोग गणितीय रूप से भौतिक प्रभावों के मॉडल बनाने या प्रतिष्ठित करने के लिए किया जा सकता है।

प्वासों-प्रकार का यादृच्छिक माप

प्वासों प्रकार के यादृच्छिक माप (पीटी) विविधता यादृच्छिक गणना माप के समूह होते हैं जो उपगणमें सीमित करने के अंतर्गत होते हैं, अर्थात् बिन्दु प्रक्रिया आपरेशन#थिनिंग के अंतर्गत सीमित होते हैं। ये यादृच्छिक माप मिश्रित द्विपद प्रक्रिया के उदाहरण हैं और प्वासों यादृच्छिक माप की बंटनात्मक स्व-समानता गुणधर्म साझा करते हैं। ये बंटनात्मक स्व-समानता गुणधर्म वाले बंटनों के कैननिक गैर-ऋणात्मक श्रेणी के अद्यावधिक सदस्य हैं और प्वासों बंटन, ऋणात्मक द्विपद बंटन और द्विपद बंटन को सम्मिलित करते हैं। प्वासों यादृच्छिक माप अलग-अलग उपगणों पर स्वतंत्र होता है, जबकि अन्य पीटी यादृच्छिक माप (ऋणात्मक द्विपद और द्विपद) का धनात्मक और ऋणात्मक सह-संयोजन होता है। पीटी यादृच्छिक माप पर चर्चा की जाती है^[152] और इसमें प्वासों यादृच्छिक माप, ऋणात्मक द्विपद यादृच्छिक माप और द्विपद यादृच्छिक माप सम्मिलित होते हैं।

अधिक सामान्य समष्टियों पर प्वासों बिंदु प्रक्रियाएं

गणितीय मॉडल के लिए प्वासों बिंदु प्रक्रिया को प्रायः यूक्लिडियन समष्टि में परिभाषित किया जाता है,^[1]^[38] लेकिन इसे अधिक ऑब्स्ट्रक्ट समष्टियों के लिए सामान्यीकृत किया गया है और यादृच्छिक मापों के अध्ययन में मौलिक भूमिका निभाता है,^[153]^[154] जिसके लिए प्रायिकता सिद्धांत, माप सिद्धांत और टोपोलॉजी जैसे गणितीय क्षेत्रों की समझ आवश्यक है।^[155]

सामान्य तौर पर, दूरी की अवधारणा अनुप्रयोगों के लिए व्यावहारिक रुचि की है, जबकि पाम वितरण के लिए टोपोलॉजिकल संरचना की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि बिंदु प्रक्रियाओं को सामान्यतः आव्यूह के साथ गणितीय समष्टि पर परिभाषित किया जाता है।^[156] इसके अतिरिक्त, बिंदु प्रक्रिया की प्राप्ति को गणना की माप के रूप में माना जा सकता है, इसलिए बिंदु प्रक्रियाएं एक प्रकार के यादृच्छिक उपाय हैं जिन्हें यादृच्छिक गणना के माप के रूप में जाना जाता है।^[119] इस संदर्भ में, प्वासों और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन स्थानीय रूप से सघन द्वितीय गणनीय हॉउसडॉर्फ स्थान पर किया गया है।^[157]

कॉक्स बिंदु प्रक्रिया

कॉक्स बिंदु प्रक्रिया, कॉक्स प्रक्रिया या दोगुनी प्रसंभाव्य प्वासों प्रक्रिया प्वासों बिंदु प्रक्रिया का सामान्यीकरण है, इसकी तीव्रता माप $\textstyle \Lambda$ को भी यादृच्छिक और अंतर्निहित प्वासों प्रक्रिया से स्वतंत्र होने की अनुमति देती है। इस प्रक्रिया का नाम डेविड कॉक्स के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1955 में प्रस्तुत किया था, हालांकि अन्य प्वासों प्रक्रियाओं को यादृच्छिक तीव्रता के साथ स्वतंत्र रूप से लुसिएन ले कैम और मौरिस क्वेनौइल द्वारा पहले ही प्रस्तुत किया गया था।^[15] तीव्रता माप यादृच्छिक चर या यादृच्छिक क्षेत्र की प्राप्ति हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि तीव्रता माप का लघुगणक गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र है, तो परिणामी प्रक्रिया को लघुगणक गॉसियन कॉक्स प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।^[158] अधिक सामान्यतः, तीव्रता के उपाय एक गैर-ऋणात्मक स्थानीय परिमित यादृच्छिक माप की प्राप्ति है। कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं बिंदुओं के क्लस्टरिंग को प्रदर्शित करती हैं, जिन्हें गणितीय रूप से प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं की तुलना में बड़ा दिखाया जा सकता है। कॉक्स प्रक्रियाओं की व्यापकता और सुवाह्यता के परिणामस्वरूप उन्हें स्थानिक सांख्यिकी^[159] और वायरलेस नेटवर्क^[20] जैसे क्षेत्रों में मॉडल के रूप में उपयोग किया जा रहा है।

चिह्नित प्वासों बिंदु प्रक्रिया

एक चिह्नित बिंदु प्रक्रिया का एक उदाहरण, जहां अचिह्नित बिंदु प्रक्रिया को सकारात्मक वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया गया है, जो अक्सर समय का प्रतिनिधित्व करती है। यादृच्छिक चिह्न स्थिति समष्टि में मान लेते हैं

S

मार्क स्पेस के रूप में जाना जाता है। ऐसी किसी भी चिह्नित बिंदु प्रक्रिया की व्याख्या अंतरिक्ष पर एक अचिह्नित बिंदु प्रक्रिया के रूप में की जा सकती है

[0,\infty ]\times S

. अंकन प्रमेय का कहना है कि यदि मूल अचिह्नित बिंदु प्रक्रिया एक पॉसॉन बिंदु प्रक्रिया है और निशान प्रसंभाव्य रूप से स्वतंत्र हैं, तो चिह्नित बिंदु प्रक्रिया भी एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया है

[0,\infty ]\times S

. यदि पॉसों बिंदु प्रक्रिया समघाती है, तो अंतराल

\tau _{i}

आरेख में एक घातीय बंटन से तैयार किए गए हैं।

दिए गए बिन्दु प्रक्रिया के लिए, प्रत्येक यादृच्छिक बिंदु के साथ एक यादृच्छिक गणितीय वस्तु, जिसे अंकित कहा जाता है, यादृच्छिक रूप से समर्पित किया जा सकता है। ये अंक अभिविन्यासी रूप से पूर्णांक, वास्तविक संख्याएँ, रेखाएँ, ज्यामिति वस्तुएँ या अन्य बिंदु प्रक्रियाएं हो सकती हैं। [156][157] बिंदु प्रक्रिया का बिंदु और इसके संबंधित अंक का योग होने पर मर्किंग बिंदु कहलाता है, और सभी मार्किंग बिंदु परिक्रिया को एक मार्किंग बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं। [158] यह आमतौर पर माना जाता है कि यादृच्छिक अंक एक दूसरे के निरपेक्ष होते हैं और समान वितरित होते हैं, हालांकि, बिंदु का अंक अपने अंतर्निहित (स्थिति) समष्टि में उसके संबंधित बिंदु की स्थान पर भी निर्भर कर सकता है।^[160] यदि अंतर्निहित बिंदु प्रक्रिया पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है, तो परिणामस्वरूपी बिंदु प्रक्रिया एक मार्किंग पॉयसन बिंदु प्रक्रिया होती है।^[161] बिंदु प्रक्रिया के एक बिंदु और उसके संबंधित चिह्न वाली जोड़ी को एक चिह्नित बिंदु कहा जाता है, और सभी चिह्नित बिंदु एक चिह्नित बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं।^[162] अक्सर यह माना जाता है कि यादृच्छिक अंक एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं और समान रूप से वितरित होते हैं, फिर भी एक बिंदु का निशान अंतर्निहित (राज्य) स्थान में इसके संबंधित बिंदु के स्थान पर निर्भर हो सकता है। ^[163] यदि अंतर्निहित बिंदु प्रक्रिया एक प्वॉइसन बिंदु प्रक्रिया है, तो परिणामी बिंदु प्रक्रिया एक चिन्हित पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है। ^[164]

अंकन प्रमेय

यदि किसी साधारण बिंदु प्रक्रिया को किसी गणितीय समष्टि पर परिभाषित किया जाता है और यादृच्छिक अंक किसी अन्य गणितीय समष्टि पर परिभाषित किए जाते हैं, तो अंकन बिंदु प्रक्रिया उन दोनों स्थानों के कार्तीय गुणांक पर परिभाषित होती है। यदि अंकन प्वासों बिंदु प्रक्रिया में यादृच्छिक और समान वितरित अंक हों, तो अंकन सिद्धांत^[163]^[165] कहता है कि यह अंकन बिंदु प्रक्रिया उसी उपरोक्त गणितीय स्थानों के कार्तीय गुणांक पर परिभाषित (गैर-अंकन) प्वासों बिंदु प्रक्रिया भी होती है, जो साधारण बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सत्य नहीं है।

संयुक्त प्वासों बिंदु प्रक्रिया

संयुक्त प्वासों बिंदु प्रक्रिया या संयुक्त प्वासों प्रक्रिया, किसी अंतर्निहित समष्टि पर परिभाषित प्वासों बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु में यादृच्छिक मान या वजन को जोड़कर बनाई जाती है, इस प्रक्रिया को अंकन प्वासों बिंदु प्रक्रिया से निर्मित किया जाता है, जहां अंक संग्रह स्वतंत्र और समान वितरित गैर-ऋणात्मक स्थिरांक होते हैं। अन्य शब्दों में, मूल प्वासों प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु के लिए एक स्वतंत्र और समान वितरित गैर-ऋणात्मक स्थिरांक होता है, और फिर संयुक्त प्वासों प्रक्रिया को निर्मित किया जाता है जो उपर्युक्त गणितीय स्थान के कुछ क्षेत्र में स्थित प्वासों प्रक्रिया के बिंदुओं के सभी स्वतंत्र और समान वितरित गैर-ऋणात्मक स्थिरांकों के योग से बनी होती है।^[166]

यदि किसी प्वासों पॉइंट प्रक्रिया $\textstyle N$ (जो, उदाहरण के लिए, $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ पर परिभाषित होती है) और स्वतंत्र और समान वितरित गैर-ऋणात्मक बिंदु $\textstyle \{M_{i}\}$ के एक संग्रह के बिंदुगामी प्वासों बिंदु प्रक्रिया के रूप में निर्मित किया जाता है, जिसके लिए प्वासों प्रक्रिया $\textstyle N$ के प्रत्येक बिंदु $\textstyle x_{i}$ के लिए एक गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक परिवर्तन $\textstyle M_{i}$ होता है, तो परिणामस्वरूपी संयुक्त प्वासों प्रक्रिया निम्नलिखित होती है:^[167]

C(B)=\sum _{i=1}^{N(B)}M_{i},

जहां $\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}$ बोरेल मापनीय समुच्चय है।

यदि सामान्य यादृच्छिक चर $\textstyle \{M_{i}\}$ मान लेते हैं, उदाहरण के लिए, $\textstyle d$ -विमीय यूक्लिडियन समष्टि $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ , परिणामी यौगिक प्वासों प्रक्रिया लेवी प्रक्रिया का एक उदाहरण है, बशर्ते कि यह गैर-नकारात्मक संख्या $\textstyle [0,\infty )$ पर परिभाषित एक समघातीय बिंदु प्रक्रिया $\textstyle N$ से बनाई गई हो^[168]

तीव्रता फलनों का घातीय संरेखण के साथ विफलता प्रक्रिया

अविस्मरण त्रुटि प्रक्रिया जिसमें आंतरिकता समीकरणों की व्यापक स्मूदन साथ एकाधिक की प्रकार होती है (एफपी-ईएसआई), गैरसमग्र प्वासों प्रक्रिया का विस्तार है। एफपी-ईएसआई की आंतरिकता समीकरण एक समीकरण की तरह होती है जिसमें घटना घटनाओं के अंतिम समय बिंदुओं पर आंतरिकता समीकरणों की संरेखण फलन होती है और यह मॉडल डेटासेट्स को फिट करने के लिए उपयोग किए जाने पर 8 वास्तविक दुनिया के असफलता डेटासेट पर अन्य नौ स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं से बेहतर प्रदर्शन करती है, जहां मॉडल की प्रदर्शन का माप एआईसी (अकयके सूचना माप) और बीआईसी (बायेसियन सूचना मानदंड) के माध्यम से किया जाता है।^[169]

यह भी देखें

बूलियन मॉडल (प्रायिकता सिद्धांत)
सातत्य अंत:स्त्राव सिद्धांत
यौगिक प्वासों प्रक्रिया
कॉक्स प्रक्रिया
बिंदु प्रक्रिया
प्रसंभाव्य ज्यामिति
वायरलेस नेटवर्क के प्रसंभाव्य ज्यामिति मॉडल
मार्कोवियन एराइवल प्रक्रियाएं

↑ See Section 2.3.2 of Chiu, Stoyan, Kendall, Mecke^[1] or Section 1.3 of Kingman.^[2]
↑ For example, it is possible for an event not happening in the queueing theory sense to be an event in the probability theory sense.
↑ Instead of $\textstyle \lambda (x)$ and $\textstyle {\mathrm {d} }x$ , one could write, for example, in (two-dimensional) polar coordinates $\textstyle \lambda (r,\theta )$ and ${\textstyle r\,dr\,d\theta }$ , where $\textstyle r$ and $\textstyle \theta$ denote the radial and angular coordinates respectively, and so $\textstyle {\mathrm {d} }x$ would be an area element in this example.
↑ This set $\textstyle A$ is formed by a finite number of unions, whereas a Borel set is formed by a countable number of set operations.^[132]
↑ Kingman^[139] calls this a probability density, but in other resources this is called a probability kernel.^[19]
↑ Also spelt Palm–Khintchine in, for example, Point Processes by Cox & Isham (1980, p. 41)

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किताबें

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[39] See Section 2.3.2 of Chiu, Stoyan, Kendall, Mecke^[1] or Section 1.3 of Kingman.^[2]

[50] For example, it is possible for an event not happening in the queueing theory sense to be an event in the probability theory sense.

[75] Instead of $\textstyle \lambda (x)$ and $\textstyle {\mathrm {d} }x$ , one could write, for example, in (two-dimensional) polar coordinates $\textstyle \lambda (r,\theta )$ and ${\textstyle r\,dr\,d\theta }$ , where $\textstyle r$ and $\textstyle \theta$ denote the radial and angular coordinates respectively, and so $\textstyle {\mathrm {d} }x$ would be an area element in this example.

[136] This set $\textstyle A$ is formed by a finite number of unions, whereas a Borel set is formed by a countable number of set operations.^[132]

[145] Kingman^[139] calls this a probability density, but in other resources this is called a probability kernel.^[19]

[156] Also spelt Palm–Khintchine in, for example, Point Processes by Cox & Isham (1980, p. 41)

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-[[File:Poisson process.svg|thumb|alt=Poisson point process|एक पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया की एक दृश्यानुकरणिका, जिसमें 0 से शुरू होते हुए वृद्धि λ दर पर सतत और स्वतंत्र रूप से होती हैं।]]प्रायिकता, सांख्यिकी और संबंधित क्षेत्रों में, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया एक प्रकार का यादृच्छिक [[गणितीय वस्तु|गणितीय प्रयोजन]] है जो [[गणितीय स्थान|गणितीय समष्टि]] पर यादृच्छिक रूप से स्थानांतरित होने वाले [[बिंदु (ज्यामिति)|बिन्दुओं]] से मिलकर बनता है, जहां महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि ये बिन्दु एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से होते हैं।<ref name="ChiuStoyan2013">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3}}</ref> पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को सामान्यतः पॉयसन प्रक्रिया कहा जाता है, लेकिन इसे पॉयसन यादृच्छिक माप, पॉयसन यादृच्छिक बिन्दु क्षेत्र या पॉयसन पॉइंट फ़ील्ड भी कहा जाता है। यह [[बिंदु प्रक्रिया]] उचित गणितीय गुणों के साथ होती है,<ref name="Kingman1992">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2}}</ref> जिसके कारण इसे [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडीयन समष्टि]] में प्रायः परिभाषित किया जाता है और यह [[खगोल|खगोल शास्त्र]],<ref name="babu1996spatial">G. J. Babu and E. D. Feigelson. Spatial point processes in astronomy. ''Journal of statistical planning and inference'', 50(3):311–326, 1996.</ref> जीव-विज्ञान,<ref name="othmer1988models">H. G. Othmer, S. R. Dunbar, and W. Alt. Models of dispersal in biological systems. ''Journal of mathematical biology'', 26(3):263–298, 1988.</ref> पारिस्थितिकी,<ref name="thompson1955spatial">H. Thompson. Spatial point processes, with applications to ecology. ''Biometrika'', 42(1/2):102–115, 1955.</ref> भूविज्ञान,<ref name="connor1995three">C. B. Connor and B. E. Hill. Three nonhomogeneous poisson models for the probability of basaltic volcanism: application to the yucca mountain region, nevada. ''Journal of Geophysical Research: Solid Earth (1978–2012)'', 100(B6):10107–10125, 1995.</ref> [[भूकंप विज्ञान]],<ref>{{Cite journal|last1=Gardner|first1=J. K.|last2=Knopoff|first2=L.|date=1974|title=Is the sequence of earthquakes in Southern California, with aftershocks removed, Poissonian?|url=https://pubs.geoscienceworld.org/ssa/bssa/article-abstract/64/5/1363/117341/is-the-sequence-of-earthquakes-in-southern|journal=Bulletin of the Seismological Society of America|volume=64|issue=5 |pages=1363–1367|doi=10.1785/BSSA0640051363 |bibcode=1974BuSSA..64.1363G |s2cid=131035597 }}</ref> [[भौतिक विज्ञान]],<ref name="scargle1998studies">J. D. Scargle. Studies in astronomical time series analysis. v. bayesian blocks, a new method to analyze structure in photon counting data. ''The Astrophysical Journal'', 504(1):405, 1998.</ref> अर्थशास्त्र,<ref name="AghionHowitt1992">P. Aghion and P. Howitt. A Model of Growth through Creative Destruction. ''Econometrica'', 60(2). 323–351, 1992.</ref> [[मूर्ति प्रोद्योगिकी|छवि प्रसंस्करण]],<ref name="bertero2009image">M. Bertero, P. Boccacci, G. Desidera, and G. Vicidomini. Image deblurring with poisson data: from cells to galaxies. ''Inverse Problems'', 25(12):123006, 2009.</ref><ref>{{cite web | url=https://caseymuratori.com/blog_0010 | title=The Color of Noise }}</ref> और दूरसंचार जैसे विभिन्न शास्त्रों में आपूर्ति-मांग मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref name="baccelli2009stochastic2">F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. ''Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume II- Applications'', volume 4, No 1–2 of ''Foundations and Trends in Networking''. NoW Publishers, 2009.</ref><ref name="Haenggi2009">M. Haenggi, J. Andrews, F. Baccelli, O. Dousse, and M. Franceschetti. Stochastic geometry and random graphs for the analysis and design of wireless networks. ''IEEE JSAC'', 27(7):1029–1046, September 2009.</ref>
+[[File:Poisson process.svg|thumb|alt=Poisson point process|प्वासों बिंदु प्रक्रिया की एक दृश्यानुकरणिका, जिसमें 0 से शुरू होते हुए वृद्धि λ दर पर सतत और स्वतंत्र रूप से होती हैं।]]प्रायिकता, सांख्यिकी और संबंधित क्षेत्रों में, '''प्वासों बिंदु प्रक्रिया''' एक प्रकार का यादृच्छिक [[गणितीय वस्तु|गणितीय प्रयोजन]] है जो [[गणितीय स्थान|गणितीय समष्टि]] पर यादृच्छिक रूप से स्थानांतरित होने वाले [[बिंदु (ज्यामिति)|बिन्दुओं]] से मिलकर बनता है, जहां महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि ये बिन्दु एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से होते हैं।<ref name="ChiuStoyan2013">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3}}</ref> प्वासों बिंदु प्रक्रिया को सामान्यतः '''प्वासों प्रक्रिया''' कहा जाता है, लेकिन इसे '''प्वासों यादृच्छिक माप''', '''प्वासों यादृच्छिक बिन्दु फ़ील्ड''' या '''प्वासों बिंदु फ़ील्ड''' भी कहा जाता है। यह [[बिंदु प्रक्रिया]] उचित गणितीय गुणों के साथ होती है,<ref name="Kingman1992">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2}}</ref> जिसके कारण इसे [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडीयन समष्टि]] में प्रायः परिभाषित किया जाता है और यह [[खगोल|खगोल शास्त्र]],<ref name="babu1996spatial">G. J. Babu and E. D. Feigelson. Spatial point processes in astronomy. ''Journal of statistical planning and inference'', 50(3):311–326, 1996.</ref> जीव-विज्ञान,<ref name="othmer1988models">H. G. Othmer, S. R. Dunbar, and W. Alt. Models of dispersal in biological systems. ''Journal of mathematical biology'', 26(3):263–298, 1988.</ref> पारिस्थितिकी,<ref name="thompson1955spatial">H. Thompson. Spatial point processes, with applications to ecology. ''Biometrika'', 42(1/2):102–115, 1955.</ref> भूविज्ञान,<ref name="connor1995three">C. B. Connor and B. E. Hill. Three nonhomogeneous poisson models for the probability of basaltic volcanism: application to the yucca mountain region, nevada. ''Journal of Geophysical Research: Solid Earth (1978–2012)'', 100(B6):10107–10125, 1995.</ref> [[भूकंप विज्ञान]],<ref>{{Cite journal|last1=Gardner|first1=J. K.|last2=Knopoff|first2=L.|date=1974|title=Is the sequence of earthquakes in Southern California, with aftershocks removed, Poissonian?|url=https://pubs.geoscienceworld.org/ssa/bssa/article-abstract/64/5/1363/117341/is-the-sequence-of-earthquakes-in-southern|journal=Bulletin of the Seismological Society of America|volume=64|issue=5 |pages=1363–1367|doi=10.1785/BSSA0640051363 |bibcode=1974BuSSA..64.1363G |s2cid=131035597 }}</ref> [[भौतिक विज्ञान]],<ref name="scargle1998studies">J. D. Scargle. Studies in astronomical time series analysis. v. bayesian blocks, a new method to analyze structure in photon counting data. ''The Astrophysical Journal'', 504(1):405, 1998.</ref> अर्थशास्त्र,<ref name="AghionHowitt1992">P. Aghion and P. Howitt. A Model of Growth through Creative Destruction. ''Econometrica'', 60(2). 323–351, 1992.</ref> [[मूर्ति प्रोद्योगिकी|छवि प्रसंस्करण]],<ref name="bertero2009image">M. Bertero, P. Boccacci, G. Desidera, and G. Vicidomini. Image deblurring with poisson data: from cells to galaxies. ''Inverse Problems'', 25(12):123006, 2009.</ref><ref>{{cite web | url=https://caseymuratori.com/blog_0010 | title=The Color of Noise }}</ref> और दूरसंचार जैसे विभिन्न शास्त्रों में आपूर्ति-मांग मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref name="baccelli2009stochastic2">F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. ''Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume II- Applications'', volume 4, No 1–2 of ''Foundations and Trends in Networking''. NoW Publishers, 2009.</ref><ref name="Haenggi2009">M. Haenggi, J. Andrews, F. Baccelli, O. Dousse, and M. Franceschetti. Stochastic geometry and random graphs for the analysis and design of wireless networks. ''IEEE JSAC'', 27(7):1029–1046, September 2009.</ref>
-यह प्रक्रिया फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉयसन के नाम पर रखी गई है, हालांकि पॉयसन ने कभी इस प्रक्रिया का अध्ययन नहीं किया। इसका नाम इस तथ्य से जुड़ा है कि यदि किसी स्थान में यादृच्छिक बिन्दुओं का संग्रह पॉयसन प्रक्रिया बनाता है, तो एक परिमित आकार क्षेत्र में बिन्दुओं की संख्या यादृच्छिक प्रायस्थानिकी संगणना के साथ [[पॉसों वितरण|पॉयसन बंटन]] होती है। इस प्रक्रिया की खोज अलग-अलग सेटिंग्स पर स्वतंत्र रूप से और अनेक बार की गई, जिसमें रेडियोधर्मी क्षय, टेलीफोन कॉल आगमन और इनश्योरेंस गणित पर प्रयोग सम्मिलित हैं।<ref name="Stirzaker2000">{{cite journal|last1=Stirzaker|first1=David|title=हाथी को सलाह, या स्थिरांक भिन्न हो सकते हैं|journal=The Mathematical Gazette|volume=84|issue=500|year=2000|pages=197–210|issn=0025-5572|doi=10.2307/3621649|jstor=3621649|s2cid=125163415}}</ref><ref name="GuttorpThorarinsdottir2012">{{cite journal|last1=Guttorp|first1=Peter|last2=Thorarinsdottir|first2=Thordis L.|title=What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes|journal=International Statistical Review|volume=80|issue=2|year=2012|pages=253–268|issn=0306-7734|doi=10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x|s2cid=80836 }}</ref>
+यह प्रक्रिया फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस प्वासों के नाम पर रखी गई है, हालांकि प्वासों ने कभी इस प्रक्रिया का अध्ययन नहीं किया। इसका नाम इस तथ्य से जुड़ा है कि यदि किसी स्थान में यादृच्छिक बिन्दुओं का संग्रह प्वासों प्रक्रिया बनाता है, तो एक परिमित आकार क्षेत्र में बिन्दुओं की संख्या यादृच्छिक प्रायस्थानिकी संगणना के साथ [[पॉसों वितरण|प्वासों बंटन]] होती है। इस प्रक्रिया की खोज अलग-अलग सेटिंग्स पर स्वतंत्र रूप से और अनेक बार की गई, जिसमें रेडियोधर्मी क्षय, टेलीफोन कॉल आगमन और इनश्योरेंस गणित पर प्रयोग सम्मिलित हैं।<ref name="Stirzaker2000">{{cite journal|last1=Stirzaker|first1=David|title=हाथी को सलाह, या स्थिरांक भिन्न हो सकते हैं|journal=The Mathematical Gazette|volume=84|issue=500|year=2000|pages=197–210|issn=0025-5572|doi=10.2307/3621649|jstor=3621649|s2cid=125163415}}</ref><ref name="GuttorpThorarinsdottir2012">{{cite journal|last1=Guttorp|first1=Peter|last2=Thorarinsdottir|first2=Thordis L.|title=What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes|journal=International Statistical Review|volume=80|issue=2|year=2012|pages=253–268|issn=0306-7734|doi=10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x|s2cid=80836 }}</ref>
-पॉयसन बिंदु प्रक्रिया सामान्यतः [[वास्तविक रेखा]] पर परिभाषित की जाती है, जहां इसे प्रसंभाव्य प्रक्रम (स्टोकेस्टिक प्रोसेस) के रूप में माना जा सकता है। इस सेटिंग में, यह उदाहरण के लिए, [[ कतार सिद्धांत |कतारबद्ध सिद्धांत]] में उपयोग होती है<ref name="Kleinrock1976">{{cite book|author=Leonard Kleinrock|title=Queueing Systems: Theory|url=https://archive.org/details/queueingsystems01klei|url-access=registration|year=1976|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-49110-1}}</ref> जहां यादृच्छिक घटनाओं का मॉडलिंग किया जाता है, जैसे कि किसी संग्रहागार में ग्राहकों के आगमन, प्रतिदान में फोन कॉल, या भूकंप की घटना, जो समय के आधार पर वितरित होती हैं। समतल में, बिन्दु प्रक्रिया, जिसे स्थानिक पॉयसन प्रक्रिया भी कहा जाता है,<ref name="BaddeleyBárány2006page102"><nowiki>{{cite book|author1=A. Baddeley|author2=I. Bárány|author3=R. Schneider|title=स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री: C.I.M.E में दिए गए व्याख्यान। मार्टिना फ्रांका, इटली में 13-18 सितंबर, 2004 को आयोजित समर स्कूल|url=</nowiki>https://books.google.com/books?id=X-m5BQAAQBAJ|date=26 October 2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38175-4|page=10}</ref> प्रकीर्णित [[ बेतार तंत्र |वायरलेस नेटवर्क]] में प्रेषकों के स्थानों,<ref name="baccelli2009stochastic2" /><ref name="andrews2010primer">J. G. Andrews, R. K. Ganti, M. Haenggi, N. Jindal, and S. Weber. A primer on spatial modeling and analysis in wireless networks. ''Communications Magazine, IEEE'', 48(11):156–163, 2010.</ref><ref name="baccelli2009stochastic1">F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. ''Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory'', volume 3, No 3–4 of ''Foundations and Trends in Networking''. NoW Publishers, 2009.</ref><ref name="Haenggi2013">{{cite book|author=Martin Haenggi|title=वायरलेस नेटवर्क के लिए स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री|url=https://books.google.com/books?id=CLtDhblwWEgC|year=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-01469-5}}</ref> संवेदक में टकराने वाले [[कण|कणों]] के, या जंगल में पेड़ों के आवास के स्थानों का प्रतिनिधित्व कर सकती है।<ref name="ChiuStoyan2013page51" /> इस संदर्भ में, प्रक्रिया प्रायः गणितीय मॉडलों में और स्थानिक बिन्दु प्रक्रियाओं,<ref name="BaddeleyBárány2006"><nowiki>{{cite book|author1=A. Baddeley|author2=I. Bárány|author3=R. Schneider|title=स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री: C.I.M.E में दिए गए व्याख्यान। मार्टिना फ्रांका, इटली में 13-18 सितंबर, 2004 को आयोजित समर स्कूल|url=</nowiki>https://books.google.com/books?id=X-m5BQAAQBAJ|date=26 October 2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38175-4}</ref> [[स्टोकेस्टिक ज्यामिति|प्रसंभाव्य ज्यामिति]],<ref name="ChiuStoyan2013" /> [[स्थानिक आँकड़े|स्थानिक सांख्यिकी]]<ref name="BaddeleyBárány2006" /><ref name="MollerWaagepetersen2003">{{cite book|author1=Jesper Moller|author2=Rasmus Plenge Waagepetersen|title=स्थानिक बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सांख्यिकीय अनुमान और अनुकरण|url=https://books.google.com/books?id=dBNOHvElXZ4C|date=25 September 2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-49693-0}}</ref> और [[सातत्य रिसाव सिद्धांत|नियतांत्रण प्रक्षेपण सिद्धांत]]<ref name="meester1996continuum">R. Meester and R. Roy. Continuum percolation, volume 119 of cambridge tracts in mathematics, 1996.</ref> के संबंधित क्षेत्रों में उपयोग होती है। पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को अधिक एब्स्ट्रैक्ट समष्टि पर परिभाषित किया जा सकता है। अनुप्रयोगों से परे, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया स्वयं में गणितीय अध्ययन का विषय है।<ref name="Kingman1992" /> सभी सेटिंग में, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का एक मुख्य गुण यह है कि प्रत्येक बिंदु प्रक्रिया में सभी अन्य बिंदुओं के प्रति यादृच्छिक रूप से अव्यवस्थित होता है, इसलिए कभी-कभी इसे पूरी रूप से या पूर्णतः यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है।{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|page=27}} किसी प्रणाली को पॉयसन प्रक्रिया के रूप मॉडलिंग करना पर्याप्त नहीं होता है जब बिंदु से बिंदु के संवेदनशील संबंध अत्यधिक प्रबल होते हैं (अर्थात बिंदु प्रसंभाव्य रूप से स्वतंत्र नहीं हैं)। ऐसी प्रणाली को भिन्न बिंदु प्रक्रिया के साथ अपेक्षाकृत अधिक श्रेष्ठता से मॉडलिंग किया जा सकता है।<ref name="ChiuStoyan2013page35">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=35–36}}</ref>
+प्वासों बिंदु प्रक्रिया सामान्यतः [[वास्तविक रेखा]] पर परिभाषित की जाती है, जहां इसे प्रसंभाव्य प्रक्रम (स्टोकेस्टिक प्रोसेस) के रूप में माना जा सकता है। इस सेटिंग में, यह उदाहरण के लिए, [[ कतार सिद्धांत |कतारबद्ध सिद्धांत]] में उपयोग होती है<ref name="Kleinrock1976">{{cite book|author=Leonard Kleinrock|title=Queueing Systems: Theory|url=https://archive.org/details/queueingsystems01klei|url-access=registration|year=1976|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-49110-1}}</ref> जहां यादृच्छिक घटनाओं का मॉडलिंग किया जाता है, जैसे कि किसी संग्रहागार में ग्राहकों के आगमन, प्रतिदान में फोन कॉल, या भूकंप की घटना, जो समय के आधार पर वितरित होती हैं। समतल में, बिन्दु प्रक्रिया, जिसे '''स्थानिक प्वासों प्रक्रिया''' भी कहा जाता है,<ref name="BaddeleyBárány2006page102"><nowiki>{{cite book|author1=A. Baddeley|author2=I. Bárány|author3=R. Schneider|title=स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री: C.I.M.E में दिए गए व्याख्यान। मार्टिना फ्रांका, इटली में 13-18 सितंबर, 2004 को आयोजित समर स्कूल|url=</nowiki>https://books.google.com/books?id=X-m5BQAAQBAJ|date=26 October 2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38175-4|page=10}</ref> प्रकीर्णित [[ बेतार तंत्र |वायरलेस नेटवर्क]] में प्रेषकों के स्थानों,<ref name="baccelli2009stochastic2" /><ref name="andrews2010primer">J. G. Andrews, R. K. Ganti, M. Haenggi, N. Jindal, and S. Weber. A primer on spatial modeling and analysis in wireless networks. ''Communications Magazine, IEEE'', 48(11):156–163, 2010.</ref><ref name="baccelli2009stochastic1">F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. ''Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory'', volume 3, No 3–4 of ''Foundations and Trends in Networking''. NoW Publishers, 2009.</ref><ref name="Haenggi2013">{{cite book|author=Martin Haenggi|title=वायरलेस नेटवर्क के लिए स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री|url=https://books.google.com/books?id=CLtDhblwWEgC|year=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-01469-5}}</ref> संवेदक में टकराने वाले [[कण|कणों]] के, या जंगल में पेड़ों के आवास के स्थानों का प्रतिनिधित्व कर सकती है।<ref name="ChiuStoyan2013page51">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=51–52}}</ref> इस संदर्भ में, प्रक्रिया प्रायः गणितीय मॉडलों में और स्थानिक बिन्दु प्रक्रियाओं,<ref name="BaddeleyBárány2006"><nowiki>{{cite book|author1=A. Baddeley|author2=I. Bárány|author3=R. Schneider|title=स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री: C.I.M.E में दिए गए व्याख्यान। मार्टिना फ्रांका, इटली में 13-18 सितंबर, 2004 को आयोजित समर स्कूल|url=</nowiki>https://books.google.com/books?id=X-m5BQAAQBAJ|date=26 October 2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38175-4}</ref> [[स्टोकेस्टिक ज्यामिति|प्रसंभाव्य ज्यामिति]],<ref name="ChiuStoyan2013" /> [[स्थानिक आँकड़े|स्थानिक सांख्यिकी]]<ref name="BaddeleyBárány2006" /><ref name="MollerWaagepetersen2003">{{cite book|author1=Jesper Moller|author2=Rasmus Plenge Waagepetersen|title=स्थानिक बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सांख्यिकीय अनुमान और अनुकरण|url=https://books.google.com/books?id=dBNOHvElXZ4C|date=25 September 2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-49693-0}}</ref> और [[सातत्य रिसाव सिद्धांत|नियतांत्रण प्रक्षेपण सिद्धांत]]<ref name="meester1996continuum">R. Meester and R. Roy. Continuum percolation, volume 119 of cambridge tracts in mathematics, 1996.</ref> के संबंधित क्षेत्रों में उपयोग होती है। प्वासों बिंदु प्रक्रिया को अधिक एब्स्ट्रैक्ट समष्टि पर परिभाषित किया जा सकता है। अनुप्रयोगों से परे, प्वासों बिंदु प्रक्रिया स्वयं में गणितीय अध्ययन का विषय है।<ref name="Kingman1992" /> सभी सेटिंग में, प्वासों बिंदु प्रक्रिया का एक मुख्य गुण यह है कि प्रत्येक बिंदु प्रक्रिया में सभी अन्य बिंदुओं के प्रति यादृच्छिक रूप से अव्यवस्थित होता है, इसलिए कभी-कभी इसे ''पूरी रूप से'' या ''पूर्णतः'' यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है।{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|page=27}} किसी प्रणाली को प्वासों प्रक्रिया के रूप मॉडलिंग करना पर्याप्त नहीं होता है जब बिंदु से बिंदु के संवेदनशील संबंध अत्यधिक प्रबल होते हैं (अर्थात बिंदु प्रसंभाव्य रूप से स्वतंत्र नहीं हैं)। ऐसी प्रणाली को भिन्न बिंदु प्रक्रिया के साथ अपेक्षाकृत अधिक श्रेष्ठता से मॉडलिंग किया जा सकता है।<ref name="ChiuStoyan2013page35">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=35–36}}</ref>
-बिंदु प्रक्रिया एकल गणितीय प्रयोजन पर निर्भर करती है, जो परिस्थिति के आधार पर किसी स्थिरांक, स्थानिक समाकलित फलन या अधिक सामान्य संदर्भ में [[रेडॉन माप]] हो सकती है।<ref name="ChiuStoyan2013page41and51">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=41 and 51  }}</ref> प्राथमिक स्थिति में, जिसे दर या तीव्रता कहा जाता है, समष्टि के किसी क्षेत्र में पॉयसन प्रक्रिया के बिंदुओं की औसत [[घनत्व]] होती है। इस परिणामक बिंदु प्रक्रिया को समांगी या स्थिर पॉयसन पॉइंट प्रक्रिया कहा जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page412">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=41–42}}</ref> द्वितीय स्थिति में, बिंदु प्रक्रिया को विषम या असमान पॉयसन बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है, और बिंदु प्रक्रिया की मूलभूत स्थान के स्थान पर बिंदुओं की औसत घनत्व पर निर्भर करती है।{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|page=22}} शब्द "बिंदु" प्रायः छोड़ दिया जाता है,<ref name="Kingman1992" /> लेकिन वस्तुओं की अन्य पॉयसन प्रक्रियाएं भी होती हैं, जिनमें बिंदुओं की बजाय [[रेखा (ज्यामिति)|रेखाएं]] और [[बहुभुज]] जैसी जटिल गणितीय प्रयोजन सम्मिलित होते हैं, और ऐसी प्रक्रियाएं पॉयसन बिंदु प्रक्रिया पर आधारित हो सकती हैं।<ref name="Kingman1992page73to76">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=73–76}}</ref> सजातीय और असजातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रियाएँ विशेषित मुद्रण प्रक्रिया की विशेष स्थिति हैं।
+बिंदु प्रक्रिया एकल गणितीय प्रयोजन पर निर्भर करती है, जो परिस्थिति के आधार पर किसी स्थिरांक, स्थानिक समाकलित फलन या अधिक सामान्य संदर्भ में [[रेडॉन माप]] हो सकती है।<ref name="ChiuStoyan2013page41and51">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=41 and 51  }}</ref> प्राथमिक स्थिति में, जिसे '''दर''' या '''तीव्रता (इंटेंसिटी)''' कहा जाता है, समष्टि के किसी क्षेत्र में प्वासों प्रक्रिया के बिंदुओं की औसत [[घनत्व]] होती है। इस परिणामक बिंदु प्रक्रिया को '''समघातीय''' या '''स्थिर प्वासों बिंदु प्रक्रिया''' कहा जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page412">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=41–42}}</ref> द्वितीय स्थिति में, बिंदु प्रक्रिया को '''असमघातीय''' या '''असमघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया''' कहा जाता है, और बिंदु प्रक्रिया की मूलभूत स्थान के स्थान पर बिंदुओं की औसत घनत्व पर निर्भर करती है।{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|page=22}} शब्द "बिंदु" प्रायः छोड़ दिया जाता है,<ref name="Kingman1992" /> लेकिन वस्तुओं की अन्य ''प्वासों प्रक्रियाएं'' भी होती हैं, जिनमें बिंदुओं की बजाय [[रेखा (ज्यामिति)|रेखाएं]] और [[बहुभुज]] जैसी जटिल गणितीय प्रयोजन सम्मिलित होते हैं, और ऐसी प्रक्रियाएं प्वासों बिंदु प्रक्रिया पर आधारित हो सकती हैं।<ref name="Kingman1992page73to76">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=73–76}}</ref> समघाती और असमघाती प्वासों बिंदु प्रक्रियाएँ विशेषित मुद्रण प्रक्रिया की विशेष स्थिति हैं।
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 == परिभाषाओं का अवलोकन ==
-सेटिंग के आधार पर, इस प्रक्रिया के कई समकक्ष परिभाषाएं<ref name="Tijms2003page1">{{cite book|author=H. C. Tijms|title=स्टोकेस्टिक मॉडल में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=RK9yFrNxom8C|date=18 April 2003|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-49880-3|pages=1–2}}</ref> हो सकती हैं, साथ ही इसके कई अनुप्रयोगों और विशेषताओं के कारण विभिन्न व्यापकता की परिभाषाएं भी हो सकती हैं।{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|pages=26–37}} पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को एक विमा में परिभाषित, अध्ययन और उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर, जहां इसे गणना प्रक्रिया या कतारबद्ध मॉडल के भाग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है;<ref name="Tijms2003page1and9">{{cite book|author=H. C. Tijms|title=स्टोकेस्टिक मॉडल में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=RK9yFrNxom8C|date=18 April 2003|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-49880-3|pages=1 and 9}}</ref><ref name="Ross1996page59">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|pages=59–60}}</ref> उच्च विमाओं में जैसे कि समतल जहां इसकी प्रसंभाव्य ज्यामिति<ref name="ChiuStoyan2013"/> और स्थानिक सांख्यिकी<ref name="baddeley1999crash">A. Baddeley. A crash course in stochastic geometry. ''Stochastic Geometry: Likelihood and Computation Eds OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, HNN van Lieshout (London: Chapman and Hall)'', pages 1–35, 1999.</ref> में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; या और अधिक सामान्य गणितीय समष्टि पर।<ref name="DaleyVere-Jones2007page1">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=1–2}}</ref> इसलिए, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया और बिंदु प्रक्रियाओं की परिभाषा और अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली नोटेशन, शब्दावली और गणितीय सावधानी का स्तर आधार के अनुसार भिन्न होते हैं।<ref name="ChiuStoyan2013page110to111">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=110–111  }}</ref>
+सेटिंग के आधार पर, इस प्रक्रिया के कई समकक्ष परिभाषाएं<ref name="Tijms2003page1">{{cite book|author=H. C. Tijms|title=स्टोकेस्टिक मॉडल में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=RK9yFrNxom8C|date=18 April 2003|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-49880-3|pages=1–2}}</ref> हो सकती हैं, साथ ही इसके कई अनुप्रयोगों और विशेषताओं के कारण विभिन्न व्यापकता की परिभाषाएं भी हो सकती हैं।{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|pages=26–37}} प्वासों बिंदु प्रक्रिया को एक विमा में परिभाषित, अध्ययन और उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर, जहां इसे गणना प्रक्रिया या कतारबद्ध मॉडल के भाग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है;<ref name="Tijms2003page1and9">{{cite book|author=H. C. Tijms|title=स्टोकेस्टिक मॉडल में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=RK9yFrNxom8C|date=18 April 2003|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-49880-3|pages=1 and 9}}</ref><ref name="Ross1996page59">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|pages=59–60}}</ref> उच्च विमाओं में जैसे कि समतल जहां इसकी प्रसंभाव्य ज्यामिति<ref name="ChiuStoyan2013"/> और स्थानिक सांख्यिकी<ref name="baddeley1999crash">A. Baddeley. A crash course in stochastic geometry. ''Stochastic Geometry: Likelihood and Computation Eds OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, HNN van Lieshout (London: Chapman and Hall)'', pages 1–35, 1999.</ref> में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; या और अधिक सामान्य गणितीय समष्टि पर।<ref name="DaleyVere-Jones2007page1">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=1–2}}</ref> इसलिए, प्वासों बिंदु प्रक्रिया और बिंदु प्रक्रियाओं की परिभाषा और अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली नोटेशन, शब्दावली और गणितीय सावधानी का स्तर आधार के अनुसार भिन्न होते हैं।<ref name="ChiuStoyan2013page110to111">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=110–111  }}</ref>
-इसके अतिरिक्त, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया में दो प्रमुख गुण हैं- पॉइसन गुणधर्म और स्वतंत्रता गुणधर्म- जो सभी सेटिंग्स में एक आवश्यक भूमिका निभाती है जहां पॉइसन बिंदु प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page41and51" /><ref name="Kingman1992page11">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=11–12}}</ref> दो गुणधर्म तार्किक रूप से स्वतंत्र नहीं होते हैं; वास्तव में, स्वतंत्रता का तात्पर्य बिंदु गणना के पॉयसन बंटन से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।{{efn|See Section 2.3.2 of Chiu, Stoyan, Kendall, Mecke<ref name="ChiuStoyan2013"/> or Section 1.3 of Kingman.<ref name="Kingman1992"/>}}
+इसके अतिरिक्त, प्वासों बिंदु प्रक्रिया में दो प्रमुख गुण हैं- प्वासों गुणधर्म और स्वतंत्रता गुणधर्म- जो सभी सेटिंग्स में एक आवश्यक भूमिका निभाती है जहां प्वासों बिंदु प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page41and51" /><ref name="Kingman1992page11">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=11–12}}</ref> दो गुणधर्म तार्किक रूप से स्वतंत्र नहीं होते हैं; वास्तव में, स्वतंत्रता का तात्पर्य बिंदु गणना के प्वासों बंटन से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।{{efn|See Section 2.3.2 of Chiu, Stoyan, Kendall, Mecke<ref name="ChiuStoyan2013"/> or Section 1.3 of Kingman.<ref name="Kingman1992"/>}}
-=== बिंदु संख्या का पॉयसन बंटन ===
+=== बिंदु संख्या का प्वासों बंटन ===
-पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को पॉयसन बंटन के माध्यम से अभिलक्षित किया जाता है। पॉयसन बंटन यादृच्छिक चर <math display="inline"> N</math> का (पॉयसन यादृच्छिक चर के नाम से जाना जाता है) प्रायिकता बंटन होता है, जिसमें <math>\textstyle N</math> बराबर <math>\textstyle n</math> होने की संभावना निम्नलिखित प्राप्त होती है:
+प्वासों बिंदु प्रक्रिया को प्वासों बंटन के माध्यम से अभिलक्षित किया जाता है। प्वासों बंटन यादृच्छिक चर <math display="inline"> N</math> का (''प्वासों यादृच्छिक चर'' के नाम से जाना जाता है) प्रायिकता बंटन होता है, जिसमें <math>\textstyle N</math> बराबर <math>\textstyle n</math> होने की प्रायिकता निम्नलिखित प्राप्त होती है:
 :<math> \Pr \{N=n\}=\frac{\Lambda^n}{n!} e^{-\Lambda} </math>
 जहाँ <math display="inline"> n!</math> गुणांक को [[ कारख़ाने का |क्रमगुणितअ]] (फैक्टोरियल) को दर्शाने के लिए है और पैरामीटर <math display="inline"> \Lambda</math> बंटन के आकार को निर्धारित करता है। (वास्तव में, <math display="inline"> \Lambda</math> को <math display="inline"> N</math> की प्रत्याशित मान के बराबर होने वाले मान के रूप में लिया जाता है।)
-परिभाषा के अनुसार, पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का एक गुण है कि प्रक्रिया के अन्तर्निहित समष्टि के सीमित क्षेत्र में बिंदुओं की संख्या पॉयसन बंटन का यादृच्छिक चर होती है।<ref name="Kingman1992page11" />
+परिभाषा के अनुसार, प्वासों बिंदु प्रक्रिया का एक गुण है कि प्रक्रिया के अन्तर्निहित समष्टि के सीमित क्षेत्र में बिंदुओं की संख्या प्वासों बंटन का यादृच्छिक चर होती है।<ref name="Kingman1992page11" />
 === पूर्ण स्वतंत्रता ===
-अंतर्निहित समष्टि के असंयुक्त और परिबद्ध उपक्षेत्रों के संग्रह पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक परिबद्ध उपक्षेत्र में पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या सभी अन्य से पूर्णतः स्वतंत्र होगी।
+अंतर्निहित समष्टि के असंयुक्त और परिबद्ध उपक्षेत्रों के संग्रह पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक परिबद्ध उपक्षेत्र में प्वासों बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या सभी अन्य से पूर्णतः स्वतंत्र होगी।
-इस गुणधर्म को कई नामों से जाना जाता है जैसे पूर्ण यादृच्छिकता, पूर्ण स्वतंत्रता,<ref name="DaleyVere-Jones2007page26">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=26}}</ref> या स्वतंत्र प्रकीर्णन<ref name="MollerWaagepetersen2003page15">{{cite book|author1=Jesper Moller|author2=Rasmus Plenge Waagepetersen|title=स्थानिक बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सांख्यिकीय अनुमान और अनुकरण|url=https://books.google.com/books?id=dBNOHvElXZ4C|date=25 September 2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-49693-0|pages=15–16}}</ref><ref name="Streit2010page7">{{cite book|author=Roy L. Streit|title=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing|url=https://books.google.com/books?id=KAWmFYUJ5zsC|date=15 September 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6923-1|pages=7–8}}</ref> और यह सभी पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं में सामान्य होता है। दूसरे शब्दों में, विभिन्न क्षेत्रों और बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया की कमी होती है,<ref name="feller1974introduction">W. Feller. Introduction to probability theory and its applications, vol. ii pod. 1974.</ref> जिसके कारण पॉयसन प्रक्रिया को कभी-कभी पूर्णतः या पूर्ण रूप से यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page26" />
+इस गुणधर्म को कई नामों से जाना जाता है जैसे ''पूर्ण यादृच्छिकता'', ''पूर्ण स्वतंत्रता'',<ref name="DaleyVere-Jones2007page26">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=26}}</ref> या ''स्वतंत्र प्रकीर्णन''<ref name="MollerWaagepetersen2003page15">{{cite book|author1=Jesper Moller|author2=Rasmus Plenge Waagepetersen|title=स्थानिक बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सांख्यिकीय अनुमान और अनुकरण|url=https://books.google.com/books?id=dBNOHvElXZ4C|date=25 September 2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-49693-0|pages=15–16}}</ref><ref name="Streit2010page7">{{cite book|author=Roy L. Streit|title=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing|url=https://books.google.com/books?id=KAWmFYUJ5zsC|date=15 September 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6923-1|pages=7–8}}</ref> और यह सभी प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं में सामान्य होता है। दूसरे शब्दों में, विभिन्न क्षेत्रों और बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया की कमी होती है,<ref name="feller1974introduction">W. Feller. Introduction to probability theory and its applications, vol. ii pod. 1974.</ref> जिसके कारण प्वासों प्रक्रिया को कभी-कभी ''पूर्णतः'' या ''पूर्ण रूप से'' यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page26" />
-== सजातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया ==
+== समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया ==
-यदि किसी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का पैरामीटर <math display="inline"> \Lambda=\nu \lambda</math> के रूप में होता है, जहां <math display="inline"> \nu </math> लेबेस्ग माप होती है (अर्थात, यह समुच्चय के लिए लम्बाई, क्षेत्रफल या आयतन निर्दिष्ट करता है) और <math display="inline"> \lambda</math> एक स्थिरांक होता है, तो बिंदु प्रक्रिया को सजातीय या स्थायी पॉयसन बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। इस पैरामीटर को दर या उग्रता कहा जाता है और यह किसी सीमित क्षेत्र में विद्यामान पॉयसन बिंदुओं की अपेक्षित (या औसत) संख्या से संबंधित होता है,<ref name="Kingman1992page13">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=13}}</ref><ref name="MollerWaagepetersen2003page14">{{cite book|author1=Jesper Moller|author2=Rasmus Plenge Waagepetersen|title=स्थानिक बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सांख्यिकीय अनुमान और अनुकरण|url=https://books.google.com/books?id=dBNOHvElXZ4C|date=25 September 2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-49693-0|page=14}}</ref> जहां दर उस अंतर्निहित समष्टि के लिए उपयोग होती है जिसके एक विमा होती है।<ref name="Kingman1992page13" /> पैरामीटर <math display="inline"> \lambda</math> को मानचित्रित किया जा सकता है जैसे कि [[लंबाई]], क्षेत्रफल, [[आयतन]] या समय के कुछ इकाई पर प्रति औसत बिंदुओं की औसत संख्या, यहां तक कि इसे ''माध्य घनत्व'' या ''माध्य दर'' भी कहा जाता है;{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|page=20}} टर्मिनोलॉजी देखें।
+यदि किसी प्वासों बिंदु प्रक्रिया का पैरामीटर <math display="inline"> \Lambda=\nu \lambda</math> के रूप में होता है, जहां <math display="inline"> \nu </math> लेबेस्ग माप होती है (अर्थात, यह समुच्चय के लिए लम्बाई, क्षेत्रफल या आयतन निर्दिष्ट करता है) और <math display="inline"> \lambda</math> एक स्थिरांक होता है, तो बिंदु प्रक्रिया को समघाती या स्थायी प्वासों बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। इस पैरामीटर को '''दर''' या '''तीव्रता''' कहा जाता है और यह किसी सीमित क्षेत्र में विद्यमान प्वासों बिंदुओं की अपेक्षित (या औसत) संख्या से संबंधित होता है,<ref name="Kingman1992page13">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=13}}</ref><ref name="MollerWaagepetersen2003page14">{{cite book|author1=Jesper Moller|author2=Rasmus Plenge Waagepetersen|title=स्थानिक बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सांख्यिकीय अनुमान और अनुकरण|url=https://books.google.com/books?id=dBNOHvElXZ4C|date=25 September 2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-49693-0|page=14}}</ref> जहां दर उस अंतर्निहित समष्टि के लिए उपयोग होती है जिसके एक विमा होती है।<ref name="Kingman1992page13" /> पैरामीटर <math display="inline"> \lambda</math> को मानचित्रित किया जा सकता है जैसे कि [[लंबाई]], क्षेत्रफल, [[आयतन]] या समय के कुछ इकाई पर प्रति औसत बिंदुओं की औसत संख्या, यहां तक कि इसे ''माध्य घनत्व'' या ''माध्य दर'' भी कहा जाता है;{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|page=20}} टर्मिनोलॉजी देखें।
-=== मतगणना प्रक्रिया के रूप में व्याख्या की गई ===
+=== गणना प्रक्रिया के रूप में व्याख्या ===
-धनात्मक अर्ध-रेखा पर विचारित होने पर, सजातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को गणना प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो एक प्रकार की प्रसंभाव्य प्रक्रिया होती है, जिसे <math display="inline"> \{N(t), t\geq 0\}</math> के रूप में दर्शाया जा सकता है।<ref name="Tijms2003page1" /><ref name="Ross1996page59" /> गणना प्रक्रिया समय <math display="inline"> t</math> तक हुए घटनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। यदि गणना प्रक्रिया में निम्नलिखित तीन गुण हों, तो वह सजातीय पॉयसन गणना प्रक्रिया दर <math display="inline"> \lambda>0</math> के साथ होती है, तीन गुण निम्नलिखित है:<ref name="Tijms2003page1" /><ref name="Ross1996page59" />
+धनात्मक अर्ध-रेखा पर विचारित होने पर, समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया को गणना प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो एक प्रकार की प्रसंभाव्य प्रक्रिया होती है, जिसे <math display="inline"> \{N(t), t\geq 0\}</math> के रूप में दर्शाया जा सकता है।<ref name="Tijms2003page1" /><ref name="Ross1996page59" /> गणना प्रक्रिया समय <math display="inline"> t</math> तक हुए घटनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। यदि गणना प्रक्रिया में निम्नलिखित तीन गुण हों, तो वह समघाती प्वासों गणना प्रक्रिया दर <math display="inline"> \lambda>0</math> के साथ होती है, तीन गुण निम्नलिखित है:<ref name="Tijms2003page1" /><ref name="Ross1996page59" />
 * <math display="inline"> N(0)=0;</math>
 *स्वतंत्र वृद्धि होती है; और
-*लंबाई <math display="inline"> t</math> के किसी भी अंतराल में घटनाओं (या अंक) की संख्या पैरामीटर (या माध्य) <math display="inline"> \lambda t</math> के साथ पॉयसन यादृच्छिक चर है।
+*लंबाई <math display="inline"> t</math> के किसी भी अंतराल में घटनाओं (या अंक) की संख्या पैरामीटर (या माध्य) <math display="inline"> \lambda t</math> के साथ प्वासों यादृच्छिक चर है।
 अंतिम गुणधर्म का अर्थ है:
@@ Line 44: / Line 44: @@
 :<math> \Pr \{N(t)=n\}=\frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t}. </math>
-पॉयसन गणना प्रक्रिया को यह कहते हुए भी परिभाषित किया जा सकता है कि गणना प्रक्रिया की घटनाओं के बीच समय का अंतर माध्य <math display="inline"> 1/\lambda</math> के साथ घातांकी चर होता हैं।<ref name="Tijms2003" /> घटनाओं या आमंद के बीच समय के अंतर को अंतर आमंद<ref name="Ross1996page64">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|page=64}}</ref> या अंतःक्रिया समय के रूप में जाना जाता है।<ref name="Tijms2003" />
+प्वासों गणना प्रक्रिया को यह कहते हुए भी परिभाषित किया जा सकता है कि गणना प्रक्रिया की घटनाओं के बीच समय का अंतर माध्य <math display="inline"> 1/\lambda</math> के साथ घातांकी चर होता हैं।<ref name="Tijms2003">{{cite book|author=H. C. Tijms|title=स्टोकेस्टिक मॉडल में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=RK9yFrNxom8C|date=18 April 2003|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-49880-3}}</ref> घटनाओं या आमंद के बीच समय के अंतर को '''अंतर आमंद'''<ref name="Ross1996page64">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|page=64}}</ref> या '''अंतःक्रिया''' समय के रूप में जाना जाता है।<ref name="Tijms2003" />
 === वास्तविक रेखा पर एक बिंदु प्रक्रिया के रूप में व्याख्या ===
-पॉयसन बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया जा सकता है इस प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या को <math display="inline"> (a,b]</math> के अंतराल में विचार करके, बिंदु प्रक्रिया के रूप में व्याख्या किया जाता है। वास्तविक रेखा पर सामान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया के पैरामीटर <math display="inline"> \lambda>0</math> के साथ, इस यादृच्छिक संख्या के बिंदुओं की संख्या, जिसे यहां <math display="inline"> N(a,b]</math> के रूप में लिखा गया है, किसी [[गिनती संख्या|गणना संख्या]] <math display="inline"> n</math> के बराबर होने की प्रायिकता निम्नलिखित रूप में दी गई है:<ref name="DaleyVere-Jones2007page19">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=19}}</ref>
+प्वासों बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया जा सकता है इस प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या को <math display="inline"> (a,b]</math> के अंतराल में विचार करके, बिंदु प्रक्रिया के रूप में व्याख्या किया जाता है। वास्तविक रेखा पर सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया के पैरामीटर <math display="inline"> \lambda>0</math> के साथ, इस यादृच्छिक संख्या के बिंदुओं की संख्या, जिसे यहां <math display="inline"> N(a,b]</math> के रूप में लिखा गया है, किसी [[गिनती संख्या|गणना संख्या]] <math display="inline"> n</math> के बराबर होने की प्रायिकता निम्नलिखित रूप में दी गई है:<ref name="DaleyVere-Jones2007page19">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=19}}</ref>
 :<math> \Pr \{N(a,b]=n\}=\frac{[\lambda(b-a)]^n}{n!} e^{-\lambda (b-a)}, </math>
-कुछ धनात्मक पूर्णांक 11 के लिए, सजातीय पॉयसन बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन होता है:<ref name="DaleyVere-Jones2007page19" />
+कुछ धनात्मक पूर्णांक 11 के लिए, समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन होता है:<ref name="DaleyVere-Jones2007page19" />
 :<math> \Pr \{N(a_i,b_i]=n_i, i=1, \dots, k\} = \prod_{i=1}^k\frac{[\lambda(b_i-a_i)]^{n_i}}{n_i!} e^{-\lambda(b_i-a_i)}, </math>
 जहाँ वास्तविक संख्याएँ <math display="inline"> a_i<b_i\leq a_{i+1}</math> हैं।
-दूसरे शब्दों में, <math display="inline"> N(a,b]</math> माध्य <math display="inline"> \lambda(b-a)</math> के साथ पॉयसन यादृच्छिक चर होता है, जहां <math display="inline"> a\le b</math> है। इसके अतिरिक्त, किन्हीं दो असंयुक्त अंतरालों में बिंदुओं की संख्या, मान लीजिए, <math display="inline"> (a_1,b_1]</math> और <math display="inline"> (a_2,b_2]</math>, एक-दूसरे के स्वतंत्र हैं, और यह असंयुक्त अंतरालों की किसी भी परिमित संख्या तक विस्तारित होता है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page19" /> कतारबद्ध सिद्धांत के संदर्भ में, एक बिंदु अस्तित्व (एक अंतराल में) होने को किसी घटना के रूप में विचार किया जा सकता है, लेकिन यह प्रायिकता सिद्धांत के अर्थ में घटना शब्द से भिन्न होता है।{{efn|For example, it is possible for an event ''not'' happening in the queueing theory sense to be an event in the probability theory sense.}} यह इस प्रकार है कि <math display="inline"> \lambda</math> एराइवल की अपेक्षित संख्या है जो प्रति इकाई समय में होती है।<ref name="Ross1996page59" />
+दूसरे शब्दों में, <math display="inline"> N(a,b]</math> माध्य <math display="inline"> \lambda(b-a)</math> के साथ प्वासों यादृच्छिक चर होता है, जहां <math display="inline"> a\le b</math> है। इसके अतिरिक्त, किन्हीं दो असंयुक्त अंतरालों में बिंदुओं की संख्या, मान लीजिए, <math display="inline"> (a_1,b_1]</math> और <math display="inline"> (a_2,b_2]</math>, एक-दूसरे के स्वतंत्र हैं, और यह असंयुक्त अंतरालों की किसी भी परिमित संख्या तक विस्तारित होता है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page19" /> कतारबद्ध सिद्धांत के संदर्भ में, एक बिंदु अस्तित्व (एक अंतराल में) होने को किसी ''घटना'' के रूप में विचार किया जा सकता है, लेकिन यह प्रायिकता सिद्धांत के अर्थ में घटना शब्द से भिन्न होता है।{{efn|For example, it is possible for an event ''not'' happening in the queueing theory sense to be an event in the probability theory sense.}} यह इस प्रकार है कि <math display="inline"> \lambda</math> ''एराइवल'' की अपेक्षित संख्या है जो प्रति इकाई समय में होती है।<ref name="Ross1996page59" />
 ==== प्रमुख गुण ====
-पूर्व परिभाषा के अनुसार सामान्यतः पॉयसन बिंदु प्रक्रियाओं के समग्र में दो महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं जो निम्नलिखित है:<ref name="DaleyVere-Jones2007page19"/><ref name="ChiuStoyan2013page41and51"/>
+पूर्व परिभाषा के अनुसार सामान्यतः प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के समग्र में दो महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं जो निम्नलिखित है:<ref name="DaleyVere-Jones2007page19"/><ref name="ChiuStoyan2013page41and51"/>
-* प्रत्येक परिमित अंतराल में होने वाले एराइवल की संख्या में पॉयसन बंटन होता है।
+* प्रत्येक परिमित अंतराल में होने वाले एराइवल की संख्या में प्वासों बंटन होता है।
 * असयुंक्त अंतरालों में होने वाले एराइवल की संख्या एक-दूसरे के निर्पेक्ष यादृच्छिक चर होते हैं।
-इसके अतिरिक्त, इसमें केवल समान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया से संबंधित तृतीय विशेषता निम्नलिखित है:{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|pages=19–23}}
+इसके अतिरिक्त, इसमें केवल समान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया से संबंधित तृतीय विशेषता निम्नलिखित है:{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|pages=19–23}}
-* प्रत्येक अंतराल <math display="inline"> (a+t,b+t]</math> में एराइवल की संख्या का पॉयसन बंटन केवल अंतराल की लंबाई <math display="inline"> b-a</math> पर निर्भर करता है।
+* प्रत्येक अंतराल <math display="inline"> (a+t,b+t]</math> में एराइवल की संख्या का प्वासों बंटन केवल अंतराल की लंबाई <math display="inline"> b-a</math> पर निर्भर करता है।
-दूसरे शब्दों में, किसी भी परिमित <math display="inline"> t>0</math> के लिए, यादृच्छिक चर <math display="inline"> N(a+t,b+t]</math> और <math display="inline"> t</math> स्वयं में स्वतंत्र होते हैं, अतः इसे स्थायी पॉयसन प्रक्रिया भी कहा जाता है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page19" />
+दूसरे शब्दों में, किसी भी परिमित <math display="inline"> t>0</math> के लिए, यादृच्छिक चर <math display="inline"> N(a+t,b+t]</math> और <math display="inline"> t</math> स्वयं में स्वतंत्र होते हैं, अतः इसे स्थायी प्वासों प्रक्रिया भी कहा जाता है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page19" />
 ==== बड़ी संख्याओं का नियम ====
@@ Line 72: / Line 72: @@
 :<math> \operatorname E[N(a_i,b_i]] =\lambda(b_i-a_i), </math>
-जहाँ <math>\operatorname E</math> [[अपेक्षित मूल्य|अपेक्षाओं]] के ऑपरेटर को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, पॉयसन प्रक्रिया के पैरामीटर <math display="inline"> \lambda</math> बिंदुओं की घनत्व के सामान होता है। इसके अतिरिक्त, समान्य पॉयसन बिंदु प्रक्रिया (प्रबल) बड़े आंकड़ों के नियम का अनुपालन करती है।<ref name="Kingman1992page42">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=42}}</ref> अधिक विशेष रूप से, एक प्रायिकता के साथ:
+जहाँ <math>\operatorname E</math> [[अपेक्षित मूल्य|अपेक्षाओं]] के ऑपरेटर को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, प्वासों प्रक्रिया के पैरामीटर <math display="inline"> \lambda</math> बिंदुओं की घनत्व के सामान होता है। इसके अतिरिक्त, समान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया (प्रबल) बड़े आंकड़ों के नियम का अनुपालन करती है।<ref name="Kingman1992page42">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=42}}</ref> अधिक विशेष रूप से, एक प्रायिकता के साथ:
 :<math> \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{N(t)}{t} =\lambda, </math>
-जहां <math display="inline"> \lim</math> एक फ़ंक्शन की [[सीमा (गणित)|सीमा]] को दर्शाता है, और <math> \lambda </math> समय की प्रति यूनिट एराइवल अपेक्षित संख्या है।
+जहां <math display="inline"> \lim</math> एक फलन की [[सीमा (गणित)|सीमा]] को दर्शाता है, और <math> \lambda </math> समय की प्रति यूनिट एराइवल अपेक्षित संख्या है।
-====स्मृतिहीन संपत्ति ====
+====मेमोरीलेस गुणधर्म ====
-वास्तविक रेखा पर एक बिंदु प्रक्रिया के दो लगातार बिंदुओं के बीच की दूरी पैरामीटर के साथ एक [[घातीय यादृच्छिक चर]] होगी <math display=inline> \lambda</math> (या समकक्ष, मतलब <math display=inline> 1/\lambda</math>). इसका तात्पर्य है कि बिंदुओं में [[स्मृतिहीनता]] गुण है: एक परिमित अंतराल में विद्यमान एक बिंदु का अस्तित्व अन्य बिंदुओं की संभावना (बंटन) को प्रभावित नहीं करता है,<ref name="Tijms2003page2">{{cite book|author=Henk C. Tijms|title=स्टोकेस्टिक मॉडल में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=eBeNngEACAAJ|date=6 May 2003|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-49881-0|pages=2–3}}</ref><ref name="Ross1996page35">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|pages=35–36}}</ref> लेकिन इस संपत्ति की कोई प्राकृतिक समानता नहीं है जब पोइसन प्रक्रिया को उच्च आयामों वाले स्थान पर परिभाषित किया जाता है।<ref name="Kingman1992page38">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=38–39}}</ref>
+वास्तविक रेखा पर बिंदु प्रक्रिया के दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी [[घातीय यादृच्छिक चर|घातांकी यादृच्छिक चर]] होगा जिसका पैरामीटर <math display="inline"> \lambda</math> होता है (अथवा समानांतर, औसत <math display="inline"> 1/\lambda</math> होता है)। इसका तात्पर्य है कि बिंदुओं का [[स्मृतिहीनता|मेमोरीलेस]] गुणधर्म होता है: किसी परिमित अंतराल में किसी बिंदु का अस्तित्व, अन्य बिंदुओं के अस्तित्व की प्रायिकता (बंटन) प्रासंगिकता को प्रभावित नहीं करता है,<ref name="Tijms2003page2">{{cite book|author=Henk C. Tijms|title=स्टोकेस्टिक मॉडल में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=eBeNngEACAAJ|date=6 May 2003|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-49881-0|pages=2–3}}</ref><ref name="Ross1996page35">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|pages=35–36}}</ref> लेकिन जब प्वासों प्रक्रिया को उच्चतम विमाओं वाले समष्टि पर परिभाषित किया जाता है, अतः इस गुणधर्म का कोई प्राकृतिक समरूपता नहीं होती है।<ref name="Kingman1992page38">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=38–39}}</ref>
+==== क्रमबद्धता और साधारणता ====
+[[स्थिर वृद्धि|स्थैतिक वृद्धियों]] वाली एक बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी क्रमित{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|pages=29–30}} या नियमित<ref name="Ross1996page151">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|page=151}}</ref> कहा जाता है, यदि:
-==== सुव्यवस्था और सरलता ====
-[[स्थिर वृद्धि]] के साथ एक बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी अर्दली कहा जाता है{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|pages=29–30}} या नियमित अगर:<ref name="Ross1996page151">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|page=151}}</ref>
 :<math> \Pr \{ N(t,t+\delta]>1 \} = o(\delta), </math>
-जहां थोड़ा-ओ नोटेशन इस्तेमाल किया जा रहा है। एक बिंदु प्रक्रिया को एक साधारण बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है जब इसके दो बिंदुओं में से किसी एक की अंतर्निहित स्थान पर एक ही स्थिति में होने की संभावना शून्य होती है। सामान्य रूप से वास्तविक रेखा पर बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, आदेश की संपत्ति का अर्थ है कि प्रक्रिया सरल है,{{sfnp|Cox|Isham|1980|page=25}} जो सजातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया का मामला है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page29">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=29}}</ref>
+यहां छोटे-o संकेतन का उपयोग किया जा रहा है। जब किसी बिंदु प्रक्रिया में दो बिंदुओं का अंतर्निहित समष्टि पर एक ही स्थिति में संयोग की प्रायिकता शून्य होती है, अतः उसे एक '''साधारण बिंदु प्रक्रिया''' कहा जाता है। वास्तविक रेखा पर सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, क्रमबद्धता की गुणवत्ता यह सिद्ध करती है कि प्रक्रिया साधारण होती है,{{sfnp|Cox|Isham|1980|page=25}} जो समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए सत्य होता है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page29">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=29}}</ref>
-मार्टिंगेल लक्षण वर्णन ===
+==== मार्टिंगेल विशेषण ====
-वास्तविक रेखा पर, सजातीय पॉइसन बिंदु प्रक्रिया का मार्टिंगेल के सिद्धांत (संभाव्यता सिद्धांत) से निम्नलिखित लक्षण वर्णन के माध्यम से संबंध है: एक बिंदु प्रक्रिया सजातीय पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है यदि और केवल यदि
+वास्तविक रेखा पर, समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया का मार्टिंगेल सिद्धांत के साथ एक संबंध होता है निम्नलिखित विशेषण के माध्यम से: बिंदु प्रक्रिया समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया होती है यदि और केवल यदि
 :<math> N(-\infty,t]-\lambda t, </math>
 मार्टिंगेल है।<ref name="merzbach1986characterization">E. Merzbach and D. Nualart. A characterization of the spatial poisson process and changing time. ''The Annals of Probability'', 14(4):1380–1390, 1986.</ref><ref>{{cite journal | url=https://www.jstor.org/stable/3212898 | jstor=3212898 | title=ऑर्डर स्टेटिस्टिक प्रॉपर्टी के साथ पॉइंट प्रोसेस के कैरेक्टराइजेशन पर| last1=Feigin | first1=Paul D. | journal=Journal of Applied Probability | year=1979 | volume=16 | issue=2 | pages=297–304 | doi=10.2307/3212898 | s2cid=123904407 }}</ref>
 ==== अन्य प्रक्रियाओं से संबंध ====
-वास्तविक रेखा पर, पोइसन प्रक्रिया एक प्रकार की निरंतर-समय की [[मार्कोव प्रक्रिया]] है जिसे [[जन्म प्रक्रिया]] के रूप में जाना जाता है, जन्म-मृत्यु प्रक्रिया का एक विशेष मामला (सिर्फ जन्म और शून्य मृत्यु के साथ)।<ref name="Ross1996page235">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|page=235}}</ref><ref name="papoulis2002probability">A. Papoulis and S. U. Pillai. ''Probability, random variables, and stochastic processes''. Tata McGraw-Hill Education, 2002.</ref> [[मार्कोव संपत्ति]] के साथ अधिक जटिल प्रक्रियाएं, जैसे [[मार्कोव आगमन प्रक्रिया]]एं, परिभाषित की गई हैं जहां पॉइसन प्रक्रिया एक विशेष मामला है।<ref name="Tijms2003">{{cite book|author=H. C. Tijms|title=स्टोकेस्टिक मॉडल में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=RK9yFrNxom8C|date=18 April 2003|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-49880-3}}</ref>
+वास्तविक रेखा पर, प्वासों प्रक्रिया एक प्रकार की सतत-समय [[मार्कोव प्रक्रिया]] है जिसे [[जन्म प्रक्रिया]] के रूप में जाना जाता है, जन्म-मृत्यु प्रक्रिया के एक विशेष प्रकार (केवल जन्म और शून्य मृत्यु के साथ)।<ref name="Ross1996page2352">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|page=235}}</ref><ref name="papoulis2002probability2">A. Papoulis and S. U. Pillai. ''Probability, random variables, and stochastic processes''. Tata McGraw-Hill Education, 2002.</ref> [[मार्कोव संपत्ति|मार्कोव गुणधर्म]] के साथ अधिक जटिल प्रक्रियाएँ, जैसे [[मार्कोव आगमन प्रक्रिया|मार्कोव एराइवल प्रक्रियाएँ]], परिभाषित की गई हैं जहां प्वासों प्रक्रिया एक विशेष स्थिति हैं।<ref name="Tijms2003" />
+==== अर्ध-रेखा पर प्रतिबंध ====
+यदि समघाती प्वासों प्रक्रिया केवल अर्ध-रेखा पर <math display="inline"> [0,\infty)</math> के रूप में विचार की जाती है, जब <math display="inline"> t</math> समय को दर्शाता है,<ref name="Tijms2003page1" /> अतः परिणामस्वरूप प्रक्रिया स्थानांतरण के अंतर्गत वास्तव में स्थानांतरण के प्रति समान नहीं होती है।<ref name="Kingman1992page38" /> उस स्थिति में, कुछ स्थानिकता की परिभाषाओं के अनुसार प्वासों प्रक्रिया स्थायी नहीं रहती है।<ref name="ChiuStoyan2013page41">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=41–42}}</ref>
-==== आधी लाइन तक सीमित ====
+==== अनुप्रयोग ====
-यदि सजातीय पॉसों प्रक्रिया को केवल अर्ध-पंक्ति पर माना जाता है <math display=inline> [0,\infty)</math>, जो तब हो सकता है जब <math display=inline> t</math> समय का प्रतिनिधित्व करता है<ref name="Tijms2003page1"/>तो परिणामी प्रक्रिया वास्तव में अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है।<ref name="Kingman1992page38"/>स्टेशनारिटी की कुछ परिभाषाओं के अनुसार, उस मामले में पोइसन प्रक्रिया अब स्थिर नहीं है।<ref name="ChiuStoyan2013page41">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=41–42}}</ref>
+समघाती प्वासों प्रक्रिया का वास्तविक रेखा पर कई अनुप्रयोग हुए हैं जो प्रतीत होने वाले यादृच्छिक और स्वतंत्र घटनाओं के मॉडलिंग का प्रयास करते हैं। यह कतारबद्ध सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाता है, जो कुछ घटनाओं के यादृच्छिक एराइवल और अपक्रम को प्रतिष्ठानुसार प्रतिष्ठापित करने के लिए उपयुक्त प्रसंभाव्य मॉडल विकसित करने का प्रायिकता क्षेत्र है।<ref name="Kleinrock1976"/><ref name="Tijms2003"/> उदाहरण के लिए, कतारबद्ध सिद्धांत के तकनीकों का उपयोग करके ग्राहकों के आगमन और सेवा प्राप्ति या फोन कॉल के आगमन का अध्ययन किया जा सकता है जो फोन विनियम में होते हैं।
-==== आवेदन ====
-प्रतीत होने वाले यादृच्छिक और स्वतंत्र घटनाओं को मॉडल करने के प्रयास में वास्तविक रेखा पर सजातीय पॉसों प्रक्रिया के कई अनुप्रयोग हैं। क्यूइंग थ्योरी में इसकी एक मौलिक भूमिका है, जो कुछ घटनाओं के यादृच्छिक आगमन और प्रस्थान का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयुक्त स्टोकेस्टिक मॉडल विकसित करने की संभावना क्षेत्र है।<ref name="Kleinrock1976"/><ref name="Tijms2003"/>उदाहरण के लिए, आने वाले ग्राहक और सेवा दी जा रही है या फ़ोन एक्सचेंज पर आने वाले फ़ोन कॉल दोनों का अध्ययन क्यूइंग थ्योरी की तकनीकों से किया जा सकता है।
 ==== सामान्यीकरण ====
-वास्तविक रेखा पर सजातीय पॉइसन प्रक्रिया को अंकों की यादृच्छिक संख्या गिनने के लिए सबसे सरल स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में से एक माना जाता है।{{sfnp|Cox|Isham|1980|page=3}}<ref name="snyder1991random">D. Snyder and M. Miller. Random point processes in time and space 2e springer-verlag. ''New York, NY'', 1991.</ref> इस प्रक्रिया को कई तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक संभावित सामान्यीकरण अंतरागमन समय के बंटन को घातीय बंटन से अन्य बंटनों तक विस्तारित करना है, जो नवीकरण प्रक्रिया के रूप में जानी जाने वाली स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का परिचय देता है। एक अन्य सामान्यीकरण पॉसों बिंदु प्रक्रिया को उच्च आयामी स्थानों जैसे कि विमान पर परिभाषित करना है।<ref name="DaleyVere-Jones2007">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378}}</ref>
+वास्तविक रेखा पर, समघाती प्वासों प्रक्रिया को यादृच्छिक बिंदुओं की संख्या की गणना के लिए साधारणतम प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं में से एक माना जाता है।{{sfnp|Cox|Isham|1980|page=3}}<ref name="snyder1991random">D. Snyder and M. Miller. Random point processes in time and space 2e springer-verlag. ''New York, NY'', 1991.</ref> इस प्रक्रिया को कई विधियों से सामान्यीकृत किया जा सकता है। संभावित सामान्यीकरण है कि अंतर-आगमन समय के बंटन को घातांकी बंटन से अन्य बंटनों  तक विस्तारित किया जाए, जो पुनर्नवीनीकरण प्रक्रिया के रूप में जानी जाती है। एक अन्य सामान्यीकरण यह है कि प्वासों बिंदु प्रक्रिया को समतल जैसे उच्च विमीय समष्टियों पर परिभाषित किया जाए।<ref name="DaleyVere-Jones2007">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378}}</ref>
+=== स्थानिक प्वासों बिंदु प्रक्रिया ===
+{{further|पूर्ण स्थानिक अनियमितता}}
+'''स्थानिक प्वासों प्रक्रिया''' समतल <math>\textstyle \mathbb{R}^2</math> में परिभाषित प्वासों बिंदु प्रक्रिया है।<ref name="merzbach1986characterization" /><ref name="lawson1993deviance">{{cite journal |first=A. B. |last=Lawson |title=विषम स्थानिक जहर प्रक्रियाओं के लिए अवशिष्ट अवशिष्ट|journal=Biometrics |volume=49 |issue=3 |pages=889–897 |year=1993 |doi=10.2307/2532210 |jstor=2532210 }}</ref> इसकी गणितीय परिभाषा के लिए, सबसे पहले समतल के परिबद्ध, विवृत या संवृत (या अधिक यथार्थ रूप से, बोरेल मापनीय) क्षेत्र <math display="inline"> B</math> पर विचार किया जाता है। इस क्षेत्र <math>\textstyle B\subset \mathbb{R}^2</math> में विद्यमान बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle N</math> के बिंदुओं की संख्या एक यादृच्छिक चर है, जिसे <math>\textstyle N(B)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि अंक <math>\textstyle \lambda>0</math> के पैरामीटर के साथ एक समघाती प्वासों प्रक्रिया से संबंधित हैं, तो <math>\textstyle B</math> में विद्यमान <math>\textstyle n</math> बिंदुओं की प्रायिकता निम्न द्वारा दी गई है:
-=== स्थानिक जहर बिंदु प्रक्रिया ===
-{{further|Complete spatial randomness}}
-एक स्थानिक पॉइसन प्रक्रिया विमान में परिभाषित एक पॉइज़न बिंदु प्रक्रिया है <math>\textstyle \mathbb{R}^2</math>.<ref name="merzbach1986characterization"/><ref name="lawson1993deviance">{{cite journal |first=A. B. |last=Lawson |title=विषम स्थानिक जहर प्रक्रियाओं के लिए अवशिष्ट अवशिष्ट|journal=Biometrics |volume=49 |issue=3 |pages=889–897 |year=1993 |doi=10.2307/2532210 |jstor=2532210 }}</ref> इसकी गणितीय परिभाषा के लिए, सबसे पहले एक परिबद्ध, खुला या बंद (या अधिक सटीक, बोरेल मापने योग्य) क्षेत्र पर विचार किया जाता है। <math display=inline> B</math> विमान का। एक बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या <math>\textstyle N</math> इस क्षेत्र में विद्यमान है <math>\textstyle B\subset \mathbb{R}^2</math> एक यादृच्छिक चर है, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\textstyle N(B)</math>. यदि अंक पैरामीटर के साथ एक सजातीय पॉसों प्रक्रिया से संबंधित हैं <math>\textstyle \lambda>0</math>, तो की संभावना <math>\textstyle n</math> में मौजूद अंक <math>\textstyle B</math> द्वारा दिया गया है:
 :<math> \Pr \{N(B)=n\}=\frac{(\lambda|B|)^n}{n!} e^{-\lambda|B|} </math>
-कहाँ <math>\textstyle |B|</math> के क्षेत्र को दर्शाता है <math>\textstyle B</math>.
+जहाँ <math>\textstyle |B|</math> के क्षेत्र को दर्शाता है <math>\textstyle B</math>.
-कुछ परिमित पूर्णांक के लिए <math>\textstyle k\geq 1</math>, हम पहले असम्बद्ध, बंधे हुए बोरेल (मापने योग्य) सेटों के संग्रह पर विचार करके सजातीय पॉइसन बिंदु प्रक्रिया का परिमित-आयामी बंटन दे सकते हैं। <math>\textstyle B_1,\dots,B_k</math>. बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या  <math>\textstyle N </math> में विद्यमान है <math>\textstyle B_i</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>\textstyle N(B_i)</math>. फिर पैरामीटर के साथ सजातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle \lambda>0</math> परिमित आयामी बंटन है:<ref name="DaleyVere-Jones2007page19to23">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=19–23}}</ref>
+कुछ परिमित पूर्णांक <math>\textstyle k\geq 1</math> के लिए, हम पहले असम्बद्ध, परिबद्ध बोरेल (मापने योग्य) सेट <math>\textstyle B_1,\dots,B_k</math> के संग्रह पर विचार करके समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन प्रदान कर सकते हैं। बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या <math>\textstyle N </math> <math>\textstyle B_i</math> में विद्यमान <math>\textstyle N(B_i)</math> के रूप में लिखी जा सकती है। अतः पैरामीटर <math>\textstyle \lambda>0</math> के साथ समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन है:<ref name="DaleyVere-Jones2007page19to23">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=19–23}}</ref>
 :<math> \Pr \{N(B_i)=n_i, i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\lambda|B_i|)^{n_i}}{n_i!}e^{-\lambda|B_i|}. </math>
+==== अनुप्रयोग ====
+[[File:Sydney skyline at dusk - Dec 2008.jpg|thumb|400px|right|alt=Sydney at night time|सांख्यिकीय अध्ययन के अनुसार, ऑस्ट्रेलियाई शहर [[सिडनी]] में सेल्युलर या मोबाइल फोन बेस स्टेशनों की स्थितियां, ऊपर चित्रित की गई हैं, समानियोजित प्वासों बिंदु प्रक्रिया के एक प्राप्ति की तरह हैं, जबकि दुनिया भर के कई अन्य शहरों में ऐसा नहीं होता है और अन्य बिंदु प्रक्रियाएँ आवश्यक होती हैं।<ref name="lee2012stochastic">{{cite journal |first1=C.-H. |last1=Lee |first2=C.-Y. |last2=Shih |first3=Y.-S. |last3=Chen |title=शहरी क्षेत्रों में सेलुलर नेटवर्क मॉडलिंग के लिए स्टोकेस्टिक ज्यामिति आधारित मॉडल|journal=Wireless Networks |volume=19 |pages=1063–1072 |year=2012 |issue=6 |doi=10.1007/s11276-012-0518-0 |s2cid=8409538 }}</ref>]]स्थानिक प्वासों बिंदु प्रक्रिया स्थानिक सांख्यिकी में प्रमुखता से दिखाई देती है,<ref name="BaddeleyBárány2006"/><ref name="MollerWaagepetersen2003"/> प्रसंभाव्य ज्यामिति, और सातत्य सिद्धांत।<ref name="meester1996continuum"/> इस बिंदु प्रक्रिया को विभिन्न भौतिक विज्ञानों में लागू किया जाता है जैसे अल्फा कणों का पता लगाने के लिए विकसित एक मॉडल होता है। हाल के वर्षों में, यह प्रायः कुछ वायरलेस संचार नेटवर्कों के प्रतीत होने वाले अव्यवस्थित स्थानिक विन्यासों के मॉडल के लिए उपयोग किया गया है।<ref name="andrews2010primer"/><ref name="baccelli2009stochastic1"/><ref name="Haenggi2013"/> उदाहरण के लिए, सेलुलर या मोबाइल फोन नेटवर्क के मॉडल विकसित किए गए हैं जहां यह माना जाता है कि फोन नेटवर्क ट्रांसमीटर, जिन्हें बेस स्टेशन के रूप में जाना जाता है, समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया के अनुसार स्थित हैं।
+=== उच्च विमाओं में परिभाषित ===
-==== आवेदन ====
+पूर्व समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया को क्षेत्र की धारणा को (उच्च विमीय) आयतन के साथ बदलकर उच्च विमाओं में विस्तारित किया जाता है। यदि यूक्लिडियन समष्टि <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math>, के किसी परिबद्ध क्षेत्र <math>\textstyle B</math> के बिंदु एक समघाती प्वासों प्रक्रिया बनाते हैं जिसका पैरामीटर <math>\textstyle \lambda>0</math> होता है, अतः <math>\textstyle B\subset \mathbb{R}^d</math> में विद्यमान <math>\textstyle n</math> बिंदुओं की प्रायिकता निम्नलिखित होती है:
-[[File:Sydney skyline at dusk - Dec 2008.jpg|thumb|400px|right|alt=Sydney at night time|एक सांख्यिकीय अध्ययन के अनुसार, ऑस्ट्रेलियाई शहर [[सिडनी]] में सेलुलर या मोबाइल फोन बेस स्टेशनों की स्थिति, ऊपर चित्रित, एक सजातीय पॉइसन बिंदु प्रक्रिया की प्राप्ति के समान है, जबकि दुनिया भर के कई अन्य शहरों में ऐसा नहीं है और अन्य बिंदु प्रक्रियाएं हैं आवश्यक।<ref name="lee2012stochastic">{{cite journal |first1=C.-H. |last1=Lee |first2=C.-Y. |last2=Shih |first3=Y.-S. |last3=Chen |title=शहरी क्षेत्रों में सेलुलर नेटवर्क मॉडलिंग के लिए स्टोकेस्टिक ज्यामिति आधारित मॉडल|journal=Wireless Networks |volume=19 |pages=1063–1072 |year=2012 |issue=6 |doi=10.1007/s11276-012-0518-0 |s2cid=8409538 }}</ref>]]स्थानिक पोइसन बिंदु प्रक्रिया स्थानिक आंकड़ों में प्रमुखता से दिखाई देती है,<ref name="BaddeleyBárány2006"/><ref name="MollerWaagepetersen2003"/>स्टोचैस्टिक ज्यामिति, और सातत्य छिद्र सिद्धांत।<ref name="meester1996continuum"/>यह बिंदु प्रक्रिया विभिन्न भौतिक विज्ञानों में लागू होती है जैसे अल्फा कणों का पता लगाने के लिए विकसित एक मॉडल। हाल के वर्षों में, इसका उपयोग अक्सर कुछ बेतार संचार नेटवर्कों के प्रतीत होने वाले अव्यवस्थित स्थानिक विन्यासों के मॉडल के लिए किया जाता है।<ref name="andrews2010primer"/><ref name="baccelli2009stochastic1"/><ref name="Haenggi2013"/>उदाहरण के लिए, सेलुलर या मोबाइल फोन नेटवर्क के लिए मॉडल विकसित किए गए हैं जहां यह माना जाता है कि फोन नेटवर्क ट्रांसमीटर, जिन्हें बेस स्टेशन के रूप में जाना जाता है, एक सजातीय पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के अनुसार स्थित हैं।
-=== उच्च आयामों में परिभाषित ===
-पिछली सजातीय पोइसन बिंदु प्रक्रिया (उच्च आयामी) मात्रा के साथ क्षेत्र की धारणा को बदलकर तुरंत उच्च आयामों तक फैली हुई है। कुछ सीमाबद्ध क्षेत्र के लिए <math>\textstyle B</math> यूक्लिडियन अंतरिक्ष का <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math>, यदि अंक पैरामीटर के साथ एक सजातीय पॉइसन प्रक्रिया बनाते हैं <math>\textstyle \lambda>0</math>, तो की संभावना <math>\textstyle n</math> में मौजूद अंक <math>\textstyle B\subset \mathbb{R}^d</math> द्वारा दिया गया है:
 :<math> \Pr \{N(B)=n\}=\frac{(\lambda|B|)^n}{n!}e^{-\lambda|B|} </math>
-कहाँ <math>\textstyle |B|</math> अब दर्शाता है <math>\textstyle d</math>- आयामी मात्रा <math>\textstyle B</math>. इसके अलावा, विसंधित, परिबद्ध बोरेल सेटों के संग्रह के लिए <math>\textstyle B_1,\dots,B_k \subset \mathbb{R}^d</math>, होने देना <math>\textstyle N(B_i)</math> के बिंदुओं की संख्या को निरूपित करें <math>\textstyle N</math> में विद्यमान है <math>\textstyle B_i</math>. फिर पैरामीटर के साथ इसी सजातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle \lambda>0</math> परिमित आयामी बंटन है:<ref name="DaleyVere-Jones2007IIpage31">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|page=31}}</ref>
+जहां <math>\textstyle |B|</math> अब <math>\textstyle B</math> के <math>\textstyle d</math>-विमीय आयतन को दर्शाता है। इसके अतिरिक्त, असंयुक्त, परिबद्ध बोरेल समुच्चय <math>\textstyle B_1,\dots,B_k \subset \mathbb{R}^d</math> के संग्रह के लिए, <math>\textstyle N(B_i)</math> को <math>\textstyle B_i</math> में विद्यमान <math>\textstyle N</math> के बिंदुओं की संख्या को दर्शाता है। फिर पैरामीटर <math>\textstyle \lambda>0</math> के साथ संबंधित समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन होता है:<ref name="DaleyVere-Jones2007IIpage31">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|page=31}}</ref>
 :<math> \Pr \{N(B_i)=n_i, i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\lambda|B_i|)^{n_i}}{n_i!} e^{-\lambda|B_i|}. </math>
-सजातीय पॉसों बिंदु प्रक्रियाएं अपने पैरामीटर के माध्यम से अंतर्निहित स्थान की स्थिति पर निर्भर नहीं करती हैं <math>\textstyle \lambda</math>, जिसका अर्थ है कि यह एक स्थिर प्रक्रिया (अनुवाद के लिए अपरिवर्तनीय) और एक आइसोट्रोपिक (रोटेशन के लिए अपरिवर्तनीय) स्टोकेस्टिक प्रक्रिया दोनों है।<ref name="ChiuStoyan2013page41"/>इसी तरह एक आयामी मामले के लिए, सजातीय बिंदु प्रक्रिया कुछ बंधे हुए सबसेट तक ही सीमित है <math display=inline> \mathbb{R}^d</math>, तब स्थिरता की कुछ परिभाषाओं के आधार पर, प्रक्रिया स्थिर नहीं रह जाती है।<ref name="ChiuStoyan2013page41"/><ref name="Kingman1992page38"/>
+समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रियाएँ स्वयं के पैरामीटर <math>\textstyle \lambda</math> के माध्यम से अंतर्निहित समष्टि की स्थिति पर निर्भर नहीं होती हैं, जिससे यह स्पष्ट होता है कि यह एक स्थिर प्रक्रिया (स्थानांतरण के लिए अपरिवर्तनीय) और आइसोट्रोपिक (घूर्णन के लिए अपरिवर्तनीय) प्रसंभाव्य प्रक्रिया है।<ref name="ChiuStoyan2013page41" /> एकल-विमीय स्थिति की तरह, समघाती बिंदु प्रक्रिया को कुछ परिबद्ध उपसमुच्चय <math display="inline"> \mathbb{R}^d</math> के लिए प्रतिबंधित किया जाता है, अतः स्थिरता की कुछ परिभाषाओं के अनुसार, प्रक्रिया अब स्थायी नहीं रहती है।<ref name="ChiuStoyan2013page41" /><ref name="Kingman1992page38" />
+=== बिंदुओं का समान रूप से बंटन ===
-=== अंक समान रूप से वितरित हैं ===
-यदि सजातीय बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा पर किसी घटना की घटनाओं के गणितीय मॉडल के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो इसकी विशेषता है कि वास्तविक रेखा पर इन घटनाओं या घटनाओं की स्थिति (अक्सर समय के रूप में व्याख्या की जाती है) समान रूप से वितरित की जाएगी। अधिक विशेष रूप से, यदि कोई घटना (इस प्रक्रिया के अनुसार) एक अंतराल में होती है <math>\textstyle (a,b]</math> कहाँ <math>\textstyle a \leq b</math>, तो इसका स्थान उस अंतराल पर परिभाषित एक समान यादृच्छिक चर होगा।<ref name="DaleyVere-Jones2007page19to23"/>इसके अलावा, सजातीय बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी समान पॉइसन बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है (देखें # शब्दावली)। यह एकरूपता संपत्ति कार्टेशियन समन्वय में उच्च आयामों तक फैली हुई है, लेकिन नहीं, उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक।<ref name="ChiuStoyan2013page38to40and53">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=38–40 and 53–54}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2007page25">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|page=25}}</ref>
+यदि समघाती बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा पर किसी प्रयोजन की घटनाओं के लिए गणितीय मॉडल के रूप में परिभाषित किया जाता है, अतः इसकी विशेषताऐं इस प्रकार है कि वास्तविक रेखा पर इन घटनाओं की स्थितियों का बंटन समानतापूर्व होता है (जिसे प्रायः समय के रूप में व्याख्या किया जाता है)। विशेष रूप से, यदि किसी घटना (इस प्रक्रिया के अनुसार) किसी अंतराल <math>\textstyle (a,b]</math> में होती है जहां <math>\textstyle a \leq b</math> है, तो उसकी स्थानांतरिता उस अंतराल पर परिभाषित एक समान यादृच्छिक चर होगा।<ref name="DaleyVere-Jones2007page19to232">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=19–23}}</ref> इसके अतिरिक्त, समघाती बिंदु प्रक्रिया को ''एकसमान'' प्वासों बिंदु प्रक्रिया भी कहा जाता है (टर्मिनोलॉजी देखें)। यह समानता गुण कार्तीय निर्देशांक में उच्च विमाओं तक विस्तारित होता है, लेकिन उदाहरण के लिए ध्रुवीय निर्देशांक में नहीं होता है।<ref name="ChiuStoyan2013page38to40and53">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=38–40 and 53–54}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2007page25">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|page=25}}</ref>
-== अमानवीय पोइसन बिंदु प्रक्रिया ==
+== असमघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया ==
-[[File:Inhomogeneouspoissonprocess.svg|thumb|वास्तविक रेखा पर एक विषम पोइसन बिंदु प्रक्रिया का ग्राफ। घटनाओं को काले क्रॉस, समय-निर्भर दर के साथ चिह्नित किया गया है <math> \lambda(t) </math> लाल रंग से चिह्नित समारोह द्वारा दिया जाता है।]]विषम या गैर-समान पोइसन बिंदु प्रक्रिया (# शब्दावली देखें) एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है जिसमें पॉइसन पैरामीटर अंतर्निहित स्थान में कुछ स्थान-निर्भर फ़ंक्शन के रूप में सेट होता है जिस पर पॉइसन प्रक्रिया परिभाषित होती है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math>, यह स्थानीय रूप से एकीकृत सकारात्मक कार्य शुरू करके प्राप्त किया जाता है <math>\lambda\colon\mathbb{R}^d\to[0,\infty)</math>, ऐसा कि प्रत्येक सीमाबद्ध क्षेत्र के लिए <math>\textstyle B</math> (<math>\textstyle d</math>-आयामी) का आयतन अभिन्न  <math>\textstyle \lambda (x)</math> क्षेत्र के ऊपर <math>\textstyle B</math> परिमित है। दूसरे शब्दों में, यदि यह समाकल, द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\textstyle \Lambda (B)</math>, है:<ref name="MollerWaagepetersen2003page14"/>
+[[File:Inhomogeneouspoissonprocess.svg|thumb|वास्तविक रेखा पर एक विषम प्वासों बिंदु प्रक्रिया का ग्राफ। घटनाओं को काले क्रॉस, समय-निर्भर दर के साथ चिह्नित किया गया है <math> \lambda(t) </math> लाल रंग से चिह्नित फलन द्वारा दिया जाता है।]]'''असमघाती''' या '''असमघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया''' (शब्दावली देखें) एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया है जिसमें प्वासों पैरामीटर अंतर्निहित स्थान में कुछ स्थान-निर्भर फलन के रूप में सेट किया गया है, जिस पर प्वासों प्रक्रिया परिभाषित है। यूक्लिडियन समष्टि <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> के लिए, यह स्थानीय रूप से पूर्णांक धनात्मक फलन <math>\lambda\colon\mathbb{R}^d\to[0,\infty)</math> को शुरू करके प्राप्त किया जाता है, जैसे कि प्रत्येक परिबद्ध क्षेत्र <math>\textstyle B</math> के लिए (<math>\textstyle d</math>-विमीय) आयतन <math>\textstyle \lambda (x)</math> से अधिक क्षेत्र <math>\textstyle B</math> का समाकल भाग है। दूसरे शब्दों में, यदि यह समाकल, <math>\textstyle \Lambda (B)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है, अतः यह निम्न प्रकार है:<ref name="MollerWaagepetersen2003page14" />
 :<math> \Lambda (B)=\int_B \lambda(x)\,\mathrm dx < \infty, </math>
-कहाँ <math>\textstyle{\mathrm dx}</math> एक है (<math>\textstyle d</math>-आयामी) मात्रा तत्व,{{efn|Instead of <math>\textstyle \lambda(x)</math> and <math>\textstyle{\mathrm d}x</math>, one could write, for example, in (two-dimensional) polar coordinates <math>\textstyle \lambda(r,\theta)</math> and <math display="inline"> r\,dr\,d\theta</math> , where <math>\textstyle r</math> and <math>\textstyle \theta</math> denote the radial and angular coordinates respectively, and so <math>\textstyle{\mathrm d}x</math> would be an area element in this example.}} फिर अलग-अलग बंधे बोरेल औसत दर्जे के सेट के हर संग्रह के लिए <math>\textstyle B_1,\dots,B_k</math>, (तीव्रता) फ़ंक्शन के साथ एक विषम पोइसन प्रक्रिया <math>\textstyle \lambda(x)</math> परिमित आयामी बंटन है:<ref name="DaleyVere-Jones2007IIpage31"/>
+जहां <math>\textstyle{\mathrm dx}</math>, (<math>\textstyle d</math>-विमीय) आयतन अंश है,{{efn|Instead of <math>\textstyle \lambda(x)</math> and <math>\textstyle{\mathrm d}x</math>, one could write, for example, in (two-dimensional) polar coordinates <math>\textstyle \lambda(r,\theta)</math> and <math display="inline"> r\,dr\,d\theta</math> , where <math>\textstyle r</math> and <math>\textstyle \theta</math> denote the radial and angular coordinates respectively, and so <math>\textstyle{\mathrm d}x</math> would be an area element in this example.}} फिर असंयुक्त परिबद्ध बोरेल मापने योग्य समुच्चयों <math>\textstyle B_1,\dots,B_k</math> के प्रत्येक संग्रह के लिए, (तीव्रता) फलन <math>\textstyle \lambda(x)</math> के साथ असमघातीय प्वासों प्रक्रिया का परिमित-विमीय बंटन है:<ref name="DaleyVere-Jones2007IIpage31" />
 :<math> \Pr \{N(B_i)=n_i,  i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\Lambda(B_i))^{n_i}}{n_i!} e^{-\Lambda(B_i)}. </math>
-आगे, <math>\textstyle \Lambda (B)</math> बाध्य क्षेत्र में स्थित प्वासों प्रक्रिया के बिंदुओं की अपेक्षित संख्या होने की व्याख्या है <math>\textstyle B</math>, अर्थात्
+इसके अतिरिक्त, <math>\textstyle \Lambda (B)</math> की व्याख्या परिबद्ध क्षेत्र <math>\textstyle B</math> में स्थित प्वासों प्रक्रिया के बिंदुओं की अपेक्षित संख्या होने की है, अर्थात्
 :<math> \Lambda (B)= \operatorname E[N(B)] . </math>
+=== वास्तविक रेखा पर परिभाषित ===
-=== वास्तविक रेखा === पर परिभाषित
+वास्तविक रेखा पर, गैर-समघातीय या असमघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया का औसत माप एकल विमीय समाकल योग के द्वारा दी जाती है। दो वास्तविक संख्याओं <math>\textstyle a</math> और <math>\textstyle b</math> के लिए, जहां <math>\textstyle a\leq b</math>, <math>\textstyle (a,b]</math> में होने वाले असमघातीय प्वासों प्रक्रिया के संख्या बिंदु को <math>\textstyle N(a,b]</math> द्वारा चिह्नित किया जाता है, जिसमें तीव्रता फलन <math>\textstyle \lambda(t)</math> सम्मिलित होता है।उपरोक्त अंतराल <math>\textstyle (a,b]</math> में विद्यमान <math>\textstyle n</math> बिंदुओं की प्रायिकता निम्न द्वारा दिया गया है:
-वास्तविक रेखा पर, विषम या गैर-सजातीय पॉइसन बिंदु प्रक्रिया का मतलब एक आयामी अभिन्न द्वारा दिया गया माप है। दो वास्तविक संख्याओं के लिए <math>\textstyle a</math> और <math>\textstyle b</math>, कहाँ <math>\textstyle a\leq b</math>, द्वारा निरूपित करें <math>\textstyle N(a,b]</math> तीव्रता समारोह के साथ एक विषम पोइसन प्रक्रिया के संख्या बिंदु <math>\textstyle \lambda(t)</math> अन्तराल में होता है <math>\textstyle (a,b]</math>. की संभावना <math>\textstyle n</math> उपरोक्त अंतराल में मौजूद बिंदु <math>\textstyle (a,b]</math> द्वारा दिया गया है:
 :<math> \Pr \{N(a,b]=n\}=\frac{[\Lambda(a,b)]^n}{n!} e^{-\Lambda(a,b)}. </math>
@@ Line 159: / Line 139: @@
 :<math> \Lambda(a,b)=\int_a^b \lambda (t)\,\mathrm dt, </math>
-जिसका अर्थ है कि यादृच्छिक चर <math>\textstyle N(a,b]</math> माध्य के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है <math>\textstyle \operatorname E[N(a,b]] = \Lambda(a,b)</math>.
+जिसका अर्थ है कि यादृच्छिक चर <math>\textstyle N(a,b]</math> माध्य <math>\textstyle \operatorname E[N(a,b]] = \Lambda(a,b)</math> के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है।
-एक-आयाम सेटिंग की एक विशेषता यह है कि एक विषम पोइसन प्रक्रिया को एक [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]] या मैपिंग द्वारा एक सजातीय में परिवर्तित किया जा सकता है, जो कि व्युत्क्रम के साथ प्राप्त किया जाता है <math>\textstyle \Lambda </math>.<ref name="Kingman1992pageX">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=X}}</ref><ref name="Streit2010page6">{{cite book|author=Roy L. Streit|title=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing|url=https://books.google.com/books?id=KAWmFYUJ5zsC|date=15 September 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6923-1|page=6}}</ref>
+एक-विमा सेटिंग की एक विशेषता यह है कि किसी असमघातीय प्वासों प्रक्रिया को [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|एकदिष्ट (मोनोटोन)]] परिवर्तन या मानचित्रण द्वारा सजातीय में रूपांतरित किया जा सकता है, जिसे <math>\textstyle \Lambda </math> के प्रतिलोम के साथ प्राप्त किया जाता है।<ref name="Kingman1992pageX">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=X}}</ref><ref name="Streit2010page6">{{cite book|author=Roy L. Streit|title=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing|url=https://books.google.com/books?id=KAWmFYUJ5zsC|date=15 September 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6923-1|page=6}}</ref>
+==== गणना प्रक्रिया की व्याख्या ====
-==== गिनती प्रक्रिया व्याख्या ====
+जब धनात्मक अर्ध-रेखा पर विचार किया जाता है, अतः असमघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया को कई बार गणना प्रक्रिया के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। इस व्याख्यान के साथ, प्रक्रिया, जिसे कभी-कभी <math>\textstyle \{N(t), t\geq 0\}</math> के रूप में लिखा जाता है, <math>\textstyle t</math> समय तक हुई प्रत्येक घटनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है। गणना प्रक्रिया को असमघातीय प्वासों गणना प्रक्रिया कहा जाता है यदि इसके चार गुण होते हैं:<ref name="Ross1996page59" /><ref name="Tijms2003page22">{{cite book|author=H. C. Tijms|title=स्टोकेस्टिक मॉडल में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=RK9yFrNxom8C|date=18 April 2003|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-49880-3|pages=22–23}}</ref>
-अमानवीय पोइसन बिंदु प्रक्रिया, जब सकारात्मक आधा रेखा पर विचार किया जाता है, को कभी-कभी गिनती प्रक्रिया के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। इस व्याख्या के साथ, प्रक्रिया, जिसे कभी-कभी लिखा जाता है <math>\textstyle \{N(t), t\geq 0\}</math>, उन घटनाओं या घटनाओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो समय सहित और समय तक हुई हैं <math>\textstyle t</math>. एक गिनती प्रक्रिया को एक विषम पोइसन गिनती प्रक्रिया कहा जाता है यदि इसमें चार गुण हों:<ref name="Ross1996page59"/><ref name="Tijms2003page22">{{cite book|author=H. C. Tijms|title=स्टोकेस्टिक मॉडल में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=RK9yFrNxom8C|date=18 April 2003|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-49880-3|pages=22–23}}</ref>
 * <math>\textstyle N(0)=0;</math>
-* स्वतंत्र वेतन वृद्धि है;
+* स्वतंत्र वृद्धि होती है;
 * <math>\textstyle \Pr\{ N(t+h) - N(t)=1 \} =\lambda(t)h + o(h);</math> और
 * <math>\textstyle \Pr \{ N(t+h) - N(t)\ge 2 \} = o(h),</math>
-कहाँ <math>\textstyle o(h)</math> के लिए स्पर्शोन्मुख या थोड़ा-ओ संकेतन है <math>\textstyle o(h)/h\rightarrow 0</math> जैसा <math>\textstyle h\rightarrow 0</math>.
+यहां <math>\textstyle o(h)</math>, <math>\textstyle h\rightarrow 0</math> के लिए <math>\textstyle o(h)/h\rightarrow 0</math> के अनन्तस्पर्शी या छोटे-o नोटेशन है। अपवर्तकता के साथ बिंदु प्रक्रियाओं की स्थिति में (जैसे कि न्यूरल स्पाइक ट्रेन), प्रगुण 4 का एक अन्य प्रबल संस्करण लागू होता है:<ref>{{cite journal|author1=L. Citi |author2=D. Ba |author3=E.N. Brown |author4=R. Barbieri  |name-list-style=amp |title = अपवर्तकता के साथ बिंदु प्रक्रियाओं के लिए संभावना विधियाँ|journal=Neural Computation|volume=26 |issue=2 |pages=237–263 |year=2014|doi=10.1162/NECO_a_00548|pmid=24206384 |url=https://dspace.mit.edu/bitstream/1721.1/85015/2/Citi-2013-Likelihood%20Methods%20f.pdf |hdl=1721.1/85015 |s2cid=1436173 |hdl-access=free }}</ref> <math>\Pr \{N(t+h)-N(t) \ge 2\} = o(h^2)</math>.
-अपवर्तकता के साथ बिंदु प्रक्रियाओं के मामले में (उदाहरण के लिए, न्यूरल स्पाइक ट्रेन) संपत्ति 4 का एक मजबूत संस्करण लागू होता है:<ref>{{cite journal|author1=L. Citi |author2=D. Ba |author3=E.N. Brown |author4=R. Barbieri  |name-list-style=amp |title = अपवर्तकता के साथ बिंदु प्रक्रियाओं के लिए संभावना विधियाँ|journal=Neural Computation|volume=26 |issue=2 |pages=237–263 |year=2014|doi=10.1162/NECO_a_00548|pmid=24206384 |url=https://dspace.mit.edu/bitstream/1721.1/85015/2/Citi-2013-Likelihood%20Methods%20f.pdf |hdl=1721.1/85015 |s2cid=1436173 |hdl-access=free }}</ref> <math>\Pr \{N(t+h)-N(t) \ge 2\} = o(h^2)</math>.
-उपरोक्त गुणों का अर्थ है <math>\textstyle N(t+h) - N(t)</math> पैरामीटर (या माध्य) के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है
+उपरोक्त गुणों का अर्थ है कि <math>\textstyle N(t+h) - N(t)</math> पैरामीटर (या माध्य) के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है।
 :<math> \operatorname E[N(t+h) - N(t)] = \int_t^{t+h}\lambda (s) \, ds, </math>
@@ Line 179: / Line 157: @@
 :<math> \operatorname E[N(h)]=\int_0^h \lambda (s) \, ds. </math>
+=== स्थानिक प्वासों प्रक्रिया ===
+समतल <math>\textstyle \mathbb{R}^2</math> में परिभाषित असमघातीय प्वासों प्रक्रिया को '''स्थानिक प्वासों प्रक्रिया''' कहा जाता है<ref name="BaddeleyBárány2006page10">{{cite book|author1=A. Baddeley|author2=I. Bárány|author3=R. Schneider|title=स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री: C.I.M.E में दिए गए व्याख्यान। मार्टिना फ्रांका, इटली में 13-18 सितंबर, 2004 को आयोजित समर स्कूल|url=https://books.google.com/books?id=X-m5BQAAQBAJ|date=26 October 2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38175-4|page=10}</ref> इसे तीव्रता फलन के साथ परिभाषित किया जाता है और इसकी तीव्रता की माप कुछ क्षेत्र में इसकी तीव्रता फलन का सतह समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page51" /><ref name="BaddeleyBárány2006page12">{{cite book|author1=A. Baddeley|author2=I. Bárány|author3=R. Schneider|title=स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री: C.I.M.E में दिए गए व्याख्यान। मार्टिना फ्रांका, इटली में 13-18 सितंबर, 2004 को आयोजित समर स्कूल|url=https://books.google.com/books?id=X-m5BQAAQBAJ|date=26 October 2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38175-4|page=12}</ref> उदाहरण के लिए, इसका तीव्रता फलन (कार्तीय निर्देशांक <math display="inline"> x</math> और <math>\textstyle y</math> के एक फलन के रूप में) हो सकता है
-=== स्थानिक जहर प्रक्रिया ===
-विमान में परिभाषित एक विषम पोइसन प्रक्रिया  <math>\textstyle \mathbb{R}^2</math> स्थानिक पॉइसन प्रक्रिया कहलाती है<ref name="BaddeleyBárány2006page10"><nowiki>{{cite book|author1=A. Baddeley|author2=I. Bárány|author3=R. Schneider|title=स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री: C.I.M.E में दिए गए व्याख्यान। मार्टिना फ्रांका, इटली में 13-18 सितंबर, 2004 को आयोजित समर स्कूल|url=</nowiki>https://books.google.com/books?id=X-m5BQAAQBAJ|date=26 October 2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38175-4|page=10}</ref>इसे इंटेंसिटी फंक्शन के साथ परिभाषित किया गया है और इसकी इंटेंसिटी माप किसी क्षेत्र में इसके इंटेंसिटी फंक्शन के सतह इंटीग्रल का प्रदर्शन करते हुए प्राप्त की जाती है।<ref name="ChiuStoyan2013page51">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=51–52}}</ref><ref name="BaddeleyBárány2006page12">{{cite book|author1=A. Baddeley|author2=I. Bárány|author3=R. Schneider|title=स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री: C.I.M.E में दिए गए व्याख्यान। मार्टिना फ्रांका, इटली में 13-18 सितंबर, 2004 को आयोजित समर स्कूल|url=https://books.google.com/books?id=X-m5BQAAQBAJ|date=26 October 2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38175-4|page=12}</ref> उदाहरण के लिए, इसकी तीव्रता का कार्य (कार्तीय निर्देशांक के एक समारोह के रूप में <math display="inline"> x</math> और <math>\textstyle y</math>) हो सकता है
 :<math> \lambda(x,y)= e^{-(x^2+y^2)}, </math>
-इसलिए संबंधित तीव्रता माप सतह समाकलन द्वारा दिया जाता है
+इसलिए संगत तीव्रता माप सतह समाकल द्वारा निम्नलिखित रूप दिया जाता है
 :<math> \Lambda(B)= \int_B e^{-(x^2+y^2)}\,\mathrm dx\,\mathrm dy, </math>
-कहाँ <math display=inline> B</math> विमान में कुछ घिरा क्षेत्र है <math display="inline"> \mathbb{R}^2</math>.
+जहाँ <math display="inline"> B</math> समतल <math display="inline"> \mathbb{R}^2</math> में कुछ घिरा क्षेत्र है।
-=== उच्च आयामों में ===
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-प्लेन में, <math display="inline"> \Lambda(B)</math> जबकि में एक सतह अभिन्न से मेल खाती है <math display="inline"> \mathbb{R}^d</math> अभिन्न बन जाता है (<math display="inline"> d</math>-आयामी) आयतन अभिन्न।
+=== उच्च विमाओं में ===
+समतल में, <math display="inline"> \Lambda(B)</math> सतह समाकलन के सामान प्रतीत होता है जबकि <math display="inline"> \mathbb{R}^d</math> में (<math display="inline"> d</math>-विमीय) आयतन समाकलन में परिवर्तित हो जाता है।
 === अनुप्रयोग ===
-जब वास्तविक रेखा को समय के रूप में व्याख्या किया जाता है, तो गिनती प्रक्रियाओं के क्षेत्र में और क्यूइंग सिद्धांत में अमानवीय प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है।<ref name="Tijms2003page22"/><ref name="Ross1996page78">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|pages=78–81}}</ref> घटनाओं के उदाहरण जिन्हें एक विषम पोइसन बिंदु प्रक्रिया के रूप में दर्शाया गया है या दिखाई देता है उनमें शामिल हैं:
+जब वास्तविक रेखा को समय के रूप में व्याख्या किया जाता है, अतः असमान्य प्रक्रिया को गणना प्रक्रियाओं और कतारबद्ध सिद्धांत के क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।<ref name="Tijms2003page22"/><ref name="Ross1996page78">{{cite book|author=Sheldon M. Ross|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=ImUPAQAAMAAJ|year=1996|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-12062-9|pages=78–81}}</ref> असमान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया द्वारा प्रतिष्ठित या अपेक्षित होने वाली घटनाओं के उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित होते हैं:
-* फ़ुटबॉल के खेल में गोल किए जा रहे हैं।<ref name="heuer2010soccer">A. Heuer, C. Mueller, and O. Rubner. Soccer: Is scoring goals a predictable Poissonian process? ''EPL'', 89(3):38007, 2010.</ref>
+* फ़ुटबॉल के खेल में किए जा रहे  गोल।<ref name="heuer2010soccer">A. Heuer, C. Mueller, and O. Rubner. Soccer: Is scoring goals a predictable Poissonian process? ''EPL'', 89(3):38007, 2010.</ref>
-* एक सर्किट बोर्ड में दोष<ref name="hwang2011modeling">J. Y. Hwang, W. Kuo, and C. Ha. Modeling of integrated circuit yield using a spatial nonhomogeneous poisson process. ''Semiconductor Manufacturing, IEEE Transactions on'', 24(3):377–384, 2011.</ref>
+* सर्किट बोर्ड में दोष<ref name="hwang2011modeling">J. Y. Hwang, W. Kuo, and C. Ha. Modeling of integrated circuit yield using a spatial nonhomogeneous poisson process. ''Semiconductor Manufacturing, IEEE Transactions on'', 24(3):377–384, 2011.</ref>
-विमान में, स्टोचैस्टिक ज्यामिति के संबंधित विषयों में पोइसन बिंदु प्रक्रिया महत्वपूर्ण है<ref name="ChiuStoyan2013"/><ref name="baddeley1999crash"/>और स्थानिक आँकड़े।<ref name="BaddeleyBárány2006"/><ref name="MollerWaagepetersen2003"/>इस बिंदु प्रक्रिया की तीव्रता माप अंतर्निहित स्थान के स्थान पर निर्भर है, जिसका अर्थ है कि इसका उपयोग घनत्व के साथ घटना को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है जो कुछ क्षेत्र में भिन्न होता है। दूसरे शब्दों में, घटना को उन बिंदुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है जिनमें स्थान-निर्भर घनत्व होता है।<ref name="ChiuStoyan2013page51"/>इस प्रक्रिया का उपयोग विभिन्न विषयों में किया गया है और उपयोगों में महासागरों में सामन और समुद्री जूँ का अध्ययन शामिल है,<ref name="krkovsek2005transmission">M. Krko{\vs}ek, M. A. Lewis, and J. P. Volpe. Transmission dynamics of parasitic sea lice from farm to wild salmon. ''Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences'', 272(1564):689–696, 2005.</ref> वानिकी,<ref name="thompson1955spatial"/>और समस्या खोजें।<ref name="lewis1979simulation">P. A. Lewis and G. S. Shedler. Simulation of nonhomogeneous Poisson processes by thinning. ''Naval Research Logistics Quarterly'', 26(3):403–413, 1979.</ref>
+समतल में, प्रसंभाव्य ज्यामिति<ref name="ChiuStoyan2013"/><ref name="baddeley1999crash"/> और स्थानिक आंकड़ों<ref name="BaddeleyBárány2006"/><ref name="MollerWaagepetersen2003"/> के संबंधित शाखाओं में महत्वपूर्ण होती है। इस बिंदु प्रक्रिया की तीव्रता माप अंतर्निहित समष्टि के स्थान पर निर्भर करती है, जिसका तात्पर्य है कि इसका उपयोग किसी क्षेत्र में भिन्नता वाली घटनाओं के मॉडलिंग के लिए किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, ये घटनाएं ऐसे बिंदुओं के रूप में प्रतिष्ठित की जा सकती हैं जिनका स्थान-निर्भर घनत्व है।<ref name="ChiuStoyan2013page51"/> यह प्रक्रियाएँ विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग की जाती हैं और उनमें महासागरों में सैल्मन और समुद्री जीवाणुओं का अध्ययन,<ref name="krkovsek2005transmission">M. Krko{\vs}ek, M. A. Lewis, and J. P. Volpe. Transmission dynamics of parasitic sea lice from farm to wild salmon. ''Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences'', 272(1564):689–696, 2005.</ref> वानिकी,<ref name="thompson1955spatial"/> और खोज समस्याओं<ref name="lewis1979simulation">P. A. Lewis and G. S. Shedler. Simulation of nonhomogeneous Poisson processes by thinning. ''Naval Research Logistics Quarterly'', 26(3):403–413, 1979.</ref> का अध्ययन सम्मिलित होता है।
+=== तीव्रता फलन की व्याख्या ===
-=== तीव्रता समारोह की व्याख्या ===
-प्वासों तीव्रता समारोह <math display="inline"> \lambda(x)</math> एक व्याख्या है, सहज माना जाता है,<ref name="ChiuStoyan2013page51"/>मात्रा तत्व के साथ <math display="inline">\mathrm dx</math> अतिसूक्ष्म अर्थ में: <math display="inline"> \lambda(x)\,\mathrm dx</math> आयतन के साथ अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में मौजूद प्वासों बिंदु प्रक्रिया के एक बिंदु की असीम प्रायिकता है <math display="inline">\mathrm dx</math> पर स्थित <math display="inline"> x</math>.<ref name="ChiuStoyan2013page51"/>
-उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर एक सजातीय पॉइसन बिंदु प्रक्रिया को देखते हुए, चौड़ाई के एक छोटे से अंतराल में प्रक्रिया का एक बिंदु खोजने की संभावना <math display="inline"> \delta</math> लगभग है <math display="inline"> \lambda \delta</math>. वास्तव में, इस तरह के अंतर्ज्ञान से पॉसों बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी पेश किया जाता है और इसका बंटन प्राप्त होता है।<ref name="Kingman1992page9">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=10}}</ref><ref name="feller1974introduction"/>{{sfnp|Cox|Isham|1980|pages=3–6}}
-=== सरल बिंदु प्रक्रिया ===
-यदि पॉसों बिंदु प्रक्रिया में एक तीव्रता माप है जो स्थानीय रूप से परिमित और फैलाना (या गैर-परमाणु) है, तो यह एक सरल बिंदु प्रक्रिया है। एक साधारण बिंदु प्रक्रिया के लिए, अंतर्निहित (राज्य) स्थान में एक बिंदु या स्थान पर मौजूद बिंदु की संभावना या तो शून्य या एक है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रायिकता एक के साथ, प्वासों बिंदु प्रक्रिया के कोई भी दो (या अधिक) बिंदु अंतर्निहित स्थान में स्थान से मेल नहीं खाते हैं।<ref name="ChiuStoyan2013page44">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=44}}</ref><ref name="baccelli2009stochastic1"/><ref name="Haenggi2013page11">{{cite book|author=Martin Haenggi|title=वायरलेस नेटवर्क के लिए स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री|url=https://books.google.com/books?id=CLtDhblwWEgC|year=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-01469-5|page=11}}</ref>
+प्वासों तीव्रता फलन <math display="inline"> \lambda(x)</math> की व्याख्या, जो सहज रूप में मानी जाती है,<ref name="ChiuStoyan2013page51"/> अत्यल्पिक रूप में आयतन घटक <math display="inline">\mathrm dx</math> के साथ संबंधित होती है: <math display="inline"> \lambda(x)\,\mathrm dx</math> प्वासों बिंदु प्रक्रिया के किसी बिंदु की अत्यल्पिक प्रायिकता है जो समष्टि के किसी क्षेत्र में विद्यमान होता है और जिसका आयतन <math display="inline">\mathrm dx</math> पर नियत होता है। यह क्षेत्र <math display="inline"> x</math> पर नियत होता है।<ref name="ChiuStoyan2013page51"/> इस व्याख्या से प्वासों प्रक्रिया में बिंदुओं का अस्तित्व और बंटन का ज्ञान प्राप्त होता है।
-== सिमुलेशन ==
+उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर किसी सजातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया को देखते हुए, चौड़ाई <math display="inline"> \delta</math> के एक छोटे अंतराल में प्रक्रिया के एक बिंदु को प्राप्त करने की प्रायिकता लगभग <math display="inline"> \lambda \delta</math> है। वास्तव में, इस तरह के अंतर्ज्ञान से प्वासों बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी प्रस्तुत किया जाता है और इसका बंटन प्राप्त होता है।<ref name="Kingman1992page9">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=10}}</ref><ref name="feller1974introduction" />{{sfnp|Cox|Isham|1980|pages=3–6}}
-एक कंप्यूटर पर पॉइसन बिंदु प्रक्रिया का अनुकरण आमतौर पर अंतरिक्ष के एक सीमित क्षेत्र में किया जाता है, जिसे सिमुलेशन विंडो के रूप में जाना जाता है, और इसके लिए दो चरणों की आवश्यकता होती है: उचित रूप से यादृच्छिक संख्या में अंक बनाना और फिर बिंदुओं को यादृच्छिक तरीके से रखना। ये दोनों चरण विशिष्ट पोइसन बिंदु प्रक्रिया पर निर्भर करते हैं जिसे अनुकरण किया जा रहा है।<ref name="ChiuStoyan2013page53to55">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=53–55}}</ref><ref name="Streit2010page13">{{cite book|author=Roy L. Streit|title=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing|url=https://books.google.com/books?id=KAWmFYUJ5zsC|date=15 September 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6923-1|pages=13–14}}</ref>
+=== साधारण बिंदु प्रक्रिया ===
+यदि किसी प्वासों बिंदु प्रक्रिया में तीव्रता माप स्थानिक रूप से परिमित और असंगठित (या गैर-परमाणु) होती है, अतः वह एक साधारण बिंदु प्रक्रिया होती है। '''साधारण बिंदु प्रक्रिया''' के लिए, अंतर्निहित (स्थिति) समष्टि में एकल बिंदु या स्थान पर बिंदु के अस्तित्व की प्रायिकता शून्य या एक होती है। इसका अर्थ है कि प्वासों बिंदु प्रक्रिया के दो (या अधिक) बिंदु अंतर्निहित समष्टि में स्थान के सामान होता हैं।<ref name="ChiuStoyan2013page44">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=44}}</ref><ref name="baccelli2009stochastic1"/><ref name="Haenggi2013page11">{{cite book|author=Martin Haenggi|title=वायरलेस नेटवर्क के लिए स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री|url=https://books.google.com/books?id=CLtDhblwWEgC|year=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-01469-5|page=11}}</ref>
+== अनुकरण ==
-===चरण 1: अंकों की संख्या===
+कंप्यूटर पर प्वासों बिंदु प्रक्रिया का अनुकरण करना सामान्यतः किसी परिमित स्थानिक क्षेत्र में, जिसे अनुकरण ''विंडो'' के रूप में जाना जाता है, किया जाता है और इसके लिए दो चरणों की आवश्यक होती हैं: उचित रूप से किसी यादृच्छिक संख्या के बिंदुओं को बनाना और फिर उन बिंदुओं को एक यादृच्छिक विधि से उचित रूप से स्थानित करना। दोनों इन दो चरणों का प्रयोग किए जाने वाली अनुकरण प्रक्रिया पर निर्भर करते हैं जो वर्तमान में अनुकरणित की जा रही है।<ref name="ChiuStoyan2013page53to55">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=53–55}}</ref><ref name="Streit2010page13">{{cite book|author=Roy L. Streit|title=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing|url=https://books.google.com/books?id=KAWmFYUJ5zsC|date=15 September 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6923-1|pages=13–14}}</ref>
+===चरण 1: बिंदुओं की संख्या===
-अंकों की संख्या <math display="inline"> N</math> विंडो में, यहाँ द्वारा दर्शाया गया है <math display="inline"> W</math>, अनुकरण करने की आवश्यकता है, जो एक (छद्म) -[[रैंडम संख्या जनरेटर]] फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जाता है जो पोइसन यादृच्छिक चर का अनुकरण करने में सक्षम है।
+विंडो में बिंदुओं की संख्या <math display="inline"> N</math>, जिसे यहां <math display="inline"> W</math> से चिह्नित किया गया है, को अनुकरणित करने की आवश्यकता है, जो एक (छद्म)-[[रैंडम संख्या जनरेटर|यादृच्छिक संख्या उत्पन्न]] करने वाले फलन का उपयोग करके किया जाता है जो प्वासों यादृच्छिक चर का अनुकरण करने में सक्षम है।
-==== सजातीय मामला ====
+==== समघाती स्थिति ====
-निरंतर के साथ सजातीय मामले के लिए <math display="inline"> \lambda</math>, प्वासों यादृच्छिक चर का माध्य <math display="inline"> N</math> इसके लिए सेट है <math display="inline"> \lambda |W|</math> कहाँ <math display="inline"> |W|</math> लंबाई, क्षेत्र या है (<math display="inline"> d</math>-आयामी) की मात्रा <math display="inline"> W</math>.
+समघातीय स्थिति के लिए नियतांक <math display="inline"> \lambda</math> के साथ, प्वासों यादृच्छिक परिमाण <math display="inline"> N</math> का औसत <math display="inline"> \lambda |W|</math> पर सेट किया जाता है जहां <math display="inline"> |W|</math> लंबाई, क्षेत्रफल या ( <math display="inline"> d</math>-विमीय) आयतन <math display="inline"> W</math> है।
-====असमान मामला====
+====असमान स्थिति====
-विषम मामले के लिए, <math display="inline"> \lambda |W|</math> के साथ प्रतिस्थापित किया गया है (<math display="inline"> d</math>-आयामी) आयतन अभिन्न
+विषम स्थितियों के लिए, <math display="inline"> \lambda |W|</math> के साथ प्रतिस्थापित किया गया है (<math display="inline"> d</math>-विमीय) आयतन समाकल
 :<math> \Lambda(W)=\int_W\lambda(x)\,\mathrm dx </math>
 ===चरण 2: बिंदुओं की स्थिति ===
-दूसरे चरण में बेतरतीब ढंग से रखने की आवश्यकता होती है <math>\textstyle N</math> खिड़की में अंक <math>\textstyle W</math>.
+दूसरे चरण में, विंडो <math>\textstyle W</math> में <math>\textstyle N</math> बिंदुओं को यादृच्छिक रूप से स्थानित करना आवश्यक होता है।
-==== सजातीय मामला ====
+==== समघाती स्थिति ====
-एक आयाम में सजातीय मामले के लिए, सभी बिंदु समान रूप से और स्वतंत्र रूप से खिड़की या अंतराल में रखे जाते हैं <math>\textstyle W</math>. कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में उच्च आयामों के लिए, प्रत्येक समन्वय समान रूप से और स्वतंत्र रूप से खिड़की में रखा जाता है <math>\textstyle W</math>. यदि खिड़की कार्तीय स्थान की एक उप-स्थान नहीं है (उदाहरण के लिए, एक इकाई क्षेत्र के अंदर या एक इकाई क्षेत्र की सतह पर), तो बिंदुओं को समान रूप से नहीं रखा जाएगा <math>\textstyle W</math>, और निर्देशांक (कार्टेशियन से) के उपयुक्त परिवर्तन की आवश्यकता है।<ref name="ChiuStoyan2013page53to55"/>
+एकल विमा में समघातीय स्थिति के लिए, सभी बिंदुओं को विंडो या अंतराल <math>\textstyle W</math> में एकसमान और स्वतंत्र रूप से स्थानित किया जाता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में अधिकतर विमाओं के लिए, प्रत्येक निर्देशांक को एकसमान और स्वतंत्र रूप से विंडो <math>\textstyle W</math> में स्थानित किया जाता है। तथापि, यदि विंडो कार्तीय समष्टि का उपअंश नहीं है (उदाहरण के लिए, किसी इकाई स्फीयर के अंदर या किसी इकाई स्फीयर की सतह पर), अतः बिंदुओं को <math>\textstyle W</math> में एकसमान रूप से नहीं रखा जाएगा, और ऐसे स्थितियों में कार्तीय से उचित निर्देशांकों की आवश्यकता होती है।<ref name="ChiuStoyan2013page53to55" />
+====असमान स्थिति====
+असमघातीय स्थानिकता वाली स्थितियों में, तीव्रता फलन की प्रकृति पर निर्भर करते हुए कुछ अलग-अलग विधियाँ उपयोग की जा सकती हैं जो तीव्रता फलन <math>\textstyle \lambda(x)</math> की प्रकृति पर निर्भर करती हैं।<ref name="ChiuStoyan2013page53to55" /> यदि तीव्रता फलन पर्याप्त रूप से साधारण हो, तो बिना एक-दूसरे के स्वतंत्र और यादृच्छिक असमान (कार्तीय या अन्य) निर्देशांकों को उत्पन्न किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वृत्ताकार विंडो पर प्वासों बिंदु प्रक्रिया का अनुकरण एक ऐसी आइसोटोपिक तीव्रता फलन (ध्रुवीय निर्देशांकों <math>\textstyle r</math> और <math>\textstyle \theta</math> में) के लिए किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यह घूर्णी रूप से भिन्न या <math>\textstyle \theta</math> से स्वतंत्र है, लेकिन <math>\textstyle r</math> पर निर्भर होती है, <math>\textstyle r</math> में चर के परिवर्तन के द्वारा यदि तीव्रता फलन पर्याप्त रूप से साधारण होता है।<ref name="ChiuStoyan2013page53to55" />
+अधिक जटिल तीव्रता फलनों के लिए, [[अस्वीकृति नमूनाकरण|स्वीकृति-अस्वीकृति पद्धति]] का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें अनुपात के आधार पर केवल कुछ यादृच्छिक बिंदुओं का उपयोग (या 'स्वीकार') करना और अन्य बिंदुओं का उपयोग नहीं करना (या 'अस्वीकार करना') सम्मिलित है:<ref name="Streit2010page14">{{cite book|author=Roy L. Streit|title=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing|url=https://books.google.com/books?id=KAWmFYUJ5zsC|date=15 September 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6923-1|pages=14–16}}</ref>
-====असमान मामला====
-विषम मामले के लिए, तीव्रता समारोह की प्रकृति के आधार पर कुछ अलग-अलग तरीकों का इस्तेमाल किया जा सकता है <math>\textstyle \lambda(x)</math>.<ref name="ChiuStoyan2013page53to55"/>यदि तीव्रता फ़ंक्शन पर्याप्त रूप से सरल है, तो बिंदुओं के स्वतंत्र और यादृच्छिक गैर-समान (कार्टेशियन या अन्य) निर्देशांक उत्पन्न किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक समदैशिक तीव्रता फलन (ध्रुवीय निर्देशांकों में) के लिए एक वृत्ताकार खिड़की पर प्वासों बिंदु प्रक्रिया का अनुकरण किया जा सकता है <math>\textstyle r</math> और <math>\textstyle \theta</math>), जिसका अर्थ है कि यह घूर्णी रूप से भिन्न या स्वतंत्र है <math>\textstyle \theta</math> पर निर्भर है <math>\textstyle r</math>, चर के परिवर्तन से <math>\textstyle r</math> अगर तीव्रता समारोह पर्याप्त रूप से सरल है।<ref name="ChiuStoyan2013page53to55"/>
-अधिक जटिल तीव्रता कार्यों के लिए, एक [[अस्वीकृति नमूनाकरण]] | स्वीकृति-अस्वीकृति विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें अनुपात के आधार पर केवल कुछ यादृच्छिक बिंदुओं का उपयोग (या 'स्वीकार') करना और अन्य बिंदुओं का उपयोग नहीं करना (या 'अस्वीकार करना') शामिल है:<ref name="Streit2010page14">{{cite book|author=Roy L. Streit|title=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing|url=https://books.google.com/books?id=KAWmFYUJ5zsC|date=15 September 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6923-1|pages=14–16}}</ref>
 :<math> \frac{\lambda(x_i)}{\Lambda(W)}=\frac{\lambda(x_i)}{\int_W\lambda(x)\,\mathrm dx. } </math>
-कहाँ <math>\textstyle x_i</math> स्वीकृति या अस्वीकृति के लिए विचाराधीन बिंदु है।
+जहाँ <math>\textstyle x_i</math> स्वीकृति या अस्वीकृति के लिए विचाराधीन बिंदु है।
-== सामान्य पॉइसन बिंदु प्रक्रिया ==
+== सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया ==
-प्वासों बिंदु प्रक्रिया को आगे सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसे कभी-कभी सामान्य पॉसों बिंदु प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है<ref name="ChiuStoyan2013page51"/><ref name="Haenggi2013page18">{{cite book|author=Martin Haenggi|title=वायरलेस नेटवर्क के लिए स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री|url=https://books.google.com/books?id=CLtDhblwWEgC&pg=PA18|year=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-01469-5|pages=18–19}}</ref> या सामान्य पॉसों प्रक्रिया<ref name="BaddeleyBárány2006page12"/>रेडॉन माप का उपयोग करके <math>\textstyle \Lambda</math>, जो स्थानीय-परिमित उपाय है। सामान्य तौर पर, यह रेडॉन उपाय <math>\textstyle \Lambda</math> परमाणु हो सकता है, जिसका अर्थ है कि पॉसों बिंदु प्रक्रिया के कई बिंदु अंतर्निहित स्थान के एक ही स्थान पर मौजूद हो सकते हैं। इस स्थिति में, अंकों की संख्या पर <math>\textstyle x </math> माध्य के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है <math>\textstyle \Lambda({x})</math>.<ref name="Haenggi2013page18"/>लेकिन कभी-कभी विपरीत मान लिया जाता है, इसलिए रेडॉन माप <math>\textstyle \Lambda</math> विसरित या गैर-परमाणु है।<ref name="ChiuStoyan2013page51"/>
+रेडॉन माप <math>\textstyle \Lambda</math> का उपयोग करके प्वासों बिंदु प्रक्रिया को कभी-कभी '''सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया'''<ref name="ChiuStoyan2013page51"/><ref name="Haenggi2013page18">{{cite book|author=Martin Haenggi|title=वायरलेस नेटवर्क के लिए स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री|url=https://books.google.com/books?id=CLtDhblwWEgC&pg=PA18|year=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-01469-5|pages=18–19}}</ref>  या '''सामान्य प्वासों प्रक्रिया'''<ref name="BaddeleyBárány2006page12"/> के रूप में जाना जाता है, जो कि स्थानीय-परिमित माप है। सामान्य तौर पर, यह रेडॉन माप <math>\textstyle \Lambda</math> परमाणु हो सकता है, जिसका अर्थ है कि पॉसों बिंदु प्रक्रिया के कई बिंदु अंतर्निहित समष्टि के एक ही स्थान पर विद्यमान हो सकते हैं। इस स्थिति में, <math>\textstyle x </math> पर बिंदुओं की संख्या <math>\textstyle \Lambda({x})</math> माध्य के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर होता है।<ref name="Haenggi2013page18" /> लेकिन कभी-कभी विपरीत मान लिया जाता है, इसलिए रेडॉन माप <math>\textstyle \Lambda</math> विसरित या गैर-परमाणु है।<ref name="ChiuStoyan2013page51"/>
-एक बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle {N}</math> तीव्रता के साथ एक सामान्य पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है <math>\textstyle \Lambda</math> यदि इसमें निम्नलिखित दो गुण हैं:<ref name="ChiuStoyan2013page51"/>
+बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle {N}</math>, तीव्रता <math>\textstyle \Lambda</math> के साथ सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया है, यदि इसमें निम्नलिखित दो गुण हैं:<ref name="ChiuStoyan2013page51"/>
-* एक बंधे हुए [[बोरेल सेट]] में अंकों की संख्या <math>\textstyle B</math> माध्य के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है <math>\textstyle \Lambda(B)</math>. दूसरे शब्दों में, स्थित बिंदुओं की कुल संख्या को निरूपित करें <math>\textstyle B</math> द्वारा <math>\textstyle {N}(B)</math>, फिर यादृच्छिक चर की संभावना <math>\textstyle {N}(B)</math> के बराबर होना <math>\textstyle n</math> द्वारा दिया गया है:
+* परिबद्ध [[बोरेल सेट|बोरेल समुच्चय]] <math>\textstyle B</math> में अंकों की संख्या माध्य <math>\textstyle \Lambda(B)</math> के साथ एक प्वासों यादृच्छिक चर है। दूसरे शब्दों में, <math>\textstyle {N}(B)</math> द्वारा <math>\textstyle B</math> में स्थित अंकों की कुल संख्या को निरूपित करें, फिर यादृच्छिक चर <math>\textstyle {N}(B)</math> के <math>\textstyle n</math> के बराबर होने की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:
 :: <math> \Pr \{ N(B)=n\}=\frac{(\Lambda(B))^n}{n!} e^{-\Lambda(B)} </math>
-* में अंकों की संख्या <math>\textstyle n</math> डिसजॉइंट बोरेल सेट फॉर्म <math>\textstyle n</math> स्वतंत्र यादृच्छिक चर।
+* <math>\textstyle n</math> असंयुक्त बोरेल समुच्चय में बिंदुओं की संख्या <math>\textstyle n</math> स्वतंत्र यादृच्छिक चर बनाती है।
-रेडॉन माप <math>\textstyle \Lambda</math> अंकों की अपेक्षित संख्या होने की अपनी पिछली व्याख्या को बनाए रखता है <math>\textstyle {N}</math> सीमाबद्ध क्षेत्र में स्थित है <math>\textstyle B</math>, अर्थात्
+राडोन माप <math>\textstyle \Lambda</math> परिबद्ध क्षेत्र <math>\textstyle B</math> में स्थित <math>\textstyle {N}</math> के बिंदुओं की अपेक्षित संख्या होने की अपनी पूर्व व्याख्या को बनाए रखता है, अर्थात्
 :<math> \Lambda (B)= \operatorname E[N(B)] . </math>
-इसके अलावा, अगर <math>\textstyle \Lambda</math> बिल्कुल निरंतर है जैसे कि इसमें एक घनत्व है (जो कि रेडॉन-निकोडिम प्रमेय है | रेडॉन-निकोडिम घनत्व या व्युत्पन्न) लेबेसेग माप के संबंध में, फिर सभी बोरेल सेटों के लिए <math>\textstyle B</math> इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
+इसके अतिरिक्त, यदि <math>\textstyle \Lambda</math> पूरी तरह से सतत होता है जैसे कि लेबेस्गु माप के संबंध में इसका घनत्व (जो रेडॉन-निकोडीम घनत्व या व्युत्पन्न है) है, तो सभी बोरेल समुच्चय <math>\textstyle B</math> के लिए इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 :<math> \Lambda (B)=\int_B \lambda(x)\,\mathrm dx, </math>
-जहां घनत्व <math>\textstyle \lambda(x)</math> अन्य शर्तों के साथ, तीव्रता समारोह के रूप में जाना जाता है।
+जहां घनत्व <math>\textstyle \lambda(x)</math> को अन्य पदों के साथ-साथ तीव्रता फलन के रूप में जाना जाता है।
 == इतिहास ==
-=== जहर बंटन ===
+=== प्वासों बंटन ===
-इसके नाम के बावजूद, प्वॉइसन बिंदु प्रक्रिया की न तो खोज की गई और न ही फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पोइसन द्वारा इसका अध्ययन किया गया; स्टिग्लर के कानून के उदाहरण के रूप में नाम का हवाला दिया गया है।<ref name="Stirzaker2000"/><ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>यह नाम पोइसन बंटन के अंतर्निहित संबंध से उपजा है, जो पोइसन द्वारा द्विपद बंटन के एक सीमित मामले के रूप में प्राप्त किया गया है।<ref name="Good1986">{{cite journal|last1=Good|first1=I. J.|title=प्वासों के कार्य के कुछ सांख्यिकीय अनुप्रयोग|journal=Statistical Science|volume=1|issue=2|year=1986|pages=157–170|issn=0883-4237|doi=10.1214/ss/1177013690|doi-access=free}}</ref> यह के योग की संभावना का वर्णन करता है <math>\textstyle n</math> संभाव्यता के साथ बर्नौली परीक्षण <math>\textstyle p</math>, अक्सर बाद में सिर (या पूंछ) की संख्या से तुलना की जाती है <math>\textstyle n</math> पक्षपाती सिक्का एक सिर (या पूंछ) होने की संभावना के साथ एक सिक्के का उछाल <math>\textstyle p</math>. कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए <math>\textstyle \Lambda>0</math>, जैसा <math>\textstyle n</math> अनंत की ओर बढ़ता है और <math>\textstyle p</math> शून्य की ओर घटता है जैसे कि उत्पाद <math>\textstyle np=\Lambda</math> स्थिर है, प्वासों बंटन द्विपद के अधिक निकटता के समान है।<ref name="grimmett2001probability">{{cite book |first1=G. |last1=Grimmett |first2=D. |last2=Stirzaker |title=संभाव्यता और यादृच्छिक प्रक्रियाएं|publisher=Oxford University Press |edition=3rd |year=2001 |isbn=0-19-857222-0 }}</ref>
-प्वासों ने प्वासों बंटन व्युत्पन्न किया, जो 1841 में प्रकाशित हुआ, इसकी सीमा (गणित) में द्विपद बंटन का परीक्षण करके <math>\textstyle p</math> (शून्य) और <math>\textstyle n</math> (अनंत की ओर)। पॉइसन के सभी कार्यों में यह केवल एक बार प्रकट होता है,<ref name="stigler1982poisson">{{cite journal |first=S. M. |last=Stigler |title=पॉसॉन वितरण पर पॉसॉन|journal=Statistics & Probability Letters |volume=1 |issue=1 |pages=33–35 |year=1982 |doi=10.1016/0167-7152(82)90010-4 }}</ref> और परिणाम उनके समय के दौरान अच्छी तरह से ज्ञात नहीं था। बाद के वर्षों में कई लोगों ने [[फिलिप लुडविग वॉन सेडेल]] और [[अर्नेस्ट अब्बे]] सहित पॉइसन का हवाला दिए बिना बंटन का उपयोग किया।{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|pages=8–9}}
-<ref name="Stirzaker2000" />19वीं शताब्दी के अंत में, [[लैडिसलॉस बोर्टकिविक्ज़]] प्रशिया की सेना में हॉर्स किक से होने वाली मौतों की संख्या का अध्ययन करने के लिए वास्तविक डेटा के साथ बंटन का उपयोग करते हुए बंटन का एक अलग सेटिंग (पोइसन का हवाला देते हुए) में फिर से अध्ययन करेगा।<ref name="Good1986" /><ref name="quine1987bortkiewicz">{{cite journal |first1=M. |last1=Quine |first2=E. |last2=Seneta |title=Bortkiewicz डेटा और छोटी संख्या का नियम|journal=International Statistical Review |volume=55 |issue=2 |pages=173–181 |year=1987 |doi=10.2307/1403193 |jstor=1403193 }}</ref>
-=== डिस्कवरी ===
+इसके नाम के अतिरिक्त, प्वासों बिंदु प्रक्रिया की न तो खोज की गई और न ही फ्रांसीसी गणितज्ञ सिमोन डेनिस प्वासों द्वारा इसका अध्ययन किया गया; स्टिग्लर के नियम के उदाहरण के रूप में नाम का उल्लेख किया गया है।<ref name="Stirzaker2000"/><ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/> यह नाम प्वासों बंटन के साथ इसके अंतर्निहित संबंध से प्राप्त हुआ, जो प्वासों द्वारा द्विपद बंटन के किसी परिमित स्थिति के रूप में प्राप्त किया गया है।<ref name="Good1986">{{cite journal|last1=Good|first1=I. J.|title=प्वासों के कार्य के कुछ सांख्यिकीय अनुप्रयोग|journal=Statistical Science|volume=1|issue=2|year=1986|pages=157–170|issn=0883-4237|doi=10.1214/ss/1177013690|doi-access=free}}</ref> यह प्रायिकता <math>\textstyle p</math> के साथ <math>\textstyle n</math> बर्नौली परीक्षणों के योग की प्रायिकता का वर्णन करता है, जिसकी तुलना प्रायः हेड (या टेल) की संख्या के साथ की जाती है, जो एक सिक्के के <math>\textstyle n</math> पक्षपाती फ़्लिप के बाद हेड (या टेल) की प्रायिकता <math>\textstyle p</math> होती है। कुछ धनात्मक नियतांक <math>\textstyle \Lambda>0</math> के लिए, जैसे-जैसे <math>\textstyle n</math> अनंत की ओर बढ़ता है और <math>\textstyle p</math> शून्य की ओर घटता जाता है जैसे कि उत्पाद <math>\textstyle np=\Lambda</math> नियत हो जाता है, प्वासों बंटन द्विपद के अधिक निकट आ जाता है।<ref name="grimmett2001probability">{{cite book |first1=G. |last1=Grimmett |first2=D. |last2=Stirzaker |title=संभाव्यता और यादृच्छिक प्रक्रियाएं|publisher=Oxford University Press |edition=3rd |year=2001 |isbn=0-19-857222-0 }}</ref>
-पोइसन बिंदु प्रक्रिया के शुरुआती उपयोगों या खोजों के लिए कई दावे हैं।<ref name="Stirzaker2000"/><ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>उदाहरण के लिए, पॉसन के जन्म से एक दशक पहले 1767 में [[जॉन मिशेल]], एक तारे के दूसरे तारे के एक निश्चित क्षेत्र के भीतर होने की संभावना में रुचि रखते थे, इस धारणा के तहत कि तारे मात्र संयोग से बिखरे हुए थे, और एक उदाहरण का अध्ययन किया जिसमें छह शामिल थे [[प्लीएडेस]] में सबसे चमकीले सितारे, प्वासों बंटन प्राप्त किए बिना। इस काम ने [[साइमन न्यूकॉम्ब]] को समस्या का अध्ययन करने और एक के रूप में पॉइसन बंटन की गणना करने के लिए प्रेरित किया
+प्वासों ने <math>\textstyle p</math> (शून्य से) और <math>\textstyle n</math> (अनंत तक) की सीमा में द्विपद बंटन की जांच करके, 1841 में प्रकाशित, प्वासों बंटन को व्युत्पन्न किया। प्वासों के सभी फलनों में यह केवल एक बार प्रकट होता है,<ref name="stigler1982poisson">{{cite journal |first=S. M. |last=Stigler |title=पॉसॉन वितरण पर पॉसॉन|journal=Statistics & Probability Letters |volume=1 |issue=1 |pages=33–35 |year=1982 |doi=10.1016/0167-7152(82)90010-4 }}</ref> और उनके समय में परिणाम अच्छी तरह से ज्ञात नहीं था। बाद के वर्षों में [[फिलिप लुडविग वॉन सेडेल]] और [[अर्नेस्ट अब्बे]] सहित कई लोगों ने प्वासों का हवाला दिए बिना बंटन का उपयोग किया।{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|pages=8–9}}<ref name="Stirzaker2000" /> उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में, [[लैडिसलॉस बोर्टकिविक्ज़]] बंटन का फिर से अलग सेटिंग में अध्ययन करेगा (प्वासों का उल्लेखन करते हुए), वास्तविक डेटा के साथ बंटन का उपयोग करके प्रशिया सेना में हॉर्स किक से होने वाली मौतों की संख्या का अध्ययन करने के लिए।<ref name="Good1986" /><ref name="quine1987bortkiewicz">{{cite journal |first1=M. |last1=Quine |first2=E. |last2=Seneta |title=Bortkiewicz डेटा और छोटी संख्या का नियम|journal=International Statistical Review |volume=55 |issue=2 |pages=173–181 |year=1987 |doi=10.2307/1403193 |jstor=1403193 }}</ref>
-में द्विपद बंटन के लिए सन्निकटन।<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>
+=== खोज ===
-वीं शताब्दी की शुरुआत में पोइसन प्रक्रिया (एक आयाम में) अलग-अलग स्थितियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होगी।<ref name="Stirzaker2000"/><ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>
+प्वासों बिंदु प्रक्रिया के पहले उपयोग या खोज के लिए कई दावे हैं।<ref name="Stirzaker2000"/><ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/> उदाहरण के लिए, 1767 में प्वासों के जन्म से दस साल पहले, [[जॉन मिशेल]] ने एक सितारे के एक निश्चित क्षेत्र में दूसरे सितारे की प्रायिकता की रुपरेखा के बारे में रुचि दिखाई, असुमंगल या "केवल संयोग के द्वारा बिखेरे गए" सितारों की अनुमानित संख्या का अध्ययन किया और [[प्लीएडेस|प्लेयडीज़]] में छह सबसे चमकदार सितारों, प्वासों बंटन प्राप्त किए बिना। इस काम ने [[साइमन न्यूकॉम्ब]] को प्रभावित किया और उन्हें समस्या का अध्ययन करने और 1860 में द्विपद बंटन के लिए वर्गीकरण के रूप में प्वासों बंटन की गणना करने के लिए प्रेरित किया।<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>
-स्वीडन 1903 में, [[फिलिप लुंडबर्ग]] ने एक थीसिस प्रकाशित की जिसमें काम था, जिसे अब मौलिक और अग्रणी माना जाता है, जहाँ उन्होंने एक सजातीय पॉइसन प्रक्रिया के साथ बीमा दावों को मॉडल करने का प्रस्ताव रखा।<ref name="EmbrechtsFrey2001page367">{{cite book|last1=Embrechts|first1=Paul|title=Stochastic Processes: Theory and Methods|last2=Frey|first2=Rüdiger|last3=Furrer|first3=Hansjörg|chapter=Stochastic processes in insurance and finance|volume=19|year=2001|page=367|issn=0169-7161|doi=10.1016/S0169-7161(01)19014-0|series=Handbook of Statistics|isbn=9780444500144}}</ref><ref name="Cramér1969">{{cite journal|last1=Cramér|first1=Harald|title=जोखिम सिद्धांत पर फ़िलिप लुंडबर्ग के कार्यों की ऐतिहासिक समीक्षा|journal=Scandinavian Actuarial Journal|volume=1969|issue=sup3|year=1969|pages=6–12|issn=0346-1238|doi=10.1080/03461238.1969.10404602}}</ref>
-में [[डेनमार्क]] में एक और खोज हुई जब ए.के. एक सीमित समय अंतराल में आने वाले फोन कॉल की संख्या के लिए गणितीय मॉडल विकसित करते समय एरलांग ने पॉसॉन बंटन प्राप्त किया। एरलांग उस समय पोइसन के पहले के काम से वाकिफ नहीं थे और यह मान लिया था कि समय के प्रत्येक अंतराल में आने वाले नंबर फोन कॉल एक दूसरे से स्वतंत्र थे। उसके बाद उन्होंने सीमित मामला पाया, जो द्विपद बंटन की सीमा के रूप में प्वासों बंटन को प्रभावी ढंग से पुनर्गठित कर रहा है।<ref name="Stirzaker2000"/>
+वीं शताब्दी की शुरुआत में पोइसन प्रक्रिया (एक आयाम में) विभिन्न स्थितियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होगी।<ref name="Stirzaker2000"/><ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/> स्वीडन 1903 में, [[फिलिप लुंडबर्ग]] ने एक थीसिस प्रकाशित की जिसमें कार्य शामिल था, जिसे अब मौलिक और अग्रणी माना जाता है, जहां उन्होंने एक सजातीय प्वासों प्रक्रिया के साथ बीमा दावों को मॉडल करने का प्रस्ताव दिया।<ref name="EmbrechtsFrey2001page367">{{cite book|last1=Embrechts|first1=Paul|title=Stochastic Processes: Theory and Methods|last2=Frey|first2=Rüdiger|last3=Furrer|first3=Hansjörg|chapter=Stochastic processes in insurance and finance|volume=19|year=2001|page=367|issn=0169-7161|doi=10.1016/S0169-7161(01)19014-0|series=Handbook of Statistics|isbn=9780444500144}}</ref><ref name="Cramér1969">{{cite journal|last1=Cramér|first1=Harald|title=जोखिम सिद्धांत पर फ़िलिप लुंडबर्ग के कार्यों की ऐतिहासिक समीक्षा|journal=Scandinavian Actuarial Journal|volume=1969|issue=sup3|year=1969|pages=6–12|issn=0346-1238|doi=10.1080/03461238.1969.10404602}}</ref>
-में [[अर्नेस्ट रदरफोर्ड]] और [[हंस गीजर]] ने अल्फा कणों की गिनती पर प्रायोगिक परिणाम प्रकाशित किए। उनके प्रायोगिक कार्य में [[हैरी बेटमैन]] से गणितीय योगदान था, जिन्होंने अंतर समीकरणों के एक परिवार के समाधान के रूप में पॉसॉन संभावनाओं को प्राप्त किया, हालांकि समाधान पहले प्राप्त किया गया था, जिसके परिणामस्वरूप पॉसॉन प्रक्रिया की स्वतंत्र खोज हुई।<ref name="Stirzaker2000"/>इस समय के बाद पोइसन प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, लेकिन इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे जीवविज्ञानियों, पारिस्थितिकीविदों, इंजीनियरों और विभिन्न भौतिक वैज्ञानिकों द्वारा कई क्षेत्रों में प्रक्रिया के विभिन्न अनुप्रयोगों द्वारा समझाया गया है।<ref name="Stirzaker2000"/>
+में [[डेनमार्क]] में एक अन्य खोज हुई जब ए.के. अर्लांग ने सीमित समय अंतराल में आने वाले फोन कॉलों की संख्या के लिए एक गणितीय मॉडल विकसित करते समय प्वासों बंटन की खोज की। उस समय अर्लांग को प्वासों के पहले के काम की जानकारी नहीं थी और उन्होंने माना कि प्रत्येक समय अंतराल में आने वाले फोन कॉलों की संख्या एक दूसरे के अन्यान्य हैं। फिर उन्होंने सीमित स्थिति को खोजा, जो प्रभावी रूप से प्वासों बंटन को द्विपद बंटन की सीमा के रूप में पुनर्स्थापित कर रही है।<ref name="Stirzaker2000"/>
+में [[अर्नेस्ट रदरफोर्ड]] और [[हंस गीजर]] ने अल्फा कणों की गणना पर प्रयोगात्मक परिणाम प्रकाशित किए। उनके प्रायोगिक कार्य में [[हैरी बेटमैन]] से गणितीय योगदान था, जिन्होंने अंतर समीकरणों के परिवार के समाधान के रूप में प्वासों प्रायिकताओं को व्युत्पन्न किया था, हालांकि समाधान पहले प्राप्त किया गया था, जिसके परिणामस्वरूप प्वासों प्रक्रिया की स्वतंत्र खोज हुई।<ref name="Stirzaker2000"/> इस समय के बाद प्वासों प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, लेकिन इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे जीवविज्ञानियों, पारिस्थितिकीविदों, इंजीनियरों और विभिन्न भौतिक वैज्ञानिकों द्वारा कई क्षेत्रों में प्रक्रिया के विभिन्न अनुप्रयोगों द्वारा समझाया गया है।<ref name="Stirzaker2000"/>
 === प्रारंभिक अनुप्रयोग ===
-के बाद के वर्षों में पोइसन बिंदु प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, हालाँकि, इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे [[जीव]] विज्ञानियों, पारिस्थितिकीविदों, इंजीनियरों और अन्य लोगों द्वारा कई क्षेत्रों में प्रक्रिया के विभिन्न अनुप्रयोगों द्वारा समझाया गया है। [[भौतिक विज्ञान]]। शुरुआती परिणाम अलग-अलग भाषाओं में और अलग-अलग सेटिंग्स में प्रकाशित किए गए थे, जिसमें कोई मानक शब्दावली और नोटेशन का इस्तेमाल नहीं किया गया था।<ref name="Stirzaker2000"/>उदाहरण के लिए, 1922 में स्वीडिश रसायनशास्त्री और [[नोबेल पुरस्कार विजेता]] [[ थिओडोर स्वेडबर्ग ]] ने एक मॉडल प्रस्तावित किया जिसमें एक स्थानिक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया यह अध्ययन करने की अंतर्निहित प्रक्रिया है कि पौधों को पौधों के समुदायों में कैसे वितरित किया जाता है।<ref name="illian2008statistical">{{cite book |first1=J. |last1=Illian |first2=A. |last2=Penttinen |first3=H. |last3=Stoyan |first4=D. |last4=Stoyan |title=स्थानिक बिंदु पैटर्न का सांख्यिकीय विश्लेषण और मॉडलिंग|volume=70 |publisher=John Wiley & Sons |year=2008 |isbn=978-0-470-01491-2 }}</ref> 1930 के दशक की शुरुआत में कई गणितज्ञों ने इस प्रक्रिया का अध्ययन करना शुरू किया, और [[एंड्री कोलमोगोरोव]], [[विलियम फेलर]] और [[अलेक्सांद्र खींचीं]] द्वारा महत्वपूर्ण योगदान दिया गया।<ref name="Stirzaker2000"/>दूसरों के बीच में।<ref name="kingman2009first">{{cite journal |first=J. |last=Kingman |title=The first Erlang century—and the next |journal=Queueing Systems |volume=63 |issue=1–4 |pages=3–12 |year=2009 |doi=10.1007/s11134-009-9147-4 |s2cid=38588726 }}</ref> [[टेलीट्रैफिक इंजीनियरिंग]] के क्षेत्र में, गणितज्ञों और सांख्यिकीविदों ने प्वासों और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया और उनका उपयोग किया।<ref name="haugen1995life">{{cite journal |first=R. B. |last=Haugen |title=कोनी पाम का जीवन और कार्य। कुछ व्यक्तिगत टिप्पणियाँ और अनुभव|journal=VTT Symposium |volume=154 |pages=207 |publisher=Valtion teknillinen tutkimuskeskus |year=1995 |issn=0357-9387 }}</ref>
+के बाद के वर्षों में प्वासों बिंदु प्रक्रिया के कई अध्ययन और अनुप्रयोग हुए, हालांकि, इसका प्रारंभिक इतिहास जटिल है, जिसे [[जीव|बायोलॉजिस्ट]], पारिस्थितिकीविद, अभियंता और अन्य [[भौतिक विज्ञान]] में काम करने वाले लोगों ने इस प्रक्रिया के कई क्षेत्रों में अनेक अनुप्रयोगों के द्वारा समझाया है। प्रारंभिक परिणामों को विभिन्न भाषाओं और विभिन्न संस्करणों में प्रकाशित किया गया, जहां कोई मानक शब्दावली और नोटेशन का उपयोग नहीं हुआ।<ref name="Stirzaker2000"/> उदाहरण के लिए, 1922 में स्वीडिश रसायनविद और [[नोबेल पुरस्कार विजेता|नोबेल पुरस्कार प्राप्तकर्ता]] [[ थिओडोर स्वेडबर्ग |थिओडोर स्वेडबर्ग]] ने एक मॉडल प्रस्तावित किया, जिसमें एक स्थानिक प्वासों बिंदु प्रक्रिया पौधों को अध्ययन करने के लिए उपयोगी है जो वनस्पति समुदायों में वितरित होते हैं।<ref name="illian2008statistical">{{cite book |first1=J. |last1=Illian |first2=A. |last2=Penttinen |first3=H. |last3=Stoyan |first4=D. |last4=Stoyan |title=स्थानिक बिंदु पैटर्न का सांख्यिकीय विश्लेषण और मॉडलिंग|volume=70 |publisher=John Wiley & Sons |year=2008 |isbn=978-0-470-01491-2 }}</ref> कई गणितज्ञों ने 1930 के दशक में प्रक्रिया का अध्ययन शुरू किया और इसमें [[एंड्री कोलमोगोरोव]], [[विलियम फेलर]] और [[अलेक्सांद्र खींचीं]],<ref name="Stirzaker2000"/> सहित अन्यों ने महत्वपूर्ण योगदान दिया।<ref name="kingman2009first">{{cite journal |first=J. |last=Kingman |title=The first Erlang century—and the next |journal=Queueing Systems |volume=63 |issue=1–4 |pages=3–12 |year=2009 |doi=10.1007/s11134-009-9147-4 |s2cid=38588726 }}</ref> [[टेलीट्रैफिक इंजीनियरिंग|टेलीट्रैफिक अभियतंत्रिकी]] के क्षेत्र में, गणितज्ञों और सांख्यिकीयज्ञों ने प्वासों और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया और उन्हें उपयोग किया।<ref name="haugen1995life">{{cite journal |first=R. B. |last=Haugen |title=कोनी पाम का जीवन और कार्य। कुछ व्यक्तिगत टिप्पणियाँ और अनुभव|journal=VTT Symposium |volume=154 |pages=207 |publisher=Valtion teknillinen tutkimuskeskus |year=1995 |issn=0357-9387 }}</ref>
+=== शब्दावली का इतिहास ===
+में स्वीडिश विद्वान [[कोनी पाम]] ने अपने विधानिका में [[एक आयामी|एक विमीय]] स्थानिकता में प्वासों और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया, जहां उन्होंने समय के संबंध में बिंदु के बीच आपसी सांख्यिक या प्रसंभाव्य आधिपत्य की परीक्षा की।।<ref name="DaleyVere-Jones2007page13">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=13–14}}</ref><ref name="haugen1995life"/> उनके कार्य में पहली ज्ञात रूप से टर्म बिंदु प्रक्रियाओं का प्रयोग हुआ, जैसे कि जर्मन में ''पंकटप्रोज़ेस'' के रूप में शब्द ''बिंदु प्रक्रियाओं'' का पहला ज्ञात रिकॉर्ड विद्यमान है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page13"/><ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>
-=== शर्तों का इतिहास ===
+यह माना जाता है<ref name="Stirzaker2000"/> कि 1940 में विलियम फेलर ने इसे ''प्वासों प्रक्रिया'' के रूप में प्रिंट में पहली बार संदर्भित किया था। हालांकि, स्वीडिश विद्वान ओवे लुंडबर्ग ने अपने 1940 के डॉक्टरेट पेपर में भी इस शब्द का प्रयोग किया था,<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/> जिसमें फेलर को प्रभावित करने के रूप में स्वीकार किया गया था,<ref name="grandell1997mixed">J. Grandell. ''Mixed poisson processes'', volume 77. CRC Press, 1997.</ref> लेकिन कहा गया है कि फेलर ने 1940 से पहले ही इस शब्द की सृजनशीलता की थी।<ref name="grimmett2001probability"/> यह बात बताई गई है कि फेलर और लुंडबर्ग दोनों ने इस शब्द का उपयोग ऐसे किया, जैसे यह पहले से प्रसिद्ध हो, इससे इसका अर्थ है कि यह तब से पहले ही बोली जाने वाली थी।<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/> फेलर 1936 से 1939 तक [[स्टॉकहोम विश्वविद्यालय]] में हराल्ड क्रामर के साथ काम कर रहे थे, जहां लुंडबर्ग क्रामर के निर्देशन में एक डॉक्टरेट छात्र थे, जिन्होंने इस शब्द का उपयोग नहीं किया था, जिसकी पुस्तक को वे 1936 में पूरा कर चुके थे, लेकिन इसके बाद की संस्करणों में किया, जिससे यह संकेत मिला है कि ''प्वासों प्रक्रिया'' शब्द का निर्माण स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में 1936 से 1939 के बीच किया गया था।<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>
+== शब्दावली ==
-स्वेड [[कोनी पाम]] ने अपने 1943 के शोध प्रबंध में समय के बिंदुओं के बीच सांख्यिकीय या स्टोचैस्टिक निर्भरता के संदर्भ में [[एक आयामी]] सेटिंग में पॉइसन और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया।<ref name="DaleyVere-Jones2007page13">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=13–14}}</ref><ref name="haugen1995life"/>उनके काम में जर्मन में पंकटप्रोज़ेस के रूप में शब्द बिंदु प्रक्रियाओं का पहला ज्ञात रिकॉर्ड मौजूद है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page13"/><ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>
+बिंदु प्रक्रिया सिद्धांत की शब्दावली सामान्य रूप से बहुत असमघातीय मानी जाती है।<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/> बिंदु शब्द को छोड़ दिया जाना एक साधारण बात है,<ref name="DaleyVere-Jones2007"/><ref name="Kingman1992"/> समान प्वासों (बिंदु) प्रक्रिया को समघातीय प्वासों (बिंदु) प्रक्रिया के रूप में भी कहा जाता है,<ref name="DaleyVere-Jones2007page19"/> साथ ही यह ''स्थायी'' प्वासों (बिंदु) प्रक्रिया भी कहलाती है।<ref name="Kingman1992page13"/> असमघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया, ''असमघातीय'' के रूप के साथ ही,<ref name="DaleyVere-Jones2007page19"/> ''स्थायी'' प्वासों प्रक्रिया के रूप में भी उल्लेख की जाती है।<ref name="Tijms2003page22"/>{{sfnp|Cox|Isham|1980|page=X}}
-माना गया हे<ref name="Stirzaker2000"/>1940 के एक पेपर में विलियम फेलर इसे पॉइसन प्रक्रिया के रूप में संदर्भित करने वाले पहले व्यक्ति थे। हालांकि स्वेड ओवे लुंडबर्ग ने अपने 1940 के पीएचडी शोध प्रबंध में पोइसन प्रक्रिया शब्द का इस्तेमाल किया था,<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>जिसमें फेलर को एक प्रभाव के रूप में स्वीकार किया गया था,<ref name="grandell1997mixed">J. Grandell. ''Mixed poisson processes'', volume 77. CRC Press, 1997.</ref> यह दावा किया गया है कि फेलर ने 1940 से पहले यह शब्द गढ़ा था।<ref name="grimmett2001probability"/>यह टिप्पणी की गई है कि फेलर और लुंडबर्ग दोनों ने इस शब्द का इस्तेमाल किया था, हालांकि यह प्रसिद्ध था, जिसका अर्थ यह था कि तब तक यह पहले से ही मौखिक उपयोग में था।<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>फेलर ने 1936 से 1939 तक [[स्टॉकहोम विश्वविद्यालय]] में हेराल्ड क्रैमर के साथ काम किया, जहां लुंडबर्ग क्रैमर के तहत पीएचडी छात्र थे, जिन्होंने 1936 में समाप्त हुई अपनी पुस्तक में पोइसन प्रक्रिया शब्द का इस्तेमाल नहीं किया, लेकिन बाद के संस्करणों में किया, जिसके कारण उनका नेतृत्व हुआ अटकलें हैं कि पोइसन प्रक्रिया शब्द 1936 और 1939 के बीच स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में गढ़ा गया था।<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>
+शब्द ''बिंदु प्रक्रिया'' की आलोचना की गई है, क्योंकि शब्द ''प्रक्रिया'' समय और स्थान के साथ सुझाव दे सकती है, इसलिए ''यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र'',<ref name="ChiuStoyan2013page109">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=109}}</ref> जिसके परिणामस्वरूप ''पोइसन यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र'' या ''प्वासों बिंदु क्षेत्र'' का भी उपयोग किया जाता है।<ref name="mikhailov2010statistical">G. Mikhailov and T. Averina. Statistical modeling of inhomogeneous random functions on the basis of poisson point fields. In ''Doklady Mathematics'', volume 82, pages 701–704. Springer, 2010.</ref> एक बिंदु प्रक्रिया को माना जाता है, और कभी-कभी इसे एक यादृच्छिक गिनती माप कहा जाता है,<ref name="molchanov2006theory">I. Molchanov. ''Theory of random sets''. Springer Science \& Business Media, 2006.</ref> इसलिए पॉसॉन बिंदु प्रक्रिया को एक ''प्वासों यादृच्छिक'' ''माप'' के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="sato1999levy">K. Sato. Lévy processes and infinite divisibility, 1999.</ref> लेवी प्रक्रियाओं के अध्ययन में प्रयुक्त शब्द,<ref name="sato1999levy"/><ref name="mandrekar2015stochastic">V. Mandrekar and B. Rüdiger. ''Stochastic Integration in Banach Spaces''. Springer, 2015.</ref>  लेकिन कुछ लोग दो अलग-अलग अंतर्निहित स्थानों पर परिभाषित प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के लिए दो शब्दों का उपयोग करना चुनते हैं।<ref name="applebaum2009levy">D. Applebaum. ''Lévy processes and stochastic calculus''. Cambridge university press, 2009.</ref>
+प्वासों बिंदु प्रक्रिया की आधारभूत गणितीय स्थान को "'''कैरियर समष्टि'''",<ref name="harding1974stochastic">E. F. Harding and R. Davidson. ''Stochastic geometry: a tribute to the memory of Rollo Davidson''. Wiley, 1974.</ref><ref name="chen2004stein">L. H. Chen and A. Xia. Stein's method, Palm theory and Poisson process approximation. ''Annals of probability'', pages 2545–2569, 2004.</ref> या "'''स्थिति समष्टि'''" कहा जाता है, हालांकि इस्पात संदर्भ में दूसरा शब्द अलग अर्थ रखता है। बिंदु प्रक्रियाओं के संदर्भ में, "स्थिति समष्टि" शब्द का उपयोग बिंदु प्रक्रिया के परिभाषित स्थान को दर्शाने के लिए किया जा सकता है, जैसे वास्तविक रेखा,<ref name="Kingman1992page8">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=8}}</ref><ref name="MollerWaagepetersen2003page7">{{cite book|author1=Jesper Moller|author2=Rasmus Plenge Waagepetersen|title=स्थानिक बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सांख्यिकीय अनुमान और अनुकरण|url=https://books.google.com/books?id=dBNOHvElXZ4C|date=25 September 2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-49693-0|page=7}}</ref> जो प्रसंभाव्य प्रक्रिया की शब्दावली में अनुक्रमणिका समुच्चय<ref name="Parzen1999page7and29">{{cite book|author=Emanuel Parzen|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=0mB2CQAAQBAJ|date=17 June 2015|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-79688-8|pages=7–8 and 29–30}}</ref>या पैरामीटर समुच्चय<ref name="Lamperti1977page1and10">{{cite book|author=John Lamperti|title=Stochastic processes: a survey of the mathematical theory|url=https://books.google.com/books?id=Pd4cvgAACAAJ|year=1977|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-90275-1|pages=1 and 10–11}}</ref> के समर्थन स्थान के तौर पर प्रतिष्ठित होती है।
-== शब्दावली ==
+माप <math>\textstyle \Lambda</math> को ''तीव्रता माप'' कहा जाता है,<ref name="ChiuStoyan2013page112">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=112}}</ref> ''औसत माप'',<ref name="Kingman1992page11" /> या ''पैरामीटर माप'',<ref name="DaleyVere-Jones2007IIpage31" /> क्योंकि इसमें कोई मानक शब्द नहीं हैं।<ref name="Kingman1992page11" /> यदि <math>\textstyle \Lambda</math> का व्युत्पन्न या घनत्व है, जिसे <math>\textstyle \lambda(x)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है, तो प्वासों बिंदु प्रक्रिया का ''तीव्रता फलन'' कहा जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page51" /> समघातीय पोइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए, तीव्रता माप का व्युत्पन्न केवल स्थिर <math>\textstyle \lambda>0</math> है, जिसे दर के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, आमतौर पर जब अंतर्निहित समष्टि वास्तविक रेखा या ''तीव्रता'' होती है।<ref name="Kingman1992page13" /> इसे ''औसत दर'' या ''औसत घनत्व''<ref name="DaleyVere-Jones2007page20">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=20}}</ref> या ''दर'' भी कहा जाता है।<ref name="Ross1996page59" /> <math>\textstyle \lambda=1</math> के लिए, संबंधित प्रक्रिया को कभी-कभी ''मानक प्वासों'' (बिंदु) प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।<ref name="MollerWaagepetersen2003page14" /><ref name="merzbach1986characterization" /><ref name="grandell1977point">J. Grandell. Point processes and random measures. ''Advances in Applied Probability'', pages 502–526, 1977.</ref>
-सामान्य रूप से बिंदु प्रक्रिया सिद्धांत की शब्दावली की अत्यधिक विविध होने के लिए आलोचना की गई है।<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>शब्द बिंदु के अलावा अक्सर छोड़ा जा रहा है,<ref name="DaleyVere-Jones2007"/><ref name="Kingman1992"/>सजातीय पॉसॉन (बिंदु) प्रक्रिया को स्थिर पॉइसन (बिंदु) प्रक्रिया भी कहा जाता है,<ref name="DaleyVere-Jones2007page19"/>साथ ही एकसमान पोइसन (बिंदु) प्रक्रिया।<ref name="Kingman1992page13"/>विषम पोइसन बिंदु प्रक्रिया, साथ ही गैर-सजातीय कहा जा रहा है,<ref name="DaleyVere-Jones2007page19"/>इसे गैर-स्थिर पॉइसन प्रक्रिया के रूप में भी जाना जाता है।<ref name="Tijms2003page22"/>{{sfnp|Cox|Isham|1980|page=X}}
+प्वासों बिंदु प्रक्रिया की सीमा को कभी-कभी ''एक्सपोजर'' कहा जाता है।<ref name="Vose">{{Citation | title = Some Poisson models | publisher = Vose Software
-शब्द बिंदु प्रक्रिया की आलोचना की गई है, क्योंकि शब्द प्रक्रिया समय और स्थान के साथ सुझाव दे सकती है, इसलिए यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र,<ref name="ChiuStoyan2013page109">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=109}}</ref> परिणामस्वरूप पोइसन यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र या पॉइसन बिंदु क्षेत्र का भी उपयोग किया जा रहा है।<ref name="mikhailov2010statistical">G. Mikhailov and T. Averina. Statistical modeling of inhomogeneous random functions on the basis of poisson point fields. In ''Doklady Mathematics'', volume 82, pages 701–704. Springer, 2010.</ref> एक बिंदु प्रक्रिया माना जाता है, और कभी-कभी एक यादृच्छिक गिनती उपाय कहा जाता है,<ref name="molchanov2006theory">I. Molchanov. ''Theory of random sets''. Springer Science \& Business Media, 2006.</ref> इसलिए पोइसन बिंदु प्रक्रिया को पॉसों यादृच्छिक माप के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="sato1999levy">K. Sato. Lévy processes and infinite divisibility, 1999.</ref> लेवी प्रक्रियाओं के अध्ययन में प्रयुक्त शब्द,<ref name="sato1999levy"/><ref name="mandrekar2015stochastic">V. Mandrekar and B. Rüdiger. ''Stochastic Integration in Banach Spaces''. Springer, 2015.</ref> लेकिन कुछ दो अलग-अलग अंतर्निहित स्थानों पर परिभाषित प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के लिए दो शब्दों का उपयोग करना चुनते हैं।<ref name="applebaum2009levy">D. Applebaum. ''Lévy processes and stochastic calculus''. Cambridge university press, 2009.</ref>
-प्वासों बिंदु प्रक्रिया के अंतर्निहित गणितीय स्थान को वाहक स्थान कहा जाता है,<ref name="harding1974stochastic">E. F. Harding and R. Davidson. ''Stochastic geometry: a tribute to the memory of Rollo Davidson''. Wiley, 1974.</ref><ref name="chen2004stein">L. H. Chen and A. Xia. Stein's method, Palm theory and Poisson process approximation. ''Annals of probability'', pages 2545–2569, 2004.</ref> या राज्य स्थान, हालांकि बाद वाले शब्द का स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के संदर्भ में एक अलग अर्थ है। बिंदु प्रक्रियाओं के संदर्भ में, राज्य स्थान शब्द का अर्थ उस स्थान से हो सकता है जिस पर बिंदु प्रक्रिया को वास्तविक रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है,<ref name="Kingman1992page8">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=8}}</ref><ref name="MollerWaagepetersen2003page7">{{cite book|author1=Jesper Moller|author2=Rasmus Plenge Waagepetersen|title=स्थानिक बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सांख्यिकीय अनुमान और अनुकरण|url=https://books.google.com/books?id=dBNOHvElXZ4C|date=25 September 2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-49693-0|page=7}}</ref> जो इंडेक्स सेट से मेल खाता है<ref name="Parzen1999page7and29">{{cite book|author=Emanuel Parzen|title=स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|url=https://books.google.com/books?id=0mB2CQAAQBAJ|date=17 June 2015|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-79688-8|pages=7–8 and 29–30}}</ref> या पैरामीटर सेट<ref name="Lamperti1977page1and10">{{cite book|author=John Lamperti|title=Stochastic processes: a survey of the mathematical theory|url=https://books.google.com/books?id=Pd4cvgAACAAJ|year=1977|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-90275-1|pages=1 and 10–11}}</ref> स्टोकेस्टिक प्रक्रिया शब्दावली में।
-पैमाना <math>\textstyle \Lambda</math> तीव्रता माप कहा जाता है,<ref name="ChiuStoyan2013page112">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=112}}</ref> औसत माप,<ref name="Kingman1992page11"/>या पैरामीटर माप,<ref name="DaleyVere-Jones2007IIpage31"/>क्योंकि कोई मानक शर्तें नहीं हैं।<ref name="Kingman1992page11"/>अगर  <math>\textstyle \Lambda</math> एक व्युत्पन्न या घनत्व है, जिसे निरूपित किया गया है <math>\textstyle \lambda(x)</math>, पॉसों बिंदु प्रक्रिया का तीव्रता कार्य कहा जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page51"/>सजातीय पॉसों बिंदु प्रक्रिया के लिए, तीव्रता माप का व्युत्पन्न केवल एक स्थिरांक है <math>\textstyle \lambda>0</math>, जिसे दर के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, आमतौर पर जब अंतर्निहित स्थान वास्तविक रेखा या तीव्रता होती है।<ref name="Kingman1992page13"/>इसे औसत दर या औसत घनत्व भी कहा जाता है<ref name="DaleyVere-Jones2007page20">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=20}}</ref> या दर।<ref name="Ross1996page59"/>के लिए <math>\textstyle \lambda=1</math>, संबंधित प्रक्रिया को कभी-कभी मानक पॉइसन (बिंदु) प्रक्रिया के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref name="MollerWaagepetersen2003page14"/><ref name="merzbach1986characterization"/><ref name="grandell1977point">J. Grandell. Point processes and random measures. ''Advances in Applied Probability'', pages 502–526, 1977.</ref>
-प्वासों बिंदु प्रक्रिया की सीमा को कभी-कभी जोखिम कहा जाता है।<ref name="Vose">{{Citation | title = Some Poisson models | publisher = Vose Software
 | url = http://www.vosesoftware.com/ModelRiskHelp/index.htm#Probability_theory_and_statistics/Stochastic_processes/Some_Poisson_models.htm
 | access-date  = 18 January 2016}}</ref><ref name="Jouni">{{Citation
@@ Line 323: / Line 293: @@
 | url = https://cran.r-project.org/web/packages/KFAS/vignettes/KFAS.pdf
 | access-date = 18 January 2016}}</ref>
+== अंकन (नोटेशन) ==
+{{main|बिंदु प्रक्रिया अंकन}}
+प्वासों बिंदु प्रक्रिया की नोटेशन इसकी स्थापना और उस क्षेत्र पर निर्भर करती है जिसमें इसका उपयोग हो रहा है। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर, प्वासों प्रक्रिया, समरूपी या असमरूपी दोनों, कभी-कभी एक गिनती प्रक्रिया के रूप में व्याख्या की जाती है, और नोटेशन <math>\textstyle \{N(t), t\geq 0\}</math> का प्रयोग प्वासों प्रक्रिया को प्रतिष्ठान करने के लिए किया जाता है।<ref name="Tijms2003page1" /><ref name="Ross1996page59" />
-== नोटेशन ==
+विभिन्न नोटेशन के लिए एक अन्य कारण बिंदु प्रक्रिया के सिद्धांत का हो सकता है, जिसके कुछ गणितीय व्याख्यान होते हैं। उदाहरण के लिए, साधारण प्वासों बिंदु प्रक्रिया को किसी यादृच्छिक समुच्चय के रूप में विचार किया जा सकता है, जिससे संकेतन <math>\textstyle x\in N</math> दर्शाते है, जो प्रस्तावित करता है कि <math>\textstyle x</math> प्वासों बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle N</math> का एक यादृच्छिक बिंदु होता है या इसका तत्व होता है। एक अन्य अधिक सामान्य, व्याख्या यह है कि प्वासों या किसी अन्य बिंदु प्रक्रिया को किसी यादृच्छिक गणना माप के रूप में विचार किया जा सकता है, ताकि हम किसी (बोरेल माप्य) क्षेत्र <math>\textstyle B</math> में पाए जाने वाले बिंदुओं की संख्या <math>\textstyle {N}</math> को <math>\textstyle N(B)</math> के रूप में लिख सकें, जो एक यादृच्छिक परिवर्तन है। इन विभिन्न व्याख्याओं के परिणामस्वरूप गणितीय क्षेत्रों जैसे माप सिद्धांत और सेट सिद्धांत से संकेतन का उपयोग किया जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page110" />
-{{main|Point process notation}}
-पोइसन बिंदु प्रक्रिया का अंकन इसकी सेटिंग और उस क्षेत्र पर निर्भर करता है जिसमें इसे लागू किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर, पॉइसन प्रक्रिया, सजातीय या विषम दोनों, कभी-कभी एक गिनती प्रक्रिया के रूप में व्याख्या की जाती है, और संकेतन  <math>\textstyle \{N(t), t\geq 0\}</math> पोइसन प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है।<ref name="Tijms2003page1"/><ref name="Ross1996page59"/>
-अलग-अलग अंकन का एक अन्य कारण बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत के कारण है, जिसमें कुछ गणितीय व्याख्याएं हैं। उदाहरण के लिए, एक साधारण पोइसन पॉइंट प्रक्रिया को एक यादृच्छिक सेट माना जा सकता है, जो संकेतन का सुझाव देता है <math>\textstyle x\in N</math>, जिसका अर्थ है <math>\textstyle x</math> पोइसन बिंदु प्रक्रिया से संबंधित या उसका एक तत्व होने वाला एक यादृच्छिक बिंदु है <math>\textstyle N</math>. एक और, अधिक सामान्य, व्याख्या एक प्वासों या किसी अन्य बिंदु प्रक्रिया को एक यादृच्छिक गिनती माप के रूप में माना जाता है, इसलिए एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया के अंकों की संख्या लिख सकता है <math>\textstyle {N}</math> कुछ (बोरेल मापने योग्य) क्षेत्र में पाया या स्थित होना <math>\textstyle B</math> जैसा <math>\textstyle N(B)</math>, जो एक यादृच्छिक चर है। इन विभिन्न व्याख्याओं के परिणामस्वरूप गणितीय क्षेत्रों जैसे माप सिद्धांत और सेट सिद्धांत से संकेतन का उपयोग किया जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page110"/>
+सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, कभी-कभी बिंदु प्रतीक पर सबस्क्रिप्ट, उदाहरण के लिए <math>\textstyle x</math>, सम्मिलित होता है अतः किसी व्यष्टि बिंदु को इसे छोड़कर (समुच्चय अंकन के साथ) <math>\textstyle x_i\in N</math> के स्थान पर <math>\textstyle x\in N</math> के रूप में लिखा जाता है, और ऐसे समाकल व्यंजकों में [[बाध्य चर|परिमित चर]] के लिए <math>\textstyle x</math> का प्रयोग किया जा सकता है, जैसे कैम्पबेल के सिद्धांत में, जो यादृच्छिक बिंदुओं का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।<ref name="baccelli2009stochastic1" /> कभी-कभी बड़ा अक्षर बिंदु प्रक्रिया को दर्शाता है, जबकि छोटा अक्षर प्रक्रिया से एक बिंदु को दर्शाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, बिंदु <math>\textstyle x</math> या <math>\textstyle x_i</math> बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle X</math> का भाग होता है या उसका बिंदु होता है, और समुच्चय अंकन के साथ <math>\textstyle x\in X</math> या <math>\textstyle x_i\in X</math> के रूप में लिखा जा सकता है।<ref name="MollerWaagepetersen2003page7" />
-सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए, कभी-कभी बिंदु प्रतीक पर एक सबस्क्रिप्ट, उदाहरण के लिए <math>\textstyle x</math>, शामिल है इसलिए कोई लिखता है (सेट नोटेशन के साथ) <math>\textstyle x_i\in N</math> के बजाय <math>\textstyle x\in N</math>, और <math>\textstyle x</math> यादृच्छिक बिंदुओं को दर्शाने के बजाय कैंपबेल के प्रमेय जैसे अभिन्न अभिव्यक्तियों में [[बाध्य चर]] के लिए उपयोग किया जा सकता है।<ref name="baccelli2009stochastic1"/>कभी-कभी एक अपरकेस अक्षर बिंदु प्रक्रिया को दर्शाता है, जबकि एक छोटा अक्षर प्रक्रिया से एक बिंदु को दर्शाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, बिंदु <math>\textstyle x</math> या <math>\textstyle x_i</math> से संबंधित है या बिंदु प्रक्रिया का एक बिंदु है <math>\textstyle X</math>, और सेट नोटेशन के रूप में लिखा जाए <math>\textstyle x\in X</math> या <math>\textstyle x_i\in X</math>.<ref name="MollerWaagepetersen2003page7"/>
+इसके अतिरिक्त, समुच्चय सिद्धांत और समाकल या माप सिद्धांत अंकन का परस्पर उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्टेट स्पेस <math>\textstyle {\mathbb{R}^d} </math> पर परिभाषित बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle N</math> और <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> पर (मापने योग्य) फलन <math>\textstyle f</math> के लिए, व्यंजक
-इसके अलावा, सेट सिद्धांत और इंटीग्रल या माप सिद्धांत संकेतन का परस्पर उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle N</math> यूक्लिडियन राज्य स्थान पर परिभाषित <math>\textstyle {\mathbb{R}^d} </math> और एक (औसत दर्जे का) समारोह <math>\textstyle f</math> पर <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> , इजहार
 :<math> \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\,\mathrm dN(x)=\sum\limits_{x_i\in N} f(x_i), </math>
-एक बिंदु प्रक्रिया पर एक योग लिखने के दो अलग-अलग तरीकों को प्रदर्शित करता है (कैंपबेल की प्रमेय (प्रायिकता) भी देखें)। अधिक विशेष रूप से, बायीं ओर का अभिन्न अंकन बिंदु प्रक्रिया को एक यादृच्छिक गिनती माप के रूप में व्याख्या कर रहा है, जबकि दायीं ओर का योग एक यादृच्छिक सेट व्याख्या का सुझाव देता है।<ref name="ChiuStoyan2013page110"/>
+दो विभिन्न विधियों को दिखाता है बिंदु प्रक्रिया पर एक योग को लिखने के लिए (कैम्पबेल की प्रमेय भी देखें (प्रायिकता))। अधिक विशेष रूप से, बाएं हाथ की ओर समाकल अंकन बिंदु प्रक्रिया को यादृच्छिक गणना माप के रूप में व्याख्या कर रहा है जबकि दाएं हाथ की ओर सम किसी यादृच्छिक समुच्चय व्याख्या प्रस्तावित करता है।<ref name="ChiuStoyan2013page110" />
+== प्रकार्य और मोमेंट माप ==
-== कार्यात्मक और पल उपाय ==
-संभाव्यता सिद्धांत में, संचालन विभिन्न उद्देश्यों के लिए यादृच्छिक चर पर लागू होते हैं। कभी-कभी ये संक्रियाएँ नियमित अपेक्षाएँ होती हैं जो एक यादृच्छिक चर का औसत या प्रसरण उत्पन्न करती हैं। अन्य, जैसे कि एक यादृच्छिक चर के विशिष्ट कार्य (या लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म) का उपयोग यादृच्छिक चर की विशिष्ट पहचान या विशेषता के लिए किया जा सकता है और केंद्रीय सीमा प्रमेय जैसे परिणाम साबित कर सकता है।<ref name="karr1993probability">A. Karr. ''Probability''. Springer Texts in Statistics Series. Springer-Verlag, 1993.</ref> बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत में समान गणितीय उपकरण मौजूद हैं जो आमतौर पर क्रमशः क्षणों और कार्यों के बजाय उपायों और कार्यों के रूप में मौजूद होते हैं।<ref name="ChiuStoyan2013page120to126">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=120–126}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2007page52to75">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=52–75}}</ref>
-=== लाप्लास कार्यात्मक ===
+प्रायिकता सिद्धांत में, विभिन्न उद्देश्यों के लिए यादृच्छिक संख्याओं पर संचालित किए जाते हैं। कभी-कभी ये संक्रियाएँ नियमित आपेक्षिक होती हैं जो किसी यादृच्छिक संख्या के औसत या प्रसारण का निर्माण करते हैं। अन्य, यादृच्छिक संख्या की विशेषता-कारक (या लाप्लास रूपांतरण) के रूप में उपयोग किए जा सकते हैं, जो यादृच्छिक संख्याओं की अद्वितीय पहचान करने या वर्गमूल सीमा सिद्धांत जैसे परिणामों को सिद्ध करने में सहायता प्रदान करते हैं।<ref name="karr1993probability">A. Karr. ''Probability''. Springer Texts in Statistics Series. Springer-Verlag, 1993.</ref> बिंदु प्रक्रिया के सिद्धांत में, इसी तरह के गणितीय साधन होते हैं जो सामान्यतः किसी माप और कार्यात्मक के रूप में होते हैं और किसी भी प्रकार के मोमेंट और फलन के के स्थान पर विद्यमान होते हैं।<ref name="ChiuStoyan2013page120to126">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=120–126}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2007page52to75">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=52–75}}</ref>
-पॉसों बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle N</math> तीव्रता माप के साथ <math>\textstyle \Lambda</math> किसी जगह पर <math>X</math>, [[लाप्लास कार्यात्मक]] द्वारा दिया गया है:<ref name="baccelli2009stochastic1"/>
+=== लाप्लास प्रकार्य ===
+किसी स्थान <math>X</math> पर तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda</math> के साथ किसी प्वासों बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle N</math> के लिए, [[लाप्लास कार्यात्मक|लाप्लास प्रकार्य]] निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:<ref name="baccelli2009stochastic1"/>
 :<math> L_N(f)= \mathbb{E} e^{-\int_X f(x)\, N(\mathrm dx)} = e^{-\int_{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda(\mathrm dx)}, </math>
-कैंपबेल के प्रमेय का एक संस्करण (प्रायिकता)#दूसरी परिभाषा: पोइसन बिंदु प्रक्रिया | कैंपबेल के प्रमेय में पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लाप्लास कार्यात्मक शामिल हैं।
+कैंपबेल के प्रमेय के एक संस्करण में प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लाप्लास प्रकार्य सम्मिलित है।
-=== संभाव्यता पैदा करने वाले कार्य ===
+=== प्रायिकता जनित्र फलन ===
-गैर-ऋणात्मक पूर्णांक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का संभाव्यता उत्पन्न करने वाला कार्य किसी भी गैर-नकारात्मक बाध्य फ़ंक्शन के संबंध में कार्यात्मक रूप से परिभाषित होने की संभावना उत्पन्न करता है। <math>\textstyle v</math> पर <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> ऐसा है कि <math>\textstyle 0\leq v(x) \leq 1</math>. एक बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle {N}</math> संभाव्यता उत्पन्न करने वाले कार्यात्मक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:<ref name="ChiuStoyan2013page125">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=125–126}}</ref>
+गैर-ऋणात्मक पूर्णांक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का प्रायिकता जनित्र फलन किसी भी गैर-ऋणात्मक परिबद्ध फलन <math>\textstyle v</math> पर <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> जैसे कि <math>\textstyle 0\leq v(x) \leq 1</math> के संबंध में समान रूप से परिभाषित प्रायिकता जनित्र फलन की ओर जाता है। किसी बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle {N}</math> प्रायिकता जनित्र फलन को परिभाषित किया गया है :<ref name="ChiuStoyan2013page125">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=125–126}}</ref>
 :<math> G(v)=\operatorname E \left[\prod_{x\in N} v(x) \right] </math>
-जहां उत्पाद सभी बिंदुओं के लिए किया जाता है <math display=inline> N </math>. यदि तीव्रता मापी जाती है <math>\textstyle \Lambda</math> का <math>\textstyle {N}</math> स्थानीय रूप से परिमित है, तो <math display=inline> G</math> किसी भी मापने योग्य कार्य के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है <math>\textstyle u</math> पर <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math>. तीव्रता माप के साथ पॉसों बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle \Lambda</math> जनरेटिंग फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है:
+जहां गुणनफल <math display="inline"> N </math> में सभी बिंदुओं के लिए किया जाता है। यदि <math>\textstyle {N}</math> की तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda</math> स्थानीय रूप से परिमित है, अतः <math display="inline"> G</math>, <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> पर किसी भी मापनीय फलन <math>\textstyle u</math> के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda</math> के साथ किसी प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए जनित्र फलन द्वारा दिया गया है:
 :<math> G(v)=e^{-\int_{\mathbb{R}^d} [1-v(x)]\,\Lambda(\mathrm dx)}, </math>
-जो सजातीय मामले में कम हो जाता है
+जो समघाती स्थितियों में कम हो जाता है
 :<math> G(v)=e^{-\lambda\int_{\mathbb{R}^d} [1-v(x)]\,\mathrm dx}. </math>
+=== मोमेंट माप ===
+तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda</math> के साथ एक सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए प्रथम मोमेंट माप इसकी तीव्रता माप है:<ref name="baccelli2009stochastic1"/><ref name="Haenggi2013"/>
-=== पल माप ===
-तीव्रता माप के साथ एक सामान्य पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle \Lambda</math> पहला पल माप इसकी तीव्रता माप है:<ref name="baccelli2009stochastic1"/><ref name="Haenggi2013"/>
 :<math> M^1(B)=\Lambda(B), </math>
-जो गणितीय निरंतर तीव्रता के साथ एक सजातीय पॉसों बिंदु प्रक्रिया के लिए है <math>\textstyle \lambda</math> साधन:
+जो सतत तीव्रता <math>\textstyle \lambda</math> के साथ समघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए है:
 :<math> M^1(B)=\lambda|B|, </math>
-कहाँ <math>\textstyle |B|</math> की लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन (या अधिक सामान्यतः, [[लेबेस्ग उपाय]]) है <math>\textstyle B</math>.
+जहां <math>\textstyle |B|</math>, <math>\textstyle B</math> की लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन (या अधिक सामान्यतः, [[लेबेस्ग उपाय|लेबेस्ग माप]]) है।
 === मेके समीकरण ===
-मेके समीकरण पॉसों बिंदु प्रक्रिया की विशेषता है। होने देना <math>\mathbb{N}_\sigma</math> सभी का स्थान हो <math>\sigma</math>कुछ सामान्य स्थान पर सीमित उपाय <math>\mathcal{Q}</math>. एक बिंदु प्रक्रिया <math>\eta</math> तीव्रता के साथ <math>\lambda</math> पर <math>\mathcal{Q}</math> यदि और केवल यदि सभी औसत दर्जे के कार्यों के लिए पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है <math>f:\mathcal{Q}\times\mathbb{N}_\sigma\to \mathbb{R}_+</math> निम्नलिखित धारण करता है
+मेके समीकरण प्वासों बिंदु प्रक्रिया की विशेषता बताता है। <math>\mathbb{N}_\sigma</math> को कुछ सामान्य स्थान <math>\mathcal{Q}</math> पर सभी <math>\sigma</math>-परिमित उपायों का स्थान दें। <math>\mathcal{Q}</math> पर तीव्रता <math>\lambda</math> के साथ बिंदु प्रक्रिया <math>\eta</math> प्वासों बिंदु प्रक्रिया है यदि और केवल यदि सभी मापनीय फलनों के लिए <math>f:\mathcal{Q}\times\mathbb{N}_\sigma\to \mathbb{R}_+</math> निम्नलिखित धारण करता है
 :<math>\Pr \left[\int f(x,\eta)\eta(\mathrm{d}x)\right]=\int \Pr \left[ f(x,\eta+\delta_x) \right] \lambda(\mathrm{d}x)</math>
 अधिक जानकारी के लिए देखें।<ref name="Proper Point Process">{{cite book|author1=Günter Last|author2=Mathew Penrose|title=प्वासों प्रक्रिया पर व्याख्यान|url=http://www.math.kit.edu/stoch/~last/seite/lectures_on_the_poisson_process/media/lastpenrose2017.pdf|date=8 August 2017}}</ref>
+=== क्रमगुणित मोमेंट माप ===
+तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda</math> के साथ सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle n</math>-वाँ तथ्यात्मक मोमेंट माप व्यंजक द्वारा दिया जाता है:<ref name="ChiuStoyan2013page47">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=47–48}}</ref>
-=== क्रमगुणित आघूर्ण माप ===
-तीव्रता माप के साथ एक सामान्य पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle \Lambda</math>  <math>\textstyle n</math>-वें तथ्यात्मक क्षण माप अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है:<ref name="ChiuStoyan2013page47">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=47–48}}</ref>
 :<math> M^{(n)}(B_1\times\cdots\times B_n)=\prod_{i=1}^n[\Lambda(B_i)], </math>
-कहाँ <math>\textstyle \Lambda</math> तीव्रता माप या प्रथम क्षण माप है <math>\textstyle {N}</math>, जो कुछ बोरेल सेट के लिए <math>\textstyle B</math> द्वारा दिया गया है
+जहां <math>\textstyle \Lambda</math> तीव्रता माप या <math>\textstyle {N}</math> का प्रथम मोमेंट माप है, जो कि कुछ बोरेल समुच्चय <math>\textstyle B</math> के द्वारा दिया जाता है
 :<math> \Lambda(B)=M^1(B)=\operatorname E[N(B)]. </math>
-एक सजातीय पॉसों बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle n</math>-वां भाज्य आघूर्ण माप सरल है:<ref name="baccelli2009stochastic1"/><ref name="Haenggi2013"/>
+किसी समघातीय प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle n</math>-वां क्रमगुणित मोमेंट मात्र है:<ref name="baccelli2009stochastic1"/><ref name="Haenggi2013"/>
 :<math> M^{(n)}(B_1\times\cdots\times B_n)=\lambda^n \prod_{i=1}^n |B_i|, </math>
-कहाँ <math>\textstyle |B_i|</math> की लंबाई, क्षेत्रफल, या आयतन (या अधिक सामान्यतः, Lebesgue माप) है <math>\textstyle B_i</math>. इसके अलावा, <math>\textstyle n</math>-वां फैक्टोरियल पल घनत्व है:<ref name="ChiuStoyan2013page47"/>
+जहां <math>\textstyle |B_i|</math>, <math>\textstyle B_i</math> की लंबाई, क्षेत्रफल, या आयतन (या अधिक सामान्य रूप से, लेबेस्ग माप) है। इसके अतिरिक्त, <math>\textstyle n</math>-वां क्रमगुणित मोमेंट घनत्व है:<ref name="ChiuStoyan2013page47" />
 :<math> \mu^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\lambda^n. </math>
+== परिवर्जन फलन ==
+'''परिवर्जन फलन''' <ref name="DaleyVere-Jones2007page25"/>या '''वोयड प्रायिकता''' <ref name="ChiuStoyan2013page110">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=100}}</ref> <math>\textstyle v</math> बिंदु प्रक्रिया का <math>\textstyle {N}</math> कुछ सेट के संबंध में परिभाषित किया गया है <math>\textstyle B</math>, जो अंतर्निहित स्थान का सबसेट है <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math>, बिना अंक की प्रायिकता के रूप में <math>\textstyle {N}</math> में विद्यमान है <math>\textstyle B</math>. ज्यादा ठीक,<ref name="ChiuStoyan2013page42">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=42}}</ref> एक परीक्षण सेट के लिए <math>\textstyle B</math> परिवर्जन फलन द्वारा दिया जाता है:
-== परिहार समारोह ==
-परिहार समारोह <ref name="DaleyVere-Jones2007page25"/>या शून्य संभावना <ref name="ChiuStoyan2013page110">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=100}}</ref> <math>\textstyle v</math> एक बिंदु प्रक्रिया का <math>\textstyle {N}</math> कुछ सेट के संबंध में परिभाषित किया गया है <math>\textstyle B</math>, जो अंतर्निहित स्थान का सबसेट है <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math>, बिना अंक की संभावना के रूप में <math>\textstyle {N}</math> में विद्यमान है <math>\textstyle B</math>. ज्यादा ठीक,<ref name="ChiuStoyan2013page42">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=42}}</ref> एक परीक्षण सेट के लिए <math>\textstyle B</math>परिहार समारोह द्वारा दिया जाता है:
 :<math> v(B)=\Pr \{N(B)=0\}. </math>
-एक सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए <math>\textstyle {N}</math> तीव्रता माप के साथ <math>\textstyle \Lambda</math>, इसका परिहार कार्य इसके द्वारा दिया गया है:
+तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda</math> के साथ सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle {N}</math> के लिए, इसका परिवर्जन फलन निम्न द्वारा दिया जाता है:
 :<math> v(B)=e^{-\Lambda(B)} </math>
+=== रेनी की प्रमेय ===
+साधारण बिंदु प्रक्रियाएं अपनी शून्यता प्रायिकताओं द्वारा पूर्ण रूप से वर्णीय होती हैं।<ref name="ChiuStoyan2013page43">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=43}}</ref> अन्य शब्दों में, साधारण बिंदु प्रक्रिया की पूर्ण जानकारी शून्यता प्रायिकताओं में पूरी तरह से प्रतिष्ठित होती है, और यदि और केवल यदि दो साधारण बिंदु प्रक्रियाएं एक ही बिंदु प्रक्रियाएं हैं तो वे एक ही शून्यता प्रायिकताएं रखती हैं। प्वासों प्रक्रिया के लिए स्थिति को कभी-कभी ''रेनी के सिद्धांत'' के रूप में जाना जाता है, जो अल्फ्रेड रेनी द्वारा एक-विमा में समान प्रकार की किसी समानांतर बिंदु प्रक्रिया के स्थिति के लिए परिणाम की खोज करने के बाद नामित किया गया है।<ref name="Kingman1992page33">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=34}}</ref>
-=== रेनी की प्रमेय ===
+एक रूप में,<ref name="Kingman1992page33" /> रेनी के सिद्धांत के अनुसार किसी विस्तरित (या गैर-अणुगत) रेडोन माप <math>\textstyle \Lambda</math> पर <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> और एक समुच्चय <math>\textstyle A</math> है जो वर्गों के परिमित संघ है (इसलिए बोरेल{{efn|This set <math>\textstyle A</math> is formed by a finite number of unions, whereas a Borel set is formed by a countable number of set operations.<ref name="DaleyVere-Jones2007page384">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=384–385}}</ref>
+  }} नहीं है) तब यदि <math>\textstyle N</math> ऐसा एक गणनीय उपसमुच्चय है जो <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> का एक संख्यात्मक उपसमुच्चय होता है, जिसकी शर्तें हैं:
-सरल बिंदु प्रक्रियाओं को उनकी शून्य संभावनाओं द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page43">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=43}}</ref> दूसरे शब्दों में, एक साधारण बिंदु प्रक्रिया की पूरी जानकारी इसकी शून्य संभावनाओं में पूरी तरह से कब्जा कर ली जाती है, और दो सरल बिंदु प्रक्रियाओं में एक ही शून्य संभावनाएं होती हैं यदि और यदि केवल वही बिंदु प्रक्रियाएं होती हैं। पोइसन प्रक्रिया के मामले को कभी-कभी रेनी के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जिसका नाम अल्फ्रेड रेनी के नाम पर रखा गया है जिन्होंने एक-आयाम में एक सजातीय बिंदु प्रक्रिया के मामले के परिणाम की खोज की।<ref name="Kingman1992page33">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=34}}</ref>
-एक रूप में,<ref name="Kingman1992page33"/>रेनी की प्रमेय एक विसरित (या गैर-परमाणु) रेडॉन माप के लिए कहती है <math>\textstyle \Lambda</math> पर <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> और एक सेट <math>\textstyle A</math> आयतों का परिमित संघ है (इसलिए बोरेल नहीं{{efn|This set <math>\textstyle A</math> is formed by a finite number of unions, whereas a Borel set is formed by a countable number of set operations.<ref name="DaleyVere-Jones2007page384">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=384–385}}</ref>
-  }}) कि अगर <math>\textstyle N</math> का एक गणनीय उपसमुच्चय है <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> ऐसा है कि:
 :<math> \Pr \{N(A)=0\} = v(A) = e^{-\Lambda(A)} </math>
-तब <math>\textstyle {N}</math> तीव्रता माप के साथ पॉसों बिंदु प्रक्रिया है <math>\textstyle \Lambda</math>.
+तो <math>\textstyle {N}</math> तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda</math> के साथ प्वासों बिंदु प्रक्रिया है।
-== बिंदु प्रक्रिया संचालन ==
+== बिंदु प्रक्रिया संक्रियाएँ ==
-{{main|Point process operation}}
+{{main|बिंदु प्रक्रिया संक्रियाएँ}}
-नई बिंदु प्रक्रियाओं को प्राप्त करने और कुछ वस्तुओं के स्थानों के लिए नए गणितीय मॉडल विकसित करने के लिए बिंदु प्रक्रियाओं पर गणितीय संचालन किया जा सकता है। ऑपरेशन के एक उदाहरण को थिनिंग के रूप में जाना जाता है जिसमें एक नियम के अनुसार कुछ बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को हटाना या हटाना शामिल है, शेष बिंदुओं के साथ एक नई प्रक्रिया बनाना (हटाए गए बिंदु भी एक बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं)।<ref name="ChiuStoyan2013page158">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=158}}</ref>
+नई बिंदु प्रक्रियाओं को प्राप्त करने और कुछ वस्तुओं के स्थानों के लिए नए गणितीय मॉडल विकसित करने के लिए गणितीय संक्रिया बिंदु प्रक्रियाओं पर किया जा सकता है। ऑपरेशन के एक उदाहरण को थिनिंग के रूप में जाना जाता है, जिसमें एक नियम के अनुसार कुछ बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को हटाना सम्मिलित है, शेष बिंदुओं के साथ नई प्रक्रिया का निर्माण करना (हटाए गए बिंदु भी एक बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं)।<ref name="ChiuStoyan2013page158">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=158}}</ref>
+=== विरलन ===
+प्वासों प्रक्रिया के लिए, स्वतंत्र <math>\textstyle p(x)</math>-विरलन संक्रिया के परिणामस्वरूप एक और प्वासों बिंदु प्रक्रिया होती है। अधिक विशेष रूप से, तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda</math> के साथ एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया पर लागू एक <math>\textstyle p(x)</math>-विरलन संक्रिया हटाए गए बिंदुओं की एक बिंदु प्रक्रिया देता है जो प्वासों बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle {N}_p</math> की तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda_p</math> के साथ भी है, जो परिबद्ध बोरेल समुच्चय <math>\textstyle B</math> के लिए दिया गया है:
-=== पतला होना ===
-पोइसन प्रक्रिया के लिए, स्वतंत्र <math>\textstyle p(x)</math>-थिनिंग ऑपरेशन के परिणामस्वरूप एक और पॉइसन पॉइंट प्रक्रिया होती है। अधिक विशेष रूप से, ए <math>\textstyle p(x)</math>-थिनिंग ऑपरेशन तीव्रता माप के साथ पॉइसन पॉइंट प्रक्रिया पर लागू होता है <math>\textstyle \Lambda</math> हटाए गए बिंदुओं की एक बिंदु प्रक्रिया देता है जो पॉइसन बिंदु प्रक्रिया भी है <math>\textstyle {N}_p</math> तीव्रता माप के साथ <math>\textstyle \Lambda_p</math>, जो एक बंधे हुए बोरेल सेट के लिए है <math>\textstyle B</math> द्वारा दिया गया है:
 :<math> \Lambda_p(B)= \int_B p(x)\,\Lambda(\mathrm dx) </math>
-प्वासों बिंदु प्रक्रिया के इस पतले परिणाम को कभी-कभी प्रीकोपा के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page160">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=160}}</ref> इसके अलावा, एक पोइसन बिंदु प्रक्रिया को बेतरतीब ढंग से पतला करने के बाद, रखे गए या शेष बिंदु भी एक पॉइज़न बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं, जिसमें तीव्रता का माप होता है
+यह प्वासों बिंदु प्रक्रिया के विरलन का परिणाम कभी-कभी '''प्रेकोपा के सिद्धांत''' के रूप में जाना जाता है।<ref name="ChiuStoyan2013page160">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|pages=160}}</ref> इसके अतिरिक्त, प्वासों बिंदु प्रक्रिया को यादृच्छिक रूप से विरलन के बाद, शेष बिंदुओं भी प्वासों बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं, जिसका तीव्रता माप है
 :<math> \Lambda_p(B)= \int_B (1-p(x))\,\Lambda(\mathrm dx). </math>
-हटाए गए और रखे गए बिंदुओं से क्रमशः बनने वाली दो अलग-अलग पॉइसन बिंदु प्रक्रियाएं एक दूसरे से स्टोकेस्टिक रूप से स्वतंत्र हैं।<ref name="ChiuStoyan2013page158"/>दूसरे शब्दों में, यदि किसी क्षेत्र को सम्‍मिलित करने के लिए जाना जाता है <math>\textstyle n</math> रखे गए बिंदु (मूल पॉइसन बिंदु प्रक्रिया से), तो इसका समान क्षेत्र में हटाए गए बिंदुओं की यादृच्छिक संख्या पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। बेतरतीब ढंग से एक से दो स्वतंत्र पॉसों बिंदु प्रक्रियाओं को बनाने की क्षमता को कभी-कभी विभाजन के रूप में जाना जाता है<ref name="bertsekas2008introduction">[[Dimitri Bertsekas|D. Bertsekas]] and [[John Tsitsiklis|J. Tsitsiklis]]. Introduction to probability, ser. ''Athena Scientific optimization and computation series. Athena Scientific'', 2008.</ref><ref name="hayes1984modeling">J. F. Hayes. ''Modeling and analysis of computer communications networks''. Perseus Publishing, 1984.</ref> पोइसन बिंदु प्रक्रिया।
+हटाए गए और रखे गए बिंदुओं से क्रमशः बनने वाली दो अलग-अलग प्वासों बिंदु प्रक्रियाएं एक दूसरे से प्रसंभाव्य रूप से स्वतंत्र हैं।<ref name="ChiuStoyan2013page158" /> दूसरे शब्दों में, यदि किसी क्षेत्र को <math>\textstyle n</math> रखे हुए बिंदुओं (मूल प्वासों बिंदु प्रक्रिया से) के लिए जाना जाता है, तो उसी क्षेत्र में हटाए गए बिंदुओं की यादृच्छिक संख्या पर इसका कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। यादृच्छिक रूप से एक से दो स्वतंत्र प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं को बनाने की इस क्षमता को कभी-कभी ''विभाजन''<ref name="bertsekas2008introduction">[[Dimitri Bertsekas|D. Bertsekas]] and [[John Tsitsiklis|J. Tsitsiklis]]. Introduction to probability, ser. ''Athena Scientific optimization and computation series. Athena Scientific'', 2008.</ref><ref name="hayes1984modeling">J. F. Hayes. ''Modeling and analysis of computer communications networks''. Perseus Publishing, 1984.</ref> प्वासों बिंदु प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।
-=== सुपरपोजिशन ===
+=== अध्यारोपण ===
-यदि बिंदु प्रक्रियाओं का एक गणनीय संग्रह है <math>\textstyle N_1,N_2,\dots</math>, फिर उनका सुपरपोजिशन, या, सेट थ्योरी लैंग्वेज में, उनका मिलन, जो है<ref name="ChiuStoyan2013page165">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=165}}</ref>
+यदि बिंदु प्रक्रियाओं <math>\textstyle N_1,N_2,\dots</math> का गणनीय संग्रह है, तो उनका अध्यारोपण, या, समुच्चय सिद्धांत लैंग्वेज में, उनका संघ, जो निम्नलिखित है<ref name="ChiuStoyan2013page165">{{cite book|author1=Sung Nok Chiu|author2=Dietrich Stoyan|author3=Wilfrid S. Kendall|author4=Joseph Mecke|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और इसके अनुप्रयोग|url=https://books.google.com/books?id=825NfM6Nc-EC|date=27 June 2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-65825-3|page=165}}</ref>
 :<math> N=\bigcup_{i=1}^\infty N_i, </math>
-एक बिंदु प्रक्रिया भी बनाता है। दूसरे शब्दों में, किसी भी बिंदु प्रक्रिया में स्थित कोई भी बिंदु <math>\textstyle N_1,N_2\dots</math> इन बिंदु प्रक्रियाओं के सुपरपोजिशन में भी स्थित होगा <math>\textstyle {N}</math>.
+बिंदु प्रक्रिया भी बनाता है। दूसरे शब्दों में, किसी भी बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle N_1,N_2\dots</math> में स्थित कोई भी बिंदु इन बिंदु प्रक्रियाओं <math>\textstyle {N}</math> के अध्यारोपण में स्थित होगा।
-==== सुपरपोज़िशन प्रमेय ====
+==== अध्यारोपण प्रमेय ====
-पोइसन बिंदु प्रक्रिया का सुपरपोजिशन प्रमेय कहता है कि स्वतंत्र पॉइसन बिंदु प्रक्रियाओं का सुपरपोजिशन <math>\textstyle N_1,N_2\dots</math> औसत उपायों के साथ <math>\textstyle \Lambda_1,\Lambda_2,\dots</math> माध्य माप के साथ एक पॉइसन पॉइंट प्रक्रिया भी होगी<ref name="Kingman1992page16">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=16}}</ref><ref name="grimmett2001probability"/>
+प्वासों बिंदु प्रक्रिया के '''अध्यारोपण प्रमेय''' का कहना है कि औसत माप <math>\textstyle \Lambda_1,\Lambda_2,\dots</math> के साथ स्वतंत्र प्वासों बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle N_1,N_2\dots</math> का अध्यारोपण भी औसत माप के साथ एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया होगी<ref name="Kingman1992page16">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=16}}</ref><ref name="grimmett2001probability" />
 :<math> \Lambda=\sum_{i=1}^\infty \Lambda_i. </math>
-दूसरे शब्दों में, दो (या गणनीय रूप से अधिक) पॉइसन प्रक्रियाओं का मिलन एक अन्य पॉइसन प्रक्रिया है। अगर एक बिंदु <math display="inline"> x</math> एक गणनीय से नमूना लिया गया है <math display="inline"> n</math> पोइसन प्रक्रियाओं का संघ, फिर संभावना है कि बिंदु <math>\textstyle x</math> के अंतर्गत आता है <math display="inline"> j</math>पोइसन प्रक्रिया <math display="inline"> N_j</math> द्वारा दिया गया है:
+दूसरे शब्दों में, दो (या गणनीय रूप से अधिक) प्वासों प्रक्रियाओं का यूनियन अन्य प्वासों प्रक्रिया है। यदि बिंदु <math display="inline"> x</math> को प्वासों प्रक्रियाओं के गणनीय <math display="inline"> n</math> यूनियन से सैंपल लिया जाता है, अतः प्रायिकता है कि बिंदु <math>\textstyle x</math>, <math display="inline"> j</math> यूनियन प्रक्रिया <math display="inline"> N_j</math> के अंतर्गत आता है:
 :<math> \Pr \{x\in N_j\}=\frac{\Lambda_j}{\sum_{i=1}^n\Lambda_i}. </math>
-तीव्रता के साथ दो सजातीय प्वासों प्रक्रियाओं के लिए <math display="inline"> \lambda_1,\lambda_2\dots</math>, पिछले दो भाव कम हो जाते हैं
+तीव्रता <math display="inline"> \lambda_1,\lambda_2\dots</math> के साथ दो समघातीय प्वासों प्रक्रियाओं के लिए, पूर्व दो व्यंजक निम्नलिखित परिवर्तित हो जाते है
 :<math> \lambda=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i, </math>
@@ Line 446: / Line 401: @@
 :<math> \Pr \{x\in N_j\}=\frac{\lambda_j}{\sum_{i=1}^n \lambda_i}. </math>
 === क्लस्टरिंग ===
-ऑपरेशन क्लस्टरिंग तब किया जाता है जब प्रत्येक बिंदु <math>\textstyle x</math> कुछ बिंदु प्रक्रिया की <math>\textstyle {N}</math> एक और (संभवतः भिन्न) बिंदु प्रक्रिया द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि मूल प्रक्रिया <math>\textstyle {N}</math> एक पोइसन बिंदु प्रक्रिया है, फिर परिणामी प्रक्रिया <math>\textstyle {N}_c</math> एक प्वासों क्लस्टर बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है।
+जब किसी बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle {N}</math> के प्रत्येक बिंदु <math>\textstyle x</math> को दूसरे (संभवतः अलग) बिंदु प्रक्रिया से प्रतिस्थापित किया जाता है, तब ऑपरेशन क्लस्टरिंग का उपयोग किया जाता है। यदि मूल प्रक्रिया <math>\textstyle {N}</math> प्वासों बिंदु प्रक्रिया है, तो परिणामस्वरूपी प्रक्रिया <math>\textstyle {N}_c</math> को प्वासों क्लस्टर बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है।
 ===यादृच्छिक विस्थापन===
-एक गणितीय मॉडल को अंतर्निहित गणितीय स्थान पर अन्य स्थानों पर एक बिंदु प्रक्रिया के बेतरतीब ढंग से चलने वाले बिंदुओं की आवश्यकता हो सकती है, जो एक बिंदु प्रक्रिया संचालन को जन्म देती है जिसे विस्थापन के रूप में जाना जाता है। <ref name="Kingman1992page61">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=61}}</ref> या अनुवाद।<ref name="DaleyVere-Jones2007page166">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=166–167}}</ref> पोइसन बिंदु प्रक्रिया का उपयोग मॉडल के लिए किया गया है, उदाहरण के लिए, विस्थापन प्रमेय के कारण पीढ़ियों के बीच पौधों की गति,<ref name="Kingman1992page61"/>जो शिथिल रूप से कहता है कि पॉसों बिंदु प्रक्रिया (उसी अंतर्निहित स्थान पर) के बिंदुओं का यादृच्छिक स्वतंत्र विस्थापन एक और पॉसों बिंदु प्रक्रिया बनाता है।
+गणितीय मॉडल को कभी-कभी यादृच्छिक रूप से गतिमान बिंदुओं की आवश्यकता होती है ताकि उन्हें मूल गणितीय समष्टि पर अन्य स्थानों पर ले जाया जा सके, जिससे बिंदु प्रक्रिया संक्रिया का उत्पन्न होता है जिसे 'स्थानांतरण'<ref name="Kingman1992page61">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=61}}</ref> या 'स्थानांकन'<ref name="DaleyVere-Jones2007page166">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=166–167}}</ref> के नाम से जाना जाता है। प्वासों बिंदु प्रक्रिया का उपयोग करके, उदाहरण के लिए, पौधों के पीढ़ियों के बीच चलने का मॉडल बनाने के लिए उपयोग किया गया है, जो 'स्थानांतरण सिद्धांत'<ref name="Kingman1992page61"/> के कारण है, जिसका ठीक-ठीक अर्थ होता है कि प्वासों बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं का यादृच्छिक स्वतंत्र स्थानांतरण (एक ही मूल समष्टि पर) दूसरी प्वासों बिंदु प्रक्रिया बनाता है।
 ==== विस्थापन प्रमेय ====
-विस्थापन प्रमेय का एक संस्करण<ref name="Kingman1992page61"/>एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया शामिल है <math>\textstyle {N}</math> पर <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> तीव्रता समारोह के साथ <math>\textstyle \lambda(x)</math>. इसके बाद के अंक माने जाते हैं <math>\textstyle {N}</math> में बेतरतीब ढंग से विस्थापित हो जाते हैं <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> ताकि प्रत्येक बिंदु का विस्थापन स्वतंत्र हो और पूर्व में एक बिंदु का विस्थापन <math>\textstyle x</math> संभाव्यता घनत्व वाला एक यादृच्छिक वेक्टर है <math>\textstyle \rho(x,\cdot)</math>.{{efn|Kingman<ref name="Kingman1992page61"/> calls this a probability density, but in other resources this is called a ''probability kernel''.<ref name="baccelli2009stochastic1"/>}} फिर नई बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle N_D</math> इंटेंसिटी फंक्शन के साथ पॉइसन पॉइंट प्रोसेस भी है
+किसी संस्करण में, स्थानांतरण सिद्धांत<ref name="Kingman1992page61"/> में प्वासों बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle {N}</math> को <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> पर तीव्रता फलन <math>\textstyle \lambda(x)</math> के साथ निर्धारित किया जाता है। इसके बाद माना जाता है कि <math>\textstyle {N}</math> के बिंदुओं को यादृच्छिक रूप से <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> में कहीं और स्थानांतरित किया जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का स्थानांतरण स्वतंत्र होता है और एक का विस्थापन पूर्व में <math>\textstyle x</math> पर बिंदु प्रायिकता घनत्व <math>\textstyle \rho(x,\cdot)</math> के साथ यादृच्छिक सदिश होता है।{{efn|Kingman<ref name="Kingman1992page61"/> calls this a probability density, but in other resources this is called a ''probability kernel''.<ref name="baccelli2009stochastic1"/>}} इसके बाद स्थानांतरण से प्राप्त होने वाली नई बिंदु प्रक्रिया, जिसे <math>\textstyle N_D</math> के रूप में चिह्नित किया जाता है, भी प्वासों बिंदु प्रक्रिया होती है जिसका तीव्रता फलन
 :<math> \lambda_D(y)=\int_{\mathbb{R}^d} \lambda(x) \rho(x,y)\,\mathrm dx. </math>
-यदि पॉसों प्रक्रिया सजातीय है <math>\textstyle\lambda(x) = \lambda > 0</math> और अगर <math>\rho(x, y)</math> का एक कार्य है <math>y-x</math>, तब
+यदि प्वासों प्रक्रिया <math>\textstyle\lambda(x) = \lambda > 0</math> के साथ समघातीय है और यदि <math>\rho(x, y)</math>, <math>y-x</math> का फलन है, अतः
 :<math> \lambda_D(y)=\lambda. </math>
-दूसरे शब्दों में, बिंदुओं के प्रत्येक यादृच्छिक और स्वतंत्र विस्थापन के बाद, मूल पॉइसन बिंदु प्रक्रिया अभी भी मौजूद है।
+दूसरे शब्दों में, बिंदुओं के प्रत्येक यादृच्छिक और स्वतंत्र विस्थापन के बाद, मूल प्वासों बिंदु प्रक्रिया अभी भी विद्यमान है।
-विस्थापन प्रमेय को इस तरह बढ़ाया जा सकता है कि प्वासों बिंदु एक यूक्लिडियन स्थान से बेतरतीब ढंग से विस्थापित हो जाते हैं <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> दूसरे यूक्लिडियन अंतरिक्ष में <math>\textstyle \mathbb{R}^{d'}</math>, कहाँ <math>\textstyle d'\geq 1</math> के बराबर नहीं है <math>\textstyle d</math>.<ref name="baccelli2009stochastic1"/>
+विस्थापन प्रमेय को विस्थापित किया जा सकता है ताकि प्वासों बिंदुओं को यूक्लिडियन समष्टि <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> से यूक्लिडियन समष्टि <math>\textstyle \mathbb{R}^{d'}</math> में यादृच्छिक रूप से विस्थापित किया जाए, जहां <math>\textstyle d'\geq 1</math>, <math>\textstyle d</math> के बराबर नहीं होता है।<ref name="baccelli2009stochastic1"/>
 === मैपिंग ===
-एक और संपत्ति जिसे उपयोगी माना जाता है वह एक पॉसों बिंदु प्रक्रिया को एक अंतर्निहित स्थान से दूसरे स्थान पर मैप करने की क्षमता है।<ref name="Kingman1992page17">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=18}}</ref>
+अन्य गुणधर्म जिसे उपयोगी माना जाता है वह अंतर्निहित समष्टि से दूसरे स्थान पर प्वासों बिंदु प्रक्रिया को मैप करने की क्षमता है।<ref name="Kingman1992page17">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=18}}</ref>
+==== मैपिंग प्रमेय ====
+{{main|मैपिंग प्रमेय (बिंदु प्रक्रिया)}}
+यदि मैपिंग (या परिवर्तन) कुछ शर्तों का पालन करता है, तो परिणामस्वरूप मैप किए गए (या परिवर्तित) बिंदुओं का संग्रह भी प्वासों बिंदु प्रक्रिया बनाता है, और इस परिणाम को कभी-कभी '''मैपिंग''' '''सिद्धांत''' के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref name="Kingman1992page17"/><ref name="GrimmettStirzaker2001page284">{{cite book|author1=Geoffrey Grimmett|author2=David Stirzaker|title=संभाव्यता और यादृच्छिक प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=G3ig-0M4wSIC|date=31 May 2001|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-857222-0|page=284}}</ref> यह सिद्धांत किसी मूलभूत स्थान पर कुछ प्वासों बिंदु प्रक्रिया के साथ संबंधित होता है जिसमें माध्यम माप <math>\textstyle \Lambda</math> होती है। यदि बिंदुओं की स्थानों को किसी फलन के अनुसार (अर्थात बिंदु प्रक्रिया परिवर्तित की जाती है) किसी अन्य मूलभूत स्थान में मैप किया जाता है, तो परिणामस्वरूप बिंदु प्रक्रिया भी एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया होती है, लेकिन एक अलग माध्यम माप <math>\textstyle \Lambda'</math> के साथ।
-==== मैपिंग प्रमेय ====
+अधिक विशेष रूप से, (बोरेल मापने योग्य) फलन <math>\textstyle f</math> पर विचार किया जा सकता है जो बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle {N}</math> को तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda</math> के साथ किसी स्थान <math>\textstyle S</math> से दूसरे स्थान <math>\textstyle T</math> तक इस तरह से मैप करता है ताकि नई बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle {N}'</math> में तीव्रता का माप हो:
-{{main|Mapping theorem (point process)}}
-यदि मैपिंग (या परिवर्तन) कुछ शर्तों का पालन करता है, तो परिणामस्वरूप मैप किए गए (या रूपांतरित) बिंदुओं का संग्रह भी पॉइसन पॉइंट प्रक्रिया का निर्माण करता है, और इस परिणाम को कभी-कभी मैपिंग प्रमेय के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref name="Kingman1992page17"/><ref name="GrimmettStirzaker2001page284">{{cite book|author1=Geoffrey Grimmett|author2=David Stirzaker|title=संभाव्यता और यादृच्छिक प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=G3ig-0M4wSIC|date=31 May 2001|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-857222-0|page=284}}</ref> प्रमेय में औसत माप के साथ कुछ प्वासों बिंदु प्रक्रिया शामिल है <math>\textstyle \Lambda</math> कुछ अंतर्निहित स्थान पर। यदि बिंदुओं के स्थानों को मैप किया जाता है (अर्थात, बिंदु प्रक्रिया को रूपांतरित किया जाता है) किसी कार्य के अनुसार किसी अन्य अंतर्निहित स्थान पर, तो परिणामी बिंदु प्रक्रिया भी एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है, लेकिन एक अलग माध्य माप के साथ <math>\textstyle \Lambda'</math>.
-अधिक विशेष रूप से, एक (बोरेल मापने योग्य) फ़ंक्शन पर विचार किया जा सकता है <math>\textstyle f</math> जो एक बिंदु प्रक्रिया को मैप करता है <math>\textstyle {N}</math> तीव्रता माप के साथ <math>\textstyle \Lambda</math> एक स्थान से <math>\textstyle S</math>, दूसरे स्थान पर <math>\textstyle T</math> इस तरह से ताकि नई बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle {N}'</math> तीव्रता माप है:
 :<math> \Lambda(B)'=\Lambda(f^{-1}(B)) </math>
-बिना परमाणु के, कहाँ <math>\textstyle B</math> एक बोरेल सेट है और <math>\textstyle f^{-1}</math> फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को दर्शाता है <math>\textstyle f</math>. अगर  <math>\textstyle {N}</math> पॉइसन पॉइंट प्रक्रिया है, फिर नई प्रक्रिया <math>\textstyle {N}'</math> तीव्रता माप के साथ पॉसों बिंदु प्रक्रिया भी है <math>\textstyle \Lambda'</math>.
+जहां <math>\textstyle B</math> बोरेल समुच्चय है और <math>\textstyle f^{-1}</math> फलन <math>\textstyle f</math> का व्युत्क्रम होता है, जहाँ कोई अणु नहीं होते हैं। यदि <math>\textstyle {N}</math> प्वासों बिंदु प्रक्रिया है, तो नवीन प्रक्रिया <math>\textstyle {N}'</math> भी प्वासों बिंदु प्रक्रिया है जिसमें घनत्व माप <math>\textstyle \Lambda'</math> होती है।
 == प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के साथ सन्निकटन ==
-पोइसन प्रक्रिया की सुवाह्यता का मतलब है कि कभी-कभी एक पॉइसन के साथ एक गैर-पॉइसन बिंदु प्रक्रिया का अनुमान लगाना सुविधाजनक होता है। समग्र उद्देश्य किसी बिंदु प्रक्रिया के अंकों की संख्या और प्रत्येक बिंदु के स्थान को एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया द्वारा अनुमानित करना है।<ref name="chen2013approximating">L. H. Chen, A. Röllin, et al. Approximating dependent rare events. ''Bernoulli'', 19(4):1243–1267, 2013.</ref> ऐसी कई विधियाँ हैं जिनका उपयोग अनौपचारिक रूप से या कठोर रूप से उचित पोइसन बिंदु प्रक्रियाओं के साथ यादृच्छिक घटनाओं या घटनाओं की घटना का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। अधिक कठोर तरीकों में पॉसों और गैर-पोइसन बिंदु प्रक्रियाओं के बीच प्रायिकता मेट्रिक्स पर ऊपरी सीमा प्राप्त करना शामिल है, जबकि अन्य तरीकों को कम औपचारिक अनुमानों द्वारा उचित ठहराया जा सकता है।<ref name="arratia1993review">R. Arratia, S. Tavare, et al. {Review: D. Aldous, Probability Approximations via the Poisson Clumping Heuristic; AD Barbour, L. Holst, S. Janson, Poisson Approximation}. ''The Annals of Probability'', 21(4):2269–2279, 1993.</ref>
+प्वासों प्रक्रिया की अनुकरणीयता का अर्थ है कि कभी-कभी गैर-प्वासों बिंदु प्रक्रिया को प्वासों प्रक्रिया से अनुमानित करना सुविधाजनक होता है। समग्र उद्देश्य है किसी बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या और प्रत्येक बिंदु के स्थान को प्वासों बिंदु प्रक्रिया से अनुमानित करना।<ref name="chen2013approximating">L. H. Chen, A. Röllin, et al. Approximating dependent rare events. ''Bernoulli'', 19(4):1243–1267, 2013.</ref> ऐसे कई तरीके हैं जो प्रायोगिक या कठोर रूप से उचित पोइसन बिंदु प्रक्रियाओं के साथ यादृच्छिक घटनाओं या घटनाओं की घटना का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। अधिक कठोर रूप से प्वासों और गैर-प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के बीच प्रायोगिक मेट्रिक्स के बारे में ऊपरी सीमाओं को प्राप्त करने में संलग्न होते हैं, जबकि अन्य विधियों को कम औपचारिक अनुमानों द्वारा तार्किकतापूर्वक विवर्णित किया जा सकता है।<ref name="arratia1993review">R. Arratia, S. Tavare, et al. {Review: D. Aldous, Probability Approximations via the Poisson Clumping Heuristic; AD Barbour, L. Holst, S. Janson, Poisson Approximation}. ''The Annals of Probability'', 21(4):2269–2279, 1993.</ref>
+=== क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक ===
+प्वासों प्रक्रियाओं के साथ यादृच्छिक घटनाओं या परिघटनाओं का पूर्वानुमान के लिए एक विधि को '''क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक''' कहा जाता है।<ref name="aldous1989poisson">D. Aldous. ''Poisson Clumping Heuristic''. Wiley Online Library, 1989.</ref> सामान्य हेयुरिस्टिक या सिद्धांत में प्वासों बिंदु प्रक्रिया (या प्वासों बंटन) का उपयोग अनुमानित घटनाओं के लिए करना सम्मिलित है, जिन्हें कुछ प्रसंभाव प्रक्रिया के दुर्लभ या असंभावित माना जाता है। कुछ स्थितियों में ये दुर्लभ घटनाएं स्वतंत्र होने के निकट हैं, इसलिए प्वासों बिंदु प्रक्रिया का उपयोग किया जा सकता है। जब घटनाएँ स्वतंत्र नहीं होती हैं, लेकिन ''क्लंपस'' या क्लस्टर में घटित होती हैं, तो यदि इन क्लस्टर को उपयुक्त रूप से इस तरह परिभाषित किया जाता है कि वे लगभग दूसरे से स्वतंत्र हैं, अतः घटित होने वाले क्लस्टर की संख्या प्वासों यादृच्छिक चर के निकट होगी<ref name="arratia1993review" /> और क्लस्टर का स्थान प्वासों प्रक्रिया के समीप होगा।<ref name="aldous1989poisson" />
+=== स्टीन की विधि ===
-=== क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक ===
+स्टीन की विधि एक गणितीय तकनीक है जिसे मूल रूप से [[ गाऊसी |गॉसियन]] और प्वासों चर जैसे यादृच्छिक चर के अनुमान के लिए विकसित किया गया था, जिसे बिंदु प्रक्रियाओं पर भी लागू किया गया है। स्टीन की विधि का उपयोग प्रायिकता आव्यूह पर ऊपरी परिबंध को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जो यह निर्धारित करने की विधि प्रदान करता है कि दो भिन्न-भिन्न यादृच्छिक गणितीय वस्तुएं प्रसंभाव्य रूप से कैसे परिवर्तित हैं।<ref name="chen2013approximating2">L. H. Chen, A. Röllin, et al. Approximating dependent rare events. ''Bernoulli'', 19(4):1243–1267, 2013.</ref><ref name="barbour1992stein2">A. D. Barbour and T. C. Brown. Stein's method and point process approximation. ''Stochastic Processes and their Applications'', 43(1):9–31, 1992.</ref> प्रायिकता आव्यूह पर ऊपरी परिबंध जैसे कि [[कुल भिन्नता]] और [[वासेरस्टीन दूरी]] को व्युत्पन्न किया गया है।<ref name="chen2013approximating"/>
-पोइसन प्रक्रियाओं के साथ यादृच्छिक घटनाओं या परिघटनाओं का अनुमान लगाने की एक विधि को क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक कहा जाता है।<ref name="aldous1989poisson">D. Aldous. ''Poisson Clumping Heuristic''. Wiley Online Library, 1989.</ref> सामान्य हेयुरिस्टिक या सिद्धांत में पोइसन बिंदु प्रक्रिया (या पॉइसन बंटन) का उपयोग अनुमानित घटनाओं के लिए करना शामिल है, जिन्हें कुछ स्टोकास्टिक प्रक्रिया के दुर्लभ या असंभव माना जाता है। कुछ मामलों में ये दुर्लभ घटनाएँ स्वतंत्र होने के करीब हैं, इसलिए पॉसों बिंदु प्रक्रिया का उपयोग किया जा सकता है। जब घटनाएँ स्वतंत्र नहीं होती हैं, लेकिन समूहों या गुच्छों में घटित होती हैं, तो यदि इन गुच्छों को उपयुक्त रूप से इस तरह परिभाषित किया जाता है कि वे लगभग एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, तो घटित होने वाले गुच्छों की संख्या पॉइसन यादृच्छिक चर के करीब होगी <ref name="arratia1993review"/>और गुच्छों के स्थान पॉइसन प्रक्रिया के करीब होंगे।<ref name="aldous1989poisson"/>
+शोधकर्ताओं ने स्टीन की विधि को कई तरीकों से प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं पर लागू किया है,<ref name="chen2013approximating"/> जैसे कि [[हथेली की पथरी|पाम कैलकुलस]] का उपयोग करना।<ref name="chen2004stein"/> स्टीन की विधि पर आधारित तकनीकों को ऊपरी परिबंध में विरलन और अध्यारोपण जैसे कुछ [[बिंदु प्रक्रिया संचालन|बिंदु प्रक्रिया संक्रिया]] के प्रभावों को प्रभावित करने के लिए विकसित किया गया है।<ref name="schuhmacher2005super">D. Schuhmacher. Distance estimates for dependent superpositions of point processes. ''Stochastic processes and their applications'', 115(11):1819–1837, 2005.</ref><ref name="schuhmacher2005thinnings">D. Schuhmacher. Distance estimates for poisson process approximations of dependent thinnings. ''Electronic Journal of Probability'', 10:165–201, 2005.</ref> स्टीन की विधि का उपयोग प्वासों के आव्यूह और [[कॉक्स प्वाइंट प्रक्रिया|कॉक्स बिंदु प्रक्रिया]] जैसी अन्य प्रक्रियाओं पर ऊपरी परिबंध को प्राप्त करने के लिए भी किया गया है, जो यादृच्छिक तीव्रता माप के साथ प्वासों प्रक्रिया है।<ref name="chen2013approximating"/>
+== प्वासों  बिंदु प्रक्रिया के लिए कन्वर्जेन्स ==
+सामान्यतः, जब किसी साधारण बिंदु प्रक्रिया पर कोई आपरेशन लागू किया जाता है, तो परिणामस्वरूप प्रक्रिया आमतौर पर एक प्वासों पॉइंट प्रक्रिया नहीं होती है। उदाहरण के लिए, यदि किसी बिंदु प्रक्रिया को, प्वासों के अतिरिक्त, इसके बिंदुओं को यादृच्छिक और स्वतंत्र रूप से विस्थापित किया जाता है, तो प्रक्रिया आवश्यकतापूर्वक एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया नहीं होगी। हालांकि, मूल बिंदु प्रक्रिया और यादृच्छिक विस्थापन के लिए निश्चित गणितीय शर्तों के तहत, सीमा सिद्धांतों के माध्यम से दिखाया गया है कि यदि एक बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को यादृच्छिक और स्वतंत्र रूप से बार-बार विस्थापित किया जाए, तो बिंदु प्रक्रिया की सीमित बंटन (दुर्बल रूप से) प्वासों बिंदु प्रक्रिया के बराबर होगी।<ref name="DaleyVere-Jones2007page131">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=131–132}}</ref>
-=== स्टीन की विधि ===
+विरलन और अध्यारोपण संक्रियाओं के लिए भी ऐसे संघटकता परिणाम विकसित किए गए हैं<ref name="DaleyVere-Jones2007page131" /> जो दिखाते हैं कि ऐसी पुनरावृत्त संक्रियाओं को बिंदु प्रक्रियाओं पर अनुमानित करने पर यदि उचित तीव्रता माप का संगठन किया जाए (अन्यथा परिणामस्वरूप बिंदु प्रक्रियाओं के तीव्रता माप के मान शून्य या अनंत की ओर पहुंचेंगे), तो प्रक्रिया प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के संगत बराबर हो सकती है। ऐसी संघटना कार्य सीधे उन परिणामों से संबंधित होती है जिन्हें पाम-खिंचिन{{efn|Also spelt Palm–Khintchine in, for example, ''[[Point Processes]]'' by {{harvtxt|Cox|Isham|1980|page=41}}}} समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसकी उत्पत्ति कॉनी पाम और अलेक्सांदर खिंचिन के कार्य में हुई है,<ref name="DaleyVere-Jones2007page146">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|page=146}}</ref> और यह समझने में मदद करती है कि प्वासों प्रक्रिया अकस्मात घटित होने वाले विभिन्न यादृच्छिक प्रभावों के गणितीय मॉडल के रूप में प्रायः उपयोग की जा सकती है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page131" />
+== प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं का सामान्यीकरण ==
-स्टीन की विधि एक गणितीय तकनीक है जिसे मूल रूप से [[ गाऊसी ]] और पॉइसन चर जैसे यादृच्छिक चर के अनुमान के लिए विकसित किया गया है, जिसे बिंदु प्रक्रियाओं पर भी लागू किया गया है। स्टीन की विधि का उपयोग प्रायिकता मेट्रिक्स पर ऊपरी सीमा को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जो यह निर्धारित करने का तरीका देता है कि दो अलग-अलग यादृच्छिक गणितीय वस्तुएं स्टोचैस्टिक रूप से भिन्न होती हैं।<ref name="chen2013approximating"/><ref name="barbour1992stein">A. D. Barbour and T. C. Brown. Stein's method and point process approximation. ''Stochastic Processes and their Applications'', 43(1):9–31, 1992.</ref> प्रायिकता मेट्रिक्स जैसे कि [[कुल भिन्नता]] और [[वासेरस्टीन दूरी]] पर ऊपरी सीमाएं निकाली गई हैं।<ref name="chen2013approximating"/>
+प्वासों बिंदु प्रक्रिया को विस्तारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, तीव्रता माप को परिवर्तित करके या अधिक सामान्य गणितीय स्थानों पर परिभाषित करके। इन सामान्यीकरणों का गणितीय अध्ययन किया जा सकता है साथ ही इनका उपयोग गणितीय रूप से भौतिक प्रभावों के मॉडल बनाने या प्रतिष्ठित करने के लिए किया जा सकता है।
-शोधकर्ताओं ने स्टीन की विधि को प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं में कई तरीकों से लागू किया है,<ref name="chen2013approximating"/>जैसे [[हथेली की पथरी]] का उपयोग करना।<ref name="chen2004stein"/>स्टीन की विधि पर आधारित तकनीकों को ऊपरी सीमा में कारक बनाने के लिए विकसित किया गया है, जैसे कि थिनिंग और सुपरपोज़िशन जैसे कुछ [[बिंदु प्रक्रिया संचालन]] के प्रभाव।<ref name="schuhmacher2005super">D. Schuhmacher. Distance estimates for dependent superpositions of point processes. ''Stochastic processes and their applications'', 115(11):1819–1837, 2005.</ref><ref name="schuhmacher2005thinnings">D. Schuhmacher. Distance estimates for poisson process approximations of dependent thinnings. ''Electronic Journal of Probability'', 10:165–201, 2005.</ref> स्टीन की विधि का उपयोग पॉइसन के मेट्रिक्स और अन्य प्रक्रियाओं जैसे कि [[कॉक्स प्वाइंट प्रक्रिया]] पर ऊपरी सीमा को प्राप्त करने के लिए भी किया गया है, जो कि यादृच्छिक तीव्रता माप के साथ पॉइसन प्रक्रिया है।<ref name="chen2013approximating"/>
+=== प्वासों-प्रकार का यादृच्छिक माप ===
+[[पॉइसन-प्रकार के यादृच्छिक उपाय|प्वासों प्रकार के यादृच्छिक माप]] (पीटी) विविधता यादृच्छिक गणना माप के समूह होते हैं जो उपगणमें सीमित करने के अंतर्गत होते हैं, अर्थात् बिन्दु प्रक्रिया आपरेशन#थिनिंग के अंतर्गत सीमित होते हैं। ये यादृच्छिक माप [[मिश्रित द्विपद प्रक्रिया]] के उदाहरण हैं और प्वासों यादृच्छिक माप की बंटनात्मक स्व-समानता गुणधर्म साझा करते हैं। ये बंटनात्मक स्व-समानता गुणधर्म वाले बंटनों के कैननिक गैर-ऋणात्मक श्रेणी के अद्यावधिक सदस्य हैं और प्वासों बंटन, [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद बंटन]] और द्विपद बंटन को सम्मिलित करते हैं। प्वासों यादृच्छिक माप अलग-अलग उपगणों पर स्वतंत्र होता है, जबकि अन्य पीटी यादृच्छिक माप (ऋणात्मक द्विपद और द्विपद) का धनात्मक और ऋणात्मक सह-संयोजन होता है। पीटी यादृच्छिक माप पर चर्चा की जाती है<ref>Caleb Bastian, Gregory Rempala. Throwing stones and collecting bones: Looking for Poisson-like random measures, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2020. [[doi:10.1002/mma.6224]]</ref> और इसमें प्वासों यादृच्छिक माप, ऋणात्मक द्विपद यादृच्छिक माप और द्विपद यादृच्छिक माप सम्मिलित होते हैं।
-== एक पोइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए अभिसरण ==
+=== अधिक सामान्य समष्टियों पर प्वासों बिंदु प्रक्रियाएं ===
-सामान्य तौर पर, जब एक ऑपरेशन को एक सामान्य बिंदु प्रक्रिया पर लागू किया जाता है, तो परिणामी प्रक्रिया आमतौर पर पॉइसन बिंदु प्रक्रिया नहीं होती है। उदाहरण के लिए, यदि पॉइसन के अलावा एक बिंदु प्रक्रिया के अंक यादृच्छिक रूप से और स्वतंत्र रूप से विस्थापित हो जाते हैं, तो प्रक्रिया जरूरी नहीं कि एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया हो। हालाँकि, मूल बिंदु प्रक्रिया और यादृच्छिक विस्थापन दोनों के लिए कुछ गणितीय स्थितियों के तहत, यह सीमा प्रमेय के माध्यम से दिखाया गया है कि यदि एक बिंदु प्रक्रिया के बिंदुओं को बार-बार यादृच्छिक और स्वतंत्र तरीके से विस्थापित किया जाता है, तो बिंदु का परिमित-बंटन प्रक्रिया (कमजोर रूप से) पॉसों बिंदु प्रक्रिया में परिवर्तित हो जाएगी।<ref name="DaleyVere-Jones2007page131">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=131–132}}</ref>
+गणितीय मॉडल के लिए प्वासों बिंदु प्रक्रिया को प्रायः यूक्लिडियन समष्टि में परिभाषित किया जाता है,<ref name="ChiuStoyan2013"/><ref name="Kingman1992page11"/> लेकिन इसे अधिक ऑब्स्ट्रक्ट समष्टियों के लिए सामान्यीकृत किया गया है और यादृच्छिक मापों के अध्ययन में मौलिक भूमिका निभाता है,<ref name="Kallenberg1983">{{cite book|author=Olav Kallenberg|title=यादृच्छिक उपाय|url=https://books.google.com/books?id=bBnvAAAAMAAJ|year=1983|publisher=Akademie-Verlag|isbn=978-0-12-394960-8}}</ref><ref name="Kingman1992page79to84">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=79–84}}</ref> जिसके लिए प्रायिकता सिद्धांत, माप सिद्धांत और टोपोलॉजी जैसे गणितीय क्षेत्रों की समझ आवश्यक है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page368to413">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=368–413}}</ref>
-इसी तरह के अभिसरण परिणाम थिनिंग और सुपरपोजिशन ऑपरेशंस के लिए विकसित किए गए हैं<ref name="DaleyVere-Jones2007page131"/>जो दर्शाता है कि बिंदु प्रक्रियाओं पर इस तरह के दोहराए गए संचालन, कुछ शर्तों के तहत, एक पोइसन बिंदु प्रक्रियाओं में परिवर्तित होने वाली प्रक्रिया में परिणाम कर सकते हैं, बशर्ते कि तीव्रता माप का एक उपयुक्त पुनर्विक्रय किया जाए (अन्यथा परिणामी बिंदु प्रक्रियाओं की तीव्रता माप के मान शून्य तक पहुंच जाएंगे या अनंतता)। इस तरह के अभिसरण कार्य सीधे पाम-खिनचिन के नाम से जाने जाने वाले परिणामों से संबंधित हैं{{efn|Also spelt Palm–Khintchine in, for example, ''[[Point Processes]]'' by {{harvtxt|Cox|Isham|1980|page=41}}}} समीकरण, जिसकी उत्पत्ति कोनी पाम और अलेक्सांद्र खिनचिन के कार्यों में हुई है,<ref name="DaleyVere-Jones2007page146">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|page=146}}</ref> और यह समझाने में मदद करता है कि पॉसों प्रक्रिया को अक्सर विभिन्न यादृच्छिक घटनाओं के गणितीय मॉडल के रूप में क्यों इस्तेमाल किया जा सकता है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page131"/>
+सामान्य तौर पर, दूरी की अवधारणा अनुप्रयोगों के लिए व्यावहारिक रुचि की है, जबकि पाम वितरण के लिए टोपोलॉजिकल संरचना की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि बिंदु प्रक्रियाओं को सामान्यतः आव्यूह के साथ गणितीय समष्टि पर परिभाषित किया जाता है।<ref name="gelfand2010handbook">A. E. Gelfand, P. Diggle, P. Guttorp, and M. Fuentes. ''Handbook of spatial statistics'', Chapter 9. CRC press, 2010.</ref> इसके अतिरिक्त, बिंदु प्रक्रिया की प्राप्ति को गणना की माप के रूप में माना जा सकता है, इसलिए बिंदु प्रक्रियाएं एक प्रकार के यादृच्छिक उपाय हैं जिन्हें यादृच्छिक गणना के माप के रूप में जाना जाता है।<ref name="grandell1977point" /> इस संदर्भ में, प्वासों और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन स्थानीय रूप से सघन द्वितीय गणनीय हॉउसडॉर्फ स्थान पर किया गया है।<ref name="kallenberg1983random">O. Kallenberg. ''Random measures''. Academic Pr, 1983.</ref>
+=== कॉक्स बिंदु प्रक्रिया ===
+{{main|कॉक्स प्रक्रिया}}
-== पॉइसन पॉइंट प्रक्रियाओं का सामान्यीकरण ==
+'''कॉक्स बिंदु प्रक्रिया''', '''कॉक्स प्रक्रिया''' या '''दोगुनी प्रसंभाव्य प्वासों प्रक्रिया''' प्वासों बिंदु प्रक्रिया का सामान्यीकरण है, इसकी तीव्रता माप <math>\textstyle \Lambda</math> को भी यादृच्छिक और अंतर्निहित प्वासों प्रक्रिया से स्वतंत्र होने की अनुमति देती है। इस प्रक्रिया का नाम डेविड कॉक्स के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1955 में प्रस्तुत किया था, हालांकि अन्य प्वासों प्रक्रियाओं को यादृच्छिक तीव्रता के साथ स्वतंत्र रूप से लुसिएन ले कैम और मौरिस क्वेनौइल द्वारा पहले ही प्रस्तुत किया गया था।<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/> तीव्रता माप यादृच्छिक चर या यादृच्छिक क्षेत्र की प्राप्ति हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि तीव्रता माप का लघुगणक गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र है, तो परिणामी प्रक्रिया को ''लघुगणक गॉसियन कॉक्स प्रक्रिया'' के रूप में जाना जाता है।<ref name="moller1998log">J. Møller, A. R. Syversveen, and R. P. Waagepetersen. Log Gaussian Cox Processes. ''Scandinavian journal of statistics'', 25(3):451–482, 1998.</ref> अधिक सामान्यतः, तीव्रता के उपाय एक गैर-ऋणात्मक स्थानीय परिमित यादृच्छिक माप की प्राप्ति है। कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं बिंदुओं के ''क्लस्टरिंग'' को प्रदर्शित करती हैं, जिन्हें गणितीय रूप से प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं की तुलना में बड़ा दिखाया जा सकता है। कॉक्स प्रक्रियाओं की व्यापकता और सुवाह्यता के परिणामस्वरूप उन्हें स्थानिक सांख्यिकी<ref name="moller2007modern">J. Møller and R. P. Waagepetersen. Modern statistics for spatial point processes. ''Scandinavian Journal of Statistics'', 34(4):643–684, 2007.</ref> और वायरलेस नेटवर्क<ref name="Haenggi2013"/> जैसे क्षेत्रों में मॉडल के रूप में उपयोग किया जा रहा है।
+===चिह्नित प्वासों बिंदु प्रक्रिया===
+[[File:Marked point process.png|thumb|600px|एक चिह्नित बिंदु प्रक्रिया का एक उदाहरण, जहां अचिह्नित बिंदु प्रक्रिया को सकारात्मक वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया गया है, जो अक्सर समय का प्रतिनिधित्व करती है। यादृच्छिक चिह्न स्थिति समष्टि में मान लेते हैं <math>S</math> मार्क स्पेस के रूप में जाना जाता है। ऐसी किसी भी चिह्नित बिंदु प्रक्रिया की व्याख्या अंतरिक्ष पर एक अचिह्नित बिंदु प्रक्रिया के रूप में की जा सकती है <math>[0,\infty]\times S </math>. अंकन प्रमेय का कहना है कि यदि मूल अचिह्नित बिंदु प्रक्रिया एक पॉसॉन बिंदु प्रक्रिया है और निशान प्रसंभाव्य रूप से स्वतंत्र हैं, तो चिह्नित बिंदु प्रक्रिया भी एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया है <math>[0,\infty]\times S </math>. यदि पॉसों बिंदु प्रक्रिया समघाती है, तो अंतराल <math>\tau_i</math> आरेख में एक घातीय बंटन से तैयार किए गए हैं।]]दिए गए बिन्दु प्रक्रिया के लिए, प्रत्येक यादृच्छिक बिंदु के साथ एक यादृच्छिक गणितीय वस्तु, जिसे अंकित कहा जाता है, यादृच्छिक रूप से समर्पित किया जा सकता है। ये अंक अभिविन्यासी रूप से पूर्णांक, वास्तविक संख्याएँ, रेखाएँ, ज्यामिति वस्तुएँ या अन्य बिंदु प्रक्रियाएं हो सकती हैं। [156][157] बिंदु प्रक्रिया का बिंदु और इसके संबंधित अंक का योग होने पर मर्किंग बिंदु कहलाता है, और सभी मार्किंग बिंदु परिक्रिया को एक मार्किंग बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं। [158] यह आमतौर पर माना जाता है कि यादृच्छिक अंक एक दूसरे के निरपेक्ष होते हैं और समान वितरित होते हैं, हालांकि, बिंदु का अंक अपने अंतर्निहित (स्थिति) समष्टि में उसके संबंधित बिंदु की स्थान पर भी निर्भर कर सकता है।<ref name="MollerWaagepetersen2003page8">{{cite book|author1=Jesper Moller|author2=Rasmus Plenge Waagepetersen|title=स्थानिक बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सांख्यिकीय अनुमान और अनुकरण|url=https://books.google.com/books?id=dBNOHvElXZ4C|date=25 September 2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-49693-0|page=8}}</ref> यदि अंतर्निहित बिंदु प्रक्रिया पॉयसन बिंदु प्रक्रिया है, तो परिणामस्वरूपी बिंदु प्रक्रिया एक मार्किंग पॉयसन बिंदु प्रक्रिया होती है।<ref name="Haenggi2013page138">{{cite book|author=Martin Haenggi|title=वायरलेस नेटवर्क के लिए स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री|url=https://books.google.com/books?id=CLtDhblwWEgC|year=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-01469-5|pages=138–140}}</ref> बिंदु प्रक्रिया के एक बिंदु और उसके संबंधित चिह्न वाली जोड़ी को एक चिह्नित बिंदु कहा जाता है, और सभी चिह्नित बिंदु एक चिह्नित बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं।<ref name="BaddeleyBárány2006page19">{{cite book|author1=A. Baddeley|author2=I. Bárány|author3=R. Schneider|title=स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री: C.I.M.E में दिए गए व्याख्यान। मार्टिना फ्रांका, इटली में 13-18 सितंबर, 2004 को आयोजित समर स्कूल|url=https://books.google.com/books?id=X-m5BQAAQBAJ|date=26 October 2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38175-4|pages=19–21}</ref> अक्सर यह माना जाता है कि यादृच्छिक अंक एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं और समान रूप से वितरित होते हैं, फिर भी एक बिंदु का निशान अंतर्निहित (राज्य) स्थान में इसके संबंधित बिंदु के स्थान पर निर्भर हो सकता है। <ref name="Kingman1992page55">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=Poisson Processes|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=55}}</ref> यदि अंतर्निहित बिंदु प्रक्रिया एक प्वॉइसन बिंदु प्रक्रिया है, तो परिणामी बिंदु प्रक्रिया एक चिन्हित पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है। <ref name="BaccelliBlaszczyszyn2009page291">{{cite book|author1=François Baccelli|author2=Bartlomiej Blaszczyszyn|title=Stochastic Geometry and Wireless Networks|url=https://books.google.com/books?id=H3ZkTN2pYS4C|year=2009|publisher=Now Publishers Inc|isbn=978-1-60198-264-3|pages=291–293}}</ref>
+{{See also|Markov renewal process}}
+==== अंकन प्रमेय ====
+यदि किसी साधारण बिंदु प्रक्रिया को किसी गणितीय समष्टि पर परिभाषित किया जाता है और यादृच्छिक अंक किसी अन्य गणितीय समष्टि पर परिभाषित किए जाते हैं, तो अंकन बिंदु प्रक्रिया उन दोनों स्थानों के कार्तीय गुणांक पर परिभाषित होती है। यदि अंकन प्वासों बिंदु प्रक्रिया में यादृच्छिक और समान वितरित अंक हों, तो '''अंकन सिद्धांत'''<ref name="Kingman1992page55" /><ref name="Streit2010page205">{{cite book|author=Roy L. Streit|title=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing|url=https://books.google.com/books?id=KAWmFYUJ5zsC|date=15 September 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6923-1|pages=205–206}}</ref> कहता है कि यह अंकन बिंदु प्रक्रिया उसी उपरोक्त गणितीय स्थानों के कार्तीय गुणांक पर परिभाषित (गैर-अंकन) प्वासों बिंदु प्रक्रिया भी होती है, जो साधारण बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सत्य नहीं है।
-प्वासों बिंदु प्रक्रिया को सामान्यीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इसकी तीव्रता माप को बदलकर या अधिक सामान्य गणितीय रिक्त स्थान पर परिभाषित करके। इन सामान्यीकरणों का गणितीय रूप से अध्ययन किया जा सकता है और साथ ही गणितीय रूप से मॉडल या भौतिक घटनाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।
-=== [[पॉइसन-प्रकार के यादृच्छिक उपाय]] ===
-पोइसन-प्रकार के यादृच्छिक उपाय (पीटी) तीन यादृच्छिक गणना उपायों का एक परिवार है जो एक उप-स्थान के प्रतिबंध के तहत बंद होते हैं, अर्थात प्वाइंट प्रोसेस ऑपरेशन # थिनिंग के तहत बंद होते हैं। ये यादृच्छिक उपाय [[मिश्रित द्विपद प्रक्रिया]] के उदाहरण हैं और पोइसन यादृच्छिक माप की बंटनात्मक स्व-समानता संपत्ति को साझा करते हैं। वे इस संपत्ति के अधिकारी होने के लिए बंटन के विहित गैर-नकारात्मक शक्ति श्रृंखला परिवार के एकमात्र सदस्य हैं और इसमें पॉसों बंटन, [[नकारात्मक द्विपद वितरण|नकारात्मक द्विपद बंटन]] और द्विपद बंटन शामिल हैं। प्वासों यादृच्छिक माप असम्बद्ध उप-स्थानों पर स्वतंत्र है, जबकि अन्य पीटी यादृच्छिक उपायों (नकारात्मक द्विपद और द्विपद) में धनात्मक और ऋणात्मक सहप्रसरण होते हैं। पीटी यादृच्छिक उपायों पर चर्चा की जाती है<ref>Caleb Bastian, Gregory Rempala. Throwing stones and collecting bones: Looking for Poisson-like random measures, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2020. [[doi:10.1002/mma.6224]]</ref> और प्वासों यादृच्छिक माप, ऋणात्मक द्विपद यादृच्छिक माप, और द्विपद यादृच्छिक माप शामिल करें।
-=== अधिक सामान्य स्थानों पर पॉइसन बिंदु प्रक्रियाएं ===
-गणितीय मॉडल के लिए प्वासों बिंदु प्रक्रिया को अक्सर यूक्लिडियन अंतरिक्ष में परिभाषित किया जाता है,<ref name="ChiuStoyan2013"/><ref name="Kingman1992page11"/>लेकिन अधिक अमूर्त स्थानों के लिए सामान्यीकृत किया गया है और यादृच्छिक उपायों के अध्ययन में मौलिक भूमिका निभाता है,<ref name="Kallenberg1983">{{cite book|author=Olav Kallenberg|title=यादृच्छिक उपाय|url=https://books.google.com/books?id=bBnvAAAAMAAJ|year=1983|publisher=Akademie-Verlag|isbn=978-0-12-394960-8}}</ref><ref name="Kingman1992page79to84">{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|pages=79–84}}</ref> जिसके लिए प्रायिकता सिद्धांत, माप सिद्धांत और टोपोलॉजी जैसे गणितीय क्षेत्रों की समझ की आवश्यकता होती है।<ref name="DaleyVere-Jones2007page368to413">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|date=12 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|pages=368–413}}</ref>
-सामान्य तौर पर, दूरी की अवधारणा अनुप्रयोगों के लिए व्यावहारिक रुचि की है, जबकि पाम बंटन के लिए टोपोलॉजिकल संरचना की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि बिंदु प्रक्रियाओं को आमतौर पर मेट्रिक्स के साथ गणितीय रिक्त स्थान पर परिभाषित किया जाता है।<ref name="gelfand2010handbook">A. E. Gelfand, P. Diggle, P. Guttorp, and M. Fuentes. ''Handbook of spatial statistics'', Chapter 9. CRC press, 2010.</ref> इसके अलावा, एक बिंदु प्रक्रिया की प्राप्ति को गिनती के उपाय के रूप में माना जा सकता है, इसलिए बिंदु प्रक्रियाएं यादृच्छिक उपायों के प्रकार हैं जिन्हें यादृच्छिक गिनती उपायों के रूप में जाना जाता है।<ref name="grandell1977point"/>इस संदर्भ में, पोइसन और अन्य बिंदु प्रक्रियाओं का स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट दूसरे गणनीय हौसडॉर्फ स्पेस पर अध्ययन किया गया है।<ref name="kallenberg1983random">O. Kallenberg. ''Random measures''. Academic Pr, 1983.</ref>
-=== कॉक्स प्वाइंट प्रक्रिया ===
-{{main| Cox process}}
-एक कॉक्स बिंदु प्रक्रिया, कॉक्स प्रक्रिया या दोगुनी स्टोचैस्टिक पॉइसन प्रक्रिया पॉइसन बिंदु प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है जो इसकी तीव्रता माप देती है। <math>\textstyle \Lambda</math> अंतर्निहित पॉइसन प्रक्रिया से भी यादृच्छिक और स्वतंत्र होना। इस प्रक्रिया का नाम डेविड कॉक्स (सांख्यिकीविद) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1955 में पेश किया था, हालांकि यादृच्छिक तीव्रता वाली अन्य पॉइसन प्रक्रियाओं को स्वतंत्र रूप से पहले लुसिएन ले कैम और मौरिस क्वेनौली द्वारा पेश किया गया था।<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012"/>तीव्रता माप यादृच्छिक चर या यादृच्छिक क्षेत्र का अहसास हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि तीव्रता माप का [[प्राकृतिक]] लघुगणक गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र है, तो परिणामी प्रक्रिया को लॉग गॉसियन कॉक्स प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।<ref name="moller1998log">J. Møller, A. R. Syversveen, and R. P. Waagepetersen. Log Gaussian Cox Processes. ''Scandinavian journal of statistics'', 25(3):451–482, 1998.</ref> अधिक आम तौर पर, तीव्रता के उपाय एक गैर-नकारात्मक स्थानीय परिमित यादृच्छिक माप की प्राप्ति है। कॉक्स पॉइंट प्रक्रियाएं बिंदुओं के क्लस्टरिंग को प्रदर्शित करती हैं, जिसे गणितीय रूप से पॉइसन पॉइंट प्रक्रियाओं की तुलना में बड़ा दिखाया जा सकता है। कॉक्स प्रक्रियाओं की व्यापकता और सुवाह्यता के परिणामस्वरूप उन्हें स्थानिक सांख्यिकी जैसे क्षेत्रों में मॉडल के रूप में उपयोग किया जा रहा है<ref name="moller2007modern">J. Møller and R. P. Waagepetersen. Modern statistics for spatial point processes. ''Scandinavian Journal of Statistics'', 34(4):643–684, 2007.</ref> और वायरलेस नेटवर्क।<ref name="Haenggi2013"/>
-===चिह्नित प्वासों बिंदु प्रक्रिया===
-[[File:Marked point process.png|thumb|600px|एक चिह्नित बिंदु प्रक्रिया का एक उदाहरण, जहां अचिह्नित बिंदु प्रक्रिया को सकारात्मक वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया गया है, जो अक्सर समय का प्रतिनिधित्व करती है। यादृच्छिक चिह्न राज्य स्थान में मान लेते हैं <math>S</math> मार्क स्पेस के रूप में जाना जाता है। ऐसी किसी भी चिह्नित बिंदु प्रक्रिया की व्याख्या अंतरिक्ष पर एक अचिह्नित बिंदु प्रक्रिया के रूप में की जा सकती है <math>[0,\infty]\times S </math>. अंकन प्रमेय का कहना है कि यदि मूल अचिह्नित बिंदु प्रक्रिया एक पॉसॉन बिंदु प्रक्रिया है और निशान स्टोचैस्टिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो चिह्नित बिंदु प्रक्रिया भी एक पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है <math>[0,\infty]\times S </math>. यदि पॉसों बिंदु प्रक्रिया सजातीय है, तो अंतराल <math>\tau_i</math> आरेख में एक घातीय बंटन से तैयार किए गए हैं।]]किसी दिए गए बिंदु प्रक्रिया के लिए, बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक यादृच्छिक बिंदु में एक यादृच्छिक गणितीय वस्तु हो सकती है, जिसे चिह्न के रूप में जाना जाता है, इसे यादृच्छिक रूप से असाइन किया जाता है। ये चिह्न पूर्णांक, वास्तविक संख्या, रेखाएँ, ज्यामितीय वस्तुएँ या अन्य बिंदु प्रक्रियाओं के रूप में विविध हो सकते हैं।<ref name="MollerWaagepetersen2003page8">{{cite book|author1=Jesper Moller|author2=Rasmus Plenge Waagepetersen|title=स्थानिक बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सांख्यिकीय अनुमान और अनुकरण|url=https://books.google.com/books?id=dBNOHvElXZ4C|date=25 September 2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-203-49693-0|page=8}}</ref><ref name="Haenggi2013page138">{{cite book|author=Martin Haenggi|title=वायरलेस नेटवर्क के लिए स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री|url=https://books.google.com/books?id=CLtDhblwWEgC|year=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-01469-5|pages=138–140}}</ref> बिंदु प्रक्रिया के एक बिंदु और उसके संबंधित चिह्न वाली जोड़ी को एक चिह्नित बिंदु कहा जाता है, और सभी चिह्नित बिंदु एक चिह्नित बिंदु प्रक्रिया बनाते हैं।<ref name="BaddeleyBárány2006page19">{{cite book|author1=A. Baddeley|author2=I. Bárány|author3=R. Schneider|title=स्टोचैस्टिक ज्योमेट्री: C.I.M.E में दिए गए व्याख्यान। मार्टिना फ्रांका, इटली में 13-18 सितंबर, 2004 को आयोजित समर स्कूल|url=https://books.google.com/books?id=X-m5BQAAQBAJ|date=26 October 2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38175-4|pages=19–21}</ref> अक्सर यह माना जाता है कि यादृच्छिक अंक एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं और समान रूप से वितरित होते हैं, फिर भी एक बिंदु का निशान अंतर्निहित (राज्य) स्थान में इसके संबंधित बिंदु के स्थान पर निर्भर हो सकता है। रेफरी नाम= किंगमैन 1992पृष्ठ55 >{{cite book|author=J. F. C. Kingman|title=पोइसन प्रक्रियाएं|url=https://books.google.com/books?id=VEiM-OtwDHkC|date=17 December 1992|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-159124-2|page=55}</ref> यदि अंतर्निहित बिंदु प्रक्रिया एक प्वॉइसन बिंदु प्रक्रिया है, तो परिणामी बिंदु प्रक्रिया एक चिन्हित पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है। रेफ नाम = बेसेलीब्लास्ज़ज़ीस्ज़िन2009पृष्ठ291 >{{cite book|author1=François Baccelli|author2=Bartlomiej Blaszczyszyn|title=स्टोचैस्टिक ज्यामिति और वायरलेस नेटवर्क|url=https://books.google.com/books?id=H3ZkTN2pYS4C|year=2009|publisher=Now Publishers Inc|isbn=978-1-60198-264-3|pages=291–293}}</ref>
-{{See also|Markov renewal process}}
-<!-- which is also "marked" but with a different temporal structure. -->
-==== अंकन प्रमेय ====
-यदि एक सामान्य बिंदु प्रक्रिया को कुछ गणितीय स्थान पर परिभाषित किया जाता है और यादृच्छिक चिह्नों को किसी अन्य गणितीय स्थान पर परिभाषित किया जाता है, तो चिह्नित बिंदु प्रक्रिया को इन दो स्थानों के कार्टेशियन उत्पाद पर परिभाषित किया जाता है। स्वतंत्र और समान रूप से वितरित अंकों के साथ चिन्हित पोइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए, अंकन प्रमेय<ref name="Kingman1992page55"/><ref name="Streit2010page205">{{cite book|author=Roy L. Streit|title=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing|url=https://books.google.com/books?id=KAWmFYUJ5zsC|date=15 September 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6923-1|pages=205–206}}</ref> बताता है कि यह चिह्नित बिंदु प्रक्रिया भी एक (गैर-चिह्नित) पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है जो दो गणितीय रिक्त स्थान के पूर्वोक्त कार्तीय उत्पाद पर परिभाषित है, जो सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं के लिए सही नहीं है।
-=== कंपाउंड पॉइसन पॉइंट प्रक्रिया ===
+=== संयुक्त प्वासों बिंदु प्रक्रिया ===
-यौगिक पोइसन बिंदु प्रक्रिया या यौगिक पॉइसन प्रक्रिया कुछ अंतर्निहित स्थान पर परिभाषित पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु पर यादृच्छिक मान या भार जोड़कर बनाई जाती है, इसलिए प्रक्रिया एक चिह्नित पॉइसन बिंदु प्रक्रिया से निर्मित होती है, जहां निशान स्वतंत्र का एक संग्रह बनाते हैं। और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर। दूसरे शब्दों में, मूल पॉइसन प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु के लिए, एक स्वतंत्र और समान रूप से वितरित गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर होता है, और फिर पॉसों प्रक्रिया के बिंदुओं के अनुरूप सभी यादृच्छिक चर के योग से यौगिक पॉइसन प्रक्रिया बनती है। अंतर्निहित गणितीय स्थान के कुछ क्षेत्र में।{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|pages=198–199}}
+'''संयुक्त प्वासों बिंदु प्रक्रिया''' या '''संयुक्त प्वासों प्रक्रिया''', किसी अंतर्निहित समष्टि पर परिभाषित प्वासों बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु में यादृच्छिक मान या वजन को जोड़कर बनाई जाती है, इस प्रक्रिया को अंकन प्वासों बिंदु प्रक्रिया से निर्मित किया जाता है, जहां अंक संग्रह स्वतंत्र और समान वितरित गैर-ऋणात्मक स्थिरांक होते हैं। अन्य शब्दों में, मूल प्वासों प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु के लिए एक स्वतंत्र और समान वितरित गैर-ऋणात्मक स्थिरांक होता है, और फिर संयुक्त प्वासों प्रक्रिया को निर्मित किया जाता है जो उपर्युक्त गणितीय स्थान के कुछ क्षेत्र में स्थित प्वासों प्रक्रिया के बिंदुओं के सभी स्वतंत्र और समान वितरित गैर-ऋणात्मक स्थिरांकों के योग से बनी होती है।{{sfnp|Daley|Vere-Jones|2003|pages=198–199}}
-यदि पॉसों बिंदु प्रक्रिया से गठित एक चिह्नित पॉसॉन बिंदु प्रक्रिया है <math>\textstyle N</math> (पर परिभाषित, उदाहरण के लिए, <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math>) और स्वतंत्र और समान रूप से वितरित गैर-नकारात्मक अंकों का संग्रह <math>\textstyle \{M_i\}</math> ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु के लिए <math>\textstyle x_i</math> पोइसन प्रक्रिया की <math>\textstyle N</math> एक गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर है <math>\textstyle M_i</math>, परिणामी यौगिक पॉइसन प्रक्रिया तब है:<ref name="DaleyVere-Jones2007page198">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=198}}</ref>
+यदि किसी प्वासों पॉइंट प्रक्रिया <math>\textstyle N</math> (जो, उदाहरण के लिए, <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math> पर परिभाषित होती है) और स्वतंत्र और समान वितरित गैर-ऋणात्मक बिंदु <math>\textstyle \{M_i\}</math> के एक संग्रह के बिंदुगामी प्वासों बिंदु प्रक्रिया के रूप में निर्मित किया जाता है, जिसके लिए प्वासों प्रक्रिया <math>\textstyle N</math> के प्रत्येक बिंदु <math>\textstyle x_i</math> के लिए एक गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक परिवर्तन <math>\textstyle M_i</math> होता है, तो परिणामस्वरूपी संयुक्त प्वासों प्रक्रिया निम्नलिखित होती है:<ref name="DaleyVere-Jones2007page198">{{cite book |last1=Daley |first1=Daryl J. |last2=Vere-Jones |first2=David |year=2007 |title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|publisher=Springer|isbn=978-0387213378|pages=198}}</ref>
 :<math> C(B)=\sum_{i=1}^{N(B)} M_i ,</math>
-कहाँ <math>\textstyle B\subset \mathbb{R}^d</math> एक बोरेल मापने योग्य सेट है।
+जहां <math>\textstyle B\subset \mathbb{R}^d</math> बोरेल मापनीय समुच्चय है।
-यदि सामान्य यादृच्छिक चर <math>\textstyle \{M_i\}</math> मान लें, उदाहरण के लिए, <math>\textstyle d</math>-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math>, परिणामी यौगिक पोइसन प्रक्रिया लेवी प्रक्रिया का एक उदाहरण है, बशर्ते कि यह एक सजातीय बिंदु प्रक्रिया से बनाई गई हो <math>\textstyle N</math> गैर-ऋणात्मक संख्याओं पर परिभाषित <math>\textstyle [0, \infty) </math>.<ref name="ApplebaumBook2004page46">{{cite book|author=David Applebaum|title=Lévy Processes and Stochastic Calculus|url=https://books.google.com/books?id=q7eDUjdJxIkC|date=5 July 2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83263-2|pages=46–47}}</ref>
+यदि सामान्य यादृच्छिक चर <math>\textstyle \{M_i\}</math> मान लेते हैं, उदाहरण के लिए, <math>\textstyle d</math>-विमीय यूक्लिडियन समष्टि <math>\textstyle \mathbb{R}^d</math>, परिणामी यौगिक प्वासों प्रक्रिया लेवी प्रक्रिया का एक उदाहरण है, बशर्ते कि यह गैर-नकारात्मक संख्या <math>\textstyle [0, \infty) </math> पर परिभाषित एक समघातीय बिंदु प्रक्रिया <math>\textstyle N</math> से बनाई गई हो<ref name="ApplebaumBook2004page46">{{cite book|author=David Applebaum|title=Lévy Processes and Stochastic Calculus|url=https://books.google.com/books?id=q7eDUjdJxIkC|date=5 July 2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83263-2|pages=46–47}}</ref>
-=== तीव्रता कार्यों के घातीय चौरसाई के साथ विफलता प्रक्रिया ===
+=== तीव्रता फलनों का घातीय संरेखण के साथ विफलता प्रक्रिया ===
-तीव्रता कार्यों (एफपी-ईएसआई) के घातीय चौरसाई के साथ विफलता प्रक्रिया गैर-समरूप पॉइसन प्रक्रिया का विस्तार है। FP-ESI का इंटेंसिटी फंक्शन घटना घटित होने के अंतिम समय बिंदुओं पर इंटेंसिटी फंक्शन का एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग फंक्शन है और 8 वास्तविक-विश्व विफलता डेटासेट पर अन्य नौ स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं को मात देता है जब मॉडल डेटासेट को फिट करने के लिए उपयोग किए जाते हैं,<ref name="Wu2019">Wu, S. (2019). [https://doi.org/10.1016/j.ejor.2018.11.045 A failure process model with the exponential smoothing of intensity functions]. ''European Journal of Operational Research'', 275(2), 502–513</ref> जहां मॉडल के प्रदर्शन को एआईसी (एकाइक सूचना मानदंड) और बीआईसी ([[बायेसियन सूचना मानदंड]]) के संदर्भ में मापा जाता है।
+अविस्मरण त्रुटि प्रक्रिया जिसमें आंतरिकता समीकरणों की व्यापक स्मूदन साथ एकाधिक की प्रकार होती है (एफपी-ईएसआई), गैरसमग्र प्वासों प्रक्रिया का विस्तार है। एफपी-ईएसआई की आंतरिकता समीकरण एक समीकरण की तरह होती है जिसमें घटना घटनाओं के अंतिम समय बिंदुओं पर आंतरिकता समीकरणों की संरेखण फलन होती है और यह मॉडल डेटासेट्स को फिट करने के लिए उपयोग किए जाने पर 8 वास्तविक दुनिया के असफलता डेटासेट पर अन्य नौ स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं से बेहतर प्रदर्शन करती है, जहां मॉडल की प्रदर्शन का माप एआईसी (अकयके सूचना माप) और बीआईसी ([[बायेसियन सूचना मानदंड]]) के माध्यम से किया जाता है।<ref name="Wu2019">Wu, S. (2019). [https://doi.org/10.1016/j.ejor.2018.11.045 A failure process model with the exponential smoothing of intensity functions]. ''European Journal of Operational Research'', 275(2), 502–513</ref>
 == यह भी देखें ==
-* [[बूलियन मॉडल (संभाव्यता सिद्धांत)]]
+* [[बूलियन मॉडल (संभाव्यता सिद्धांत)|बूलियन मॉडल (प्रायिकता सिद्धांत)]]
-*सातत्य रिसाव सिद्धांत
+*सातत्य अंत:स्त्राव सिद्धांत
-* [[यौगिक पॉइसन प्रक्रिया]]
+* [[यौगिक पॉइसन प्रक्रिया|यौगिक प्वासों प्रक्रिया]]
 * [[कॉक्स प्रक्रिया]]
 * बिंदु प्रक्रिया
-* स्टोकेस्टिक ज्यामिति
+* प्रसंभाव्य ज्यामिति
-* [[वायरलेस नेटवर्क के स्टोचैस्टिक ज्यामिति मॉडल]]
+* [[वायरलेस नेटवर्क के स्टोचैस्टिक ज्यामिति मॉडल|वायरलेस नेटवर्क के प्रसंभाव्य ज्यामिति मॉडल]]
-* [[मार्कोवियन आगमन प्रक्रियाएं]]
+* [[मार्कोवियन आगमन प्रक्रियाएं|मार्कोवियन एराइवल प्रक्रियाएं]]
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 589: / Line 536: @@
 *{{cite news |last1=Guttorp |first1= Peter|last2=Thorarinsdottir |first2= Thordis L.  |year=2012 |title=असतत अराजकता, क्वेनौइल प्रक्रिया और तेज मार्कोव संपत्ति का क्या हुआ? स्टोकेस्टिक बिंदु प्रक्रियाओं का कुछ इतिहास|journal=International Statistical Review}}
-{{Stochastic processes}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-श्रेणी:प्वाइंट प्रक्रियाएं
-श्रेणी:मार्कोव प्रक्रियाएं
-श्रेणी:प्वाइसन पॉइंट प्रक्रियाएं
-श्रेणी:स्थानिक प्रक्रियाएँ
-श्रेणी:लेवी प्रक्रियाएँ
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 01/06/2023]]
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प्वासों बिंदु प्रक्रिया: Difference between revisions

Latest revision as of 17:21, 11 August 2023

परिभाषाओं का अवलोकन

बिंदु संख्या का प्वासों बंटन

पूर्ण स्वतंत्रता

समघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया

गणना प्रक्रिया के रूप में व्याख्या

वास्तविक रेखा पर एक बिंदु प्रक्रिया के रूप में व्याख्या

प्रमुख गुण

बड़ी संख्याओं का नियम

मेमोरीलेस गुणधर्म

क्रमबद्धता और साधारणता

मार्टिंगेल विशेषण

अन्य प्रक्रियाओं से संबंध

अर्ध-रेखा पर प्रतिबंध

अनुप्रयोग

सामान्यीकरण

स्थानिक प्वासों बिंदु प्रक्रिया

अनुप्रयोग

उच्च विमाओं में परिभाषित

बिंदुओं का समान रूप से बंटन

असमघाती प्वासों बिंदु प्रक्रिया

वास्तविक रेखा पर परिभाषित

गणना प्रक्रिया की व्याख्या

स्थानिक प्वासों प्रक्रिया

उच्च विमाओं में

अनुप्रयोग

तीव्रता फलन की व्याख्या

साधारण बिंदु प्रक्रिया

अनुकरण

चरण 1: बिंदुओं की संख्या

समघाती स्थिति

असमान स्थिति

चरण 2: बिंदुओं की स्थिति

समघाती स्थिति

असमान स्थिति

सामान्य प्वासों बिंदु प्रक्रिया

इतिहास

प्वासों बंटन

खोज

प्रारंभिक अनुप्रयोग

शब्दावली का इतिहास

शब्दावली

अंकन (नोटेशन)

प्रकार्य और मोमेंट माप

लाप्लास प्रकार्य

प्रायिकता जनित्र फलन

मोमेंट माप

मेके समीकरण

क्रमगुणित मोमेंट माप

परिवर्जन फलन

रेनी की प्रमेय

बिंदु प्रक्रिया संक्रियाएँ

विरलन

अध्यारोपण

अध्यारोपण प्रमेय

क्लस्टरिंग

यादृच्छिक विस्थापन

विस्थापन प्रमेय

मैपिंग

मैपिंग प्रमेय

प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं के साथ सन्निकटन

क्लंपिंग ह्यूरिस्टिक

स्टीन की विधि

प्वासों बिंदु प्रक्रिया के लिए कन्वर्जेन्स

प्वासों बिंदु प्रक्रियाओं का सामान्यीकरण

प्वासों-प्रकार का यादृच्छिक माप

अधिक सामान्य समष्टियों पर प्वासों बिंदु प्रक्रियाएं

कॉक्स बिंदु प्रक्रिया

चिह्नित प्वासों बिंदु प्रक्रिया

अंकन प्रमेय

संयुक्त प्वासों बिंदु प्रक्रिया

तीव्रता फलनों का घातीय संरेखण के साथ विफलता प्रक्रिया

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

विशिष्ट

सामान्य