सुपर बीजगणित

गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, सुपरबीजगणित Z₂ है वर्गीकृत बीजगणित. अर्थात्, यह क्रमविनिमेय वलय या क्षेत्र (गणित) पर बीजगणित (रिंग सिद्धांत) है जिसमें सम और विषम भागो में अपघटन होता है और गुणन ऑपरेटर होता है जो ग्रेडिंग का सम्मान करता है।

उपसर्ग सुपर- सैद्धांतिक भौतिकी में अतिसममिति के सिद्धांत से आता है। सुपरएल्जेब्रा और उनके निरूपण, सुपरमॉड्यूल, सुपरसिमेट्री तैयार करने के लिए बीजगणितीय प्रारूप प्रदान करते हैं। ऐसी वस्तुओं के अध्ययन को कभी-कभी सुपर लीनियर बीजगणित कहा जाता है। सुपरएल्जेब्रा सुपरजियोमेट्री के संबंधित क्षेत्र में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं जहां वे वर्गीकृत मैनिफोल्ड, सुपरमैनिफोल्ड और सुपरस्कीम की परिभाषाओं में प्रवेश करते हैं।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए K क्रमविनिमेय वलय है। अधिकांश अनुप्रयोगों में, K विशेषता (बीजगणित) 0 का क्षेत्र (गणित) है, जैसे 'R' या 'C'।

K के ऊपर 'सुपरलेजेब्रा' मॉड्यूल (गणित) है K-मॉड्यूल A, मॉड्यूल अपघटन के प्रत्यक्ष योग के साथ

$A=A_{0}\oplus A_{1}$

साथ में द्विरेखीय मानचित्र गुणन A × A → A इस प्रकार

$A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}$

जहां सबस्क्रिप्ट को मॉड्यूलर अंकगणित 2 पढ़ा जाता है, अर्थात उन्हें Z₂ के अवयवो के रूप में माना जाता है.

एक सुपररिंग, या Z₂-श्रेणीबद्ध वलय, पूर्णांक Z के वलय पर सुपरबीजगणित है।

प्रत्येक a_i के अवयव सजातीय कहा जाता है. सजातीय अवयव x की समता, |x| द्वारा निरूपित , यह a में है या नहीं, इसके अनुसार 0 या 1₀ या ए₁ है समता 0 के अवयवो को सम और समता 1 के अवयवो को विषम कहा जाता है। यदि x और y दोनों सजातीय हैं तो गुणनफल xy भी वैसा ही है $|xy|=|x|+|y|$.

एक साहचर्य सुपरबीजगणित वह है जिसका गुणन साहचर्य है और इकाई सुपरबीजगणित वह है जिसमें गुणात्मक पहचान अवयव होता है। इकाई सुपरबीजगणित में पहचान अवयव आवश्यक रूप से सम होता है। जब तक अन्यथा निर्दिष्ट न किया जाए, इस लेख में सभी सुपरबीजगणित को साहचर्य और एकात्मक माना जाता है।

एक क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित (या क्रमपरिवर्तनशीलता बीजगणित) वह है जो क्रमविनिमेयता के श्रेणीबद्ध संस्करण को संतुष्ट करता है। विशेष रूप से, a क्रमविनिमेय है यदि

$yx=(-1)^{|x||y|}xy\,$

a के सभी सजातीय अवयवो x और y के लिए। ऐसे सुपरबीजगणित हैं जो सामान्य अर्थ में क्रमविनिमेय हैं, किन्तु सुपरबीजगणित अर्थ में नहीं इस कारण से, भ्रम से बचने के लिए कम्यूटेटिव सुपरएल्जेब्रा को अधिकांशतः सुपरकम्यूटेटिव कहा जाता है।

उदाहरण

• क्रमविनिमेय वलय K के ऊपर किसी भी बीजगणित को K के ऊपर विशुद्ध रूप से सम सुपरबीजगणित माना जा सकता है; अर्थात् A₁ सामान्य होता है
• ग्रेडिंग मोडुलो 2 को पढ़कर किसी भी Z- या N-ग्रेडेड बीजगणित को सुपरबीजगणित माना जा सकता है। इसमें टेंसर बीजगणित और K के ऊपर बहुपद वलय जैसे उदाहरण सम्मिलित हैं।
• विशेष रूप से, K के ऊपर कोई भी बाहरी बीजगणित सुपरबीजगणित है। इस प्रकार बाहरी बीजगणित सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित का मानक उदाहरण है।
• सममित बहुपद और एकांतर बहुपद मिलकर सुपरबीजगणित बनाते हैं, जो क्रमशः सम और विषम भाग होते हैं। ध्यान दें कि यह डिग्री के अनुसार ग्रेडिंग से भिन्न ग्रेडिंग है।
• क्लिफ़ोर्ड बीजगणित सुपरबीजगणित हैं। वे सामान्यतः गैर-अनुवांशिक होते हैं।
• सभी एंडोमोर्फिज्म का समुच्चय (निरूपित) $\mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)$, जहां बोल्डफेस $\mathrm {Hom}$ आंतरिक कहा जाता है ,इस प्रकार $\mathrm {Hom}$ सुपर सदिश समिष्ट के सभी रैखिक मानचित्रों से बना) रचना के अनुसार सुपरबीजगणित बनाता है।
• K में प्रविष्टियों के साथ सभी वर्ग सुपरमैट्रिसेस का समुच्चय M_p|q(k) द्वारा निरूपित सुपरबीजगणित बनाता है। इस बीजगणित को रैंक p|q के के ऊपर मुक्त सुपरमॉड्यूल के एंडोमोर्फिज्म के बीजगणित के साथ पहचाना जा सकता है और इस समिष्ट के लिए उपरोक्त का आंतरिक होम है।
• लाई अलजेब्रा का श्रेणीबद्ध एनालॉग है। लाई सुपरबीजगणित नॉनइकाईल और असंबद्ध हैं; चूँकि, कोई सुपरबीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के एनालॉग का निर्माण कर सकता है जो इकाईल, साहचर्य सुपरबीजगणित है।

आगे की परिभाषाएँ और निर्माण

सम उपबीजगणित

मान लीजिए A क्रमविनिमेय वलय K पर सुपरबीजगणित है। सबमॉड्यूल A₀, जिसमें सभी सम अवयव सम्मिलित हैं, गुणन के अंतर्गत संवृत है और इसमें a की पहचान सम्मिलित है और इसलिए a का उपबीजगणित बनता है, जिसे स्वाभाविक रूप से 'सम उपबीजगणित' कहा जाता है। यह K के ऊपर साधारण बीजगणित (रिंग सिद्धांत) बनाता है।

सभी विषम अवयवो का समुच्चय A₁ a₀ है बिमॉड्यूल जिसका अदिश गुणन सिर्फ a में गुणन है। इस प्रकार a में उत्पाद a₁ द्विरेखीय रूप के साथ लैस है

$\mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}$

ऐसा है कि

$\mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)$

A₁ में सभी x, y और z के लिए. यह a में उत्पाद की संबद्धता से अनुसरण करता है।

ग्रेड इन्वॉल्वमेंट

किसी भी सुपरबीजगणित पर कैनोनिकल इनवोल्यूशन (गणित) स्वचालितता होता है जिसे ग्रेड इनवोल्यूशन कहा जाता है। यह सजातीय अवयवो पर दिया जाता है

${\hat {x}}=(-1)^{|x|}x$

और इच्छानुसार अवयवो पर

${\hat {x}}=x_{0}-x_{1}$

जहाँ x_i x के सजातीय भाग हैं। यदि A में कोई टोशन (बीजगणित) या 2-टोशन नहीं है (विशेष रूप से, यदि 2 उलटा है) तो ग्रेड इनवोल्यूशन का उपयोग A के सम और विषम भागों को अलग करने के लिए किया जा सकता है:

$A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.$

सुपरकम्यूटेटिविटी

a पर सुपरकम्यूटेटर द्वारा दिया गया बाइनरी ऑपरेटर है

$[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx$

सजातीय अवयवो पर, रैखिकता द्वारा a के सभी तक विस्तारित। A के अवयव x और y को 'सुपरकम्यूट' कहा जाता है यदि [x, y] = 0 है

a का सुपरसेंटर a के सभी अवयवो का समूह है जो a के सभी अवयवो के साथ सुपरकम्यूट करता है:

$\mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.$

a का सुपरसेंटर, सामान्यतः, अवर्गीकृत बीजगणित के रूप में a के बीजगणित के केंद्र से भिन्न होता है। क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित वह है जिसका सुपरसेंटर पूरा A होता है।

सुपर टेंसर उत्पाद

दो सुपरबीजगणित a और b के बीजगणित के श्रेणीबद्ध टेंसर उत्पाद को गुणन नियम के साथ सुपरबीजगणित a ⊗ b के रूप में माना जा सकता है:

$(a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).$

यदि a या b पूरी तरह से सम है, तो यह सामान्य अनग्रेडेड टेंसर उत्पाद के सामान्य है (अतिरिक्त इसके कि परिणाम ग्रेडेड है)। चूँकि, सामान्यतः, सुपर टेंसर उत्पाद a और b के टेंसर उत्पाद से अलग होता है जिसे सामान्य, अवर्गीकृत बीजगणित माना जाता है।

सामान्यीकरण और स्पष्ट परिभाषा

एक क्रमविनिमेय सुपररिंग पर सुपरएल्जेब्रा को सम्मिलित करने के लिए सुपरएल्जेब्रा की परिभाषा को सरलता से सामान्यीकृत किया जा सकता है। ऊपर दी गई परिभाषा उस मामले की विशेषज्ञता है जहां आधार रिंग पूरी तरह से सम है।

मान लीजिए R क्रमविनिमेय सुपररिंग है। R पर 'सुपरलेजेब्रा' सुपरमॉड्यूल है | इस प्रकार R -सुपरमॉड्यूल a जिसमें R -बिलिनियर गुणन a × a → a है जो ग्रेडिंग का सम्मान करता है। यहाँ द्विरेखीयता का अर्थ यह है

$r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)$

सभी सजातीय अवयवो r ∈ R और x, y ∈ A के लिए।

सामान्यतः, कोई व्यक्ति R पर सुपरबीजगणित को सुपररिंग A के साथ सुपररिंग होमोमोर्फिज्म R → A के रूप में परिभाषित कर सकता है, जिसकी छवि A के सुपरसेंटर में स्थित है।

कोई सुपरएलजेब्रा श्रेणी सिद्धांत को भी परिभाषित कर सकता है। सभी R -सुपरमॉड्यूल की श्रेणी (गणित) सुपर टेंसर उत्पाद के अनुसार मोनोइडल श्रेणी बनाती है जिसमें R इकाई ऑब्जेक्ट के रूप में कार्य करता है। R पर साहचर्य, इकाईल सुपरबीजगणित को R -सुपरमॉड्यूल की श्रेणी में मोनॉइड (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अर्थात्, सुपरबीजगणित R -सुपरमॉड्यूल a है जिसमें दो (सम) आकारिकी होती है

${\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}$

जिसके लिए सामान्य आरेख आवागमन करते हैं।

संदर्भ

• Deligne, P.; Morgan, J. W. (1999). "Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)". Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. Vol. 1. American Mathematical Society. pp. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.

• Kac, V. G.; Martinez, C.; Zelmanov, E. (2001). Graded simple Jordan superalgebras of growth one. Memoirs of the AMS Series. Vol. 711. AMS Bookstore. ISBN 978-0-8218-2645-4.

• Manin, Y. I. (1997). Gauge Field Theory and Complex Geometry ((2nd ed.) ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-61378-1.

• Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol. 11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.